第4章 三角形（复习课件）数学新教材湘教版八年级上册

该初中数学单元复习课件系统梳理了三角形的概念、分类、性质、全等判定、等腰三角形及线段垂直平分线等核心知识，通过知识图谱和分层考点串讲，将三角形三边关系、内角和定理、全等判定方法等内容有机串联，帮助学生构建完整的三角形知识体系。 其亮点在于采用“考点串讲-题型剖析-针对训练”的三阶复习策略，如通过全等三角形判定的例题与变式训练培养学生逻辑推理能力，结合“将军饮马”问题渗透模型意识，分层设计的练习让不同水平学生均有收获，教师可借助资料精准把握复习重点，提升教学效率。

单元复习课件 第4章 三角形 湘教版2024·八年级上册 学习内容导览 单元知识图谱 2 单元复习目标 1 3 考点串讲 针对训练 5 题型剖析 4 6 课堂总结 1．掌握三角形的核心概念与分类；牢记并灵活运用三角形的性质。 2．掌握三角形全等的判定与性质；掌握角平分线、线段垂直平分线的性质与应用。 4.实际问题与几何模型的转化；分类讨论思想的应用。 3. 全等三角形的判定与性质；角平分线与线段垂直平分线的性质；几何证明与作图规范。 单元学习目标 单元知识图谱 考点一、三角形 1．三角形的三边关系：三角形的任意两边之和大于第三边；三角形的任意两边之差小于第三边。 2．三角形的高、中线与角平分线 高：从三角形的一个顶点向它的对边所在的直线作垂线，顶点和垂足之间的线段。三条高或其延长线相交于一点，如图①. 中线：连接一个顶点和它的对边中点的线段.三条中线相交于一点（重心），如图②. 角平分线：一个角的平分线与这个角的对边相交，这个角的顶点与交点之间的线段。三条角平分线相交于一点，如图③. 图① 图② 图③ 重心 考点串讲 考点一、三角形 3．三角形的分类 按边分 三边各不相等的三角形 等腰三角形 底边和腰不相等的等腰三角形 等边三角形（正三角形） 按角分 锐角三角形 钝角三角形 直角三角形 符号表示：Rt△ 等腰直角三角形 考点串讲 考点一、三角形 4．三角形的内角和定理与外角的性质 ①三角形的内角和等于 180°； ③三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和； ④三角形的一个外角大于和它不相邻的任何一个内角. ②一个三角形中最多有一个直角或一个钝角； 考点串讲 考点二、命题与证明 1．命题 ：叙述一件事情的句子（陈述句）要么是真的，要么是假的，两者必居其一，我们称这个陈述句是一个命题。 总结： （1）必须是陈述句； （2）可以判断真假：正确的称为真命题；错误的称为假命题； （3）结构形式：都是由条件和结论两部分组成. （4）表达形式：都可以写成“如果……，那么……” 的形式，“如果”引出的部分是条件，“那么”引出的部分是结论。 考点串讲 考点二、命题与证明 2．互逆命题 ：如果一个命题的条件和结论分别是另一个命题的结论和条件，则这样的两个命题称为 ，其中一个叫作 ，另一个叫作它的 。 互逆命题 原命题 逆命题 3．举反例 ：一般的，对于一个命题，如果能举出一个例子，使之符合命题 ，但不满足命题 ，就可判断该命题为假命题，这种做法叫作举反例。 条件 结论 4．证明 ：判断一个命题是真命题，通常需从命题的条件出发，运用定义、基本事实以及已经判断成立的真命题，进行逻辑推理、计算。得出命题的结论成立。这一过程就是通常所说的证明 5．定理：经过证明为真的命题叫作定理。 考点串讲 考点二、命题与证明 证明与图形有关的命题的步骤： (1) 根据条件画出图形；(2) 写出已知、求证；(3) 写出证明过程. 反证法的步骤： (1) 假设命题的结论不成立，即假设结论的反面成立； (2) 从假设出发，经过推理，得出矛盾； (3) 由矛盾判定假设不正确，从而肯定原命题的结论正确. 考点串讲 考点三、全等三角形 1．概念 ：一般的，能够完全重合的两个三角形叫作全等三角形。互相重合的顶点叫作 ，互相重合的边叫作 ，互相重合的角叫作 。 对应顶点 对应边 对应角 2．