数学一模提分卷01（全国二卷通用）学易金卷：2026年高考第一次模拟考试

学校__________________班级__________________姓名__________________准考证号__________________ ﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍密﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍封﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍线﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍ 2026年高考第一次模拟考试 数学·答题卡 准考证号： 姓 名：_________________________________________ 贴条形码区 此栏考生禁填 缺考 标记 1．答题前，考生先将自己的姓名，准考证号填写清楚，并认真检查监考员所粘贴的条形码。 2．选择题必须用2B铅笔填涂；非选择题必须用0.5mm黑色签字笔答题，不得用铅笔或圆珠笔答题；字体工整、笔迹清晰。 3．请按题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效。 4．保持卡面清洁，不要折叠、不要弄破。 5．正确填涂 注意事项 一、选择题（每小题5分，共40分） 1 [A] [B] [C] [D] 2 [A] [B] [C] [D] 3 [A] [B] [C] [D] 4 [A] [B] [C] [D] 5 [A] [B] [C] [D] 6 [A] [B] [C] [D] 7 [A] [B] [C] [D] 8 [A] [B] [C] [D] 二、选择题（全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分，共18分） 9 [A] [B] [C] [D] 10 [A] [B] [C] [D] 11 [A] [B] [C] [D] 三、填空题（每小题5分，共15分） 12．____________________ 13．____________________ 14．____________________ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 四、解答题（共77分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 15．（13分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 16．（15分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 17．（15分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 18．（17分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 19．（17分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 数学 第4页（共6页） 数学 第5页（共6页） 数学 第6页（共6页） 数学 第1页（共6页） 数学 第2页（共6页） 数学 第3页（共6页） 学科网（北京）股份有限公司 $………………○………………外………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… ………………○………………内………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… 此卷只装订不密封 ………………○………………内………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… ………………○………………外………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… … 学校：______________姓名：_____________班级：_______________考号：______________________ 2026年高考第一次模拟考试 高三数学（全国二卷）01 （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 第一部分（选择题 共58分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．