5 巧构坐标系，妙解向量题-《中学生数理化》高考数学2025年10月刊

中学生表理化学创新降视 巧构坐标系，妙解向量题 ■山东省淄博实验中学 宋玉霞 亓德明 孙娟娟 代数思维中的坐标法及其应用，以“数” 点，OA的方向为x轴正方向建立平面直角 的基本属性，成为解决平面向量及其综合问 坐标系，如图1所示，则OA 题时的一种常用思维方式与技巧策略，也是 解决平面向量中的重点与难点问题的一大 =10.=(g) “法宝”。解题的关键在于巧妙构建坐标系，将 不妨设OC与x轴的夹 平面几何问题转化为平面解析几何问题，进而 角为0，则OC=(cos0, 巧妙利用坐标法，从“数”的视角来研究与解决 图1 sin9)(0≤g≤ξ）. 平面向量中“形”的问题，通过数量化转化为数 学运算处理，有效地将逻辑推理应用问题变为 数学运算问题，是解决一些复杂、综合与创新 又0文=ai+o成-(x+2号)，则 1 的平面向量问题的一种重要技巧方法。 cos 0=x+2y, x=cos g13 3 sin 0, 一、模或夹角问题 解得 例1若平面向量a,b,c满足|a| sin 0= 5 2y, J= 2 3sin0。 1,b·c=0,a·b=1,a·c=一1，则|b+c 的最小值为一。 令函数f(x)=3x十y=3cos9- 3 解析：在平面直角坐标系内，不失一般 sin0,易知f(x)在0∈ 性，令a=(1,0),设b=(x1,y1),c=(x2, [,】上单调递减， y2)。由a·b=1,得x1=1:由a·c=-1, 所以当8=0时，3x十y取得最大值，最大值 得x2=-1;由b·c=0,得x1x2十y1y2=0, 为3：当0=三时，3x十y取得最小值，最小 即y1y2=1。所以b+c=(x1+x2,y1十y2) 值为1。所以3x十y的取值范围是[1,3]。 =(0,y1十y2),则|b+c|=√(y1十y)产 故填[1,3。 Wy+y+2y1y2≥√2y1y2+2y1y2=2,当 点评：借助坐标系的构建，将扇形问题融入 且仅当y1=y2=1或y1=y2=一1时，等号 坐标系中去，利用点的坐标的确定，并结合动点 成立，所以|b十c的最小值为2。 的坐标设置，通过平面向量的坐标运算加以转 故填2。 化，进而构建与参数代数式相关的函数解析式， 点评：利用平面直角坐标系的构建，可以 利用三角函数的图像与性质来确定代数式的取 将一些平面向量之间的关系以坐标的形式来 值范围，最终实现问题的突破与求解。 展示，如数量积为0表示两向量垂直等，化几 三、数量积问题 何特征为代数属性，进而利用解析几何思维， 例3已知单位圆上有三个动点A, 通过，点的坐标、相关曲线的方程等方式来转 B,C,则AB·AC的最小值为 化，借助数学运算来分析与解决对应的平面 解析：如图2所示，构 向量的模或夹角问题。 建平面直角坐标系，其中弦 二、参数确定问题 BC的垂直平分线为y轴， 例2在扇形OAB中，∠AOB=,C 不失一般性，设A(a,b), 为AB上一动点，若O心=xOA十yO店，则 B(m,n),C(-m,n)。依 题意，利用单位圆的性质可 3x+y的取值范围是。 图2 知a2+b2=1,m2+n2=1。 解析：设OA=OB=1,以O为坐标原 14 解数学摄州酒酒中学生教理化 所以AB·AC=(m-a,n-b)·(-m-a, 设P(x,y),则x=入一，y=。 n-b)=a2-m2+n2-2bn+b2=2n2-2bn= 当入=4=1时，A下=(0,1)，此时点P 2(n-2b)°-26，则当n=2b时，A店 与点D重合，满足入十=2，但点P不是BC 的中点，故选项A错误； A心=2(。b)-名6取得最小值为 当入十=1时，B,E,P三点共线，由图 可知，BE与AD,AB各有一个交点P,即满 一6。又6∈[-1,1小，所以当且仅当6 足入十=1的点P有两个，故选项B正确； 当入十=3时，x=入一4=3一2，y= 士1时，一之6取得最小值为一之，此时n ,所以点P在直线x=3一2y上，而直线与 土？，满足要求。 x=0x=1的交点为0,2)，1.10，与直线 故填一号 y=0,y=1的交点为(3,0)，(1,1)，又点P 在正方形的边上运动，所以只有点(1,1)满足 ,点评：基于坐标系的合理构建，引入点的 要求，即满足入十“=3的点P有且只有一 坐标，将平面向量的数量积进行坐标表示，转 个，故选项C正确； 化为与参数相关的表达式，进而借助函数与 方程思维来处理与平面向量的数量积相关的 当入十u= 2时，同选项C的解析，可得 求值、最值、范围问题，从而实现问题的巧妙 点P在直线x=之 3 一2y上，可得与正方形四 转化与创新应用。 四、关系判断问题 条边所在直线的交点分别为(0，是)(1，)， 例4（多选题）如图 (侵，0小(-21，所以点(0，)(1，)符 3所示，在正方形ABCD 中，延长边CD至点E,使 合要求，即满足入十以=2的点P有两个，故 3 得DE=CD。若动点P 图3 选项D错误。 从点A出发，并沿正方形 故选BC。 ABCD的边按逆时针方向运动一周后回到点 ,点评：解决此类关系判断问题，由于关系 A,若有AP=λAB十AE,则下列选项中判 类型比较多，单独处理起来比较繁杂。而借 断正确的是( )。 助坐标系的构建，将平面向量统一到坐标系 A.满足入十=2的点P必为BC的中点 中去，通过点的坐标、向量的坐标及相关知识 B.满足入十u=1的点P有两个 的综合应用，进而加以合理分类讨论，从而实 C.满足入十=3的点P有且只有一个 现关系判断问题的解决。 D.满足入十= 的点P有且只有一个 3 总之，借助坐标系的巧妙构建，将平面向 解析：根据题设条件，设正方形ABCD 量问题放置于平面直角坐标系中去，结合对 的边长为1，如图4所 应点的坐标、平面向量的坐标等的代数化处 示，以A为坐标原点， 理，巧妙利用坐标法，由“形”转“数”，利用坐 AB所在直线为x轴建 标法的代数思维来解决平面向量中的“数”或 立平面直角坐标系，则 “形”的综合问题，避免变幻莫测的直观图形 B(1,0),E(-1,1), 图4 和繁杂的逻辑推理等，实现平面几何问题的 A(0,0),AB=(1,0), 代数化，利用代数思维与数学运算来分析与 AE=(-1,1),所以AP=λAB+4A它= 解决问题，目标性强，思维单一，技巧易懂，方 (入一，μ）。 法灵活，值得借鉴与推广。 (责任编辑王福华) 15