圆锥曲线中探究性问题的考向分析-《中学生数理化》高考数学2025年12月刊

数学型学考额指月中学生款理化 圆锥曲线中探究性问题的专向分折 ■河南省许昌高级中学 张文龙 近年来，在圆锥曲线考查的题型中经常 (2)假设满足条件的直线1存在。 会出现探究性问题。探究性问题是指命题中 由E(0,一2)，F(√2,0)，得k=√2。 缺少一定条件或无明确结论，需要经过猜则、 因为F为△EAB的垂心，所以AB⊥ 归纳并加以证明的题型。在圆锥曲线的考题 EF,所以kA= √2 中常见的有探究位置关系，也有探究点、直线 2。 是否存在，还有探究是否存在常数值、定值 等。这类题型在考查圆锥曲线基础知识和几 设直线1的方程为y=一竖十，代入 何性质的同时，能很好地考查同学们的运算 =1,得7x2-6√2tx十6(t2-4)=0, 4 求解、推理论证等数学能力。探究性问题的 6 解题策略通常采用“肯定顺推法”，将不确定性 所以△=(-6√2t)2一4×7×6(t2一4)= 问题明朗化。先假设存在，推证满足条件的结 -96t2+672>0,解得-√7<t<√7。 论，若结论正确，则存在；若结论不正确，则不 设A(x1,y1),B(x2,y2),则x1十x2= 存在。同时，反证法与验证法也是求解探究性 6 问题的常用方法。本文选取一些联考题，通过 7t,1x2= 6(t2-4) 7 对考向的清晰梳理和典型例题的剖析，为同学 由AF⊥BE得yL ·y+2 x1-√2 一1， 们提供明确的备考策略，从而提升备考效率。 考向一、探究是否存在直线的问题 所以y1y2十2y1十x1x2一√2x2=0,将y1= 例1(2024年山 十y:=-号十1代入得3x, √2 √2 西大同高二统考期末)如 √2(t十2)(x1十x2)+(2t2+4t)=0,所以3× 图1已知随圆C:。子+之 6(t2-4) -2(t+2)×62 +(2t2十4t)= =1(a>b≥0)的离心率 7 7 为 图1 E,F分别为下顶点 0,化简整理得5t2十t18=0,解得t三号 和右焦点，坐标原点为O,且△EOF的面积为 (t=一2舍去)，满足△>0。 √2。 (1)求椭圆C的方程。 所以直线1的方程为y=一号十号 评注：探究是否存在直线的问题，可先假 (2)试问：是否存在直线1，使得直线1与 设直线存在，设出直线方程，与圆锥曲线方程 椭圆C交于A,B两点，且F恰为△EAB的 联立，利用韦达定理，结合已知条件建立关于 垂心？若存在，求出直线！的方程；若不存 在，请说明理由。 参数的关系式，进而问题得到求解。 考向二、探究是否存在点的问题 a 3, 例2(2024年湖 解析：(1)由题意知 c=12, 1 解得 北月考)如图2，已知椭 圆E的焦点F1,F2在x a2=b2+c2, 轴上，焦距为4，点P(2, a=√6， √2)在椭圆E上，过点 图2 b=2, 所以精圆C的方程为若+ F4=1。 N(一√6,0)的直线交椭 c=√2， 9 中学生款理化贺数学科等幸朝 圆E于A,B两点。 C:5-义=1(a>0,b>0)的左顶点和右顶 (1)求椭圆E的方程。 (2)若直线AB与坐标轴不垂直，试问： 点分别为A(一1,0)，B(1,0),动直线l过点 在x轴上是否存在点M,使得kAM十kM=O M(2,0),当直线l与双曲线C有且仅有一个 成立？若存在，求出点M的坐标；若不存在， 公共点时，点B到直线1的距离为 2 请说明理由。 (1)求双曲线C的方程； 解析：)设椭圆E的方程为？十 -1 (2)如图3，当直线1 4 2 与双曲线C交于异于A,B (a>b>0),由题意知c=2,a+示=1， 的两点P,Q时，记直线 a2一b2=4,解得a2=8,b2=4,故椭圆E的方 AP的斜率为k1,直线BQ +-1 程为 的斜率为k2。试问：是否 存在实数入，使得k2=入k 图3 (2)假设存在点M(m,0)满足条件。 成立？若存在，求出入的值；若不存在，请说 设直线AB的方程为y=k(x十√6) 明理由。 (k≠0)，A(x1,y1),B(x2,y2),联立 解析：(1)由题意知a-1,则x2一 y=k(x+√6)， 6=1。 消去y整理得(1十2k2)x2+ 当直线l过(2,0)且与双曲线C有且仅 有一个公共点时，l与C的渐近线平行。 4√6k2x十12k2一8=0，所以x1+x2= 设直线l:y=士b(x-2),则点B(1,0) 4√6k2 1+2k,4=16k2+32> 12k2-8 1十2k2,x1x2= 到线1的距离为6一-号，解得6=1 √1+b7 0。 