已知集合，，则（    ） A． B． C． D． 2．在从小到大依次排列的样本数据、、、、、中，已知中位数小于众数，则该组样本数据的平均数为（    ） A． B． C． D． 3．若复数，其中i为虚数单位，则下列结论错误的是（    ） A． B．的共轭复数为 C．的虚部为i D．为纯虚数 4．在中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若，则是（   ） A．等腰三角形 B．直角三角形 C．等腰三角形或直角三角形 D．等腰直角三角形 5．已知点，点在抛物线上运动，点在圆上运动，则的最小值为（    ） A．2 B．3 C．4 D．5 6．音乐喷泉曲线形似藤蔓上挂结的葫芦，也可称为“葫芦曲线”.它的性质是每经过相同的时间间隔，它的振幅就变化一次.如图所示，某条葫芦曲线的方程为，其中表示不超过的最大整数，如且，且经过点，则该条葫芦曲线与直线交点的纵坐标为（    ） A． B． C． D． 7．已知数列与均是公差不为0的等差数列，且数列也是等差数列，若，则（    ） A．24 B．21 C．18 D．15 8．随着人工智能的爆火，其已被广泛地用来实现语义分析、计算推理、问答对话、代码编写等任务，其实现指令的背后主要靠大语言模型算法，其中函数：是算法中被广泛使用的一种激活函数．激活函数的一个重要作用是执行数据的归一化，将输入数据映射到某个范围内，再往下传递，这样做的好处是可以限制数据的扩张，防止数据过大导致的溢出风险．函数是函数的改进版，，那么下列说法正确的是（    ） A．函数可以将所有输入值映射到范围内 B．函数和函数图象的对称中心相同 C．复合模型函数有偶数个零点 D．函数和函数的图象仅有一个公共点 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．已知在的展开式中，第3项的二项式系数与第5项的二项式系数相等，则下列说法正确的有（    ） A． B．第4项的二项式系数最大 C．的系数为 D．展开式各项系数之和为 10．已知函数．则下列说法中正确的是（    ） A．当时，在上单调递增 B．当时， C．当时，有一个零点 D．最多有两个不同的零点 11．已知抛物线E：的焦点为F，抛物线E的准线交x轴于点G，抛物线E上一点到点F的距离为6，点A，B是抛物线E上的两点（异于原点O），则下列说法正确的是（   ） A． B．若中点M的纵坐标为2，则直线的斜率为2 C．若，则直线恒过点 D．若直线过点F，则直线，的斜率之和为0 第二部分（非选择题 共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12．已知，若在方向上的投影向量为，则与的夹角为 . 13．已知函数，．若经过点存在一条直线l与曲线和都相切，则 . 14．如图，这是某零件的结构模型，中间大球为正四面体的内切球，小球与大球、正四面体的三个面均相切.若AB＝12，则该模型中一个小球的体积为 . 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15．（13分） 在锐角中，内角，，的对边分别为，，，已知． (1)求； (2)求的取值范围． 16．（15分） 已知椭圆的左顶点为，上顶点为，离心率为，的面积为． (1)求椭圆的方程； (2)直线（存在且不等于0）与椭圆交于，两点，直线与轴交于点，直线与直线交于点，判断是否为定值并证明． 17．（15分） 如图，在四棱锥中，四边形是正方形，是边长为2的正三角形，且． (1)求证：平面平面； (2)求平面与平面夹角的余弦值． 18．（17分） 已知函数． (1)求曲线在点处的切线方程； (2)若函数，证明：当时，； (3)若对任意，恒成立，求的取值范围． 19．（17分） n阶拉丁方阵是一种的方阵，在这种的方阵里，恰有1到n这n个不同的正整数，每一个不同的正整数在同一行或同一列中只出现一次.例如，如图是一个3阶拉丁方阵. 1 2 3 2 3 1 3 1 2 (1)分别计算2阶和3阶拉丁方阵的个数. (2)求4阶拉丁方阵的个数，并证明：n阶拉丁方阵的个数是的倍数. (3)设A为的方阵，且1到n这n个不同的正整数恰好在A中各出现n次，记全体方阵A构成的集合为S，从S中任取一个方阵，记此方阵为n阶拉丁方阵的概率为.证明：. 参考公式：. 