专项突破06 解一元一次方程（期末复习-知识回顾+6个重难点培优题型+真题演练 共31题）-2025-2026学年人教版数学七年级上册精讲练

该初中数学讲义以“解一元一次方程”为核心，通过知识回顾系统构建知识体系。知识点梳理部分用表格清晰呈现解一元一次方程的一般步骤、具体做法及注意事项，从概念界定到一般步骤再到特殊方程（含绝对值、含字母），层层递进呈现知识脉络，突出重难点分布与内在联系。 讲义亮点在于分层培优的题型设计，涵盖合并同类项与移项、去括号、去分母等基础题型，以及已知解求参数、绝对值方程等综合题型，如题型4“已知解求参数”培养推理意识，题型6结合数轴分析绝对值方程发展几何直观。真题演练与变式练习结合，帮助不同层次学生提升，知识梳理与方法指导并重，支持学生自主复习和教师精准教学。

专项突破06 解一元一次方程 （知识回顾+6个重难点培优题型+真题演练 共33题） 【原卷版】 知识回顾 技巧点拨 1 知识点梳理01：一元一次方程的有关概念 1 知识点梳理02：解一元一次方程的一般步骤 1 知识点梳理03：解特殊的一元一次方程 2 重点难点 培优讲练 3 题型1 解一元一次方程（一）-合并同类项与移项 3 题型2 解一元一次方程（二）-去括号 4 题型3 解一元一次方程（三）-去分母 4 题型4 已知一元一次方程的解，求参数 5 题型5 —元一次方程解的关系 7 题型6 绝对值方程 8 期末真题 实战演练 10 知识点梳理01：一元一次方程的有关概念 定义：只含有一个未知数（元），并且未知数的次数都是1，这样的方程叫做一元一次方程. 【易错点拨】 “元”是指未知数，“次”是指未知数的次数，一元一次方程满足条件： ①首先是一个方程;②其次是必须只含有一个未知数;③未知数的指数是1;④分母中不含有未知数． 知识点梳理02：解一元一次方程的一般步骤 变形名称 具体做法 注意事项 去分母 在方程两边都乘以各分母的最小公倍数 (1)不要漏乘不含分母的项 (2)分子是一个整体的，去分母后应加上括号 去括号 先去小括号，再去中括号，最后去大括号 (1)不要漏乘括号里的项 (2)不要弄错符号 移项 把含有未知数的项都移到方程的一边，其他项都移到方程的另一边(记住移项要变号) (1)移项要变号 (2)不要丢项 合并同类项 把方程化成的形式 字母及其指数不变 系数化成1 在方程两边都除以未知数的系数a，得到方程的解． 不要把分子、分母写颠倒 【易错点拨】 （1）解方程时，表中有些变形步骤可能用不到，而且也不一定要按照自上而下的顺序，有些步骤可以合并简化． (2) 去括号一般按由内向外的顺序进行，也可以根据方程的特点按由外向内的顺序进行. （3）当方程中含有小数或分数形式的分母时，一般先利用分数的性质将分母变为整数后再去分母，注意去分母的依据是等式的性质，而分母化整的依据是分数的性质，两者不要混淆． 知识点梳理03：解特殊的一元一次方程 1.含绝对值的一元一次方程 解此类方程关键要把绝对值化去，使之成为一般的一元一次方程，化去绝对值的依据是绝对值的意义． 【易错点拨】 此类问题一般先把方程化为的形式，再分类讨论： (1)当时，无解；（2）当时，原方程化为：；（3）当时，原方程可化为：或. 2.含字母的一元一次方程 此类方程一般先化为最简形式，再分三种情况分类讨论： （1）当时，；（2）当时，为任意有理数；（3）时，方程无解． 题型1 解一元一次方程（一）-合并同类项与移项 【精讲】（25-26七年级上·江苏扬州·期中）解下列方程： (1)； (2)． 【变式1】（25-26七年级上·湖北十堰·期中）解方程，计算 (1) (2) (3) (4) 【变式2】（25-26七年级上·重庆合川·期中）定义：如果两个一元一次方程的解之和为1，我们就称这两个方程为“美好方程”，例如：方程和为“美好方程”．若关于x的一元一次方程 和 是“美好方程”，那么关于y的一元一次方程 的解为 ． 题型2 解一元一次方程（二）-去括号 【精讲】（25-26七年级上·四川达州·月考）解方程： (1) (2) (3) 【变式1】（25-26七年级上·湖南怀化·期中）计算或解方程 (1)； (2)； (3)； (4)． 【变式2】（25-26七年级上·重庆合川·期中）解下列一元一次方程： (1)； (2)． 题型3 解一元一次方程（三）-去分母 【精讲】（25-26七年级上·四川成都·期中）已知关于的方程的解是整数，则满足条件的所有整数的和为 ． 【变式1】（25-26七年级上·浙江金华·期中）解下列方程： (1)； (2)． 【变式2】（25-26七年级上·山东滨州·期中）解下列方程： (1)； (2)； (4) ； (4)． 题型4 已知一元一次方程的解，求参数 【精讲】（25-26七年级上·四川达州·月考）（1）如果关于x，y的多项式与多项式的差与x的取值无关，求的值． （2）若关于x的方程的解为整数，求所有满足条件的整数a的和． 【变式1】（25-26七年级上·江苏无锡·期中）定义：如果两个方程的解相差（为正整数），则称解较大的方程为另一个方程的“和谐方程”，例如：方程是方程的“和谐方程”． (1)若方程是方程的“和谐方程”，则______． (2)若关于x的方程是关于x的方程的“和谐方程”，求m的值． 【变式2】（25-26七年级上·浙江杭州·期中）【程序】有一种整式处理器，能将“二次多项式”处理成“一次多项式”．