数学一模保分卷01（江苏专用）学易金卷：2026年高考第一次模拟考试

( ………………○……………… 外 ………………○……………… 装 ………………○……………… 订 ………………○……………… 线 ………………○……………… ) ( ………………○……………… 内 ………………○……………… 装 ………………○……………… 订 ………………○……………… 线 ………………○……………… ) ( 此卷只装订 不密封 ) ( ………………○……………… 内 ………………○……………… 装 ………………○……………… 订 ………………○……………… 线 ………………○……………… ………………○……………… 外 ………………○……………… 装 ………………○……………… 订 ………………○……………… 线 ………………○……………… … 学校： ______________ 姓名： _____________ 班级： _______________ 考号： ______________________ ) 2026年高考第一次模拟考试 数学·全解全析 （考试时间：120分钟，分值：150分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 第一部分（选择题 共58分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．已知集合，则“”是“”的 A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 2．等边的边长为3，，则（    ） A． B． C．6 D．5 3．已知等差数列的公差不为0，若成等比数列，则这个等比数列的公比是（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 4．已知双曲线C：(a＞0，b＞0)的一条渐近线过点(3，4)，且双曲线的一个焦点与抛物线的焦点重合，则双曲线的方程为(    ) A． B． C． D． 5．点为直线上的一点，过点作圆的两条切线，切点分别为，则四边形面积的最小值为（   ） A． B．2 C．2 D．4 6．记函数的最小正周期为，若，且的图像关于点中心对称，则（    ） A． B．1 C． D．3 7．如图，某几何体可看成是个几何体的组合体，上面的几何体I是直棱柱，中间的几何体Ⅱ是棱台，下面的几何体Ⅲ也是棱台，几何体Ⅲ的下底面与几何体I的底面是全等的六边形，几何体III的上底面面积是下底面面积的倍，若几何体I、II、III的高之比分别为，则几何体I、II、III的体积之比为 （    ） A． B． C． D． 8．设是定义域在上的偶函数，对，都有，且当时，，若在区间内关于的方程至少有两个不同的实数根，至多有3个不同的实数根，则的取值范围是 A． B． C． D． 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．已知复数（均为实数），下列说法正确的是（    ） A．若，则 B．的虚部为 C．若，则 D． 10．已知，则（    ） A．的最大值为4 B．的最小值为4 C．的最大值为 D．的最小值为 11．有甲、乙两个班级共计105人进行数学考试，按照大于等于85分为优秀，85分以下为非优秀统计成绩，得到如下所示的列联表：参考公式： 优秀 非优秀 总计 甲班 10 b 乙班 c 30 0.050 0.010 0.001 k 3.841 6.635 10.828 已知在全部105人中随机抽取1人，成绩优秀的概率为，则下列说法正确的是（    ） A．列联表中c的值为30，b的值为35 B．列联表中c的值为20， b的值为45 C．根据列联表中的数据，若按95%的可靠性要求，能认为“成绩与班级有关系” D．根据列联表中的数据，若按95%的可靠性要求，不能认为“成绩与班级有关系” 第二部分（非选择题 共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12．在的展开式中，含x项的系数为 ． 13．由数字0，1，2，3，4，5可以组成 个是3的倍数，但不是5的倍数且没有重复数字的四位数. 14．已知数列的通项公式为，是其前项和，则 ．（结果用数字作答） 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15．（13分） 在中，． (1)求角的大小； (2)再从条件①、条件②、条件③这三个条件中选择两个作为已知，使得存在且唯一确定，求的面积． 条件①：；条件②：；条件③：． 注：如果选择的条件不符合要求，第（Ⅱ）问得0分；如果选择多个符合要求的条件分别解答，按第一个解答计分． 