依托离心率，定取值范围-《中学生数理化》高考数学2025年12月刊

中学生款理化解数学创颜鼻酒 依托离心率， ■江苏省曲塘高 离心率是反映圆锥曲线的形状特征的一 个重要几何量，是圆锥曲线统一定义的一个 桥梁与纽带，也是圆锥曲线的几何性质中的 一个重要参数。而涉及圆锥曲线中椭圆（或 双曲线)的离心率的取值范围（或最值）及其 综合问题，一直是圆锥曲线模块考查的一个 热点问题。此类问题形式多变，综合性强，难 度较大，经常让同学们感到异常困惑，力不从 心，甚至产生一定的恐惧心理，导致严重失 分。本文结合实例来总结与归纳破解离心率 的取值范围（或最值）问题的一些常见的解题 技巧，希望能帮助同学们突破学习难点和瓶 颈。 一、借助几何图形确定不等关系 根据平面图形的关系，如利用三角形两 边之和大于第三边、折线段大于直线段、对称 性质中的最值等得到不等关系，然后将这些 量结合曲线的几何性质用a,b,c进行表示， 进而得到不等式，从而破解离心率的取值范 围（或最值）问题。 份11)尼知椭圆c:若+若-】 (a>b>0)与圆C2:x2十y2=b2,若在椭圆C 上存在点P,使得过点P所作的圆C,的两 条切线互相垂直，则椭圆C1的离心率的取值 范围是( )。 A合 B.2 2,2 [竖 c. D. [ y 2)已知E,F,是双曲线万三7 (α>0，b>0)的左焦点和右焦点，P是双曲线 上在第一象限内的一点，且2sin∠PF1F2= sin∠PF,F1,则该双曲线的离心率的取值范 围是 12 定取值范围 M 及中学 万海兵 解析：(1)利用曲线的几何图形与几何性 质可知，在椭圆C1的长轴端点P'处向圆C 引两条切线P'A,P'B,若椭圆C1上存在点 P,使过点P的两条切线互相垂直，则只需 ∠AP'B≤90。设a=∠AP'O= 2∠AP'B ≤45°，则sina= 会≤n45-号，得a< ,所以e之2。又因为0<e<1,所以 ≤<1.e竖小 2 故选C。 (2)在△PF1F2中，2sin∠PF1F2= PF sin∠PF,F1,由正弦定理sin∠PF,F nPPF得PF=2PE:又因为 P是双曲线上在第一象限内的一点，所以 |PF|-|PF2|=2a,所以|PF1|=4a, |PF,|=2a。在△PF1F2中，利用三角形的 几何性质可知|PF1|十|PF2|>|F1F,,得 4a十2a>2c,即3a>c,所以双曲线的离心率 e=<3。又e>1,所以1<e<3。 a 故填(1,3)。 ,点评：借助几何图形确定不等关系解决 离心率的取值范围（或最值）问题时，关键在 于抓住题中的条件，联系解析几何与平面几 何之间的关系，构建与之对应的平面几何图 形，联想对应几何图形的几何性质，由此来构 建对应的不等关系。 二、借助题目条件给出不等信息 根据试题本身给出的不等条件，如已知 某些量、代数式或关系式的取值范围（或最 值)，存在点或直线使方程成立，构建相应的 不等式，进一步得到离心率的不等关系式，从 而求解相应问题。 例2(1)已知平行四边形ABCD内 接于椭圆0：二+ =1(a>b>0),且AB, a 6 AD的斜率之积的范围为（一子，一号），则椭 圆2的离心率的取值范围是( )。 A(经) 停) c() D.(3) (2)已知F1,F2分别是双曲线C:x2 若=1(6>0)的左焦点和有纸点.0为坐标原 点，点P在双曲线C的右支上，且|FF,= 2|OP|,tan∠PF2F1≥4，则双曲线C的离 心率的取值范围是( )。 A.1,g B[g+) c.[) D.(1. 解析：(1)由题意知，D,B关于原点对 称，设D(xo,y),B(-x,一yo),A(x,y), x-To x十x0 x2-x8 6(1-)-0-) x一x 子-1（子-）放∈（保，）所以 ee(经) 故选A。 (2)由|F1F2|=2|OP|,得F1P⊥F2P。 记|PF11=x,1PF2|=y,则x2+y2=(2c) =4c2。又x-y=2a,所以2xy=4c2-4a2, 所以(x十y)2=x2+y2+2xy=4c2十4c2 4a2=8c2-4a2,则x+y=2√2c2-a7。故 x=√2c-a'+a,y=√2c-a'-a。