数学一模突破卷06（全国一卷通用）学易金卷：2026年高考第一次模拟考试

2026年高考第一次模拟考试 数学（全国一卷）06·参考答案 第一部分（选择题 共58分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1 2 3 4 5 6 7 8 D B C C D B D D 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9 10 11 ABD ACD BCD 第二部分（非选择题 共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12．60 13．0或 14． 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15．（13分） 【解析】（1）∵， 由正弦定理，可得，即. 由余弦定理，可得， 又∵，∴.（5分） （2）由正弦定理， 可得， ， ∵△ABC为锐角三角形，可得，即，解得， ∴，∴，∴， 即， 则△ABC周长的取值范围为.（13分） 16．（15分） 【解析】（1）取的中点，连接，由是的中点，得且， 又且，则且，四边形是平行四边形， 因此，而平面，平面， 所以平面.（4分） （2）由平面且，得直线两两垂直， 以为坐标原点，直线分别为轴，建立空间直角坐标系， 由，得， ， 设为平面的法向量， 则，取，得； 设为平面的法向量， 则，取，得；（7分） 设平面与平面的夹角为，则， 所以平面和平面的夹角的余弦值为.（9分） （3）设且，，，则， ，， 设为平面的法向量，则， 取，得，又， 由点到平面的距离为，得， 整理得，解得， 所以在线段上存在除端点外的一点，使得点到平面的距离为，此时.（15分） 17．（15分） 【解析】（1）当时，，则， 所以，． 因此曲线在处的切线方程为．（4分） （2）的定义域是，， 若，令，得或，且． 当时，，单调递增：当时，，单调递减； 当时，，单调递增； 所以在处取得极大值， 在处取得极小值． 因为，所以，又， 所以，使得，即在上有1个零点；（7分） 因为，所以，则，所以， 所以，使得，即在上有1个零点； 又， 所以，使得，即在上有1个零点． 综上，当，有3个零点．（9分） （3）在处的切线方程为， 设， 下面证明：当时，． 设，则， 设， 则，显然，时，，所以递增， 则，即，所以递减，则， 从而，即． 所以， 得 ． 即．（15分） 18．（17分） 【解析】（1）由题意可知，当时，由初始条件为第1只昆虫是种群甲，所以． 当时，第n只昆虫属于种群甲可能有两种情况： 第只是甲且第n只与它同种群，或第只是乙且第n只与它不同种群， 也即，得，                当时，，解得， 即当，时，第n只昆虫属于种群甲的概率恒为， 又．故第n只昆虫属于种群甲的概率，则．（3分） （2）由题意可知，当时，由初始条件为第1只昆虫是种群甲，其传递高浓度信号，所以． 当时，第n只昆虫传递高浓度信号可能有两种情况： 第n只昆虫接收高浓度信号且是甲种群，或第n只昆虫接收低浓度信号且是乙种群， 则， 即．                 由（1）得：，， 则， 当时，是以为首项，为公比的等比数列， 故，则， 经检验，当时也满足上述递推式， 故， 变形可得， 则，                         代入得， 故， 化简得，                 则 ， 故．（8分） （3）易有 ． 由，则， 因为且，则， 当时，恒成立，且， 则，也即，             又，，则， 故． 综上，．（13分）                 若认为p趋近于1越好：保证信息传递的准确性和一致性，以便种群内部能快速对特定环境做出统一反应，可以在两个种群之间形成两个高效但隔离的通信网络，若认为p趋近于越好：说明两个种群之间维持了系统的稳定性，且对错误信息有一定的抵抗能力，以便在复杂多变的环境中不被单一信息源误导．（只需提出一个角度，言之有理即可，认为p趋近于其它值不给分．）（17分） 19．（17分） 【解析】（1）设，则，， 将绕点沿顺时针方向旋转到，相当于沿逆时针方向旋转到， 则， 则，解得，， 因此点的坐标是.（3分） （2）（i）在双曲线上任取一点， 将绕原点沿逆时针方向旋转， 得到， 则 又点在曲线上，则， 化简得双曲线的标准方程为：， 则，，， 故离心率.