16．（15分） 如图，在三棱锥D－ABC中，△ABC是边长为2的正三角形，△ADC是以AC为底边的等腰直角三角形，E为AC的中点． (1)证明：平面BED⊥平面ACD； (2)若BD＝2，点F在BD上，当△AFC的面积最小时，求FA与平面ABC所成角的正弦值． 17．（15分） 已知某箱中装有10件产品，其中合格品8件，次品2件．现进行产品质量检测，从中任取一件产品进行检测视为1次质量检测（如果取到合格品，则把它放回箱中；如果取到次品，则不放回箱中且另补放一件合格品到箱中）．在重复n次这样的质量检测后，记箱中的次品件数为． (1)求的分布列及数学期望； (2)设表示“n次操作后箱中的次品件数为1”的概率，求，并用表示． 18．（17分） 已知函数，，． (1)讨论函数零点个数； (2)若，求的范围． 19．（17分） 我们把由半椭圆与半椭圆合成的曲线称作“果圆”，其中，，．如图，设点是相应椭圆的焦点，和分别是“果圆”与x，y轴的交点，M是线段的中点． (1)若是边长为1的等边三角形，求“果圆”的方程； (2)设P是“果圆”的半椭圆上任意一点．求证：当取得最小值时，P在点或处； (3)若P是“果圆”上任意一点，求取得最小值时点P的横坐标． 试题 第3页（共4页） 试题 第4页（共4页） 试题 第1页（共4页） 试题 第2页（共4页） 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026年高考第一次模拟考试 数学·全解全析 （考试时间：120分钟，分值：150分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 第一部分（选择题 共58分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．已知集合，则“”是“”的 A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 2．等边的边长为3，，则（    ） A． B． C．6 D．5 3．已知等差数列的公差不为0，若成等比数列，则这个等比数列的公比是（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 4．已知双曲线C：(a＞0，b＞0)的一条渐近线过点(3，4)，且双曲线的一个焦点与抛物线的焦点重合，则双曲线的方程为(    ) A． B． C． D． 5．点为直线上的一点，过点作圆的两条切线，切点分别为，则四边形面积的最小值为（   ） A． B．2 C．2 D．4 6．记函数的最小正周期为，若，且的图像关于点中心对称，则（    ） A． B．1 C． D．3 7．如图，某几何体可看成是个几何体的组合体，上面的几何体I是直棱柱，中间的几何体Ⅱ是棱台，下面的几何体Ⅲ也是棱台，几何体Ⅲ的下底面与几何体I的底面是全等的六边形，几何体III的上底面面积是下底面面积的倍，若几何体I、II、III的高之比分别为，则几何体I、II、III的体积之比为 （    ） A． B． C． D． 8．设是定义域在上的偶函数，对，都有，且当时，，若在区间内关于的方程至少有两个不同的实数根，至多有3个不同的实数根，则的取值范围是 A． B． C． D． 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．已知复数（均为实数），下列说法正确的是（    ） A．若，则 B．的虚部为 C．若，则 D． 10．已知，则（    ） A．的最大值为4 B．的最小值为4 C．的最大值为 D．的最小值为 11．有甲、乙两个班级共计105人进行数学考试，按照大于等于85分为优秀，85分以下为非优秀统计成绩，得到如下所示的列联表：参考公式： 优秀 非优秀 总计 甲班 10 b 乙班 c 30 0.050 0.010 0.001 k 3.841 6.635 10.828 已知在全部105人中随机抽取1人，成绩优秀的概率为，则下列说法正确的是（    ） A．列联表中c的值为30，b的值为35 B．列联表中c的值为20， b的值为45 C．根据列联表中的数据，若按95%的可靠性要求，能认为“成绩与班级有关系” D．根据列联表中的数据，若按95%的可靠性要求，不能认为“成绩与班级有关系” 第二部分（非选择题 共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12．在的展开式中，含x项的系数为 ． 13．由数字0，1，2，3，4，5可以组成 个是3的倍数，但不是5的倍数且没有重复数字的四位数. 14．已知数列的通项公式为，是其前项和，则 ．（结果用数字作答） 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15．