试题 第3页（共6页） 试题 第4页（共6页） 试题 第5页（共6页） 试题 第6页（共6页） 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026年高考第一次模拟考试 数学（全国二卷）01·参考答案 第一部分（选择题 共58分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1 2 3 4 5 6 7 8 A C C C B C A D 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9 10 11 ABC ACD ABD 第二部分（非选择题 共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12． 13．1 14． 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15．（13分） 【详解】（1）因为，由正弦定理可得，，而，故， 因为是锐角三角形， 所以，有；（5分） （2）利用（1）中结论，结合三角形内角和的条件，有： 因为是锐角三角形，可得，， 所以， 所以， 则的取值范围是．（13分） 16．（15分） 【详解】（1）由题意，（2分） 解得， 故椭圆的方程为；（5分） （2）设，由对称性可知，，两点关于原点对称，即， 由（1）可知，， 联立，得， 所以，（8分） 直线的斜率存在，其方程为：， 令得，即， 直线的斜率存在，其方程为：， 令得，即， 所以 ， 所以为定值.（15分） 17．（15分） 【详解】（1）证明：取的中点，连接，． 因为是边长为2的正三角形，所以. 在正方形中，，所以， 又，所以，即. 因为平面， 所以平面， 因为平面，所以平面平面.（5分） （2）取的中点，连接， 因为四边形是正方形，分别是的中点，所以， 又平面平面，所以， 即直线两两垂直， 以点为坐标原点，所在直线分别为轴，轴，轴建立如图所示的空间直角坐标系， 则，（8分） 所以. 设为平面的一个法向量， 则， 令，得. 设为平面的一个法向量， 则， 令，得. 所以，即平面与平面夹角的余弦值为.（15分） 18．（17分） 【详解】（1）函数，求导得，则，又， 所以曲线在点处的切线方程为.（3分） （2）由（1）知，令，求导得， 函数在上单调递增，而， 则，使得，即， 当时，；当时，， 即函数在上单调递减，在上单调递增， 因此， 函数，求导得， 当时，；当时，， 函数在上单调递增，在上单调递减， 因此， 所以当时，.（8分） （3）对，， 令，依题意，在上恒成立，且， 求导得，令， 求导得，函数在上单调递增，， 当，即时，，函数在上单调递增， 则，函数在上单调递增，，符合题意；（13分） 当时，，而函数在的图象连续不断， 则存在，使得当时，， 于是函数在上单调递减，当时，， 因此函数在上单调递减，当时，，不符合题意， 所以实数的取值范围是.（17分） 19．（17分） 【详解】（1）计算2阶阶拉丁方阵：第一行，一共有种排法， 例如第一排是，那么第二排一定是，因此2阶阶拉丁方阵有种； 计算3阶阶拉丁方阵：第一行，一共有种排法， 例如第一排是，那么第二排有，两种排法， 若是，则第三排只有一种排法， 因此3阶阶拉丁方阵有种；（3分） （2）计算4阶阶拉丁方阵：第一行有种排列方式， 根据（1）问的分析，可知：第二行有种排列方式， 第三行有种排列方式，第四行则只有一种排列方式， 因此4阶阶拉丁方阵有种； 根据以上可以得到： n阶拉丁方阵，第一行可以是的全排列，共有种排列方式， 第二行有种排列方式，第三行有种排列方式，以此类推，第行由前行唯一确定， 因此n阶拉丁方阵的个数是， 显然n阶拉丁方阵的个数是的倍数.（8分） （3）因为A为的方阵，且1到n这n个不同的正整数恰好在A中各出现n次， 所以集合S中的元素的个数为： ， 于是， 由参考公式，可得： ，， 所以， 即，（13分） 因为是不等于1的正整数，所以有， 于是有， 因为是不等于1的正整数， 所以，即， 因此.（17分） 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026年高考第一次模拟考试 数学（全国二卷）01·全解全析 （考试时间：120分钟，分值：150分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 第一部分（选择题 共58分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．已知集合，，则（    ） A． B． C． D． 1．【答案】A 【详解】由不等式，可得，即， 又由，可得，解得，即， 所以. 故选：A. 2．在从小到大依次排列的样本数据、、、、、中，已知中位数小于众数，则该组样本数据的平均数为（    ） A． B． C． D． 