处理方法是：将二次多项式的二次项系数与一次项系数的和作为一次多项式的一次项系数，将二次多项式的常数项作为一次多项式的常数项，例如多项式经过处理器得到，如图所示． 【应用】若关于的二次多项式经过处理器得到，根据以上方法，解决下列问题： (1)填空：若，则___________； (2)若，求关于的方程的解； (3)若，且方程的解是负整数，求整数的值． 题型5 —元一次方程解的关系 【精讲】（25-26七年级上·安徽安庆·期中）若关于的一元一次方程的解满足，则称该方程为“友好方程”．例如：方程的解为，而，则该方程为“友好方程”． (1)在方程①；②；③中，为“友好方程”的是_____；（填写序号即可） (2)若关于的一元一次方程是“友好方程”，求的值； (3)若关于的一元一次方程是“友好方程”，且它的解为，求的值． 【变式1】．（25-26七年级上·安徽滁州·期中）我们给出一种定义：如果两个一元一次方程的解的和为，那么我们就称这两个方程互为“漂亮方程”．例如：方程和互为“漂亮方程”． （）若关于的方程与互为“漂亮方程”，则的值为 ． （）若关于的方程与互为“漂亮方程”，则关于的方程的解是 ． 【变式2】25-26七年级上·江苏扬州·期中）我们规定：如果两个一元一次方程的解的积为，我们就称这两个方程为“互反方程”．例如：方程与方程为“互反方程”． (1)判断方程与是否为“互反方程”？并说明理由； (2)若关于的两个方程与为“互反方程”，求的值． 题型6 绝对值方程 31．（25-26七年级上·湖北荆门·期中）我们知道，表示5与之差的绝对值，实际上也可理解为5与两数在数轴上所对的两点之间的距离，试探索： (1)填空：若 ，则 ； (2)填空：使得 成立的是 ； (3)由以上探索，猜想对于任何有理数，是否有最小值？如果有，写出最小值，如果没有，说明理由． (4)由以上探索，猜想对于任何有理数，是否有最小值？如果有，直接写出最小值，并写出此时的值，如果没有，说明理由． 【变式1】（25-26七年级上·福建龙岩·期中）预备知识：在数学中，点与点之间的距离用表示．如图，在数轴上点A表示数a，点B表示数b，点C表示数c，已知数b是最小的正整数，且a，c满足． (1)填空：a＝ ，b＝ ，c＝ ． (2)点A，B，C开始在数轴上运动，若点A以每秒1个单位长度的速度向左运动，同时，点B和点C分别以每秒m（）个单位长度和4个单位长度的速度向右运动． ①运动后，求A，B，C三点在数轴上所表示的数； ②若在此过程中，的值为52，求m的值． (3)若在此数轴上有一动点Q，且点Q表示整数y，当取最小值时，求符合条件的所有的和． 【变式2】（25-26七年级上·广东东莞·期中）综合与实践： 【问题情境】 数学活动课上，王老师出示了一个问题：点、在数轴上分别表示有理数、，若、两点之间的距离表示为，在数轴上、两点之间的距离．利用数形结合思想回答下列问题： （1）数轴上表示2和6两点之间的距离是______；数轴上表示5和的两点之间的距离是______；数轴上表示和的两点之间的距离表示为______； 【独立思考】 试用数轴探究： （2）当时，______，当时，______； （3）的最小值为______，若，则______； 【实际应用】 （4）如图，在一条笔直的街道上有，，，四个小区，且相邻两个小区之间的距离均为．已知，，，四个小区各有2个，2个，2个，1个学生在同一所中学的同一班级上学，安全起见，这7个同学约定先在街道上某处汇合，再一起去学校．聪明的他们通过分析，发现在街道上的处汇合使所有学生从小区门口到汇合地点的路程之和最小，请问汇合地点设置在什么位置的时候，所有学生从小区门口到汇合地点的路程之和最小，并求出此最小值． 1．（21-22七年级上·河南周口·期末）方程，去分母得到了，这个变形（   ） A．分母的最小公倍数找错了 B．漏乘了不含分母的项 C．分子中的多项式没有添加括号，符号不对 D．正确 2．（23-24七年级上·陕西渭南·期末）已知关于的方程与的解互为相反数，则的值为（    ） A． B． C． D． 3．（21-22七年级上·甘肃平凉·期末）小明解关于x的一元一次方程时，有一个数看不清楚，但小红解得的答案是，则这个数为（    ） A． B． C．0 D．1 4．（24-25七年级上·辽宁抚顺·期末）定义一种新运算“&”：当时，；当时，；当时，．例如：．已知，则x的值为（    ） A．或 B．或2 C．或2 D．或或2 5．（24-25七年级上·广西梧州·期末）我们把不超过有理数的最大整数称为的整数部分，记作，又把称为的小数部分，记作，则有．如：，，，下列说法中正确的有（   ）个． ①；②； ③若是大于且小于的有理数，且，则； ④方程的解为． A．4 B．3 C．2 D．1 6．（24-25七年级上·安徽六安·期末）我们把不超过有理数x的最大整数称为x的整数部分，记作，又把称为x的小数部分，记作，则有．如：，，，下列说法中正确的有（    ）个 ①； ②； ③若，且，则或； ④方程的解为或． A．0 B．1 C．2 D．3 7．（23-24七年级下·上海杨浦·期中）已知关于x的方程（a，b为常数），无论k为何值，它的解总是，则的值是 ． 8．（22-23七年级上·全国·期末）若方程的解为，的解为： ． 9．