（13分） 在中，． (1)求角的大小； (2)再从条件①、条件②、条件③这三个条件中选择两个作为已知，使得存在且唯一确定，求的面积． 条件①：；条件②：；条件③：． 注：如果选择的条件不符合要求，第（Ⅱ）问得0分；如果选择多个符合要求的条件分别解答，按第一个解答计分． 16．（15分） 如图，在三棱锥D－ABC中，△ABC是边长为2的正三角形，△ADC是以AC为底边的等腰直角三角形，E为AC的中点． (1)证明：平面BED⊥平面ACD； (2)若BD＝2，点F在BD上，当△AFC的面积最小时，求FA与平面ABC所成角的正弦值． 17．（15分） 已知某箱中装有10件产品，其中合格品8件，次品2件．现进行产品质量检测，从中任取一件产品进行检测视为1次质量检测（如果取到合格品，则把它放回箱中；如果取到次品，则不放回箱中且另补放一件合格品到箱中）．在重复n次这样的质量检测后，记箱中的次品件数为． (1)求的分布列及数学期望； (2)设表示“n次操作后箱中的次品件数为1”的概率，求，并用表示． 18．（17分） 已知函数，，． (1)讨论函数零点个数； (2)若，求的范围． 19．（17分） 我们把由半椭圆与半椭圆合成的曲线称作“果圆”，其中，，．如图，设点是相应椭圆的焦点，和分别是“果圆”与x，y轴的交点，M是线段的中点． (1)若是边长为1的等边三角形，求“果圆”的方程； (2)设P是“果圆”的半椭圆上任意一点．求证：当取得最小值时，P在点或处； (3)若P是“果圆”上任意一点，求取得最小值时点P的横坐标． 2 / 5 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026年高考第一次模拟考试 数学·参考答案 第一部分（选择题 共58分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1 2 3 4 5 6 7 8 A B B C A C C C 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9 10 11 BCD BC BC 第二部分（非选择题 共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12．-21 13．58 14．395 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15．（13分） 【详解】（1）由和正弦定理可得，， 因， 则得，因，，则得，解得；（4分） （2）若选 ①②，由，，和正弦定理，可得， 故值不存在，不存在，与题意不符；（4分） 若选 ②③，，，，则，（6分） 由正弦定理，，解得，（8分） 又,（10分） 于是，的面积为.（13分） 若选 ①③，，，，由正弦定理，， 故值不存在，不存在，与题意不符. （4分） 16．（15分） 【详解】（1）因为是正三角形，E为AC的中点，所以，（1分） 又因为是以AC为底边的等腰直角三角形，所以，（2分） 因为，所以平面，（4分） 因为平面，所以平面BED⊥平面ACD；（5分） （2）因为平面，平面，所以，（6分） 所以当最小时，△AFC的面积最小，此时，（8分） 由题可得，，因为 ，满足， 所以，且，（19分） 又，，所以平面，（11分） 过作，所以平面， 因为，所以，（12分） 因为，所以在直角中，，（13分） 设FA与平面ABC所成角为，则.（15分） 17．（15分） 【详解】（1）依题可知，的可能取值为0，1，2（1分） ， ， （4分） 的分布列为 0 1 2 P 数学期望（6分） （2）；（8分） 记“n次质量检测后中的次品件数为1”为事件A，“n次质量检测后中的次品件数为2”为事件B，“第n+1次质量检测取到合格品”为事件C，“第n+1次质量检测取到次品”为事件D． 则（10分） ， ，，（13分） ∴．（15分） 18．（17分） 【详解】（1）令，得，其中. 则零点个数相当于函数（）图像与直线的交点个数，（2分） 令，其中.则， 且，. 得在上单调递减，在上单调递增，，又时，.据此可做大致图像如下：（5分） 则由下图可知，当或时，无零点； 当或时，有一个零点； 当时，有两个零点； （7分） （2）①当时，，此时，则时，恒成立，则符合题意；（9分） ②当，因，则，则. ，令， 则，，，得在上单调递减，在上单调递增. 则，故当时，，即恒成立，则符合题意；（12分） ③当时，由（1）分析可知，在上单调递增. 又， 则，使.又在上单调递增. i则当时， ，则，得在上单调递减，得时，；（14分） ii当时，. 则， 令，，则， 又令，， 则，得在上单调递增. 有， 得在上单调递增，有. 