专项突破10 角的计算（期末复习讲义-知识回顾+9个重难点培优题型+真题演练 共37题）-2025-2026学年人教版数学七年级上册精讲练

该初中数学“角的计算”专项突破讲义通过“知识梳理+重难点题型+真题演练”三级体系构建知识网络，知识回顾部分用表格归纳角的表示方法、图示对比角的分类，结合易错点拨（如平角与直线的区别、度分秒换算借位进位规则），清晰呈现从概念到性质的逻辑脉络。 讲义亮点在于9大培优题型分层设计，如三角板角度计算（几何直观）、角n等分线推理（推理意识），每个题型含精讲及变式题，培养运算能力与创新意识。真题演练覆盖综合应用，助力学生自主复习，教师可据此实施精准分层教学。

专项突破10 角的计算 （知识回顾+9个重难点培优题型+真题演练 共37题） 【解析版】 知识回顾 技巧点拨 2 知识点梳理01：角的概念 2 知识点梳理02：角的表示方法 2 知识点梳理03：角的度量 3 知识点梳理04：角的大小比较 3 知识点梳理05：角的分类 4 知识点梳理06：角的和差计算 4 知识点梳理07：角平分线 4 知识点梳理08：余角和补角 5 重点难点 培优讲练 5 题型1 角的比较 5 题型2 三角板中角度计算问题 8 题型3 几何图形中角度计算问题 14 题型4 角度的四则运算 20 题型5 实际问题中角度计算问题 22 题型6 角平分线的有关计算 28 题型7 角n等分线的有关计算 32 题型8 与余角、补角有关的计算 37 题型9 同（(等)角的余(补)角相等的应用 43 期末真题 实战演练 48 知识点梳理01：角的概念 1.角的定义一：有公共端点的两条射线组成的图形叫做角，这个公共端点是角的顶点，这两条射线是角的两条边．如图1所示，角的顶点是点O，边是射线OA、OB． 2.角的定义二：一条射线绕着它的端点旋转而形成的图形，射线旋转时经过的平面部分是角的内部．如图所示，射线OA绕它的端点O旋转到OB的位置时，形成的图形叫做角，起始位置OA是角的始边，终止位置OB是角的终边． 【易错点拨】 （1）两条射线有公共端点，即角的顶点；角的边是射线；角的大小与角的两边的长短无关． （2）平角与周角：如图1所示射线OA绕点O旋转，当终止位置OB和起始位置OA成一条直线时，所形成的角叫做平角，如图2所示继续旋转，OB和OA重合时，所形成的角叫做周角． 知识点梳理02：角的表示方法 1.角的表示法：角的几何符号用“∠”表示，角的表示法通常有以下四种： 角的表示方法 图示 记法 适用条件 ①三个大写字母 任何情况都适用 ②一个大写字母 该角的顶点处只有一个角 ③数字 任何情况都适用，但需要提前在图中标注 ④希腊字母 任何情况都适用，但需要提前在图中标注 【易错点拨】 用数字或小写希腊字母表示角时，要在靠近角的顶点处加上弧线，且注上阿拉伯数字或小写希腊字母． 2.角的画法： （1）用三角板可以画出30°、45°、60°、90°等特殊角． （2）用量角器可以画出任意给定度数的角． （3）利用尺规作图可以画一个角等于已知角． 知识点梳理03：角的度量 1.角的度量单位是度（）、分（）、秒（），把一个周角平均分成360等份，每一份就是1°的角，1°的为1分，记作“1′”，1′的为1秒，记作“1″”．这种以度、分、秒为单位的角的度量制，叫做角度制． 2.角的单位换算：1周角＝360°，1平角＝180°，1°＝60′，1′＝60″． 【易错点拨】 在进行有关度分秒的计算时，要按级进行，即分别按度、分、秒计算，不够减，不够除的要借位，从高一位借的单位要化为低位的单位后再进行运算，在相乘或相加时，当低位得数大于等于60时要向高一位进位． 知识点梳理04：角的大小比较 角的比较：角的大小比较与线段的大小比较相类似，方法有两种． 方法1：度量法．先用量角器量出角的度数，然后比较它们的大小． 方法2：叠合法．把其中的一个角移到另一个角上作比较． 如比较∠AOB和∠A′O′B′的大小： 如下图，由图（1）可得∠AOB＜∠A′O′B′；由图(2)可得∠AOB＝；由图(3)可得∠AOB＞． 知识点梳理05：角的分类 角按照大小可分为 知识点梳理06：角的和差计算 角的和、差关系 如图所示，∠AOB是∠1与∠2的和，记作：∠AOB＝∠1+∠2；∠1是∠AOB与∠2的差，记作：∠1＝∠AOB-∠2． 【易错点拨】 (1)用量角器量角和画角的一般步骤： ①对中(角的顶点与量角器的中心对齐)； ②重合(一边与刻度尺上的零度线重合)； ③读数(读出另一边所在线的度数)． (2) 利用三角板除了可以做出30°、45°、60°、90°外，根据角的和、差关系，还可以画出15°，75°，105°，120°，135°，150°，165°的角． 知识点梳理07：角平分线 角平分线的概念： 文字语言：从一个角的顶点出发，把这个角分成相等的两个角的射线，叫做这个角的平分线． 图形语言： 几何语言：如图所示，OC是∠AOB的角平分线， ∠AOB＝2∠AOC＝2∠BOC，∠AOC＝∠BOC =∠AOB． 知识点梳理08：余角和补角 1、余角： （1）定义：一般地，如果两个角的和等于90°(直角)，就说这两个角互为余角，即其中一个角是另一个角的余角． （2）性质：同角（等角）的余角相等． 2、补角： （1）定义：如果两个角的和等于180°(平角)，就说这两个角互为补角，即其中一个角是另一个角的补角． （2）性质：同角（等角）的补角相等． 【易错点拨】 (1)互余互补指的是两个角的数量关系，互余、互补的两个角只与它们的和有关，而与它们的位置无关． (2)一般地，锐角α的余角可以表示为(90°-α)，一个角α的补角可以表示为(180°-α) ．显然一个锐角的补角比它的余角大90°。 题型1 角的比较 【精讲】（23-24六年级下·山东烟台·期中）如图，，请你根据图形，求解下列问题： (1)在中，哪些角是锐角？哪些角是直角？哪些角是钝角？哪些角是平角？并用“”把它们连接起来； (2)是哪两个角的和？ (3)写出中某些角之间的两个等量关系； (4)如果，则的度数为_________． 【答案】(1)是锐角，是直角，是钝角，是平角， (2) (3)，（答案不唯一） (4)90 【思路引导】本题考查锐角、直角、钝角、平角的定义，角度之间的和差关系，利用数形结合的数学思想是解决问题的关键． （1）根据锐角、直角、钝角、平角的定义，结合图形即可求解； （2）根据图形即可求解； （3）根据图形即可求解； （4）由题意可知，结合，即可得． 【规范解答】（1）解：由图可知，是锐角，是直角，是钝角，是平角， 则； （2）由图可知，； （3）由图可知，，（答案不唯一） （4）∵， ∴， 又∵， ∴， 故答案为：90． 【变式1】（24-25七年级上·北京大兴·期末）如图，点是射线外一点．按下列语句画图并回答问题： (1)画射线； (2)在射线上截取； (3)连接； (4)根据图形可得： （用“”，“”或“”填空）； (5)与的大小关系是： （用“”，“”或“”填空） 【答案】(1)作图见解析 (2)作图见解析 (3)作图见解析 (4) (5) 【思路引导】本题考查作图—复杂作图，直线，射线，线段，角的大小比较， （1）根据射线的定义画出图形； （2）根据线段的定义画出图形； （3）根据线段的定义画出图形； （4）根据两点之间线段最短判断即可； （5）利用度量法判断即可； 解题的关键是理解直线，射线，线段的定义． 【规范解答】（1）解：如图，射线即为所作； （2）如图，线段即为所作； （3）如图，线段即为所作； （4）， 故答案为：； （5）如图，， 故答案为：． 【变式2】（23-24七年级上·广西北海·期末）有如下说法：①直线是一个平角；②如果线段，则是线段的中点；③在同一平面内，，，；④两点之间，线段最短．其中正确的有（　　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】A 【思路引导】根据平角的定义、中点定义、角的和差以及两点之间，线段最短的性质直接判断即可． 