（8分） （ii）由（i）可知，，由题意可知直线的斜率存在不为0， 故设直线方程为：，，， 联立，得， 则，，，， 因线段的中点为，， 所以线段的垂直平分线为， 即， 又，， 则线段的垂直平分线为， 同理线段的垂直平分线为， 设， 因点是的外心，则有， 则是方程， 即的两个根，（13分） 则，， 故，， 两式作商得，， 得，则， 即直线与直线的斜率之积为定值.（17分） 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $ 学校__________________班级__________________姓名__________________准考证号__________________ ﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍密﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍封﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍线﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍ 2026年高考第一次模拟考试 数学·答题卡 准考证号： 姓 名：_________________________________________ 贴条形码区 此栏考生禁填 缺考 标记 1．答题前，考生先将自己的姓名，准考证号填写清楚，并认真检查监考员所粘贴的条形码。 2．选择题必须用2B铅笔填涂；非选择题必须用0.5mm黑色签字笔答题，不得用铅笔或圆珠笔答题；字体工整、笔迹清晰。 3．请按题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效。 4．保持卡面清洁，不要折叠、不要弄破。 5．正确填涂 注意事项 一、选择题（每小题5分，共40分） 1 [A] [B] [C] [D] 2 [A] [B] [C] [D] 3 [A] [B] [C] [D] 4 [A] [B] [C] [D] 5 [A] [B] [C] [D] 6 [A] [B] [C] [D] 7 [A] [B] [C] [D] 8 [A] [B] [C] [D] 二、选择题（全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分，共18分） 9 [A] [B] [C] [D] 10 [A] [B] [C] [D] 11 [A] [B] [C] [D] 三、填空题（每小题5分，共15分） 12．____________________ 13．____________________ 14．____________________ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 四、解答题（共77分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 15．（13分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 16．（15分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 17．（15分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 18．（17分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 19．（17分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 数学 第4页（共6页） 数学 第5页（共6页） 数学 第6页（共6页） 数学 第1页（共6页） 数学 第2页（共6页） 数学 第3页（共6页） 学科网（北京）股份有限公司 $■■■■ 2026年高考第一次模拟考试 数学·答题卡 姓 名： 准考证号： 1 注意事项 1.答题前，考生先将自己的姓名，准考证号填写清 贴条形码区 楚，并认真检查监考员所粘贴的条形码。 2.选择题必须用2B铅笔填涂；非选择题必须用 0.5mm黑色签字笔答题，不得用铅笔或圆珠笔答 I p 州 题；字体工整、笔迹清晰。 3.请按题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出 超 区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题 缺考 无效。 