7.3平行线的证明（第2课时平行线的性质）（导学案）数学北师大版2024八年级上册

该初中数学导学案聚焦平行线的性质定理，引导学生掌握“两直线平行，同位角相等、内错角相等、同旁内角互补”及证明应用。通过表格梳理平行线判定（文字、符号、图形），以判定与性质的互逆关系为脉络，设置问题链搭建学习支架。 亮点在于反证法证明性质定理的分步教学，突破推理难点，题型涵盖求度数、证明垂直等多样化应用，结合小组合作探究“线→角”模型，培养学生推理意识与几何直观，助力自主学习与逻辑思维发展。

7.3 平行线的证明 第2课时 平行线的性质 1.经历平行线的性质定理的证明过程，初步掌握综合法证明的步骤、格式与方法，发展几何推理能力。 2.能证明并应用“两直线平行，同位角相等”“两直线平行，内错角相等”“两直线平行，同旁内角互补”及“平行于同一条直线的两条直线平行”等定理。 教学重点：掌握同位角、内错角、同旁内角与平行线之间的性质定理，并能运用上述定理解决几何问题。 教学难点：运用反证法及因果夹击法分析、证明相关命题，灵活运用性质定理和判定定理进行推理并互相印证。 第一环节 自主学习 新知自研：自研课本P192-P194页的内容，思考： 【学法指导】 创设情景： 1.章节导读 2.情景引入 （1）两条直线平行的判定方法 文字叙述 符号语言 图形      同位角  相等，两直线平行 ∵    ∠1 =∠2  (已知)，∴ a∥b.    内错角相等，两直线平行 ∵   ∠3 =∠2   (已知)，∴ a∥b.     同旁内角  互补，两直线平行 ∵   ∠2 +∠4 = 180°(已知)，∴ a∥b. （2）平行线的性质有哪些呢？其中哪些是基本事实？ （3）证明的一般步骤是什么 第一步：根据题意，画出图形． 第二步：根据条件、结论，结合图形，写出已知、求证. 第三步：经过分析，找出由已知推出求证的途径，写出证明过程．　 ●探究一：两直线平行，同位角相等 ◆1.议一议 （1）命题 ： 两条平行直线被第三条直线所截，同位角相等， 简单说成：两直线平行，同位角相等 已知：如图，直线AB∥CD,∠1和∠2是直线AB、CD被直线EF截出的同位角. 求证：∠1=∠2 思考：如果∠1≠∠2，AB与CD的位置关系会怎样呢？ 证明：假设∠1≠∠2， 过M点作直线GH，使∠EMH =∠2， 如图所示. 根据“同位角相等，两直线平行” 可知GH∥CD. 又因为AB∥CD，这样经过点M存 在两条直线AB和GH都与直线CD平行. 这与基本事实“过直线外一点有且只有一条直线与这条直线平行”相矛盾. 所以∠1≠∠2的假设不成立， 所以∠1=∠2. 思考：你能说说证明的思路吗？ 又因为AB∥CD，这样经过点M存在两条直线AB和GH都与直线CD平行. 这与基本事实“过直线外一点有且只有一条直线与这条直线平行”相矛盾. 这说明∠1≠∠2的假设不成立，所以∠1=∠2. 反证法→提出与结论相反的假设→将假设作为条件，通过推论导出矛盾→假设不成立，从而肯定原命题成立 （2）定理： 两条平行直线被第三条直线所截，同位角相等， 简单说成：两直线平行，同位角相等. 数学语言格式: ∵a∥b（已知） ∴∠1=∠2 （两直线平行，同位角相等） （3）命题 ： 两条平行直线被第三条直线所截，内错角相等， 简单说成：两直线平行，内错角相等. 已知：如图，直线l1 ∥l2，∠1和∠2是直线l1 ，l2被直线 l 截出的内错角.求证：∠1=∠2. 证明：∵ l1∥l2（已知）， ∴ ∠1=∠3（两直线平行，同位角相等）. ∵ ∠2=∠3（对顶角相等）， ∴ ∠1=∠2（等量代换）. 定理 ： 两条平行直线被第三条直线所截，内错角相等， 简单说成：两直线平行，内错角相等 数学语言格式: ∵a∥b，(已知) ∴∠1=∠2. (两直线平行，内错角相等) （4）命题 ： 两条平行直线被第三条直线所截，同旁内角互补， 简单说成：两直线平行，同旁内角互补. 已知：直线a∥b，∠1和∠2是直线a，b被直线c截出的同旁内角. 求证： ∠1+∠2=180°. 证明：∵a∥b (已知) ∴∠2＝∠3 (两条直线平行，同位角相等) ∵∠1+∠3 =180° (平角等于180°) ∴∠1+∠2=180 ° (等量代换) . 定理： 两条平行直线被第三条直线所截，同旁内角互补， 简单说成：两直线平行，同旁内角互补 数学语言格式: ∵a∥b，(已知) ∴∠2+∠4=180 °.