数学一模突破卷05（全国一卷通用）学易金卷：2026年高考第一次模拟考试

■■■■ 2026年高考第一次模拟考试 数学·答题卡 姓 名： 准考证号： 1 注意事项 1.答题前，考生先将自己的姓名，准考证号填写清 贴条形码区 楚，并认真检查监考员所粘贴的条形码。 2.选择题必须用2B铅笔填涂；非选择题必须用 0.5mm黑色签字笔答题，不得用铅笔或圆珠笔答 I p 州 题；字体工整、笔迹清晰。 3.请按题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出 超 区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题 缺考 无效。 此栏考生禁填 4. 保持卡面清洁，不要折叠、不要弄破。 标记 5.正确填涂■ 一、 选择题（每小题5分，共40分） 1[A][B][C]D] 5[A][B][C]D] 2A]B][C]D] 6[A]B][C]D] 3[A][B][C][D] 7[A[B][C][D] 艾阙 4[A][B][C]D] 8[A]B][C]D] 二、 选择题（全部选对的得6分，部分选对的得部分分， 有选错的得0 分，共18分) 9[A][B][C]D] 10[A]B][C]D] 11[A][B][C][D] 三、填空题（每小题5分，共15分） 蜀 12 和 14 器 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 数学第1页（共6页） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 四、解答题（共77分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 15.(13分) 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 数学第2页（共6页） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 16.(15分) 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 数学第3页（共6页） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 17.(15分) A B C 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 数学第4页（共6页） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 18.(17分) 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 数学第5页（共6页） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 19.(17分) 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 数学第6页（共6页） 2026年高考第一次模拟考试 数学（全国一卷）05·全解全析 （考试时间：120分钟，分值：150分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 第一部分（选择题 共58分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．已知复数满足（其中i为虚数单位），则（    ） A． B． C． D． 1．【答案】C 【解析】由得， 所以， 所以， 故选：C. 2．已知全集，集合，若，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 2．【答案】B 【解析】依题意，，，或， 由，得，解得， 所以a的取值范围是. 故选：B. 3．已知向量在正方形网格中的位置如图所示．若网格纸上小正方形的边长为1，则（    ） A．5 B．7 C． D． 3．【答案】D 【解析】设分别为向上，向右方向上的单位向量，即为平面的一组基底， 由图知，，， 所以 . 故选：D. 4．已知椭圆的左､右焦点分别为，过原点的直线与交于两点，，且的面积为，则的离心率是（    ） A． B． C． D． 4．【答案】A 【解析】不妨假设在第一象限，因为，所以．由图形的对称性知四边形为矩形， 因为的面积为，所以的面积为， 所以，即． 又因为，所以，， 在中，，则，所以. 故选：A． 5．古希腊数学家阿波罗尼斯发现：平面内到两个定点A，B的距离的比值为定值（）的点的轨迹是圆．后来，人们将这个圆以他的名字命名，称为阿波罗尼斯圆，简称阿氏圆．若平面内两定点A，B间的距离为2，动点P满足，则的最大值为（   ） A． B． C． D． 5．【答案】A 【解析】以的中点为原点，所在直线为x轴建立平面直角坐标系，不妨取，． 设，则，整理得， 所以点的轨迹方程为． 则 可看作圆上的点到原点的距离的平方， 所以，所以， 即的最大值为， 故选：A. 6．