故双曲线C的方程为x2一y2=1。 (2)由题意知，直线（的斜率不为0，设直 由kw十kw=1一m x2-m 线l:x=my十2，P(x1,y1),Q(x2,y2),联立 y1(xg-m)十y,(1m=0,可知y1(x,- x2-y2=1, (x1一n)(x2-m) 消去x整理得(m2一1)y2+ x=my十2， m)+y2(x1-m)=k(x1+√6)(x2-m)+ 4my十3=0(m2-1≠0)，则△=4m2+12> k(x2十√6)(x1一m)=0,整理得2x1x2十（√6 -4m m-1'y1y2= 3 0,y1+y2= -m)(x1+x)-2V6m=0,即2×12k-8 m一1，所以 1+2k myiy,=- 4(y1十y)。 +(√6-m)× 4√6k 2√6m=0,化简 1+2k 因为1=：=”所以A= 得-16-26m-0,解得m=-4y6 y2 1+2k 3。 k :-1 y,(x1+1)=y(my1+3) 因此存在点M(一45o)满足题意。 y1(x2-1)y1(my2+1) x1+1 评注：探究是否存在，点的问题，可以依据 3 myiy:+3y: 4y1+y)+3y2 条件，直接探究其结果。对于存在定点的问 myiy:+y 、 题，也可以通过举特例，先得到定，点坐标，然 4(y1+y)+y 后再证明其满足一般性。 3 9 4y+4y 考向三、探究是否存在常数的问题 3 3 例3(2024年阜阳模拟)已知双曲线 4y1-4y2 10 程氯学学意费新楼肉中学生凝理化 故存在实数入=一3，使得k2=入k1成立。 所以3m2=a(a2-r2) 3a 评注：对于圆锥曲线中探究参数值的问 a'+b2 (a2+b2)=3· 题，可采用“设而不求”的方法，结合韦达定 1 a 4· (a2+b),解得a=4,则b2=1,r2= 理，建立关系式。其中，优化运算、合理选择 运算路径，是解题过程中的重，点和难，点。 5 考向四、探究其他存在性的问题 例4(2024年江西模拟)已知椭圆 所以椭圆C的方程为 4+y2=1; C:y a十=1(a>b>0)的一个焦点与抛物 圆A的方程为(x-2)2+y2=8 5 (2)设M(x1,y1),N(x2,y2),直线l的 线E:x= 多y的焦点相同，A为椭圆C的 方程为y=kx十m,代入椭圆方程消去y整 右顶点。如图4，以 理得(1+4k2)x2十8km.x+4m2-4=0,所以 A为圆心的圆与直线 8km 4m2-4 x1十x2= 1十4k2,x1x2= 1十462，且4= y=名交于PQ两 16(1+4k2-m2)>0。 点，且AP·AQ=0, 因为1，k,k2恰好构成等比数列，所以 0p=30. 图4 k =kk2= (kx+m)(kx:+m) (1)分别求椭圆C和圆A的方程。 TIT2 (2)不过原点的直线1与椭圆C交于M、 k2x1x2+km(x1十x2)十m2 =k TI72 N两点，已知直线OM,l,ON的斜率k1,k, km(x1十x2)十m k2成等比数列，记以OM、ON为直径的圆的 ,所以km(x1十x2)十m2= TIT2 面积分别为S:、S,,试探究S,十S,的值是否为 定值。若是，求出此值；若不是，请说明理由。 (0)十-0，得一士号 km 2 所以x1十x2=±2m,x1x2=2m2一2。 解析：(1)由抛物线E:x= 12y2,即 所以|OM|2+|ON|2=x+y+x+y y2=43x,得焦点为（√3,0），则a2-b2=3。 是[(x+x:)°-2xx]+2=5 设A(a,0),圆A的半径为r,则圆A的 方程为(x一a)十y2=r2,将y= ax代人圆 所以S=S1十S2=π OM A的方程得(1+)x-2ax十a--0 由OP=3O反，可设Q(m,n),P(3m, 故S1十S,的值是定值，且定值为 49 3n),则m十3m=4m= 2a3 a2+b2,3m2= 评注：本题是探究定值是否存在的问题， 解题时结合条件，运用等比数列及圆的性质， a2(a2-r2) a2+b2 考查同学们的数学运算及变形能力。韦达定 因为A户·A反=0，所以A产⊥A反，可得 理的灵活运用仍是解题的关键。 总之，圆锥曲线中的探究性问题的考 A到直线y=名x的距离为子PQ= 2, 向，常以直线与曲线的关系为载体，融合函 2r,即r2=2a'b 数、方程等知识，突出数形结合与逻辑推理， 所以ab √a2+b2 a2+b,则a2 注重考查同学们综合运用知识的能力及创 r'=a2(a2-b2)3a2 新思维。 a2+b2 a2十b20 (责任编辑 王福华) 11