(两直线平行，同旁内角互补) ◆2.知识归纳 讨论：平行线三个性质的条件是什么？结论是什么？它与判定有什么区别？ 平行线的判定定理与性质定理互为逆命题. ●探究二：平行线的传递性 ◆1.做一做 命题 ： 平行于同一条直线的两条直线平行 已知：如图，b∥a， c∥a， ∠1，∠2， ∠3是直线 a，b，c 被直线 d 截出的同位角. 求证：b∥c. 证明：∵ b∥a（已知） ∴ ∠2=∠1（两直线平行，同位角相等） ∵ c∥a（已知） ∴ ∠3=∠1（两直线平行，同位角相等） ∴ ∠2=∠3（等量代换） ∴ b∥c（同位角相等，两直线平行） 定理1:两直线平行,同位角相等. ∵ a∥b, ∴∠1=∠2. 定理2:两直线平行,内错角相等. ∵ a∥b, ∴∠1=∠2. 定理3:两直线平行,同旁内角互补. ∵ a∥b, ∴ ∠1+∠2=180° . 定理4:平行于第三条直线的两直线平行. ∵ a∥b,b∥c ∴a∥c. ◆2.回顾思考 （1）回顾前面的证明过程，你认为完成一个命题的证明，需要哪些主要环节? 命题证明的一般步骤： ①画图； ②写已知、求证； ③ 证明 （2）对于证明思路的分析，你积累了哪些经验? ① 从已知条件入手，综合分析探索解题途径(由因导果法)； ② 从结论出发，用倒推来寻求证题的思路(执果索因法)； ③ 综合运用以上两种方法(因果夹击法) 第二环节 合作探究 小组群学 在小组长的带领下： A.探讨平行线的性质定理，总结由“线角”的数学模型. B.交流习题的解题思路和易错点. C.相互检查导学内容的完成书写情况并给出等级评定. 1．如图，已知a∥b，小华把三角板的直角顶点放在直线b上，若∠1＝40°，则∠2的度数为(　　) A．100° B．110° C．120° D．130° 解：D． 2.如图所示，要在一条公路的两侧铺设平行管道，已知一侧铺设的角度为120°，为使管道对接，另一侧铺设的角度大小应为(　　) A．120° B．100° C．80° D．60° 解：D． 3.如图，已知AB∥CD，则根据图中标注的角，下列关系中成立的是(　　) A．∠1＝∠3 B．∠2＋∠3＝180° C．∠2＋∠4＜180° D．∠3＋∠5＝180° 解：D. 4.如图，AB∥DE，∠ABC=70°，∠CDE=140°,则∠BCD=( ) A. 40° B.30° C.35° D.25° 解：B． 5. 如图，已知平行线AB、CD被直线AE所截 (1)从 ∠1=110°可以知道∠2 是多少度,为什么？ (2)从∠1=110°可以知道 ∠3是多少度,为什么？ (3)从 ∠1=110°可以知道∠4 是多少度,为什么？ 解：（1）∠2=110° （两直线平行，内错角相等） （2）∠3=110° （两直线平行, 同位角相等） （3）∠4=70° （两直线平行,同旁内角互补） 6.如图，一条公路两次拐弯前后两条路互相平行，第一次拐的∠B是，第二次拐的∠C是多少度？ 为什么？ 解： 7.如图,若AB∥DE ,　AC∥DF，请说出∠A和∠D之间的数量关系，并说明理由. 解:∠A+∠D=. 理由： ∵ AB∥DE(已知) ∴∠A= _∠CPD_ (两直线平行,同位角相等) ∵AC∥DF(已知) ∴∠D+ _∠CPD_=(两直线平行,同旁内角互补) ∴∠A+∠D=（等量代换） 8.如图，在三角形 ABC 中，D 是 AB 上一点，E 是 AC 上一点，∠ADE=60°，∠B = 60°，∠AED=40°. (1) DE 和 BC 平行吗？为什么？ (2)∠C 是多少度？为什么？ 解：(1) DE∥BC. 理由如下： ∵ ∠ADE=60°，∠B = 60°， ∴ ∠ADE=∠B. ∴ DE∥BC. (同位角相等，两直线平行) (2) ∠C =40°. 理由如下： 由(1)得 DE∥BC， ∴ ∠C=∠AED. (两直线平行，同位角相等） 又∵∠AED=40°， ∴ ∠C=∠AED =40°. 9.如图，若 AB//CD，你能确定∠B、∠D 与∠BED 之间的关系吗？说说你的看法. 解: 模型总结：如图，AB∥CD，则： 当AB与CD之间有一个拐点时：∠A+∠C= ∠E. 题型一：利用平行线的性质求度数 1．如图，BC⊥AE，垂足为C，CD∥AB，∠A＝50°，则∠BCD的度数是（　　） A．40° B．50° C．60° D．