第3章 圆锥曲线与方程（单元测试·提升卷）数学湘教版2019选择性必修第一册

2025-2026学年高二上学期数学单元检测卷 第3章 圆锥曲线与方程·能力提升 建议用时：120分钟，满分：150分 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每个小题绐岀的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1．如果点在运动过程中，总满足关系式，那么点的轨迹为（    ） A．线段 B．射线 C．椭圆 D．双曲线 【答案】A 【分析】根据关系式的几何意义即可得解. 【详解】由点的运动轨迹方程为:， 表示点到点的距离之和为6，又， 所以的轨迹为线段， 故选：A. 2．过椭圆焦点且与椭圆长轴垂直的直线与椭圆相交于A、B两点，则等于（   ） A．4 B． C．1 D． 【答案】C 【分析】根据题意，求得，联立方程组，即可求解. 【详解】由椭圆，可得，则， 联立方程组，解得， 如图所示，可得，所以. 故选：C.    3．已知曲线，从C上任一点P向x轴作垂线段，为垂足，则线段的中点M的轨迹方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】设，依题意得到，从而代曲线的方程求解． 【详解】解：设，依题意可知 即 因为点在曲线上，所以， 即， 故选：A． 4．设点为椭圆的两个焦点，点P在此椭圆上，若，则的面积为（    ） A． B．2 C．1 D． 【答案】C 【分析】根据椭圆的定义结合勾股定理计算即可. 【详解】设该椭圆的长轴长为，焦距长为，由题意可知， 设，则， 因为，所以， 即， 解之得或，即或， . 故选：C 5．已知某抛物线的顶点为坐标原点，焦点在直线上，则该抛物线的标准方程为（    ） A． B． C．或 D．或 【答案】D 【分析】先求得焦点坐标，再根据焦点坐标求解抛物线方程即可. 【详解】直线与轴的交点为，与轴的交点为， 当抛物线的焦点在轴上时，可得焦点坐标为，此时抛物线的标准方程为； 当抛物线的焦点在轴上时，可得焦点坐标为，此时抛物线的标准方程为. 故选：D 6．已知椭圆的两个焦点为，，过作直线交椭圆于、，若，且，则椭圆的离心率为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】连接，设，，根据题意在中，根据求出的关系，即可求出，在中，根据求出的关系，再结合离心率求解即可. 【详解】连接，设，，则， 因为，所以， 在中，，所以， 化简得，则，所以， 所以，， 在中，， 所以，即，所以离心率. 故选：C. 7．蒙日是法国著名的数学家，他首先发现椭圆的两条相互垂直的切线的交点的轨迹是圆，这个圆被称为“蒙日圆”，且其方程为．已知椭圆的焦点在x轴上，为椭圆E上任意两点，动点P在直线上．若恒为锐角，则椭圆E离心率的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】分析可知，直线与圆相离，利用直线与圆的位置关系可求出的取值范围，再结合椭圆离心率公式可求得椭圆的离心率. 【详解】由题意可知，圆即为椭圆蒙日圆， 因为、为椭圆上任意两点，动点满足恒为锐角， 则点在圆外， 又因为动点在直线上， 则直线与圆相离， 所以，解得， 则，即， 因此，椭圆的离心率的取值范围是. 故选：D. 8．如图，阴影部分的边界为四叶草曲线，曲线是由顶点在原点、焦点在坐标轴上的四条抛物线所围成的曲线，且这四条抛物线的焦点共圆.若开口向右的抛物线方程为，过点的直线与曲线相交，记第一、四象限的四个交点由下至上依次为，，，，且，则线段的中点到轴的距离为（   ）    A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据题意抛物线为，过点的直线与曲线相交，由于，利用抛物线定义根据比例求得直线斜率，联立直线与和，求得交点,再利用中点坐标公式求得的中点到轴的距离. 【详解】显然点为抛物线的焦点，分别记，的横坐标为，， 如下图，过，分别作抛物线的准线的垂线，垂足分别为，， 过作直线的垂线，垂足为，依题意，，， 由，得，， 因此，即，所以的斜率为， 所以直线的方程为，联立， 得，解得， 结合图形可知. 联立，得，解得， 结合图形可知， 所以线段的中点横坐标为， 即线段的中点到轴的距离为. 