【规范解答】解：①直线是一个平角，角是由有公共端点的两条射线组成的，故错误； ②如果线段，则是线段的中点；M不一定在线段AC上，故错误； ③在同一平面内，，，；射线OC不一定在∠AOB内部，故错误； ④两点之间，线段最短．正确， 故选：A． 【考点剖析】本题考查了平角的定义、线段中点的定义、角的和差和线段的性质，准确掌握定义，画出图形是解题关键． 题型2 三角板中角度计算问题 【精讲】（25-26七年级上·河北石家庄·期中）如图，将两块直角三角板的直角顶点叠放在一起． (1)_____（填“”、“”或“”）； (2)当时，求的度数； (3)猜想与的数量关系，并说明理由； (4)将三角板绕点逆时针旋转一周，当直线平分时，的度数为_______（注：不写过程，直接写出结果，只填写小于平角的结果）． 【答案】(1) (2) (3)，理由见解析 (4)或 【思路引导】（）根据角的和差关系即可求解； （）先求出的度数，再根据角的和差关系即可求解； （）分两种情况分别画出图形，再根据角平分线的定义及角的和差关系即可求解； 本题考查了三角板中的角度运算问题，角平分线的定义，正确识图是解题的关键． 【规范解答】（1）解：∵， ∴， 即， 故答案为：； （2）解：∵，， ∴， ∵， ∴； （3）解：，理由如下： ∵， ∴， 即； （4）解：当三角板旋转到如图①位置时，直线平分， ∵， ∴， 当三角板旋转到如图②位置时，直线平分， ∴； 综上，的度数为或， 故答案为：或． 【变式1】（22-23八年级下·河南郑州·期中）把一副直角三角尺如图摆放，，，，斜边、在直线l上，保持不动，在直线l上平移，当以点三点为顶点的三角形是直角三角形时，则的度数是（    ） 　 A． B． C．或 D．或 【答案】C 【思路引导】本题考查平移的性质，直角三角形的性质. 分两种情况进行讨论：①当点D运动到与A重合时；②当点D运动到A是中点时；分别画出相应的图形进行求解即可． 【规范解答】解：当点D运动到与A重合时，是直角三角形，此时， 当点D运动到A是中点时，是直角三角形，此时， ∴的度数为或， 故答案为：或． 【变式2】（21-22七年级下·辽宁大连·开学考试）如图，两块三角板摆放在一起，射线平分平分． (1)求的度数； (2)如果(1)中，一个三角板绕点O旋转一定角度，使得，其它条件不变，求的度数； (3)如果(1)中，一个三角板绕点O旋转一定角度，使得，(α为锐角)，其它条件不变，求的度数； (4)如果(1)中，一个三角板绕点O旋转一定角度，使得(β为锐角)，其它条件不变，求的度数． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【思路引导】本题考查了角的和差，角平分线，旋转的性质，掌握知识点是解题的关键． （1）根据三角板的度数求出的度数，再根据角平分线的定义求出与的度数，然后根据，代入数据进行计算即可得解； （2）分类讨论：①如图，当在射线的下方时，②如图，当在射线的上方时，逐一分析求解，即可解答． （3）分类讨论：①如图，当在射线的下方时，②如图，当在射线的上方时，逐一分析求解，即可解答． （4）①如图，当在射线的下方时，②如图，当在射线的下方，上方时；③如图，当在下方时，逐一分析求解，即可解答． 【规范解答】（1）解：∵，射线平分， ∴， ∵平分， ∴， ∴； （2）①如图，当在射线的下方时， ∵，射线平分， ∴ ∵平分， ∴， ∴； ②如图，当在射线的上方时 ∵，射线平分， ∴ ∵平分， ∴， ∴； 综上所述，． （3）①如图，当在射线的下方时， ∵，射线平分， ∴， ∵平分， ∴， ∴． ②如图，当在射线的上方时， ∵，射线平分， ∴， ∵平分， ∴， ∴． 综上所述，． （4）①如图，当在射线的上方时 ∵，射线平分， ∴， ∵平分， ∴ ∴． ②如图，当在射线的下方，上方时 ∵，射线平分， ∴， ∵平分， ∴ ∴； ③如图，当在下方时， ∵，射线平分， ∴， ∵平分， ∴ ∴． 综上所述，． 题型3 几何图形中角度计算问题 【精讲】（25-26七年级上·重庆·期中）点O是直线上一点，，平分． (1)如图1，若，则_____________，_____________； (2)将图1中的绕顶点O顺时针旋转至图2所示的位置，其他条件不变，若，求的度数（用含的代数式表示）； (3)将图1中的绕顶点O顺时针旋转至图3所示的位置，其他条件不变，请直接写出与之间的数量关系． 【答案】(1)，15 (2) (3)，理由见解析 【思路引导】本题考查角的计算与角平分线的性质，解题的关键是利用平角、直角的定义以及角平分线的定义分析角之间的关系． （1）利用平角和直角的定义求出，再结合角平分线求出； （2）用含的式子表示，结合角平分线和直角定义求； （3）设为，同（2）通过角的关系推导与的数量关系． 【规范解答】（1）解：∵点是直线上的一点，是直角， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵平分， ∴， ∴， 故答案为：，15； （2）解：∵点是直线上的一点，， ， ∵平分， ， ∵是直角， ， ； （3）解：和之间的数量关系为，理由如下： 设， ∵点是直线上的一点， ∴， ∵平分， ∴， ∵是直角， ∴， ∴， ∴， 即． 【变式1】（25-26七年级上·河北保定·期中）如图，直线与相交于点，，一个直角三角尺的直角顶点与点重合，平分，现将三角尺以每秒的速度绕点顺时针旋转，同时直线也以每秒的速度绕点顺时针旋转，设运动时间为秒，当平分时，的值为 ． 【答案】 【思路引导】本题考查角的动态问题和一元一次方程的应用，当平分时，，依据角的和差关系进行计算即可得到的值． 【规范解答】解：，平分， 当平分时，， ， 即， 解得； 故答案为：． 【变式2】（25-26七年级上·四川成都·期中）若，则称是的“余倍角”，例如：若，，则是的“余倍角”，但不是的“余倍角”． (1)如图 1，已知 ，在内存在一条射线，使得是的“余倍角”，此时 ；（直接填写答案） (2)如图 2，已知，若平面内存在射线、（在直线的上方），使得是的“余倍角”，且 ，求的大小； (3)如图 3，若，射线从出发绕点以每秒的速度逆时针旋转，射线从出发绕点以每秒的速度顺时针旋转，平分，平分，运动时间为秒（ ）．若是的“余倍角”，求出此时的值． 【答案】(1) (2)的度数为或 (3)的值为或 【思路引导】本题主要考查角的新定义运算，一元一次方程的运用，理解“余倍角”的定义，几何中角的数量关系的计算，数形结合分析是解题的关键． （1）根据“余倍角”的定义和计算即可求解； （2）当在内部时，当在外部时，数形结合分析即可求解； （3）先求得，分情况讨论，当时，当时，找出数量关系列方程求解即可． 【规范解答】（1）解：已知° ， ∴，则， ∵是的“余倍角”， ∴， ∴， 解得，， 故答案为：； （2）解：如图所示，当在内部时， 由（1）可得，， ∴， ∵， ∴， ∴； 如图所示，当在外部时， ∴， ∴， ∵是的“余倍角”， ∴， ∴， 解得，， ∴， ∵， ∴， ∴； 综上所述，的度数为或； （3）解：∵，是的“余倍角”， ∴， ∴， 由题意可得，，， ∵平分，平分， ∴，， ①当未转够，即时，如图所示， ∴， ∴， 解得，； ②当旋转超过时，且即时， 由题意可得，转了，， ∴， ∵平分，平分， ∴，，如图所示， ∴， ∴， ∴， 解得，； 综上所述，的值为或． 题型4 角度的四则运算 【精讲】（24-25七年级上·河南三门峡·期末）计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【思路引导】本题考查的是含乘方的有理数的混合运算，角度的四则混合运算； （1）先化为省略加号的和的形式，再计算即可； （2）先把乘法化为除法，再利用分配律进行简便运算即可； （3）先计算乘方，再计算乘除，最后计算加减运算，有括号先计算括号内的运算即可； （4）先计算角度的乘法运算，再计算减法运算即可． 