70° 【分析】由垂线可得∠ACB＝90°，从而可求得∠B的度数，再结合平行线的性质即可求∠BCD的度数． 【解答】解：∵BC⊥AE， ∴∠ACB＝90°， ∵∠A＝50°， ∴∠B＝180°﹣∠ACB﹣∠A＝40°， ∵CD∥AB， ∴∠BCD＝∠B＝40°． 故选：A． 【点评】本题主要考查平行线的性质，解答的关键是熟记平行线的性质：两直线平行，内错角相等． 2．如图，AB∥CD，AD平分∠BAC交CD于点D，若∠1＝52°，则∠2的度数是（　　） A．38° B．52° C．62° D．64° 【分析】由邻补角的性质得到∠BAC＝180°﹣52°＝128°，由角平分线定义求出∠BAD∠BAC＝64°，由平行线的性质推出∠2＝∠BAD＝64°． 【解答】解：∵∠1＝52°， ∴∠BAC＝180°﹣52°＝128°， ∵AD平分∠BAC， ∴∠BAD∠BAC＝64°， ∵AB∥CD， ∴∠2＝∠BAD＝64°． 故选：D． 【点评】本题考查平行线的性质，关键是由平行线的性质推出∠2＝∠BAD． 3．如图，DE∥BC，DF∥AC，若∠DFB＝110°，则∠DEC的度数为 　 　． 【分析】先根据DF∥AC得出∠C的度数，再由DE∥BC即可得出结论． 【解答】解：∵DF∥AC，∠DFB＝110°， ∴∠C＝∠DFB＝110°， ∵DE∥BC， ∴∠DEC＝180°﹣∠C＝180°﹣110°＝70°． 故答案为：70°． 【点评】本题考查的是平行线的性质，熟知两直线平行，同旁内角互补是解题的关键． 4．（2024春•陈仓区期中）如图，已知AB∥CD，∠1＝54°，点E在直线CD上，EF平分∠AED，求∠2的度数． 【分析】根据平行线的性质可求出∠AEC＝54°，进而求出∠AED＝126°，根据角平分线的定义得到，最后根据平行线的性质即可求解． 【解答】解：∵AB∥CD，∠1＝54°， ∴∠AEC＝∠1＝54°， ∴∠AED＝180°﹣∠AEC＝180°﹣54°＝126°， ∵EF平分∠AED， ∴， ∵AB∥CD， ∴∠2＝∠GED＝63°． 【点评】本题考查了平行线的性质，角平分线的定义，解题的关键是熟练掌握平行线的性质． 题型二：利用平行线的性质证明两直线垂直 5．已知，如图所示，四边形ABCD中，∠B＝90°，DE平分∠ADC，CE平分∠DCB，∠1+∠2＝90°，试说明DA⊥AB． 【分析】由角平分线的定义和条件可得∠ADC+∠BCD＝180°，可证明DA∥BC，再由平行线的性质可得到∠A＝90°，可证明DA⊥AB． 【解答】证明： ∵DE平分∠ADC，CE平分∠DCB， ∴∠ADC＝2∠1，∠BCD＝2∠2， ∵∠1+∠2＝90°， ∴∠ADC+∠BCD＝180°， ∴AD∥BC， ∴∠A+∠B＝180°， ∴∠A＝180°﹣∠B＝90°， ∴DA⊥AB． 【点评】本题主要考查平行线的判定和性质，掌握平行线的判定和性质是解题的关键，即①两直线平行⇔同位角相等，②两直线平行⇔内错角相等，③两直线平行⇔同旁内角互补，④a∥b，b∥c⇒a∥c． 6．已知，如图，∠1＝∠ACB，∠2＝∠3，FH⊥AB于H，求证：CD⊥AB． 【分析】先根据垂直的定义得出∠BHF＝90°，再由∠1＝∠ACB得出DE∥BC，故可得出∠2＝∠BCD，根据∠2＝∠3得出∠3＝∠BCD，所以CD∥FH，由平行线的性质即可得出结论． 【解答】证明：FH⊥AB（已知）， ∴∠BHF＝90°． ∵∠1＝∠ACB（已知）， ∴DE∥BC（同位角相等，两直线平行）， ∴∠2＝∠BCD．（两直线平行，内错角相等）． ∵∠2＝∠3（已知）， ∴∠3＝∠BCD（等量代换）， ∴CD∥FH（同位角相等，两直线平行）， ∴∠BDC＝∠BHF＝90°，（两直线平行，同位角相等） ∴CD⊥AB． 【点评】本题考查的是平行线的判定，熟知平行线的判定定理是解答此题的关键． 7．如图，已知DA⊥AB，DE平分∠ADC，CE平分∠DCB，且∠1+∠2＝90°，试说明BC⊥AB． 【分析】过E作EF∥AD，交CD于F，求出∠FEC＝∠2＝∠BCE，根据平行线的判定推出BC∥EF，即可得出答案． 【解答】解：过E作EF∥AD，交CD于F， 则∠ADE＝∠DEF， ∵DE平分∠ADC， ∴∠1＝∠ADE， ∴∠1＝∠DEF， ∵∠1+∠2＝90°， ∴∠DEC＝90°， ∴∠DEF+∠FEC＝90°， ∴∠2＝∠FEC， ∵CE平分∠DCB， ∴∠2＝∠BCE， ∴∠FEC＝∠BCE， ∴BC∥EF， ∴BC∥AD， ∵DA⊥AB， ∴BC⊥AB． 