（24-25七年级下·黑龙江绥化·期末）小明在解方程：去分母时，方程右边的1没有乘6，因而得到方程的解为，方程正确解为 ． 10．（25-26七年级上·江苏徐州·期末）规定：，，例如，．下列结论中：①能使成立的的值为或；②若，则；③式子的最小值是；④式子的最大值是．其中正确的是 ．(填序号) 11．（24-25六年级上·上海·月考）若关于的一元一次方程的解为，则关于的一元一次方程的解为 ． 12．（20-21七年级上·广东广州·期末）解下列方程： (1)： (2)． 13．（23-24七年级上·吉林辽源·期末）已知式子的值是0，求式子的值． 14．（23-24七年级上·河南驻马店·期末）（1）先化简，再求值： ，其中． （2）解方程： 15．（24-25七年级上·重庆巴南·期末）若规定：如果将两个一元一次方程的解相减，差的绝对值为Q，我们称这两个方程为“值Q方程”． 例如：方程的解是，方程的解是， ∵，∴方程与方程是“值3方程”． (1)下列方程中：①，②，③，组合满足为“值1方程”的是______，组合满足“值6方程”的是______（只填序号）； (2)若关于x的一元一次方程和是“值2方程”，求a的值； (3)无论k取任何数，关于x的方程与关于y的方程是“值3方程”，求mn的值． 第 1 页 共 11 页 学科网（北京）股份有限公司 $ 专项突破06 解一元一次方程 （知识回顾+6个重难点培优题型+真题演练 共33题） 【解析版】 知识回顾 技巧点拨 1 知识点梳理01：一元一次方程的有关概念 1 知识点梳理02：解一元一次方程的一般步骤 1 知识点梳理03：解特殊的一元一次方程 2 重点难点 培优讲练 3 题型1 解一元一次方程（一）-合并同类项与移项 3 题型2 解一元一次方程（二）-去括号 5 题型3 解一元一次方程（三）-去分母 8 题型4 已知一元一次方程的解，求参数 11 题型5 —元一次方程解的关系 14 题型6 绝对值方程 17 期末真题 实战演练 22 知识点梳理01：一元一次方程的有关概念 定义：只含有一个未知数（元），并且未知数的次数都是1，这样的方程叫做一元一次方程. 【易错点拨】 “元”是指未知数，“次”是指未知数的次数，一元一次方程满足条件： ①首先是一个方程;②其次是必须只含有一个未知数;③未知数的指数是1;④分母中不含有未知数． 知识点梳理02：解一元一次方程的一般步骤 变形名称 具体做法 注意事项 去分母 在方程两边都乘以各分母的最小公倍数 (1)不要漏乘不含分母的项 (2)分子是一个整体的，去分母后应加上括号 去括号 先去小括号，再去中括号，最后去大括号 (1)不要漏乘括号里的项 (2)不要弄错符号 移项 把含有未知数的项都移到方程的一边，其他项都移到方程的另一边(记住移项要变号) (1)移项要变号 (2)不要丢项 合并同类项 把方程化成的形式 字母及其指数不变 系数化成1 在方程两边都除以未知数的系数a，得到方程的解． 不要把分子、分母写颠倒 【易错点拨】 （1）解方程时，表中有些变形步骤可能用不到，而且也不一定要按照自上而下的顺序，有些步骤可以合并简化． (2) 去括号一般按由内向外的顺序进行，也可以根据方程的特点按由外向内的顺序进行. （3）当方程中含有小数或分数形式的分母时，一般先利用分数的性质将分母变为整数后再去分母，注意去分母的依据是等式的性质，而分母化整的依据是分数的性质，两者不要混淆． 知识点梳理03：解特殊的一元一次方程 1.含绝对值的一元一次方程 解此类方程关键要把绝对值化去，使之成为一般的一元一次方程，化去绝对值的依据是绝对值的意义． 【易错点拨】 此类问题一般先把方程化为的形式，再分类讨论： (1)当时，无解；（2）当时，原方程化为：；（3）当时，原方程可化为：或. 2.含字母的一元一次方程 此类方程一般先化为最简形式，再分三种情况分类讨论： （1）当时，；（2）当时，为任意有理数；（3）时，方程无解． 题型1 解一元一次方程（一）-合并同类项与移项 【精讲】（25-26七年级上·江苏扬州·期中）解下列方程： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【思路引导】此题考查了解一元一次方程． （1）方程去括号，移项，合并同类项，即可求出解； （2）方程去分母，去括号，移项，合并同类项，把x系数化为1，即可求出解． 【规范解答】（1）解：， 去括号得：， 移项得：， 合并同类项得：； （2）解：， 去分母得：， 去括号得：， 移项得：， 合并同类项得：， 解得：． 【变式1】（25-26七年级上·湖北十堰·期中）解方程，计算 (1) (2) (3) (4) 【答案】(1) (2) (3) (4) 【思路引导】本题考查解一元一次方程，有理数的混合运算： （1）移项，合并同类项，系数化1，进行求解即可； （2）去括号，移项，合并同类项，系数化1，进行求解即可； （3）先乘除，再进行减法运算即可； （4）根据混合运算的法则和运算顺序，进行计算即可． 【规范解答】（1）解：， ， ， 解得； （2）， ， ， ， 解得； （3）原式； （4）原式 ． 【变式2】（25-26七年级上·重庆合川·期中）定义：如果两个一元一次方程的解之和为1，我们就称这两个方程为“美好方程”，例如：方程和为“美好方程”．若关于x的一元一次方程 和 是“美好方程”，那么关于y的一元一次方程 的解为 ． 