此栏考生禁填 4. 保持卡面清洁，不要折叠、不要弄破。 标记 5.正确填涂■ 一、 选择题（每小题5分，共40分） 1[A][B][C]D] 5[A][B][C]D] 2A]B][C]D] 6[A]B][C]D] 3[A][B][C][D] 7[A[B][C][D] 艾阙 4[A][B][C]D] 8[A]B][C]D] 二、 选择题（全部选对的得6分，部分选对的得部分分， 有选错的得0 分，共18分) 9[A][B][C]D] 10[A]B][C]D] 11[A][B][C][D] 三、填空题（每小题5分，共15分） 蜀 12 和 14 器 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 数学第1页（共6页） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 四、解答题（共77分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 15.(13分) 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 数学第2页（共6页） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 16.(15分) M D B 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 数学第3页（共6页） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 17.(15分) 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 数学第4页（共6页） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 18.(17分) 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 数学第5页（共6页） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 19.(17分) 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 数学第6页（共6页） 2026年高考第一次模拟考试 高三数学（全国一卷）06 （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 第一部分（选择题 共58分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．已知集合，若全集，则（    ） A． B． C． D． 2．在复平面内，复数与复数对应的点关于实轴对称，则（   ） A．1 B． C． D．2 3．行列式是近代数学中研究线性方程的有力工具，最简单的二阶行列式的运算定义如下：，已知是等比数列的前项和，若，则（    ） A．31 B．63 C．127 D．255 4．如图所示网格中，要从点出发沿实线走到点，距离最短的走法中，经过点的概率为（   ） A． B． C． D． 5．设为椭圆上一动点，、分别为圆和圆上的动点，则不可能为（   ） A． B． C． D． 6．设D是边长为3的等边及其内部的点构成的集合，点是的中心，集合，则的取值范围为（   ） A． B． C． D． 7．高斯是德国著名数学家，享有“数学王子”的称号．称为高斯函数，其中，表示不超过的最大整数，例如，则下列说法正确的是（　　） A．在上单调递增 B． C．若，则的值域为 D．若，则的值域为 8．若正实数a，b满足，且，则下列不等式一定成立的是（    ） A． B． C． D． 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．记的内角，，的对边分别为，，.若，，则（   ） A．的周长为6 B．，，成等差数列 C．角的最大值为 D．面积的最大值为 10．如图，点是正方体中的侧面上的一个动点，则（   ） A．点存在无数个位置满足 B．在线段上存在点，使异面直线与所成的角是 C．若正方体的棱长为1，三棱锥的体积最大值为 D．点存在无数个位置满足到直线和直线的距离相等 11．若，使得，且当时，，则称为正移函数．