已知函数，函数有三个零点，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 6．【答案】D 【解析】当时，，为开口向下，对称轴为的抛物线， 因为有三个零点，不妨令， 所以有三个不相等的根， 即与图象有三个不同的交点， 作出图象，如图所示 所以， 因为为方程，即的两个不相等实根， 所以， 因为为方程的根，所以， 所以， 令， 则， 所以在上单调递增， 所以，即， 所以. 故选：D. 7．声音是由物体振动产生的声波，纯音的数学模型是函数，我们听到的声音是由纯音合成的，称之为复合音.若一个复合音的数学模型是函数，则下列结论不正确的是（    ） A．是偶函数 B．的最小正周期为 C．在区间上单调递增 D．的最小值为1 7．【答案】C 【解析】对于A，的定义域为，它关于原点对称， 而，， 所以是偶函数，故A正确； 对于B，因为， 故为的一个周期，设为的最小正周期，则， 则， 令，则，即， 所以，化简得， 故或. 令，则，若，则， 故，矛盾，故， 而，故，故的最小正周期为，故B正确； 对于C，当时，， 此时，而在为增函数，在为减函数， 所以在区间上单调递增，在上单调递减，故C错误； 对于D，因为为偶函数且最小正周期为， 故在上的最小值即为在上的最小值. 由C分析中的的单调性可得在上的最小值为， 而，故在上的最小值为， 所以的最小值为1，故D正确； 故选：C. 8．在棱长为1的正方体中，为棱的中点，为正方形内一动点（含边界），是线段上的两个动点，且，是的中点，则下列说法中不正确的是（   ） A．三棱锥的体积为定值 B．在线段上存在一点，使得平面 C．存在点，使得平面 D．若，那么点的轨迹长度为 8．【答案】C 【解析】三棱锥的体积，点到直线距离为，而且，则面积为定值， 又点到平面的距离为1，因此三棱锥的体积为定值，故A正确． 当点为的中点时，连接，由是的中点，所以， 所以四边形为平行四边形，所以，又平面，平面， 所以平面，又平面，则平面即平面， 所以平面，故B正确． 以为原点，所在直线分别为轴、轴、轴建立空间直角坐标系， 则，，， 设，． 设是平面的一个法向量，则，取，则． 若平面，则，所以存在，使得，则，解得， 因此正方形内（含边界）不存在点，使得平面，故C错误． 因为平面平面，， 所以，则点轨迹是以为圆心，为半径的圆弧，圆心角是， 所以点的轨迹长度为，故D正确． 故选：C． 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．为响应校团委发起的“青年大学习”号召，某班组织了有奖知识竞答活动.决赛准备了4道选择题和2道填空题，每位参赛者从6道题中不放回地随机抽取三次，每次抽取1道题作答.设事件为“第次抽到选择题”，则下列结论中正确的是（    ） A．与互斥；与互斥 B．不管第几次抽取，抽到选择题的概率都相同 C． D． 9．【答案】BC 【解析】由题意可知第1次抽到选择题与第2次抽到选择题可能同时发生， 所以与不是互斥事件，同理与也不是互斥事件，A说法错误； 从6道题中不放回地随机抽取三次，满足简单随机抽样，每次抽取时各个个体被抽到的概率相等，B说法正确； 第二次抽到选择题且第三次也抽到选择题的概率,C说法正确； 第1次抽到选择题或第2次抽到选择题的概率,D说法错误； 故选：BC. 10．已知抛物线E：的焦点为F，抛物线E的准线交x轴于点G，抛物线E上一点到点F的距离为6，点A，B是抛物线E上的两点（异于原点O），则下列说法正确的是（   ） A． B．若中点M的纵坐标为2，则直线的斜率为2 C．若，则直线恒过点 D．若直线过点F，则直线，的斜率之和为0 10．【答案】ABD 【解析】对于A，由题意可知，点到点F的距离为，解得，故A正确； 则； 对于B，若中点M的纵坐标为2，则AB斜率存在， 设，则，两式作差得， 所以直线的斜率为，故B正确； 对于C，设， 若，则，， 当AB斜率存在时，直线：，过定点， 当斜率不存在时，，，过点， 故C错误； D选项，设，当斜率存在时，直线：， 代入点可得， 则， 当AB斜率不存在时，，此时，D正确； 故选：ABD. 11．Swish函数和函数是人工智能领域的两个重要激活函数，关于这两个函数下列说法正确的是（   ） A．函数在定义域上单调递增 B．不等式的解集为 C．若函数满足恒成立，则称为“可交换算子”，Swish函数和ReLU函数是“可交换算子” D．，当时， 11．【答案】BCD 【解析】对于A中，由函数， 可得， 令，可得，所以单调递增， 因为， 由零点存在定理，存在，使得， 当时，，即，函数递减，所以A错误； 对于B中，由函数 ，则函数其图象（如图所示）， ，则满足或 解得或，所以B正确； 对于C中，已知，对于函数， 当时，，所以； 当时，，所以， 即， 对于函数， 当时，，所以； 当时，，所以， 即，可得， 所以函数和函数是“可交换算子”，所以C正确． 对于D中，当时，可得 ，因为， 所以对任意，存在使得时，使得，即误差小于，所以D正确． 故选：BCD． 第二部分（非选择题 共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12．中国古代中的“礼、乐、射、御、书、数”合称“六艺”．