基于探索性情境，探究圆锥曲线中的存在性问题-《中学生数理化》高考数学2025年12月刊

然数学暂腰视器滑中学生表理化 垦于探索性情境， 探究圆锥曲线中的存在性问题 ■山东省济南市莱芜第一中学王克凤 高考中有关探索性情境及其应用问题， 试问：在x轴上是否存在定点M(异于坐标 一直是一个重要考点。而涉及圆锥曲线知识 原点O),使得当直线AB经过点M时，满足 的探索性情境及其应用问题，经常以探究元 OA⊥OB?若存在，求出点M的坐标；若不 素（点、参数等）的存在性等形式来巧妙设置 存在，请说明理由。 与创新应用，借助对应要素的存在性判断与 解析：(1)由题意知，过点D(2,1)且斜率 探究，全面考查同学们的“四基”与“四能”，设 为1的直线方程为y一1=x一2，即y=x 置场景变化多端，设计形式新颖。 1。当y=0时，得x=1,所以点F的坐标为 一、点的存在性 1.0),且2-1，则b=2. 例1(2025年山西太原模拟)已知抛 所以抛物线C的方程为y2=4x。 物线C:y2=2px(p>0),过点D(2,1)且斜 (2)由(1)得抛物线C:y2=4x,假设存在 率为1的直线经过抛物线C的焦点F。 定点M(m,0)符合题意。 (1)求抛物线C的方程。 设直线AB的方程为x=ty十m(t∈R, (2)若A,B是抛物线C上的两个动点， m≠0)，A(x1,y1),B(x2,y2),如图1所示。 不妨设A在B的上方，联立 Tor-yoy =1 所以|yA一yB|=6,所以S四边形ABf,= 3 ”解 y=±√3x, 号F·yx-=2lya-ya=12。 3 点评：借助新定义的创新形式，巧妙将函 得xa一5x一 3 ，xB ,故xA十xB √3xo十y 数、平面几何与解析几何中的相关知识加以 ③ √3 合理交汇，基于解析几何这一应用场景来综 =2x。,所以P是线 √3x0-yoV3xo+yo 合应用，实现问题的突破与解决。基于解析 段AB的中点。 几何场景下的新定义交汇，经常将函数、方 因为F1,F,到过点O的直线的距离相 程、不等式、三角函数、数列、平面向量、解三 等，所以过点O的等线必定满足：A,B到该 角形等相关知识融进解析几何中去，综合起 等线的距离相等，且分居两侧，所以该等线必 来全面考查基础知识与基本应用。 综上分析可知，涉及解析几何中的创新 过点P,即OP的方程为y=√2x。 类问题，是以创新定义的形式来实现概念、知 y=2x, x=3, 识与应用等方面的交汇与综合，契合“在知识 联立 x:-y2 解得 所以 31, y=√6， 交汇点处命题”的要求与命题趋势。解决这 类解析几何中的创新问题，要在深刻理解对 P(3,√6)。 应知识的基础上，发现并挖掘题目中蕴含的 3 所以yA=√3xA= =√6+3， 信息，灵活变换角度，转化为“熟悉”的问题去 3x0一yo 解决。 yn=一5x5十 3 =√6-3。 (责任编辑王福华) 19 中学生款理化解超贺学自瓢鼻海 x=ty十n, 联立 消去x 3y9 =1。 y2=4x, n n2-m2 整理得y2一4ty一4m=0,则 根据以上曲线C的方程可知，当m<n y1十y2=4t,y1y2=一4m,△= (或m>n)时，曲线C表示焦点在x轴上的 16t2+16m>0。 椭圆（或双曲线）。 若OA⊥OB,可得OA· 图1 (2)设点M(x1,y1),N(x2,y2),M'(x3, OB=xx:+y2=(ty+m)(ty:+m)+ y)与N关于原点对称，其中参数满足y1> y1y,=(t2+1)y1y2十tm(y1+y2)十m2= 0,y2>0,且x3=-x2,y=一y2。 -4m(t2+1)+4mt2十m2=m2-4m=0,解 ①当m=2√2，n=4时，由(1)可知曲线 得m=4或m=0(舍去)。 C的方程为G；1,A(22,0 当m=4时，点M的坐标为(4,0)，满足 OA⊥OB,△=16t2+16m>0,所以存在定点 B(一2√2,0)，如图2所示。 M(4,0)符合题意。 因为AM∥BN,所以 点评：此类涉及点的存在性及其综合问题， 主要借助圆锥曲线场景的设置，通过满足相关 x1-2√2 x2+2√2 条件的点的存在性来判断或探究，合理构建与 y2 之对应的探究性应用场景。解题时，经常借助 一xg-2W2x-22 因此M,A,M'三点 图2 满足条件的，点存在，通过合理的逻辑推理与数 学运算来验证，实现，点的存在性的判断与应用。 