立足解析几何场景，创新形式应用-《中学生数理化》高考数学2025年12月刊

解题篇创新题追根湖酒中学生数理化 高三数学2025年12月 立足解析几何场景， 创新形式应用 ■江苏省锡山高级中学 方莉 随着高考改革的不断深人与新课程的逐 可设Q(x。,a),当点Q不与点A重合时，直 步推进，高考对同学们的知识迁移、数学思 维、探究创新等能力的考查不断加强，因此， x,联立 线OQ的方程为y=a 解析几何中的创新问题成为高考命题的热点 a y= o 之一。解析几何中常见的创新问题有以下几 a 类：一是“新定义曲线”，二是“新定义关系”， x2+y2-ay=0, 解得y=十a当点Q 三是“新定义交汇”等。对于此类创新形式问 y≠0， 题，要充分研透“新定义”的本质和内涵，从特 与点A重合时，点A的坐标也满足方程y= 殊到一般，结合已学过的知识、方法去解决问 题，有时可以联系其他相关的知识，如函数、 十a所以f)-a。因为对任意 的x∈R,x2十a>0恒成立，所以函数f(x) 数列、不等式、向量等相关的知识加以交汇， 契合“在知识交汇点处命题”的高考命题指导 的定义域为R。因为f(一x)=（一x)+a 精神。 十a=f(x),所以函数f(x)为偶函数， a" 一、新定义曲线 以创新的形式来定义一类曲线，其与解 故选项A正确。当点Q在第一象限时，xQ 析几何中学习过的曲线存在一定的差异与联 系，需在理解新定义曲线的基础上来研究其 xM,因为Ze=tang,所以xg=xM=atan0, 对应的性质与特征。 故选项B错误。当点Q不与点A重合时， 例1（多选题）箕舌线因意大利著名 yM=yp>0,因为|OP|=acos8,所以yM= 的女数学家玛丽亚·阿涅西的深人研究而闻 yp=|OP|cos0=acos8;当点Q与点A重 名于世。如图1所示，过 合时，点P也与点A重合，此时日=0，点P 原点的动直线交定圆x 的纵坐标也满足yp=acos日。所以点M的 十y2-ay=0(a>0)于点 纵坐标为yM=acos8,故选项C正确。因为 P,交直线y=a于点Q, a x2十a2≥a2,所以f(x)= 过P和Q分别作x轴和 图1 x2+a∈(0，a], y轴的平行线交于点M,则点M的轨迹叫作 故选项D错误 箕舌线。记箕舌线函数为∫(x),设∠AOQ 故选AC。 一日，则下列说法正确的是( ,点评：对于“新定义曲线”类的剑新形式问 A.f(x)是偶函数 题，理解“新曲线”的定义（方程）是关键，通过 B.点M的横坐标为cM一tan日 “新曲线”的定义（方程）结合图形，与学过的研 究解析几何中相关曲线的思路及方法进行合 C.点M的纵坐标为yM=acos日 理联想，利用曲线与方程思想即可解决问题。 D.f(x)的值域是(-c∞，1] 二、新定义关系 解析：连接AP,则AP⊥OP。圆x2+ y2一ay=0(a>0)的标准方程为x2十 以创新的形式来定义一种关系，巧妙将 (一受)广-子，则该圆的直径为4·由题盘 不同曲线之间的关系加以“串联”，并借助新 定义关系来分析与解决问题。 17 中学生款理化解超贺学瓢鼻海 例2(2025届四川省成都市高中毕 三、新定义交汇 业班第二次诊断性检测数学试题)对于一个 以创新的形式来定义解析几何与相关知 平面图形，如果存在一个圆能完全覆盖住这 识的交汇，并惜助交汇的定义加以联系与巩 个平面图形，则称这个图形被这个圆能够完 固，通过创新定义来深人探究与应用，实现交 全覆盖，其中我们把能覆盖平面图形的最小 汇知识的巧妙突破。 圆称为最小覆盖圆。则曲线x十y一x2y 例3(2025年山东青岛一模)在平面 一x2一y2=0的最小覆盖圆的半径为一。 内，若直线！将多边形分为两部分，多边形在 解析：依题意，由曲线x1十y一x2y2 直线（两侧的顶点到直线（的距离之和相 x2-y2=0,化简得x1+y-x2y2=x2+y2, 等，则称！为多边形的一条“等线”。已知O 故曲线关于x轴，y轴均对称，所以该曲线的 最小覆盖圆一定以坐标原点为圆心，设其方 为坐标原点双曲线E:号一广=1(a>0 程为x2十y2=r2,则对曲线x十y一xy2= b>0)的左焦点和右焦点分别为F1,F2,双曲 x2十y上的任意点(x,y),均满足x2十y2 线E的离心率为2，P为双曲线E右支上的 r2,所以r2≥(x2+y2)mx。而x2十y2=x1十 一个动点，直线m与双曲线E相切于点P, y-x2y2=(x2+y2)2-3x2y2≥(x2+y2)2 且与双曲线E的渐近线交于A,B两点，当 -(- 车(x+y2),当且仅当 PF2⊥x轴时，直线y=1为△PF1F2的等 线。 x2=y2时等号成立，解得x2十y2≤4。