第十七章 特殊三角形（复习讲义）数学新教材冀教版八年级上册

该初中数学复习讲义通过表格系统梳理特殊三角形知识体系，涵盖等腰三角形、等边三角形、直角三角形的定义、性质、判定及常见易错点，清晰呈现知识点内在联系，如等腰与等边三角形性质的递进关系，勾股定理与逆定理的逻辑关联。 讲义亮点是分21类题型设计例题与变式，如格点图中画等腰三角形培养几何直观，最短路径问题强化应用意识，结合易错点解析助力推理能力提升。分层练习满足不同学生需求，支持自主复习，为教师精准教学提供系统资源。

第十七章 特殊三角形（复习讲义） 1.理解等腰三角形的“等边对等角”“三线合一”性质。 2.掌握等边三角形的对称性及内角均为60°的特性。 3.熟练运用直角三角形的勾股定理及其逆定理。 4.能通过角或边的关系判定等腰三角形、等边三角形。 5.能利用勾股定理逆定理判定直角三角形。 6.通过添加辅助线（如底边高、中线）解决等腰三角形相关问题。 知识点 重点归纳 常见易错点 等腰三角形的定义与性质 定义： 有两条边相等的三角形。 性质：i.等边对等角： 等腰三角形的两个底角相等。(即：若 AB = AC，则 ∠B = ∠C)ii.三线合一： 等腰三角形底边上的中线、底边上的高线、顶角的平分线互相重合。(这条线也称为等腰三角形的“对称轴”) 判定：i.定义法： 有两条边相等的三角形是等腰三角形。ii.等角对等边： 如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等。(即：若 ∠B = ∠C，则 AB = AC) 忽略分类讨论： 当题目中只给出“等腰三角形”而未指明腰和底边时，或者未明确角是顶角还是底角时，需要根据情况进行分类讨论（如：是 AB=AC 还是 AB=BC？是顶角还是底角等于某个值？）。 混淆“三线合一”： 误以为任意三角形中某条线（如中线）具有高线或角平分线的性质。必须是在等腰三角形中，且这条线是从顶角引到底边上的，才满足三线合一。 “等边对等角”与“等角对等边”混淆： 性质“等边对等角”是由边等推出角等；判定“等角对等边”是由角等推出边等。使用时要注意条件和结论。 等边三角形的定义 i.定义： 三条边都相等的三角形。 ii.性质：1.三边相等。2.三个角都相等，且每个角都等于60°。3.具有等腰三角形的一切性质（三线合一），且有三条对称轴。 iii.判定：1.三边都相等的三角形是等边三角形。2.三个角都相等的三角形是等边三角形。3.有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形。 虽然具备等腰三角形的一切性质，但是与等腰三角形有些不同的地方，在判定与性质的地方易与等腰三角形的判定与性质搞混淆。 直角三角形 定义： 有一个角是直角的三角形。 性质：i.直角三角形的两个锐角互余。(即 ∠A + ∠B = 90°)ii.勾股定理： 直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方。(即 a² + b² = c²，其中 c 是斜边)iii.直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半。 判定：i.定义法： 有一个角是直角的三角形是直角三角形。ii.勾股定理的逆定理： 如果三角形的三边长 a, b, c 满足 a² + b² = c²，那么这个三角形是直角三角形。(其中 c 是最长边) 含30°角的直角三角形性质： 在直角三角形中，如果一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半。 角三角形性质应用不清：勾股定理使用条件： 必须在直角三角形中才能使用勾股定理。如果三角形类型未知，不能直接使用 a² + b² = c²。勾股定理逆定理使用错误： 用勾股定理逆定理判断直角三角形时，必须将最长边代入公式中的 c。若代入错误，可能得到错误结论。斜边中线性质混淆： 误认为任意三角形中某边上的中线等于该边一半。此性质仅适用于直角三角形，且是针对斜边上的中线。含30°角性质应用条件： 在直角三角形中，30°角所对的边是直角边（不是斜边），且该直角边等于斜边的一半。条件不满足时不能用此性质。 勾股定理及其逆定理 适用条件：直角三角形中。 内容：直角三角形斜边平方等于两直角边平方和（a² + b² = c²）； 使用场景：已知两边求第三边长度；证明三角形为直角三角形（需配合逆定理）；解决实际测量问题（如斜坡长度计算） 勾股定理的逆定理：如果三角形中的较小两条边的平方和等于较长的边的平方，则此三角形为直角三角形。 易忽略使用条件，在一般三角形中使用造成错误，在实际问题中构造模型出错； 勾股定理的逆定理与勾股定理一混淆，常常忽略使用的条件。 含30°角的直角三角形 直角三角形中30°角所对的边等于斜边的一半 忽略使用的条件为直角三角形 直角三角形斜边上的中线 直角三角形中斜边上的中线等于斜边的一半 忽略使用的条件为直角三角形 反证法 1.假设命题不成立：明确否定原命题结论 2.逻辑推导：基于假设进行严格推理 3.得出矛盾：与已知条件/公理/定理产生冲突 4.结论成立：说明原假设错误，原命题为真。 1. 假设错误：未准确否定原命题结论，2.矛盾不充分：推导出的矛盾与假设无必然联系3.循环论证：隐含使用了待证结论作为前提4.过度推导：超出必要范围的推理导致论证失效。 题型一 等腰三角形的定义 【例1】已知等腰三角形的周长为21，其中一边长为5，则该等腰三角形的底边长为（   ） A．11 B．8 C．5 D．11或5 【答案】C 【分析】本题考查了等腰三角形的性质，三角形的三边关系．根据等腰三角形的性质，设腰长为a，底边长为b，则周长为，已知一边长为5，需分情况讨论5是腰或底，结合三角形两边之和大于第三边的不等式，判断是否成立，即可作答． 【详解】解：依题意，设腰长为a，底边长为b， ∵等腰三角形的周长为21， ∴， ∵其中一边长为5， ∴当时，则，解得， 则，此时不符合三角形三边关系，故舍去； ∴当时，则，解得， 则，此时符合三角形三边关系， 综上：该等腰三角形的底边长为5， 故选：C． 【变式1-1】若等腰三角形的一边长是12，另一边长是5，则此等腰三角形的周长是（      ） A．22 B．29 C．22或29 D．无法确定 【答案】B 【分析】本题考查等腰三角形的定义和三角形的三边关系，掌握三角形的任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边是解题关键．需要分类讨论哪一边为腰，并验证是否能构成三角形，再求出周长即可． 【详解】解：∵等腰三角形两边分别为12和5， ∴ 需分情况讨论： ①若12为腰，则三边为12、12、5， ，能构成三角形，此时周长为； ②若5为腰，则三边为5、5、12， ，不能构成三角形 即只有第一种情况成立，周长为29， 故选：B． 【变式1-2】若一个等腰三角形有一个角为，则这个三角形顶角为（     ） A． B．或 C． D．或 【答案】D 【分析】本题考查了等腰三角形的性质及三角形内角和定理；若题目中没有明确顶角或底角的度数，做题时要注意分情况进行讨论求解． 等腰三角形有一个角为，需分该角是顶角或底角两种情况讨论顶角的度数． 【详解】解：∵ 等腰三角形有两个角相等， 若为顶角，则顶角为； 若为底角，则另一底角为，顶角为， ∴ 顶角为或， 故选：D 题型二 三线合一 【例2】如图，在中，，，若，则的长为（    ） A．4 B．5 C．6 D．8 【答案】A 【分析】此题主要考查了等腰三角形的性质，熟练掌握等腰三角形三线合一性质是解决问题的关键．根据等腰三角三线合一的性质即可得到，进而可得的长． 【详解】解：∵在中，，，， ∴， ∴． 故选：A． 【变式2-1】如图，分别是的中线和角平分线，相交于点F．若，，则的度数是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了等腰三角形的两个底角相等的性质，等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高相互重合的性质，三角形内角和定理以及角平分线定义； 先根据等腰三角形的性质以及三角形内角和定理求出，．再利用角平分线定义得出，然后利用三角形外角的性质求解即可． 【详解】解：是的中线，，， ， ． 是的角平分线， ， ∴． 故选C． 【变式2-2】如图，在中，于点，点为上一点，，若的面积是，则的长是 ． 【答案】3 【分析】本题考查了等腰三角形的性质，线段垂直平分线的性质，角平分线的性质，解题的关键是掌握相关知识．过点分别作，，根据，，可得垂直平分，推出，，结合，可得，根据等腰三角形的性质可得，，结合，推出、分别平分、，得到，最后根据三角形的面积公式求解即可． 【详解】解：过点分别作，， ，， 垂直平分， ，， ， ， ，， ，， ，即， ， ，即、分别平分、， ， ， ， 解得：， 故答案为：3． 题型三 格点图中画等腰三角形 【例3】如图，在的正方形网格中有两个格点A、B，连接，在网格中再找一个格点C，使得是等腰三角形，满足条件的格点C的个数是（   ） A．5 B．6 C．7 D．8 【答案】D 【详解】解：如图：分情况讨论： ①为等腰底边时，符合条件的C点有0个； ②为等腰的腰时，符合条件的C点有8个； 故共有8个点． 故选：D． 【变式3-1】如图所示的正方形网格中，网格线的交点称为格点．已知A、B是两格点，如果C也是图中的格点，且使得为等腰三角形，点C的个数是（    ） A．6个 B．7个 C．8个 D．9个 【答案】C 【分析】本题考查了等腰三角形的判定，解答本题关键是根据题意，画出符合实际条件的图形． 分两种情况进行讨论，即为腰和底时，找出合适的点即可． 【详解】解：如图，分情况讨论． ①为等腰底边时，符合条件的点有4个； ②为等腰其中的一条腰时，符合条件的点有4个． 故选：C． 【变式3-2】正方形网格中线段的交点称为格点，若格点C与格点A、B能构成等腰直角三角形，那么图中符合要求的格点C共有 个． 【答案】4 【分析】本题考查在方格纸中找等腰直角三角形，掌握相关知识是解决问题的关键．分两种情况讨论，为直角边或斜边进行解决即可． 【详解】解：分两种情况讨论，为直角边或斜边， （1）为等腰直角三角形的斜边，格点在1或2处， （2）为等腰直角三角形的直角边，格点在3或4处， ∴符合要求的点共4个． 故答案为：4． 题型四 等腰三角形的性质 【例4】如图，在中，沿着过点A的直线折叠这个三角形，使点C落在边上的点D处，折痕为，若，，则的周长是（   ） A．10 B．12 C．12.5 D．13.5 【答案】C 【分析】本题主要考查折叠的性质及等腰三角形的判定，熟练掌握折叠的性质及等腰三角形的判定是解题的关键；由折叠的性质可得，然后可得，则有，进而问题可求解． 【详解】解：∵， ∴， 由折叠的性质可得， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴的周长为； 故选C． 【变式4-1】如图，是的角平分线，，，则图中的等腰三角形有 个 【答案】3 【分析】本题考查等腰三角形的判定、三角形的内角和定理、角平分线的定义，熟练掌握等腰三角形的判定是解答的关键．先根据角平分线的定义和三角形的内角和定理得到，，然后根据等腰三角形的判定可得结论． 【详解】解：∵是的角平分线，， ∴， ∴， ∵， ∴，， 即，， 则、、都是等腰三角形，有3个， 故答案为：3． 【变式4-2】如图所示，在中，平分，． (1)求证：是等腰三角形； (2)若，，求的度数． 【答案】(1)见详解 (2) 【分析】本题主要考查平行线的性质，等腰三角形的判定及三角形内角和，熟练掌握平行线的性质，等腰三角形的判定及三角形内角和是解题的关键； （1）由题意易得，然后根据平行线的性质可得，进而问题可求证； （2）由三角形内角和可得，然后根据（1）可进行求解． 