【规范解答】（1）解： ； （2）解： ； （3）解： ； （4）解： ． 【变式1】（22-23七年级下·安徽亳州·期末）计算： (1)（结果用度、分、秒表示）； (2)（结果用度表示）． 【答案】(1) (2) 【思路引导】本题考查了度分秒的换算，熟练掌握度分秒的进制是解题的关键． （1）两个度数相加，度与度，分与分对应相加，分的结果若满，则转化为度； （2）先将分都转化为度，再进行减法计算，两个度数相减时，应先算最后一位，后面的位上的数不够减是向前一位借数． 【规范解答】（1）解： ； （2）解： ． 【变式2】（21-22七年级上·湖北孝感·期末）计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【思路引导】本题考查了角运算，掌握角的运算法则、度数的互换是解决本题的关键． （1）度、分、秒分别相加减得结论； （2）先算乘法，再算加减． 【规范解答】（1）解： ； （2）解： 题型5 实际问题中角度计算问题 【精讲】（23-24七年级上·陕西西安·阶段练习）如图1，点为直线上一点，过点作射线，，，始终在的右侧，，． (1)如图1，当，平分时，求的度数； (2)如图2，当与边重合，在的下方时，，将绕点按每秒的速度沿逆时针方向旋转，使射线与的角平分线形成夹角为，求此时旋转一共用了多少秒； (3)当在直线上方时，若，点在射线上，射线绕点顺时针旋转度，恰好使得，平分，，请直接写出此时的值． 【答案】(1) (2)或 (3)或 【思路引导】本题主要考查角度的和差计算，涉及角平分线的性质，分类讨论思想等，根据射线的位置不确定，进行分类讨论是解题关键． （1）由角平分线的性质可得的度数，再根据可得结论； （2）需要分两种情况进行讨论，①当点在的右侧时；②当点在的左侧时，画出图形，根据角度之间的和差关系计算即可； （3）根据题意分两种情况，当和时，画出图形，根据角度的和差运算进行计算即可． 【规范解答】（1）解：，平分， ， ， ； （2）解：由（1）知，，设旋转时间为， ①当点在的右侧时，， ， ； ； ②当点在的左侧时，， ， ； 综上，旋转一共用了或； （3）解：为或． 当时，如图， ， ， ， ， ， ， ， ，， 平分， ， ， 解得； 当时，如图， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 平分， ， ， 解得； 综上，为或． 【变式1】（21-22七年级上·湖南长沙·期末）如图1，大课间的广播操展让我们充分体会到了一种整体的图形之美，欢欢和乐乐想从数学角度分析下如何能让班级同学们的广播操做得更好，他们搜集了标准广播操图片进行讨论，如图2，为了方便研究，定义两手手心位置分别为，两点，两脚脚跟位置分别为，两点，定义，，，平面内为定点，将手脚运动看作绕点进行旋转： (1)填空：如图2，，，三点共线，且，则______° (2)第三节腿部运动中，如图3，欢欢发现，虽然，，三点共线，却不在水平方向上，且．她经过计算发现，的值为定值，请判断欢欢的发现是否正确，如果正确请求出这个定值，如果不正确，请说明理由； (3)第四节体侧运动中，乐乐发现，两腿左右等距张开且，开始运动前、、三点在同一水平线上，、绕点顺时针旋转，旋转速度为，旋转速度为，当旋转到与重合时，运动停止，如图4 ①运动停止时，直接写出______； ②请帮助乐乐求解运动过程中与的数量关系． 【答案】(1)90 (2)正确，代数式的值为； (3)①；②当时，；当时，． 【思路引导】（1）由A，O，B三点共线，可得出，再由两角相等，可得出； （2）由，设，则，分别表达和，再求比值，可得结论； （3）①算出运动停止时的时间，求出运动的角度，进而求出的度数；②由的运动过程可知，需要分类讨论，在点C，O，A共线前，和共线后两种状态，分别求解即可． 【规范解答】（1）解：∵A，O，B三点共线， ∴， ∵， ∴． 故答案为：90； （2）∵， 设，则， ∴，， ∴． ∴欢欢的发现是正确的，代数式的值为； （3）解：∵， ∴，， 设运动时间为，则，则． ①运动停止时，即时，OA旋转的角度为， ∴， 故答案为：； ②当点C，O，A三点共线时，； ∴当时，，， ∴； 当时，， ， ∴． 综上，当时，；当时，． 【考点剖析】本题主要考查角的和差的相关计算，发现图形中角之间的和差关系是解题关键． 【变式2】（23-24七年级上·陕西咸阳·期末）如图，已知是的角平分线，是的角平分线． （1）若，，求的度数； （2）若，且，求的度数． 【答案】（1）100°；（2）22.5° 【思路引导】（1）由角平分线的定义可知∠BOC=2∠COD，∠AOC=2∠AOE，根据∠AOB=∠AOC-∠BOC易得结果； （2）由角平分线定义，设∠COD=∠BOD=x．得∠BOE=45°−x，∠COE=45°+x．∠AOE=∠COE=45°+x再根据题意∠AOC+∠BOC=180°，列方程，求出x，即可得． 【规范解答】解：（1）因为是的角平分线，， 所以． 因为是的角平分线， 所以． 所以． （2）因为是的角平分线， 所以设． 因为，所以，． 因为是的角平分线，所以 因为，所以， 所以，即． 【考点剖析】本题考查了角平分线知识，关键是根据题意，由角平分线得定义得出角之间的等量关系，从而根据等量关系求出角的度数． 题型6 角平分线的有关计算 【精讲】（25-26七年级上·河北唐山·期中）如图，，将一个直角三角尺的顶点与点O重合，，平分，三角尺始终在的内部（三角尺的边可以与，重合）． (1)如图1，当在射线上时，的度数为 ； (2)如图2，三角尺在的内部，当平分时，求的度数； (3)如图3，三角尺从与重合开始，以每秒的速度绕点O按图中的方向旋转，当到达处停止旋转．在三角尺旋转过程中，作为角平分线时，的值为 （直接写出答案）． 【答案】(1) (2) (3)6秒或秒或13秒 【思路引导】本题考查了与角平分线有关的计算，熟练掌握角平分线的定义是解题关键． （1）先根据角平分线的定义可得，再根据求解即可得； （2）先根据角平分线的定义可得，，再根据求解即可得； （3）先求出，再分三种情况：①当是的角平分线时，②当是的角平分线时，③当是的角平分线时，利用的度数除以旋转速度即可得． 【规范解答】（1）解：∵平分，， ∴， ∵在射线上，， ∴， 故答案为：． （2）解：∵平分，， ∴， ∵平分， ∴， ∵三角尺在的内部，， ∴． （3）解：∵平分，， ∴， 由题意可知，当到达处停止旋转时，运动时间为秒， ∴． 分以下三种情况： ①当是的角平分线时， ∴， ∴此时运动时间（秒），符合题意； ②当是的角平分线时， ∴， ∴此时运动时间（秒），符合题意； ③当是的角平分线时， ∴， ∴此时运动时间（秒），符合题意； 综上，的值为6秒或秒或13秒． 故答案为：6秒或秒或13秒． 【变式1】（24-25七年级下·黑龙江大庆·期中）如图1，射线在的内部，图中共有3个角：，和，若其中有一个角的度数是另一个角度数的三倍，则称射线是的“启仔等分线”．如图2，，若射线绕点P从位置开始，以每秒的速度顺时针旋转，当首次等于时停止旋转，设旋转的时间为秒当 时，射线是的“启仔等分线”． 【答案】秒或5秒或20秒 【思路引导】本题考查角的运算中的新定义，仔细分析动态过程，确定三种情况是解题的关键． 根据旋转的过程，依次设定，，，四种情况进行分析． 【规范解答】解：由题意，可分四种情况： 当时，， 所以 秒； 当时，， 所以 秒； 当时，， 所以 秒； 当时，， 不符合条件“当首次等于时停止旋转”，舍去． 故答案为：5秒或秒或20秒． 