定义符号函数，设，则（   ） A．是正移函数 B．当时，方程有且仅有一解 C．是正移函数 D．函数的最小值为 第二部分（非选择题 共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12．已知随机变量，且，则的展开式中常数项为 ． 13．若函数在上有奇数个不同的零点，则实数m的值为 . 14．已知圆，点．过点作圆的两条切线，切点分别为，直线与轴、轴分别交于，两点．设的面积为，若数列满足，则 . 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15．（13分） 在锐角△ABC中，设角A，B，C所对的边分别为a，b，c，，且△ABC外接圆半径为. (1)求角B的大小； (2)求△ABC周长的取值范围. 16．（15分） 如图，四棱锥中，平面，，，，，，，是的中点. (1)求证：平面； (2)求平面与平面的夹角的余弦值； (3)在线段上是否存在除端点外的一点，使得点到平面的距离为？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由. 17．（15分） 已知函数． (1)当时，求曲线在处的切线方程； (2)若，证明：函数有3个零点； (3)当时，对任意的，满足，证明：． 18．（17分） 在生态研究中，观察两种昆虫的信息传递，这两种昆虫的信息素中均含某种特殊化学物质A，A的浓度代表环境是否安全，但种群甲与种群乙的响应恰好相反，种群甲接收到含高浓度A的信息素后，认为“安全”，传递含高浓度A的信息素，反之认为“危险”，传递含低浓度A的信息素；种群乙接收到含高浓度A的信息素后，认为“危险”，传递含低浓度A的信息素，反之认为“安全”，传递含高浓度A的信息素，初始时，第1只昆虫属于种群甲，其接受到了“安全”的环境信息并开始传递．每只昆虫传递信息时，有的概率将信息素传递给同种群的昆虫，的概率将信息素传递给另一种群的昆虫，每次传递仅传递给一只昆虫，且每只昆虫传递信息的准确性与传递给的对象无关． (1)设为第n只昆虫属于种群甲的概率，当时，求； (2)求第n只昆虫传递含高浓度化学物质的信息素的概率； (3)证明：当时，，并阐述若要使这两种昆虫种群更加适应环境，p应该满足的要求及原因． 19．（17分） 已知对任意平面向量，把向量绕其起点沿逆时针方向旋转角后得到向量，叫做把点绕点沿逆时针方向旋转角得到点. (1)若平面内点，点，把点绕点沿顺时针方向旋转后得到点，求点的坐标； (2)若双曲线绕坐标原点逆时针旋转得到曲线. （i）求双曲线的标准方程及离心率； （ii）双曲线的左顶点为，右焦点为，过点且斜率存在的直线交双曲线于，两点，点是的外心，求证：直线与直线的斜率之积为定值. / 学科网（北京）股份有限公司 $………………○………………外………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… ………………○………………内………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… 此卷只装订不密封 ………………○………………内………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… ………………○………………外………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… … 学校：______________姓名：_____________班级：_______________考号：______________________ 2026年高考第一次模拟考试 高三数学（全国一卷）06 （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 第一部分（选择题 共58分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．已知集合，若全集，则（    ） A． B． C． D． 2．在复平面内，复数与复数对应的点关于实轴对称，则（   ） A．1 B． C． D．2 3．行列式是近代数学中研究线性方程的有力工具，最简单的二阶行列式的运算定义如下：，已知是等比数列的前项和，若，则（    ） A．31 B．63 C．127 D．255 4．如图所示网格中，要从点出发沿实线走到点，距离最短的走法中，经过点的概率为（   ） A． B． C． D． 