某校国学社团开展“六艺”讲座活动，每“艺”安排一次讲座，共开展六次．讲座次序要求“射”和“御”必须相邻，“礼”和“书”不相邻，则“六艺”讲座不同的次序共有 种． 12．【答案】144 【解析】先将“射”和“御”“捆绑”视为一个元素，再与“乐”和“数”一起排列， 有种不同的次序， 再将“礼”和“书”排到所得排列的空隙中（“射”和“御”中间不能排），有种不同的次序， 最后将“射”和“御”交换位置，有种不同排序， 根据分步乘法计数原理可知“六艺”讲座不同的次序共有种． 故答案为：. 13．已知数列的首项为，前项和为，且，若，则的取值范围为 . 13．【答案】 【解析】当为奇数，则，即， 所以的奇数项是首项为，公比为2的等比数列， 则，即， 当为偶数，则，即， 所以的偶数项是首项为，公比为2的等比数列， 则，即， 所以 ， 若，则，即. 故答案为：. 14．如图1，已知球O的半径．在球O的内接三棱锥中．平面，，，．P，Q分别为线段AC，BC的中点，G为线段BD上一点（不与点B重合），如图2．则平面与平面夹角的余弦值的最大值为 ． 13．【答案】 【解析】因为平面，平面，所以，， 因为，又，所以平面， 又平面，所以， 易知在和中，斜边AD的中点到点A，B，C，D的距离相等， 即AD为球O的直径，设，因为，， 所以，，因为，， 所以中，，． 以点C为坐标原点，直线CB，CA分别为x，y轴，过点C且与BD平行的直线为z轴建立如图所示的空间直角坐标系， 则，，，，设，， 由题可知，，，， 则，，， 设平面的一个法向量为， 则，取，可得． 设平面的一个法向量为， 则，取，可得． 设平面与平面的夹角为． 因为 ， 令，则，，， 可得， 当且仅当，即时等号成立， 此时即取得最大值． 故答案为：. 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15．（13分） 某环保机构研究城市绿化覆盖率（%）和年均浓度（）的关系，随机抽取10个城市数据如下： 编号i 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 总和 绿化覆盖率 4 13 16 21 26 31 36 45 52 56 300 年均浓度 80 66 58 54 50 46 42 38 34 32 500 可得. (1)求绿化覆盖率与浓度的样本相关系数（精确到）； (2)求y关于x的经验回归方程（精确到），并估计使得年均浓度不超过需要的最低绿化覆盖率（精确到整数）. 参考数据与公式：. 15．（13分） 【解析】（1）因， 故 . 即绿化覆盖率与浓度的样本相关系数约为； （2）因为， 所以，故， 依题意由，可得， 即使得年均浓度不超过需要的最低绿化覆盖率约为. 16．（15分） 记为数列的前n项和，已知. (1)求的通项公式； (2)设递增的等差数列满足，且成等比数列.设，证明：. 16．（15分） 【解析】（1）因为，所以， 两式相减可得， 即，则， 由，可得， 所以当时，，即， 因为不满足上式， 所以数列的通项公式为. （2）设数列的公差为，因为成等比数列，且， 所以，即，整理得， 解得或， 因为，所以，又因为，所以数列的通项公式为. 可得 ， 综上可得，对于任意，都有. 17．（15分） 如图，在四棱锥中，为等边三角形，平面，且，，，，. (1)证明：平面； (2)若，四棱锥的各个顶点均在球的表面上，求球的表面积； (3)求平面与平面夹角的余弦值的取值范围. 17．（15分） 【解析】（1）延长，交于点，连接， 因为平面，，平面， 所以，， 即，. 因为为等边三角形，所以， 因为，所以，所以， 又，所以，所以， 又，平面， 所以平面，即平面. （2）由（1）可知，，两两垂直， 故以为原点，，，所在直线分别为，，轴，建立如图所示的空间直角坐标系， 由（1）易得， 又，所以， 所以，，，，. 设，球的半径为， 则，， ，， ， 联立解得，， 则球的表面积为. （3）由（2）可知， 设，则易得，， 则，，，. 设平面的法向量为， 则，故可取， 设平面的法向量为， 则，故可取. 设平面与平面的夹角为， 则 ， 令，则， 所以， 则， 故平面与平面夹角的余弦值的取值范围为. 18．（17分） 已知双曲线C：的两条渐近线分别为：和：，右焦点坐标为，为坐标原点. (1)求双曲线C的标准方程； (2)设M，N是双曲线C上不同的两点，Q是的中点，直线，的斜率分别为，，证明：为定值； (3)直线与C的右支交于点，（A₁在的上方），过点，分别作，的平行线，交于点，过点且斜率为2的直线与C的右支交于点，（在的上方），再过点，分别作，的平行线，交于点，…，这样一直操作下去，可以得到一系列点，，，记的坐标为.证明：共线. 18．（17分） 【解析】（1）由已知得， 解得，， 故双曲线C的标准方程为：； （2）设，，， 因为M，N为双曲线C上的两点，所以， 两式相减得：， 整理得，， 则，得证. （3）设斜率为2且与双曲线右支相交于，两点的直线方程为，， 联立：，整理得：， 因为该方程有两个正根，则，解得：或（舍）， 设，，由韦达定理得：，， 直线的方程为：， 因为，所以，① 直线的方程为， 因为，所以，② 联立①②得，， 所以， 因为， 所以， ， 所以， 则都在直线上， 故共线. 19．