共线，且|BN|=√(x,+2√2)2+y 二、参数的存在性 √(-x2-2√2)2十(-y2)=|AM'|。 例2(2025年广东深圳一模)已知动 设直线MM的方程为x=ty十2√2，联立 点P到定点A(m,0)的距离与动点P到定 x=ty+2√2， 直线江一的距离之比为常数二，其中m>0 x2,y2 消去x整理得(t2十2)y2十4√2ty (16+8=1, n>0,且m≠n。记动点P的轨迹为曲线C。 42t 8 (1)求曲线C的方程，并说明曲线C的 8=0,则y1十y3= t2421X1=- t2+29 形状特征。 (2)设点B(一m,0),若曲线C上的两个 由(1)可知1AM1=22 16 4 zi- 2√2 动点M,N均在x轴上方，且满足AM∥BN, 其中AN与BM相交于点Q。 4 2x1,BN1=IAM'1=4- 2x。 ①当m=2√2，n=4时，求证：代数式 1 2 AM+BN 1 所以AMT十TBNT |AM·|BN| 1 AM十BNT的值为定值。 ②当m≥n时，设△ABQ的面积为S,其 号)+(4-竖） 内切圆半径为r,试问：是否存在常数入，使得 (4-号)4-号 S=r恒成立？若存在，求入的表达式（用 m,n表示)；若不存在，请说明理由。 9w+(e-号】 (2- 解析：(1)设点P(x,y),由题意可知 √(x-m)十y (2- n ,即(x-m)+y= )竖】 n √2 4-2(y+y) (受x一)，化简整理得曲线C的方程为 4-2t(+)+2y1 20 塑敏题喜贾中学生数理化 |MA=2n,所以|QM|=2n+|AM|一 2一2+2 网+（中2 8 =1(定值)。 IBQ|。 因为AM∥BN,所以△AQMc∽△NQB, 1 1 所以ATQM2m+AM1BQ BQ BQ 所以AM十BNT为定值1。 所以|AM|·|BQ|=2n|BN|+|AM|· ②当m>n时，曲线C的方程为 IBN|-|BN|·|BQI,所以IBQ|= 22 (2n+AM|)·|BN 3y9 mn=1,其对应的轨迹是焦点在x轴上 AM+BNI 的双曲线，如图3所示。 同理AQ1=(2n+BN1)·1AM1 AM+BN 设点M(x1,y1),N(x2, y2),M'(xa,y)与N关于原 所以AQ|+1BQ1=(2n+|BNI)·|AM AM+BN 点对称，根据①的证明，同理 (2n+|AM)·|BN| 2|AM|·IBNI 可得对应的M,A,M'三点共 AM+BN =2n+ AM+BN 线，且满足BN|=|AMI. 图3 2 =2n+ =2n+m-n_m'tn 1 1 n n 设直线MM'的方程为x=sy十m,联立 AM十TBN x=sy十m, 由三角形的内切圆性质，可得S= r'y 消去x整理得[(m一 n2n2n=1, (AB+|AQ+BQ1)·r,则当S= 1 n2)s2-n2]y2+2sm(m2-n2)y十(m2-n2)2 时，A=2(AB+1AQ+]BQ)=m十 =0,所以y1十y3= 2sm(m2-n2) （m2-n2)s2-ny1y3 m2+n2_(m十n) (常数)。 (m2-n2)2 2n 2n （m2-n2)s2-no (关) 所以存在常数入使得S=入r恒成立，此 因为AM=兴()=分-， 时入=m十n) 2n BN1=AM1=x,-,所以AM 点评：解决此类涉及参数的存在性及其 综合问题，关键是依托圆锥曲线场景，通过假 1 IAMI+AM'I TBNT=AMT+AMT=AM·AM 设，确定满足条件的参数存在，代入问题中 去，通过合理的数学运算与逻辑推理，若得到 符合条件的参数值，则表明满足条件的参数 值存在；否则就不存在。 其实，涉及圆锥曲线场景下的存在性探 (+m叶(g+m” 究问题，往往依托一些比较常见的元素，先假 n n (,+)y,+m 设对应元素存在，以一个确定的条件，联合题 n 设加以分析与推理，若得到正确的结论，则表 6+)+2m 示存在；否则就是不存在。同时，还要注意： n 当条件和存在性的结论不唯一时，需要加以 +mn)ms m's? n2 1+y)+m2n') 合理的分类讨论；特别当要分类讨论的变量 n 能够明确确定时，可先通过特殊值确定相应 1 1 将(*)式代入，化简得AM十BN 的变量或参数，再加以深人的数学运算或逻 m二n,由双曲线定义得|BQ1+1QM一 2n 辑推理即可。 (责任编辑王福华) 21