故选：A.    二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分 9．方程表示的曲线为，下列正确的命题是（   ） A．曲线不可能是圆； B．若，则曲线为椭圆； C．若曲线为双曲线，则或； D．若曲线表示焦点在轴上的椭圆，则． 【答案】CD 【分析】根据方程的特点，结合圆、椭圆和双曲线的标准方程判断. 【详解】对于A，若曲线是圆，则，解得，故A错误； 对于B，若曲线为椭圆，则，解得且，故B错误； 对于C，若曲线为双曲线，则，解得或，故C正确； 对于D，若曲线表示焦点在x轴上的椭圆，则，解得，故D正确； 故选：CD. 10．设椭圆与双曲线（其中）的离心率分别为，且直线与双曲线的左、右两支各交于一点，下列结论正确的有（   ） A． B． C．的取值范围是 D．的取值范围是 【答案】ACD 【分析】将双曲线与直线联立，根据交点分布在双曲线两侧列不等式，得出的关系，然后对选项依次分析即可. 【详解】将双曲线与直线联立得， 因为直线与双曲线的交点分布在左右两支， 所以， 又，所以，故A正确，B错误； ，， ， 所以， 又，所以，故C正确； ，故D正确； 故选：ACD. 11．随着我国航天科技的快速发展，双曲线镜的特性使得它在天文观测中具有重要作用，已知双曲线的左､右焦点分别为，，双曲线的光学性质是：从右焦点发出的光线m交双曲线右支于点P，经双曲线反射后，反射光线n的反向延长线过左焦点，如图所示. 由此可得，过双曲线上任意一点的切线平分该点与两焦点连线的夹角.若的最小值为2，且双曲线C的渐近线为，则下列结论正确的有（    ） A．双曲线C的方程为 B．若，则的面积为24 C．若点处的切线交轴于，则轴 D．当n过点时，光由所经过的路程为13 【答案】ACD 【分析】对于A，由又双曲线C的渐近线方程为得，又，解出即可判断，对于B，在中，，由勾股定理及双曲线的定义得即可判断，对于C，由平分，由角平分线定理，得，又，解出，即可判断，对于D，利用双曲线的定义得，最后利用两点间的距离公式即可判断. 【详解】对于A，由题意可知，因为双曲线C的渐近线方程为，所以，又，解得，所以C的方程为故A正确； 对于B，由，得， 在中，，由勾股定理及双曲线的定义知，， 即，所以，则，故B错误； 对于C，由题意可知，平分，由角平分线定理，得， 又，解得，，， 即轴，故C正确； 对于D，由题意可知，，当过点时， 由双曲线定义可得光由所经过的路程为，故D正确. 故选：ACD. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共计15分. 12．已知双曲线的右焦点为，且到其中一条渐近线的距离为1，则该双曲线的离心率为 ． 【答案】 【分析】根据双曲线渐近线的概念和双曲线离心率的概念，列出方程，求出离心率即可. 【详解】双曲线的渐近线为，即，右焦点， 则到渐近线的距离为， 对于双曲线，其焦点到渐近线的距离为， 所以，已知双曲线中，则，则离心率. 故答案为：. 13．已知实数满足：，则的最大值为 . 【答案】 【分析】把问题转化成圆上的点与椭圆上的点的距离的最大值求解. 【详解】设，， 因为，所以点在以为圆心，2为半径的圆上； 因为，所以点在焦点在轴的椭圆上. 表示. 如图：   . 又. 所以当时，取得最大值，所以. 所以. 故答案为： 14．已知直线与直线的交点为，椭圆的焦点为，，则的取值范围是 . 【答案】 【分析】根据椭圆方程确定椭圆焦点坐标，根据两直线方程确定两直线位置关系以及直线过的定点，求出点轨迹方程，结合重要不等式，与三角形两边之和大于第三边确定的取值范围. 【详解】    由，可知，，， 椭圆焦点，， 化为，可知直线过点， 由可知直线过点， 由可知直线，设， 由有：，，， 所以，整理得：， 所以在以为直径的圆上， 当不与重合时， 设，，，， 所以，， 又因为，所以， 所以， 又， 当与或重合时，有， 综上所述，. 故答案为： 四、解答题：本题共5小题，共计77分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15（13分）．已知椭圆的长轴长是短轴长的倍，且椭圆的焦距为4. (1)求椭圆的方程； (2)设点，直线过且与椭圆相交于，两点，若是线段的中点，求直线的方程. 