【点评】本题考查了平行线的性质和判定，三角形内角和定理，角平分线定义的应用，能正确作出辅助线，并综合运用定理进行推理是解此题的关键． 8．如图，AD∥BE，∠B＝∠D，∠BAD的平分线交BC的延长线于点E，CF平分∠DCE．求证：CF⊥AE． 【分析】由AD∥BE，∠B＝∠D，可推出∠B+∠BAD＝180°，∠B＝∠DCE，AB∥CD，再由角平分线定义可得：∠BAE∠BAD，∠FCG∠DCE，进而得出：∠CGF∠BAD，∠FCG∠B，可推出：∠CGF+∠FCG（∠BAD+∠B）180°＝90°，根据三角形内角和为180°，可得∠CFG＝90°，由垂直定义可证得结论． 【解答】证明：∵AD∥BE， ∴∠DCE＝∠D，∠B+∠BAD＝180°， ∵∠B＝∠D， ∴∠B＝∠DCE， ∴AB∥CD， ∴∠CGF＝∠BAE， ∵AE平分∠BAD， ∴∠BAE∠BAD， ∴∠CGF∠BAD， ∵CF平分∠DCE， ∴∠FCG∠DCE， ∴∠FCG∠B， ∴∠CGF+∠FCG（∠BAD+∠B）180°＝90°， ∴∠CFG＝180°﹣（∠CGF+∠FCG）＝180°﹣90°＝90°， ∴CF⊥AE． 【点评】本题考查了平行线的性质和判定，角平分线定义，垂直定义，三角形内角和定理等知识，解题的关键是掌握平行线判定定理和性质定理． 题型三：利用平行线的性质解决实际问题 9．太阳灶、卫星信号接收锅、探照灯及其他很多灯具都与抛物线有关．如图，从点O照射到抛物线上的光线OB，OC反射后沿着与PO平行的方向射出，已知图中∠ABO＝44°，∠BOC＝133°，则∠OCD的度数为（　　） A．88° B．89° C．90° D．91° 【分析】依题意得AB∥OP∥CD，进而根据平行线的性质得∠BOP＝∠ABO＝44°，∠OCD＝∠POC，从而可求出∠POC＝∠BOC﹣∠BOP＝89°，进而可得∠OCD的度数． 【解答】解：∵AB∥OP∥CD，∠ABO＝44°， ∴∠BOP＝∠ABO＝44°，∠OCD＝∠POC， ∵∠BOC＝133°， ∴∠POC＝∠BOC﹣∠BOP＝133°﹣44°＝89°， ∴∠OCD＝∠POC＝89°． 故选：B． 【点评】此题主要考查了平行线的性质，准确识图，熟练掌握平行线的性质是解决问题的关键． 10．如图为某椅子的侧面图，∠DEF＝120°．DE与地面平行，∠ABD＝50°，则∠ACB＝　　 ． 【分析】根据平行得到∠ABD＝∠EDC＝50°，再利用外角的性质和对顶角相等，进行求解即可． 【解答】解：由题意得：DE∥AB， ∴∠ABD＝∠EDC＝50°， ∵∠DEF＝∠EDC+∠DCE＝120°， ∴∠DCE＝70°， ∴∠ACB＝∠DCE＝70°， 故答案为：70°． 【点评】本题考查平行线的性质，三角形外角的性质，对顶角．熟练掌握相关性质，是解题的关键． 11．如图，在A、B两地之间要修一条笔直的公路，从A地测得公路走向是北偏东48°，A，B两地同时开工，若干天后公路准确接通，若公路AB长8千米，另一条公路BC长是6千米，且BC的走向是北偏西42°，则A地到公路BC的距离是　 　千米． 【分析】根据方位角的概念，图中给出的信息，再根据已知转向的角度求解． 【解答】解：根据两直线平行，内错角相等，可得∠ABG＝48°， ∵∠ABC＝180°﹣∠ABG﹣∠EBC＝180°﹣48°﹣42°＝90°， ∴AB⊥BC， ∴A地到公路BC的距离是AB＝8千米， 故答案为：8． 【点评】此题是方向角问题，结合生活中的实际问题，将解三角形的相关知识有机结合，体现了数学应用于实际生活的思想． 12．（2024秋•北林区校级期中）为了保护眼睛，小明将台灯更换为护眼台灯（图①），其侧面示意图（台灯底座高度忽略不计）如图②所示，其中BC⊥AB，ED∥AB．经使用发现，当∠DCB＝140°时，台灯光线最佳，此时∠EDC的大小为　 　． 【分析】过C作CF∥AB，得到CF∥DE∥AB，根据平行线的性质和角的和差关系即可得出结果． 【解答】解：∵BC⊥AB， ∴∠B＝90°， 过点C作CF∥AB， ∵DE∥AB， ∴CF∥DE∥AB， ∴∠EDC＝180°﹣∠DCF， ∠BCF＝180°﹣∠B＝180°﹣90°＝90°， ∵∠DCF＝∠DCB﹣BCF＝140°﹣90°＝50°， ∴∠EDC＝180°﹣50°＝130°． 