【详解】（1）证明：∵平分， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴是等腰三角形； （2）解：∵，， ∴， 由（1）可知：． 题型五 等腰三角形的性质与判定综合 【例5】如图，在四边形中，，的平分线交于点，若，，则的长为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了等腰三角形的判定与性质，平行线的性质，角平分线的定义，解题的关键是掌握等腰三角形的判定与性质．由平行线的性质可得，根据角平分线的定义可得，推出，进而得到，即可求解． 【详解】解： ， ， 平分， ， ， ， ， 故选：C． 【变式5-1】如图，在中，平分，，若，，则的周长是 ． 【答案】6 【分析】此题考查了等边三角形的判定和性质．根据平行线的性质和等量代换得到，则，进一步即可求出答案． 【详解】解：平分， ， ， ， ， ， ，， 的周长， 故答案为：6． 【变式5-2】如图所示，在中，，是边的垂直平分线，交于，交于，连接． (1)若，求的度数． (2)若的周长为，的周长为，求的长． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了垂直平分线的性质，等腰三角形的判定及性质，三角形的周长，熟悉掌握垂直平分线的性质是解题的关键． （1）利用等腰三角形的性质求出的度数，利用垂直平分线的性质求出的度数，即可解答； （2）利用三角形的周长运算方法列式求出的长，再利用垂直平分线的性质求解即可． 【详解】（1）解：∵，， ∴， ∵是边的垂直平分线， ∴， ∴， ∴； （2）解：∵的周长， 的周长， ∴， ∵是边的垂直平分线， ∴． 题型六 等边三角形的性质与判定 【例6】如图，点B，E，C，F在同一条直线上，，且，，，，连接，则的长为（    ） A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】B 【分析】本题考查了全等三角形的性质，等边三角形的判定和性质，先根据全等三角形的性质得，，再根据线段和差得，则，可判定是等边三角形，进而可得答案． 【详解】解：∵，， ∴，， ∵，， ∴， ∴， ∴是等边三角形， ∴． 故选：B． 【变式6-1】如图所示，在中，，，，将绕点按顺时针方向旋转一定的角度得到，当点的对应点恰好落在边上时，的长为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了旋转的性质，等边三角形的性质和判定，解题的关键是熟练掌握以上知识点．首先根据旋转的性质得到，然后结合得到是等边三角形，进而得到，然后利用线段的和差求解即可． 【详解】解：∵将绕点按顺时针方向旋转一定的角度得到， ∴， ∵， ∴是等边三角形， ∴． ∵， ∴． 故答案为：． 【变式6-2】如图，在中，，，点是外一点，且，过点作分别交，于点，． (1)判断的形状，并说明理由； (2)若，，求的长． 【答案】(1)是等边三角形，理由见解析 (2)5 【分析】本题主要考查的等边三角形的判定与性质，熟练掌握相关定理是解题的关键． （1）由，，得是等边三角形，根据平行线的性质及等边三角形的性质可得，即可得出结论； （2）连接，交于点，由，，得是线段的垂直平分线，根据等边三角形三线合一得，再根据平行线的性质得，根据等角对等边得，即可求解． 【详解】（1）解：是等边三角形，理由如下： ，， 是等边三角形． ． ， ，． ． 是等边三角形． （2）如图，连接，交于点， ，， 是线段的垂直平分线． ． 又， ． ， ． ． ． ． 由（1）知是等边三角形， ． ． 题型七 直角三角形中30°角所对的边是斜边的一半 【例7】如图是某景区一段索道示意图，点A、B之间的距离为30米，，则缆车从点A到点B的过程中竖直上升的高度（的长）为（   ） A．60米 B．45米 C．30米 D．15米 【答案】D 【分析】本题考查了含30度角的直角三角形，根据 30度角所对的直角边等于斜边一半求解即可． 【详解】解：在中，，米， 则米， 故选：D． 【变式7-1】如图，在中，，，，交于点D．若，则的长为（   ） A．4 B．6 C．7 D．8 【答案】B 【分析】本题考查了含度角的直角三角形的性质：度角所对的直角边是斜边的一半，等边对等角，三角形的外角性质等知识点，由题意得；，求出，即可求解； 【详解】解：∵，，， ∴，， ∵， ∴； ∴， ∴； ∴， 故选：B 【变式7-2】如图，在中， ，平分交于点，于点，且为的中点． (1)求的度数； (2)若，求的长． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查含的直角三角形，中垂线的性质，等腰三角形的判定和性质．熟练掌握角平分线平分角，中垂线上的点到线段两端点的距离相等，是解题的关键． （1）根据题意，得到是线段的垂直平分线，进而推出，利用角平分线，得到，进而求出． （2）利用所对的直角边是斜边的一半，进行计算即可． 【详解】（1）解：如图， ∵于点E，E为的中点， ∴是线段的垂直平分线， ∴， ∴， ∵平分， ∴， ∵， ∴； （2）∵，， ∴． 题型八 直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半 【例8】如图，在中，，为的中点．若，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 解，熟练掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】解：∵，为的中点， ∴，， ∴， 故选：． 【变式8-1】如图，在Rt中，，是边上的中线，过点作于点．若，则的度数是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了直角三角形斜边中线的性质，等边对等角，三角形的外角性质．利用直角三角形斜边中线的性质，求得，利用三角形的外角性质求得，据此求解即可． 【详解】解：，是边上的中线， ， ， ， ， ， ， 故选： B． 【变式8-2】如图，在中，是高，分别是的中点． (1)若，，求四边形的周长； (2)与有怎样的位置关系？证明你的结论． 【答案】(1) (2)垂直，证明见解析 【分析】本题考查直角三角形斜边上中线的性质，以及中垂线的性质，熟练掌握这些性质是解题关键． （1）由直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，可求出，的长，进而可以求出周长； （2）根据到线段两端距离相等的点在线段的垂直平分线上证明即可． 【详解】（1）解：是的高， 和均为直角三角形， 又、分别是、的中点 ， 四边形的周长为 （2）结论：垂直，证明如下： 由（1）可知，， 、在的垂直平分线上， 垂直． 题型九 勾股数 【例9】下列各组数是勾股数的是（   ） A．，， B．5，， C．1，2， D．4，5，6 【答案】B 【分析】本题考查了勾股树（数）问题，判断三边能否构成直角三角形，解题关键是掌握上述知识点并能熟练运用求解． 勾股数必须是三个正整数，且满足勾股定理．逐项验证各选项即可． 【详解】解：∵勾股数需为正整数且满足， 对于A：，，不是正整数， ∴不是勾股数． 对于B：5，，均为正整数， 且，， ∴，∴是勾股数． 对于C：1，2，，但不是正整数， ∴不是勾股数． 对于D：4，5，6均为正整数， 但， ∴不是勾股数． 故选：B． 【变式9-1】勾股定理本身就是一个关于，，的方程，满足这个方程的正整数解通常叫做勾股数组．毕达哥拉斯学派提出了一个构造勾股数组的公式，观察下列几组勾股数：，，，⋯根据上面的规律，第6个勾股数组为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了勾股数，观察勾股数组的规律，第个数组的第一个数为，第二个数为，第三个数为第二个数加1，即可得出结论． 【详解】解：观察勾股数组的规律，第个数组的第一个数为，第二个数为，第三个数为第二个数加1， ∴对于第6个勾股数组： 第一个数， 第二个数， 第三个数， 故答案为：． 【变式9-2】定义：若三个正整数，，满足，，且，则称为“邻近”勾股数组．例如：，都是“邻近”勾股数组，将从小到大排列，分别记为，，，，（为正整数），若时，的值为 ；若时，的值为 ． 【答案】 7 41 【分析】本题考查数字规律探索和勾股定理的应用，理解题意是解决本题的关键． 根据“邻近”勾股数组找到、、的关系，找到规律求出和即可． 【详解】解：三个正整数，，满足，，且，则称为“邻近”勾股数组， ， ∵b是正整数， 为奇数， ∵“邻近”勾股数组中，a是连续的奇数， ∴当时，（对应数组）； 当时，（对应数组）； 当时，下一个奇数为7， 验证：，， 满足且， ∴， 由规律可知，是第n个符合条件的奇数， ∴， ∴当时，． 故答案为：7；41． 题型十 勾股定理与网格问题 【例10】如图，在由边长为1个单位长度的小正方形组成的网格中，线段的两个端点都在正方形顶点上，则线段的长不可能是（    ） A．2 B．5 C．7 D．10 【答案】C 【分析】本题考查勾股定理，结合正方形网格，逐一画图计算后判定即可． 【详解】解：A．如图，，该选项不符合题意； B．如图，，该选项不符合题意； C．在正方形网格中找不到这样的格点，使得，该选项符合题意； D． 如图，，该选项不符合题意； 故选：C． 【变式10-1】在如图的网格中，每个小正方形的边长为a，A、B、C三点均在正方形格点上，若是的高，则的长为 ． 【答案】 【详解】解： ，，， ，，， ， 是直角三角形， ， 得：， ． 故答案为：． 【变式10-2】如图，正方形方格中的每个小正方形的边长都是1，请仅用无刻度的直尺按要求完成以下作图（保留作图痕迹）． (1)在图1中，作一个直角三角形，使得三角形的顶点都在格点上，且三边都为有理数． (2)在图2中，作一个直角三角形，使得三角形的顶点都在格点上，且斜边的长为，另两条直角边均为无理数． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题主要考查了勾股定理及其逆定理，熟知勾股定理及其逆定理是解题的关键． （1）作一个两直角边的长分别为3和4的直角三角形即可； （2）作一个三边长分别为，和的三角形即可． 【详解】（1）解：如图所示，即为所求； （2）解：如图所示，即为所求． 题型十一 勾股定理与折叠问题 【例11】如图1，在中，，将按如图2所示方式折叠，使点与点重合，折痕为，若，，则的长是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查折叠变换的性质、勾股定理，熟练掌握勾股定理是解题的关键． 根据折叠的性质折叠，从而得到，，根据勾股定理求得，假设，则，在中，由勾股定理列式求解即可． 【详解】解：根据折叠的性质得： ， 在中，设，则 即 解得 故选：C． 【变式11-1】如图，将长方形沿着对角线折叠，使点落在处，交于点．若，，则线段 ． 【答案】5 【分析】本题考查了图形的折叠以及勾股定理，正确利用勾股定理求得的长是解题的关键． 设，则，在中利用勾股定理即可列方程求得x的值，即可求出线段的值． 【详解】解：长方形中， ∴， ∴， 由折叠的性质知， ∴， ∴， 设，则， 在中，， 即， 解得：， 则 ∴， 故答案为：5. 【变式11-2】如图，在长方形中，，E是边上一点．将四边形沿BE折叠，折叠后点C，D的对应点分别为．若恰好经过点A，求： (1)的长． (2)的面积． 【答案】(1) (2) 【分析】题目主要考查折叠的性质，勾股定理解三角形，求三角形的面积，结合图形求解是解题关键． （1）根据长方形的性质得出，再由折叠的性质确定，利用勾股定理求解即可； （2）结合图形直接求面积即可． 