全等用符号“”表示，读作“全等于”。在表示两个三角形全等时，通常把表示对应顶点的字母写在对应位置上。 考点串讲 考点三、全等三角形 3．全等三角形的性质：对应边相等，对应角相等。 4．全等三角形的判定： ①两边及其夹角分别相等（边角边 或 SAS） ②两角及其夹边分别相等（角边角 或 ASA） ③两角分别相等且其中一组等角的对边相等相等（角角边 或 AAS） ④三边分别相等（边边边 或 SSS） 5．三角形的稳定性：依据SSS。 注意：“SSA”“AAA”不能判 定两个三角形全等. 考点串讲 考点四 、尺规作图 1．作一个角的平分线 2．作一个角等于已知角 3．作一线段的垂直平分线 4．过直线外一点作这条直线的平行线 5．作三角形 （1）根据 SAS、ASA、SSS 作三角形； （2）已知底边及底边上的高作等腰三角形. 考点串讲 考点五 、等腰（等边）三角形 1. 等腰（边）三角形的性质 2. 等腰（边）三角形的判定方法 轴对称图形 三线合一 两底角相等(等边对等角) 60° 60° 60° 有两个角相等(等角对等边) 三边相等 三个角都相等 有一个角是60°的等腰三角形 等腰三角形 等边三角形 有两条边相等 等边三角形 等腰三角形 考点串讲 考点六 、线段的垂直平分线（中垂线） 1．概念：垂直并且平分一条线段的 ，叫作这条线段的垂直平分线（中垂线）。 直线 2．线段垂直平分线的性质定理：线段垂直平分线上的点到线段两端的距离 。 相等 归纳总结：将军饮马问题（找动点P的位置，使AP+BP的值最小） A B B P 3．线段垂直平分线的判定定理：到线段两端距离相等的点在这条线段的垂直平分线上。 考点串讲 题型一、三角形的边与角 例1 以下列各组线段为边，能组成三角形的是（ ） A. 1 cm，2 cm，4 cm B. 4 cm，6 cm，8 cm C. 5 cm，6 cm，12 cm D. 2 cm，3 cm，5 cm 解：根据三角形的三边关系进行判断即可. A. 1 + 2 < 4，不能组成三角形； B. 4 + 6 > 8，能组成三角形； C. 5 + 6 < 12，不能组成三角形； D. 2 + 3 = 5，不能组成三角形. 故选 B. 解析：判断能否构成三角形的简便方法是看较小的两边长之和是否大于第三边. B 题型剖析 题型一、三角形的边与角 练一练 已知三角形的三条边为互不相等的整数，且有两边长分别为7和9，另一条边长为偶数. (1)请写出一个三角形，符合上述条件的第三边长； (2)若符合上述条件的三角形共有个，求的值. 解：根据三角形三边关系：两边之和大于第三边，两边之差小于第三边。 已知两边为7和9，设第三边为 ，则：9 - 7 < < 9 + 7 ，即 2 < < 16 。 又因为是互不相等的整数且为偶数，所以的可能值为4、6、8、10、12、14。 (1) 可以选其中一个，比如8（答案不唯一）。 (2) 符合条件的 有4、6、8、10、12、14，共6个，所以 = 6 。 题型剖析 题型一、三角形的边与角 例2 等腰三角形的周长为 16，其一边长为 6，则另两边长为 . 5，5 或 6，4 解：由于题中没有指明边长为 6 的边是底还是腰，∴分两种情况讨论.①当 6 为底边长时，腰长为(16 - 6) ÷2 = 5，这时另两边长分别为 5，5；②当 6 为腰长时，底边长为16 - 6 - 6 = 4，这时另两边长分别为 6，4. 故填 5，5 或 6，4. 解题总结： 当已知等腰三角形的周长和一边时，要分两种情况讨论：已知边是底边和已知边是腰.还要注意三边是否构成三角形. 题型剖析 题型一、三角形的边与角 练一练 若 (a - 1)2 + |b - 2| = 0，则以 为边长的等腰三角形的周长为 . 5 解：根据非负数的性质：一个数的平方和一个数的绝对值都是非负数，若 (a - 1)2 + |b - 2| = 0，则 (a - 1)2= 0且 |b - 2|=0。 解得 a = 1，b = 2。 