2．【答案】C 【详解】由题意可知，这组数据的中位数为， 因为该组数据存在众数，故或，则这组数据的众数为， 又这组数据的中位数小于众数，所以，解得，故， 因此，这组数据的平均数为. 故选：C. 3．若复数，其中i为虚数单位，则下列结论错误的是（    ） A． B．的共轭复数为 C．的虚部为i D．为纯虚数 3．【答案】C 【详解】， 对于A，，故A正确； 对于B，的共轭复数为，故B正确； 对于C，的虚部为，故C错误； 对于D，，所以为纯虚数，故D正确. 故选：C. 4．在中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若，则是（   ） A．等腰三角形 B．直角三角形 C．等腰三角形或直角三角形 D．等腰直角三角形 4．【答案】C 【详解】由和余弦定理，可得， 即， 由正弦定理得， 又因为中，，， 所以，即， 所以或，即或， 即是等腰三角形或直角三角形， 故选：C. 5．已知点，点在抛物线上运动，点在圆上运动，则的最小值为（    ） A．2 B．3 C．4 D．5 5．【答案】B 【详解】把代入，得， 所以点在抛物线里面， 圆的圆心记为， 因为的最小值为，而正好是抛物线的焦点， 过点作抛物线准线的垂线垂足为， 则根据抛物线的定义得， 所以的最小值等于求的最小值， 当三点共线时最小，最小值为， 故的最小值为， 故选：B. 6．音乐喷泉曲线形似藤蔓上挂结的葫芦，也可称为“葫芦曲线”.它的性质是每经过相同的时间间隔，它的振幅就变化一次.如图所示，某条葫芦曲线的方程为，其中表示不超过的最大整数，如且，且经过点，则该条葫芦曲线与直线交点的纵坐标为（    ） A． B． C． D． 6．【答案】C 【详解】将点代入葫芦曲线的方程可得，即， 由，，可得，因此曲线方程为， 当时，可得， 所以交点的纵坐标为. 故选：C. 7．已知数列与均是公差不为0的等差数列，且数列也是等差数列，若，则（    ） A．24 B．21 C．18 D．15 7．【答案】A 【详解】设的公差为 ，的公差为 ， ，解得，所以， ， 因为数列也是等差数列， 所以，即， 解得（舍去）或， 所以，. 故选：A. 8．随着人工智能的爆火，其已被广泛地用来实现语义分析、计算推理、问答对话、代码编写等任务，其实现指令的背后主要靠大语言模型算法，其中函数：是算法中被广泛使用的一种激活函数．激活函数的一个重要作用是执行数据的归一化，将输入数据映射到某个范围内，再往下传递，这样做的好处是可以限制数据的扩张，防止数据过大导致的溢出风险．函数是函数的改进版，，那么下列说法正确的是（    ） A．函数可以将所有输入值映射到范围内 B．函数和函数图象的对称中心相同 C．复合模型函数有偶数个零点 D．函数和函数的图象仅有一个公共点 8．【答案】D 【详解】对于A，，所以函数不能将所有输入值映射到范围内，故A错误； 对于B，函数和函数的定义域均为，即 图象的对称中心为； ，所以函数是奇函数，图象的对称中心是，故B错误； 对于C，的定义域为, ， ∴是奇函数，零点关于原点对称. 而,函数有奇数个零点. 对于D，令则即， 解得，∴.故D正确. 故选：D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．已知在的展开式中，第3项的二项式系数与第5项的二项式系数相等，则下列说法正确的有（    ） A． B．第4项的二项式系数最大 C．的系数为 D．展开式各项系数之和为 9．【答案】ABC 【详解】由题意得，所以，故A正确； 因为时，二项式系数最大的是，所以第4项的二项式系数最大，故B正确； 的展开式的通项公式为， 令，得，所以的系数为，故C正确； 展开式各项系数之和为，故D错误. 故选：ABC. 10．已知函数．则下列说法中正确的是（    ） A．当时，在上单调递增 B．当时， C．当时，有一个零点 D．最多有两个不同的零点 10．【答案】ACD 【详解】对于A，，，令， 则在上单调递增，故A正确； 对于B，，因，则. 令，则在上单调递减，在上单调递增，则，故B错误； 对于C，，令，得或. 若，则 在R上单调递增，又， ，则有R上有唯一零点；若， 则，， 则在上单调递增，在上单调递减. 则极大值为， 极小值为，又，则此时只有1个零点； 若，由以上分析，类似可得 在上单调递增，在上单调递减， 则极小值为， 极大值为，又，则此时只有1个零点； 综上，当时，只有一个零点，故C正确； 对于D，由C分析，当时，只有一个零点.当，易得只有一个零点.当，由B分析可知，， 又注意到，， 则，使， 故时，有2个零点.则最多有两个不同的零点，故D正确. 故选：ACD. 11．