【详解】（1）解：因为四边形为长方形， 所以． 由折叠的性质，得． 由勾股定理，得， 所以， 所以． 设，则． 所以， 解得， 所以． （2）． 题型十二 以直角三角形三边为边长的图形的面积 【例12】如图，在中，分别以这个三角形的三边为边长向外侧作正方形，面积分别记为，若，则图中阴影部分的面积为（   ） A．5 B． C．4 D． 【答案】A 【分析】本题考查了勾股定理的应用和三角形面积的算法，解决此题的关键是合理的运用勾股定理；先根据勾股定理和已知的式子算出，再根据同底等高的算法即可得到答案； 【详解】解：在中，这个三角形的三边为边长向外侧作正方形，面积分别记为， 由勾股定理得：，即， ， ， ∵阴影部分的面积为， ∴阴影部分的面积为， 故选：A． 【变式12-1】如图是一株美丽的勾股树，其中所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形若正方形、、、的边长分别是、、、，则最大正方形的面积是 ． 【答案】61 【分析】本题考查勾股定理，解题的关键是熟练运用勾股定理，本题属于基础题型． 根据勾股定理可知：直角三角形两个直角边平方的和等于斜边的平方．两个相邻的小正方形面积的和等于相邻的一个大正方形的面积． 【详解】解：如下图： 由勾股定理可知：， ∴， ∴． 故答案为：61． 【变式12-2】如图，在四边形中，，分别以四边形的四条边为边向外作四个正方形，面积分别为a，b，c，d．若，，求的值． 【答案】 【分析】本题主要考查的是勾股定理的灵活运用，解答的关键是利用两个直角三角形公共的斜边．连接，利用勾股定理的几何意义解答即可． 【详解】解：如图，连接， 由题意可知：，，，． 在直角和中，， 即， ∵， ， ∴． 题型十三 以弦图为背景的计算题 【例13】我国汉代数学家赵爽证明勾股定理时创制了一幅“勾股圆方图”，后人称之为“赵爽弦图”，它是由4个全等的直角三角形和1个小正方形组成．如图，直角三角形的两直角边长分别为，，斜边长为．若，，则每个直角三角形的面积为（   ） A．64 B．60 C．120 D．128 【答案】B 【详解】解：∵此图是由4个全等的直角三角形和1个小正方形组成， ∴每个直角三角形的面积为（大正方形面积小正方形面积）， ∵，， ∴， 故选：B． 【变式13-1】大正方形的面积为5，小正方形的面积为，若用、分别表示直角三角形的两直角边，下列三个结论：；；其中正确的是 【答案】①②③ 【分析】本题主要考查勾股定理，熟练掌握勾股定理是解题的关键；根据题意可得小正方形的边长，大正方形的边长，再逐一判断，即可． 【详解】解：由题意可得小正方形的边长，大正方形的边长， 斜边大正方形的面积， 故正确； 小正方形的边长为， ， 故正确； 小正方形的面积四个直角三角形的面积=大正方形的面积， ， ， 故正确； 综上可得正确． 故答案为：． 【变式13-2】【资料】如图①，这个图案是我国汉代的赵爽在注解《周髀算经》时给出的，人们称它为“赵爽弦图”，该图通过对图形的切割、拼接，巧妙地利用面积关系证明了勾股定理． 【拓展】根据以上材料，老师将图①进行了拓展： (1)如图①，若黄实的面积为1，所拼得的大正方形的面积为25，每个朱实的面积是_____； (2)如图②，将长方形的四边、、、分别延长至、、、，使得，，连接、、、． ①求证：； ②若，，则图中阴影部分图形的面积为_____． 【答案】(1)6 (2)①证明见解析；②37 【分析】本题是四边形综合题，考查了正方形的性质，勾股定理，全等三角形的判定和性质，灵活运用这些性质解决问题是解题的关键． （1）由黄实的面积为1，所拼得的大正方形的面积为25，可得，可求，即可求解； （2）①由可证，可得； ②由面积的和差关系可求解． 【详解】（1）解：∵黄实的面积为1，所拼得的大正方形的面积为25， ∴， ∴， ∴每个朱实的面积， 故答案为：6； （2）①证明：∵四边形是长方形， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； ②解：∵， ∴， ∴阴影部分图形的面积， 故答案为：37． 题型十四 勾股定理的证明 【例14】勾股定理的证明方法多样，体现了数学的精妙．下面四幅图中，不能证明勾股定理的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：A、由等面积法得， 整理得，即能证明勾股定理，故本选项不符合题意； B、由等面积法得， 整理得，即能证明勾股定理，故本选项不符合题意； C、由等面积法得，不能证明勾股定理，故本选项符合题意； D、由等面积法得， 整理得，即能证明勾股定理，故本选项不符合题意； 故选：C． 【变式14-1】勾股定理在我国有着悠久的历史．汉末三国初数学家、天文学家赵爽给《周髀》作注时，给出了相对完整的表述：“勾股各自乘，并之为弦实，开方除之，即弦．”其设计图是由四个完全相同的直角三角形(两条直角边长分别为，，且，斜边为)拼成一个边长为的正方形(如图)，直观地论证了勾股定理，该图被后人称为“赵爽弦图”． (1)请你借助“赵爽弦图”验证勾股定理． (2)若，，求中间小正方形(阴影部分)的面积． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题主要考查了勾股定理及其证明方法，熟知勾股定理及其证明方法是解题的关键． （1）根据最外面的大正方形的边长为c，且大正方形的边长等于四个全等的直角三角形的面积加上中间小正方形的面积进行证明即可； （2）根据勾股定理可求出a的值，进而可求出中间小正方形的面积． 【详解】（1）证明：∵最外面的大正方形的边长为c， ∴最外面的大正方形的面积为； ∵中间小正方形的边长为， ∴中间小正方形的面积为； 又∵最外面的大正方形的面积等于四个全等的直角三角形的面积加上中间小正方形的面积， ∴， ∴， ∴； （2）解：∵，，， ∴， ∴或（舍去）， ∴中间小正方形的面积为． 【变式14-2】“数缺形不直观，形缺数不入微”，数形结合思想是数学学习中的一个重要的数学思想，请仔细观察下面几幅图形并回答后面的问题： ①由图形 可知；勾股定理成立； ②由图形 可知；完全平方公式成立； ③由图形 可知；平方差公式成立； ④由图形 可知；公式成立． 【答案】 【分析】本题考查了乘法公式与图形面积、勾股定理等知识，熟练掌握数形结合思想是解题关键．图形：方法一：利用正方形的面积公式求出大正方形的面积；方法二：大正方形的面积等于两个小正方形的面积与两个小长方形的面积之和，由此即可得；图形：方法一：利用长方形的面积公式可得四个小长方形的面积；方法二：四个小长方形的面积等于大正方形的面积减去小正方形的面积，由此即可得；图形：方法一：利用梯形的面积公式可得两个直角梯形的面积；方法二：两个直角梯形的面积等于大正方形的面积减去小正方形的面积，由此即可得；图形：方法一：利用正方形的面积公式求出中间小正方形的面积；方法二：中间小正方形的面积等于大正方形的面积减去四个小直角三角形的面积，由此即可得． 【详解】解：图形：方法一：大正方形的面积为， 方法二：大正方形的面积等于两个小正方形的面积与两个小长方形的面积之和， 则大正方形的面积为， 所以完全平方公式成立； 图形：方法一：四个小长方形的面积为， 方法二：四个小长方形的面积等于大正方形的面积减去小正方形的面积， 则四个小长方形的面积为， 所以公式成立； 图形：方法一：两个直角梯形的面积为， 方法二：两个直角梯形的面积等于大正方形的面积减去小正方形的面积， 则两个直角梯形的面积为， 所以平方差公式成立； 图形：方法一：中间小正方形的面积为， 方法二：中间小正方形的面积等于大正方形的面积减去四个小直角三角形的面积， 则中间小正方形的面积为， 所以勾股定理成立； 故答案为：①；②；③；④． 题型十五 利用勾股定理构造图形解决问题 【例15】如图，秋千静止时，踏板离地的垂直高度，将它往前推至处时（即水平距离），踏板离地的垂直高度，它的绳索始终拉直，则绳索的长是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查勾股定理的实际应用，设的长为，则，故．在直角中利用勾股定理即可求解． 【详解】解：由题意可知，，， ． 设的长为，则， 所以． 在直角中，，即， 解得：， 即绳索的长是10米． 故选：A． 【变式15-1】《九章算术》中的“引葭赴岸”问题：今有池方一丈，葭（一种芦苇类植物）生其中央，出水一尺。引葭赴岸，适与岸齐，水深几何？其大意是：有一个边长为10尺的正方形池塘，一棵芦苇生长在它的正中央，高出水面1尺．如果把该芦苇拉向岸边，那么芦苇的顶部恰好碰到岸边，则水深 尺． 【答案】12 【分析】此题主要考查了勾股定理的应用，可以将其转化为数学几何图形，如图所示，根据题意，可知的长为10尺，则尺，设尺，表示出水深，根据勾股定理建立方程，求出方程的解即可得到水深． 【详解】依题意画出图形，设芦苇长尺，则水深尺， ∵尺，芦苇生长在它的正中央， ∴尺， 在中，， 解得：， 即水深12尺， 故答案为：12． 【变式15-2】某校在一次消防演练中，消防车按如图所示的方式停放，长的云梯需要到高的宿舍楼的点处，其示意图如图，已知云梯的底端到地面的距离是，与宿舍楼的水平距离是．云梯的长度够吗？请说明理由． 【答案】云梯的长度足够 【分析】本题主要考查了勾股定理，连接，利用勾股定理求出，通过比较可知，可知云梯的长度不够． 【详解】解：如下图所示，连接， ， ， ， ， 在中，， ， 云梯的长度足够． 题型十六 最短路径问题 【例16】如图，圆柱形玻璃杯，高为，底面周长为，在杯内的点处有一滴蜂蜜，此时一只蚂蚁正好在蜂蜜相对的正上方的点处，则蚂蚁到达蜂蜜的最短距离为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了勾股定理的应用，将玻璃杯侧面展开，结合勾股定理计算即可得解，熟练掌握此知识点并灵活运用是解此题的关键． 【详解】解：将玻璃杯侧面展开如图所示： 由题意可得：，，， ∴， 故选：B． 【变式16-1】某工厂大型设备“圆柱形储罐”，高为12米，底面半径为米．为便于设备检修，在罐体侧面底部点处设有一个检修入口，在罐顶与点相对的边缘点处设有一个观测窗口．现需从检修入口到观测窗口沿罐体外表面敷设一条电缆线，为节省材料，请计算沿罐体侧面敷设的电缆线最短长度是 ．（π取3） 【答案】 【分析】本题主要考查了圆柱的侧面展开图以及勾股定理的应用，熟练掌握将圆柱侧面展开为矩形并利用勾股定理求解是解题的关键． 将圆柱侧面展开成矩形，把曲面问题转化为平面问题，利用勾股定理计算矩形中两点间的线段长度，此长度即为电缆线的最短长度． 【详解】解：将“圆柱形储罐”展开为如图所示，由题意可知， ∵ 圆柱底面半径为米，取， ∴ 底面圆的周长的一半米． ∵ 圆柱的高为米， ∴ 米． 在中，由勾股定理得米． 故答案为： 【变式16-2】勾股定理是人类早期发现并证明的重要数学定理之一，是用代数思想解决几何问题重要的工具之一，也是数形结合的纽带之一，它不但因证明方法层出不穷吸引着人们，更因为应用广泛而使人入迷． (1)应用一：最短路径问题 如图，一只蚂蚁从点沿圆柱侧面爬到相对一侧中点处，如果圆柱的高为，圆柱的底面半径为，那么最短的路线长是 ； (2)应用二：解决实际问题 如图，某公园有一秋千，秋千静止时，踏板离地的垂直高度，将它往前推至处时，即水平距离，踏板离地的垂直高度，它的绳索始终拉直，求绳索的长． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查勾股定理求线段长的应用，理解题意，构造直角三角形由勾股定理求线段长是解决问题的关键． （1）将圆柱体展开得到平面图形，如图所示，求出直角边长，再由勾股定理求值即可得到答案； （2）由题意可得，，，，设，得到，在中，由勾股定理列方程求解即可得到答案． 