【详解】（1）设的焦距为，因为的长轴长是短轴长的倍，所以. 1分 因为的焦距为4，所以，解得， 1分 因为，所以，解得， 所以，则的方程为. 5分 （2）设，，因为点，在上，所以 7分 两方程相减得，所以. 因为是线段的中点，所以， 10分 即直线的斜率为，所以直线的方程为，即. 13分    16（15分）．已知点是抛物线： 的焦点，纵坐标为2的点在上，以为圆心、为半径的圆交轴于，，． (1)求抛物线的方程； (2)过作直线与抛物线交于，，求的值． 【详解】（1） 设圆的半径为，以为圆心、为半径的圆交轴于，，点在轴上，为原点， 所以. ，. 点坐标为，所以. 设点坐标为，则，所以， 3分 所以， 即， 解得， 所以抛物线的方程为：. 6分 （2）由（1）知. 设直线的方程为，，. 7分 代入抛物线方程，整理得， ，所以， 所以，. 9分 10分 所以的值为2. 15分 17（15分）．在平面直角坐标系中，已知动点与定点的距离和到定直线的距离之比是常数2． (1)求动点的轨迹方程； (2)过点的动直线与曲线交于两点，问：在轴上是否存在定点，使得恒成立？若存在，求出定点的坐标；若不存在，请说明理由． 【详解】（1）由已知得：，所以， 化简可得：，即动点的轨迹为双曲线. 5分 （2）因为， 所以，即， 7分 所以． 显然过点的动直线不与x轴重合，故设直线方程为， 8分 ，，， 联立，可得， 首先有，且， 由韦达定理得，， 10分 因为，所以， 11分 即，整理得， 所以，化简得， 当时，方程恒成立， 当时，解得， 故在轴上存在点，使得． 15分 18（17分）．已知椭圆E：的长轴端点为，，斜率为k的直线l与椭圆E交于M，N两点（与长轴端点不重合），记直线AM，AN，BM的斜率分别为，，，且满足. (1)求证：为定值； (2)求证：直线l过定点； (3)判断直线AN，BM的交点P是否在一条定直线上，并证明你的结论. 【详解】（1）设椭圆上点，则，，， 在椭圆上，， ，，为定值； 3分 （2）设斜率为k的直线l的方程为，直线l与长轴端点不重合，则， 4分 将代入，得到， 整理得， 设，，则有， 6分 ，在直线，， ，， 8分 ， ，， ，， ，或， 10分 当时，直线l的方程为， 此直线恒过，不满足题意，舍去； 当时，直线l的方程为， 此直线恒过，则直线l过定点； 11分 （3），，，，， 直线的方程为， ，直线的方程为， 12分 联立和的交点为， 解得的的值为交点的横坐标， 整理得， 由（2）知，，代入， 得到 将代入，得到， 整理得， 设，，则有， 13分 ，， ，， ， ，交点在定直线上. 17分 19（17分）．如图，已知圆心为，半径为的同心圆与直线在第一象限有个交点，，其中点关于轴的对称点为.    (1)证明：在定曲线上，并求出曲线的方程； (2)设，若直线的斜率为， ①求； ②证明：为定值. 【详解】（1）根据题意，将代入同心圆中，化简得，所以曲线的方程为. 3分 （2）①因为，所以，与联立方程解得， 设，则, 根据，得；解得或（舍去）, 所以. 7分 ②由题意设，，则, ， 8分 ， 10分 ， 12分 ，即, 为定值. 17分 学科网（北京）股份有限公司1 / 16 学科网（北京）股份有限公司 $命学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 2025-2026学年高二上学期数学单元检测卷 第3章圆锥曲线与方程·能力提升（参考答案） 一、 单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合 题目要求的. P C D D 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求全 部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分 9 10 11 CD ACD ACD 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共计15分. 12.√2 8965 14.[2,2V21 四、解答题：本题共5小题，共计7分.