5．设为椭圆上一动点，、分别为圆和圆上的动点，则不可能为（   ） A． B． C． D． 6．设D是边长为3的等边及其内部的点构成的集合，点是的中心，集合，则的取值范围为（   ） A． B． C． D． 7．高斯是德国著名数学家，享有“数学王子”的称号．称为高斯函数，其中，表示不超过的最大整数，例如，则下列说法正确的是（　　） A．在上单调递增 B． C．若，则的值域为 D．若，则的值域为 8．若正实数a，b满足，且，则下列不等式一定成立的是（    ） A． B． C． D． 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．记的内角，，的对边分别为，，.若，，则（   ） A．的周长为6 B．，，成等差数列 C．角的最大值为 D．面积的最大值为 10．如图，点是正方体中的侧面上的一个动点，则（   ） A．点存在无数个位置满足 B．在线段上存在点，使异面直线与所成的角是 C．若正方体的棱长为1，三棱锥的体积最大值为 D．点存在无数个位置满足到直线和直线的距离相等 11．若，使得，且当时，，则称为正移函数．定义符号函数，设，则（   ） A．是正移函数 B．当时，方程有且仅有一解 C．是正移函数 D．函数的最小值为 第二部分（非选择题 共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12．已知随机变量，且，则的展开式中常数项为 ． 13．若函数在上有奇数个不同的零点，则实数m的值为 . 14．已知圆，点．过点作圆的两条切线，切点分别为，直线与轴、轴分别交于，两点．设的面积为，若数列满足，则 . 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15．（13分） 在锐角△ABC中，设角A，B，C所对的边分别为a，b，c，，且△ABC外接圆半径为. (1)求角B的大小； (2)求△ABC周长的取值范围. 16．（15分） 如图，四棱锥中，平面，，，，，，，是的中点. (1)求证：平面； (2)求平面与平面的夹角的余弦值； (3)在线段上是否存在除端点外的一点，使得点到平面的距离为？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由. 17．（15分） 已知函数． (1)当时，求曲线在处的切线方程； (2)若，证明：函数有3个零点； (3)当时，对任意的，满足，证明：． 18．（17分） 在生态研究中，观察两种昆虫的信息传递，这两种昆虫的信息素中均含某种特殊化学物质A，A的浓度代表环境是否安全，但种群甲与种群乙的响应恰好相反，种群甲接收到含高浓度A的信息素后，认为“安全”，传递含高浓度A的信息素，反之认为“危险”，传递含低浓度A的信息素；种群乙接收到含高浓度A的信息素后，认为“危险”，传递含低浓度A的信息素，反之认为“安全”，传递含高浓度A的信息素，初始时，第1只昆虫属于种群甲，其接受到了“安全”的环境信息并开始传递．每只昆虫传递信息时，有的概率将信息素传递给同种群的昆虫，的概率将信息素传递给另一种群的昆虫，每次传递仅传递给一只昆虫，且每只昆虫传递信息的准确性与传递给的对象无关． (1)设为第n只昆虫属于种群甲的概率，当时，求； (2)求第n只昆虫传递含高浓度化学物质的信息素的概率； (3)证明：当时，，并阐述若要使这两种昆虫种群更加适应环境，p应该满足的要求及原因． 19．（17分） 已知对任意平面向量，把向量绕其起点沿逆时针方向旋转角后得到向量，叫做把点绕点沿逆时针方向旋转角得到点. (1)若平面内点，点，把点绕点沿顺时针方向旋转后得到点，求点的坐标； (2)若双曲线绕坐标原点逆时针旋转得到曲线. （i）求双曲线的标准方程及离心率； （ii）双曲线的左顶点为，右焦点为，过点且斜率存在的直线交双曲线于，两点，点是的外心，求证：直线与直线的斜率之积为定值. 试题 第3页（共6页） 试题 第4页（共6页） 试题 第5页（共6页） 试题 第6页（共6页） 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026年高考第一次模拟考试 数学（全国一卷）06·全解全析 （考试时间：120分钟，分值：150分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 第一部分（选择题 共58分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．