定点问题巧分析，圆锥曲线妙应用-《中学生数理化》高考数学2025年12月刊

中学生表理化学创新降视 定点问题巧分析，圆锥曲线妙应用 ■陕西省商业学校 王莎莎 在解析几何应用场景中，有些含有参数 (2)若直线1与双曲线C交于不同的两 的动直线或动曲线，不论参数如何变化总是 点A,B,且直线PA,PB的斜率互为倒数， 经过某定点，探求这个定点的坐标，我们称这 证明：直线（过定点。 类问题为“定点问题”。定点问题是考查解析 解析：(1)由已知得e=￡=5。 几何模块知识的一个热点问题，此类问题往 往定中有动，动中有定，涉及一些比较常见的 又因为c2=a2十b2,所以b2=4a2。 直线过定点、圆过定点，以及探究定点的存在 由点P(8,)在C上，得是品-1，解 性等问题，成为高考数学试卷中的一道亮丽 风景线，备受各方关注。 得a2=5,则b2=20。 一、直线过定点问题 y 所以双曲线C的方程为5一20-1。 例1(2025年江西九江模拟)已知双 (2)当直线1的斜率不存在时，可设 =1(a>0,b>0)的离心率为 m2 n2 520 =1, A(m,n),B(m,一n),则 无解。 √5，点P(3,4)在C上。 4-n.4十0=1， (1)求双曲线C的方程； 3-m3-m 当直线（的斜率存在时，如图1所示，设 边形。又∠AFB=120°，则∠FAF'=60°. 所以a2<2(c2一a2),整理得双曲线E的离心 在△AFF'中，利用余弦定理有IFF'2= 率e=c、6 IAF2+IAFI2-2|AF1·「AF'1· a 2 cos∠FAF'=(|AF|+|AF'|)2-3|AF|· 故选D。 |AF|。所以(|AF|+|AF'|)2-|FF'2= ,点评：借助曲线类型挖掘几何性质解决 31AF·AF1≤3(AF+AF)广，可得 离心率的取值范围（或最值）问题时，关键在 于挖掘椭圆或双曲线自身的几何性质，这既 AF+AFI)产≤FF',即。≤，则 是不同曲线类型自身所具备的结构特征，也 是问题隐含的基本条件，要合理挖掘并加以 一后号所以新回的离心家长[合小。 正确应用。 总之，在解决圆锥曲线中的离心率的取 故选C。 值范围（或最值）及其综合问题时，需要同学 (2)如图2，设过点M(一 b,0)的直线l1: 们依托问题场景，剖析并理解题目条件，挖掘 y=k(x十b)(k>0)。联立 问题的内涵与实质，或对圆锥曲线中的已知 |y=k(x十b), 特征关系加以合理转化，或对平面几何关系 消去y整理得 a26=1, 加以合理挖掘，采用相应的技巧与方法，巧妙 构建对应的不等关系，通过逻辑推理与数学 (b2k2-a2)x2+2b3k2x+ 图2 运算来分析与应用，有效转化，巧妙应用，可 b2(bk2一a2)=0。依题意知 使离心率的取值范围（或最值）问题的求解更 △=4bk1一4b2(bk2-a2)2=0,所以k2= 简捷。 a 2b2。 由双曲线的对称性知0<k=名1， (责任编辑王福华) 14 然数学暂腰视器滑中学生表理化 其方程为y=kx十m,与双曲 二、圆过定点问题 线C的方程联立，消去y整理 例2(2025年湖北协作体联考)已知 得(4-k2)x2-2kmx-m 平面内一动圆过点P(2,0),且在y轴上截得 20=0。 弦长为4，动圆圆心的轨迹为曲线C。 由已知得k≠4，且△= (1)求曲线C的方程。 4k2m2+4(4-k2)(m2+20)= 图1 (2)若过点Q(4,0)的直线1与曲线C交 16(m2-5k2+20)>0。 于点M,N,试问：以线段MN为直径的圆是 设A(x1,y1),B(x2,y2),则x1十x2= 否过定点？若过定点，求出这个定点；若不过 4一k2x1x2=一 2km m2+20 定点，请说明理由。 4-k20 解析：(1)设动圆圆心为(x,y),依题意， 设直线PA,PB的斜率分别为k1,k2,则 √/x+2=√(x-2)+y,即y2=4x。 k1=y二4=西十m-4 x1-3 x1一3一，k2=y?4 x2一3= 所以曲线C的方程为y2=4x。 (2)依题意可知，直线1不 kx2+m一4 x2一3 垂直于y轴，如图2所示，设 由k1k2=1,可得(k.x1十m一4)(k.x2十m 直线l的方程为x=my十4， -4)=(x1-3)(x2一3)，即(k2-1)x1x2十 M(x1,y1),N(x2,y2),联立 (km一4k+3)(x1+x2)+m2一8m+7= x=my十4， 消去x整理得 图2 +(2) 2km y2=4x, +(km一4k+3) 4一k2 y2-4my-16=0,△=16m2+64>0恒成立， 十m2一8m十7=0，化简得(m十3k一4)(5m y1+y2=4m,y1y2=-16。 -9k-12)=0。 