故答案为：130°． 【点评】本题考查平行线的性质，解题的关键是过C作CF∥AB，得到CF∥ED，由平行线的性质来解决问题． 题型四：利用平行线的性质解决折叠问题、 13．如图所示，把一张长方形纸条ABCD沿EF折叠，若∠1＝58°，则∠AEG的度数（　　） A．58° B．64° C．72° D．60° 【分析】由平行线的性质得∠DEF＝∠1＝58°，由折叠的性质得∠GEF＝∠DEF＝58°，再由平角定义求出∠AEG即可． 【解答】解：∵四边形ABCD是长方形， ∴AD∥BC， ∴∠DEF＝∠1＝58°， 由折叠的性质得：∠GEF＝∠DEF＝58°， ∴∠AEG＝180°﹣58°﹣58°＝64°； 故选：B． 【点评】本题考查了平行线的性质、翻折变换的性质、长方形的性质以及平角定义；熟练掌握平行线的性质和翻折变换的性质是解题的关键． 14．如图，矩形纸片ABCD沿EF折叠后，∠FEC＝30°，则∠AGE的度数为（　　） A．30° B．60° C．80° D．不能确定 【分析】先由翻折变换的性质求出∠FEG的度数，再根据平行线的性质求出∠AGE的度数即可． 【解答】解：由翻折变换的性质可知∠FEG＝∠FEC， ∵∠FEC＝30°， ∴∠FEG＝30°， ∴∠CEG＝∠FEC+∠FEG＝60°， ∵AD∥BC， ∴∠AGE＝∠CEG＝60°． 故选：B． 【点评】本题考查了平行线的性质以及翻折的性质，解题的关键是根据平行线的性质找到相等的角． 15．如图，将一个长方形纸条折成如图的形状，若已知∠1＝116°，则∠2为（　　） A．116° B．112° C．122° D．130° 【分析】由平行线的性质可求∠FCD＝180°﹣∠1＝64°，进而可得∠FCB＝58°，再由平行线的性质可求解． 【解答】解：如图，先标注字母， ∵EF∥CD， ∴∠1+∠FCD＝180°，而∠1＝116°， ∴∠FCD＝180°﹣∠1＝64°， ∵2∠FCB+∠FCD＝180°， ∴∠FCB＝58°， ∵AB∥CF， ∴∠2+∠FCB＝180°， ∴∠2＝180°﹣58°＝122°， 故选：C． 【点评】本题考查了折叠的性质和平行线的性质，熟练掌握平行线的性质、明确折叠前后相关角的数量关系是解题的关键． 16．（2024春•沈阳期中）如图，已知长方形纸片ABCD，点E，F在AD边上，点G，H在BC边上，分别沿EG，FH折叠，使点D和点A都落在点M处，若α+β＝118°，则∠EMF的度数为（　　） A．59° B．58° C．57° D．56° 【分析】根据平行线的性质得到∠DEG+∠AFH＝118°，由折叠得：∠DEM＝2∠DEG，∠AFM＝2∠AFH，从而得到∠DEM与∠AFH的和，利用两个平角求出∠FEM与∠EFM的和，最后根据三角形内角和等于180°即可求出答案． 【解答】解：∵AD∥BC， ∴∠DEG＝α，∠AFH＝β， ∴∠DEG+∠AFH＝α+β＝118°， 由折叠得：∠DEM＝2∠DEG，∠AFM＝2∠AFH， ∴∠DEM+∠AFM＝2×118°＝236°， ∴∠FEM+∠EFM＝360°﹣236°＝124°， 在△EFM中， ∠EMF＝180°﹣（∠FEM+∠EFM）＝180°﹣124°＝56°， 故选：D． 【点评】本题考查了平行线的性质和三角形内角和定理，解决本题的关键是掌握平行线的性质． 题型五：平行线的性质与判定的综合应用 17．如图，AB∥CF，∠ACF＝80°，∠CAD＝20°，∠ADE＝120°． （1）直线DE与AB有怎样的位置关系？说明理由； （2）若∠CED＝71°，求∠ACB的度数． 【分析】（1）根据平行线的性质，得出∠BAC＝∠ACF＝80°，根据∠CAD＝20°，求出∠BAD＝60°，根据∠BAD+∠ADE＝180°，即可得出结论； （2）根据平行线的性质得出∠B＝∠CED＝71°，根据三角形内角和定理求出∠ACB＝29°． 【解答】解：（1）DE∥AB；理由如下： ∵AB∥CF，∠ACF＝80°， ∴∠BAC＝∠ACF＝80°， ∵∠CAD＝20°， ∴∠BAD＝∠BAC﹣∠DAC＝60°， ∵∠ADE＝120°， ∴∠BAD+∠ADE＝60°+120°＝180°， ∴DE∥AB． （2）DE∥AB，∠CED＝71°， ∴∠B＝∠CED＝71°， ∵∠BAC＝80°， ∴∠ACB＝180°﹣∠B﹣∠BAC＝180°﹣71°﹣80°＝29°． 