析几何之变 探最值之本-《中学生数理化》高考数学2025年12月刊

数学型学考额指月中学生款理化 析几何之变 探最值之本 基于核心素养的圆锥曲线中的最值或取值范围问题的求解策略 M ● ■河南省许昌高级中学 朝博文 圆维曲线中的最值或取值范围问题是高 考数学试卷的核心与难点之一，每年考查的 Q=4,b=3,故椭圆C的方程为 形式主要以椭圆、双曲线、抛物线为背景，通 (2)因为P,Q不同于A,B,当直线1垂 过合理创设综合性问题，结合圆锥曲线的定 直于y轴时，k1与k2异号，不满足题意，所以 义、标准方程与几何性质，融合函数与方程思 直线l不与y轴垂直。 想、数形结合思想，综合运用代数运算、不等 设直线l的方程为x=ty十n(n≠士2)， 式放缩、参数转化等方法，解决与距离、面积、 2 斜率、参数等相关的最值或取值范围问题，成 P(x1,y1),Q(x2,y2),联立 +=1·消 为高考解析几何压轴题命题的重要方向与典 x=ty十n, 型方式，具有较强的综合性与区分度。解决 去x整理得(3t2+4)y2十6nty十3(n2一4) 此类问题的根本在于深刻理解圆锥曲线的几 0,则y1+y2=一 6nt 3(n2-4) t+4'y1y2= 3t2+4, 何特征与代数表达，解题的关键重在“转 △=(6nt)2-4(3t+4)×3(n2一4)>0，化简 化”一几何条件代数化、目标函数化、参数 范围化，通过对复杂关系的结构分析与等价 得3t2-n2+4>0。 变形，实现问题的“统一”一统一变量、统一 又因为A(一2,0)，B(2,0),所以1= 形式、统一目标，从而运用函数、不等式等工 31 具求解问题。 x1-2 一、圆锥曲线中距离类的最值问题 由P1)在精圆C上，得牙+苦 3 例1己知椭圆C:a大。。 =1(a> 1,即=是(4-x). b>0)的离心率为2，且经过点5，）。 因此km=十22 (1)求椭圆C的方 3 程； (4-x) 3 (2)如图1，已知 x1-4 40 A,B分别为椭圆C的 因为k2=2k1,所以k2kB=一 3 左顶点和右顶点，M为 2 椭圆C的上顶点，直线 图1 yIy2 l交椭圆C于P,Q(不 x2-2x1-2-(ty2+n-2)(ty1+n-2)= 同于A,B)两点，记直线AP,BQ的斜率分 yiy? t2y1y2+t(n-2)(y:+y2)+(n-2) 别为k1,k2,若k2=2k1,求点M到直线L的 距离的最大值。 3(n2-4) 3t+4 + =1, 3(n2-4)t26n(n-2)t 46 解析：(1)由题意得 解得 3t2+4 3t2+4 +(n-2)9 b21 n-2分，解得n=号，此时3一n十4 3(n+2) 2 1-a=2' 3 中学生表理化驾极学”袋幸新西自 3t2 +号>0，对任意实数恒成立，直线1的 设A(x1,kx1十m),B(x2,kx2十m),联 [y=kx+m, 2 立 消去y整理得(k2+4)x2+ 方程为x=ty十，所以直线1恒过定点 4x2+y2=4, 2km N(层) 2km.x十m2一4=0，则x1十x2= k2+41 又M(0,√3)，则当MN⊥l时，点M到 22+4A=4km24(62+4)(n2 直线L的距离最大，即点M到直线L的距离 4)>0,化简得k2-m2十4>0。 的最大值为|MN|= (5)2+ 由A反=3QB,即(-x1,-kx1)=3(x2, kx2),得-x1=3x2,即x1=一3x2。 √3I 所以3(x1十x2)2+4x1x2=0,所以 3 12k2m2 评注：本题求解，点M到直线L的距离的 22十)十4Cm二420，即2m+m”马 k2+4 最大值，核心在于通过斜率关系推导出直线 k2一4=0。 恒过定，点，将动态距离的最值问题转化为定 当m2=1时，k2m2+m2一k2-4=0不 点到定直线的距离问题。充分体现的核心素 养有：数学运算—联立方程、运用韦达定 成立，所以=4一m 7m2-1 代人k2一m2+4>0, 理；逻辑推理一通过斜率乘积恒等式发现 得4m 定点；直观想象—识别出当MN⊥L时距 m2-1 一m十4=m4m)>0,解得 m2-1 离最大，依托几何直观简化问题。这种“先定 1<m2<4。 位定点，再求最值”的策略，是处理动直线距 所以m2的取值范围是(1,4)。 离最值问题的经典方法。 