【答案】 【思路引导】本题考查了一元一次方程的解法及新定义“美好方程”的应用，解题的关键是先利用美好方程的定义求出对应方程的解，再通过换元法求解关于的方程． 先解出方程的解，利用“美好方程”的定义求出另一个方程的解；再将关于的方程变形为与该方程同形式的方程，通过换元法求出的值． 【规范解答】解：，得. ∵两方程为“美好方程”， ∴的解为 将关于的方程 整理为， 令，则方程为，此方程与形式相同，其解为， 即，解得. 故答案为：. 题型2 解一元一次方程（二）-去括号 【精讲】（25-26七年级上·四川达州·月考）解方程： (1) (2) (3) 【答案】(1) (2) (3) 【思路引导】本题考查了解一元一次方程（二）——去括号，解一元一次方程（三）——去分母，解题关键是掌握上述知识点并能熟练运用求解． （1）按去括号，移项，合并同类项，系数化为1，求解； （2）先去分母，再按去括号，移项，合并同类项，系数化为1，求解； （3）先将分子、分母中的系数化为整数，再按（2）的求法求解． 【规范解答】（1）解：， 去括号，得， 移项，得， 合并同类项，得， 系数化为1，得； （2）， 去分母，得， 去括号，得， 移项，得， 合并同类项，得， 系数化为1，得； （3）， 将方程中的分子、分母中的系数化为整数，得， 去分母，得， 去括号，得， 移项，得， 合并同类项，得， 系数化为1，得． 【变式1】（25-26七年级上·湖南怀化·期中）计算或解方程 (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【思路引导】本题考查了整式的加减，有理数的混合运算，解一元一次方程，熟练计算是解题的关键． （1）先去括号，再进行加减计算； （2）先算乘方和小括号，再算乘除，最后进行加减计算； （3）利用解一元一次方程的步骤进行解答即可； （4）对分子分母同乘以可得，再利用解一元一次方程的步骤进行解答即可． 【规范解答】（1）解： ； （2）解： ； （3）解： ； （4）解： ． 【变式2】（25-26七年级上·重庆合川·期中）解下列一元一次方程： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【思路引导】本题考查了解一元一次方程，掌握解一元一次方程的方法是解题的关键． （1）根据解一元一次方程的方法：去括号，移项，合并同类项，将系数化为1求解即可； （2）先根据分数的基本性质将方程变形，然后再根据解一元一次方程的方法：去分母，去括号，移项，合并同类项，将系数化为1求解即可． 【规范解答】（1）解：， 去中括号，得， 去括号，得， 移项、合并同类项，得， 将系数化为1，得； （2）解：， 由分数的基本性质，得，即， 去分母，得， 去括号，得， 移项、合并同类项，得， 将系数化为1，得． 题型3 解一元一次方程（三）-去分母 【精讲】（25-26七年级上·四川成都·期中）已知关于的方程的解是整数，则满足条件的所有整数的和为 ． 【答案】0 【思路引导】本题考查了含参数的一元一次方程求整数解．熟练掌握含参数的一元一次方程求整数解是解题的关键． 通过求解方程得到的表达式，根据解为整数的条件，确定 为 5 的约数，从而求出整数 的值并求和． 【规范解答】解方程 ． 去分母，两边同乘 6得， 展开 整理 移项 解得 由于为整数，故是5的约数，即或． 当 时，； 当 时，（非整数，舍去）； 当 时，（非整数，舍去）； 当 时，． 因此满足条件的整数 为 1 和，它们的和为 ． 故答案为0． 【变式1】（25-26七年级上·浙江金华·期中）解下列方程： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【思路引导】本题考查了一元一次方程的解法，解题的关键是熟练运用移项、合并同类项、去分母等解方程步骤． （1）移项合并同类项后系数化为1； （2）先去分母，再去括号、移项合并后系数化为1． 【规范解答】（1）解： ， ， ； （2）解： ， ， ， ， ． 【变式2】（25-26七年级上·山东滨州·期中）解下列方程： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【思路引导】本题主要考查解一元一次方程，掌握去分母、去括号、移项、合并同类项、化系数为1等解法是解题的关键． （1）移项、合并同类项、再把系数化为1求解即可； （2）去括号、移项，合并同类项、系数化为1求解； （3）去分母，两边同乘12，再求解即可； （4）先把小数化分数，再求解即可． 【规范解答】（1）解：， 移项得， 合并同类项得， 化系数为1得； （2）解：去括号， 移项得， 合并同类项得， 化系数为1得； （3）解：去分母，两边同乘12得， 去括号得， 移项合并同类项得， 化系数为1得； （4）解：， 小数化分数， 化简得， 去括号得， 移项合并同类项得， 化系数为1得． 题型4 已知一元一次方程的解，求参数 【精讲】（25-26七年级上·四川达州·月考）（1）如果关于x，y的多项式与多项式的差与x的取值无关，求的值． （2）若关于x的方程的解为整数，求所有满足条件的整数a的和． 