已知集合，若全集，则（    ） A． B． C． D． 1．【答案】D 【解析】由，可得，由，可得， 则，则， 则. 故选：D. 2．在复平面内，复数与复数对应的点关于实轴对称，则（   ） A．1 B． C． D．2 2．【答案】B 【解析】，其在复平面内对应的点为. 因为复数与复数对应的点关于实轴对称，在平面直角坐标系中，关于实轴对称的点横坐标不变，纵坐标互为相反数.所以对应的点为，那么复数. 由，其中，，将其代入模的计算公式可得： . 故选：B. 3．行列式是近代数学中研究线性方程的有力工具，最简单的二阶行列式的运算定义如下：，已知是等比数列的前项和，若，则（    ） A．31 B．63 C．127 D．255 3．【答案】C 【解析】根据题意可得：， 因为数列是等比数列，，则化简得， 因为，所以. 所以. 故选：C. 4．如图所示网格中，要从点出发沿实线走到点，距离最短的走法中，经过点的概率为（   ） A． B． C． D． 4．【答案】C 【解析】从点到点一共有（一共六步需要向下走两步），点到点一共有（一共四步向右走一步）， 则根据分步计数原理得从A点出发沿实线走到点经过点的情况数为；如图连接， 则从点A点出发沿实线走到点又经过的情况为：， 同理经过另外一条不连上的线情况为， 则从点A点出发沿实线走到点的情况为：故距离最短的走法中，经过点的概率为． 故选：C. 5．设为椭圆上一动点，、分别为圆和圆上的动点，则不可能为（   ） A． B． C． D． 5．【答案】D 【解析】椭圆的两个焦点坐标为，，恰好为两个圆的圆心坐标， 圆的半径，圆的半径， 由椭圆的定义可得， 当椭圆上动点与焦点连线与圆相交于时，最小，最小值为， 当椭圆上动点与焦点连线的反向延长线与圆相交于时，最大，最大值为， 所以. 故选：D. 6．设D是边长为3的等边及其内部的点构成的集合，点是的中心，集合，则的取值范围为（   ） A． B． C． D． 6．【答案】B 【解析】如图，设为各边三等分点， 根据等边三角形可知，相交于中心点， 根据等边三角形可知：四边形是菱形， 则由菱形的对角线互相垂直平分可得：是线段的垂直平分线， 所以当点时，动点一定在上， 同理可得：动点一定在上，动点一定在上， 所以当，时，结合点在三角形的内部， 可得集合S为正六边形及其内部区域， 所以当P与F重合时，，即可取到最小值， 当P与C重合时，， 即可取到最大值. 故选：B. 7．高斯是德国著名数学家，享有“数学王子”的称号．称为高斯函数，其中，表示不超过的最大整数，例如，则下列说法正确的是（　　） A．在上单调递增 B． C．若，则的值域为 D．若，则的值域为 7．【答案】D 【解析】对于A：由题意，故A错； 对于B：因为当时，，所以，故B错； 对于C：， 当时，；当时，， 所以的值域为，故C错； 对于D：， ，当时，；当时，， 所以的值域为，故D正确． 故选：D. 8．若正实数a，b满足，且，则下列不等式一定成立的是（    ） A． B． C． D． 8．【答案】D 【解析】因为，为单调递增函数，故， 由于，故，或， 当时，，此时； ，故； ，即，得，但的大小不确定， 当时，，此时， ，故； ，即，得，但的大小不确定， 所以ABC均不正确； 对于D，，两边取自然对数，， 因为不管，还是，均有， 所以，故只需证即可， 设（且），则， 令（且），则， 当时，，当时，， 所以在上单调递增，在上单调递减， 所以，所以在且上恒成立， 故在定义域上单调递减， 因为，所以，结论得证，D正确． 故选：D． 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．记的内角，，的对边分别为，，.若，，则（   ） A．的周长为6 B．，，成等差数列 C．角的最大值为 D．面积的最大值为 9．【答案】ABD 【解析】对于B，因为，所以， 则，，成等差数列，故B正确， 对于A，因为，所以，可得的周长为6，故A正确， 对于C，由余弦定理得， 由基本不等式得，当且仅当时取等， 可得，由余弦函数性质得在上单调递减， 而，得到，即角的最大值为，故C错误， 对于D，由三角形面积公式得， 可得面积的最大值为，故D正确. 故选：ABD. 10．如图，点是正方体中的侧面上的一个动点，则（   ） A．点存在无数个位置满足 B．在线段上存在点，使异面直线与所成的角是 C．若正方体的棱长为1，三棱锥的体积最大值为 D．点存在无数个位置满足到直线和直线的距离相等 10．