评注：圆锥曲线中参数类的取值范围问 二、圆锥曲线中参数类的取值范围问题 题的五种求解策略：(1)利用圆锥曲线的几何 例2如图2，已知点 性质或判别式构造不等关系，从而确定参数 P在圆O:x十y2=4上，作 的取值范围；(2)利用已知参数的范围，求新 PD垂直于y轴，垂足为D, 参数的范围，解这类问题的核心是建立两个 M为PD的中点。 参数之间的等量关系；(3)利用隐含的不等关 (1)求动点M的轨迹E 系建立不等式，从而求出参数的取值范围； 的方程； 图2 (4)利用已知的不等关系建立不等式，从而求 (2)设直线l:y=kx十m与y轴交于点 出参数的取值范围；(5)利用求函数值域的方 Q,与轨迹E交于A、B两点，且AQ=3QB, 法将待求量表示为其他变量的函数，求其值 求m2的取值范围。 域，从而确定参数的取值范围。 解析：(1)由题意可设点P(x。,y。), 三、圆锥曲线中距离类的取值范围问题 M(x,y),则D(0,yo)。 例3如图3，已知椭圆E:二+ 69 因为M为线段PD的中点，所以 1(a>b>0)的右焦点为 2'即x6=2x F(1,0),长轴长为2√2。 y=y0, 1yo=y。 过F作斜率为k:的直线 因为点P在圆O:x2十y2=4上，所以 交椭圆E于A,B两点， x6+y=4,即(2x)2+y2=4。 过F作斜率为k,的直线 图3 交椭圆E于C,D两点， 放点M的轨迹E的方程为x十￥一 设AB,CD的中点分别为M,N。 (2)由题意可得Q(0,m)。 (1)求椭圆E的方程； 程氯学学意费新楼肉中学生凝理化 (2)若k1k2=一1，设点F到直线MN的 又k≠1，所以4k+>2√4k· 4 距离为d,求d的取值范围。 解析：(1)由题意知2a=2√2，则a=√2。 8,所以0<4<分 又焦点为F(1,0),所以c=1,则b2=a2 c-1。所以椭圆E的方程为三+y=1. 综上可得0<d≤号 (2)设A(x1,y1),B(x2,y2),直线AB 法二：直线MN的方程为3k1x十(2k1一 的方程为y=k(x一1)，联立 2)y-2k1=0。 /y=k1(x-1), 令y=0,得x=子，则直线MN恒过定 消去y整理得(1十2k)x2一 2+y2=1, 点（导o) 4k1 4kx十2k-2=0,则x1+x,=1十2k 所以点F(1,0)到直线MN的距离d的 又因为M为AB的中点，所以xM= 最大值为子，此时直线MN的斜率不存在。 x1十x2=2k1 一k1 1十2kyM=k1xM-1)=1+2k0 又因为直线MN的斜率一定不为O,所 2 1 因为kk:=一1，所以k,=一 1 以0<d≤3° 评注：本题在求点F到直线MN的距离 义N为CD的中点，不妨用一代换 d的取值范围时体现了多元思路：法一（函数 2 法)是将d表示为k1的函数，利用不等式求 k1,可得xv=2千yN一2十k 取值范围，凸显数学运算与不等式应用的能 讨论：①若xM=xN,则直线MN的斜率 力；法二（几何法）是通过证明直线MN恒过 2k 2 不存在，此时xw=1十2次=xN=2十k,解 定点（导0小，从而发现d的最大值即为点F 得k1=±1。 到该定，点的距离，展现了直观想象与逻辑推 当k=1时，M(号，-号)N(径，号) 理的巧妙结合。两种方法相辅相成，体现了 “解析几何”中代数与几何的双重属性。 此时MN的方程为x号，所以点F1,0)到 纵观全文，圆锥曲线中的最值或取值范 1 围问题的求解过程，是一场对数学核心素养 直线MN的距离d=3· 的综合检验。从问题的数学抽象（识别曲线 同理，当k1=一1时，d= 的定义与几何特征)，到逻辑推理（推导点、线 3 关系与不等条件)，再到数学建模（构建目标 ②当k1≠士1时，xM≠xN,此时kN= 函数或方程)，每一步都离不开数学运算的精 yM二yN=3k, xM-x2-2次，所以直线MN的方程为 准支撑和直观想象的思维引领。希望同学们 从本文中不仅能学会解题的“术”，更能深刻 3k1 2 y一2+k=2-2kx一2+k ,化简整理得 领悟其中蕴含的“道”，即用数学的眼光观察 3k1x十(2k-2)y-2k1=0。 世界，用数学的思维思考世界，用数学的语言 法一：点F(1,0)到直线MN的距离d= 表达世界。如此，方能以不变应万变，在高考 1k |k1 中游刃有余，实现从“解题”到“解决问题”的 √/(3k1)'+(2k-2)F√4k+k+4 能力飞跃。期待同学们在备考中勤加练习， 1 内化方法，从而在高考考场上从容应对，斩获 因为k:≠0，所以d= 1+46+ 高分。 k (责任编辑王福华) 5