（17分） 已知函数. (1)若，求的单调区间； (2)定义函数，对于数列，若，则称为函数的“生成数列”，为函数的一个“源数列”. ①已知为函数的“源数列”，求证：对任意正整数，均有； ②已知为函数的“生成数列”，为函数的“源数列”， 与的公共项按从小到大的顺序构成数列，试问在数列中是否存在连续三项构成等比数列？请说明理由. 19．（17分） 【解析】（1）当时，，， 令，则，解得或， 当时，； 当时，； 所以的单调递增区间为和，单调递减区间为. （2）①，，故， 构造函数， ，则， 函数在上单调递增，， 故在恒成立，单调递增， 故，即，， 当时，， 综上所述：恒成立，即. ②，则，， 设，即，则， 设函数，函数单调递增，对于任意，有唯一的与之对应， 即数列中每一项，都有中的项与之相等，单调递增， 故， 假设数列中存在连续三项构成等比数列，，，， 故， 整理得到，无正整数解. 故假设不成立，即不存在连续三项构成等比数列. / 学科网（北京）股份有限公司 $………………○………………外………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… ………………○………………内………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… 此卷只装订不密封 ………………○………………内………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… ………………○………………外………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… … 学校：______________姓名：_____________班级：_______________考号：______________________ 2026年高考第一次模拟考试 高三数学（全国一卷）05 （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 第一部分（选择题 共58分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．已知复数满足（其中i为虚数单位），则（    ） A． B． C． D． 2．已知全集，集合，若，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 3．已知向量在正方形网格中的位置如图所示．若网格纸上小正方形的边长为1，则（    ） A．5 B．7 C． D． 4．已知椭圆的左､右焦点分别为，过原点的直线与交于两点，，且的面积为，则的离心率是（    ） A． B． C． D． 5．古希腊数学家阿波罗尼斯发现：平面内到两个定点A，B的距离的比值为定值（）的点的轨迹是圆．后来，人们将这个圆以他的名字命名，称为阿波罗尼斯圆，简称阿氏圆．若平面内两定点A，B间的距离为2，动点P满足，则的最大值为（   ） A． B． C． D． 6．已知函数，函数有三个零点，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 7．声音是由物体振动产生的声波，纯音的数学模型是函数，我们听到的声音是由纯音合成的，称之为复合音.若一个复合音的数学模型是函数，则下列结论不正确的是（    ） A．是偶函数 B．的最小正周期为 C．在区间上单调递增 D．的最小值为1 8．在棱长为1的正方体中，为棱的中点，为正方形内一动点（含边界），是线段上的两个动点，且，是的中点，则下列说法中不正确的是（   ） A．三棱锥的体积为定值 B．在线段上存在一点，使得平面 C．存在点，使得平面 D．若，那么点的轨迹长度为 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．为响应校团委发起的“青年大学习”号召，某班组织了有奖知识竞答活动.决赛准备了4道选择题和2道填空题，每位参赛者从6道题中不放回地随机抽取三次，每次抽取1道题作答.设事件为“第次抽到选择题”，则下列结论中正确的是（    ） A．与互斥；与互斥 B．不管第几次抽取，抽到选择题的概率都相同 C． D． 10．已知抛物线E：的焦点为F，抛物线E的准线交x轴于点G，抛物线E上一点到点F的距离为6，点A，B是抛物线E上的两点（异于原点O），则下列说法正确的是（   ） A． B．若中点M的纵坐标为2，则直线的斜率为2 C．若，则直线恒过点 D．若直线过点F，则直线，的斜率之和为0 11．Swish函数和函数是人工智能领域的两个重要激活函数，关于这两个函数下列说法正确的是（   ） A．函数在定义域上单调递增 B．不等式的解集为 C．若函数满足恒成立，则称为“可交换算子”，Swish函数和ReLU函数是“可交换算子” D．，当时， 第二部分（非选择题 共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12．中国古代中的“礼、乐、射、御、书、数”合称“六艺”．