【答案】（1）；（2）12 【思路引导】此题考查了整式加减中无关型问题，整式的化简求值，解一元一次方程，正确理解无关型问题的解题方法是解题的关键． （1）根据整式加减运算法则计算，然后根据取值与x取值无关得含x系数为0求得a、的值，再化简要求的代数式并代入计算即可； （2）整理一元一次方程求解得出，然后根据题意求解确定a的值即可得出结果． 【规范解答】解：（1）根据题意得： ， ∵关于x，y的多项式与多项式的差与x的取值无关， ∴， 解得：， ∴； （2）， 整理得：，即， 解得：， ∵关于x的方程的解为整数， ∴或， 解得：或 ∴， ∴所有满足条件的整数a的和为12． 【变式1】（25-26七年级上·江苏无锡·期中）定义：如果两个方程的解相差（为正整数），则称解较大的方程为另一个方程的“和谐方程”，例如：方程是方程的“和谐方程”． (1)若方程是方程的“和谐方程”，则______． (2)若关于x的方程是关于x的方程的“和谐方程”，求m的值． 【答案】(1)2 (2)1 【思路引导】本题考查了一元一次方程的解以及解一元一次方程，牢记“把方程的解代入原方程，等式左右两边相等”是解题的关键． （1）先求出两方程的解，作差后，即可得出结论； （2）由方程的解及关于x的方程是关于x的方程的“和谐方程”，可得出关于x的方程的解为，据此即可求解． 【规范解答】（1）∵方程的解为，方程的解为，， 方程是方程的“和谐方程”． 故答案为：2； （2）∵方程的解为，关于x的方程是关于x的方程的“和谐方程”， 关于x的方程的解为， ， 解得， 的值为1． 【变式2】（25-26七年级上·浙江杭州·期中）【程序】有一种整式处理器，能将“二次多项式”处理成“一次多项式”．处理方法是：将二次多项式的二次项系数与一次项系数的和作为一次多项式的一次项系数，将二次多项式的常数项作为一次多项式的常数项，例如多项式经过处理器得到，如图所示． 【应用】若关于的二次多项式经过处理器得到，根据以上方法，解决下列问题： (1)填空：若，则___________； (2)若，求关于的方程的解； (3)若，且方程的解是负整数，求整数的值． 【答案】(1) (2) (3)整数的值为或 【思路引导】本题考查了新定义运算，整式的加减运算，一元一次方程，根据题意列出一次多项式是解题的关键． （1）根据题意进行计算即可求解； （2）根据题意，得出，进而解方程即可求解； （3）根据，求出，联立求出，最后根据是关于的二次多项式，得出，进而即可求解． 【规范解答】（1）解：由题意得， ， 故答案为：； （2）解：由题意得， ， 当时， ， 解得； （3）解：由题意得， ， ∵， ∴ ， 解得， ∵是负整数， ∴是7的负因数（7的负因数为、)， 当时，， 此时（符合负整数)； 当时，， 此时（符合负整数)， 同时，A是二次多项式，故，上述m值均满足． 综上所述，整数的值为或． 题型5 —元一次方程解的关系 【精讲】（25-26七年级上·安徽安庆·期中）若关于的一元一次方程的解满足，则称该方程为“友好方程”．例如：方程的解为，而，则该方程为“友好方程”． (1)在方程①；②；③中，为“友好方程”的是_____；（填写序号即可） (2)若关于的一元一次方程是“友好方程”，求的值； (3)若关于的一元一次方程是“友好方程”，且它的解为，求的值． 【答案】(1)② (2) (3) 【思路引导】此题主要考查一元一次方程的解，掌握一元一次方程解题的方法，结合题目中“友好方程”的概念，是解题的关键； （1）先求出一元一次方程的解，再检验方程的解是否满足“友好方程”的概念，即可判断求解； （2）先表示出含参数的一元一次方程的解，利用“友好方程”的条件，即可列出等式，求得参数的值； （3）根据已知方程的解，代入方程，求得m的值，再结合方程是“友好方程”，列出等式，即可求得n的值． 【规范解答】（1）解：①，解得：， 因为， 所以该方程不是“友好方程”； ②，解得：， 因为， 所以该方程是“友好方程”； ③，解得：， 因为， 所以该方程不是“友好方程”； 故答案为：② （2）解：，解得： 因为关于的一元一次方程是“友好方程”， 所以， 解得：； （3）解：因为的一元一次方程的解为， 所以， 因为， 所以， 因为一元一次方程是“友好方程”， 所以， 所以， 解得：． 【变式1】．（25-26七年级上·安徽滁州·期中）我们给出一种定义：如果两个一元一次方程的解的和为，那么我们就称这两个方程互为“漂亮方程”．例如：方程和互为“漂亮方程”． （）若关于的方程与互为“漂亮方程”，则的值为 ． （）若关于的方程与互为“漂亮方程”，则关于的方程的解是 ． 【答案】 【思路引导】（）分别求出方程的解，再根据“漂亮方程”的定义求出的值即可； （）分别求出方程的解，再根据“漂亮方程”的定义求出的值，然后把的值代入方程，解方程即可求解； 本题考查了解一元一次方程，理解新定义是解题的关键． 【规范解答】解：（）解方程，得， 解方程，得， ∵关于的方程与互为“漂亮方程”， ∴， 解得， 故答案为：； （）解方程，得， 解方程，得， ∵关于的方程与互为“漂亮方程”， ∴， 解得， ∴方程为， 解得， 故答案为：． 【变式2】25-26七年级上·江苏扬州·期中）我们规定：如果两个一元一次方程的解的积为，我们就称这两个方程为“互反方程”．例如：方程与方程为“互反方程”． (1)判断方程与是否为“互反方程”？并说明理由； (2)若关于的两个方程与为“互反方程”，求的值． 