接下来分析等腰三角形的情况： ①若腰长为1，底边长为2，则1 + 1 = 2，不满足三角形两边之和大于第三边，这种情况不成立。 ②若腰长为2，底边长为1，则2 + 2 > 1，2 + 1 > 2，满足三边关系。此时周长为 2 + 2 + 1 = 5。 题型剖析 题型一、三角形的边与角 例3 ∠A，∠B ，∠C 是△ABC 的三个内角，且分别满足下列条件，求∠A，∠B，∠C 中未知角的度数. (1)∠A－∠B＝16°，∠C＝54°； (2)∠A∶∠B∶∠C＝2∶3∶4. 解：(1) 由∠C＝54°知∠A＋∠B＝180°－54°＝126° ①， 又知∠A－∠B＝16°②，由①②解得∠A＝71°，∠B＝55°. 解析：利用三角形的内角和等于180°，列方程求解. (2) 设∠A＝2，∠B＝3，∠C＝4， 则 2 + 3 + 4＝180° ，解得 ＝20°. ∴∠A＝40°，∠B＝60°，∠C＝80°. 题型剖析 题型一、三角形的边与角 练一练 在△ABC中, 如果∠A :∠B:∠C=1:1:2, 那么△ABC的形状是( ) A.锐角三角形 B.等腰三角形 C.直角三角形 D.等腰直角三角形 D 解：根据三角形内角和为180°。由已知，设，,. 则，得. 所以,为等腰三角形 ，为直角三角形。 即等腰直角三角形。 题型剖析 题型二、命题 例4 下列命题错误的是( ) A.所有的实数都可用数轴上的点表示 B.等角的补角相等 C.无理数包括正无理数，0，负无理数 D.两点之间，线段最短 解：A：实数与数轴上的点是一一对应的，所有实数都可用数轴上的点表示，这个命题正确。 B：等角的补角相等（若∠1 = ∠2，则180° - ∠1 = 180° - ∠2），这个命题正确。 C：无理数是无限不循环小数，0是有理数，不是无理数，所以这个命题错误。 D：两点之间，线段最短是基本事实，这个命题正确。 C 题型剖析 题型二、命题 练一练 下列命题的逆命题不正确的是（ ） A. 1 和 -1 的倒数是其本身 B. 两直线平行，内错角相等 C. 等腰三角形的两底角相等 D. 对顶角相等 解：首先先写出每个命题的逆命题，再判断是否正确： 选项A：逆命题：倒数是其本身的数是1和-1。这个逆命题正确（倒数为自身的数只有1和-1）。 选项B：逆命题：内错角相等，两直线平行。这是平行线的判定定理，逆命题正确。 选项C：逆命题：两底角相等的三角形是等腰三角形（等角对等边）。 这个逆命题正确。 选项D：逆命题：相等的角是对顶角。相等的角不一定是对顶角（比如同位角相等但不是对顶角），逆命题不正确。 D 题型剖析 题型三、全等三角形 例5 如图，已知 AE = CF，∠AFD =∠CEB，那么添加下列一个条件后，仍无法判定△ADF≌△CBE 的是( ) A.∠A =∠C B. AD = CB C. BE = DF D. AD∥BC 解：由 AE = CF 可得 AE + EF = CF + EF，即 AF = CE. A D B E F C B A.∠A =∠C，可利用“ASA”判定△ADF≌△CBE； B. AD = CB 不能判定△ADF≌△CBE. C. BE = DF，可利用“SAS”判定△ADF≌△CBE； D. 由 AD∥BC 得∠A =∠C，同选项 A； 故选 B. 题型剖析 题型三、全等三角形 练一练 如图, 在 Rt△ABC 中, ∠ACB=90°, 点D, F分别在AB, AC上, CF=CB.连接CD, 将线段CD 绕点C 按顺时针方向旋转90°后得CE，连接EF. (1)求证: △BCD△FCE; (2)若EF∥CD, 求∠BDC 的度数. （1）证明：已知线段绕点顺时针旋转90°得到，因此： ，且 。 又因为= 90°，所以：，即。 已知，结合、，根据SAS（边角边）判定定理，可得：△BCD△FCE 题型剖析 题型三、全等三角形 练一练 如图, 在 Rt△ABC 中, ∠ACB=90°, 点D, F分别在AB, AC上, CF=CB.