某校国学社团开展“六艺”讲座活动，每“艺”安排一次讲座，共开展六次．讲座次序要求“射”和“御”必须相邻，“礼”和“书”不相邻，则“六艺”讲座不同的次序共有 种． 13．已知数列的首项为，前项和为，且，若，则的取值范围为 . 14．如图1，已知球O的半径．在球O的内接三棱锥中．平面，，，．P，Q分别为线段AC，BC的中点，G为线段BD上一点（不与点B重合），如图2．则平面与平面夹角的余弦值的最大值为 ． 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15．（13分） 某环保机构研究城市绿化覆盖率（%）和年均浓度（）的关系，随机抽取10个城市数据如下： 编号i 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 总和 绿化覆盖率 4 13 16 21 26 31 36 45 52 56 300 年均浓度 80 66 58 54 50 46 42 38 34 32 500 可得. (1)求绿化覆盖率与浓度的样本相关系数（精确到）； (2)求y关于x的经验回归方程（精确到），并估计使得年均浓度不超过需要的最低绿化覆盖率（精确到整数）. 参考数据与公式：. 16．（15分） 记为数列的前n项和，已知. (1)求的通项公式； (2)设递增的等差数列满足，且成等比数列.设，证明：. 17．（15分） 如图，在四棱锥中，为等边三角形，平面，且，，，，. (1)证明：平面； (2)若，四棱锥的各个顶点均在球的表面上，求球的表面积； (3)求平面与平面夹角的余弦值的取值范围. 18．（17分） 已知双曲线C：的两条渐近线分别为：和：，右焦点坐标为，为坐标原点. (1)求双曲线C的标准方程； (2)设M，N是双曲线C上不同的两点，Q是的中点，直线，的斜率分别为，，证明：为定值； (3)直线与C的右支交于点，（A₁在的上方），过点，分别作，的平行线，交于点，过点且斜率为2的直线与C的右支交于点，（在的上方），再过点，分别作，的平行线，交于点，…，这样一直操作下去，可以得到一系列点，，，记的坐标为.证明：共线. 19．（17分） 已知函数. (1)若，求的单调区间； (2)定义函数，对于数列，若，则称为函数的“生成数列”，为函数的一个“源数列”. ①已知为函数的“源数列”，求证：对任意正整数，均有； ②已知为函数的“生成数列”，为函数的“源数列”， 与的公共项按从小到大的顺序构成数列，试问在数列中是否存在连续三项构成等比数列？请说明理由. 试题 第3页（共6页） 试题 第4页（共6页） 试题 第5页（共6页） 试题 第6页（共6页） 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026年高考第一次模拟考试 数学（全国一卷）05·参考答案 第一部分（选择题 共58分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1 2 3 4 5 6 7 8 C B D A A D C C 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9 10 11 BC ABD BCD 第二部分（非选择题 共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12．144 13． 14． 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15．（13分） 【解析】（1）因， 故 . 即绿化覆盖率与浓度的样本相关系数约为；（5分） （2）因为， 所以，故， 依题意由，可得， 即使得年均浓度不超过需要的最低绿化覆盖率约为.（13分） 16．（15分） 【解析】（1）因为，所以， 两式相减可得， 即，则，（2分） 由，可得， 所以当时，，即， 因为不满足上式， 所以数列的通项公式为.（5分） （2）设数列的公差为，因为成等比数列，且， 所以，即，整理得， 解得或，（8分） 因为，所以，又因为，所以数列的通项公式为. 可得 ， 综上可得，对于任意，都有.（15分） 17．（15分） 【解析】（1）延长，交于点，连接， 因为平面，，平面， 所以，， 即，. 因为为等边三角形，所以， 因为，所以，所以， 又，所以，所以， 又，平面， 所以平面，即平面.（4分） （2）由（1）可知，，两两垂直， 故以为原点，，，所在直线分别为，，轴，建立如图所示的空间直角坐标系， 由（1）易得， 又，所以， 所以，，，，.（7分） 设，球的半径为， 则，， ，， ， 联立解得，， 则球的表面积为.（9分） （3）由（2）可知， 设，则易得，， 则，，，. 设平面的法向量为， 则，故可取， 设平面的法向量为， 则，故可取. 设平面与平面的夹角为， 则 ， 令，则， 所以， 则， 故平面与平面夹角的余弦值的取值范围为.（15分） 18．（17分） 【解析】（1）由已知得， 解得，， 故双曲线C的标准方程为：；（3分） （2）设，，， 因为M，N为双曲线C上的两点，所以， 两式相减得：， 整理得，， 则，得证.