已知抛物线E：的焦点为F，抛物线E的准线交x轴于点G，抛物线E上一点到点F的距离为6，点A，B是抛物线E上的两点（异于原点O），则下列说法正确的是（   ） A． B．若中点M的纵坐标为2，则直线的斜率为2 C．若，则直线恒过点 D．若直线过点F，则直线，的斜率之和为0 11．【答案】ABD 【详解】对于A，由题意可知，点到点F的距离为，解得，故A正确； 则； 对于B，若中点M的纵坐标为2，则AB斜率存在， 设，则，两式作差得， 所以直线的斜率为，故B正确； 对于C，设， 若，则，， 当AB斜率存在时，直线：，过定点， 当斜率不存在时，，，过点， 故C错误； D选项，设，当斜率存在时，直线：， 代入点可得， 则， 当AB斜率不存在时，，此时，D正确； 故选：ABD. 第二部分（非选择题 共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12．已知，若在方向上的投影向量为，则与的夹角为 . 12．【答案】 【详解】因为在方向上的投影向量为， 所以， 又，且， 所以． 故答案为：． 13．已知函数，．若经过点存在一条直线l与曲线和都相切，则 . 13．【答案】1 【详解】，设直线与相切于点 所以切线方程为，切线过点， 则，整理为， 设，，， 当时，，单调递增，当时，，单调递减， 所以当时，取得最大值，， 所以方程的根为， 所以切线方程为， 联立，得，，得. 故答案为：1. 14．如图，这是某零件的结构模型，中间大球为正四面体的内切球，小球与大球、正四面体的三个面均相切.若AB＝12，则该模型中一个小球的体积为 . 14．【答案】 【详解】如图所示，设为大球的球心，大球的半径为，大正四面体的底面中心为，棱长为，高为，的中点为， 连接， 则，， ∵， ∴， ∴， 设小球的半径为，小球也可看作一个小的正四面体的内切球， 且小正四面体的高， ∴， ∴小球的体积为：， 故答案为：. 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15．（13分） 在锐角中，内角，，的对边分别为，，，已知． (1)求； (2)求的取值范围． 15．（13分） 【详解】（1）因为，由正弦定理可得，，而，故， 因为是锐角三角形， 所以，有； （2）利用（1）中结论，结合三角形内角和的条件，有： 因为是锐角三角形，可得，， 所以， 所以， 则的取值范围是． 16．（15分） 已知椭圆的左顶点为，上顶点为，离心率为，的面积为． (1)求椭圆的方程； (2)直线（存在且不等于0）与椭圆交于，两点，直线与轴交于点，直线与直线交于点，判断是否为定值并证明． 16．（15分） 【详解】（1）由题意， 解得， 故椭圆的方程为； （2）设，由对称性可知，，两点关于原点对称，即， 由（1）可知，， 联立，得， 所以， 直线的斜率存在，其方程为：， 令得，即， 直线的斜率存在，其方程为：， 令得，即， 所以 ， 所以为定值. 17．（15分） 如图，在四棱锥中，四边形是正方形，是边长为2的正三角形，且． (1)求证：平面平面； (2)求平面与平面夹角的余弦值． 17．（15分） 【详解】（1）证明：取的中点，连接，． 因为是边长为2的正三角形，所以. 在正方形中，，所以， 又，所以，即. 因为平面， 所以平面， 因为平面，所以平面平面. （2）取的中点，连接， 因为四边形是正方形，分别是的中点，所以， 又平面平面，所以， 即直线两两垂直， 以点为坐标原点，所在直线分别为轴，轴，轴建立如图所示的空间直角坐标系， 则， 所以. 设为平面的一个法向量， 则， 令，得. 设为平面的一个法向量， 则， 令，得. 所以，即平面与平面夹角的余弦值为. 18．（17分） 已知函数． (1)求曲线在点处的切线方程； (2)若函数，证明：当时，； (3)若对任意，恒成立，求的取值范围． 18．（17分） 【详解】（1）函数，求导得，则，又， 所以曲线在点处的切线方程为. （2）由（1）知，令，求导得， 函数在上单调递增，而， 则，使得，即， 当时，；当时，， 即函数在上单调递减，在上单调递增， 因此， 函数，求导得， 当时，；当时，， 函数在上单调递增，在上单调递减， 因此， 所以当时，. （3）对，， 令，依题意，在上恒成立，且， 求导得，令， 求导得，函数在上单调递增，， 当，即时，，函数在上单调递增， 则，函数在上单调递增，，符合题意； 当时，，而函数在的图象连续不断， 则存在，使得当时，， 于是函数在上单调递减，当时，， 因此函数在上单调递减，当时，，不符合题意， 所以实数的取值范围是. 19．（17分） n阶拉丁方阵是一种的方阵，在这种的方阵里，恰有1到n这n个不同的正整数，每一个不同的正整数在同一行或同一列中只出现一次.