【变式2】（25-26七年级上·河北石家庄·期中）已知，和均可绕点进行旋转，点，，在同一条直线上，是的平分线． (1)如图1，当点与点重合，点与点重合，且射线和射线在直线的同侧时，求的度数． (2)在（1）的基础上，若从处开始绕点逆时针方向旋转，转速为每秒，同时从处开始绕点顺时针方向旋转，转速为每秒， ①当旋转_______秒时，与第一次重合； ②直接写出与第一次从相遇到分开所经历的时间． (3)在（1）的基础上，若从处开始绕点逆时针方向旋转，转速为每秒，同时从处开始绕点逆时针方向旋转，转速为每秒，如图所示，当旋转时，则的度数为_______． 【答案】(1) (2)①；② (3) 【思路引导】本题主要考查了角平分线的定义，旋转的特点，根据角平分线的定义进行计算，是解题的关键． （1）根据平角的定义得到，根据角平分线的定义得到= ，求出的度数即可； （2）①根据旋转的特点和、旋转的速度，结合的度数，即可求得结果； ②根据、旋转的速度，结合、的度数，即可求出结果； （3）根据题意得到，，根据平角的定义得到，根据角平分线的定义，即可求解． 【规范解答】（1）解：，， ， 是的平分线， = ， ． 的度数为． （2）∵从处开始绕点逆时针方向旋转，转速为，同时从处开始绕点顺时针方向旋转，转速为， ∵ 与第一次重合的时间为：()； 故答案为：． ② ，， 与第一次从相遇到分开所经历的时间为：()． （3）旋转时，，， ， ， ． 则的度数为 故答案为：． 题型7 角n等分线的有关计算 【精讲】（24-25七年级上·四川广安·期末）如图，已知，射线在的内部，射线是靠近的三等分线，射线是靠近的三等分线． (1)若平分，求的度数． (2)小明说：“不论射线在的内部哪个位置，的度数始终保持不变．”你认为小明的说法是否正确？请说明理由． 【答案】(1) (2)正确，理由见解析 【思路引导】本题考查角平分线和角三等分线，角的和与差． （1）根据角平分线得到，再根据三等分线可得和的度数，最后利用可得答案； （2）正确，按照（1）的思路计算即可． 【规范解答】（1）∵，平分， ∴， ∵射线是靠近的三等分线，射线是靠近的三等分线， ∴， ， ∴； （2）小明是说法正确， ∵射线是靠近的三等分线，射线是靠近的三等分线， ∴，， ∴． 【变式1】（24-25七年级上·湖南株洲·期末）（1）如图1，点在线段上，图中共有3条线段：，和，若其中有一条线段的长度是另一条线段长度的两倍，则称点是线段的“二倍点”．则线段上共有_____个“二倍点”． （2）类似的如图1，射线在内部，图中共有3个角：，和，若其中一个角的度数是另一个角度数的两倍，则称射线是的“二倍线”．则内部共有_____条“二倍线”． （3）如图2，若线段，点． 从点的位置开始，以每秒的速度向点A运动，当点到达点A时停止运动，设运动的时间为秒．问为何值时，点是线段的“二倍点”． （4）如图3，若，射线从射线的位置开始，绕点按逆时针方向以每秒的速度向射线旋转，当射线到达射线的位置时停止旋转，设射线旋转的时间为秒，若射线是的“二倍线”，求的值． 【答案】（1）3；（2）3；（3）秒或5秒或10秒；（4）15秒或10秒或20秒 【思路引导】本题是几何变换综合题，考查了线段和角倍数关系，新定义的理解和运用等知识，并与方程相结合，运用分类讨论的思想解决问题． （1）根据C是线段的“二倍点”，即可解答； （2）根据射线是的“二倍线”，即可解答； （3）根据线段的“二倍点”的定义分三种情况即可解答； （4）根据的“二倍线”的定义分三种情况即可解答． 【规范解答】解：（1）当点C是的中点时，， 当点C为靠近B的三等分点时，， 当点C为靠近A的三等分点时，， ∴线段上共有3个“二倍点”； 故答案为∶3； （2）有三种情况∶ ①当为角平分线时，， ②当靠近的三等分线时，， ③当靠近的三等分线时，， ∴内部共有3条“二倍线”； 故答案为∶3； （3）分三种情况∶ ①当点M是的中点时，， ∴， ∴， ②当点M为靠近B的三等分点时，， ∴， ∴， ③当点M为靠近A的三等分点时，， ∴， ∴， 综上：t为秒或5秒或10秒时，点M是线段的“二倍点” （4）有三种情况∶ ①当为角平分线时∶， ∴， ∴， ②当靠近的三等分线时，， ∴ ∴； ③当靠近的三等分线时，， ∴ ∴； 综上，t的值是15秒或10秒或20秒时射线是的“二倍线” 【变式2】（24-25七年级上·江苏南京·期末）定义：在同一平面内有，，三条射线．若分别与，形成的角的度数成2倍关系，即或，则称射线是的“倍距线”．如图①，若，，满足，则是的一条“倍距线”． (1)若，是的一条“倍距线”，则的度数为______°．（写出一个答案即可） (2)如图②，点O在直线上，，． ①射线从开始，绕点以每秒的速度沿逆时针方向旋转．设运动时间为秒（，当t为何值时，是的“倍距线”？ ②如图③，将一直角三角板一个顶点放在点处，一边在射线上，另一边在直线的下方．将三角板绕点以每秒的速度沿逆时针方向旋转．设运动时间为秒，若是的“倍距线”，则______． 【答案】(1)（或或或） (2)①或或   ②3或4或8 【思路引导】本题考查了角度的计算，新定义，一元一次方程的应用； （1）根据新定义可得当在的外部时，，当在的内部时，为的三等分线，进而分类讨论，即可求解； （2）根据新定义按照（1）的方法，分类讨论，即可求解． ②同（1）的方法，得出当在的内部时，当在的外部时，分别列出一元一次方程，解方程，即可求解． 【规范解答】（1）解：∵是的一条“倍距线”， ∴或， 如图所示，当在的外部时，， 当在的内部时，为的三等分线， ∵， 当在的外部时，，则 当在的内部时，为的三等分线，则或 综上，的度数为或或或； 故答案为：（或或或）． （2）解：①射线从开始，绕点以每秒的速度沿逆时针方向旋转．设运动时间为秒 ∴ ∵，． ∴ ∵是的“倍距线” 由（1）可得当在的内部时，或 即或 解得：或 当在的外部时， 即 解得： 综上， 或或． ②∵是的“倍距线”， ∴或， 当在的内部时， 或 即或 解得：或 当在的外部时， ，则 ∴ 解得： 综上：或4或8 故答案为：3或4或8． 题型8 与余角、补角有关的计算 【精讲】（24-25七年级上·河北石家庄·期中）如图1．点为直线上一点，过点作射线，使．将一直角三角板的直角顶点放在点处，一边在射线上，另一边在直线的下方． (1)将图1中的三角板绕点处逆时针（箭头所指方向）旋转至图2．使一边在的内部且恰好平分，求的度数； (2)将图1中的三角板绕点顺时针（箭头所指方向）旋转至图3，使在的内部．则   ． (3)将图1中的三角板绕点沿顺时针方向旋转一周，在旋转的过程中，当射线中的某一条射线是另外两条射线所夹角的角平分线时，旋转角的度数是 ． 【答案】(1) (2) (3)或或 【思路引导】本题主要考查了利用邻补角互补求角度，角平分线的有关计算，熟练掌握角平分线的有关计算并运用分类讨论思想是解题的关键． （1）利用邻补角互补可求出，由平分可得，再根据即可得出答案； （2）由角的和差关系可得，，进而可得，于是可得答案； （3）分三种情况讨论：当平分时；当平分时；当平分时；分别求出旋转的角度，即可得出答案． 【规范解答】（1）解：， ， 恰好平分， ， ； （2）解：， ， ， ， 故答案为：； （3）解：分三种情况讨论： 如图，当平分时， ， 旋转的角度是； 如图，当平分时， ， 旋转的角度是； 如图，当平分时， ， 旋转的角度是； 综上，当射线中的某一条射线是另外两条射线所夹角的角平分线时，旋转角的度数是或或， 故答案为：或或． 【变式1】（25-26七年级上·河北唐山·期中）【问题情境】O为直线上一点，过点O在直线上方作射线，将一块三角板的直角顶点与点O重合，射线和三角板均可以围绕点O旋转（旋转时始终在直线上方）． 【操作探究】 (1)如图1，若，当三角板的直角边与重合时，_____，_____； (2)在（1）的条件下，将三角板绕点O逆时针旋转一定角度得到图2，若此时恰好是的平分线，试说明也是的平分线； (3)如图3，旋转射线和三角板，始终满足平分，当时，求的度数，并根据结果猜想旋转过程中与之间的数量关系． 