（8分） （3）设斜率为2且与双曲线右支相交于，两点的直线方程为，， 联立：，整理得：， 因为该方程有两个正根，则，解得：或（舍）， 设，，由韦达定理得：，， 直线的方程为：， 因为，所以，① 直线的方程为， 因为，所以，② 联立①②得，， 所以，（13分） 因为， 所以， ， 所以， 则都在直线上， 故共线.（17分） 19．（17分） 【解析】（1）当时，，， 令，则，解得或， 当时，； 当时，； 所以的单调递增区间为和，单调递减区间为.（3分） （2）①，，故， 构造函数， ，则， 函数在上单调递增，， 故在恒成立，单调递增，（5分） 故，即，， 当时，， 综上所述：恒成立，即.（8分） ②，则，， 设，即，则， 设函数，函数单调递增，对于任意，有唯一的与之对应， 即数列中每一项，都有中的项与之相等，单调递增， 故，（13分） 假设数列中存在连续三项构成等比数列，，，， 故， 整理得到，无正整数解. 故假设不成立，即不存在连续三项构成等比数列.（17分） 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $ 学校__________________班级__________________姓名__________________准考证号__________________ ﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍密﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍封﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍线﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍ 2026年高考第一次模拟考试 数学·答题卡 准考证号： 姓 名：_________________________________________ 贴条形码区 此栏考生禁填 缺考 标记 1．答题前，考生先将自己的姓名，准考证号填写清楚，并认真检查监考员所粘贴的条形码。 2．选择题必须用2B铅笔填涂；非选择题必须用0.5mm黑色签字笔答题，不得用铅笔或圆珠笔答题；字体工整、笔迹清晰。 3．请按题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效。 4．保持卡面清洁，不要折叠、不要弄破。 5．正确填涂 注意事项 一、选择题（每小题5分，共40分） 1 [A] [B] [C] [D] 2 [A] [B] [C] [D] 3 [A] [B] [C] [D] 4 [A] [B] [C] [D] 5 [A] [B] [C] [D] 6 [A] [B] [C] [D] 7 [A] [B] [C] [D] 8 [A] [B] [C] [D] 二、选择题（全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分，共18分） 9 [A] [B] [C] [D] 10 [A] [B] [C] [D] 11 [A] [B] [C] [D] 三、填空题（每小题5分，共15分） 12．____________________ 13．____________________ 14．____________________ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 四、解答题（共77分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 15．（13分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 16．（15分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 17．（15分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 18．（17分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 19．（17分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 数学 第4页（共6页） 数学 第5页（共6页） 数学 第6页（共6页） 数学 第1页（共6页） 数学 第2页（共6页） 数学 第3页（共6页） 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026年高考第一次模拟考试 高三数学（全国一卷）05 （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 第一部分（选择题 共58分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．已知复数满足（其中i为虚数单位），则（    ） A． B． C． D． 2．已知全集，集合，若，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 3．