连接CD, 将线段CD 绕点C 按顺时针方向旋转90°后得CE，连接EF. (1)求证: △BCD△FCE; (2)若EF∥CD, 求∠BDC 的度数. （2）解：由(1)知△BCD△FCE，所以。 因为∥，根据“两直线平行，内错角相等”，可得。 因此=90°。 题型剖析 题型三、全等三角形 解题总结： A B C D A B C D B A C D E A B C D E 在证明三角形全等中，几种常见的隐含条件： 公共边相等 公共角(对顶角)相等 题型剖析 题型三、全等三角形 例6 为测量河宽AB，小楠从河岸的A点沿着与AB垂直的方向走到C点，并在AC的中点 E 处立一根标杆，然后从C点沿着和AC垂直的方向走到D点，使点D，E，B恰好在一条直线上.于是小楠说：“CD的长就是河的宽度.”你认为小楠说得对吗？为什么？ 解：如图，在△AEB 和△CED 中， 所以△AEB≌△CED (角边角)，从而AB = CD . 即CD 的长就是河的宽度.因此，小楠说得对. 题型剖析 题型三、全等三角形 练一练 如图所示，A，B 两点分别位于一个池塘的两端，小明想用绳子测量A，B 间的距离但绳子不够长，一个叔叔帮他出了这样一个主意：先在地上取一个可以直接到达A 点和B 点的点C，连接AC 并延长到D，使CD＝CA；连接BC 并延长到E，使CE＝CB，连接DE 并测量出它的长度，DE 的长度就是A，B 间的距离.你能说明其中的道理吗? 解：在△ABC与△DEC中， 所以△ABC≌△EDC (边角边),所以AB=DE. 你还有其他测量AB间距离的方法吗？ 题型剖析 题型三、全等三角形 解：在△ABC与△DEC中， 所以△ABC≌△DEC（角边角），所以AB＝DE. 你还有其他测量AB间距离的方法吗？ 方案二：过点B作AB的垂线BF，在BF上分别取点C，E，使得BC=EC，过点E作BE的垂线EG，在EG上找一点D，使得点A，C，D在一条直线上，测得DE的长度就是A，B间的距离. 题型剖析 题型三、全等三角形 解：在△ABC与△CDA中， 所以△ABC≌△CDA（角边角），所以AB＝CD. 你还有其他测量AB间距离的方法吗？ 方案三：先构造△ABC，再确定点D，使得AD∥BC，AD＝BC，连接CD并测量出它的长度，CD的长度就是A，B间的距离. 题型剖析 题型三、全等三角形 全等三角形的应用解题总结： 1. 场景转化：把实际中的“不可直接测量的线段”转化为几何中的线段，确定需要构造的全等三角形的顶点。 2. 构造条件：按“对应边相等”构造：延长AC到D使CD=CA，延长BC到E使CE=CB（或其他符合判定定理的构造方式，如SSS、ASA等）。 3. 证明全等：找出全等的条件：①构造的相等边，②隐藏的相等角（如对顶角，或公共角、平行线的内错角等），③用对应判定定理（如SAS、ASA）证明三角形全等。 4. 得出结论：利用全等三角形对应边相等，得到不可测线段等于可测线段。 题型剖析 题型四、等腰（等边）三角形 例7 有一个等腰三角形的两条边长分别是5cm和8cm，则周长为 。 解题技巧：等腰三角形两腰长相等，两底角相等。对于给定条件，需要分情况讨论，可能有多种符合的结果。 18cm或21cm 解：当腰为5cm，底边为8cm时，周长为5+5+8=18cm。 当腰为8cm，底边为5cm时，周长为8+8+5=21cm 练一练 若等腰三角形的一个角为40°，则另外 两个角的度数为 。 70°,70°或40°,100° 解：当顶角为40°时，两底角为70°。 当底角为40°时，顶角为100°。 题型剖析 题型四、等腰（等边）三角形 例8 已知，如图: AB=AC，AD=BD=BC，则∠A= 。 36° A B C D 解：已知AB=AC，所以△ABC是等腰三角形，∠ABC=∠C， 同理，因为 AD=DC=BC，所以∠A=∠ABD,∠BDC=∠C, 因为∠BDC=∠A+∠ABD 所以∠ABC=∠C=∠BDC=∠A+∠ABD=2∠A, 在△ABC中，∠A+∠ABC+ ∠C=180° 即∠A+2∠A+2∠A=180° 所以∠A=36°。 