解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤 15【详解】(1)设C的焦距为2c,因为C的长轴长是短轴长的5倍，所以a=√b.1分 因为C的焦距为4，所以2C=4,解得C=2,.1分 因为a2-b2=c2,所以3b2-b2=4,解得b=2, 所以a=6,则c的方程为+y 62 =1.5分 x2+3y2=6, (2)设Ax,),B(x2,y2),因为点A,B在C上，所以 x号+3片=6， .7分 两方程相减得x-龙+3-)=0，所以4=上=-，+ x-x2 3(+y2) 因为M(L,)是线段AB的中点，所以业=-，+=-2 1 -x3(y+为3x2-3 10分 即直线的斜率为分所以定线的方程为-1引一-小，即+3-4=0…13分 16【详解】(1) 1/7 命学科网·上好课 www.ZX×k.com 上好每一堂课 设圆的半径为”，以F为圆心、NF为半径的圆交y轴于D,E,点F在x轴上，O为原点， 所以OF⊥DE FD-r.OD-OE-DE-5 2 点F坐标为 所以OF=P 设V点坐标为n,2,则4=2pm,所以n=2 3分 所以or-o+o--9-r=--2-0 9日2 解得p=2, 所以抛物线C的方程为：y2=4x.6分 (2)由(1)知N(1,2) 设直线1的方程为x=y-1,Ax,乃)，B(x2,y2..7分 代入抛物线C方程y2=4x,整理得y2-4my+4=0, △=(-4m)2-4×1×4=16m2-16>0,所以m2>1, 所以y1+y2=4m,yy2=4..9分 k4+ko=-2+h-2-乃-2+y-2 x-1x2-1my,-1-1my2-1-1 10分 =（y-2(my-2+(-2(m4-2 (my,-2)(my2-2) -2m-21+m)(y+为)+8 m2yy2-2m(y+2)+4 2/7 画学科网·上好课 www.ZX×k.com 上好每一堂课 2m×4-21+m)×4m+8=2 m2×4-2m×4m+4 所以kw+飞wB的值为2. .15分 Vx-22+y2 17【详解】(1)由已知得： x- =2所以(x-2妒+=4x 2 化简可得：X-上-1，即动点E的轨迹为双曲线r-’-1 5分 3 3 S.PFM= PM-FM.sin∠PMF PM (2)因为 S.OFM 2OM-FMI-sinLOMF OM' 所以sin∠PMF=sin∠QMF,即∠PMF=∠OMF, .7分 所以kpw+koM=0 显然过点F的动直线不与x轴重合，故设直线方程为x=y+2,8分 P(x,),Q(x2,y2),M(t,0), x=my+2 联立：-上-1可得3m-y+12mw+9=0, 3 首先有3m2-1≠0，且△>0， 12m 9 由韦达定理得男+乃=3m一3nm-一10分 因为kpw+kgw=0,所以光+少=0， x-t x2-t 11分 即，+》，=0，整理得2m5+2-4y+为=0， my +2-t my2+2-t 9 所以2m 2-小212m=0,化简得18m+-12m川2-=0， 3m2-1 3m2-1 当m=0时，方程恒成立， 3/7 命学科网·上好课 www.ZX×k.com 上好每一堂课 当m≠0时，解得1=2 故在清上存在点M兮使得Q则 S.PEM=PM .15分 18【详解】)设树圆上点M,则长-产2，店=X产2 +2x-2x2-4 以万》在销图手号1山，其艺1. 4 42 =2号，kk=少2专 立体为定值 -42-4=2 3分 (2)设斜率为k的直线1的方程为y=kx+m,直线1与长轴端点不重合，则k≠0，.4分 将，=代入艾+二=，得到￡++网 =1, 42 4 2 整理得(1+2k2)x2+4kmx+2m2-4=0, 4km X1+x2= 设M(x,),N(x22),则有 1+2k2 6分 3 2m2-4 -1+2k2 :M(x,y),N(x,2)在直线y=kx+m,y=kx+m,y2=kx2+m, 长2授2经授 x2+2x2+2 飞+k,=任+m+,+m_(+m(x+2+,+mx+2 x+2x2+2 (x+2)(x2+2) =2k3+(2k+m(x+x)+4m .8分 xx2+2(x+x2)+4 4/7 命学科网·上好课 www.ZX×k.com 上好每一堂课 2k2m2-4 1+2k2+(2k+m 4km 1+2k2 +4m2k(2m2-4)-4km(2k+m)+4m1+2k2） 2m2-4 1+2k2+2 4km 1+2k2+4 2m2-4-8km+41+2k2 4m-8k 2m-4k 2m2-8m+8k2=m2-4h0m+4k2' kk+kk2+2=0,k(k+k2)+2=0, 2m-4k km-4hm+4状+2=0，m-3m+2k=0 (m-2k)(m-k)=0,m=2k或m=k, .10分 当m=2k时，直线1的方程为y=kx+m=kx+2k=k(x+2), 此直线恒过(-2,0)，不满足题意，舍去 当m=k时，直线1的方程为y=kx+m=kx+k=k(x+), 此直线恒过(-1,0)，则直线1过定点(-1,0)；11分 (3):A-2,0,B(2,0,MG),N),kw=k3= x2+2’ :直线秋的方程为y十2+2引， =写-2，：直线8M的方程为y=,(x-2), kaw =ky = -2 .12分 联立y-+2+2列和y中2红-2的交点为P 解得x+22-2)的x的值为交点P的横坐品 2+2 整理得+？_⅓5+2) x-2y2(x-2) 由(2)知，片=5+川y=x,+1),代入+2-西+2 x-22(x-2)’ 得到+名=x++2-马+(+2-5，+5+2x+2 x-2k(x2+1(x-2）(x2+1(x-2)xx2-2x2+x-2 将y=x+1)代入+=1，得到+(x+ =1, 42 4 2 整理得1+2k2)x2+4k2x+2k2-4=0, 5/7 命学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 4k2 x1+X2=- 设M(xy),N(,y),则有 1+2k2 2k2-4 13分 1+2k2 4k2 2 x1+X2= 1+2k2 =-2+ 1+2k2 x+x2+2= 1+2k2 2k2-4 -5 xx,=1+2k2 1+5 1+2k2 x2-1= 1+2k2 5-1--5 -5 x++22,5=2(6+6)-4, :x+2=西++2x+22(+)-4+5+2x+2 -5 1 x-2 xx2-2x2+x-2- 2+)-4-2x+x-23’ x=-4,交点P在定直线x=-4上.17分 0 水 M 19【详解】(1)根据题意，将x=5-1代入同心圆(x-1)2+y2=2中，化简得y2=4(g-1),所以曲线C的 方程为y2=4x.3分 (2)①因为5=2，所以(x-1)2+y2=4,与x=1联立方程解得P1,2), 设P2(x2,y2),则2(x2,-y2), 2+y2=-1 根据k,=-1,得1-x；解得=6或为=-2（舍去）， 0y=4x 所以P(9,6) 5).……………….7分 ②由题意设P(x,)，,P(x,i)，则(x1,-y1), yil=… x1-x+1 i+yi=X-Xi y=4x, 10分 y=4x1 6/7 命学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 %-y=(0y1+y0y41-y）=(4-x2V-2)=41-4,12分 ∴Vx-VE=2,即y4-y=2-2E=4, y1-y,为定值.… .17分 7/7………………○………………外………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… ………………○………………内………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… 此卷只装订不密封 ………………○………………内………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… ………………○………………外………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… … 学校：______________姓名：_____________班级：_______________考号：______________________ 2025-2026学年高二上学期数学单元检测卷 第3章 圆锥曲线与方程·能力提升 建议用时：120分钟，满分：150分 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每个小题绐岀的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1．如果点在运动过程中，总满足关系式，那么点的轨迹为（    ） A．线段 B．射线 C．椭圆 D．双曲线 2．过椭圆焦点且与椭圆长轴垂直的直线与椭圆相交于A、B两点，则等于（   ） A．4 B． C．1 D． 3．