则，得在上单调递增. 则时，. 又时，，得当时， 又，则，又由上可知， 在上单调递增，则此时； 综上可知，的范围是.（17分） 19．（17分） 【详解】（1），， ，， 于是 ，   所求“果圆”方程为 ，·（4分） （2）设，则 ∴的最小值只能在或处取到. 即当取得最小值时，P在点，或处. （8分） （3），且和同时位于“果圆”的半椭圆 和半椭圆 上， 所以，由（2）知，只需研究P位于“果圆”的半椭圆 上的情形即可. （12分） 当 ，即时，的最小值在 时取到，此时P的横坐标是 .（14分） 当 即时，由于在时是递减的，的最小值在时取到，此时P的横坐标是a．（16分） 综上所述，若，当取得最小值时，点P的横坐标是 若，当取得最小值时，点P的横坐标是a或．（17分） 5 / 5 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026年高考第一次模拟考试 数学·全解全析 （考试时间：120分钟，分值：150分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 第一部分（选择题 共58分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．已知集合，则“”是“”的 A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【详解】试题分析：集合 所以集合A是集合B的真子集， 所以“”是“”充分不必要条件． 考点：集合的运算及充分必要条件的判定． 【方法点睛】判断充分条件和必要条件的方法 （1）命题判断法： 设“若p，则q”为原命题，那么： ①原命题为真，逆命题为假时，p是q的充分不必要条件； ②原命题为假，逆命题为真时，p是q的必要不充分条件； ③原命题与逆命题都为真时，p是q的充要条件； ④原命题与逆命题都为假时，p是q的既不充分也不必要条件． （2）集合判断法： 从集合的观点看，建立命题p，q相应的集合：p：A＝{x|p（x）成立}，q：B＝{x|q（x）成立}，那么： ①若A⊆B，则p是q的充分条件；若AB时，则p是q的充分不必要条件； ②若B⊆A，则p是q的必要条件；若BA时，则p是q的必要不充分条件； ③若A⊆B且B⊆A，即A＝B时，则p是q的充要条件． （3）等价转化法： p是q的什么条件等价于非q是非p的什么条件． 2．等边的边长为3，，则（    ） A． B． C．6 D．5 【答案】B 【分析】利用已知条件，转化向量的数量积求解即可. 【详解】如图， 因为等边的边长为3，， 则， 故选：B 3．已知等差数列的公差不为0，若成等比数列，则这个等比数列的公比是（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【分析】根据题意，由等比中项列出方程即可得到与的关系，从而得到结果. 【详解】由题意可得，所以，且 则，所以 所以等比数列的公比为 故选:B 4．已知双曲线C：(a＞0，b＞0)的一条渐近线过点(3，4)，且双曲线的一个焦点与抛物线的焦点重合，则双曲线的方程为(    ) A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据双曲线渐近线的方程和双曲线焦点即可求出a与b，从而确定双曲线标准方程. 【详解】∵双曲线C的一条渐近线过点(3，4)，①， ∵双曲线的一个焦点与抛物线的焦点(10，0)重合， ∴②，又∵③，∴①②③联立可解得， ∴双曲线的标准方程为：. 故选：C. 5．点为直线上的一点，过点作圆的两条切线，切点分别为，则四边形面积的最小值为（   ） A． B．2 C．2 D．4 【答案】A 【分析】当圆心与点的距离最小时，切线长最小，则四边形的面积最小，此时是点到已知直线的垂线段. 然后利用点到直线的距离公式求出圆心到直线的距离，再结合弦长公式和面积公式进行计算即可． 【详解】由圆方程知圆心为，半径为1， 因为为圆的切线，所以，   ，要使得最小，只要最小， 由切线长公式知，只要最小． 当时，，此时， 所以的最小值是， 故选：A 6．记函数的最小正周期为，若，且的图像关于点中心对称，则（    ） A． B．1 C． D．3 【答案】C 【分析】由三角函数的图像与性质可求得参数，进而可得函数解析式，代入即可得解. 【详解】由函数的最小正周期T满足，得，解得， 又因为函数图像关于点对称，所以，且， 所以，所以，， 所以. 故选：C. 7．