所以 (1)求双曲线E的方程； r≥(x2十y)ms=4,解得r≥2，即该曲线的 (2)若y=√2x是四边形AF1BF,的等 最小覆盖圆的半径为2。 线，求四边形AFBF2的面积。 故填2。 点评：对于高次方程x1十y一x2y2 解析：1)由题意知，P,名)F(一， x2一y=0所对应的曲线，通过主元法思想， 0),F2(c,0),显然点P在直线y=1的上方。 结合相关方程的求解，分别得到对应的函数 因为直线y=1为△PF1F,的等线，所 +x2+1+6x2-3.xJ 关系式y= 或 以2-1=2，结合e=二=2，c2=a+b,解 a 得a=1,b=5。 1+x2- /1+6x-3x y=士 ,可以借助 2 所以双曲线E的方程为x 31. 函，数思维，利用“几何画 (2)设P(xo,yo),切线m:y-y。=k(x 板”作出如图2所示的对 应曲线（图中的实线部 x),代人x2- 3=1整理得(3一k')x十 分)，其既是关于坐标原点 2k(kx0-yo)x-(k2x6+y8-2kxoy。十3)= 对称的中心对称图形，也 0,所以△=[2k(kx。-yo)]十4(3-k2)· 是关于x轴，y轴对称的 图2 (k2x十y号一2kxoy。十3)=0。该式可以看作 轴对称图形，还是关于直 关于k的一元二次方程(x8一1)k2一2x0yok 线y=士x对称的轴对称图形。利用平面图 形中“最小覆盖圆”的创新定义，借助高次方 十y8+3=0,所以k=y0 x8-1 程所对应的曲线的直观想象，通过数形结合 (1+)-1 分析可知其外层圆（图中的虚线部分）就是满 3,即直线m的方程为xx yoy=1。 足条件的最小覆盖圆。依托曲线所对应几何 3 图形的直观想象，更加清晰直观地确定对应 当直线m的斜率不存在时也成立。 的结论。 由(1)知渐近线的方程为y=士√3x, 18 然数学暂腰视器滑中学生表理化 垦于探索性情境， 探究圆锥曲线中的存在性问题 ■山东省济南市莱芜第一中学王克凤 高考中有关探索性情境及其应用问题， 试问：在x轴上是否存在定点M(异于坐标 一直是一个重要考点。而涉及圆锥曲线知识 原点O),使得当直线AB经过点M时，满足 的探索性情境及其应用问题，经常以探究元 OA⊥OB?若存在，求出点M的坐标；若不 素（点、参数等）的存在性等形式来巧妙设置 存在，请说明理由。 与创新应用，借助对应要素的存在性判断与 解析：(1)由题意知，过点D(2,1)且斜率 探究，全面考查同学们的“四基”与“四能”，设 为1的直线方程为y一1=x一2，即y=x 置场景变化多端，设计形式新颖。 1。当y=0时，得x=1,所以点F的坐标为 一、点的存在性 1.0),且2-1，则b=2. 例1(2025年山西太原模拟)已知抛 所以抛物线C的方程为y2=4x。 物线C:y2=2px(p>0),过点D(2,1)且斜 (2)由(1)得抛物线C:y2=4x,假设存在 率为1的直线经过抛物线C的焦点F。 定点M(m,0)符合题意。 (1)求抛物线C的方程。 设直线AB的方程为x=ty十m(t∈R, (2)若A,B是抛物线C上的两个动点， m≠0)，A(x1,y1),B(x2,y2),如图1所示。 不妨设A在B的上方，联立 Tor-yoy =1 所以|yA一yB|=6,所以S四边形ABf,= 3 ”解 y=±√3x, 号F·yx-=2lya-ya=12。 3 点评：借助新定义的创新形式，巧妙将函 得xa一5x一 3 ，xB ,故xA十xB √3xo十y 数、平面几何与解析几何中的相关知识加以 ③ √3 合理交汇，基于解析几何这一应用场景来综 =2x。,所以P是线 √3x0-yoV3xo+yo 合应用，实现问题的突破与解决。基于解析 段AB的中点。 几何场景下的新定义交汇，经常将函数、方 因为F1,F,到过点O的直线的距离相 程、不等式、三角函数、数列、平面向量、解三 等，所以过点O的等线必定满足：A,B到该 角形等相关知识融进解析几何中去，综合起 等线的距离相等，且分居两侧，所以该等线必 来全面考查基础知识与基本应用。 综上分析可知，涉及解析几何中的创新 过点P,即OP的方程为y=√2x。 类问题，是以创新定义的形式来实现概念、知 y=2x, x=3, 识与应用等方面的交汇与综合，契合“在知识 联立 x:-y2 解得 所以 31, y=√6， 交汇点处命题”的要求与命题趋势。解决这 类解析几何中的创新问题，要在深刻理解对 P(3,√6)。 应知识的基础上，发现并挖掘题目中蕴含的 3 所以yA=√3xA= =√6+3， 信息，灵活变换角度，转化为“熟悉”的问题去 3x0一yo 解决。 yn=一5x5十 3 =√6-3。 (责任编辑王福华) 19