【答案】(1)是，理由见解析 (2) 【思路引导】本题考查解一元一次方程，理解题中定义是解答的关键． （1）先解两个方程，再根据定义判断即可； （2）先解方程得到，解方程得，根据两个方程为“互反方程得到，然后求解即可． 【规范解答】（1）解：方程与为“互反方程．理由： 解方程，得， 解方程，得， ∵， ∴方程与为“互反方程； （2）解：解方程，得， 解方程， 得， 则， 即， 解得， ∵两个方程为“互反方程”，， ∴是方程的解， ∵， ∴． 题型6 绝对值方程 31．（25-26七年级上·湖北荆门·期中）我们知道，表示5与之差的绝对值，实际上也可理解为5与两数在数轴上所对的两点之间的距离，试探索： (1)填空：若 ，则 ； (2)填空：使得 成立的是 ； (3)由以上探索，猜想对于任何有理数，是否有最小值？如果有，写出最小值，如果没有，说明理由． (4)由以上探索，猜想对于任何有理数，是否有最小值？如果有，直接写出最小值，并写出此时的值，如果没有，说明理由． 【答案】(1)6或 (2)或3 (3)有最小值，最小值为7 (4)有最小值，当时，最小值为3 【思路引导】本题主要考查了绝对值的几何意义与分类讨论思想，熟练掌握“利用绝对值的几何意义（数轴上点的距离）分析问题，结合分类讨论求解”是解题的关键． （1）根据绝对值的定义，将方程转化为两个一元一次方程求解； （2）根据绝对值的几何意义（数轴上点到和的距离和），分区间讨论求解； （3）利用绝对值的几何意义，分析数轴上点到和的距离和的最小值； （4）根据绝对值的几何意义，分析数轴上点到、、的距离和的最小值及对应的值． 【规范解答】（1）解：， 或 ， 当时，， 当时，， 或； （2）解：分三种情况： 当时：，，解得； 当时，（无解）， 当时，，解得， 或， （3）解：表示数轴上对应的点到和对应的点的距离和， 当在与之间（含端点）时，距离和最小，最小值为； （4）解：表示数轴上对应的点到、、对应的点的距离和， 当时，距离和最小， 最小值为． 【变式1】（25-26七年级上·福建龙岩·期中）预备知识：在数学中，点与点之间的距离用表示．如图，在数轴上点A表示数a，点B表示数b，点C表示数c，已知数b是最小的正整数，且a，c满足． (1)填空：a＝ ，b＝ ，c＝ ． (2)点A，B，C开始在数轴上运动，若点A以每秒1个单位长度的速度向左运动，同时，点B和点C分别以每秒m（）个单位长度和4个单位长度的速度向右运动． ①运动后，求A，B，C三点在数轴上所表示的数； ②若在此过程中，的值为52，求m的值． (3)若在此数轴上有一动点Q，且点Q表示整数y，当取最小值时，求符合条件的所有的和． 【答案】(1) (2)①点A表示的数为，点B表示的数为，点C表示的数为27；② (3) 【思路引导】本题主要考查了列代数式，求代数式的值，非负数的意义，整式的加减，熟练掌握知识点是解题的关键． （1）根据题意及绝对值与平方的非负性求解即可； （2）①根据数轴上向左运动即原数减去运动的距离，向右运动即原数加上运动的距离求解即可； ②先求出，再根据题意得出，进而求解即可； （3）先根据题意得出表示点Q和表示的点之间的距离，表示点Q和表示7的点之间的距离，进而得出当点Q在和7之间时，的值最小，求出点Q表示的数，求和即可． 【规范解答】（1）解：∵数b是最小的正整数，且a，c满足， ∴， ∴， 故答案为：； （2）解：①∵在数轴上点A表示数，点B表示数1，点C表示数7，点A以每秒1个单位长度的速度向左运动，点B和点C分别以每秒m（）个单位长度和4个单位长度的速度向右运动， ∴点A表示的数为， 点B表示的数为， 点C表示的数为； ②∵， ∴， ∴， 解得（负舍）； （3）解：∵， ∴表示点Q和表示的点之间的距离，表示点Q和表示7的点之间的距离， ∴当点Q在和7之间时，的值最小， ∴点Q表示的数为， ∴符合条件的所有的和为． 【变式2】（25-26七年级上·广东东莞·期中）综合与实践： 【问题情境】 数学活动课上，王老师出示了一个问题：点、在数轴上分别表示有理数、，若、两点之间的距离表示为，在数轴上、两点之间的距离．利用数形结合思想回答下列问题： （1）数轴上表示2和6两点之间的距离是______；数轴上表示5和的两点之间的距离是______；数轴上表示和的两点之间的距离表示为______； 【独立思考】 试用数轴探究： （2）当时，______，当时，______； （3）的最小值为______，若，则______； 【实际应用】 （4）如图，在一条笔直的街道上有，，，四个小区，且相邻两个小区之间的距离均为．已知，，，四个小区各有2个，2个，2个，1个学生在同一所中学的同一班级上学，安全起见，这7个同学约定先在街道上某处汇合，再一起去学校．聪明的他们通过分析，发现在街道上的处汇合使所有学生从小区门口到汇合地点的路程之和最小，请问汇合地点设置在什么位置的时候，所有学生从小区门口到汇合地点的路程之和最小，并求出此最小值． 