如图，某几何体可看成是个几何体的组合体，上面的几何体I是直棱柱，中间的几何体Ⅱ是棱台，下面的几何体Ⅲ也是棱台，几何体Ⅲ的下底面与几何体I的底面是全等的六边形，几何体III的上底面面积是下底面面积的倍，若几何体I、II、III的高之比分别为，则几何体I、II、III的体积之比为 （    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用柱体、台体体积公式可求得结果. 【详解】设直棱柱I的底面积为，高为，则棱台II的上底面面积为，下底面面积为，高为， 棱台III的上底面面积为，下底面面积为，高为， 设几何体I、II、III的体积分别为、、， 则，， ， 因此，. 故选：C. 8．设是定义域在上的偶函数，对，都有，且当时，，若在区间内关于的方程至少有两个不同的实数根，至多有3个不同的实数根，则的取值范围是 A． B． C． D． 【答案】C 【分析】试题分析：因为对，都有，所以 ，作出函数 的图象如图，由图象可知解得 故选C. 考点：方程根的存在性及个数的判断. 【方法点晴】本题主要考查了用数形结合的方法来解决函数的零点问题，考查了转化的思想方法，属于中档题.解答本题的关键是把方程的根的个数问题转化为两个基本初等函数图象的交点个数问题，在研究函数性质的基础上准确作出两个函数的图象，通过图象找到满足条件的参数的不等式组，从而求得参数的取值范围 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．已知复数（均为实数），下列说法正确的是（    ） A．若，则 B．的虚部为 C．若，则 D． 【答案】BCD 【分析】根据复数的模长公式以及复数虚部等概念即可根据选项逐一求解. 【详解】对于A; 若，则，但是复数不可以比较大小，故错误， 对于B; ,所以的虚部为，故正确， 对于C; 若，则,故 ，故，正确， 对于D; 而,进而，故，所以正确， 故选：BCD 10．已知，则（    ） A．的最大值为4 B．的最小值为4 C．的最大值为 D．的最小值为 【答案】BC 【分析】AB选项，由基本不等式直接求解即可得到；C选项，利用正切和角公式化简后，结合AB选项可得C正确；D选项，化简后，由AB选项得到，即可判断正误. 【详解】AB选项，，故， 由基本不等式可得， 当且仅当时，等号成立， 故的最小值为4，A错误，B正确； C选项，由AB可知，， 故， 当且仅当时，等号成立，C正确； D选项，由AB知，， 故 ， 当且仅当时等号成立，D错误. 故选：BC 11．有甲、乙两个班级共计105人进行数学考试，按照大于等于85分为优秀，85分以下为非优秀统计成绩，得到如下所示的列联表：参考公式： 优秀 非优秀 总计 甲班 10 b 乙班 c 30 0.050 0.010 0.001 k 3.841 6.635 10.828 已知在全部105人中随机抽取1人，成绩优秀的概率为，则下列说法正确的是（    ） A．列联表中c的值为30，b的值为35 B．列联表中c的值为20， b的值为45 C．根据列联表中的数据，若按95%的可靠性要求，能认为“成绩与班级有关系” D．根据列联表中的数据，若按95%的可靠性要求，不能认为“成绩与班级有关系” 【答案】BC 【分析】由成绩优秀的概率，可求的成绩优秀的人数，进而求出非优秀人数，得到的值，计算的观测值，对照题目中的表格，即可得到统计的结论. 【详解】由题意，在全部的105人中随机抽取1人，成绩优秀的概率为， 所以成绩又由的人数为人，非优秀的人数为人， 所以， 则的观测值， 若按95%的可靠性要求，能认为“成绩与班级有关系”. 故选：BC. 【点睛】本题主要考查了独立性检验的应用问题，同时考查了运算与求解能力，属于基础题. 第二部分（非选择题 共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12．在的展开式中，含x项的系数为 ． 【答案】 【分析】根据多项式相乘的特点可得含项的系数，合并同类项即可得解. 【详解】6个括号相乘，当每个括号内取含的项时，其余5个括号内都取即可， 所以含x项的系数为． 故答案为： 13．由数字0，1，2，3，4，5可以组成 个是3的倍数，但不是5的倍数且没有重复数字的四位数. 【答案】58 【分析】一个数是3的倍数需满足各位数之和是3的倍数，一个数是5的倍数需满足个位是0或者5，从数字0，1，2，3，4，5中选四个数字出来，其中满足四个数字是3的倍数的有：0123，0135，0234，0345，1245，然后分别求出每种情况下满足题意的数的个数即可. 