【详解】（1）解：将圆柱展开得到平面图形，如图所示： 一只蚂蚁从点沿圆柱侧面爬到相对一侧中点处，圆柱的高为，圆柱的底面半径为， ，， 在中，， 即最短的路线长是， 故答案为：； （2）解：由题意可得，，，， ， 设， 则， 在中，，，，， 则由勾股定理可得， 即， 解得， 故绳索的长为． 题型十七 判断能否构成直角三角形 【例17】下列各组数，可以作为直角三角形的三边长的是（    ） A．7，24，25 B．5，13，15 C．2，3，4 D．8，12，20 【答案】A 【分析】利用直角三角形的定义，勾股定理的逆定理，进行计算逐一判断即可解答． 本题考查了直角三角形的定义，勾股定理的逆定理，熟练掌握定义，勾股定理的逆定理是解题的关键． 【详解】解：∵，∴能构成直角三角形，故A符合题意； ∵，∴不能构成直角三角形，故B不符合题意； ∵，∴不能构成直角三角形，故C不符合题意； ∵，∴这样的三角形不存在，故D不符合题意； 故选：A． 【变式17-1】的三边长分别为，由下列条件不能判断为直角三角形的是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查直角三角形的判定，涉及三角形内角和与勾股定理，运用分类分析思想，关键是分别从角和边的角度判断，易错点是对勾股定理的逆定理或角度和为的判定条件理解不透彻；解题思路：分别从角的关系（内角和）和边的关系（勾股定理逆定理）对每个选项逐一分析，判断是否为直角三角形． 【详解】选项A：因为三角形内角和为， ， 所以 ， 则为直角三角形，不符合题意； 选项B：设, ,， 则， 解得， 则, , ， 所以不能判断为直角三角形，符合题意； 选项C：因为 即， 即， 所以为直角三角形，不符合题意； 选项D：因为， 即， 故为直角三角形，不符合题意； 故选B． 【变式17-2】在中，的对边分别记为，由下列条件：①、②、③、④，能判定为直角三角形的是 （请填写序号）． 【答案】 【分析】本题考查了直角三角形的判定，要判定是否为直角三角形，根据每个条件，分别利用三角形内角和定理或勾股定理的逆定理进行推理，判断是否存在直角或是否满足勾股定理逆定理的条件即可． 【详解】， 为直角三角形； ， 为直角三角形； 为直角三角形； ， 设，则（其中） 为直角三角形； 故答案为：． 题型十八 直角三角形全等的判定 【例18】如图，是的平分线，，垂足为点F，且，则的长度是（   ） A．2 B．3 C．4 D．6 【答案】B 【分析】本题考查了全等三角形的性质与判定、角平分线的定义，准确找出图中的全等三角形并证明是解题的关键．过点作于点，先证明，得到，，再证明，得到，最后利用线段的和差即可求解． 【详解】解：过点作于点， ∵，， ∴， ∵，， ∴， ∵是的平分线， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， 在和中， ， ∴， ∴， ∴． 故选：B． 【变式18-1】如图，，于点D，于点E，与相交于点O． (1)求证：； (2)连接，求证：平分． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【详解】（1）证明：∵，， ∴， 在和中， ∴， ∴； （2）证明：如图，连接， ∵，， ∴． 在和中，， ∴， ∴， ∴平分． 【变式18-2】小颖家墙边上挂了一盏路灯．某天，小颖对这盏路灯挂得多高产生了兴趣，恰好旁边有根比路灯高度更长的晾衣杆与三块砖，小颖借助这根晾衣杆进行测量，如图： ①将三块砖垒起，测出他们的高度； ②将晾衣杆斜搭在墙上，使得晾衣杆一端落在路灯挂钩A处，另一端放在离墙根的B点； ③将晾衣杆绕B点顺时针旋转，将它的另一端搭在三块砖的边缘上，从而产生； ④测量砖的边沿所在位置E离B点的距离，即的长度为，则路灯所挂的高度． (1)小颖设计的方案你同意吗？请说明理由； (2)求晾衣杆由旋转到的角度的度数． 【答案】(1)同意小颖设计的方案，理由见解析 (2) 【分析】本题主要考查了全等三角形的性质与判定，熟知全等三角形的性质与判定定理是解题的关键． （1）由旋转的性质得到，则可证明，得到，据此可得结论； （2）由全等三角形的性质可得，则可证明，再由平角的定义可得答案． 【详解】（1）解：同意小颖设计的方案，理由如下： 由题意得，， 由旋转的性质可得， 在和中， ， ∴， ∴， ∴同意小颖设计的方案； （2）解：∵， ∴， ∴， ∴． 题型十九 反证法 【例19】用反证法证明“三角形的三个外角中至少有两个钝角”时，假设正确的是（    ） A．假设三个外角都是钝角 B．假设三个外角中至少有一个钝角 C．假设三个外角中至多有两个钝角 D．假设三个外角中至多有一个钝角 【答案】D 【分析】本题主要考查了反证法，掌握原命题的否定与原命题的关系是解题的关键．“至少有两个”的反面为“至多有一个”，据此即可解答． 【详解】解：∵至少有两个”的反面为“至多有一个”，而反证法的假设即原命题的否定． ∴应假设：三角形三个外角中至多有一个钝角． 故选：D． 【变式19-1】填空： 小明尝试用反证法证明“一个三角形中不能含有两个直角”，他写出了以下三个步骤： ①假设在中，和都是直角； ②则， ； ③假设不成立，所以一个三角形中 含有两个直角．（填“能”或“不能”） 【答案】 这与三角形内角和定理矛盾 不能 【分析】本题考查了三角形内角和定理的应用，用反证法证明命题，解题关键是掌握上述知识点并能熟练运用求解． 反证法通过假设结论不成立，推导出矛盾，从而证明原命题成立．本题假设三角形有两个直角，导致内角和大于，与三角形内角和定理矛盾，故假设不成立． 【详解】解：假设中和都是直角， 则，，． 又， 则， 这与三角形内角和定理矛盾， 故假设不成立， 所以一个三角形中不能含有两个直角． 故步骤②填“这与三角形内角和定理矛盾”，步骤③填“不能”． 故答案为：这与三角形内角和定理矛盾，不能． 【变式19-2】牛顿曾说过：“反证法是数学家最精良的武器之一．”那么我们用反证法证明：如图，“已知：在同一平面内， ，求证：与不平行”时，应先应假设 ． 【答案】 【分析】本题考查的是反证法的应用，解此题关键要懂得反证法的意义及步骤，在假设结论不成立时要注意考虑结论的反面所有可能的情况，如果只有一种，那么否定一种就可以了，如果有多种情况，则必须一一否定．根据反证法的步骤中，第一步是假设结论不成立，反面成立解答即可． 【详解】解：反证法证明命题“已知：在同一平面内， ，求证：与不平行”时，首先应假设与平行，即． 故答案为：． 题型二十 勾股定理的逆定理 【例20】如图，三个村庄A、B、C之间的距离分别为，，．已知A、B两村之间已修建了一条笔直的村级公路，为了实现村村通公路，现在要从村修一条笔直公路直达．已知公路的造价为10000元/，则修这条公路的最低造价为 元． 【答案】72000 【分析】本题主要考查了勾股定理的逆定理，解题的关键是知道在什么时候距离最短． 首先得出，然后利用其逆定理得到，根据垂线段最短确定最短距离，然后利用面积相等求得的长，最终求得最低造价． 【详解】解：∵， ， ， 要使公路的造价最低，则， ， ， 故这条公路的最低造价为：（元）， 故答案为：72000． 【变式20-1】如图是一个机器零件的示意图，是这种零件合格的一项指标．现测得，，，，．根据这些条件，能否知道？ 【答案】能；理由见解析 【分析】此题考查了勾股定理和勾股定理的逆定理，勾股定理的逆定理：如果三角形的三边长a，b，c满足，那么这个三角形就是直角三角形．在中，由勾股定理求出的长，然后在中，根据勾股定理的逆定理即可判断是直角三角形，进而求出的度数即可． 【详解】解：能； ∵，，， ∴在中， 由勾股定理得：， 在中， ∵， ∴是直角三角形， 即：． 【变式20-2】2025年，洛阳市继续在创建全国文明城市的过程中，积极推动城市精细化管理，加强市容市貌提升和城市环境整治．工作人员在某小区临街的拐角处清理出一块四边形空地（如图）进行绿化．经测量，，，，，，求空地的面积． 【答案】 【详解】解：如图，连接． ∵ ，， ∴在中，． ∵，， ∴． ∴是直角三角形，． ∴ 题型二十一 勾股定理的实际应用 【例21】如图，同学们想测量旗杆的高度（米），他们发现系在旗杆顶端的绳子垂到了地面，并多出了一段，但这条绳子的长度未知．小明和小亮同学应用勾股定理分别提出解决这个问题的方案如下：小明：①测量出绳子垂直落地后还剩余米，如图；②把绳子拉直，绳子末端在地面上离旗杆底部米，如图．小亮：先在旗杆底端的绳子上打了一个结，然后举起绳结拉到如图点处（）． (1)请你按小明的方案求出旗杆的高度h（米）； (2)已知小亮举起绳结离旗杆米远，此时绳结离地面多高？ 【答案】(1)旗杆的高度为米 (2)此时绳结离地面米 【分析】本题考查的是勾股定理的应用，根据题意得出直角三角形是解答此题的关键． （1）由题可知，旗杆，绳子与地面构成直角三角形，根据题中数据，用勾股定理即可解答； （2）由题可知，米，米．在中根据勾股定理列出方程 ，求出，进而求解即可． 【详解】（1）解：旗杆的高度为米，则绳子的长度为米， 在中，由勾股定理得：， 解得：， 答：旗杆的高度为米： （2）解：由题可知，米，米， 在中，由勾股定理得：， 解得：， ∴（米）， 答：此时，绳结离地面米高． 【变式21-1】某条高速公路限速，如图，一辆大巴车在这条道路上沿直线行驶，某一时刻刚好行驶到路对面车速检测仪C处的正前方的B处，过了，大巴车到达A处，此时测得大巴车与车速检测仪间的距离为． (1)求的长． (2)这辆大巴车超速了吗? 【答案】(1) (2)大巴车超速了 【分析】本题考查了将实际问题转化为直角三角形中的数学问题，理解题意是解题关键． （1）在中，根据勾股定理即可求出的长； （2）根据（1）中结果求出大巴车的速度，即可判断出结果． 【详解】（1）解：由题意可知，，， ， （2）由（1）得：大巴车的速度为， ， 大巴车超速了． 【变式21-2】据中央气象台消息，第21号台风“麦德姆”于2025年10月5日在广东徐闻第一次登陆．如图，海港C接到台风警报，一台风中心在沿着直线的方向以的速度移动，已知距台风中心的区域（包括边界）都属于受台风影响区，经工作人员测量：，，．问： (1)海港C会不会受到台风的影响？ (2)若海港C会受到台风的影响，那么受台风影响的时间为多少小时？ 【答案】(1)受台风影响，理由见解析 (2)受台风影响的时间为 【分析】本题考查了勾股定理及其逆定理、直角三角形的面积公式以及点到直线的距离在实际问题中的应用，解题的关键是通过计算海港到台风移动路径的最短距离判断是否受影响，再结合勾股定理求出台风影响的路径长度，进而计算持续时间． （1）通过勾股定理逆定理判断为直角三角形，利用面积法求出C到的距离，比较与的大小，确定海港是否受影响； （2）以C为圆心、为半径作圆，交于E、F，利用勾股定理求出的长度，得到的距离，再根据速度公式计算台风影响的持续时间． 【详解】（1）解：海港受台风影响． 理由：如图，过点作于点， 因为，，，, 所以是直角三角形．, 由三角形面积相等可得：， 即， 所以． 因为以台风中心为圆心周围以内(包括)为受影响区域，所以海港受台风影响． （2）如图，设台风中心移动到点，处时刚好影响海港，连接，，则， 所以，因， 所以． 因为台风中心移动的速度为， ， 所以受台风影响的时间为． 基础巩固通关测 1．我国是最早了解勾股定理的国家之一，它被记载于我国古代著名的数学著作《周髀算经》中，下列各组数中是“勾股数”的是（    ） A．6，8，10 B．5，12，11 C．7，8，9 D．2，3，5 【答案】A 【分析】本题考查勾股定理，根据勾股数的定义，三个正整数，两个较小数的平方和等于较大数的平方，这三个正整数构成一组勾股数，进行判定即可． 【详解】A．，是勾股数； B．，不是勾股数； C．，不是勾股数； D． ，不是勾股数； 故选：A． 2．如图，中，，是中点，下列结论中不一定正确的是（    ） A． B． C． D．平分 【答案】C 【分析】本题主要考查了等边对等角和三线合一定理，根据等边对等角可判断A，根据三线合一定理可判断B、D，根据现有条件无法推出C中的结论，据此可得答案． 【详解】解：∵在中，， ∴； ∵是中点， ∴，平分， 根据现有条件无法得到， ∴四个选项中只有C选项中的结论不一定成立， 故选：C． 3．如图，在中，，是斜边上的中线．若，则的长为（   ） A．3 B．2 C．12 D．6 【答案】C 【分析】本题主要考查直角三角形的性质：直角三角形中斜边上的中线等于斜边的一半．根据直角三角形的性质解决此题即可． 【详解】解：在中，，是斜边上的中线， ． ． 故选：C． 4．在一个直角三角形中，有一个锐角等于，则另一个锐角的度数是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了直角三角形的性质， 根据直角三角形两锐角互余的性质求解． 【详解】解：∵直角三角形两锐角互余， ∴另一个锐角． 故选：C． 5．如图，为了让电线杆垂直于地面，工程人员的操作方法是：从电线杆上一点往地面拉两条长度相等的固定绳和，当点、、在同一直线上，且固定点、到杆脚的距离相等时，电线杆就垂直于，工程人员这种操作方法的依据是（    ） A．等边对等角 B．垂线段最短 C．线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等 D．等腰三角形底边上的高线、中线及顶角平分线重合 【答案】D 【分析】本题考查了三线合一，解题关键是掌握三线合一． 根据三线合一求解． 【详解】解：∵从电线杆上一点往地面拉两条长度相等的固定绳和， ∴， 当点、、在同一直线上，且固定点、到杆脚的距离相等时， ∴为边上的中线， ∴（三线合一）， 三线合一即等腰三角形底边上的高线、中线及顶角平分线重合， 故选：D． 6．的三边长分别为，由下列条件不能判断为直角三角形的是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】选项A：因为三角形内角和为， ， 所以 ， 则为直角三角形，不符合题意； 选项B：设, ,， 则， 解得， 则, , ， 所以不能判断为直角三角形，符合题意； 选项C：因为 即， 即， 所以为直角三角形，不符合题意； 选项D：因为， 即， 故为直角三角形，不符合题意； 故选B． 7．等腰三角形的一个底角是，则它的顶角的大小为（   ） A． B． C． D．或 【答案】A 【分析】本题考查了等腰三角形的特征． 根据等腰三角形两底角相等的性质，结合三角形内角和定理，直接计算顶角即可． 【详解】解：∵等腰三角形的一个底角是， ∴它的顶角． 故选：A． 8．如图，将绕顶点C旋转得到，点A的对应点D刚好落在边上，若，，则旋转角的度数是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了旋转的性质，三角形外角的性质，等腰三角形的性质．由旋转的性质得：，再结合三角形外角的性质可得，即可求解． 【详解】解：由旋转的性质得：， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， 即旋转角的度数是． 故选：C 9．如图，两个较大正方形的面积分别为和，则字母所代表的正方形的面积是 ． 【答案】 【详解】解：由图可知：三个正方形的边长组成一个直角三角形， 由勾股定理，得：字母A所代表的正方形的面积． 故答案为：． 10．已知：如图，P、Q是边上两点，且，则 度． 【答案】60 【分析】本题考查了等边三角形的判定及性质．由已知可得为等边三角形，进而得出结果． 【详解】解：∵， ∴为等边三角形， ∴． 故答案为：60． 11．在中，，，，则 ． 【答案】3 【分析】此题考查了等边三角形的判定与性质．掌握等边三角形的判定定理是解题的关键． 由和，可判定是等边三角形，从而． 【详解】解：∵在中，，， ∴（等边对等角）， ， 是等边三角形（三个角都是的三角形是等边三角形）， ． 故答案为：3． 12．已知直角三角形的三边长分别为，，（是斜边），则 ． 【答案】 【分析】本题考查了勾股定理的应用，根据勾股定理，列出方程，解方程即可． 【详解】解：由勾股定理，得， 去括号，得， 化简，得， 移项得， 合并同类项，得， 解得． 故答案为：． 13．在中，若一个锐角等于，则另一个锐角的度数为 【答案】50度/ 【分析】本题主要考查了直角三角形的性质，熟练掌握直角三角形两锐角互余是解决此题的关键，根据直角三角形的性质，两个锐角互余求解即可． 【详解】解：∵在中，两个锐角的和为，一个锐角为， ∴另一个锐角为， 故答案为： 14．牛顿高度评价反证法在数学证明中的关键作用，认为“反证法是数学家最精良的武器之一”．如图，用反证法证明命题“如果，那么”，首先应假设 ． 【答案】 【分析】本题考查反证法，熟记反证法的解题步骤是解决问题的关键． 根据反证法的解题步骤，首先要否定结论，结合题目所给结论直接否定即可得到答案． 【详解】解：用反证法证明命题“如果，那么”，首先应假设， 故答案为：． 15．如图．，． (1)求证：； (2)若，求的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题主要考查了全等三角形的性质与判定，熟知全等三角形的性质与判定定理是解题的关键． （1）利用即可证明； （2）根据全等三角形对应边相等即可得到答案． 【详解】（1）证明：在和中， ， ∴ （2）解：∵， ∴． 16．白银市全民健身中心正在维修屋顶，工作人员使用一架长为5米的梯子靠在墙上，已知梯子底部距离墙面3米，且梯子顶端刚好到达屋顶边缘．请问这面墙的高度是多少米？（假设墙面与地面垂直，梯子、墙面和地面构成一个直角三角形） 【答案】4米 【分析】本题考查了勾股定理的应用，由勾股定理得，即可求解． 【详解】解：由题意得 ， 故这面墙的高度是米． 17．如图，在一条东西走向马路的一侧有一个小区，马路边有两处公交站，，，为两条到达公交站的人行道，且．现为了便于市民出行，取消点处的公交站，准备新建一个公交站点，并修一条人行道．已知，，．（，，在一条直线上） (1)是否为从小区到马路边的公交站处的最近人行道？请通过计算说明； (2)求原来的人行道的长． 【答案】(1)是，见解析 (2)原来的人行道的长为千米 【分析】本题考查了勾股定理及其逆定理的应用，垂线段最短，掌握以上知识点是解题的关键． （1）由可得是直角三角形，，即得，再根据垂线段最短即可说明； （2）设千米，则千米，在中利用勾股定理解答即可求解； 【详解】（1）解：是，理由如下： 在中，∵，， ∴， ∴是直角三角形，， ∴， ∴是为从小区到马路边的公交站处的最近人行道； （2）解：设千米，则千米， 在中，， ∴， 解得， ∴千米， 答：原来的人行道的长为千米． 18．如图，在中，，点F在上，点D在的延长线上，，，且平分． (1)求证：是等边三角形． (2)若，，求的周长． 【答案】(1)见解析 (2) 【详解】（1）证明：∵，平分， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴是等边三角形； （2）解：∵，， ∴， ∵是等边三角形， ∴的周长为． 19．如图，某物流公司的全自动无人机从仓库（A）出发，由于中央区域有信号塔障碍，该无人机需要先向正东方向飞行到C处后，再向正北方向飞行到达配送点（B）现在升级后的导航系统支持该无人机直线飞行跨越障碍，求该无人机现在从仓库到配送点的最短路径． 【答案】 【详解】解：由题意可知，，，， ∴， ∴从仓库到配送点的最短路径为． 20．如图，，，分别是，的中点． (1)求证：； (2)图中与有怎样的位置关系？试证明你的结论． 【答案】(1)证明过程见解析 (2)，证明过程见解析 【详解】（1）证明：∵，是的中点， ∴，； ∴ （2）解：， 证明：在△BDE中，，点是的中点， ∴ ． 能力提升进阶练 1．以下列数作为三角形的边长，其中能构成直角三角形的是（    ） A．，2， B．1，，2 C．3，6，7 D．6，9，12 【答案】B 【详解】解：A、∵， ∴长为，2，的三边不可以组成直角三角形，故此选项不符合题意； B、∵， ∴长为1，，2的三边可以组成直角三角形，故此选项符合题意； C、∵， ∴长为3，6，7的三边不可以组成直角三角形，故此选项不符合题意； D、∵， ∴长为6，9，12的三边不可以组成直角三角形，故此选项不符合题意； 故选：B． 2．某停车场采用先进的车辆识别系统，车辆进出时被系统自动识别后栏杆抬起（如图1）．已知停车场入口的栏杆的长度为4米（如图2所示），栏杆从水平位置绕点顺时针旋转到的位置，在旋转过程中，当栏杆的旋转角为时，栏杆端点升高了（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了旋转的性质，含30度角的直角三角形，过点作，垂足为D，根据垂直定义可得，再利用旋转的性质可得米，然后在中，利用含30度角的直角三角形的性质进行计算，即可解答． 【详解】解：过点作，垂足为D， ∴， 由旋转得：， ∵， ∴， ∴栏杆A端升高了， 故选：A． 3．平静的水池中央生长着一株荷花，荷花高出水面1尺．一阵强风吹过，荷花被吹至倾斜，其顶端恰好接触到岸边的水面．此时，荷花顶端相比于原位置，在水平方向上移动了4尺．由此可知水池的深度是 A．7尺 B．尺 C．8尺 D．尺 【答案】B 【分析】本题考查了解决水杯中筷子问题(勾股定理的应用)，解题关键是掌握上述知识点并能运用求解． 设水池的深度为尺，利用勾股定理，列出关于的方程求解． 【详解】解：设水池的深度为尺， 则， 解得：， 故选：B． 4．中，，，的对边分别记为，，，由下列条件能判定为直角三角形的是（   ） A．，， B．，， C．，， D．，， 【答案】A 【分析】本题主要考查了勾股定理逆定理，若三角形三边满足两边的平方和等于最长边的平方，则该三角形为直角三角形，准确分析判断是解题的关键． 根据勾股定理逆定理，分别计算各选项中最长边的平方与其他两边平方和是否相等． 【详解】解：由已知可得，，，最长边是， ，， ，是直角三角形，故符合题意； 由已知可得，，，最长边为， ，， ，不是直角三角形，故不符合题意； 由已知可得，，，最长边为， ，， ，不是直角三角形，故不符合题意； 由已知可得，，，最长边为， ，， ，不是直角三角形，故不符合题意； 故选． 5．如图，在中，，，的垂直平分线交于点D，交于点E，若，则等于（   ） A．10 B．12 C．16 D．18 【答案】C 【分析】本题主要考查线段垂直平分线的性质，等边对等角，含的直角三角形的性质，根据线段垂直平分线的性质可得到，可求得，再根据直角三角形的性质可求得，可得答案． 【详解】解：∵为线段垂直平分线， ∴， ∴， ， ∴， ∴， 故选：C． 6．等腰三角形两边分别为35cm和22cm，则它的第三边长为（    ） A．35cm B．22cm C．35cm或22cm D．15cm 【答案】C 【分析】分35cm是底边和腰两种情况，利用三角形的任意两边之和大于第三边讨论求解． 【详解】若35cm是底边，第三边为22cm，此时，三角形的三边分别为35cm、22cm、22cm， ∵22+22=44>35， ∴能组成三角形； 若35cm是腰，则第三边为35cm， 此时三角形的三边分别为35cm、35cm、22cm， 能够组成三角形； 综上所述，它的第三边长为22cm或35cm． 故选C． 【点睛】本题考查了等腰三角形的性质，难点在于分情况讨论并利用三角形的三边关系判断是否能够组成三角形． 7．如图，是边长为3的等边三角形，是等腰三角形，且．以为顶点作一个角，使其两边分别交于点，交于点，连接，则的周长为（   ） A．6 B．7 C．8 D．9 【答案】A 【分析】本题主要考查了等边三角形的性质、等腰三角形的性质、全等三角形的判定与性质，熟练掌握全等三角形的判定方法是解题的关键．通过构造全等三角形，将转化为，从而将的周长转化为的长度和． 【详解】解：延长至点，使，连接． ∵是等边三角形，是等腰三角形，， ∴，， ∴，， ∴， ∴， 又∵，， ∴， ∴，， ∵，， ∴， ∴，即， ∴． 又∵，， ∴， ∴． ∴的周长． ∵， ∴的周长为． 故选：A． 8．如图，已知，点D是的平分线上的一个定点，点分别在射线和射线上，且，下列结论：①是等边三角形；②当时，的周长最小；③当时，，其中正确的个数是（    ） A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 【答案】D 【分析】本题考查了角平分线的定义，角平分线的性质定理，等边三角形的判定和性质，掌握以上知识，数形结合分析是关键． 过点作于点，作于点，根据角平分线的定义，角平分线的性质定理得到，可判定①；根据点到直线垂线段最短可判定②；根据等边三角形的性质，平行线的性质可判定③；由此即可求解． 【详解】解：如图所示，过点作于点，作于点， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵点D是的平分线上的一个定点，， ∴， ∴， ∴，且， ∴是等边三角形，故①正确； 根据点到直线垂线段最短可知当时，的值最小， ∵是等边三角形， ∴的周长为，此时周长最小，故②正确； 当时， ∵， ∴， ∵是等边三角形， ∴，，即点重合， ∴，故③正确； 综上所述，正确的有①②③，共3个， 故选：D ． 9．已知一个等腰三角形的周长为10，腰长为4，则它的底边长为 ． 【答案】 2 【详解】解：∵等腰三角形腰长为4， ∴两腰之和为：， ∴底边长为：， ∵， ∴此时能够构成三角形， 故答案为：2． 10．用反证法证明命题“已知，，则．”的第一步应先假设 ． 【答案】 【详解】解：原命题的结论是，其反面为，因此第一步应先假设． 故答案为． 11．帐篷撑起后如图①，为更好地将帐篷固定，需在四个角分别另加一根固定绳索，从正面看如图②所示，测得，，则的度数为 ． 【答案】/20度 【分析】本题考查等腰三角形的性质、三角形的外角性质，熟练掌握等边对等角是解答的关键． 先利用三角形的外角性质求得，再根据等边对等角得到，然后利用三角形的外角性质求解即可． 【详解】解：由题意可知：，． ． ， ． 又， ． 故答案为：． 12．如图，在中，，点、分别在边、上，连接，将沿直线折叠，点恰好落在边上的点处，且，若，则线段的长为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了勾股定理，折叠的性质，先由勾股定理求出的长，进而求出的长，由折叠的性质可得，设，则，由勾股定理得，解方程即可得到答案． 【详解】解：∵在中，，， ∴， ∴， 由折叠的性质可得， 设，则， 在中，由勾股定理得， ∴， 解得， ∴， 故答案为：． 13．如图，中，，是边上的中线，点为边上一点，连接，，若，则的大小为 度． 【答案】 【分析】本题考查了等腰三角形的性质，直角三角形的性质，解题的关键是熟练掌握等腰三角形的性质． 先根据等腰三角形的性质得到，，再由直角三角形锐角互余求出，再根据等边对等角即可求解． 【详解】解：∵，是边上的中线， ∴， ∴， ∵， ∴， 故答案为：． 14．如图，这是一个供滑板爱好者使用的U型池的示意图，该U型池可以看成是长方体去掉一个“半圆柱”而成，中间可供滑行部分的截面是直径为米的半圆，其边缘米，点E在上，米，一滑板爱好者从A点滑到E点，则他滑行的最短距离为 米． 【答案】20 【分析】本题考查了平面展开-最短路径问题，熟练掌握该知识点是关键． 要求滑行的最短距离，需将该U型池的侧面展开，进而根据“两点之间线段最短”得出结果，U型池的侧面展开图是一个长方形，此长方形的宽等于半径为的半圆的弧长，长方形的长等于米，然后问题可求解． 【详解】解：如图是其侧面展开图： 米，米，米， 在中，， 解得（负值舍去）， 故他滑行的最短距离约为20米； 故答案为：20． 15．如图，点、、共线，、两点在直线上方，，，，．求证：． 【答案】证明见解析 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定和直角三角形两锐角互余，全等三角形的判定是结合全等三角形的性质证明线段和角相等的重要工具．在判定三角形全等时，关键是选择恰当的判定条件．由，，，根据等角的余角相等得，然后根据“”可判断． 【详解】证明：，， ， ， ， ， ， 在和中， ， ． 16．如图，两村庄相距，为供气站，，，为了方便供气，现有两种方案铺设管道． 方案一：从供气站直接铺设管道分别到村和村（即管道总长为）； 方案二：过点作的垂线，垂足为点，先从铺设管道到点处，再从点处分别向、两村铺设管道（即管道总长为）． (1)是直角三角形吗？为什么？ (2)在这两种方案中，哪一种方案铺设的管道总长度较短？请通过计算说明理由． 【答案】(1)是直角三角形．理由见解析 (2)方案一所修的管道较短，理由见解析 【分析】本题考查了勾股定理的逆定理、三角形面积的计算． （1）由勾股定理的逆定理即可得出是直角三角形； （2）由的面积求出，得出，即可得出结果． 【详解】（1）解：是直角三角形．理由如下： ，， ， 是直角三角形； （2）解：方案一所铺设的管道较短,理由如下： 的面积， ， ，， ∵ 方案一所铺设的管道较短． 17．已知的三边长分别为a，b，c． (1)若a，b，c满足，试判断的形状； (2)若是等腰三角形，，，且c为奇数，求c的值． 【答案】(1)是等边三角形 (2) 【分析】本题考查的是等边三角形的判定与性质，三角形的三边关系，非负数的性质，熟知以上知识是解题的关键． （1）直接根据，得出，整理得，进行判断即可； （2）根据三角形的三边关系得出的取值范围，再由为奇数得出的值，进而可得出结论． 【详解】（1）解：， ，， ， 是等边三角形； （2）解：的三边长分别为a，b，c，，， ，即． 为奇数， ． 18．如图，在中，分别垂直平分和，交于两点，与相交于点． (1)若的周长为，求的长； (2)若，求的度数． 【答案】(1) (2) 【分析】此题考查了线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等的性质，等边对等角的性质，三角形的内角和定理，解题的关键是熟练掌握以上知识的应用及整体思想的应用． （1）根据线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等可得，，然后求出的周长，据此可得答案； （2）根据三角形的内角和定理列式求出，根据等边对等角可得，，再计算即可得解． 【详解】（1）解：∵、分别垂直平分和， ∴，， ∴的周长， ∵的周长为， ∴； （2）解：∵， ∴， ∵，， ∴，， ∴， ∴． 19．（1）如图1是著名的赵爽弦图，用四个全等的直角三角形拼成如图的大正方形和小正方形．已知较长的直角边长为a，较短的直角边长为b，斜边长为c，利用面积法等可以推导出勾股定理，请写出推理过程． （2）如图2，在一条公路的一侧有一村庄C，公路边有两个停靠站A，B，在公路边再建一个停靠站D，使村庄C到停靠站D的距离最短．经测量，． ①求停靠站A与D之间的距离； ②经测量发现停靠站B到村庄C和停靠站A的距离相等，求停靠站B到村庄C的距离． 【答案】（1）见解析；（2）①，② 【分析】本题是四边形综合题，考查勾股定理的证明与应用，理解题意和题目中体现的方法是解题的关键． （1）依据图1中的正方形的面积可以用两种方式表示出来，即可验证勾股定理； （2）①由勾股定理直接求出；②设，根据勾股定理列出方程，求解即可． 【详解】解：（1）由图1可得，大正方形的边长为c，小正方形的边长为， 大正方形的面积为，也是4个直角三角形的面积+小正方形的面积，即大正方形的面积，其中小正方形的面积为， 大正方形的面积， ∴， 化简可得，； （2）①当时，A到停靠站D的距离最短， 在中，， ∴， 答：停靠站A与D之间的距离为； ②设， ∵， 在中，由勾股定理得：， 即， 解得， 即， 答：停靠站B到村庄C的距离为． 20．某中学物理兴趣小组和数学兴趣小组的同学一起合作，想要研究关于定滑轮（滑轮位置固定不变）的物理实验，他们制订相应的实验和测量方案，部分测量结果如表： 课题 定滑轮的物理实验 实验器材 定滑轮、滑块、木块，绳子（没有弹性） 测量工具 尺子 测量示意图    说明：滑块、木块均在直转道上，它们用绳子连接，且绳子经过定滑轮．图1为初始测量状态，图2为将木块竖直升高后的状态，此时滑块向左滑至点处．其中．实验过程中，绳子长度不变且始终保持绷紧状态，定滑轮、滑块和物体的大小忽略不计． 测量数据 ，， (1)如图1，求绳子的总长度； (2)如图2，求滑块向左滑动的距离． 【答案】(1)绳子的总长度为； (2)滑块向左滑动的距离为． 【分析】本题考查了勾股定理，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）结合，，，运用勾股定理列式计算，得，此时，即可作答． （2）先运算，再根据，代入数值计算，即可作答． 【详解】（1）解：根据题意得，，， 在中，， 即， 解得． ∴， 答：绳子的总长度为； （2）解：根据题意，得，，， ∴， 在中，， 即， ∴， ∴ 答：滑块向左滑动的距离为． 1 / 3 学科网（北京）股份有限公司 $ 第十七章 特殊三角形（复习讲义） 1.理解等腰三角形的“等边对等角”“三线合一”性质。 2.掌握等边三角形的对称性及内角均为60°的特性。 3.熟练运用直角三角形的勾股定理及其逆定理。 4.能通过角或边的关系判定等腰三角形、等边三角形。 5.能利用勾股定理逆定理判定直角三角形。 6.通过添加辅助线（如底边高、中线）解决等腰三角形相关问题。 知识点 重点归纳 常见易错点 等腰三角形的定义与性质 定义： 有两条边相等的三角形。 性质：i.等边对等角： 等腰三角形的两个底角相等。(即：若 AB = AC，则 ∠B = ∠C)ii.三线合一： 等腰三角形底边上的中线、底边上的高线、顶角的平分线互相重合。(这条线也称为等腰三角形的“对称轴”) 判定：i.定义法： 有两条边相等的三角形是等腰三角形。ii.等角对等边： 如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等。(即：若 ∠B = ∠C，则 AB = AC) 忽略分类讨论： 当题目中只给出“等腰三角形”而未指明腰和底边时，或者未明确角是顶角还是底角时，需要根据情况进行分类讨论（如：是 AB=AC 还是 AB=BC？是顶角还是底角等于某个值？）。 混淆“三线合一”： 误以为任意三角形中某条线（如中线）具有高线或角平分线的性质。必须是在等腰三角形中，且这条线是从顶角引到底边上的，才满足三线合一。 “等边对等角”与“等角对等边”混淆： 性质“等边对等角”是由边等推出角等；判定“等角对等边”是由角等推出边等。使用时要注意条件和结论。 等边三角形的定义 i.定义： 三条边都相等的三角形。 ii.性质：1.三边相等。2.三个角都相等，且每个角都等于60°。3.具有等腰三角形的一切性质（三线合一），且有三条对称轴。 iii.判定：1.三边都相等的三角形是等边三角形。2.三个角都相等的三角形是等边三角形。3.有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形。 虽然具备等腰三角形的一切性质，但是与等腰三角形有些不同的地方，在判定与性质的地方易与等腰三角形的判定与性质搞混淆。 直角三角形 定义： 有一个角是直角的三角形。 性质：i.直角三角形的两个锐角互余。(即 ∠A + ∠B = 90°)ii.勾股定理： 直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方。(即 a² + b² = c²，其中 c 是斜边)iii.直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半。 判定：i.定义法： 有一个角是直角的三角形是直角三角形。ii.勾股定理的逆定理： 如果三角形的三边长 a, b, c 满足 a² + b² = c²，那么这个三角形是直角三角形。(其中 c 是最长边) 含30°角的直角三角形性质： 在直角三角形中，如果一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半。 角三角形性质应用不清：勾股定理使用条件： 必须在直角三角形中才能使用勾股定理。如果三角形类型未知，不能直接使用 a² + b² = c²。勾股定理逆定理使用错误： 用勾股定理逆定理判断直角三角形时，必须将最长边代入公式中的 c。若代入错误，可能得到错误结论。斜边中线性质混淆： 误认为任意三角形中某边上的中线等于该边一半。此性质仅适用于直角三角形，且是针对斜边上的中线。含30°角性质应用条件： 在直角三角形中，30°角所对的边是直角边（不是斜边），且该直角边等于斜边的一半。条件不满足时不能用此性质。 勾股定理及其逆定理 适用条件：直角三角形中。 内容：直角三角形斜边平方等于两直角边平方和（a² + b² = c²）； 使用场景：已知两边求第三边长度；证明三角形为直角三角形（需配合逆定理）；解决实际测量问题（如斜坡长度计算） 勾股定理的逆定理：如果三角形中的较小两条边的平方和等于较长的边的平方，则此三角形为直角三角形。 易忽略使用条件，在一般三角形中使用造成错误，在实际问题中构造模型出错； 勾股定理的逆定理与勾股定理一混淆，常常忽略使用的条件。 含30°角的直角三角形 直角三角形中30°角所对的边等于斜边的一半 忽略使用的条件为直角三角形 直角三角形斜边上的中线 直角三角形中斜边上的中线等于斜边的一半 忽略使用的条件为直角三角形 反证法 1.假设命题不成立：明确否定原命题结论 2.逻辑推导：基于假设进行严格推理 3.得出矛盾：与已知条件/公理/定理产生冲突 4.结论成立：说明原假设错误，原命题为真。 1. 假设错误：未准确否定原命题结论，2.矛盾不充分：推导出的矛盾与假设无必然联系3.循环论证：隐含使用了待证结论作为前提4.过度推导：超出必要范围的推理导致论证失效。 题型一 等腰三角形的定义 【例1】已知等腰三角形的周长为21，其中一边长为5，则该等腰三角形的底边长为（   ） A．11 B．8 C．5 D．11或5 【变式1-1】若等腰三角形的一边长是12，另一边长是5，则此等腰三角形的周长是（      ） A．22 B．29 C．22或29 D．无法确定 【变式1-2】若一个等腰三角形有一个角为，则这个三角形顶角为（     ） A． B．或 C． D．或 题型二 三线合一 【例2】如图，在中，，，若，则的长为（    ） A．4 B．5 C．6 D．8 【变式2-1】如图，分别是的中线和角平分线，相交于点F．若，，则的度数是（    ） A． B． C． D． 【变式2-2】如图，在中，于点，点为上一点，，若的面积是，则的长是 ． 题型三 格点图中画等腰三角形 【例3】如图，在的正方形网格中有两个格点A、B，连接，在网格中再找一个格点C，使得是等腰三角形，满足条件的格点C的个数是（   ） A．5 B．6 C．7 D．8 【变式3-1】如图所示的正方形网格中，网格线的交点称为格点．已知A、B是两格点，如果C也是图中的格点，且使得为等腰三角形，点C的个数是（    ） A．6个 B．7个 C．8个 D．9个 【变式3-2】正方形网格中线段的交点称为格点，若格点C与格点A、B能构成等腰直角三角形，那么图中符合要求的格点C共有 个． 题型四 等腰三角形的性质 【例4】如图，在中，沿着过点A的直线折叠这个三角形，使点C落在边上的点D处，折痕为，若，，则的周长是（   ） A．10 B．12 C．12.5 D．13.5 【变式4-1】如图，是的角平分线，，，则图中的等腰三角形有 个 【变式4-2】如图所示，在中，平分，． (1)求证：是等腰三角形； (2)若，，求的度数． 题型五 等腰三角形的性质与判定综合 【例5】如图，在四边形中，，的平分线交于点，若，，则的长为（   ） A． B． C． D． 【变式5-1】如图，在中，平分，，若，，则的周长是 ． 【变式5-2】如图所示，在中，，是边的垂直平分线，交于，交于，连接． (1)若，求的度数． (2)若的周长为，的周长为，求的长． 题型六 等边三角形的性质与判定 【例6】如图，点B，E，C，F在同一条直线上，，且，，，，连接，则的长为（    ） A．3 B．4 C．5 D．6 【变式6-1】如图所示，在中，，，，将绕点按顺时针方向旋转一定的角度得到，当点的对应点恰好落在边上时，的长为 ． 【变式6-2】如图，在中，，，点是外一点，且，过点作分别交，于点，． (1)判断的形状，并说明理由； (2)若，，求的长． 题型七 直角三角形中30°角所对的边是斜边的一半 【例7】如图是某景区一段索道示意图，点A、B之间的距离为30米，，则缆车从点A到点B的过程中竖直上升的高度（的长）为（   ） A．60米 B．45米 C．30米 D．15米 【变式7-1】如图，在中，，，，交于点D．若，则的长为（   ） A．4 B．6 C．7 D．8 【变式7-2】如图，在中， ，平分交于点，于点，且为的中点． (1)求的度数； (2)若，求的长． 题型八 直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半 【例8】如图，在中，，为的中点．若，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【变式8-1】如图，在Rt中，，是边上的中线，过点作于点．若，则的度数是（    ） A． B． C． D． 【变式8-2】如图，在中，是高，分别是的中点． (1)若，，求四边形的周长； (2)与有怎样的位置关系？证明你的结论． 题型九 勾股数 【例9】下列各组数是勾股数的是（   ） A．，， B．5，， C．1，2， D．4，5，6 【变式9-1】勾股定理本身就是一个关于，，的方程，满足这个方程的正整数解通常叫做勾股数组．毕达哥拉斯学派提出了一个构造勾股数组的公式，观察下列几组勾股数：，，，⋯根据上面的规律，第6个勾股数组为 ． 【变式9-2】定义：若三个正整数，，满足，，且，则称为“邻近”勾股数组．例如：，都是“邻近”勾股数组，将从小到大排列，分别记为，，，，（为正整数），若时，的值为 ；若时，的值为 ． 题型十 勾股定理与网格问题 【例10】如图，在由边长为1个单位长度的小正方形组成的网格中，线段的两个端点都在正方形顶点上，则线段的长不可能是（    ） A．2 B．5 C．7 D．10 【变式10-1】在如图的网格中，每个小正方形的边长为a，A、B、C三点均在正方形格点上，若是的高，则的长为 ． 【变式10-2】如图，正方形方格中的每个小正方形的边长都是1，请仅用无刻度的直尺按要求完成以下作图（保留作图痕迹）． (1)在图1中，作一个直角三角形，使得三角形的顶点都在格点上，且三边都为有理数． (2)在图2中，作一个直角三角形，使得三角形的顶点都在格点上，且斜边的长为，另两条直角边均为无理数． 题型十一 勾股定理与折叠问题 【例11】如图1，在中，，将按如图2所示方式折叠，使点与点重合，折痕为，若，，则的长是（　　） A． B． C． D． 【变式11-1】如图，将长方形沿着对角线折叠，使点落在处，交于点．若，，则线段 ． 【变式11-2】如图，在长方形中，，E是边上一点．将四边形沿BE折叠，折叠后点C，D的对应点分别为．若恰好经过点A，求： (1)的长． (2)的面积． 题型十二 以直角三角形三边为边长的图形的面积 【例12】如图，在中，分别以这个三角形的三边为边长向外侧作正方形，面积分别记为，若，则图中阴影部分的面积为（   ） A．5 B． C．4 D． 【变式12-1】如图是一株美丽的勾股树，其中所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形若正方形、、、的边长分别是、、、，则最大正方形的面积是 ． 【变式12-2】如图，在四边形中，，分别以四边形的四条边为边向外作四个正方形，面积分别为a，b，c，d．若，，求的值． 题型十三 以弦图为背景的计算题 【例13】我国汉代数学家赵爽证明勾股定理时创制了一幅“勾股圆方图”，后人称之为“赵爽弦图”，它是由4个全等的直角三角形和1个小正方形组成．如图，直角三角形的两直角边长分别为，，斜边长为．若，，则每个直角三角形的面积为（   ） A．64 B．60 C．120 D．128 【变式13-1】大正方形的面积为5，小正方形的面积为，若用、分别表示直角三角形的两直角边，下列三个结论：；；其中正确的是 【变式13-2】【资料】如图①，这个图案是我国汉代的赵爽在注解《周髀算经》时给出的，人们称它为“赵爽弦图”，该图通过对图形的切割、拼接，巧妙地利用面积关系证明了勾股定理． 【拓展】根据以上材料，老师将图①进行了拓展： (1)如图①，若黄实的面积为1，所拼得的大正方形的面积为25，每个朱实的面积是_____； (2)如图②，将长方形的四边、、、分别延长至、、、，使得，，连接、、、． ①求证：； ②若，，则图中阴影部分图形的面积为_____． 题型十四 勾股定理的证明 【例14】勾股定理的证明方法多样，体现了数学的精妙．下面四幅图中，不能证明勾股定理的是（   ） A． B． C． D． 【变式14-1】勾股定理在我国有着悠久的历史．汉末三国初数学家、天文学家赵爽给《周髀》作注时，给出了相对完整的表述：“勾股各自乘，并之为弦实，开方除之，即弦．”其设计图是由四个完全相同的直角三角形(两条直角边长分别为，，且，斜边为)拼成一个边长为的正方形(如图)，直观地论证了勾股定理，该图被后人称为“赵爽弦图”． (1)请你借助“赵爽弦图”验证勾股定理． (2)若，，求中间小正方形(阴影部分)的面积． 【变式14-2】“数缺形不直观，形缺数不入微”，数形结合思想是数学学习中的一个重要的数学思想，请仔细观察下面几幅图形并回答后面的问题： ①由图形 可知；勾股定理成立； ②由图形 可知；完全平方公式成立； ③由图形 可知；平方差公式成立； ④由图形 可知；公式成立． 题型十五 利用勾股定理构造图形解决问题 【例15】如图，秋千静止时，踏板离地的垂直高度，将它往前推至处时（即水平距离），踏板离地的垂直高度，它的绳索始终拉直，则绳索的长是（    ） A． B． C． D． 【变式15-1】《九章算术》中的“引葭赴岸”问题：今有池方一丈，葭（一种芦苇类植物）生其中央，出水一尺。引葭赴岸，适与岸齐，水深几何？其大意是：有一个边长为10尺的正方形池塘，一棵芦苇生长在它的正中央，高出水面1尺．如果把该芦苇拉向岸边，那么芦苇的顶部恰好碰到岸边，则水深 尺． 【变式15-2】某校在一次消防演练中，消防车按如图所示的方式停放，长的云梯需要到高的宿舍楼的点处，其示意图如图，已知云梯的底端到地面的距离是，与宿舍楼的水平距离是．云梯的长度够吗？请说明理由． 题型十六 最短路径问题 【例16】如图，圆柱形玻璃杯，高为，底面周长为，在杯内的点处有一滴蜂蜜，此时一只蚂蚁正好在蜂蜜相对的正上方的点处，则蚂蚁到达蜂蜜的最短距离为（    ） A． B． C． D． 【变式16-1】某工厂大型设备“圆柱形储罐”，高为12米，底面半径为米．为便于设备检修，在罐体侧面底部点处设有一个检修入口，在罐顶与点相对的边缘点处设有一个观测窗口．现需从检修入口到观测窗口沿罐体外表面敷设一条电缆线，为节省材料，请计算沿罐体侧面敷设的电缆线最短长度是 ．（π取3） 【变式16-2】勾股定理是人类早期发现并证明的重要数学定理之一，是用代数思想解决几何问题重要的工具之一，也是数形结合的纽带之一，它不但因证明方法层出不穷吸引着人们，更因为应用广泛而使人入迷． (1)应用一：最短路径问题 如图，一只蚂蚁从点沿圆柱侧面爬到相对一侧中点处，如果圆柱的高为，圆柱的底面半径为，那么最短的路线长是 ； (2)应用二：解决实际问题 如图，某公园有一秋千，秋千静止时，踏板离地的垂直高度，将它往前推至处时，即水平距离，踏板离地的垂直高度，它的绳索始终拉直，求绳索的长． 题型十七 判断能否构成直角三角形 【例17】下列各组数，可以作为直角三角形的三边长的是（    ） A．7，24，25 B．5，13，15 C．2，3，4 D．8，12，20 【变式17-1】的三边长分别为，由下列条件不能判断为直角三角形的是（　　） A． B． C． D． 【变式17-2】在中，的对边分别记为，由下列条件：①、②、③、④，能判定为直角三角形的是 （请填写序号）． 题型十八 直角三角形全等的判定 【例18】如图，是的平分线，，垂足为点F，且，则的长度是（   ） A．2 B．3 C．4 D．6 【变式18-1】如图，，于点D，于点E，与相交于点O． (1)求证：； (2)连接，求证：平分． 【变式18-2】小颖家墙边上挂了一盏路灯．某天，小颖对这盏路灯挂得多高产生了兴趣，恰好旁边有根比路灯高度更长的晾衣杆与三块砖，小颖借助这根晾衣杆进行测量，如图： ①将三块砖垒起，测出他们的高度； ②将晾衣杆斜搭在墙上，使得晾衣杆一端落在路灯挂钩A处，另一端放在离墙根的B点； ③将晾衣杆绕B点顺时针旋转，将它的另一端搭在三块砖的边缘上，从而产生； ④测量砖的边沿所在位置E离B点的距离，即的长度为，则路灯所挂的高度． (1)小颖设计的方案你同意吗？请说明理由； (2)求晾衣杆由旋转到的角度的度数． 题型十九 反证法 【例19】用反证法证明“三角形的三个外角中至少有两个钝角”时，假设正确的是（    ） A．假设三个外角都是钝角 B．假设三个外角中至少有一个钝角 C．假设三个外角中至多有两个钝角 D．假设三个外角中至多有一个钝角 【变式19-1】填空： 小明尝试用反证法证明“一个三角形中不能含有两个直角”，他写出了以下三个步骤： ①假设在中，和都是直角； ②则， ； ③假设不成立，所以一个三角形中 含有两个直角．（填“能”或“不能”） 【变式19-2】牛顿曾说过：“反证法是数学家最精良的武器之一．”那么我们用反证法证明：如图，“已知：在同一平面内， ，求证：与不平行”时，应先应假设 ． 题型二十 勾股定理的逆定理 【例20】如图，三个村庄A、B、C之间的距离分别为，，．已知A、B两村之间已修建了一条笔直的村级公路，为了实现村村通公路，现在要从村修一条笔直公路直达．已知公路的造价为10000元/，则修这条公路的最低造价为 元． 【变式20-1】如图是一个机器零件的示意图，是这种零件合格的一项指标．现测得，，，，．根据这些条件，能否知道？ 【变式20-2】2025年，洛阳市继续在创建全国文明城市的过程中，积极推动城市精细化管理，加强市容市貌提升和城市环境整治．工作人员在某小区临街的拐角处清理出一块四边形空地（如图）进行绿化．经测量，，，，，，求空地的面积． 题型二十一 勾股定理的实际应用 【例21】如图，同学们想测量旗杆的高度（米），他们发现系在旗杆顶端的绳子垂到了地面，并多出了一段，但这条绳子的长度未知．小明和小亮同学应用勾股定理分别提出解决这个问题的方案如下：小明：①测量出绳子垂直落地后还剩余米，如图；②把绳子拉直，绳子末端在地面上离旗杆底部米，如图．小亮：先在旗杆底端的绳子上打了一个结，然后举起绳结拉到如图点处（）． (1)请你按小明的方案求出旗杆的高度h（米）； (2)已知小亮举起绳结离旗杆米远，此时绳结离地面多高？ 【变式21-1】某条高速公路限速，如图，一辆大巴车在这条道路上沿直线行驶，某一时刻刚好行驶到路对面车速检测仪C处的正前方的B处，过了，大巴车到达A处，此时测得大巴车与车速检测仪间的距离为． (1)求的长． (2)这辆大巴车超速了吗? 【变式21-2】据中央气象台消息，第21号台风“麦德姆”于2025年10月5日在广东徐闻第一次登陆．如图，海港C接到台风警报，一台风中心在沿着直线的方向以的速度移动，已知距台风中心的区域（包括边界）都属于受台风影响区，经工作人员测量：，，．问： (1)海港C会不会受到台风的影响？ (2)若海港C会受到台风的影响，那么受台风影响的时间为多少小时？ 基础巩固通关测 1．我国是最早了解勾股定理的国家之一，它被记载于我国古代著名的数学著作《周髀算经》中，下列各组数中是“勾股数”的是（    ） A．6，8，10 B．5，12，11 C．7，8，9 D．2，3，5 2．如图，中，，是中点，下列结论中不一定正确的是（    ） A． B． C． D．平分 3．如图，在中，，是斜边上的中线．若，则的长为（   ） A．3 B．2 C．12 D．6 4．在一个直角三角形中，有一个锐角等于，则另一个锐角的度数是（    ） A． B． C． D． 5．如图，为了让电线杆垂直于地面，工程人员的操作方法是：从电线杆上一点往地面拉两条长度相等的固定绳和，当点、、在同一直线上，且固定点、到杆脚的距离相等时，电线杆就垂直于，工程人员这种操作方法的依据是（    ） A．等边对等角 B．垂线段最短 C．线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等 D．等腰三角形底边上的高线、中线及顶角平分线重合 6．的三边长分别为，由下列条件不能判断为直角三角形的是（　　） A． B． C． D． 7．等腰三角形的一个底角是，则它的顶角的大小为（   ） A． B． C． D．或 8．如图，将绕顶点C旋转得到，点A的对应点D刚好落在边上，若，，则旋转角的度数是（   ） A． B． C． D． 9．如图，两个较大正方形的面积分别为和，则字母所代表的正方形的面积是 ． 10．已知：如图，P、Q是边上两点，且，则 度． 11．在中，，，，则 ． 12．已知直角三角形的三边长分别为，，（是斜边），则 ． 13．在中，若一个锐角等于，则另一个锐角的度数为 14．牛顿高度评价反证法在数学证明中的关键作用，认为“反证法是数学家最精良的武器之一”．如图，用反证法证明命题“如果，那么”，首先应假设 ． 15．如图．，． (1)求证：； (2)若，求的长． 16．白银市全民健身中心正在维修屋顶，工作人员使用一架长为5米的梯子靠在墙上，已知梯子底部距离墙面3米，且梯子顶端刚好到达屋顶边缘．请问这面墙的高度是多少米？（假设墙面与地面垂直，梯子、墙面和地面构成一个直角三角形） 17．如图，在一条东西走向马路的一侧有一个小区，马路边有两处公交站，，，为两条到达公交站的人行道，且．现为了便于市民出行，取消点处的公交站，准备新建一个公交站点，并修一条人行道．已知，，．（，，在一条直线上） (1)是否为从小区到马路边的公交站处的最近人行道？请通过计算说明； (2)求原来的人行道的长． 18．如图，在中，，点F在上，点D在的延长线上，，，且平分． (1)求证：是等边三角形． (2)若，，求的周长． 19．如图，某物流公司的全自动无人机从仓库（A）出发，由于中央区域有信号塔障碍，该无人机需要先向正东方向飞行到C处后，再向正北方向飞行到达配送点（B）现在升级后的导航系统支持该无人机直线飞行跨越障碍，求该无人机现在从仓库到配送点的最短路径． 20．如图，，，分别是，的中点． (1)求证：； (2)图中与有怎样的位置关系？试证明你的结论． 能力提升进阶练 1．以下列数作为三角形的边长，其中能构成直角三角形的是（    ） A．，2， B．1，，2 C．3，6，7 D．6，9，12 2．某停车场采用先进的车辆识别系统，车辆进出时被系统自动识别后栏杆抬起（如图1）．已知停车场入口的栏杆的长度为4米（如图2所示），栏杆从水平位置绕点顺时针旋转到的位置，在旋转过程中，当栏杆的旋转角为时，栏杆端点升高了（   ） A． B． C． D． 3．平静的水池中央生长着一株荷花，荷花高出水面1尺．一阵强风吹过，荷花被吹至倾斜，其顶端恰好接触到岸边的水面．此时，荷花顶端相比于原位置，在水平方向上移动了4尺．由此可知水池的深度是 A．7尺 B．尺 C．8尺 D．尺 4．中，，，的对边分别记为，，，由下列条件能判定为直角三角形的是（   ） A．，， B．，， C．，， D．，， 5．如图，在中，，，的垂直平分线交于点D，交于点E，若，则等于（   ） A．10 B．12 C．16 D．18 6．等腰三角形两边分别为35cm和22cm，则它的第三边长为（    ） A．35cm B．22cm C．35cm或22cm D．15cm 7．如图，是边长为3的等边三角形，是等腰三角形，且．以为顶点作一个角，使其两边分别交于点，交于点，连接，则的周长为（   ） A．6 B．7 C．8 D．9 8．如图，已知，点D是的平分线上的一个定点，点分别在射线和射线上，且，下列结论：①是等边三角形；②当时，的周长最小；③当时，，其中正确的个数是（    ） A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 9．已知一个等腰三角形的周长为10，腰长为4，则它的底边长为 ． 10．用反证法证明命题“已知，，则．”的第一步应先假设 ． 11．帐篷撑起后如图①，为更好地将帐篷固定，需在四个角分别另加一根固定绳索，从正面看如图②所示，测得，，则的度数为 ． 12．如图，在中，∠B=90°，点、分别在边、上，连接，将沿直线折叠，点恰好落在边上的点处，且，若，则线段的长为 ． 13．如图，中，，是边上的中线，点为边上一点，连接，，若，则的大小为 度． 14．如图，这是一个供滑板爱好者使用的U型池的示意图，该U型池可以看成是长方体去掉一个“半圆柱”而成，中间可供滑行部分的截面是直径为米的半圆，其边缘米，点E在上，米，一滑板爱好者从A点滑到E点，则他滑行的最短距离为 米． 15．如图，点、、共线，、两点在直线上方，，，，．求证：． 16．如图，两村庄相距，为供气站，，，为了方便供气，现有两种方案铺设管道． 方案一：从供气站直接铺设管道分别到村和村（即管道总长为）； 方案二：过点作的垂线，垂足为点，先从铺设管道到点处，再从点处分别向、两村铺设管道（即管道总长为）． (1)是直角三角形吗？为什么？ (2)在这两种方案中，哪一种方案铺设的管道总长度较短？请通过计算说明理由． 17．已知的三边长分别为a，b，c． (1)若a，b，c满足，试判断的形状； (2)若是等腰三角形，，，且c为奇数，求c的值． 18．如图，在中，分别垂直平分和，交于两点，与相交于点． (1)若的周长为，求的长； (2)若，求的度数． 19．（1）如图1是著名的赵爽弦图，用四个全等的直角三角形拼成如图的大正方形和小正方形．已知较长的直角边长为a，较短的直角边长为b，斜边长为c，利用面积法等可以推导出勾股定理，请写出推理过程． （2）如图2，在一条公路的一侧有一村庄C，公路边有两个停靠站A，B，在公路边再建一个停靠站D，使村庄C到停靠站D的距离最短．经测量，． ①求停靠站A与D之间的距离； ②经测量发现停靠站B到村庄C和停靠站A的距离相等，求停靠站B到村庄C的距离． 20．某中学物理兴趣小组和数学兴趣小组的同学一起合作，想要研究关于定滑轮（滑轮位置固定不变）的物理实验，他们制订相应的实验和测量方案，部分测量结果如表： 课题 定滑轮的物理实验 实验器材 定滑轮、滑块、木块，绳子（没有弹性） 测量工具 尺子 测量示意图    说明：滑块、木块均在直转道上，它们用绳子连接，且绳子经过定滑轮．图1为初始测量状态，图2为将木块竖直升高后的状态，此时滑块向左滑至点处．其中．实验过程中，绳子长度不变且始终保持绷紧状态，定滑轮、滑块和物体的大小忽略不计． 测量数据 ，， (1)如图1，求绳子的总长度； (2)如图2，求滑块向左滑动的距离． 1 / 3 学科网（北京）股份有限公司 $