【答案】(1)， (2)见解析 (3)；猜想，理由见解析 【思路引导】本题主要考查余角和补角，角平分线的定义，解题的关键是结合图形分析清楚角与角之间的关系． （1）由邻补角和余角的定义即可求解； （2）由角平分线的定义可得，再根据，利用平角的定义可得，进而得到，即可说明； （3）根据，，求出，，再根据平分，得到，即可求出此时的度数；猜想，根据角平分线的定义，余角，补角的定义得到，即可说明． 【规范解答】（1）解：由题意得，， ∵， ∴，， 故答案为：，； （2）解：∵是的平分线， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴也是的平分线； （3）解：∵，， ∴，， ∵平分， ∴， ∴； 猜想：， ∵平分， ∴， ∴，即， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 【变式2】已知，直线相交于点O，，是的平分线． (1)如图1所示，求的度数； (2)如图2所示，作的平分线，求的度数； (3)在（2）的条件下，请你过点O作射线，使得为的余角的2倍，求的度数． 【答案】(1) (2) (3)或 【思路引导】此题考查了角平分线定义和角度的和差计算． （1）求出，求出是平分线，求出即可； （2）求出，根据角平分线的定义求出； （3）求出，内部画和在内部画，分别进行解答即可． 【规范解答】（1）解：∵， ∴ ∵是的平分线， ∴ ∴ （2）解：∵， ∴， ∵， ∴ ∵是的平分线 ∴ ∴ ∵平分， ∴ 答：的度数是． （3）解：∵， ∴的余角是， ∴ ①∵， ∴在内部画，则 ∵ ∴ ②同理在内部画， 答：的度数是或． 题型9 同（(等)角的余(补)角相等的应用 【精讲】（24-25七年级下·广东佛山·月考）数学活动课上，小聪同学摆弄着自己刚购买的一套三角板，将两块直角三角板的直角顶点C叠放在一起，然后转动三角板，在转动过程中，如图所示，请解决以下问题： (1)①________（填“＞”“＜”或“＝”）； ②当时，求的度数； (2)若为任意锐角时，猜想：与之间的数量关系．（直接写出答案，不写证明过程） 【答案】(1)①；② (2)， 【思路引导】本题考查的是角的和差运算，与余角补角相关的计算； （1）①由可得； ②求解，结合，利用可得答案； （2）由，，再结合角的和差运算可得答案． 【规范解答】（1）解：①∵， ∴， ∴； ② ，， ， 由（1）知， ． （2）解：当为任意锐角时，， 理由如下： ，， ． 【变式1】（2024七年级上·全国·专题练习）已知O为直线上的一点，． (1)如图①，以O为观察中心，射线表示正北方向，表示正东方向． ①若，则射线的方向是_________； ②与的关系为_________； ③与的关系为_________． (2)若将射线、射线绕点O旋转至如图②所示的位置，另一条射线恰好平分．若，求的度数； (3)若将射线、射线绕点O旋转至如图③所示的位置，射线仍然平分与之间存在怎样的数量关系？请说明理由． 【答案】(1)①北偏东；②相等；③互补 (2) (3)，理由见解析 【思路引导】本题主要考查了方向角的定义，以及角平分线的定义，余角与补角的性质，对定义的熟练掌握是解题关键． （1）①根据方向角的定义即可求解； ②根据同角的余角相等即可得出结论； ③先根据同角的余角相等得出，再根据两角互补的定义即可得出结果； （2）①根据同角的余角可知，又根据角平分线的定义可得，两式相减即可得出结果； （3）根据角的和差，以及角平分线的定义即可求解． 【规范解答】（1）解：①∵， ∴射线的方向是北偏东； ②∵由题意知，， ∴； ③由题意知，， ∴， 又， ∴． 即与的关系为互补． 故答案为：①北偏东；②相等；③互补； （2）由题意知，， ∴． ∵恰好平分， ∴， ∴， ∴． （3），理由如下： ∵为的平分线， ∴， ∴． ∵， ∴， ∴． 【变式2】阅读下面材料 小聪遇到这样一个问题：如图1，∠AOB＝α，请画一个∠AOC，使∠AOC与∠BOC互补． 小聪是这样思考的：首先通过分析明确射线OC在∠AOB的外部，画出示意图，如图2所示：然后通过构造平角找到∠AOC的补角∠COD． 如图3所示：进而分析要使∠AOC与∠BOC互补，则需∠BOC＝∠COD． 因此，小聪找到了解决问题的方法：反向延长射线OA得到射线OD，利用量角器画出∠BOD的平分线OC，这样就得到了∠BOC与∠AOC互补． (1)根据小聪的画法可知，如图3，点O在直线AD上，射线OC平分∠BOD．请说明∠AOC与∠BOC互补的理由； (2)参考小聪的画法，请在图4中画出一个∠AOH，使∠AOH与∠BOH互余（保留画图痕迹）； (3)已知∠EPQ和∠FPQ互余，射线PM平分∠EPQ，射线PN平分∠FPQ，若∠EPQ＝β（45°＜β＜90°），直接写出锐角∠MPN的度数是　 　． 【答案】(1)理由见解析 (2)见解析 (3)45°或|β﹣45°| 【思路引导】（1）根据角平分线的定义可得∠BOC＝∠COD，根据等角的补角相等即可求得答案； （2）先通过分析明确射线在的外部，作（或）的垂线，再利用量角器画出（或）的平分线即可得； 【规范解答】（1）如图3中，∵OC平分∠BOD， ∴∠BOC＝∠COD， ∵∠AOC+∠COD＝180°， ∴∠AOC+∠BOC＝180°， 即∠AOC与∠BOC互补； （2）与互余， ， ， 射线在的外部， 先作（或）的垂线，再利用量角器画出（或）的平分线，如图所示： 或 （3）如图， ∵PM平分∠EPQ，PN平分∠FPQ， ∴∠MPQ＝∠EPQ，∠NPQ＝∠FPQ， ∵∠MPN＝∠MPQ+∠NPQ ＝∠EPQ+∠FPQ ＝∠EPF， ∵∠EPQ和∠FPQ互余， ∴∠EPQ+∠FPQ＝90°， 即∠EPF＝90°， ∴∠MPN＝45°； 如图： ∵PM平分∠EPQ，PN平分∠FPQ， ∴∠MPQ＝∠EPQ，∠NPQ＝∠FPQ， ∵∠MPN＝|∠MPQ﹣∠NPQ|＝|∠EPQ﹣∠FPQ|， ∵∠EPQ和∠FPQ互余，∠EPQ＝β， ∴∠FPQ＝90°﹣β， ∴∠MPN＝|β﹣∠（90°﹣β）|＝|β﹣45°|， 故答案为：45°或|β﹣45°|． 【考点剖析】本题考查了画垂线和角平分线、与角平分线有关的计算，较难的是题（3），正确分两种情况讨论是解题关键． 1．（25-26七年级上·辽宁·期末）如图，已知，点B、O、D在同一条直线上，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【思路引导】本题考查了角度的和差计算，解题的关键是根据图形得出各个角度之间的和差关系． 根据，求出，进而根据平角的定义得出即可． 【规范解答】解：∵， ∴， ∴． 故选：B． 2．（23-24七年级上·全国·期末）在灯塔O处观测到轮船A位于北偏西的方向，同时轮船B在南偏东的方向，那么的大小为（     ） A． B．    C． D． 【答案】C 【思路引导】本题考查了方向角以及角的和差，正确理解方向角的概念以及利用角的和差确定出的构成是解题的关键． 利用方向角的定义求解即可． 【规范解答】解：根据题意如图所示： ， 故选：C． 3．（24-25七年级上·甘肃平凉·期末）已知与互为余角，与互为补角，，则等于（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【思路引导】本题涉及余角和补角的概念；余角是指两个角的和为，补角是指两个角的和为，先根据与互补求出，再根据与互余求出． 【规范解答】解：∵与互补， ∴，即， ∵， ∴， ∵与互为余角， ∴， ∴． 故选：C． 4．（25-26七年级上·吉林长春·期末）将两块三角板（）的直角顶点O重合如图放置在桌面上，下列结论：①；②；③；④．