例如，如图是一个3阶拉丁方阵. 1 2 3 2 3 1 3 1 2 (1)分别计算2阶和3阶拉丁方阵的个数. (2)求4阶拉丁方阵的个数，并证明：n阶拉丁方阵的个数是的倍数. (3)设A为的方阵，且1到n这n个不同的正整数恰好在A中各出现n次，记全体方阵A构成的集合为S，从S中任取一个方阵，记此方阵为n阶拉丁方阵的概率为.证明：. 参考公式：. 19．（17分） 【详解】（1）计算2阶阶拉丁方阵：第一行，一共有种排法， 例如第一排是，那么第二排一定是，因此2阶阶拉丁方阵有种； 计算3阶阶拉丁方阵：第一行，一共有种排法， 例如第一排是，那么第二排有，两种排法， 若是，则第三排只有一种排法， 因此3阶阶拉丁方阵有种； （2）计算4阶阶拉丁方阵：第一行有种排列方式， 根据（1）问的分析，可知：第二行有种排列方式， 第三行有种排列方式，第四行则只有一种排列方式， 因此4阶阶拉丁方阵有种； 根据以上可以得到： n阶拉丁方阵，第一行可以是的全排列，共有种排列方式， 第二行有种排列方式，第三行有种排列方式，以此类推，第行由前行唯一确定， 因此n阶拉丁方阵的个数是， 显然n阶拉丁方阵的个数是的倍数. （3）因为A为的方阵，且1到n这n个不同的正整数恰好在A中各出现n次， 所以集合S中的元素的个数为： ， 于是， 由参考公式，可得： ，， 所以， 即， 因为是不等于1的正整数，所以有， 于是有， 因为是不等于1的正整数， 所以，即， 因此. / 学科网（北京）股份有限公司 $■■■■ 2026年高考第一次模拟考试 数学·答题卡 姓 名： 准考证号： 1 注意事项 1.答题前，考生先将自己的姓名，准考证号填写清 贴条形码区 楚，并认真检查监考员所粘贴的条形码。 2.选择题必须用2B铅笔填涂；非选择题必须用 0.5mm黑色签字笔答题，不得用铅笔或圆珠笔答 I p 州 题；字体工整、笔迹清晰。 3.请按题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出 超 区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题 缺考 无效。 此栏考生禁填 4. 保持卡面清洁，不要折叠、不要弄破。 标记 5.正确填涂■ 一、 选择题（每小题5分，共40分） 1[A][B][C]D] 5[A][B][C]D] 2A]B][C]D] 6[A]B][C]D] 3[A][B][C][D] 7[A[B][C][D] 艾阙 4[A][B][C]D] 8[A]B][C]D] 二、 选择题（全部选对的得6分，部分选对的得部分分， 有选错的得0 分，共18分) 9[A][B][C]D] 10[A]B][C]D] 11[A][B][C][D] 三、填空题（每小题5分，共15分） 蜀 12 和 14 器 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 数学第1页（共6页） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 四、解答题（共77分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 15.(13分) 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 数学第2页（共6页） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 16.(15分) 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 数学第3页（共6页） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 17.(15分) B 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 数学第4页（共6页） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 18.(17分) 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 数学第5页（共6页） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 19.