【点评】本题主要考查了平行线的判定和性质，三角形内角和定理的应用，解题的关键是熟练掌握平行线的判定． 18．（2024春•启东市期末）如图，AB∥DG，∠1+∠2＝180°， （1）求证：AD∥EF； （2）若DG是∠ADC的平分线，∠2＝150°，求∠B的度数． 【分析】（1）根据平行线的性质和判定证明即可； （2）根据角平分线的定义和平行线的性质解答即可． 【解答】证明：（1）∵AB∥DG， ∴∠BAD＝∠1， ∵∠1+∠2＝180°， ∴∠2+∠BAD＝180°， ∴AD∥EF； （2）∵∠1+∠2＝180°，∠2＝150°， ∴∠1＝30°， ∵DG是∠ADC的平分线， ∴∠GDC＝∠1＝30°， ∵AB∥DG， ∴∠B＝∠GDC＝30°． 【点评】本题考查了平行线的判定与性质，熟记性质与判定方法并判断出EF∥AD是解题的关键． 19．点D在内，点E为边上一点，连接． (1)如图1，连接，若，求证：； (2)在（1）的结论下，若过点A的直线，如图2，点E在线段上，猜想并验证与的数量关系． 【分析】（1）证明，即可证明； （2）过点B作，，两线交于点G，利用平行线的判定和性质，角的关系解答即可． 本题考查了平行线的判定和性质，角的关系计算，熟练掌握平行线的判定和性质是解题的关键． 【详解】（1）证明：∵， ∴ ， ∵， ∴ ∴． （2）解：． 理由如下： 过点B作，，二线交于点G， ∵，， ∴，， ∴，，， ∴． 20．综合探究 (1)【课题学习】平行线的“等角转化”功能． 如图①，已知点A是外一点，连接．求的度数． 解：过点A作，则______，， 又∵．∴ ； (2)【方法运用】如图②所示，已知，交于点E，，求的度数． (3)【拓展探究】如图③所示，已知，分别平分和，且所在直线交于点F，过F作，若，求的度数． 【分析】本题主要考查了平行线的判定和性质，有关角平分线的计算，熟练掌握平行线的判定和性质，利用转化思想解答是解题的关键． （1）过点A作，如图①，根据平行线的性质得到，，然后利用平角的定义得到； （2）过点E作，如图②，利用平行线的性质得到，则，，然后把两式相加可得； （3）过E点作，根据平行线的性质得到，根据角平分线的定义得到，，设，，结合平行线的性质得到，利用代入求解即可． 【详解】（1）解：过点A作， ∴，， 又∵， ∴； 故答案为：，； （2）解：过点E作，如图，    ∵， ∴， ∴，， ∴ ∴. （3）解：过E点作，如图，    ∵， ∴， ∵平分，平分， ∴，， 设，， ∵，， ∴，， ∵， ∴， ∵， ∴，， ∵ ． ▲1．平行线的性质： 性质1：两直线平行，同位角相等. 性质2：两直线平行，内错角相等. 性质3：两直线平行，同旁内角互补. ▲2． 平行线的判定是通过 两角的数量 关系得到 两直线 的位置关系； 平行线的性质是已知 两直线的位置关系得到 两角的数量 . 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 7.3 平行线的证明 第2课时 平行线的性质 1.经历平行线的性质定理的证明过程，初步掌握综合法证明的步骤、格式与方法，发展几何推理能力。 2.能证明并应用“两直线平行，同位角相等”“两直线平行，内错角相等”“两直线平行，同旁内角互补”及“平行于同一条直线的两条直线平行”等定理。 教学重点：掌握同位角、内错角、同旁内角与平行线之间的性质定理，并能运用上述定理解决几何问题。 教学难点：运用反证法及因果夹击法分析、证明相关命题，灵活运用性质定理和判定定理进行推理并互相印证。 第一环节 自主学习 新知自研：自研课本P192-P194页的内容，思考： 【学法指导】 创设情景： 1.章节导读 2.情景引入 （1）两条直线平行的判定方法 文字叙述 符号语言 图形         相等，两直线平行 ∵      (已知)，∴ a∥b.     相等，两直线平行 ∵       (已知)，∴ a∥b.        互补，两直线平行 ∵    (已知)，∴ a∥b. （2）平行线的性质有哪些呢？其中哪些是基本事实？ （3）证明的一般步骤是什么 第一步：根据题意， ． 第二步：根据条件、 ，结合图形，写出 、求证. 