题型剖析 题型四、等腰（等边）三角形 等腰三角形角度计算的常见模型和核心技巧 1.基础等腰模型：若AB=AC，则∠B=∠C= 。 2.嵌套等腰模型：出现多组相等线段（如AD=BD=BC或AD=DC=BC）时，可设最小角为x，利用三角形外角等于不相邻两内角和推导各角关系。 3.外角+等腰结合：优先利用外角公式转化为内角关系，再结合等腰对等角建立关系。 题型剖析 题型四、等腰（等边）三角形 练一练 如图，P、Q是△ABC边上的两点，BP=PQ=QC=AP=AQ，求∠BAC的度数。 解：因为PQ=AP=AQ， 所以△APQ是等边三角形，因此：∠APQ = ∠AQP = ∠PAQ = 60°。 又因为BP = AP ，所以△ABP 是等腰三角形，∠B =∠BAP 。 由三角形外角性质，∠APQ =∠B +∠BAP = 2∠BAP ，则∠BAP = 30° 同理， QC = AQ ，∠C =∠CAQ 。 根据外角性质，∠AQP =∠C +∠CAQ = 2∠CAQ ，则∠CAQ = 30° 因此∠BAC =∠BAP +∠PAQ +∠CAQ = 30°+ 60°+ 30°= 120° A B C P Q 题型剖析 题型四、等腰（等边）三角形 例9 如图所示，三角形ABC是等边三角形，D点是AC的中点，延长BC到E，使CE=CD，DM⊥BE,垂足为M.求证：BM=EM. 解：已知△ABC 是等边三角形，所以∠ABC =∠ACB = 60°， AB = BC = AC 。 因为 D 是 AC 中点，所以 BD 是等边三角形的中线，也是角平分线和高， 故∠DBC = 30°。 又 CE = CD ，所以△CDE 是等腰三角形，∠E = ∠CDE 。 由∠ACB = ∠E +∠CDE = 60°，得∠E = 30°。 因此∠DBC =∠E = 30°，所以△DBE 是等腰三角形，DB = DE 。 又 DM ⊥ BE ，根据等腰三角形“三线合一”， M 是 BE 中点， 即 BM = EM 。 题型剖析 题型四、等腰（等边）三角形 等腰三角形+等边三角形结合的题型总结 1.标注已知条件 （1）等边三角形性质：三边相等、三角均为60°、三线合一。 （2）等腰三角形性质：等边对等角、三线合一。 2.找角度关系 利用等边三角形的60°角，结合等腰三角形底角相等，三角形外角等于不相邻两内角和等进行推导。 3.证等腰或全等。 题型剖析 题型四、等腰（等边）三角形 练一练 如图，在△ABC中，BC=5，BP、CP分别是∠ABC与∠ACB的平分线，且PD//AB，PE//AC，则△PDE的周长为________. 5 解：已知 BP 平分∠ABC ，所以∠ABP = ∠PBD 。 又 PD∥AB ，根据平行线内错角相等，∠ABP =∠BPD ， 因此∠PBD = ∠BPD ，所以△PBD 是等腰三角形， PD = BD 。 同理， CP 平分∠ACB ，所以∠ACP =∠PCE 。 又 PE ∥AC ，根据平行线内错角相等，∠ACP =∠CPE ， 因此∠PCE =∠CPE ，所以△PCE 是等腰三角形， PE = CE 。 那么△PDE 的周长为：PD + DE + PE = BD + DE + CE = BC = 5 题型剖析 题型五、线段的垂直平分线 例10 如图，△ABC中，AB＝AC＝15，AB的垂直平分线DE交AC于D，连结BD，若△DBC的周长为23，则BC的长为 （　　） A．6 B．7 C．8 D．9 解题思路：应用垂直平分线的性质，相等线段之间互相转化。 B 解：因为DE是AB的垂直平分线 所以AD=BD（线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等） 则BD+CD=AD+CD=AC=15 又因为BD+CD+BC=23,所以BC=8 题型剖析 题型五、线段的垂直平分线 练一练 如图，直线1，2分别是AB，AC的垂直平分线，直线1，2相交于点O，1交BC于点M，2交BC于点N，分别连接AM、AN、OA、OB、OC．