【详解】一个数是3的倍数需满足各位数之和是3的倍数，一个数是5的倍数需满足个位是0或者5， 从数字0，1，2，3，4，5中选四个数字出来，其中满足四个数字是3的倍数的有：0123，0135，0234，0345，1245 当选择的数字是0123时，能够组成个数，其中个位数是0的有个，所以满足题意的有个 当选择的数字是0135时，能够组成个数，其中个位数是0或5的有个，所以满足题意的有个 当选择的数字是0234时，能够组成个数，其中个位数是0的有个，所以满足题意的有个 当选择的数字是0345时，能够组成个数，其中个位数是0或5的有个，所以满足题意的有个 当选择的数字是1245时，能够组成个数，其中个位数是5的有个，所以满足题意的有个 综上：共有个 故答案为：58 【点睛】数字问题是排列中的一大类问题，特别注意带有数字零的题目，条件变换多样，把排列问题包含在数字问题中，解题的关键是看清题目的实质，很多题目要分类讨论，要做到不重不漏. 14．已知数列的通项公式为，是其前项和，则 ．（结果用数字作答） 【答案】. 【分析】由题意知，数列的偶数项成等差数列，奇数列成等比数列，然后利用等差数列和等比数列的求和公式可求出的值. 【详解】由题意可得，故答案为. 【点睛】本题考查奇偶分组求和，同时也考查等差数列求和以及等比数列求和，解题时要得出公差和公比，同时也要确定出对应的项数，考查运算求解能力，属于中等题. 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15．（13分） 在中，． (1)求角的大小； (2)再从条件①、条件②、条件③这三个条件中选择两个作为已知，使得存在且唯一确定，求的面积． 条件①：；条件②：；条件③：． 注：如果选择的条件不符合要求，第（Ⅱ）问得0分；如果选择多个符合要求的条件分别解答，按第一个解答计分． 15．（13分） 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由正弦定理化边为角，利用三角形内角关系即可求得； （2）考查①②组合或者①③组合，均因得出，推得三角形不存在；考查②③组合时，先由求出，由正弦定理求得，再用和角公式求得的值，即可利用三角形面积公式求得. 【详解】（1）由和正弦定理可得，， 因， 则得，因，，则得，解得；（4分） （2）若选 ①②，由，，和正弦定理，可得， 故值不存在，不存在，与题意不符；（4分） 若选 ②③，，，，则，（6分） 由正弦定理，，解得，（8分） 又,（10分） 于是，的面积为.（13分） 若选 ①③，，，，由正弦定理，， 故值不存在，不存在，与题意不符. （4分） 16．（15分） 如图，在三棱锥D－ABC中，△ABC是边长为2的正三角形，△ADC是以AC为底边的等腰直角三角形，E为AC的中点． (1)证明：平面BED⊥平面ACD； (2)若BD＝2，点F在BD上，当△AFC的面积最小时，求FA与平面ABC所成角的正弦值． 16．（15分） 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）通过和证明平面即可； （2）过作，得出平面，则即可求出. 【详解】（1）因为是正三角形，E为AC的中点，所以，（1分） 又因为是以AC为底边的等腰直角三角形，所以，（2分） 因为，所以平面，（4分） 因为平面，所以平面BED⊥平面ACD；（5分） （2）因为平面，平面，所以，（6分） 所以当最小时，△AFC的面积最小，此时，（8分） 由题可得，，因为 ，满足， 所以，且，（19分） 又，，所以平面，（11分） 过作，所以平面， 因为，所以，（12分） 因为，所以在直角中，，（13分） 设FA与平面ABC所成角为，则.（15分） 17．（15分） 已知某箱中装有10件产品，其中合格品8件，次品2件．现进行产品质量检测，从中任取一件产品进行检测视为1次质量检测（如果取到合格品，则把它放回箱中；如果取到次品，则不放回箱中且另补放一件合格品到箱中）．在重复n次这样的质量检测后，记箱中的次品件数为． (1)求的分布列及数学期望； (2)设表示“n次操作后箱中的次品件数为1”的概率，求，并用表示． 17．（15分） 【答案】(1)分布列见解析，1.62 (2)， 【分析】（1）由题可知，的可能取值为0，1，2，再分别计算出各取值对应的概率，得到分布列，即可求出数学期望； （2）根据 “3次操作后箱中的次品件数为1”可知，可能是2次操作后箱中的次品件数为1，第三次取到合格品，也可能是第一次，第二次取到合格品，第三次取到次品，即可求出；根据全概率公式即可用表示出． 【详解】（1）依题可知，的可能取值为0，1，2（1分） ， ， （4分） 的分布列为 0 1 2 P 数学期望（6分） （2）；（8分） 记“n次质量检测后中的次品件数为1”为事件A，“n次质量检测后中的次品件数为2”为事件B，“第n+1次质量检测取到合格品”为事件C，“第n+1次质量检测取到次品”为事件D． 则（10分） ， ，，（13分） ∴．（15分） 18．（17分） 已知函数，，． (1)讨论函数零点个数； (2)若，求的范围． 18．（17分） 【答案】(1)答案见解析； (2) 【分析】（1）令，得，其中.