第三步：经过分析，找出由已知推出求证的途径，写出 过程．　 ●探究一：两直线平行，同位角相等 ◆1.议一议 （1）命题 ： 两条平行直线被第三条直线所截，同位角相等， 简单说成：两直线平行，同位角相等 已知：如图，直线AB∥CD,∠1和∠2是直线AB、CD被直线EF截出的同位角. 求证：∠1=∠2 思考：如果∠1≠∠2，AB与CD的位置关系会怎样呢？ 证明：假设∠1≠∠2， 过M点作直线GH，使 =∠2， 如图所示. 根据“同位角相等，两直线平行” 可知 ∥CD. 又因为AB∥CD，这样经过点M存 在两条直线AB和 都与直线CD平行. 这与基本事实“过直线外一点 一条直线与这条直线 ”相矛盾. 所以∠1≠∠2的假设不成立， 所以 思考：你能说说证明的思路吗？ 反证法→提出与结论相反的假设→将 作为条件，通过推论导出矛盾→假设不成立，从而肯定 成立 （2）定理： 两条平行直线被第三条直线所截，同位角相等， 简单说成： 数学语言格式: ∵a∥b（已知） ∴ （两直线平行， ） （3）命题 ： 两条平行直线被第三条直线所截，内错角相等， 简单说成： 已知：如图，直线l1 ∥l2，∠1和∠2是直线l1 ，l2被直线 l 截出的内错角.求证：∠1=∠2. 定理 ： 两条平行直线被第三条直线所截，内错角相等， 简单说成：两直线平行，内错角相等 数学语言格式: ∵a∥b，(已知) ∴ (两直线平行， ) （4）命题 ： 两条平行直线被第三条直线所截，同旁内角互补， 简单说成： 已知：直线a∥b，∠1和∠2是直线a，b被直线c截出的同旁内角. 求证： ∠1+∠2=180°. 定理： 两条平行直线被第三条直线所截，同旁内角互补， 简单说成：两直线平行，同旁内角互补 数学语言格式: ∵a∥b，(已知) ∴ (两直线平行，同旁内角互补) ◆2.知识归纳 讨论：平行线三个性质的条件是什么？结论是什么？它与判定有什么区别？ 平行线的判定定理与性质定理互为 . ●探究二：平行线的传递性 ◆1.做一做 命题 ： 平行于同一条直线的两条直线平行 已知：如图，b∥a， c∥a， ∠1，∠2， ∠3是直线 a，b，c 被直线 d 截出的同位角. 求证：b∥c. 【解答】 定理1:两直线平行,同位角相等. ∵ a∥b, ∴ 定理2:两直线平行,内错角相等. ∵ a∥b, ∴ 定理3:两直线平行,同旁内角互补. ∵ a∥b, ∴ 定理4:平行于第三条直线的两直线平行. ∵ a∥b,b∥c ∴ ◆2.回顾思考 （1）回顾前面的证明过程，你认为完成一个命题的证明，需要哪些主要环节? 命题证明的一般步骤： ①画图； ②写 、 ； ③ 证明 （2）对于证明思路的分析，你积累了哪些经验? 第二环节 合作探究 小组群学 在小组长的带领下： A.探讨平行线的性质定理，总结由“线角”的数学模型. B.交流习题的解题思路和易错点. C.相互检查导学内容的完成书写情况并给出等级评定. 1．如图，已知a∥b，小华把三角板的直角顶点放在直线b上，若∠1＝40°，则∠2的度数为(　　) A．100° B．110° C．120° D．130° 2.如图所示，要在一条公路的两侧铺设平行管道，已知一侧铺设的角度为120°，为使管道对接，另一侧铺设的角度大小应为(　　) A．120° B．100° C．80° D．60° 3.如图，已知AB∥CD，则根据图中标注的角，下列关系中成立的是(　　) A．∠1＝∠3 B．∠2＋∠3＝180° C．∠2＋∠4＜180° D．∠3＋∠5＝180° 4.如图，AB∥DE，∠ABC=70°，∠CDE=140°,则∠BCD=( ) A. 40° B.30° C.35° D.25° 5. 如图，已知平行线AB、CD被直线AE所截 (1)从 ∠1=110°可以知道∠2 是多少度,为什么？ (2)从∠1=110°可以知道 ∠3是多少度,为什么？ (3)从 ∠1=110°可以知道∠4 是多少度,为什么？ 6.如图，一条公路两次拐弯前后两条路互相平行，第一次拐的∠B是，第二次拐的∠C是多少度？ 为什么？ 7.如图,若AB∥DE ,　AC∥DF，请说出∠A和∠D之间的数量关系，并说明理由. 8.如图，在三角形 ABC 中，D 是 AB 上一点，E 是 AC 上一点，∠ADE=60°，∠B = 60°，∠AED=40°. (1) DE 和 BC 平行吗？为什么？ (2)∠C 是多少度？为什么？ 9.