若OA＝6cm，△OBC的周长为22cm，求△AMN的周长． 解：因为1是AB的垂直平分线，所以OA=OB=6cm 2是AC的垂直平分线，所以OA=OC=6cm 因为△OBC的周长为22cm，即OB+OC+BC=22cm 代入，所以BC=10cm。 又因为1是AB的垂直平分线，所以AM=BM 2是AC的垂直平分线，所以AN=CN 因此△AMN的周长为：AM+MN+AN=BM+MN+CN=BC=10cm 题型剖析 题型五、线段的垂直平分线 解题总结： 1.核心性质：线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等。即若直线是AB的垂直平分线，点P在上，则PA=PB。 2.解题思路 （1）遇到垂直平分线，优先把“线段相等”进行代换。 （2）涉及周长计算时，通过代换，把不规则的线段转化为已知线段。 （3）三角形中，若有交点O在两条垂直平分线上，则OA=OB=OC，可用这个等量关系求边长。 题型剖析 题型六、距离之和最短问题 例11 如图，在△ABC中，AB的垂直平分线EF分别交AB、AC边于点E、F，点K为EF上一动点，则BK+CK的最小值是以下哪条线段的长度（　　） A．EF B．AB C．AC D．BC 解：连接AK。 因为EF是AB的垂直平分线，所以点B关于直线EF的对称点是点A。 那么BK = AK，所以BK + CK = AK + CK。 根据两点之间线段最短，AK + CK的最小值就是AC的长度。 所以BK + CK的最小值是AC的长度 C 题型剖析 题型六、距离之和最短问题 1. 找对称点：遇到“求折线和最小”的问题，先找其中一个点关于动点所在直线的对称点。​ 2. 转化线段：利用对称性质，把折线中的一段转化为对称点到动点的线段，这样折线和就变成了“两点之间的线段”。​ 3. 用“两点之间线段最短”：连接对称点和另一个定点，这条线段的长度就是最小值。 4. 常见模型 ​- 直线同侧两点。 - 角内定点。 - 垂线段最短。 简单说，就是“对称转化，化折为直”。 “将军饮马”问题的解题技巧 题型剖析 练一练 如图，∠AOB＝60°，点P为∠AOB内一点，点M、N分别在OA、OB上，当△PMN周长最小时，∠MPN的度数是（　　） A．120° B．60° C.30° D．90° 题型六、距离之和最短问题 解：1. 找对称点： 分别作点P关于OA的对称点 P1，关于OB的对称点 P2 。 则 PM = P1M ， PN = P2N ，所以△PMN的周长 PM + PN + MN = P1M + P2N + MN 。 2. 求最小值的位置： 根据两点之间线段最短，当 P1 、M、N、 P2 共线时，周长最小。 3. 计算角度： 由对称性质，∠P1OA =∠POA ，∠P2OB =∠POB ，所以∠P1OP2 = 2∠AOB = 120° 。 在△ P1OP2 中， OP1 = OP = OP2 ，所以 ∠P1 = ∠P2 = 30° 。 又因为 ∠MPP1 = ∠P1 ， ∠NPP2 = ∠P2 ，所以 ∠MPN = 180°- 30°- 30°= 120° A 题型剖析 1. 已知等腰三角形的一边长为 4，另一边长为 8，则这个等腰三角形的周长为 ( ) A. 16 B. 20 或 16 C. 20 D. 12 C 解：要解决这类题，首先要记住等腰三角形的三边需满足三角形三边关系（任意两边之和大于第三边）。 ①先假设腰长为4，底边长为8：此时三边为4、4、8，而 4 + 4 = 8 ，不满足“两边之和大于第三边”，这种情况不成立。 ②再假设腰长为8，底边长为4：此时三边为8、8、4，满足 8 + 4 > 8 ， 8 + 8 > 4 ，符合三边关系。 周长计算： 8 + 8 + 4 = 20 。最终答案：C（20） 考查三角形三边关系 针对训练 2. 