设以线段MN为直径的圆的圆心为 又已知l不过点P(3,4),故m+3k一4 E(xE,yE),则yE=2m,xE=2m2十4，即 ≠0，所以5m一9k-12=0,即m=9k十12 E(2m2+4,2n)。 5 5 由弦长公式得|MN|=Wm+1· 故直线1的方程为y=k(+）+号。 |y1-y:|=√m+1·√(y1+y2)-4y1y2 =4√（m+1)(m+4)。 所以直线1过定点（号，号） 所以圆E的方程为[x一(2m2十4)]2十 ,点评：解析几何中定点问题的解题策略 (y-2m)=4(m2+1)(m2+4),化简整理得 是：(1)设线法：用两个参数表示直线方程。 4xm2+4ym-(x2-8.x十y2)=0。 一般解题步骤为：①设直线方程为y=kx十 4x=0, x=0, m或x=ny十t,联立直线与圆锥曲线方程， 由4y=0, 解得 y=0。 得出根与系数的关系；②结合根与系数的关 -(x2-8x十y2)=0, 系和已知条件，得到k,m或n,t的关系，解 因此对任意m∈R,圆E恒过原点，所以 出m或t的值；③将②的结果代入y=kx十 以线段MN为直径的圆过定点(0，O)。 m或x=ny十t,得到定，点坐标。(2)解，点法： 点评：解答圆过定点问题的一般策略是： 用一个参数表示直线方程。解题的一般步骤 (1)利用特殊情况寻找特殊，点，实现圆过定点 是：①引进参数，根据已知条件，求出直线上 的判断与分析；(2)引入参变量建立关于曲线 的两个点A,B的坐标（含参数）；②从特殊位 的方程，再根据其对参变量恒成立，令其系数 置入手，找到定点P(有时可考虑对称性)； 等于零，从而得出定点。 ③证明A,B,P三点共线，从而直线AB过 三、探究定点问题 定，点P。 例3(2025年新疆喀什模拟)已知双 15 中学生款理化解超贺学自瓢鼻海 曲线E:x2一3y2=3的左、右焦点分别为F1、 假设存在定点A,满足koM十koN+kop十 F2,A是直线l:y=一 x(其中a是双曲线 k0=0,即2k1 2k2 4k十14k十1 =0,化简整理得 E的实半轴长，c是双曲线E的半焦距)上不 (1十k2)(4k1k2十1)=0，所以k1十k2=0或 同于原点O的一个动点，斜率为k:的直线 1 AF1与双曲线E交于M、N两点，斜率为k k1k2=一4° 的直线AF,与双曲线E交于P、Q两点。 对+ 1 =一3，所以k1十k2=0无解， 1 11 舍去，所以1k2=一 4。结合十 =一3， (2)若直线OM,ON,OP,OQ的斜率分 别为koM,koN,kop,ka,试问：是否存在定点 1 k1=1, k1= A,满足koM十koy十kop十koQ=0?若存在， 解得 一4’或 k2=1 ,、 4 求出定点A的坐标；若不存在，请说明理由。 解析：()由题意得双曲线E: y2= 若=-k=1,又Ak,-) 1,则a2=3,b2=1,所以c=√a+b=2。 0),由点A在直线AF上得-号：=一子 2, 所以F1(一2,0)，F,(2,0),直线1的方 +2,解得=号，此时A(停，-号)： 程为y= 3x。 3t0 若=1，k:=一子，由点A在直线AF 设A,-号)≠0).则= 上得一号：=4十2，解得4= 5,此时 6 t+2 2t 3(t+2) A(号) 2t 同理得k,=一 (t-2) 综上可知，存在定点A(侣，-)或 所以+ 1 3(t+2)_3(t-2) 2t 2t A(-号，)满足w十m十e十kw=0 6t 2t 一3 点评：此类探究定点问题的解题策略是： (2)设M(x1,y1),N(x2,y2),P(x3, 先假设存在，再推证满足条件的结论，若结论 y3),Q(x1,y1)。 正确，则存在；若结论不正确，则不存在。同 直线AF1的方程为y=k1(x十2)，代入 时还要注意以下几点：(1)当条件和结论不唯 双曲线E的方程得(1一3k)x2一12kx 一时，要分类讨论；(2)当给出结论而要推导 1 出存在的条件时，先假设成立，再推出条件； 12k:-3=0,所以△=12k好+12>0，k1≠3 (3)当要讨论的量能够确定时，可先确定，再 12k -12k-3 证明结论符合题意。 x1十x2= 1-3kx1x2= 1-3k? 在实际确定或探究圆锥曲线中的定点问 故kw十koN=兰十业=yxg十y远 题时，根据问题场景与设置方式，采用合适的 TIT2 技巧方法，借助儿何与代数的联系，通过“数” k1(x1+2)x2十k1(x2十2)x1 与“形”的结合，“动”与“静”的转化，来分析与 TIT2 2k1x1x2十2k1(x1十x2) 2k1 探究相应的问题，同时注意相关的数学思想 xIx2 4k?十1 方法的灵活运用，从而提高同学们的数学解 题能力与应用能力，实现知识与能力的和谐 同理得kop十kcQ= 统一。 (责任编辑王福华) 16