【答案】ACD 【解析】对于A，连接， 四边形为正方形，； 平面，平面，； 又，平面，平面， 则当平面，即在线段上时，恒成立， 点存在无数个位置，使得，A正确； 对于B，以为坐标原点，正方向为轴，可建立如图所示空间直角坐标系， 则，，，，， ，， 当在线段上时，可设， ，则，， ； 则当时，， 异面直线与所成的角大于，B错误； 对于C，连接，交于点，连接，交于点， ，，，平面， 平面，又平面，； 同理可得：；又，平面， 平面，即平面； ∽，，， ； 是边长为的等边三角形，； 设点到平面的距离为，则； 当与重合时，取得最大值，，C正确； 对于D，平面，点到直线的距离即为其到点的距离， 若点到直线和直线的距离相等，则点轨迹是以为焦点，为准线的抛物线在侧面上的部分， 点存在无数个位置满足到直线和直线的距离相等，D正确. 故选：ACD. 11．若，使得，且当时，，则称为正移函数．定义符号函数，设，则（   ） A．是正移函数 B．当时，方程有且仅有一解 C．是正移函数 D．函数的最小值为 11．【答案】BCD 【解析】对于A，当时，，不满足当时，，故A错误； 对于B，当时，方程有且仅有一解， 当时，，显然不相等； 所以有且仅有一解， 令，则在上有且只有一个零点， 因为，所以当时，，单调递减， 当时，，单调递增， 因为，，， 所以当时，，当时，在上存在，使得， 所以在上有且只有一个零点，，故B正确； 对于C，当时，，， 令，解得，所以当时，，当时，， 即在上单调递减，在上单调递增， 所以当时，，当且仅当时取等号，且满足； 当时，由， 可知对于，当，均存在唯一，使得， 此时，所以当时，恒成立， 综上所述，，且当时，， 即函数是正移函数，故C正确； 对于D，， 由C知，当时，，当时，， 所以当时，，当时，， 当时，， 则当时，，即函数的最小值为，故D正确. 故选：BCD. 第二部分（非选择题 共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12．已知随机变量，且，则的展开式中常数项为 ． 12．【答案】60 【解析】由随机变量，正态分布关于均值对称， 因为， 所以和关于2对称， 所以， 所以二项式为：， 又二项展开式的通项为：， 令解得：， 所以二项展开式中常数项为：， 故答案为：60. 13．若函数在上有奇数个不同的零点，则实数m的值为 . 13．【答案】0或 【解析】 所以，所以曲线关于直线对称. 又， 因为区间是半开半闭区间，函数在上有奇数个不同的零点，或， 即或， 进而：m的值为0或. 故答案为：0或. 14．已知圆，点．过点作圆的两条切线，切点分别为，直线与轴、轴分别交于，两点．设的面积为，若数列满足，则 . 14．【答案】 【解析】由题可得：四点在以为直径的圆上， 该圆的圆心为，半径为, 故该圆方程为, 即， 将两圆方程相减， 可得公共弦的方程为． 令，得，故． 令，得，故． 所以． 从而． 因此 . 故答案为：. 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15．（13分） 在锐角△ABC中，设角A，B，C所对的边分别为a，b，c，，且△ABC外接圆半径为. (1)求角B的大小； (2)求△ABC周长的取值范围. 15．（13分） 【解析】（1）∵， 由正弦定理，可得，即. 由余弦定理，可得， 又∵，∴. （2）由正弦定理， 可得， ， ∵△ABC为锐角三角形，可得，即，解得， ∴，∴，∴， 即， 则△ABC周长的取值范围为. 16．（15分） 如图，四棱锥中，平面，，，，，，，是的中点. (1)求证：平面； (2)求平面与平面的夹角的余弦值； (3)在线段上是否存在除端点外的一点，使得点到平面的距离为？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由. 16．（15分） 【解析】（1）取的中点，连接，由是的中点，得且， 又且，则且，四边形是平行四边形， 因此，而平面，平面， 所以平面. （2）由平面且，得直线两两垂直， 以为坐标原点，直线分别为轴，建立空间直角坐标系， 由，得， ， 设为平面的法向量， 则，取，得； 设为平面的法向量， 则，取，得； 设平面与平面的夹角为，则， 所以平面和平面的夹角的余弦值为. （3）设且，，，则， ，， 设为平面的法向量，则， 取，得，又， 由点到平面的距离为，得， 整理得，解得， 所以在线段上存在除端点外的一点，使得点到平面的距离为，此时. 17．