已知曲线，从C上任一点P向x轴作垂线段，为垂足，则线段的中点M的轨迹方程为（    ） A． B． C． D． 4．设点为椭圆的两个焦点，点P在此椭圆上，若，则的面积为（    ） A． B．2 C．1 D． 5．已知某抛物线的顶点为坐标原点，焦点在直线上，则该抛物线的标准方程为（    ） A． B． C．或 D．或 6．已知椭圆的两个焦点为，，过作直线交椭圆于、，若，且，则椭圆的离心率为（   ） A． B． C． D． 7．蒙日是法国著名的数学家，他首先发现椭圆的两条相互垂直的切线的交点的轨迹是圆，这个圆被称为“蒙日圆”，且其方程为．已知椭圆的焦点在x轴上，为椭圆E上任意两点，动点P在直线上．若恒为锐角，则椭圆E离心率的取值范围为（    ） A． B． C． D． 8．如图，阴影部分的边界为四叶草曲线，曲线是由顶点在原点、焦点在坐标轴上的四条抛物线所围成的曲线，且这四条抛物线的焦点共圆.若开口向右的抛物线方程为，过点的直线与曲线相交，记第一、四象限的四个交点由下至上依次为，，，，且，则线段的中点到轴的距离为（   ）    A． B． C． D． 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分 9．方程表示的曲线为，下列正确的命题是（   ） A．曲线不可能是圆； B．若，则曲线为椭圆； C．若曲线为双曲线，则或； D．若曲线表示焦点在轴上的椭圆，则． 10．设椭圆与双曲线（其中）的离心率分别为，且直线与双曲线的左、右两支各交于一点，下列结论正确的有（   ） A． B． C．的取值范围是 D．的取值范围是 11．随着我国航天科技的快速发展，双曲线镜的特性使得它在天文观测中具有重要作用，已知双曲线的左､右焦点分别为，，双曲线的光学性质是：从右焦点发出的光线m交双曲线右支于点P，经双曲线反射后，反射光线n的反向延长线过左焦点，如图所示. 由此可得，过双曲线上任意一点的切线平分该点与两焦点连线的夹角.若的最小值为2，且双曲线C的渐近线为，则下列结论正确的有（    ） A．双曲线C的方程为 B．若，则的面积为24 C．若点处的切线交轴于，则轴 D．当n过点时，光由所经过的路程为13 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共计15分. 12．已知双曲线的右焦点为，且到其中一条渐近线的距离为1，则该双曲线的离心率为 ． 13．已知实数满足：，则的最大值为 . 14．已知直线与直线的交点为，椭圆的焦点为，，则的取值范围是 . 四、解答题：本题共5小题，共计77分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15（13分）．已知椭圆的长轴长是短轴长的倍，且椭圆的焦距为4. (1)求椭圆的方程； (2)设点，直线过且与椭圆相交于，两点，若是线段的中点，求直线的方程. 16（15分）．已知点是抛物线： 的焦点，纵坐标为2的点在上，以为圆心、为半径的圆交轴于，，． (1)求抛物线的方程； (2)过作直线与抛物线交于，，求的值． 17（15分）．在平面直角坐标系中，已知动点与定点的距离和到定直线的距离之比是常数2． (1)求动点的轨迹方程； (2)过点的动直线与曲线交于两点，问：在轴上是否存在定点，使得恒成立？若存在，求出定点的坐标；若不存在，请说明理由． 18（17分）．已知椭圆E：的长轴端点为，，斜率为k的直线l与椭圆E交于M，N两点（与长轴端点不重合），记直线AM，AN，BM的斜率分别为，，，且满足. (1)求证：为定值； (2)求证：直线l过定点； (3)判断直线AN，BM的交点P是否在一条定直线上，并证明你的结论. 19（17分）．如图，已知圆心为，半径为的同心圆与直线在第一象限有个交点，，其中点关于轴的对称点为.    (1)证明：在定曲线上，并求出曲线的方程； (2)设，若直线的斜率为， ①求； ②证明：为定值. 试题 第3页（共6页） 试题 第4页（共6页） 试题 第1页（共6页） 试题 第2页（共6页） 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年高二上学期数学单元检测卷 第3章 圆锥曲线与方程·能力提升 建议用时：120分钟，满分：150分 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每个小题绐岀的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1．