如图，在△ABC 中，CE，BF 是两条高，若∠A = 70°，∠BCE = 30°，则∠EBF 的度数是 ，∠FBC 的度数是 . 解： 因为是△ABC的高，所以，。 ①求∠EBF的度数： 在△AEC中，∠A= 70°，，所以∠AEC=20°。 在△ABF中，∠ABF= 90°- 70°= 20°，即∠EBF = 20°。 ②求∠FBC的度数 已知CE是高∠BCE= 30°，在△BEC 中，∠BEC = 90°， 所以∠FBC = 90° - 30°= 60°。 A B C E F 20° 60° 考查三角形角的关系 针对训练 3. 下列选项中，可以用来证明命题“若 a2 >1，则 a > 1 ”是假命题的反例是（ ） A. a = -2 B. a = -1 C. a = 1 D. a = 2 A 4. 把命题“等角的余角相等”写成“如果……，那么……”的形式为 . 如果两个角是相等的角的余角，那么这两个角相等。 考查命题 针对训练 5. 如图 A、B 分别为 OM、ON 上的点，点 P 在∠AOB 的平分线上，且∠PAM＝∠PBN. 求证：AO＝BO. 证明：∵∠PAM＝∠PBN，∴∠PAO＝∠PBO. ∵ 点 P 在∠AOB 的平分线上，∴∠AOP＝∠BOP. 在△AOP 和△BOP 中， ∴△AOP≌△BOP (AAS). ∴ AO＝BO. 考查全等三角形判定和性质 针对训练 6. 如图所示，△ACM 和△BCN 都为等边三角形，连接 AN、BM，求证：AN = BM. 证明：∵△ACM 和△BCN 都为等边三角形， ∴∠1＝∠3＝60°. ∴∠1＋∠2＝∠3＋∠2， 即∠ACN＝∠MCB. ∵ CA＝CM，CB＝CN， ∴△CAN≌△CMB(SAS). ∴ AN＝BM. 考查全等三角形判定和性质 针对训练 7. 若等腰三角形的周长为10，一边长为2，则此等腰三角形的腰长为（ ） A.2或4 B.4 C.3 D.2 利用三角形两边之和大于第三边，两边之差小于第三边；等腰三角形的性质等知识。 B 8. 如图，在△ABC中，DE是BC的垂直平分线，垂足为点E，交AB于点D，若CE=5，△ABC的周长为25，则△ADC的周长为 。 15 考查垂直平分线的性质。 针对训练 9.如图，在等边三角形ABC中，BD⊥AC，垂足为点D。点E在BC的延长线上，BD=ED。求证CE=BC 考查等边三角形+等腰三角形性质 证明：已知△ABC是等边三角形，BD⊥AC， ∴ ∠ACB = 60°，BD平分AC且平分∠ABC， ∴ ∠DBC = 30°，CD =AC =BC（等边三角形三边相等）。 又∵ BD = ED， ∴ △BDE是等腰三角形，∠E = ∠DBC = 30°。 在△DCE中，∠ACB是外角，∴ ∠ACB = ∠E + ∠CDE，即60° = 30° + ∠CDE， ∴ ∠CDE = 30°。 因此∠E = ∠CDE，∴ CE = CD。 又∵ CD =BC（直角三角形30°所对的直角边等于斜边的一半）， ∴ CE =BC。 A B C E D 针对训练 10.如图，在△ABC中，AC=6,BC=8,AB的垂直平分线DE交AB边于点D，交BC边于点E，在线段DE上有一动点P，连接AP、PC，则△APC的周长最小值为 。 考查将军饮马问题 14 解析：1. 利用垂直平分线的性质： DE是AB的垂直平分线，所以点A关于DE的对称点是点B，即AP = BP。 2. 转化周长： △APC的周长 = AP + PC + AC = BP + PC + AC。 根据两点之间线段最短，当B、P、C共线时，BP + PC最小，最小值为BC的长度。 ​ 3. 计算最小值： AC = 6，BC = 8，所以△APC的周长最小值为6 + 8 = 14。 针对训练 本节课你学到了什么知识和方法？ 经历了哪些思考？ 建立了什么样的数学模型？ 还有什么疑惑？ 今天，我们都有哪些收获？快来说说吧. 课堂总结 感谢聆听! $