其中正确的结论是 ．（请将正确的结论序号填在横线上） 【答案】①④/④① 【思路引导】本题考查了与余角、补角有关的角度计算，正确运用角的和差计算是解题的关键． 根据角的和差关系，逐个分析判断即可得出结论． 【规范解答】解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴，故①正确； ∵不一定是的角平分线， ∴不一定等于，故②错误； ∵与不一定相等， ∴与不一定相等， ∴与不一定相等，故③错误； ∵， ∴，故④正确； 综上所述，正确的结论是①④． 故答案为：①④． 5．（23-24七年级上·陕西西安·期末）若的余角是，则的补角用度、分、秒表示为 ． 【答案】 【思路引导】本题考查与余角和补角有关的计算，根据和为90度的两个角互余，和为180度的两个角互补，进行求解即可． 【规范解答】解：由题意，， ∴的补角为， ∵， ∴的补角为； 故答案为：． 6．（23-24七年级上·辽宁·期末）一个角是这个角补角的，则这个角的度数为 【答案】 【思路引导】本题主要考查两角互补的定义，此题比较简单． 根据互为补角的定义即可求解． 【规范解答】解：设这个角的度数为，则这个角补角的度数为， 根据题意列方程得：， 解得：， ∴这个角的度数为， 故答案为：． 7．（23-24七年级上·山东枣庄·期末）如图，与的度数比为，平分，若，则的度数是 ．    【答案】/60度 【思路引导】本题考查了角平分线的定义、角的运算，设，，所以，由角平分线定义可得，则，然后求出的值即可，利用方程思想解决角度计算是解题的关键． 【规范解答】解：∵与的度数比为， ∴设，， ∴， ∵平分， ∴， ∴，解得：， ∴， 故答案为：． 8．（25-26七年级上·浙江杭州·期末）如图，，，平分，平分． (1)求出及其补角的度数； (2)求出和的度数，并判断与是否互补； (3)若,,则与是否互补? 请说明理由． 【答案】(1)， (2)，，与互补，详见解析 (3)与不一定互补，详见解析 【思路引导】本题主要考查了几何图形中角度的计算，求一个角的补角度数，补角的定义，角平分线的定义，熟练掌握以上知识点是做题的关键． （1）根据以及补角的定义即可求值； （2）根据补角的定义和角平分线的定义即可得出答案； （3）根据补角的定义即可做出判断． 【规范解答】（1）解：， 其补角为． 答：的度数为，其补角的度数为． （2）解：与互补，理由如下： ∵平分，平分， ∴，， ∴． 由（1）可知，， ∴， ∴与互补． 答：，，与互补． （3）解：与不一定互补，理由如下： ∵平分，平分， ∴，， ∴， ∴． ∵的度数不确定， ∴与不一定互补． 9．（24-25七年级上·甘肃平凉·期末）已知，，平分． (1)如图1，若，求的度数； (2)将绕点O按顺时针方向旋转到如图2所示的位置，若，求的度数（用含的代数式表示）； (3)继续将绕点O按顺时针方向旋转到如图3所示的位置，若，求的度数（用含的代数式表示）． 【答案】(1) (2) (3) 【思路引导】本题考查了角平分线的有关计算；能熟练用角的和差表示出所求的角是解题的关键． （1）由角的和差得 ，由角的平分线得，即可求解； （2）由角的和差得 ，由角的平分线得，即可求解； （3）由角的和差得 ，由角的平分线得，即可求解． 【规范解答】（1）解： ，， ， ， 平分， ， ； （2）解： ，， ， 平分， ， ； （3）解： ，， ， 平分， ， ． 10．（23-24七年级上·广东深圳·期末）如图1，点为直线上点，过点作射线，使．现将一直角三角板的直角顶点放在点处，一边与射线重合，如图2． (1)_____； (2)如图3，将三角板绕点逆时针旋转一定角度，此时是的角平分线，求的度数； (3)将三角板绕点逆时针旋转，在与重合前，是否有某个时刻满足 ，如果有，求此时的度数；如果没有，请说明理由． 【答案】(1) (2) (3)或 【思路引导】本题主要考查了平面内直角三角板在直线上旋转．熟练掌握余角定义，平角定义，角平分线计算，角的和差倍分计算，分类讨论，是解决问题的关键．两个角的和等于，这两个角叫做互为余角． （1）根据，，即得； （2）根据是的平分线，，得到，根据，即得； （3）当在内部，根据，，得到， ，根据，得到，即得；当在外部，得到， 得到，即得． 【规范解答】（1）解：∵，， ∴； 故答案为：； （2）解：∵是的平分线，， ∴， ∵， ∴； （3）解：当在内部，如图1， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴； 当在外部，如图2，， ∴， ∴． 故的度数为：或． 第 1 页 共 11 页 学科网（北京）股份有限公司 $ 专项突破10 角的计算 （知识回顾+9个重难点培优题型+真题演练 共37题） 【原卷版】 知识回顾 技巧点拨 2 知识点梳理01：角的概念 2 知识点梳理02：角的表示方法 2 知识点梳理03：角的度量 3 知识点梳理04：角的大小比较 3 知识点梳理05：角的分类 4 知识点梳理06：角的和差计算 4 知识点梳理07：角平分线 4 知识点梳理08：余角和补角 5 重点难点 培优讲练 5 题型1 角的比较 5 题型2 三角板中角度计算问题 7 题型3 几何图形中角度计算问题 9 题型4 角度的四则运算 10 题型5 实际问题中角度计算问题 11 题型6 角平分线的有关计算 13 题型7 角n等分线的有关计算 15 题型8 与余角、补角有关的计算 18 题型9 同（(等)角的余(补)角相等的应用 21 期末真题 实战演练 23 知识点梳理01：角的概念 1.角的定义一：有公共端点的两条射线组成的图形叫做角，这个公共端点是角的顶点，这两条射线是角的两条边．如图1所示，角的顶点是点O，边是射线OA、OB． 2.角的定义二：一条射线绕着它的端点旋转而形成的图形，射线旋转时经过的平面部分是角的内部．如图所示，射线OA绕它的端点O旋转到OB的位置时，形成的图形叫做角，起始位置OA是角的始边，终止位置OB是角的终边． 【易错点拨】 （1）两条射线有公共端点，即角的顶点；角的边是射线；角的大小与角的两边的长短无关． （2）平角与周角：如图1所示射线OA绕点O旋转，当终止位置OB和起始位置OA成一条直线时，所形成的角叫做平角，如图2所示继续旋转，OB和OA重合时，所形成的角叫做周角． 知识点梳理02：角的表示方法 1.角的表示法：角的几何符号用“∠”表示，角的表示法通常有以下四种： 角的表示方法 图示 记法 适用条件 ①三个大写字母 任何情况都适用 ②一个大写字母 该角的顶点处只有一个角 ③数字 任何情况都适用，但需要提前在图中标注 ④希腊字母 任何情况都适用，但需要提前在图中标注 【易错点拨】 用数字或小写希腊字母表示角时，要在靠近角的顶点处加上弧线，且注上阿拉伯数字或小写希腊字母． 2.角的画法： （1）用三角板可以画出30°、45°、60°、90°等特殊角． （2）用量角器可以画出任意给定度数的角． （3）利用尺规作图可以画一个角等于已知角． 知识点梳理03：角的度量 1.角的度量单位是度（）、分（）、秒（），把一个周角平均分成360等份，每一份就是1°的角，1°的为1分，记作“1′”，1′的为1秒，记作“1″”．这种以度、分、秒为单位的角的度量制，叫做角度制． 2.角的单位换算：1周角＝360°，1平角＝180°，1°＝60′，1′＝60″． 【易错点拨】 在进行有关度分秒的计算时，要按级进行，即分别按度、分、秒计算，不够减，不够除的要借位，从高一位借的单位要化为低位的单位后再进行运算，在相乘或相加时，当低位得数大于等于60时要向高一位进位． 知识点梳理04：角的大小比较 角的比较：角的大小比较与线段的大小比较相类似，方法有两种． 方法1：度量法．先用量角器量出角的度数，然后比较它们的大小． 方法2：叠合法．把其中的一个角移到另一个角上作比较． 