如果点在运动过程中，总满足关系式，那么点的轨迹为（    ） A．线段 B．射线 C．椭圆 D．双曲线 2．过椭圆焦点且与椭圆长轴垂直的直线与椭圆相交于A、B两点，则等于（   ） A．4 B． C．1 D． 3．已知曲线，从C上任一点P向x轴作垂线段，为垂足，则线段的中点M的轨迹方程为（    ） A． B． C． D． 4．设点为椭圆的两个焦点，点P在此椭圆上，若，则的面积为（    ） A． B．2 C．1 D． 5．已知某抛物线的顶点为坐标原点，焦点在直线上，则该抛物线的标准方程为（    ） A． B． C．或 D．或 6．已知椭圆的两个焦点为，，过作直线交椭圆于、，若，且，则椭圆的离心率为（   ） A． B． C． D． 7．蒙日是法国著名的数学家，他首先发现椭圆的两条相互垂直的切线的交点的轨迹是圆，这个圆被称为“蒙日圆”，且其方程为．已知椭圆的焦点在x轴上，为椭圆E上任意两点，动点P在直线上．若恒为锐角，则椭圆E离心率的取值范围为（    ） A． B． C． D． 8．如图，阴影部分的边界为四叶草曲线，曲线是由顶点在原点、焦点在坐标轴上的四条抛物线所围成的曲线，且这四条抛物线的焦点共圆.若开口向右的抛物线方程为，过点的直线与曲线相交，记第一、四象限的四个交点由下至上依次为，，，，且，则线段的中点到轴的距离为（   ）    A． B． C． D． 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分 9．方程表示的曲线为，下列正确的命题是（   ） A．曲线不可能是圆； B．若，则曲线为椭圆； C．若曲线为双曲线，则或； D．若曲线表示焦点在轴上的椭圆，则． 10．设椭圆与双曲线（其中）的离心率分别为，且直线与双曲线的左、右两支各交于一点，下列结论正确的有（   ） A． B． C．的取值范围是 D．的取值范围是 11．随着我国航天科技的快速发展，双曲线镜的特性使得它在天文观测中具有重要作用，已知双曲线的左､右焦点分别为，，双曲线的光学性质是：从右焦点发出的光线m交双曲线右支于点P，经双曲线反射后，反射光线n的反向延长线过左焦点，如图所示. 由此可得，过双曲线上任意一点的切线平分该点与两焦点连线的夹角.若的最小值为2，且双曲线C的渐近线为，则下列结论正确的有（    ） A．双曲线C的方程为 B．若，则的面积为24 C．若点处的切线交轴于，则轴 D．当n过点时，光由所经过的路程为13 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共计15分. 12．已知双曲线的右焦点为，且到其中一条渐近线的距离为1，则该双曲线的离心率为 ． 13．已知实数满足：，则的最大值为 . 14．已知直线与直线的交点为，椭圆的焦点为，，则的取值范围是 . 四、解答题：本题共5小题，共计77分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15（13分）．已知椭圆的长轴长是短轴长的倍，且椭圆的焦距为4. (1)求椭圆的方程； (2)设点，直线过且与椭圆相交于，两点，若是线段的中点，求直线的方程. 16（15分）．已知点是抛物线： 的焦点，纵坐标为2的点在上，以为圆心、为半径的圆交轴于，，． (1)求抛物线的方程； (2)过作直线与抛物线交于，，求的值． 17（15分）．在平面直角坐标系中，已知动点与定点的距离和到定直线的距离之比是常数2． (1)求动点的轨迹方程； (2)过点的动直线与曲线交于两点，问：在轴上是否存在定点，使得恒成立？若存在，求出定点的坐标；若不存在，请说明理由． 18（17分）．已知椭圆E：的长轴端点为，，斜率为k的直线l与椭圆E交于M，N两点（与长轴端点不重合），记直线AM，AN，BM的斜率分别为，，，且满足. (1)求证：为定值； (2)求证：直线l过定点； (3)判断直线AN，BM的交点P是否在一条定直线上，并证明你的结论. 19（17分）．如图，已知圆心为，半径为的同心圆与直线在第一象限有个交点，，其中点关于轴的对称点为.    (1)证明：在定曲线上，并求出曲线的方程； (2)设，若直线的斜率为， ①求； ②证明：为定值. 1 / 9 学科网（北京）股份有限公 学科网（北京）股份有限公司 $