（15分） 已知函数． (1)当时，求曲线在处的切线方程； (2)若，证明：函数有3个零点； (3)当时，对任意的，满足，证明：． 17．（15分） 【解析】（1）当时，，则， 所以，． 因此曲线在处的切线方程为． （2）的定义域是，， 若，令，得或，且． 当时，，单调递增：当时，，单调递减； 当时，，单调递增； 所以在处取得极大值， 在处取得极小值． 因为，所以，又， 所以，使得，即在上有1个零点； 因为，所以，则，所以， 所以，使得，即在上有1个零点； 又， 所以，使得，即在上有1个零点． 综上，当，有3个零点． （3）在处的切线方程为， 设， 下面证明：当时，． 设，则， 设， 则，显然，时，，所以递增， 则，即，所以递减，则， 从而，即． 所以， 得 ． 即． 18．（17分） 在生态研究中，观察两种昆虫的信息传递，这两种昆虫的信息素中均含某种特殊化学物质A，A的浓度代表环境是否安全，但种群甲与种群乙的响应恰好相反，种群甲接收到含高浓度A的信息素后，认为“安全”，传递含高浓度A的信息素，反之认为“危险”，传递含低浓度A的信息素；种群乙接收到含高浓度A的信息素后，认为“危险”，传递含低浓度A的信息素，反之认为“安全”，传递含高浓度A的信息素，初始时，第1只昆虫属于种群甲，其接受到了“安全”的环境信息并开始传递．每只昆虫传递信息时，有的概率将信息素传递给同种群的昆虫，的概率将信息素传递给另一种群的昆虫，每次传递仅传递给一只昆虫，且每只昆虫传递信息的准确性与传递给的对象无关． (1)设为第n只昆虫属于种群甲的概率，当时，求； (2)求第n只昆虫传递含高浓度化学物质的信息素的概率； (3)证明：当时，，并阐述若要使这两种昆虫种群更加适应环境，p应该满足的要求及原因． 18．（17分） 【解析】（1）由题意可知，当时，由初始条件为第1只昆虫是种群甲，所以． 当时，第n只昆虫属于种群甲可能有两种情况： 第只是甲且第n只与它同种群，或第只是乙且第n只与它不同种群， 也即，得，                当时，，解得， 即当，时，第n只昆虫属于种群甲的概率恒为， 又．故第n只昆虫属于种群甲的概率，则． （2）由题意可知，当时，由初始条件为第1只昆虫是种群甲，其传递高浓度信号，所以． 当时，第n只昆虫传递高浓度信号可能有两种情况： 第n只昆虫接收高浓度信号且是甲种群，或第n只昆虫接收低浓度信号且是乙种群， 则， 即．                 由（1）得：，， 则， 当时，是以为首项，为公比的等比数列， 故，则， 经检验，当时也满足上述递推式， 故， 变形可得， 则，                         代入得， 故， 化简得，                 则 ， 故． （3）易有 ． 由，则， 因为且，则， 当时，恒成立，且， 则，也即，             又，，则， 故． 综上，．                 若认为p趋近于1越好：保证信息传递的准确性和一致性，以便种群内部能快速对特定环境做出统一反应，可以在两个种群之间形成两个高效但隔离的通信网络，若认为p趋近于越好：说明两个种群之间维持了系统的稳定性，且对错误信息有一定的抵抗能力，以便在复杂多变的环境中不被单一信息源误导．（只需提出一个角度，言之有理即可，认为p趋近于其它值不给分．） 19．（17分） 已知对任意平面向量，把向量绕其起点沿逆时针方向旋转角后得到向量，叫做把点绕点沿逆时针方向旋转角得到点. (1)若平面内点，点，把点绕点沿顺时针方向旋转后得到点，求点的坐标； (2)若双曲线绕坐标原点逆时针旋转得到曲线. （i）求双曲线的标准方程及离心率； （ii）双曲线的左顶点为，右焦点为，过点且斜率存在的直线交双曲线于，两点，点是的外心，求证：直线与直线的斜率之积为定值. 19．（17分） 【解析】（1）设，则，， 将绕点沿顺时针方向旋转到，相当于沿逆时针方向旋转到， 则， 则，解得，， 因此点的坐标是. （2）（i）在双曲线上任取一点， 将绕原点沿逆时针方向旋转， 得到， 则 又点在曲线上，则， 化简得双曲线的标准方程为：， 则，，， 故离心率. （ii）由（i）可知，，由题意可知直线的斜率存在不为0， 故设直线方程为：，，， 联立，得， 则，，，， 因线段的中点为，， 所以线段的垂直平分线为， 即， 又，， 则线段的垂直平分线为， 同理线段的垂直平分线为， 设， 因点是的外心，则有， 则是方程， 即的两个根， 则，， 故，， 两式作商得，， 得，则， 即直线与直线的斜率之积为定值. / 学科网（北京）股份有限公司 $