如比较∠AOB和∠A′O′B′的大小： 如下图，由图（1）可得∠AOB＜∠A′O′B′；由图(2)可得∠AOB＝；由图(3)可得∠AOB＞． 知识点梳理05：角的分类 角按照大小可分为 知识点梳理06：角的和差计算 角的和、差关系 如图所示，∠AOB是∠1与∠2的和，记作：∠AOB＝∠1+∠2；∠1是∠AOB与∠2的差，记作：∠1＝∠AOB-∠2． 【易错点拨】 (1)用量角器量角和画角的一般步骤： ①对中(角的顶点与量角器的中心对齐)； ②重合(一边与刻度尺上的零度线重合)； ③读数(读出另一边所在线的度数)． (2) 利用三角板除了可以做出30°、45°、60°、90°外，根据角的和、差关系，还可以画出15°，75°，105°，120°，135°，150°，165°的角． 知识点梳理07：角平分线 角平分线的概念： 文字语言：从一个角的顶点出发，把这个角分成相等的两个角的射线，叫做这个角的平分线． 图形语言： 几何语言：如图所示，OC是∠AOB的角平分线， ∠AOB＝2∠AOC＝2∠BOC，∠AOC＝∠BOC =∠AOB． 知识点梳理08：余角和补角 1、余角： （1）定义：一般地，如果两个角的和等于90°(直角)，就说这两个角互为余角，即其中一个角是另一个角的余角． （2）性质：同角（等角）的余角相等． 2、补角： （1）定义：如果两个角的和等于180°(平角)，就说这两个角互为补角，即其中一个角是另一个角的补角． （2）性质：同角（等角）的补角相等． 【易错点拨】 (1)互余互补指的是两个角的数量关系，互余、互补的两个角只与它们的和有关，而与它们的位置无关． (2)一般地，锐角α的余角可以表示为(90°-α)，一个角α的补角可以表示为(180°-α) ．显然一个锐角的补角比它的余角大90°。 题型1 角的比较 【精讲】（23-24六年级下·山东烟台·期中）如图，，请你根据图形，求解下列问题： (1)在中，哪些角是锐角？哪些角是直角？哪些角是钝角？哪些角是平角？并用“”把它们连接起来； (2)是哪两个角的和？ (3)写出中某些角之间的两个等量关系； (4)如果，则的度数为_________． 【变式1】（24-25七年级上·北京大兴·期末）如图，点是射线外一点．按下列语句画图并回答问题： (1)画射线； (2)在射线上截取； (3)连接； (4)根据图形可得： （用“”，“”或“”填空）； (5)与的大小关系是： （用“”，“”或“”填空） 【变式2】（23-24七年级上·广西北海·期末）有如下说法：①直线是一个平角；②如果线段，则是线段的中点；③在同一平面内，，，；④两点之间，线段最短．其中正确的有（　　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 题型2 三角板中角度计算问题 【精讲】（25-26七年级上·河北石家庄·期中）如图，将两块直角三角板的直角顶点叠放在一起． (1)_____（填“”、“”或“”）； (2)当时，求的度数； (3)猜想与的数量关系，并说明理由； (4)将三角板绕点逆时针旋转一周，当直线平分时，的度数为_______（注：不写过程，直接写出结果，只填写小于平角的结果）． 【变式1】（22-23八年级下·河南郑州·期中）把一副直角三角尺如图摆放，，，，斜边、在直线l上，保持不动，在直线l上平移，当以点三点为顶点的三角形是直角三角形时，则的度数是（    ） 　 A． B． C．或 D．或 【变式2】（21-22七年级下·辽宁大连·开学考试）如图，两块三角板摆放在一起，射线平分平分． (1)求的度数； (2)如果(1)中，一个三角板绕点O旋转一定角度，使得，其它条件不变，求的度数； (3)如果(1)中，一个三角板绕点O旋转一定角度，使得，(α为锐角)，其它条件不变，求的度数； (4)如果(1)中，一个三角板绕点O旋转一定角度，使得(β为锐角)，其它条件不变，求的度数． 题型3 几何图形中角度计算问题 【精讲】（25-26七年级上·重庆·期中）点O是直线上一点，，平分． (1)如图1，若，则_____________，_____________； (2)将图1中的绕顶点O顺时针旋转至图2所示的位置，其他条件不变，若，求的度数（用含的代数式表示）； (3)将图1中的绕顶点O顺时针旋转至图3所示的位置，其他条件不变，请直接写出与之间的数量关系． 【变式1】（25-26七年级上·河北保定·期中）如图，直线与相交于点，，一个直角三角尺的直角顶点与点重合，平分，现将三角尺以每秒的速度绕点顺时针旋转，同时直线也以每秒的速度绕点顺时针旋转，设运动时间为秒，当平分时，的值为 ． 【变式2】（25-26七年级上·四川成都·期中）若，则称是的“余倍角”，例如：若，，则是的“余倍角”，但不是的“余倍角”． (1)如图 1，已知 ，在内存在一条射线，使得是的“余倍角”，此时 ；（直接填写答案） (2)如图 2，已知，若平面内存在射线、（在直线的上方），使得是的“余倍角”，且 ，求的大小； (3)如图 3，若，射线从出发绕点以每秒的速度逆时针旋转，射线从出发绕点以每秒的速度顺时针旋转，平分，平分，运动时间为秒（ ）．若是的“余倍角”，求出此时的值． 题型4 角度的四则运算 【精讲】（24-25七年级上·河南三门峡·期末）计算： (1) ； (2)； (2) ； (4)． 【变式1】（22-23七年级下·安徽亳州·期末）计算： (1)（结果用度、分、秒表示）； (2)（结果用度表示）． 【变式2】（21-22七年级上·湖北孝感·期末）计算： (1)； (2)． 题型5 实际问题中角度计算问题 【精讲】（23-24七年级上·陕西西安·阶段练习）如图1，点为直线上一点，过点作射线，，，始终在的右侧，，． (1)如图1，当，平分时，求的度数； (2)如图2，当与边重合，在的下方时，，将绕点按每秒的速度沿逆时针方向旋转，使射线与的角平分线形成夹角为，求此时旋转一共用了多少秒； (3)当在直线上方时，若，点在射线上，射线绕点顺时针旋转度，恰好使得，平分，，请直接写出此时的值． 【变式1】（21-22七年级上·湖南长沙·期末）如图1，大课间的广播操展让我们充分体会到了一种整体的图形之美，欢欢和乐乐想从数学角度分析下如何能让班级同学们的广播操做得更好，他们搜集了标准广播操图片进行讨论，如图2，为了方便研究，定义两手手心位置分别为，两点，两脚脚跟位置分别为，两点，定义，，，平面内为定点，将手脚运动看作绕点进行旋转： (1)填空：如图2，，，三点共线，且，则______° (2)第三节腿部运动中，如图3，欢欢发现，虽然，，三点共线，却不在水平方向上，且．她经过计算发现，的值为定值，请判断欢欢的发现是否正确，如果正确请求出这个定值，如果不正确，请说明理由； (3)第四节体侧运动中，乐乐发现，两腿左右等距张开且，开始运动前、、三点在同一水平线上，、绕点顺时针旋转，旋转速度为，旋转速度为，当旋转到与重合时，运动停止，如图4 ①运动停止时，直接写出______； ②请帮助乐乐求解运动过程中与的数量关系． 【变式2】（23-24七年级上·陕西咸阳·期末）如图，已知是的角平分线，是的角平分线． （1）若，，求的度数； （2）若，且，求的度数． 题型6 角平分线的有关计算 【精讲】（25-26七年级上·河北唐山·期中）如图，，将一个直角三角尺的顶点与点O重合，，平分，三角尺始终在的内部（三角尺的边可以与，重合）． (1)如图1，当在射线上时，的度数为 ； (2)如图2，三角尺在的内部，当平分时，求的度数； (3)如图3，三角尺从与重合开始，以每秒的速度绕点O按图中的方向旋转，当到达处停止旋转．在三角尺旋转过程中，作为角平分线时，的值为 （直接写出答案）． 【变式1】（24-25七年级下·黑龙江大庆·期中）如图1，射线在的内部，图中共有3个角：，和，若其中有一个角的度数是另一个角度数的三倍，则称射线是的“启仔等分线”．