又 tan∠PF,F1=名≥4，即x≥4y,则 y V2c-a+a≥4(2c-a-a),解得二≤ 氯学断题靓器骨中学生教理化 ,所以双曲线C的离心率e=二≤☑ 17 3 又因为e>1,所以1<e≤7 30 故选D。 点评：借助题目条件给出不等信息解决 离心率的取值范围（或最值）问题时，关键在 于充分利用题目条件中的不等信息来合理构 建对应的不等式（组），即依托不等信息的条 件，将相关的知识，点与思想方法渗透其中，形 成合理的知识交汇与能力融合。 三、借助曲线类型挖掘几何性质 在求离心率的取值范围（或最值）时，常 用到椭圆或双曲线自身的几何性质，如在椭 圆x二y1(a≥b之O)中，有一xa·若 P是椭圆上任意一点，则a一c|PF1|≤ a十c。 61 例3)已知F是椭圆+ (a>b>0)的一个焦点，若直线y=kx与椭 圆交于A,B两点，且∠AFB=120°，则椭圆 的离心率的取值范围是()。 A.) B6号 c D.(o. (e已知双曲线E兰- =1(a>0, b>0),过点M(一b,0)的两条直线l1,l2分 别与双曲线E的上支和下支相切于点A,B。 若△MAB为锐角三角形，则双曲线E的离 心率的取值范围是( )。 A(.号) c(5,+) 解析：(1)如图1，设 F为椭圆的左焦点，F 为椭圆的右焦点，连接 AF,BF,AF',BF'。由 椭圆及直线的对称性知， 四边形AFBF'为平行四 图1 13 中学生表理化学创新降视 定点问题巧分析，圆锥曲线妙位用 ■陕西省商业学校 王莎莎 在解析几何应用场景中，有些含有参数 (2)若直线1与双曲线C交于不同的两 的动直线或动曲线，不论参数如何变化总是 点A,B,且直线PA,PB的斜率互为倒数， 经过某定点，探求这个定点的坐标，我们称这 证明：直线l过定点。 类问题为“定点问题”。定点问题是考查解析 解析：(1)由已知得e=￡=5。 几何模块知识的一个热点问题，此类问题往 往定中有动，动中有定，涉及一些比较常见的 又因为c2=a2十b2,所以b2=4a2。 直线过定点、圆过定点，以及探究定点的存在 由点P(8,4在C上，得是识-1，解 性等问题，成为高考数学试卷中的一道亮丽 风景线，备受各方关注。 得a2=5,则b2=20。 一、直线过定点问题 所以双曲线C的方程为5一0一1。 例1(2025年江西九江模拟)已知双 (2)当直线！的斜率不存在时，可设 =1(a>0,b>0)的离心率为 m n 520 =1, A(m,n),B(m,一n),则 无解。 √5，点P(3,4)在C上。 4-n.4十0=1， (1)求双曲线C的方程； 3-m3-m 当直线（的斜率存在时，如图1所示，设 边形。又∠AFB=120°，则∠FAF'=60°。 所以a2<2(c2一a),整理得双曲线E的离心 在△AFF'中，利用余弦定理有|FF'|2 率e=、6 IAF2+IAF12-2|AF1·「AF'1· a2。 cos∠FAF'=(|AF|+|AF'|)2-3|AF|· 故选D。 |AF|。所以(|AF|+|AF'|)2-|FF'I2= ,点评：借助曲线类型挖掘几何性质解决 31AF·AF1≤3(AF+AF)广，可得 离心率的取值范围（或最值）问题时，关键在 于挖掘椭圆或双曲线自身的几何性质，这既 子(AF+AFI)产≤FF',即。≤，则 是不同曲线类型自身所具备的结构特征，也 是问题隐含的基本条件，要合理挖掘并加以 一后所以新回的离心家长[合)。 正确应用。 总之，在解决圆锥曲线中的离心率的取 故选C。 值范围（或最值）及其综合问题时，需要同学 (2)如图2，设过点M(一 b,0)的直线l1: 们依托问题场景，剖析并理解题目条件，挖掘 y=k(x十b)(k>0)。联立 问题的内涵与实质，或对圆锥曲线中的已知 |y=k(x十b), 特征关系加以合理转化，或对平面几何关系 y2x2, 消去y整理得 a26=1, 加以合理挖掘，采用相应的技巧与方法，巧妙 构建对应的不等关系，通过逻辑推理与数学 (b2k2-a2)x2+2b3k2x+ 图2 运算来分析与应用，有效转化，巧妙应用，可 b2(bk2一a2)=0。依题意知 使离心率的取值范围（或最值）问题的求解更 △=4bk1一4b2(bk2一a2)2=0,所以k2= 简捷。 a 262。 由双曲线的对称性知0<k:= 26<1, (责任编辑王福华) 14