已知向量在正方形网格中的位置如图所示．若网格纸上小正方形的边长为1，则（    ） A．5 B．7 C． D． 4．已知椭圆的左､右焦点分别为，过原点的直线与交于两点，，且的面积为，则的离心率是（    ） A． B． C． D． 5．古希腊数学家阿波罗尼斯发现：平面内到两个定点A，B的距离的比值为定值（）的点的轨迹是圆．后来，人们将这个圆以他的名字命名，称为阿波罗尼斯圆，简称阿氏圆．若平面内两定点A，B间的距离为2，动点P满足，则的最大值为（   ） A． B． C． D． 6．已知函数，函数有三个零点，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 7．声音是由物体振动产生的声波，纯音的数学模型是函数，我们听到的声音是由纯音合成的，称之为复合音.若一个复合音的数学模型是函数，则下列结论不正确的是（    ） A．是偶函数 B．的最小正周期为 C．在区间上单调递增 D．的最小值为1 8．在棱长为1的正方体中，为棱的中点，为正方形内一动点（含边界），是线段上的两个动点，且，是的中点，则下列说法中不正确的是（   ） A．三棱锥的体积为定值 B．在线段上存在一点，使得平面 C．存在点，使得平面 D．若，那么点的轨迹长度为 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．为响应校团委发起的“青年大学习”号召，某班组织了有奖知识竞答活动.决赛准备了4道选择题和2道填空题，每位参赛者从6道题中不放回地随机抽取三次，每次抽取1道题作答.设事件为“第次抽到选择题”，则下列结论中正确的是（    ） A．与互斥；与互斥 B．不管第几次抽取，抽到选择题的概率都相同 C． D． 10．已知抛物线E：的焦点为F，抛物线E的准线交x轴于点G，抛物线E上一点到点F的距离为6，点A，B是抛物线E上的两点（异于原点O），则下列说法正确的是（   ） A． B．若中点M的纵坐标为2，则直线的斜率为2 C．若，则直线恒过点 D．若直线过点F，则直线，的斜率之和为0 11．Swish函数和函数是人工智能领域的两个重要激活函数，关于这两个函数下列说法正确的是（   ） A．函数在定义域上单调递增 B．不等式的解集为 C．若函数满足恒成立，则称为“可交换算子”，Swish函数和ReLU函数是“可交换算子” D．，当时， 第二部分（非选择题 共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12．中国古代中的“礼、乐、射、御、书、数”合称“六艺”．某校国学社团开展“六艺”讲座活动，每“艺”安排一次讲座，共开展六次．讲座次序要求“射”和“御”必须相邻，“礼”和“书”不相邻，则“六艺”讲座不同的次序共有 种． 13．已知数列的首项为，前项和为，且，若，则的取值范围为 . 14．如图1，已知球O的半径．在球O的内接三棱锥中．平面，，，．P，Q分别为线段AC，BC的中点，G为线段BD上一点（不与点B重合），如图2．则平面与平面夹角的余弦值的最大值为 ． 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15．（13分） 某环保机构研究城市绿化覆盖率（%）和年均浓度（）的关系，随机抽取10个城市数据如下： 编号i 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 总和 绿化覆盖率 4 13 16 21 26 31 36 45 52 56 300 年均浓度 80 66 58 54 50 46 42 38 34 32 500 可得. (1)求绿化覆盖率与浓度的样本相关系数（精确到）； (2)求y关于x的经验回归方程（精确到），并估计使得年均浓度不超过需要的最低绿化覆盖率（精确到整数）. 参考数据与公式：. 16．（15分） 记为数列的前n项和，已知. (1)求的通项公式； (2)设递增的等差数列满足，且成等比数列.设，证明：. 17．（15分） 如图，在四棱锥中，为等边三角形，平面，且，，，，. (1)证明：平面； (2)若，四棱锥的各个顶点均在球的表面上，求球的表面积； (3)求平面与平面夹角的余弦值的取值范围. 18．（17分） 已知双曲线C：的两条渐近线分别为：和：，右焦点坐标为，为坐标原点. (1)求双曲线C的标准方程； (2)设M，N是双曲线C上不同的两点，Q是的中点，直线，的斜率分别为，，证明：为定值； (3)直线与C的右支交于点，（A₁在的上方），过点，分别作，的平行线，交于点，过点且斜率为2的直线与C的右支交于点，（在的上方），再过点，分别作，的平行线，交于点，…，这样一直操作下去，可以得到一系列点，，，记的坐标为.证明：共线. 19．（17分） 已知函数. (1)若，求的单调区间； (2)定义函数，对于数列，若，则称为函数的“生成数列”，为函数的一个“源数列”. ①已知为函数的“源数列”，求证：对任意正整数，均有； ②已知为函数的“生成数列”，为函数的“源数列”， 与的公共项按从小到大的顺序构成数列，试问在数列中是否存在连续三项构成等比数列？请说明理由. / 学科网（北京）股份有限公司 $