如图2，，若射线绕点P从位置开始，以每秒的速度顺时针旋转，当首次等于时停止旋转，设旋转的时间为秒当 时，射线是的“启仔等分线”． 【变式2】（25-26七年级上·河北石家庄·期中）已知，和均可绕点进行旋转，点，，在同一条直线上，是的平分线． (1)如图1，当点与点重合，点与点重合，且射线和射线在直线的同侧时，求的度数． (2)在（1）的基础上，若从处开始绕点逆时针方向旋转，转速为每秒，同时从处开始绕点顺时针方向旋转，转速为每秒， ①当旋转_______秒时，与第一次重合； ②直接写出与第一次从相遇到分开所经历的时间． (3)在（1）的基础上，若从处开始绕点逆时针方向旋转，转速为每秒，同时从处开始绕点逆时针方向旋转，转速为每秒，如图所示，当旋转时，则的度数为_______． 题型7 角n等分线的有关计算 【精讲】（24-25七年级上·四川广安·期末）如图，已知，射线在的内部，射线是靠近的三等分线，射线是靠近的三等分线． (1)若平分，求的度数． (2)小明说：“不论射线在的内部哪个位置，的度数始终保持不变．”你认为小明的说法是否正确？请说明理由． 【变式1】（24-25七年级上·湖南株洲·期末）（1）如图1，点在线段上，图中共有3条线段：，和，若其中有一条线段的长度是另一条线段长度的两倍，则称点是线段的“二倍点”．则线段上共有_____个“二倍点”． （2）类似的如图1，射线在内部，图中共有3个角：，和，若其中一个角的度数是另一个角度数的两倍，则称射线是的“二倍线”．则内部共有_____条“二倍线”． （3）如图2，若线段，点． 从点的位置开始，以每秒的速度向点A运动，当点到达点A时停止运动，设运动的时间为秒．问为何值时，点是线段的“二倍点”． （4）如图3，若，射线从射线的位置开始，绕点按逆时针方向以每秒的速度向射线旋转，当射线到达射线的位置时停止旋转，设射线旋转的时间为秒，若射线是的“二倍线”，求的值． 【变式2】（24-25七年级上·江苏南京·期末）定义：在同一平面内有，，三条射线．若分别与，形成的角的度数成2倍关系，即或，则称射线是的“倍距线”．如图①，若，，满足，则是的一条“倍距线”． (1)若，是的一条“倍距线”，则的度数为______°．（写出一个答案即可） (2)如图②，点O在直线上，，． ①射线从开始，绕点以每秒的速度沿逆时针方向旋转．设运动时间为秒（，当t为何值时，是的“倍距线”？ ②如图③，将一直角三角板一个顶点放在点处，一边在射线上，另一边在直线的下方．将三角板绕点以每秒的速度沿逆时针方向旋转．设运动时间为秒，若是的“倍距线”，则______． 题型8 与余角、补角有关的计算 【精讲】（24-25七年级上·河北石家庄·期中）如图1．点为直线上一点，过点作射线，使．将一直角三角板的直角顶点放在点处，一边在射线上，另一边在直线的下方． (1)将图1中的三角板绕点处逆时针（箭头所指方向）旋转至图2．使一边在的内部且恰好平分，求的度数； (2)将图1中的三角板绕点顺时针（箭头所指方向）旋转至图3，使在的内部．则   ． (3)将图1中的三角板绕点沿顺时针方向旋转一周，在旋转的过程中，当射线中的某一条射线是另外两条射线所夹角的角平分线时，旋转角的度数是 ． 【变式1】（25-26七年级上·河北唐山·期中）【问题情境】O为直线上一点，过点O在直线上方作射线，将一块三角板的直角顶点与点O重合，射线和三角板均可以围绕点O旋转（旋转时始终在直线上方）． 【操作探究】 (1)如图1，若，当三角板的直角边与重合时，_____，_____； (2)在（1）的条件下，将三角板绕点O逆时针旋转一定角度得到图2，若此时恰好是的平分线，试说明也是的平分线； (3)如图3，旋转射线和三角板，始终满足平分，当时，求的度数，并根据结果猜想旋转过程中与之间的数量关系． 【变式2】已知，直线相交于点O，，是的平分线． (1)如图1所示，求的度数； (2)如图2所示，作的平分线，求的度数； (3)在（2）的条件下，请你过点O作射线，使得为的余角的2倍，求的度数． 题型9 同（(等)角的余(补)角相等的应用 【精讲】（24-25七年级下·广东佛山·月考）数学活动课上，小聪同学摆弄着自己刚购买的一套三角板，将两块直角三角板的直角顶点C叠放在一起，然后转动三角板，在转动过程中，如图所示，请解决以下问题： (1)①________（填“＞”“＜”或“＝”）； ②当时，求的度数； (2)若为任意锐角时，猜想：与之间的数量关系．（直接写出答案，不写证明过程） 【变式1】（2024七年级上·全国·专题练习）已知O为直线上的一点，． (1)如图①，以O为观察中心，射线表示正北方向，表示正东方向． ①若，则射线的方向是_________； ②与的关系为_________； ③与的关系为_________． (2)若将射线、射线绕点O旋转至如图②所示的位置，另一条射线恰好平分．若，求的度数； (3)若将射线、射线绕点O旋转至如图③所示的位置，射线仍然平分与之间存在怎样的数量关系？请说明理由． 【变式2】阅读下面材料 小聪遇到这样一个问题：如图1，∠AOB＝α，请画一个∠AOC，使∠AOC与∠BOC互补． 小聪是这样思考的：首先通过分析明确射线OC在∠AOB的外部，画出示意图，如图2所示：然后通过构造平角找到∠AOC的补角∠COD． 如图3所示：进而分析要使∠AOC与∠BOC互补，则需∠BOC＝∠COD． 因此，小聪找到了解决问题的方法：反向延长射线OA得到射线OD，利用量角器画出∠BOD的平分线OC，这样就得到了∠BOC与∠AOC互补． (1)根据小聪的画法可知，如图3，点O在直线AD上，射线OC平分∠BOD．请说明∠AOC与∠BOC互补的理由； (2)参考小聪的画法，请在图4中画出一个∠AOH，使∠AOH与∠BOH互余（保留画图痕迹）； (3)已知∠EPQ和∠FPQ互余，射线PM平分∠EPQ，射线PN平分∠FPQ，若∠EPQ＝β（45°＜β＜90°），直接写出锐角∠MPN的度数是　 　． 1．（25-26七年级上·辽宁·期末）如图，已知，点B、O、D在同一条直线上，则的度数为（    ） A． B． C． D． 2．（23-24七年级上·全国·期末）在灯塔O处观测到轮船A位于北偏西的方向，同时轮船B在南偏东的方向，那么的大小为（     ） A． B．    C． D． 3．（24-25七年级上·甘肃平凉·期末）已知与互为余角，与互为补角，，则等于（    ） A． B． C． D． 4．（25-26七年级上·吉林长春·期末）将两块三角板（）的直角顶点O重合如图放置在桌面上，下列结论：①；②；③；④．其中正确的结论是 ．（请将正确的结论序号填在横线上） 5．（23-24七年级上·陕西西安·期末）若的余角是，则的补角用度、分、秒表示为 ． 6．（23-24七年级上·辽宁·期末）一个角是这个角补角的，则这个角的度数为 7．（23-24七年级上·山东枣庄·期末）如图，与的度数比为，平分，若，则的度数是 ．    8．（25-26七年级上·浙江杭州·期末）如图，，，平分，平分． (1)求出及其补角的度数； (2)求出和的度数，并判断与是否互补； (3)若,,则与是否互补? 请说明理由． 9．（24-25七年级上·甘肃平凉·期末）已知，，平分． (1)如图1，若，求的度数； (2)将绕点O按顺时针方向旋转到如图2所示的位置，若，求的度数（用含的代数式表示）； (3)继续将绕点O按顺时针方向旋转到如图3所示的位置，若，求的度数（用含的代数式表示）． 10．（23-24七年级上·广东深圳·期末）如图1，点为直线上点，过点作射线，使．现将一直角三角板的直角顶点放在点处，一边与射线重合，如图2． (1)_____； (2)如图3，将三角板绕点逆时针旋转一定角度，此时是的角平分线，求的度数； (3)将三角板绕点逆时针旋转，在与重合前，是否有某个时刻满足 ，如果有，求此时的度数；如果没有，请说明理由． 第 1 页 共 11 页 学科网（北京）股份有限公司 $