【答案】（1）4；6；；（2）1；或4；（3）3；1或6；（4）汇合地点M的位置在点时，所有学生从小区门口到汇合地点的路程之和最小，最小值为 【思路引导】本题主要考查了数轴上两点的距离，绝对值的几何意义，解绝对值方程，整式的加减计算，解题的关键在于能够熟练掌握化简绝对值的方法． （1）根据数轴上两点距离计算公式求解即可； （2）根据绝对值的意义解方程即可； （3）对于第一空，根据绝对值的几何意义，得出取值最小值的情形，进而可求出最小值；对于第二空可得或，据此分类讨论去绝对值后解方程即可得到答案； （4）以点G为原点建立数轴，则点E，F，G，H四点分别表示，，0，200，点M表示的数为x，则所有学生从小区门口到汇合地点的路程之和表示为，分类讨论即可得到答案； 【规范解答】解：（1）由题意得数轴上表示2和6两点之间的距离是；数轴上表示5和的两点之间的距离是；数轴上表示和的两点之间的距离表示为； （2）当时，则， ∴； 当时，则或， ∴或； （3）∵表示的是数轴上表示数x的点到表示数2的点和到表示数5的点的距离之和， ∴当时，有最小值，最小值为； ∵， ∴或， 当时，则，解得， 当时，则，解得， 综上所述，当时，或； （4）如图： 以点G为原点，表示1个单位长度建立数轴，则点E，F，G，H四点分别表示的数为，，0，200， 设点M表示的数为x，则所有学生从小区门口到汇合地点的路程之和表示为： ， ①当时， ； ②当时， ， ， ； ③当时， ， 此时； ④当， ， ， ⑤当时， ， 综上所述：当时，的值最小，最小值为， 汇合地点M的位置在点时，所有学生从小区门口到汇合地点的路程之和最小，最小值为． 1．（21-22七年级上·河南周口·期末）方程，去分母得到了，这个变形（   ） A．分母的最小公倍数找错了 B．漏乘了不含分母的项 C．分子中的多项式没有添加括号，符号不对 D．正确 【答案】B 【思路引导】本题考查了解一元一次方程，以及等式的性质，熟练掌握等式的性质是解本题的关键．方程去分母得到结果，即可作出判断． 【规范解答】解：方程， 左右两边同乘12，去分母得：， 去括号得：， 题中的变形漏乘了不含分母的项． 故选：B． 2．（23-24七年级上·陕西渭南·期末）已知关于的方程与的解互为相反数，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【思路引导】本题考查了解一元一次方程，相反数的定义，掌握解一元一次方程的步骤是解题的关键；先求出两个方程的解，再根据相反数的定义得出关于的一元一次方程，解方程即可求解． 【规范解答】解：解方程，得， 解方程，得， ∵两个方程的解互为相反数， ∴， 解得， 故选：． 3．（21-22七年级上·甘肃平凉·期末）小明解关于x的一元一次方程时，有一个数看不清楚，但小红解得的答案是，则这个数为（    ） A． B． C．0 D．1 【答案】A 【思路引导】先把代入方程，整理成关于的一元一次方程，解新方程即可． 本题考查了一元一次方程的解，解一元一次方程，熟练掌握方程的解，解方程是解题的关键． 【规范解答】解：把代入方程， ∴， ∴， ∴， ∴， 故选：A． 4．（24-25七年级上·辽宁抚顺·期末）定义一种新运算“&”：当时，；当时，；当时，．例如：．已知，则x的值为（    ） A．或 B．或2 C．或2 D．或或2 【答案】C 【思路引导】本题考查一元一次方程的解，分，，三种情况分别计算即可． 【规范解答】解：当时，，解得； 当时，，解得； 当时，，解得（舍去）； 综上，或， 故选：C． 5．（24-25七年级上·广西梧州·期末）我们把不超过有理数的最大整数称为的整数部分，记作，又把称为的小数部分，记作，则有．如：，，，下列说法中正确的有（   ）个． ①；②； ③若是大于且小于的有理数，且，则； ④方程的解为． A．4 B．3 C．2 D．1 【答案】B 【思路引导】本题主要考查了新定义，解一元一次方程，绝对值和有理数的加减计算，根据新定义即可判断①②；若，且，则，，据此可判断③；根据可得原方程为，解得，但不能得到，据此可判断④． 【规范解答】解：①，原说法正确； ②，原说法正确； ③若，且，则，，，原说法正确； ④∵， ∴， ∴，而并不一定成立，原说法错误； ∴说法正确的有3个， 故选：B． 6．（24-25七年级上·安徽六安·期末）我们把不超过有理数x的最大整数称为x的整数部分，记作，又把称为x的小数部分，记作，则有．如：，，，下列说法中正确的有（    ）个 ①； ②； ③若，且，则或； ④方程的解为或． A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】B 【思路引导】本题考查新定义，有理数的运算，方程的解．根据新定义判断①和②，求出或时的判断③，根据新定义得到，赋值法求方程的解判断④；本题的难度较大，属于选择题中的压轴题． 【规范解答】解：由题意，得：，故①正确； ，故②错误； 当时，，， 当时：，；故③错误； ∵，， ∴， ∴ ∵， ∴， ∴， ∴当时，，，此时； 当时，，，此时； 当时，，，此时， 当时，，，此时； 综上：的解为或或或；故④错误． 故选B． 7．（23-24七年级下·上海杨浦·期中）已知关于x的方程（a，b为常数），无论k为何值，它的解总是，则的值是 ． 【答案】9 【思路引导】本题考查了一元一次方程的解，解答本题的关键是明确一元一次方程的解得含义． 根据题意，先化简题目中的式子，然后根据无论为何值，方程的解总是，可以求得、的值，代入计算即可． 【规范解答】解：把代入方程，得， 得，即， 整理得， 由于k为任意值，它的解总是， 故， 解得，， 所以， 故答案为：9． 8．（22-23七年级上·全国·期末）若方程的解为，的解为： ． 【答案】 【思路引导】本题考查一元一次方程的解，换元法，掌握相关知识是解决问题的关键．