如图，若 AB//CD，你能确定∠B、∠D 与∠BED 之间的关系吗？说说你的看法. 题型一：利用平行线的性质求度数 1．如图，BC⊥AE，垂足为C，CD∥AB，∠A＝50°，则∠BCD的度数是（　　） A．40° B．50° C．60° D．70° 2．如图，AB∥CD，AD平分∠BAC交CD于点D，若∠1＝52°，则∠2的度数是（　　） A．38° B．52° C．62° D．64° 3．如图，DE∥BC，DF∥AC，若∠DFB＝110°，则∠DEC的度数为 　 　． 4．（2024春•陈仓区期中）如图，已知AB∥CD，∠1＝54°，点E在直线CD上，EF平分∠AED，求∠2的度数． 题型二：利用平行线的性质证明两直线垂直 5．已知，如图所示，四边形ABCD中，∠B＝90°，DE平分∠ADC，CE平分∠DCB，∠1+∠2＝90°，试说明DA⊥AB． 6．已知，如图，∠1＝∠ACB，∠2＝∠3，FH⊥AB于H，求证：CD⊥AB． 7．如图，已知DA⊥AB，DE平分∠ADC，CE平分∠DCB，且∠1+∠2＝90°，试说明BC⊥AB． 8．如图，AD∥BE，∠B＝∠D，∠BAD的平分线交BC的延长线于点E，CF平分∠DCE．求证：CF⊥AE． 题型三：利用平行线的性质解决实际问题 9．太阳灶、卫星信号接收锅、探照灯及其他很多灯具都与抛物线有关．如图，从点O照射到抛物线上的光线OB，OC反射后沿着与PO平行的方向射出，已知图中∠ABO＝44°，∠BOC＝133°，则∠OCD的度数为（　　） A．88° B．89° C．90° D．91° 10．如图为某椅子的侧面图，∠DEF＝120°．DE与地面平行，∠ABD＝50°，则∠ACB＝　　 ． 11．如图，在A、B两地之间要修一条笔直的公路，从A地测得公路走向是北偏东48°，A，B两地同时开工，若干天后公路准确接通，若公路AB长8千米，另一条公路BC长是6千米，且BC的走向是北偏西42°，则A地到公路BC的距离是　 　千米． 12．（2024秋•北林区校级期中）为了保护眼睛，小明将台灯更换为护眼台灯（图①），其侧面示意图（台灯底座高度忽略不计）如图②所示，其中BC⊥AB，ED∥AB．经使用发现，当∠DCB＝140°时，台灯光线最佳，此时∠EDC的大小为　 　． 题型四：利用平行线的性质解决折叠问题、 13．如图所示，把一张长方形纸条ABCD沿EF折叠，若∠1＝58°，则∠AEG的度数（　　） A．58° B．64° C．72° D．60° 14．如图，矩形纸片ABCD沿EF折叠后，∠FEC＝30°，则∠AGE的度数为（　　） A．30° B．60° C．80° D．不能确定 15．如图，将一个长方形纸条折成如图的形状，若已知∠1＝116°，则∠2为（　　） A．116° B．112° C．122° D．130° 16．（2024春•沈阳期中）如图，已知长方形纸片ABCD，点E，F在AD边上，点G，H在BC边上，分别沿EG，FH折叠，使点D和点A都落在点M处，若α+β＝118°，则∠EMF的度数为（　　） A．59° B．58° C．57° D．56° 题型五：平行线的性质与判定的综合应用 17．如图，AB∥CF，∠ACF＝80°，∠CAD＝20°，∠ADE＝120°． （1）直线DE与AB有怎样的位置关系？说明理由； （2）若∠CED＝71°，求∠ACB的度数． 18．（2024春•启东市期末）如图，AB∥DG，∠1+∠2＝180°， （1）求证：AD∥EF； （2）若DG是∠ADC的平分线，∠2＝150°，求∠B的度数． 19．点D在内，点E为边上一点，连接． (1)如图1，连接，若，求证：； (2)在（1）的结论下，若过点A的直线，如图2，点E在线段上，猜想并验证与的数量关系． 20．综合探究 (1)【课题学习】平行线的“等角转化”功能． 如图①，已知点A是外一点，连接．求的度数． 解：过点A作，则______，， 又∵．∴ ； (2)【方法运用】如图②所示，已知，交于点E，，求的度数． (3)【拓展探究】如图③所示，已知，分别平分和，且所在直线交于点F，过F作，若，求的度数． ▲1．平行线的性质： 性质1： 性质2： 性质3： ▲2． 平行线的判定是通过 关系得到 的位置关系； 平行线的性质是已知 关系得到 . 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $