专题28.2 基本的统计量（举一反三讲义）数学沪教版九年级下册

本讲义聚焦初中数学基本统计量核心知识点，系统梳理算术平均数、加权平均数、中位数、众数、方差、标准差及频数频率等内容，从概念定义到实际应用，构建“概念理解-题型突破-综合分析”的学习支架，形成完整统计量知识体系。 资料以11个典型题型为框架，每个题型配套例题与变式题，融入最新考试真题，通过“举一反三”设计培养学生数学思维与数据意识。课中助力教师分层教学，课后便于学生针对性练习，有效提升数据分析与实际应用能力。

专题28.2 基本的统计量（举一反三讲义） 【沪教版】 【题型1 算术平均数】 4 【题型2 加权平均数】 5 【题型3 中位数】 6 【题型4 众数】 7 【题型5 统计量的选择】 7 【题型6 方差】 8 【题型7 标准差】 9 【题型8 频数与频率】 10 【题型9 频数分布表及相关概念】 10 【题型10 频数分布直方图】 11 【题型11 数据的分析】 13 知识点1 算术平均数 1. 一般地，对于n个数，，，，我们把叫作这n个数的算术平均数，简称平均数，记为，即． 2. 算术平均数的意义 反映一组数据的集中趋势，是度量一组数据波动大小的基准． 3. 算术平均数的特征 （1）一组数据的平均数是唯一的，与数据的排列顺序无关； （2）平均数的大小与一组数据中的每个数据都有关系，其中任何数据的变动都会相应引起平均数的变动，且容易受极端值的影响． 4. 若，，，的平均数为，则有如下结论： （1），，，的平均数为； （2），，，的平均数为； （3），，，的平均数为． 知识点2 加权平均数 1. 实际问题中，一组数据里的各个数据的“重要程度”未必相同．因而，在计算这组数据的平均数时，往往给每个数据一个“权”．“权”是一组数据中各数据所占的比重，反映了某个数据的重要程度． 2. 若n个数中，出现次，出现次，，出现次（其中），则由平均数的定义可得其平均数为，该平均数称为该组数据的加权平均数．其中的权为，的权为，，的权为． 3. 算术平均数与加权平均数的区别与联系 用法的区别 ①在实际问题中，当各数据的权相等时，计算平均数要采用算术平均数；②在实际问题中，当各数据的权不相等时，计算平均数就要采用加权平均数 影响因素的区别 ①算术平均数易受极端值的影响；②加权平均数受总体中各数据所占权重的大小和各数据出现的次数（频数）的影响 联系 算术平均数是各数据的权相等时的加权平均数，即算术平均数是加权平均数的特殊情况，但加权平均数不一定是算术平均数 知识点3 中位数 1. 一般地，n个数据按大小顺序排列，处于最中间位置的一个数据（或最中间两个数据的平均数）叫做这组数据的中位数． 2. 一组数据的中位数有且只有一个，代表这组数据的“中等水平”．其单位与数据的单位相同． 3. 中位数的求法 （1）把数据按从小到大（或从大到小）的顺序排列； （2）确定这组数据的个数； （3）当数据的个数是奇数时，取最中间的一个数作为中位数；当数据的个数是偶数时，取最中间两个数的平均数作为中位数． 知识点4 众数 1. 一组数据中出现次数最多的那个数据叫做这组数据的众数． 2. 众数是描述一组数据集中趋势的量，一组数据可以不止一个众数，也可以没有众数，但如果一组数据存在众数，那么众数必然是这组数据中的数． （1）若一组数据中有两个或两个以上数据出现的次数并列最多，那么这两个或两个以上的数据都为众数； （2）若一组数据中所有数据出现的次数都相同，我们就说这组数据没有众数． 知识点5 合理选用平均数、中位数和众数分析问题 1. 平均数、中位数和众数各自的特征 （1）平均数：计算时所有数据都参加运算，它能充分地利用数据所提供的信息，因此在现实中较为常用，但它易受极端值的影响． （2）中位数：计算简单，受极端值影响较小，但不能充分利用所有数据的信息，而且当数据个数为偶数时，中位数不一定是数据中的数． （3）众数：是一组数据中多次重复出现的那个数，往往是人们尤为关心的一个量，但各个数据的重复次数大致相等时，众数就没有特别的意义，但众数一定是数据中的数． 2. 数据分析时的选用依据 平均数 众数 中位数 当要解决的问题需要一组数据中的每个数据都参加运算时，应当选用平均数 当一组数据中 出现极端值时， 应选用中位数 当一组数据中有的数据重 复出现，以至于其他数据 的作用显得相对较小时，应选用众数 知识点6 从统计图分析数据的集中趋势 条形统计图 扇形统计图 众数 最高的直条所对的横轴的数 占比例最大的部分所对应的数 中位数 确定中间位置是第n个数，按从左到右的顺序依次计算纵轴对应的个数和，和为n时对应的横轴上的数就是中位数（若处于中间位置的数有两个，则求这两个数的平均数） 按从小到大的顺序计算所占百分比之和，处于最中间位置的数（或最中间位置两个数的平均数）就是中位数 平均数 按平均数的计算公式计算 知识点7 极差 1. 一组数据中最大数据与最小数据的差，称为极差．例如：1，2，3，4，5，这组数据的极差是． 2. 极差是反映一组数据波动范围（数据离散程度）的一个统计量，是在反映数据波动的各种量中最简单、最便于计算的一个，但它仅仅反映了数据的变化范围，没有提供数据波动的其他信息，且受极端值影响较大． 知识点8 方差与标准差 1. 方差：各个数据与平均数差的平方的平均数．用表示，即．其中是数据，，，的平均数． 2. 标准差：方差的算术平方根．用字母s表示，即． 3. 方差和标准差的计算 （1）计算这组数据的平均数； （2）计算各数据与平均数之差的平方，得到一组新数据； （3）求这组数据的平均数，这个平均数就是原数据的方差； （4）方差的算术平方根就是这组数据的标准差． 4. 方差和标准差的意义 方差和标准差都是用来描述一组数据波动情况的特征数，一般来说，一组数据的方差、标准差越小，说明这组数据波动越小，这组数据就越稳定． 5. 适当变形后新数据的平均数和方差 样本数据 平均数 方差 ，，，， ，，，， ，，，， ，，，， 【题型1 算术平均数】 【例1】17位小学生的平均身高为，其中有一些低于，他们的平均身高是；另有一些高于，他们的平均身高是，最少有（    ）位学生的身高恰好是． A．2 B．5 C．8 D．13 【变式1-1】是的平均数，是的平均数，是平均数，则下列各式一定正确的是（   ） A． B． C． D． 【变式1-2】（24-25七年级上·四川成都·开学考试）（平均数的应用）六名裁判员给一名跳水运动员打分，若去掉一个最高分，则平均分为9.3分；若去掉一个最低分，则平均分为9.5分．最高分与最低分相差（    ）分． A．0.2 B．1 C．1.2 D．1.8 【变式1-3】（25-26九年级上·重庆长寿·开学考试）在整式，之间插入它们的平均数：，记作第一次操作，在与之间和与之间分别插入它们各自的平均数记作第二次操作，以此类推． ①第二次操作后，从左往右第四个整式为； ②第三次操作后，从左往右第2个整式为：； ③经过四次操作后，若，则所有整式的值之和为15； ④经过7次操作后，将得到128个整式． 以上四个结论正确的个数为（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【题型2 加权平均数】 【例2】小明调查了班内20名同学本学期购买课外书的花费情况，并将结果绘制成统计图，那么这20名同学购买课外书的平均花费是 元．    【变式2-1】（25-26九年级上·安徽宣城·开学考试）某校评选先进班集体，从“学习”“卫生”“纪律”“活动参与”四个方面综合考核打分，各项满分均为分，所占比例如表： 项目 学习 卫生 纪律 活动参与 所占比例 若某班这四项得分（单位：分）依次为，，，，则该班四项综合得分为 分． 【变式2-2】（24-25九年级上·北京·开学考试）一位求职者参加某公司的招聘，面试和笔试的成绩分别是和，公司给出他这两项测试的平均成绩为，可知此次招聘中 （填“面试”或“笔试”）的权重较大． 【变式2-3】（24-25九年级下·福建漳州·期中）近期，中国在科研领域的人工智能项目取得了重大突破，在自然语言处理、图像识别等多个关键领域展现出卓越的性能，其创新的算法和广泛的应用前景引发了全球科研界和社会的关注．某初中学校为了解学生对这一前沿科技成果的关注情况以及学生上网习惯，开展了一次关于学生对人工智能项目关注情况及上网时间的问卷调查，结果如下表所示：基于上述数据，回答以下问题： 调查对象 参与调查人数（人） 对的关注度 日人均上网时间（分） 七年级学生 八年级学生 九年级学生 (1)全校学生对研发成果这个热点话题的关注度大约是多少？ (2)全校学生的日人均上网时间大约是多少分钟？ (3)从各年级对的关注度和上网时间，你能发现什么趋势？并分析可能的原因． 【题型3 中位数】 【例3】（25-26九年级上·浙江温州·开学考试）一组数据从小到大排列为，且这组数据的中位数为9，则的值为（　　） A．7 B．9 C．11 D．15 【变式3-1】（24-25八年级下·福建福州·期末）有一组不重复的数据2，5，7，8，a，其中a为中位数，且为整数，则a的值是 ． 【变式3-2】（24-25九年级下·福建厦门·期中）某公司拟推出由7个盲盒组成的套装产品，现有10个盲盒可供选择，统计这10个盲盒的质量如图4所示．序号为1到5号的盲盒已选定，这5个盲盒质量的中位数恰好为100，6号盲盒从甲、乙、丙中选择1个，7号盲盒从丁、戊中选择1个，使选定7个盲盒质量的中位数仍为100，不可以选择（    ） A．甲、丁 B．甲、戊 C．乙、丁 D．丙、丁 【变式3-3】（2025·四川内江·模拟预测）某班四个小组的人数如下：10，10，x，8，已知这组数据的中位数与平均数相等，则x的值可能为（    ） A．6 B．7 C．8 D．9 【题型4 众数】 【例4】（2025·河北石家庄·一模）五名学生投篮球，每人投10次，统计他们每人投中的次数，得到五个数据．若这五个数据的中位数是5，唯一众数是6，则他们投中次数的总和可能是（    ） A．16 B．17 C．24 D．25 【变式4-1】（24-25八年级下·黑龙江绥化·期末）一组数据，，，，，，有唯一的众数，则为（ ） A． B． C． D． 【变式4-2】如图为遵义市某年连续7天的天气情况，这7天最高气温的中位数与众数分别为（   ） A．25.5，27 B．26，28 C．26.5，27 D．27，28 【变式4-3】（24-25八年级下·广东汕头·阶段练习）如表是某班35位同学在实验操作中的得分情况： 得分（分） 5 6 7 8 9 10 人数（人） 2 3 5 ♥ ★ 7 已知这35位同学实验操作得分的中位数和众数都是9分，成绩得8分的超过6人，则成绩得9分的人数是（    ） A．9 B．10 C．11 D．12 【题型5 统计量的选择】 【例5】（24-25八年级下·河南信阳·期末）在一次“中华传统文化知识”演讲比赛中，有13名同学参加比赛，预赛成绩各不相同，取前6名参加决赛，其中一名同学已经知道自己的成绩，能否进入决赛，只需要再知道这13名同学成绩的（    ） A．众数 B．中位数 C．方差 D．平均数 【变式5-1】（24-25八年级下·吉林长春·期末）某同学六次数学考试成绩分别为：86分、86分、78分、80分、85分、92分，老师想了解他数学成绩波动情况，则老师最应该关注他数学成绩的（ ） A．平均数 B．中位数 C．众数 D．方差 【变式5-2】（24-25八年级下·吉林长春·期末）学校准备定制一款校服，对全校同学喜欢的颜色进行了问卷调查，统计结果如表所示．学校最终决定选择红色校服，其参考的统计量是（    ） 颜色 白色 红色 蓝色 学生人数 100 820 180 A．平均数 B．中位数 C．众数 D．方差 【变式5-3】下列表格是某公司员工情况表，你在了解这家公司的员工的平均工资时，你最应该关注的数据是（    ） 职位 普工 文员 经理 董事长 人数 3 10 2 1 工资（元） 1200 1500 1600 8000 A．平均数 B．众数与中位数 C．方差 D．最小数 【题型6 方差】 【例6】已知a，b，c，d，e五个数的平均数为m，方差为g，求的平均数和方差． 【变式6-1】甲、乙、丙、丁四人参加滑雪比赛，经过三轮初赛，他们的平均成绩相同，方差分别是．你认为成绩更稳定的是 ． 【变式6-2】如果已知一组数据的方差，那么的值为 ． 【变式6-3】（多选题）已知一组正数的方差，则关于数据的说法，其中不正确的说法是（    ） A．方差为 B．平均数为2 C．平均数为4 D．方差为 【题型7 标准差】 【例7】（24-25八年级下·内蒙古巴彦淖尔·期末）菲尔兹奖是数学领域的国际最高奖项之一，每四年颁发一次．以下是部分菲尔兹奖得主的年龄（单位：岁）：32，33，31，29，31，29，31，32，则下列说法正确的是（   ） A．中位数是31，方差是14 B．众数是31，标准差是 C．平均数是31，方差是 D．中位数是31，标准差是 【变式7-1】（24-25九年级下·上海·阶段练习）某小组位学生一次数学测试的分数为，，，，，，，，那么这个小组测试分数的标准差是 ． 【变式7-2】（24-25八年级上·全国·假期作业）下列几种说法：①标准差不可能是0；②如果一组数据，，…，的方差是5，则另一组数据，，…，的方差是20；③某校要从甲、乙两名跳远运动员中挑选一人参加一项校际比赛．在最近的10次选拔赛中，他们的成绩（单位：）如下 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 平均分 标准差 甲 585 596 610 598 612 597 604 600 613 601 601.6 8.11 乙 613 618 580 574 618 593 585 590 598 624 599.3 16.86 历届比赛表明，成绩达到就能打破记录，为了打破记录，应该选甲参加这项比赛． 以上说法中，正确的个数为 个． 【变式7-3】（24-25八年级下·山东菏泽·开学考试）若样本，的平均数为12，方差为4，则对于样本，下列结论正确的是（   ）． A．平均数为12，标准差为2 B．平均数为12，标准差为4 C．平均数为27，标准差为2 D．平均数为27，标准差为4 知识点9 频数与频率 1. 频数：每个对象出现的次数． 2. 频率：每个对象出现的次数与各对象出现的总次数的比值（或者百分比）． 3. 频数之和为总次数，频率之和为1，频率＝频数/总次数．在频数、频率和总次数中，只要知道其中两个数据，即可求出另外一个数据． 例如：某班共有40名学生（共有A型，B型，AB型，O型这四种血型），A型血16名，B型血频率为0.35，AB型血频率为0.1，则A型血频率为16÷40＝0.4，O型血频率为1－0.4－0.35－0.1＝0.15，O型血人数为40×0.15＝6． 【题型8 频数与频率】 【例8】某人将一枚质量均匀的硬币连续抛10次，落地后正面朝上6次，反面朝上4次，下列说法正确的是（    ） A．出现反面的频率是6 B．出现反面的频率是4 C．出现反面的频率是0.4 D．出现反面的频率是0.6 【变式8-1】调查某班 名同学的跳高成绩时，在收集到的数据中，不足 米的数出现的频率是 ，则达到或超过 米的数出现的频率是 （ ） A． B． C． D． 【变式8-2】（24-25八年级下·江苏苏州·期末）“深度求索”的英语单词“”中，字母“e”出现的频率是 ． 【变式8-3】（24-25八年级下·贵州黔东南·阶段练习）八年级某班有男生人，女生占全班人数的，则男生出现的频率和女生出现的频数分别是（   ） A．和 B．和 C．和 D．和 知识点10 频数分布表及相关概念 1. 组距：把所有数据分成若干组，每个小组的两个端点间的距离（组内数据的取值范围）称为组距． 2. 组数：分成组的个数叫做组数． 3. 频数：对落在各个小组内的数据进行累计，得到各个小组内的数据的个数叫做频数． 4. 频数分布表：把各个类别及其对应的频数用表格的形式表示出来，所得的表格就是频数分布表． 【题型9 频数分布表及相关概念】 【例9】（24-25八年级下·江苏泰州·阶段练习）小明统计了他家今年5月份打电话的次数及通话时间，并列出了频数分布表： 通话时间 频数（通话次数） 14 16 8 10 2 则通话时间不超过的频率是（   ） A．0.2 B．0.4 C．0.6 D．0.8 【变式9-1】（24-25七年级下·四川广元·期末）一个容量为80的样本的最大值为147，最小值为50，取组距为10，则可以分成（    ） A．10组 B．9组 C．8组 D．7组 【变式9-2】（24-25八年级下·河北唐山·期中）现将50个数据分成了①-⑥组，如下表所示，则第⑤组的频率为 ． 组号 ① ② ③ ④ ⑤ ⑥ 频数 3 5 8 12 5 【变式9-3】（2025·北京顺义·二模）某校组织全校学生参加主题为“百年五四与当代科技”的知识竞赛．为了解学生的竞赛情况，从中随机抽取了100名学生的成绩（百分制），数据整理如下： 成绩 人数 10 15 25 30 20 根据以上数据，估计全校1000名学生中成绩不低于80分的人数为 人． 知识点11 频数分布直方图 1. 频数分布直方图：根据频数分布表画出的统计图，称为频数分布直方图． 2. 频数分布直方图的绘制步骤 （1）算：计算最大值与最小值的差； （2）定：决定距离与组数； （3）列：确定分点，列出频数分布表； （4）画：用横轴表示各分段数据，纵轴反映各分段数据的频数，小长方形的高表示频数，绘制频数分布直方图． 【题型10 频数分布直方图】 【例10】（25-26八年级上·海南省直辖县级单位·期中）“地球一小时”是世界自然基金会应对全球气候变化所提出的一项全球性节能活动，提倡于每年三月最后一个星期六的当地时间，家庭及商业用户关上不必要的电灯及耗电产品一小时，以此来表示他们对于应对气候变化行动的支持，为了解小区居民的用电情况，某小区物业随机抽取了部分家庭小时的用电情况，并整理成如下不完整的频数分布表和频数分布直方图． 居民用电情况频数分布表 组别 用电量／度 频数（户数） 百分比 14 请根据图表提供的信息，解答下列问题： (1)调查总户数为______； (2)频数分布表中，______，______，______； (3)为了响应节能减排号召，请提一条合理的建议． 【变式10-1】为了了解某地七年级学生参加消防知识竞赛的成绩（成绩取整数），从中抽取了1%的学生的竞赛成绩，整理后绘制了如图所示的频数直方图．若竞赛成绩在90分及以上的学生可以获得奖励，则估计该地获得奖励的七年级学生有 人． 【变式10-2】（2025·湖南邵阳·模拟预测）为了了解八年级学生的体能情况，学校随机抽查了其中30名学生，测试1分钟仰卧起坐的次数，整理数据并将其绘制成如图所示的频数分布直方图，那么仰卧起坐的次数在的人数占抽查总人数的百分比是 ．（保留三位有效数字）    【变式10-3】（25-26九年级上·河北石家庄·开学考试）某次数学测验，抽取部分同学的成绩（得分为整数）整理制成统计图如图所示，根据图中信息，下列描述不正确的是（    ） A．共抽取了50人 B．估计这次测验的及格率（60分及以上为及格）在左右 C．估计这次测试80分以上的同学占左右 D．分这一分数段的频数是12 【题型11 数据的分析】 【例11】（25-26九年级上·辽宁鞍山·开学考试）某校在4月12日“世界航天日．”期间举办了航天主题知识竞赛．为了了解学生的竞赛成绩，现从七年级和八年级中各随机抽取20名学生的成绩进行分析（满分为100分，得分用表示）．共分为四组：．下面给出了部分信息． 七年级20名同学竞赛成绩数据： 64，70，75，76，78，78，85，85，85，85，86，89，90，90，94，95，98，98，99，100． 七、八年级竞赛成绩得分统计表 年级 平均数 中位数 众数 方差 七年级 86 85 96.6 八年级 86 86.5 88 69.8 八年级竞赛成绩扇形统计图 根据以上信息，解答下列问题： (1)求七年级20名同学竞赛成绩的中位数； (2)哪个年级的竞赛成绩更稳定？请说明理由； (3)本次竞赛七年级有500名同学参加，八年级有480名同学参加，成绩为的同学获得一等奖．请估计本次竞赛七、八年级共有多少名同学获得一等奖． 【变式11-1】某校七、八年级进行了数学期末检测，并从七、八年级中分别随机抽取了10名学生的检测成绩，整理如下： 七年级10名学生的成绩：96，86，96，86，99，96，90，100，89，92； 八年级10名学生的成绩：94，90，93，88，98，91，89，100，87，100； 年级 平均数 中位数 众数 方差 七年级 93 b 23.6 八年级 92 100 21.4 根据以上信息，解答下列问题： (1)表格中____________；____________；____________； (2)这次检测中，____________年级的成绩更稳定； (3)我校八年级共有800人参加了此次数学检测，估计八年级学生参加此次检测成绩为优秀（）的有多少人？ 【变式11-2】某校学生会发起了北京冬奥知识抢答比赛，共10道选择题，每题1分，满分为10分，答对8道以上（含8题）被评为“优秀”．学生会从七、八年级各随机抽取20人，对这20人的得分进行整理和分析．相关数据统计、整理如下： 抽取八年级20位学生的得分（单位：分）： 6，6，7，7，7，7，8，8，8，9，9，9，9，9，9，9，9，9，10，10． 七八年级抽取的学生得分统计： 年级 七年级 八年级 平均数 8.25 8.25 中位数 8 a 众数 b 9 方差 1.85625 1.3875 根据以上信息，解答下列问题： (1)填空： ， ； (2)已知七年级共15个班，每班有4人参赛，估计该校七年级学生知识抢答比赛成绩为“优秀”的人数； (3)该校决定从七、八年级中选拔一个年级参加市级冬奥知识抢答比赛，根据以上数据分析，你认为应选择哪个年级？请说明理由 【变式11-3】为弘扬泰山文化，某校举办了“泰山诗文大赛”活动，小学、初中部根据初赛成绩，各选出5名选手组成小学代表队和初中代表队参加学校决赛．两个队各选出的5名选手的决赛成绩如下图所示． 根据图中提供的信息，回答下列问题： (1)将表格补充完整； 平均数（分） 中位数（分） 众数（分） 小学部 85 初中部 85 100 (2)已知初中部决赛成绩的方差为，请你计算出小学部决赛成绩的方差，并判断哪一个代表队选手成绩较为稳定． 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题28.2 基本的统计量（举一反三讲义） 【沪教版】 【题型1 算术平均数】 4 【题型2 加权平均数】 7 【题型3 中位数】 10 【题型4 众数】 12 【题型5 统计量的选择】 14 【题型6 方差】 15 【题型7 标准差】 18 【题型8 频数与频率】 20 【题型9 频数分布表及相关概念】 22 【题型10 频数分布直方图】 24 【题型11 数据的分析】 27 知识点1 算术平均数 1. 一般地，对于n个数，，，，我们把叫作这n个数的算术平均数，简称平均数，记为，即． 2. 算术平均数的意义 反映一组数据的集中趋势，是度量一组数据波动大小的基准． 3. 算术平均数的特征 （1）一组数据的平均数是唯一的，与数据的排列顺序无关； （2）平均数的大小与一组数据中的每个数据都有关系，其中任何数据的变动都会相应引起平均数的变动，且容易受极端值的影响． 4. 若，，，的平均数为，则有如下结论： （1），，，的平均数为； （2），，，的平均数为； （3），，，的平均数为． 知识点2 加权平均数 1. 实际问题中，一组数据里的各个数据的“重要程度”未必相同．因而，在计算这组数据的平均数时，往往给每个数据一个“权”．“权”是一组数据中各数据所占的比重，反映了某个数据的重要程度． 2. 若n个数中，出现次，出现次，，出现次（其中），则由平均数的定义可得其平均数为，该平均数称为该组数据的加权平均数．其中的权为，的权为，，的权为． 3. 算术平均数与加权平均数的区别与联系 用法的区别 ①在实际问题中，当各数据的权相等时，计算平均数要采用算术平均数；②在实际问题中，当各数据的权不相等时，计算平均数就要采用加权平均数 影响因素的区别 ①算术平均数易受极端值的影响；②加权平均数受总体中各数据所占权重的大小和各数据出现的次数（频数）的影响 联系 算术平均数是各数据的权相等时的加权平均数，即算术平均数是加权平均数的特殊情况，但加权平均数不一定是算术平均数 知识点3 中位数 1. 一般地，n个数据按大小顺序排列，处于最中间位置的一个数据（或最中间两个数据的平均数）叫做这组数据的中位数． 2. 一组数据的中位数有且只有一个，代表这组数据的“中等水平”．其单位与数据的单位相同． 3. 中位数的求法 （1）把数据按从小到大（或从大到小）的顺序排列； （2）确定这组数据的个数； （3）当数据的个数是奇数时，取最中间的一个数作为中位数；当数据的个数是偶数时，取最中间两个数的平均数作为中位数． 知识点4 众数 1. 一组数据中出现次数最多的那个数据叫做这组数据的众数． 2. 众数是描述一组数据集中趋势的量，一组数据可以不止一个众数，也可以没有众数，但如果一组数据存在众数，那么众数必然是这组数据中的数． （1）若一组数据中有两个或两个以上数据出现的次数并列最多，那么这两个或两个以上的数据都为众数； （2）若一组数据中所有数据出现的次数都相同，我们就说这组数据没有众数． 知识点5 合理选用平均数、中位数和众数分析问题 1. 平均数、中位数和众数各自的特征 （1）平均数：计算时所有数据都参加运算，它能充分地利用数据所提供的信息，因此在现实中较为常用，但它易受极端值的影响． （2）中位数：计算简单，受极端值影响较小，但不能充分利用所有数据的信息，而且当数据个数为偶数时，中位数不一定是数据中的数． （3）众数：是一组数据中多次重复出现的那个数，往往是人们尤为关心的一个量，但各个数据的重复次数大致相等时，众数就没有特别的意义，但众数一定是数据中的数． 2. 数据分析时的选用依据 平均数 众数 中位数 当要解决的问题需要一组数据中的每个数据都参加运算时，应当选用平均数 当一组数据中 出现极端值时， 应选用中位数 当一组数据中有的数据重 复出现，以至于其他数据 的作用显得相对较小时，应选用众数 知识点6 从统计图分析数据的集中趋势 条形统计图 扇形统计图 众数 最高的直条所对的横轴的数 占比例最大的部分所对应的数 中位数 确定中间位置是第n个数，按从左到右的顺序依次计算纵轴对应的个数和，和为n时对应的横轴上的数就是中位数（若处于中间位置的数有两个，则求这两个数的平均数） 按从小到大的顺序计算所占百分比之和，处于最中间位置的数（或最中间位置两个数的平均数）就是中位数 平均数 按平均数的计算公式计算 知识点7 极差 1. 一组数据中最大数据与最小数据的差，称为极差．例如：1，2，3，4，5，这组数据的极差是． 2. 极差是反映一组数据波动范围（数据离散程度）的一个统计量，是在反映数据波动的各种量中最简单、最便于计算的一个，但它仅仅反映了数据的变化范围，没有提供数据波动的其他信息，且受极端值影响较大． 知识点8 方差与标准差 1. 方差：各个数据与平均数差的平方的平均数．用表示，即．其中是数据，，，的平均数． 2. 标准差：方差的算术平方根．用字母s表示，即． 3. 方差和标准差的计算 （1）计算这组数据的平均数； （2）计算各数据与平均数之差的平方，得到一组新数据； （3）求这组数据的平均数，这个平均数就是原数据的方差； （4）方差的算术平方根就是这组数据的标准差． 4. 方差和标准差的意义 方差和标准差都是用来描述一组数据波动情况的特征数，一般来说，一组数据的方差、标准差越小，说明这组数据波动越小，这组数据就越稳定． 5. 适当变形后新数据的平均数和方差 样本数据 平均数 方差 ，，，， ，，，， ，，，， ，，，， 【题型1 算术平均数】 【例1】17位小学生的平均身高为，其中有一些低于，他们的平均身高是；另有一些高于，他们的平均身高是，最少有（    ）位学生的身高恰好是． A．2 B．5 C．8 D．13 【答案】A 【分析】本题主要考查了平均数的应用以及通过设未知数、列方程求解整数解的知识，正确理解题意是解题的关键，先设身高低于为x人，高于为y人，恰好为为z人，根据总人数和身高总和不变列出方程，然后通过分析方程的整数解，即可找到身高恰好为的学生人数的最小值． 【详解】解：设身高低于为x人，高于为y人，恰好为为z人， 则，即， 17位小学生的身高总和为：， 低于的学生身高总和为：， 高于的学生身高总和为：， 恰好为的学生身高总和为：， 根据身高总和不变可得：， 将变形为， 代入中得： 即， 因为都是正整数，z是非负整数，则 当时，， 解得， 则， 当时，， 解得， 则， 当时，， 解得， 则， 要使z最小，即身高恰好为的学生最少， 由此当，，时，z最小为2， 所以最少有2为学生的身高恰好为． 故选：A． 【变式1-1】是的平均数，是的平均数，是平均数，则下列各式一定正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了算术平均数，掌握算术平均数的定义是解答本题关键； 根据算术平均数的定义解答即可. 【详解】解：∵是的平均数，是的平均数，是的平均数， ∴，， ∴. 故选：B. 【变式1-2】（24-25七年级上·四川成都·开学考试）（平均数的应用）六名裁判员给一名跳水运动员打分，若去掉一个最高分，则平均分为9.3分；若去掉一个最低分，则平均分为9.5分．最高分与最低分相差（    ）分． A．0.2 B．1 C．1.2 D．1.8 【答案】B 【分析】本题主要考查了平均数的应用，先求出去掉一个最低分的总分数，再求出去掉一个最高分的总分数，然后作差即可得出答案． 【详解】解：（分）， 所以最高分与最低分相差1分． 故选：B． 【变式1-3】（25-26九年级上·重庆长寿·开学考试）在整式，之间插入它们的平均数：，记作第一次操作，在与之间和与之间分别插入它们各自的平均数记作第二次操作，以此类推． ①第二次操作后，从左往右第四个整式为； ②第三次操作后，从左往右第2个整式为：； ③经过四次操作后，若，则所有整式的值之和为15； ④经过7次操作后，将得到128个整式． 以上四个结论正确的个数为（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】B 【分析】本题主要考查了平均数、整式的加减、数字规律等知识点，根据操作方式找出变化规律是解题的关键． ①根据第一次操作后所得整式，求出第二次操作后，从左往右的第四个整式即可判断；②求出第二次操作后的第二整式，即可判断②；③代入，求出经过4次操作后所得数据，并求和判断即可；④根据操作方式得出操作后所得整式个数的规律，然后求出经过7次操作后所得整式个数即可判断． 【详解】解：①第一次操作后：， ∵， ∴第二次操作后：，即第二次操作后，从左往右第四个整式为，故①正确，符合题意； ∵， ∴第三次操作后：，即第三次操作后，从左往右第2个整式为，故②正确，符合题意； 若，初始和为2， 第一次操作后：和3； 第二次操作后：和为； 第三次操作后数为：， 则第三次操作后和为， 第四次操作后数为：， 则第四次操作后：，即和为17，故③不符合题意； 第1次操作后有3个整式，第2次操作后有5个整式，第3次操作后有9个整式，第4次操作后有17个整式，由此发现第n次操作后有个整式， ∴第7次操作后得到个整式，故④不符合题意． 综上，①②正确，即正确的有2个． 故选：B． 【题型2 加权平均数】 【例2】小明调查了班内20名同学本学期购买课外书的花费情况，并将结果绘制成统计图，那么这20名同学购买课外书的平均花费是 元．    【答案】69 【分析】利用加权平均数的定义即可得. 【详解】解：这20名同学购买课外书的平均花费是元， 故答案为：69. 【点睛】本题主要考查加权平均数，从扇形统计图中得出解题所需数据并熟练掌握加权平均数的定义是解题的关键. 【变式2-1】（25-26九年级上·安徽宣城·开学考试）某校评选先进班集体，从“学习”“卫生”“纪律”“活动参与”四个方面综合考核打分，各项满分均为分，所占比例如表： 项目 学习 卫生 纪律 活动参与 所占比例 若某班这四项得分（单位：分）依次为，，，，则该班四项综合得分为 分． 【答案】 【分析】本题主要考查加权平均数，解题的关键是掌握加权平均数的计算方法．根据加权平均数的计算方法列式计算即可． 【详解】解：该班四项综合得分为：（分）， 故答案为：． 【变式2-2】（24-25九年级上·北京·开学考试）一位求职者参加某公司的招聘，面试和笔试的成绩分别是和，公司给出他这两项测试的平均成绩为，可知此次招聘中 （填“面试”或“笔试”）的权重较大． 【答案】面试 【分析】本题主要考查加权平均数，解题的关键是设出面试和笔试的权重，根据加权平均数的定义列出方程．设面试成绩所占百分比为，则笔试成绩所占百分比为，根据加权平均数的定义列出方程求解即可得出答案． 【详解】解：设面试成绩所占百分比为，则笔试成绩所占百分比为， 根据题意，得：， 解得：， 则， ∴此次招聘中面试的权重较大， 故答案为：面试． 【变式2-3】（24-25九年级下·福建漳州·期中）近期，中国在科研领域的人工智能项目取得了重大突破，在自然语言处理、图像识别等多个关键领域展现出卓越的性能，其创新的算法和广泛的应用前景引发了全球科研界和社会的关注．某初中学校为了解学生对这一前沿科技成果的关注情况以及学生上网习惯，开展了一次关于学生对人工智能项目关注情况及上网时间的问卷调查，结果如下表所示：基于上述数据，回答以下问题： 调查对象 参与调查人数（人） 对的关注度 日人均上网时间（分） 七年级学生 八年级学生 九年级学生 (1)全校学生对研发成果这个热点话题的关注度大约是多少？ (2)全校学生的日人均上网时间大约是多少分钟？ (3)从各年级对的关注度和上网时间，你能发现什么趋势？并分析可能的原因． 【答案】(1)71.5% (2)68.5分钟 (3)见解析 【分析】（1）先分别计算出七、八、九年级中关注的学生人数，将这三个年级的关注人数相加，再除以全校参与调查的总人数，从而得到全校学生对该热点话题的关注度． （2）先分别算出七、八、九年级学生的日上网总时间，把这三个年级的日上网总时间相加，再除以全校参与调查的总人数，以此求出全校学生的日人均上网时间． （3）观察各年级对的关注度以及日人均上网时间的数据，总结出相应趋势，再结合初中各年级学生的学业等实际情况分析可能的原因． 本题主要考查了加权平均数的应用，熟练掌握加权平均数的计算方法是解题的关键． 【详解】（1）解：   答：全校学生对这一热点话题关注度为71.5%． （2）解： （分） 答：全校学生日人均上网时间为68.5分钟． （3）解：关注度呈下降趋势，原因可能是学业负担加重；上网时间先上升后下降，原因 可能与对网络依赖程度和升学压力有关． 【题型3 中位数】 【例3】（25-26九年级上·浙江温州·开学考试）一组数据从小到大排列为，且这组数据的中位数为9，则的值为（　　） A．7 B．9 C．11 D．15 【答案】C 【分析】本题主要考查了已知中位数求参数，根据中位数的定义求解即可． 【详解】解：一组数据从小到大排列为，且这组数据的中位数为9， 则， 解得， 故选：C 【变式3-1】（24-25八年级下·福建福州·期末）有一组不重复的数据2，5，7，8，a，其中a为中位数，且为整数，则a的值是 ． 【答案】6 【分析】本题考查了中位数：将一组数据按照从小到大（或从大到小）的顺序排列，如果数据的个数是奇数，则处于中间位置的数就是这组数据的中位数．如果这组数据的个数是偶数，则中间两个数据的平均数就是这组数据的中位数． 利用中位数的定义得到，即可作答． 【详解】解：∵有一组不重复的数据2，5，7，8，a，其中a为中位数， ∴将一组数据按照从小到大为2，5，a，7，8， ∵a为整数， ∴， 故答案为：6． 【变式3-2】（24-25九年级下·福建厦门·期中）某公司拟推出由7个盲盒组成的套装产品，现有10个盲盒可供选择，统计这10个盲盒的质量如图4所示．序号为1到5号的盲盒已选定，这5个盲盒质量的中位数恰好为100，6号盲盒从甲、乙、丙中选择1个，7号盲盒从丁、戊中选择1个，使选定7个盲盒质量的中位数仍为100，不可以选择（    ） A．甲、丁 B．甲、戊 C．乙、丁 D．丙、丁 【答案】A 【分析】本题主要考查了用中位数做决策，由图像可知，要使选定7个盲盒质量的中位数仍为100，则需要选择100克以上的一个盲盒和100克以下的盲盒一个，根据选项即可得出正确的答案． 【详解】解：由图像可知，要使选定7个盲盒质量的中位数仍为100， 则需要从第6号盲盒和第7号盲盒里选择100克以上的一个盲盒和100克以下的盲盒一个， 因此可排除甲、丁； 故选：A． 【变式3-3】（2025·四川内江·模拟预测）某班四个小组的人数如下：10，10，x，8，已知这组数据的中位数与平均数相等，则x的值可能为（    ） A．6 B．7 C．8 D．9 【答案】C 【分析】题目主要考查中位数及平均数的计算方法，理解题意，进行分类讨论是解题关键． 分三种情况进行分析：当时，当时，当时，然后根据中位数及平均数的计算方法求解即可． 【详解】解：当时，这组数据按从小到大顺序排列为x，8，10，10 由题意得， 则； 当时，这组数据按从小到大顺序排列为8，x，10，10 由题意得， 则（不合题意，舍）； 当时，这组数据按从小到大顺序排列为8，10，10，x 由题意得， 则； 综上所述：或12，符合的只有选项C． 故选：C． 【题型4 众数】 【例4】（2025·河北石家庄·一模）五名学生投篮球，每人投10次，统计他们每人投中的次数，得到五个数据．若这五个数据的中位数是5，唯一众数是6，则他们投中次数的总和可能是（    ） A．16 B．17 C．24 D．25 【答案】C 【分析】本题考查了确定一组数据的中位数和众数，根据题意，可得最大的三个数的和是：，两个较小的数一定是小于5的非负整数，且不相等，则可求得五个数的和的范围，进而判断． 【详解】解：∵5个数据组中位数是5，唯一众数是6， ∴最大的三个数的和是：， 则两个较小的数一定是小于5的非负整数，且不相等，即两个较小的数最大为3和4，最小为0和1， 故总和一定大于等于18而小于等于24， 所以他们投中次数的总和可能是24． 故选：C． 【变式4-1】（24-25八年级下·黑龙江绥化·期末）一组数据，，，，，，有唯一的众数，则为（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了众数的概念，根据众数的概念：一组数据中出现次数最多的数值即为众数，即可得到答案，熟练掌握众数的概念为解题的关键． 【详解】解：∵这组数据中，出现两次，又有唯一的众数， ∴， 故选：． 【变式4-2】如图为遵义市某年连续7天的天气情况，这7天最高气温的中位数与众数分别为（   ） A．25.5，27 B．26，28 C．26.5，27 D．27，28 【答案】B 【分析】本题考查众数和中位数，明确题意、掌握众数和中位数是解题的关键． 根据这7天的最高气温，先按照从低到高排列，然后即可得到这组数据的中位数和众数，据此即可解答． 【详解】解：这7天最高气温从低到高排列是：23，24，25，26，27，28，28， 故这组数据的中位数是第4个26，28出现两次，次数最多，则众数是28． 故选：B． 【变式4-3】（24-25八年级下·广东汕头·阶段练习）如表是某班35位同学在实验操作中的得分情况： 得分（分） 5 6 7 8 9 10 人数（人） 2 3 5 ♥ ★ 7 已知这35位同学实验操作得分的中位数和众数都是9分，成绩得8分的超过6人，则成绩得9分的人数是（    ） A．9 B．10 C．11 D．12 【答案】C 【分析】本题考查了众数和中位数，设得8分的人数为x，9分的人数为y，则，且，再根据中位数和众数的定义逐一分析即可． 【详解】解：设得8分的人数为x，9分的人数为y， 则，且， ∴当时，，此时中位数为9分，众数为9分，符合题意； 当时，，此时中位数为8分，不符合题意； 当时，，此时中位数为8分，众数为8分和9分，不符合题意； 当时，，此时众数为8分，不符合题意； ∴成绩得9分的人数是11人， 故选：C． 【题型5 统计量的选择】 【例5】（24-25八年级下·河南信阳·期末）在一次“中华传统文化知识”演讲比赛中，有13名同学参加比赛，预赛成绩各不相同，取前6名参加决赛，其中一名同学已经知道自己的成绩，能否进入决赛，只需要再知道这13名同学成绩的（    ） A．众数 B．中位数 C．方差 D．平均数 【答案】B 【分析】本题主要考查了中位数意义，要判断某同学是否进入前6名，需确定其成绩是否在前6位．由于共有13个各不相同的成绩，中位数是第7名的成绩．若该同学的成绩高于中位数，则其排名必在前6名．其他统计量（众数、方差、平均数）无法直接反映排名信息． 【详解】解：共有13名同学，成绩各不相同．中位数是将数据从小到大排列后的第7名成绩．若该同学的成绩高于中位数（即第7名成绩），则其排名必在前6名， 而中位数是唯一能直接反映中间位置、帮助判断是否可能进入前6名的指标．众数、方差、平均数均无法提供排名的直接信息， 故选B． 【变式5-1】（24-25八年级下·吉林长春·期末）某同学六次数学考试成绩分别为：86分、86分、78分、80分、85分、92分，老师想了解他数学成绩波动情况，则老师最应该关注他数学成绩的（ ） A．平均数 B．中位数 C．众数 D．方差 【答案】D 【分析】本题考查了选择合适的统计量，根据题意要了解成绩的波动情况，需选择反映数据离散程度的统计量． 【详解】解：老师想了解他数学成绩波动情况，则老师最应该关注他数学成绩的方差． 故选：D． 【变式5-2】（24-25八年级下·吉林长春·期末）学校准备定制一款校服，对全校同学喜欢的颜色进行了问卷调查，统计结果如表所示．学校最终决定选择红色校服，其参考的统计量是（    ） 颜色 白色 红色 蓝色 学生人数 100 820 180 A．平均数 B．中位数 C．众数 D．方差 【答案】C 【分析】本题主要考查了众数的概念，众数是一组数据中出现次数最多的数据，学校选择人数最多的颜色作为校服颜色，对应的统计量是众数． 【详解】根据统计表，喜欢红色校服的学生人数为820，明显多于白色（100人）和蓝色（180人），因此，红色是这组数据中出现次数最多的颜色，即众数； 学校参考众数这一统计量，选择最受欢迎的红色作为校服颜色，其他统计量（平均数、中位数、方差）均不适用于类别数据的比较； 故选：C． 【变式5-3】下列表格是某公司员工情况表，你在了解这家公司的员工的平均工资时，你最应该关注的数据是（    ） 职位 普工 文员 经理 董事长 人数 3 10 2 1 工资（元） 1200 1500 1600 8000 A．平均数 B．众数与中位数 C．方差 D．最小数 【答案】B 【分析】此题主要考查统计量的选择，掌握平均数、中位数、众数、方差的意义是银题的关键． 根据题意，结合员工情况表，从统计量的角度分析可得答案． 【详解】解：根据题意，了解这家公司的员工的平均工资时， 结合员工情况表，即要全面的了解大多数员工的工资水平， 故最应该关注的数据众数与中位数， 故选：B． 【题型6 方差】 【例6】已知a，b，c，d，e五个数的平均数为m，方差为g，求的平均数和方差． 【答案】平均数为；方差为 【分析】本题主要考查方差和平均数的知识，熟练掌握方差和平均数的计算方法是解答此题的关键． 用m表示出第一组数据的和，用g表示出第一组数据的方差，再根据数据平均数和方差的计算公式解答即可． 【详解】解：∵a，b，c，d，e五个数的平均数为m， ∴， ∵a，b，c，d，e五个数的方差为g， ∴， ∴新数的平均数为： ， ∴方差为 ． 【变式6-1】甲、乙、丙、丁四人参加滑雪比赛，经过三轮初赛，他们的平均成绩相同，方差分别是．你认为成绩更稳定的是 ． 【答案】乙 【分析】本题考查了方差的意义．方差是用来衡量一组数据波动大小的量，方差越大，表明这组数据偏离平均数越大，即波动越大，数据越不稳定；反之，方差越小，表明这组数据分布比较集中，各数据偏离平均数越小，即波动越小，数据越稳定．根据方差的定义，方差越小数据越稳定即可求解． 【详解】解：∵， ∴方差最小的为乙， ∴成绩更稳定的是乙． 故答案为：乙． 【变式6-2】如果已知一组数据的方差，那么的值为 ． 【答案】 【分析】本题考查了求一组数据的平均数，利用方差求未知数据的值，解题关键是理解方差的公式． 先根据方差公式得出平均数，再利用平均数求出． 【详解】解：∵一组数据的方差， ∴， 解得：， 故答案为：． 【变式6-3】（多选题）已知一组正数的方差，则关于数据的说法，其中不正确的说法是（    ） A．方差为 B．平均数为2 C．平均数为4 D．方差为 【答案】BD 【分析】此题考查了方差和平均数的求法，根据已知条件计算方差和平均数即可得到答案． 【详解】解：由方差的计算公式可得： ＝[＋＋…＋ ] ＝[＋＋…＋ ] ＝ ＋＋…＋－， 由，可得平均数 对于数据，平均数， 其方差为：． 故选：BD． 【题型7 标准差】 【例7】（24-25八年级下·内蒙古巴彦淖尔·期末）菲尔兹奖是数学领域的国际最高奖项之一，每四年颁发一次．以下是部分菲尔兹奖得主的年龄（单位：岁）：32，33，31，29，31，29，31，32，则下列说法正确的是（   ） A．中位数是31，方差是14 B．众数是31，标准差是 C．平均数是31，方差是 D．中位数是31，标准差是 【答案】C 【分析】本题考查了众数、中位数、方差、标准差、极差和平均数，二次根式的性质，根据众数、中位数、方差、极差、标准差（标准差是方差的平方根）和平均数定义即可求解， 首先将数据从小到大排列为：29，29，31，31，31，32，32，33；计算各统计量：中位数为31，众数为31，平均数为31，方差为，标准差为，极差为4；逐一验证选项，只有选项C正确． 【详解】解：在数据32，33，31，29，31，29，31，32中， 首先将数据从小到大排列：29，29，31，31，31，32，32，33． 中位数计算：由于有8个数据，中位数是第4和第5个数的平均值，即； 众数计算：出现次数最多的数是31，出现了3次． 平均数计算：平均数为； 方差为：； 标准差为：； 极差为：； 故选：C． 【变式7-1】（24-25九年级下·上海·阶段练习）某小组位学生一次数学测试的分数为，，，，，，，，那么这个小组测试分数的标准差是 ． 【答案】 【分析】先计算出这组数据的平均数，再依据方差的计算公式求出数据的方差，继而取方差的算术平方根即可． 【详解】解：这组数据的平均数为， 所以这个小组测试分数的方差是， 则这个小组测试分数的标准差是， 故答案为：． 【变式7-2】（24-25八年级上·全国·假期作业）下列几种说法：①标准差不可能是0；②如果一组数据，，…，的方差是5，则另一组数据，，…，的方差是20；③某校要从甲、乙两名跳远运动员中挑选一人参加一项校际比赛．在最近的10次选拔赛中，他们的成绩（单位：）如下 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 平均分 标准差 甲 585 596 610 598 612 597 604 600 613 601 601.6 8.11 乙 613 618 580 574 618 593 585 590 598 624 599.3 16.86 历届比赛表明，成绩达到就能打破记录，为了打破记录，应该选甲参加这项比赛． 以上说法中，正确的个数为 个． 【答案】1 【分析】本题考查方差、标准差．熟知方差、标准差的性质，利用数据做决策，是解决本题的关键． 按方差、标准差的概念、计算方法，利用做决策，逐一判断各说法即可． 【详解】解：①当各个数据相等时，标准差是0，此说法错误； ②如果一组数据，，…，的方差是5，则另一组数据，，…，的方差是，此说法正确； ③从两名跳远运动员10次的成绩来看，乙运动员成绩达到的次数多于甲运动员，更有可能打破记录，应该选乙参加这项比赛．此说法不正确． 因此正确的说法有1个． 故答案为：1． 【变式7-3】（24-25八年级下·山东菏泽·开学考试）若样本，的平均数为12，方差为4，则对于样本，下列结论正确的是（   ）． A．平均数为12，标准差为2 B．平均数为12，标准差为4 C．平均数为27，标准差为2 D．平均数为27，标准差为4 【答案】D 【分析】本题考查求平均数和标准差，根据平均数和方差的变化规律：一组数据的平均数为，方差为，则：的平均数为，方差为，以及标准差为方差的算术平方根，进行求解即可． 【详解】解：由题意，得：，的平均数为：，方差为：， ∴标准差为：； 故选D． 知识点9 频数与频率 1. 频数：每个对象出现的次数． 2. 频率：每个对象出现的次数与各对象出现的总次数的比值（或者百分比）． 3. 频数之和为总次数，频率之和为1，频率＝频数/总次数．在频数、频率和总次数中，只要知道其中两个数据，即可求出另外一个数据． 例如：某班共有40名学生（共有A型，B型，AB型，O型这四种血型），A型血16名，B型血频率为0.35，AB型血频率为0.1，则A型血频率为16÷40＝0.4，O型血频率为1－0.4－0.35－0.1＝0.15，O型血人数为40×0.15＝6． 【题型8 频数与频率】 【例8】某人将一枚质量均匀的硬币连续抛10次，落地后正面朝上6次，反面朝上4次，下列说法正确的是（    ） A．出现反面的频率是6 B．出现反面的频率是4 C．出现反面的频率是0.4 D．出现反面的频率是0.6 【答案】C 【分析】此题主要考查了频数与频率，正确掌握频率的定义是解题关键． 直接利用频率求法，频数÷总数＝频率，进而得出答案． 【详解】解：∵某人将一枚质量均匀的硬币连续抛10次，落地后正面朝上6次，反面朝上4次， ∴出现反面的频率是． 故选：C 【变式8-1】调查某班 名同学的跳高成绩时，在收集到的数据中，不足 米的数出现的频率是 ，则达到或超过 米的数出现的频率是 （ ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查求频率，根据频率之和为1，进行求解即可． 【详解】解：在收集到的数据中，不足 米的数出现的频率是 ， 则达到或超过 米的数出现的频率是： 故选B． 【变式8-2】（24-25八年级下·江苏苏州·期末）“深度求索”的英语单词“”中，字母“e”出现的频率是 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了求频率，用字母e的个数除以字母的总个数即可得到答案． 【详解】解：“深度求索”的英语单词“”中，字母“e”出现的频率是， 故答案为：． 【变式8-3】（24-25八年级下·贵州黔东南·阶段练习）八年级某班有男生人，女生占全班人数的，则男生出现的频率和女生出现的频数分别是（   ） A．和 B．和 C．和 D．和 【答案】D 【分析】本题是对频率、频数灵活运用的综合考查，各小组频数之和等于数据总和，各小组频率之和等于1． 首先根据各小组频率之和等于1求出男生出现的频率．再根据频率、频数的关系先求出全班人数，再求出女生出现的频数． 【详解】解：男生出现的频率， 全班人数，女 生出现的频数． 故选：D． 知识点10 频数分布表及相关概念 1. 组距：把所有数据分成若干组，每个小组的两个端点间的距离（组内数据的取值范围）称为组距． 2. 组数：分成组的个数叫做组数． 3. 频数：对落在各个小组内的数据进行累计，得到各个小组内的数据的个数叫做频数． 4. 频数分布表：把各个类别及其对应的频数用表格的形式表示出来，所得的表格就是频数分布表． 【题型9 频数分布表及相关概念】 【例9】（24-25八年级下·江苏泰州·阶段练习）小明统计了他家今年5月份打电话的次数及通话时间，并列出了频数分布表： 通话时间 频数（通话次数） 14 16 8 10 2 则通话时间不超过的频率是（   ） A．0.2 B．0.4 C．0.6 D．0.8 【答案】C 【分析】本题考查了频数分布表，求频率，解题的关键是了解“频率频数总数”． 用不超过的通话次数除以所有的通话次数即可求得通话时间不超过的频率． 【详解】解：不超过10分钟的通话次数为（次）， 通话总次数为（次）， 通话时间不超过的频率为：． 故选：C． 【变式9-1】（24-25七年级下·四川广元·期末）一个容量为80的样本的最大值为147，最小值为50，取组距为10，则可以分成（    ） A．10组 B．9组 C．8组 D．7组 【答案】A 【分析】此题考查频数分布表分组方法，首先计算数据的极差，再用极差除以组距，若结果不是整数，则向上取整得到组数． 【详解】解：最大值147与最小值50的差为， ， 所以应分10组， 故选A． 【变式9-2】（24-25八年级下·河北唐山·期中）现将50个数据分成了①-⑥组，如下表所示，则第⑤组的频率为 ． 组号 ① ② ③ ④ ⑤ ⑥ 频数 3 5 8 12 5 【答案】0.34/ 【分析】本题考查频数和频率，先求得第⑤组的频数，再根据频率公式求解即可． 【详解】解：第⑤组的频数为， ∴第⑤组的频率为， 故答案为：0.34． 【变式9-3】（2025·北京顺义·二模）某校组织全校学生参加主题为“百年五四与当代科技”的知识竞赛．为了解学生的竞赛情况，从中随机抽取了100名学生的成绩（百分制），数据整理如下： 成绩 人数 10 15 25 30 20 根据以上数据，估计全校1000名学生中成绩不低于80分的人数为 人． 【答案】750 【分析】本题考查了频数分布表、用样本估计总体，解答本题的关键是明确题意，由样本数据可以估计总体． 用全校的学生总数乘以样本中80分以上的比例即可得到答案． 【详解】解：由题意得，（人）， 故答案为：750． 知识点11 频数分布直方图 1. 频数分布直方图：根据频数分布表画出的统计图，称为频数分布直方图． 2. 频数分布直方图的绘制步骤 （1）算：计算最大值与最小值的差； （2）定：决定距离与组数； （3）列：确定分点，列出频数分布表； （4）画：用横轴表示各分段数据，纵轴反映各分段数据的频数，小长方形的高表示频数，绘制频数分布直方图． 【题型10 频数分布直方图】 【例10】（25-26八年级上·海南省直辖县级单位·期中）“地球一小时”是世界自然基金会应对全球气候变化所提出的一项全球性节能活动，提倡于每年三月最后一个星期六的当地时间，家庭及商业用户关上不必要的电灯及耗电产品一小时，以此来表示他们对于应对气候变化行动的支持，为了解小区居民的用电情况，某小区物业随机抽取了部分家庭小时的用电情况，并整理成如下不完整的频数分布表和频数分布直方图． 居民用电情况频数分布表 组别 用电量／度 频数（户数） 百分比 14 请根据图表提供的信息，解答下列问题： (1)调查总户数为______； (2)频数分布表中，______，______，______； (3)为了响应节能减排号召，请提一条合理的建议． 【答案】(1)； (2)，，； (3)平时不使用的电器及时拔掉插销；只在有人长待的房间开灯，其他房间随用随关（写一条即可）． 【分析】本题考查了频数分布表和频数直方图，样本估计总体，读懂频数分布表是解题的关键． （）利用组的频数除以其百分比即可得调查总户数， （）利用的频数除以调查总户数可得的值，根据频数等于调查总户数乘以百分比分别求出的值； （）根据频数直方图总结该小区的居民用电情况，再给出节能减排的建议：平时不使用的电器及时拔掉插销；只在有人长待的房间开灯，其他房间随用随关． 【详解】（1）解：调查总户数为（人）， 故答案为：； （2）解：由（）得调查总户数为人， ∴，（人），（人）， 故答案为：，，； （3）解：根据频数直方图总结该小区的居民用电情况，给出节能减排的建议：平时不使用的电器及时拔掉插销；只在有人长待的房间开灯，其他房间随用随关（写一条即可）． 【变式10-1】为了了解某地七年级学生参加消防知识竞赛的成绩（成绩取整数），从中抽取了1%的学生的竞赛成绩，整理后绘制了如图所示的频数直方图．若竞赛成绩在90分及以上的学生可以获得奖励，则估计该地获得奖励的七年级学生有 人． 【答案】2000 【分析】本题主要考查频数分布直方图、样本估计总体等知识点，掌握运用样本估计总体的方法是解题的关键． 根据频数分布直方图求出调查人数，进而求出七年级学生总人数，最后再求出成绩在90分以上的学生人数即可． 【详解】解：由频数直方图可知，被调查的人数为， 该地七年级学生总人数为， 所以估计该地获得奖励的七年级学生有（人）． 【变式10-2】（2025·湖南邵阳·模拟预测）为了了解八年级学生的体能情况，学校随机抽查了其中30名学生，测试1分钟仰卧起坐的次数，整理数据并将其绘制成如图所示的频数分布直方图，那么仰卧起坐的次数在的人数占抽查总人数的百分比是 ．（保留三位有效数字）    【答案】 【分析】本题考查频数分布直方图，掌握知识点是解题的关键． 根据频数分布直方图中的数据，可以计算出仰卧起坐的次数在次的人数占抽查总人数的百分比． 【详解】解：∵仰卧起坐的次数在的人数是， ∴占抽查总人数的百分比为． 故答案为：． 【变式10-3】（25-26九年级上·河北石家庄·开学考试）某次数学测验，抽取部分同学的成绩（得分为整数）整理制成统计图如图所示，根据图中信息，下列描述不正确的是（    ） A．共抽取了50人 B．估计这次测验的及格率（60分及以上为及格）在左右 C．估计这次测试80分以上的同学占左右 D．分这一分数段的频数是12 【答案】D 【分析】本题考查频率直方分布图获取信息与处理信息，数据的统计与分析．掌握频数直方分布图横纵轴表示的意义是解题关键．根据频率分布直方图求出人数之和可判断A，利用60分以上的人数除以样本总数可判断B，根据80分以上的人数除以样本总数可判断C，根据频率直方分布图找出的人数可判断D． 【详解】解：抽样的学生共：（人），故A正确； 抽取的这次测试的及格率为：， 则估计这次测验的及格率（60分及以上为及格）在左右，故B正确； 抽取的这次测试的优秀率为：， 则估计这次测试80分以上的同学占左右，故C正确； 这一分数段的频数为10，故D错误； 故选：D． 【题型11 数据的分析】 【例11】（25-26九年级上·辽宁鞍山·开学考试）某校在4月12日“世界航天日．”期间举办了航天主题知识竞赛．为了了解学生的竞赛成绩，现从七年级和八年级中各随机抽取20名学生的成绩进行分析（满分为100分，得分用表示）．共分为四组：．下面给出了部分信息． 七年级20名同学竞赛成绩数据： 64，70，75，76，78，78，85，85，85，85，86，89，90，90，94，95，98，98，99，100． 七、八年级竞赛成绩得分统计表 年级 平均数 中位数 众数 方差 七年级 86 85 96.6 八年级 86 86.5 88 69.8 八年级竞赛成绩扇形统计图 根据以上信息，解答下列问题： (1)求七年级20名同学竞赛成绩的中位数； (2)哪个年级的竞赛成绩更稳定？请说明理由； (3)本次竞赛七年级有500名同学参加，八年级有480名同学参加，成绩为的同学获得一等奖．请估计本次竞赛七、八年级共有多少名同学获得一等奖． 【答案】(1)85.5 (2)八年级的竞赛成绩更稳定；理由见解析 (3)392名 【分析】本题考查了扇形统计图，求中位数，用方差判断数据的稳定性，用样本估计总体数量等知识，掌握这些知识是关键； （1）七年级成绩按照从小到大排列，第10，11个数据的平均数即为中位数； （2）根据方差的大小即可作出判断； （3）先求得每个年级的学生总数与对应所获得一等奖所占比例的积，再求和即可求解． 【详解】（1）解：将七年级竞赛成绩按照从小到大排列，第10，11个数据分别为85，86， 七年级竞赛成绩的中位数为 答：七年级竞赛成绩的中位数为85.5； （2）解：八年级的竞赛成绩更稳定， 八年级的方差为69.8，七年级的方差为96.6，， 八年级的竞赛成绩更稳定； （3）解：（名）， 答：估计本次竞赛七、八年级大约共有392名同学获得一等奖． 【变式11-1】某校七、八年级进行了数学期末检测，并从七、八年级中分别随机抽取了10名学生的检测成绩，整理如下： 七年级10名学生的成绩：96，86，96，86，99，96，90，100，89，92； 八年级10名学生的成绩：94，90，93，88，98，91，89，100，87，100； 年级 平均数 中位数 众数 方差 七年级 93 b 23.6 八年级 92 100 21.4 根据以上信息，解答下列问题： (1)表格中____________；____________；____________； (2)这次检测中，____________年级的成绩更稳定； (3)我校八年级共有800人参加了此次数学检测，估计八年级学生参加此次检测成绩为优秀（）的有多少人？ 【答案】(1)93，94，96 (2)八 (3)560人 【分析】此题考查频数分布表、中位数、众数、平均数、用样本估计总体，解答本题的关键是明确题意． （1）根据平均数、众数和中位数的定义进行求解即可； （2）根据方差的意义即可得出答案； （3）用总人数乘竞赛成绩优秀（）的八年级学生所占的百分比即可． 【详解】（1）解：， 将七年级抽样成绩重新排列为：86，86，89，90，92，96，96，96，99，100， 中位数为， 七年级的成绩出现次数最多是96分，共出现3次， ∴众数（分）， 故答案为：93，94，96； （2）解：∵七年级的方差是23.6，八年级的方差是21.4， ∴八年级的成绩更稳定． 故答案为：八； （3）解：由题意得：人 答：估计八年级学生参加此次检测成绩为优秀（）的有560人． 【变式11-2】某校学生会发起了北京冬奥知识抢答比赛，共10道选择题，每题1分，满分为10分，答对8道以上（含8题）被评为“优秀”．学生会从七、八年级各随机抽取20人，对这20人的得分进行整理和分析．相关数据统计、整理如下： 抽取八年级20位学生的得分（单位：分）： 6，6，7，7，7，7，8，8，8，9，9，9，9，9，9，9，9，9，10，10． 七八年级抽取的学生得分统计： 年级 七年级 八年级 平均数 8.25 8.25 中位数 8 a 众数 b 9 方差 1.85625 1.3875 根据以上信息，解答下列问题： (1)填空： ， ； (2)已知七年级共15个班，每班有4人参赛，估计该校七年级学生知识抢答比赛成绩为“优秀”的人数； (3)该校决定从七、八年级中选拔一个年级参加市级冬奥知识抢答比赛，根据以上数据分析，你认为应选择哪个年级？请说明理由 【答案】(1)9，8 (2)该校七年级学生知识抢答比赛成绩为“优秀”的人数大约有42人 (3)选择八年级学生，理由见解析 【分析】本题主要考查了众数、中位数、样本估计整体、扇形统计图等知识点，从图表中获取所需信息成为解题的关键． （1）根据众数、中位数的定义即可解答； （2）利用样本估计整体的方法求解即可； （3）从平均数、中位数、方差角度综合分析即可． 【详解】（1）解：由扇形统计图可得：七年级得分8分的学生最多，即众数； 八年级得分人数从小到大排列，处于第10和11位的都是9，则中位数． 故答案为：9，8． （2）解：估计该校七年级学生知识抢答比赛成绩为“优秀”的人数为： （人）． 答：该校七年级学生知识抢答比赛成绩为“优秀”的人数大约有42人． （3）解：选择八年级学生，理由如下： 因为抽取的七年级学生比赛得分的平均数等于八年级学生比赛得分的平均数，八年级学生比赛得分的中位数与众数均大于七年级学生比赛得分的中位数与众数，且八年级学生比赛得分的方差小于七年级学生比赛得分的方差，说明八年级学生成绩更稳定，因此选择八年级． 【变式11-3】为弘扬泰山文化，某校举办了“泰山诗文大赛”活动，小学、初中部根据初赛成绩，各选出5名选手组成小学代表队和初中代表队参加学校决赛．两个队各选出的5名选手的决赛成绩如下图所示． 根据图中提供的信息，回答下列问题： (1)将表格补充完整； 平均数（分） 中位数（分） 众数（分） 小学部 85 初中部 85 100 (2)已知初中部决赛成绩的方差为，请你计算出小学部决赛成绩的方差，并判断哪一个代表队选手成绩较为稳定． 【答案】(1)85，85，80 (2)，小学代表队选手成绩较为稳定 【分析】本题考查了方差，平均数，众数，中位数． （1）根据平均数，众数，中位数的定义解决问题即可． （2）根据方差的定义求出方差，方差越小成绩越稳定． 【详解】（1）小学部平均数；85出现两次，次数最多，众数为85； 初中部成绩从小到大排列为70，75，80，100，100，中位数为80 补充表格如下： 平均数（分） 中位数（分） 众数（分） 小学部 85 85 85 初中部 85 80 100 故答案为：85，85，80 （2）∵， ∴， ∴小学代表队选手成绩较为稳定． 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 $