将第二个方程中看作一个整体换元，找到和第一个方程的关系，即可得到答案 【规范解答】解： 即，① 由题意此方程的解为， 令， 则第二个方程变形为：， 对照①可得，方程的解为， ∴， ∴． 故答案为：． 9．（24-25七年级下·黑龙江绥化·期末）小明在解方程：去分母时，方程右边的1没有乘6，因而得到方程的解为，方程正确解为 ． 【答案】 【思路引导】本题考查根据方程的解的情况求参数，解一元一次方程，将错就错，求出的值，再根据正确的步骤解方程即可． 【规范解答】解：小明的做法是：， ， ， ， ， ， 小明得到方程的解为， ， ， ∴方程为， ， ， ， ， ， ∴方程的正确解为， 故答案为：． 10．（25-26七年级上·江苏徐州·期末）规定：，，例如，．下列结论中：①能使成立的的值为或；②若，则；③式子的最小值是；④式子的最大值是．其中正确的是 ．(填序号) 【答案】①④ 【思路引导】本题主要考查了绝对值的意义、求代数式的值，利用题目的规定和绝对值的意义逐项计算判断即可，理解应用新定义和绝对值的性质是解题的关键． 【规范解答】解：∵，， ∴， ∴或， ∴或， ∴①的结论正确，符合题意； ∵，， ∴． 当时，， ∴②的结论错误，不符合题意； ∵ ， ∴的几何意义为数轴上表示的点到表示的点和表示的点的距离之和，结合数轴可知，该和最小为，即的最小值为， ∴③的结论错误，不符合题意； ∵， ∴的几何意义为数轴上表示的点到表示的点和表示的点的距离之差， ∴当时，，当时，，当时，， ∴该距离差的最大值为，即的最大值是， ∴④的结论正确，符合题意； 综上，正确的结论有①④． 故答案为：①④． 11．（24-25六年级上·上海·月考）若关于的一元一次方程的解为，则关于的一元一次方程的解为 ． 【答案】 【思路引导】本题考查了一元一次方程的解法，将方程变形得，设，可得方程的解即为方程的解，即得，据此即可求解，掌握换元法是解题的关键． 【规范解答】解：方程变形得，， 设， 则方程的解即为方程的解， ∵方程的解为， ∴， ∴， ∴一元一次方程的解为， 故答案为：． 12．（20-21七年级上·广东广州·期末）解下列方程： (1)： (2)． 【答案】(1) (2) 【思路引导】本题主要考查解一元一次方程； （1）先移项，再合并同类项，再把系数化为1，计算即可； （2）先去分母，再移项，再合并同类项，再把系数化为1，计算即可． 【规范解答】（1）解： ， ， ． （2）解： ， ， ， ， ． 13．（23-24七年级上·吉林辽源·期末）已知式子的值是0，求式子的值． 【答案】 【思路引导】本题考查了解一元一次方程，求代数式的值，由题意可得，解方程求出，代入所求式子计算即可得解，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． 【规范解答】解：由已知得， 解得． 所以． 14．（23-24七年级上·河南驻马店·期末）（1）先化简，再求值： ，其中． （2）解方程： 【答案】（1），；（2） 【思路引导】本题考查的是整式的加减运算，化简求值，一元一次方程的解法． （1）先去括号，合并同类项，得到化简的结果，再把代入计算即可． （2）先去分母，再去括号，移项，合并同类项，最后把未知数的系数化为1即可． 【规范解答】解：（1） ， 当 时， 原式 ． （2）， 去分母得：， 去括号得：， 移项得：， 合并得：， 化1得：． 15．（24-25七年级上·重庆巴南·期末）若规定：如果将两个一元一次方程的解相减，差的绝对值为Q，我们称这两个方程为“值Q方程”． 例如：方程的解是，方程的解是， ∵，∴方程与方程是“值3方程”． (1)下列方程中：①，②，③，组合满足为“值1方程”的是______，组合满足“值6方程”的是______（只填序号）； (2)若关于x的一元一次方程和是“值2方程”，求a的值； (3)无论k取任何数，关于x的方程与关于y的方程是“值3方程”，求mn的值． 【答案】(1)①②，①③ (2)或 (3)的值为或． 【思路引导】（1）先求出各个方程的解，然后根据“值Q方程”的定义进行判断即可； （2）先求出两个方程的解，再根据“值Q方程”的定义，列出关于a的方程，解方程即可； （3）先求出两个方程的解，再根据“值Q方程”的定义，列出含有k，m，n的方程，然后根据无论k取任何数，关于x的方程与关于y的方程是“值3方程”，列出关于m的方程，求出m，再求出n，从而求出答案即可． 【规范解答】（1）解：①， ； ②， ， ， ， ； ③， ， ， ， ， ， ， ∵，， ∴组合满足为“值1方程”的是①②，组合满足“值6方程”的是①③， 故答案为：①②，①③； （2）解：， ， ， ， ， ， ， ， ∵关于x的一元一次方程和是“值2方程”， ∴， ∴，，， 解得：或18； （3）解：，，， ， ， ， ， ∵x的方程与关于y的方程是“值3方程”， ∴， ， ∴或5， 或15，即或15， ∵无论k取任何数，关于x的方程与关于y的方程是“值3方程”， ∴， 解得， ∴或15， 把代入得： ， ， ； 把代入得： ， ， ； 当，时， ； 当，时， ； ∴的值为或． 【考点剖析】本题主要考查了一元一次方程的解和新定义，解题关键是理解已知条件新定义的含义． 第 1 页 共 11 页 学科网（北京）股份有限公司 $