(17分) 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 数学第6页（共6页） 2026年高考第一次模拟考试 高三数学（全国二卷）01 （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 第一部分（选择题 共58分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．已知集合，，则（    ） A． B． C． D． 2．在从小到大依次排列的样本数据、、、、、中，已知中位数小于众数，则该组样本数据的平均数为（    ） A． B． C． D． 3．若复数，其中i为虚数单位，则下列结论错误的是（    ） A． B．的共轭复数为 C．的虚部为i D．为纯虚数 4．在中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若，则是（   ） A．等腰三角形 B．直角三角形 C．等腰三角形或直角三角形 D．等腰直角三角形 5．已知点，点在抛物线上运动，点在圆上运动，则的最小值为（    ） A．2 B．3 C．4 D．5 6．音乐喷泉曲线形似藤蔓上挂结的葫芦，也可称为“葫芦曲线”.它的性质是每经过相同的时间间隔，它的振幅就变化一次.如图所示，某条葫芦曲线的方程为，其中表示不超过的最大整数，如且，且经过点，则该条葫芦曲线与直线交点的纵坐标为（    ） A． B． C． D． 7．已知数列与均是公差不为0的等差数列，且数列也是等差数列，若，则（    ） A．24 B．21 C．18 D．15 8．随着人工智能的爆火，其已被广泛地用来实现语义分析、计算推理、问答对话、代码编写等任务，其实现指令的背后主要靠大语言模型算法，其中函数：是算法中被广泛使用的一种激活函数．激活函数的一个重要作用是执行数据的归一化，将输入数据映射到某个范围内，再往下传递，这样做的好处是可以限制数据的扩张，防止数据过大导致的溢出风险．函数是函数的改进版，，那么下列说法正确的是（    ） A．函数可以将所有输入值映射到范围内 B．函数和函数图象的对称中心相同 C．复合模型函数有偶数个零点 D．函数和函数的图象仅有一个公共点 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．已知在的展开式中，第3项的二项式系数与第5项的二项式系数相等，则下列说法正确的有（    ） A． B．第4项的二项式系数最大 C．的系数为 D．展开式各项系数之和为 10．已知函数．则下列说法中正确的是（    ） A．当时，在上单调递增 B．当时， C．当时，有一个零点 D．最多有两个不同的零点 11．已知抛物线E：的焦点为F，抛物线E的准线交x轴于点G，抛物线E上一点到点F的距离为6，点A，B是抛物线E上的两点（异于原点O），则下列说法正确的是（   ） A． B．若中点M的纵坐标为2，则直线的斜率为2 C．若，则直线恒过点 D．若直线过点F，则直线，的斜率之和为0 第二部分（非选择题 共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12．已知，若在方向上的投影向量为，则与的夹角为 . 13．已知函数，．若经过点存在一条直线l与曲线和都相切，则 . 14．如图，这是某零件的结构模型，中间大球为正四面体的内切球，小球与大球、正四面体的三个面均相切.若AB＝12，则该模型中一个小球的体积为 . 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15．（13分） 在锐角中，内角，，的对边分别为，，，已知． (1)求； (2)求的取值范围． 16．（15分） 已知椭圆的左顶点为，上顶点为，离心率为，的面积为． (1)求椭圆的方程； (2)直线（存在且不等于0）与椭圆交于，两点，直线与轴交于点，直线与直线交于点，判断是否为定值并证明． 17．（15分） 如图，在四棱锥中，四边形是正方形，是边长为2的正三角形，且． (1)求证：平面平面； (2)求平面与平面夹角的余弦值． 18．（17分） 已知函数． (1)求曲线在点处的切线方程； (2)若函数，证明：当时，； (3)若对任意，恒成立，求的取值范围． 19．（17分） n阶拉丁方阵是一种的方阵，在这种的方阵里，恰有1到n这n个不同的正整数，每一个不同的正整数在同一行或同一列中只出现一次.例如，如图是一个3阶拉丁方阵. 1 2 3 2 3 1 3 1 2 (1)分别计算2阶和3阶拉丁方阵的个数. (2)求4阶拉丁方阵的个数，并证明：n阶拉丁方阵的个数是的倍数. (3)设A为的方阵，且1到n这n个不同的正整数恰好在A中各出现n次，记全体方阵A构成的集合为S，从S中任取一个方阵，记此方阵为n阶拉丁方阵的概率为.证明：. 参考公式：. / 学科网（北京）股份有限公司 $