则零点个数相当于函数（）图像与直线的交点个数； （2）验证满足题意，当，由（1）结果可知，使，则分别讨论两种情况下最值即可. 【详解】（1）令，得，其中. 则零点个数相当于函数（）图像与直线的交点个数，（2分） 令，其中.则， 且，. 得在上单调递减，在上单调递增，，又时，.据此可做大致图像如下：（5分） 则由下图可知，当或时，无零点； 当或时，有一个零点； 当时，有两个零点； （7分） （2）①当时，，此时，则时，恒成立，则符合题意；（9分） ②当，因，则，则. ，令， 则，，，得在上单调递减，在上单调递增. 则，故当时，，即恒成立，则符合题意；（12分） ③当时，由（1）分析可知，在上单调递增. 又， 则，使.又在上单调递增. i则当时， ，则，得在上单调递减，得时，；（14分） ii当时，. 则， 令，，则， 又令，， 则，得在上单调递增. 有， 得在上单调递增，有. 则，得在上单调递增. 则时，. 又时，，得当时， 又，则，又由上可知， 在上单调递增，则此时； 综上可知，的范围是.（17分） 【点睛】关键点点睛：本题涉及用导数及图像研究函数零点及用导数研究含参函数的最值，难度极大. （1）问利用数形结合思想，将零点个数转化为函数图像与直线的交点个数； （2）问先观察得到满足题意，再引入零点去掉绝对值求出最值. 19．（17分） 我们把由半椭圆与半椭圆合成的曲线称作“果圆”，其中，，．如图，设点是相应椭圆的焦点，和分别是“果圆”与x，y轴的交点，M是线段的中点． (1)若是边长为1的等边三角形，求“果圆”的方程； (2)设P是“果圆”的半椭圆上任意一点．求证：当取得最小值时，P在点或处； (3)若P是“果圆”上任意一点，求取得最小值时点P的横坐标． 19．（17分） 【答案】(1) ，· (2)证明见解析 (3)若，当取得最小值时，点P的横坐标是 若，当取得最小值时，点P的横坐标是a或． 【分析】（1）根据等边三角形的线段关系求出a、b、c即可； （2）将用两点间距离公式表示，利用半椭圆方程代换，表示为关于x的二次函数，求其最值即可； （3）同（2）问，将表示为关于x的二次函数，讨论其对称轴与a的关系即可. 【详解】（1），， ，， 于是 ，   所求“果圆”方程为 ，·（4分） （2）设，则 ∴的最小值只能在或处取到. 即当取得最小值时，P在点，或处. （8分） （3），且和同时位于“果圆”的半椭圆 和半椭圆 上， 所以，由（2）知，只需研究P位于“果圆”的半椭圆 上的情形即可. （12分） 当 ，即时，的最小值在 时取到，此时P的横坐标是 .（14分） 当 即时，由于在时是递减的，的最小值在时取到，此时P的横坐标是a．（16分） 综上所述，若，当取得最小值时，点P的横坐标是 若，当取得最小值时，点P的横坐标是a或．（17分） 2 / 17 学科网（北京）股份有限公司 $ 学校__________________班级__________________姓名__________________准考证号__________________ ﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍密﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍封﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍线﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍ 2026年高考第一次模拟考试 数学·答题卡 准考证号： 姓 名：_________________________________________ 贴条形码区 此栏考生禁填 缺考 标记 1．答题前，考生先将自己的姓名，准考证号填写清楚，并认真检查监考员所粘贴的条形码。 2．选择题必须用2B铅笔填涂；非选择题必须用0.5mm黑色签字笔答题，不得用铅笔或圆珠笔答题；字体工整、笔迹清晰。 3．请按题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效。 4．保持卡面清洁，不要折叠、不要弄破。 5．正确填涂 注意事项 一、选择题（每小题5分，共40分） 1 [A] [B] [C] [D] 2 [A] [B] [C] [D] 3 [A] [B] [C] [D] 4 [A] [B] [C] [D] 5 [A] [B] [C] [D] 6 [A] [B] [C] [D] 7 [A] [B] [C] [D] 8 [A] [B] [C] [D] 二、多选题（全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分，共18分） 9 [A] [B] [C] [D] 10 [A] [B] [C] [D] 11 [A] [B] [C] [D] 三、填空题（每小题5分，共15分） 12．____________________ 13．____________________ 14．____________________ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 四、解答题（共77分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 15．（13分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 16．（15分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 17．（15分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 18．（17分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 19．（17分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 数学 第4页（共6页） 数学 第5页（共6页） 数学 第6页（共6页） 数学 第1页（共6页） 数学 第2页（共6页） 数学 第3页（共6页） 学科网（北京）股份有限公司 $■■■■ 2026年高考第一次模拟考试 数学·答题卡 姓 名： 准考证号： ! 注意事项 1.答题前，考生先将自己的姓名，准考证号填写清 贴条形码区 楚，并认真检查监考员所粘贴的条形码。 2.选择题必须用2B铅笔填涂；非选择题必须用 p 0.5mm黑色签字笔答题，不得用铅笔或圆珠笔答 数 题；字体工整、笔迹清晰。 3.请按题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出 典 区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题 缺考 无效。 此栏考生禁填 4. 保持卡面清洁，不要折叠、不要弄破。 标记 5.正确填涂■ 、 选择题（每小题5分，共40分) 1[A][B][C[D] 5[A][B][C[D] 2[A][B][C[D] 6[A[B][C[D] 3[A][B][C[D] 7[A][B[C[D] 謀 4[A][B][C[D] 8[A][B][C[D] 二 多选题（全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0 ，共18分) 9[A][B][C[D] 10[A][B][C[D] 11[A][B][C[D] 三、 填空题（每小题5分，共15分) 带 12 知 14 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 数学第1页（共6页） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 四、解答题（共77分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 15.(13分) 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 数学第2页（共6页） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 16.(15分) D B E 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 数学第3页（共6页） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 17.(15分) 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 数学第4页（共6页） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 18.(17分) 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 数学第5页（共6页） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 19.(17分) y B2 F OM。A衣 F Bi 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 数学第6页（共6页）