第8章 函数应用（复习课件）数学苏教版2019必修第一册

该高中数学单元复习课件系统梳理了函数应用的核心知识，通过单元知识图将函数零点、二分法求近似解、函数模型应用三大模块串联，明确零点与方程根的联系、二分法的前提与步骤、不同函数模型的增长特征等内在逻辑，构建完整知识体系。 其亮点在于采用“考点串讲-题型剖析-分层训练”模式，如函数零点结合方程根与参数问题训练逻辑推理，二分法步骤强化数学思维，利润最大化等实际问题培养数学建模能力。针对训练覆盖基础到综合题，助力分层教学，帮助学生巩固知识，教师精准把握复习重点。

单元复习课件 第八章 函数应用 苏教版必修第一册·高一 学习内容导览 单元知识图谱 2 单元复习目标 1 3 考点串讲 针对训练 5 题型剖析 4 6 课堂总结 1.结合二次函数的图象，了解函数的零点与方程根的联系，能够判断一元二次方程根的存在性及根的个数.了解指对幂函数的增长特征，能够根据实际问题选择函数模型. 3.能够运用数形结合、分类讨论等数学思想，提升抽象概括、逻辑推理和数学应用能力. 2.掌握函数的零点的两类接替方法，掌握函数零点个数的求解方式.能够用零点存在定理找到零点所在区间，并掌握二分法求近似解的方法及步骤.理解函数增长的特征：直线上升、指数爆炸，对数增长. 单元学习目标 单元知识图谱 考点一 函数的零点 1.函数的零点 一般地，我们把使函数的值为 的实数称为函数的零点． 零 方程f (x) = 0有实数解 函数y=f (x) 有零点 函数y=f (x) 图象与x轴有交点 数 形 考点串讲 考点一 函数的零点 2.函数零点存在定理 如果函数y＝f(x)在区间[a，b]上的图象是一条连续不断的曲线，且有__________，则函数y＝f(x)在区间(a，b)上有零点. f(a)f(b)<0 前提条件： ①“在给定区间上连续”②“”两个条件缺一不可. 考点串讲 考点二 二分法求方程的近似解 1.二分法 对于在区间[a，b]上图象连续不断且 的函数y＝f(x)，通过不断地把它的零点所在区间 ，使所得区间的两个端点逐步逼近 ，进而得到零点近似值的方法叫做二分法. f(a)f(b)<0 一分为二 零点 前提条件： ①“在给定区间上连续”②“” 即以符合零点存在定理为前提.即函数存在变号零点. 考点串讲 考点二 二分法求方程的近似解 2.给定精确度ε ,二分法求函数的零点近似值的步骤 (1)确定零点 x0 的初始区间[a，b]，验证 (2)求区间(a，b)的中点 c (3)计算 ，并进一步确定零点所在的区间： ①若 ，则 c 就是函数的零点； ②若 (此时 x0∈(a，c))，则令 bc； ③若 (此时 x0∈(c，b))，则令 ac ． (4)判断是否达到精确度 ε：若 ，则得到零点近似值 a(或b)；否则重复步骤(2)~(4)． 选定初始区间 取区间的中点 中点函数值为0 得到新区间 新区间的长度 结束 选取区间内任意一个数 是 是 否 否 考点串讲 考点三 函数模型 1.函数模型的比较 (1)一次函数模型 一次函数模型的增长特点是直线上升，其增长速度不变. (2)指数函数模型 指数函数模型的增长特点是随着自变量的增大，函数值增大的速度越来越快，即增长速度急剧，形象地称为“指数爆炸”. (3)对数函数模型 对数函数模型的增长特点是随着自变量的增大，函数值增大的速度越来越慢，即增长速度平缓. (4)幂函数模型 当时，幂函数是增函数，且当时，越大其函数值的增长就越快. 考点串讲 2.函数的实际应用 考点三 函数模型 ①给定函数模型与拟合函数模型中求函数解析式主要使用 法. ②建立确定性的函数模型的基本步骤是审题，设量，表示条件，整理化简，标明定义域. ③所有的函数模型问题都应注意变量的实际意义对 的影响. 待定系数 定义域 考点串讲 考点三 函数模型 函数模型 函数解析式 一次函数模型 为常数，) 反比例函数模型 (为常数且) 二次函数模型 为常数， 指数型函数模型 为常数， 对数型函数模型 为常数，且 幂函数型模型 为常数， 3.几类已知函数模型 考点串讲 1.若不等式的解集为，则函数的零点为（    ） A．和 B．和 C．2和 D．和 题型一 函数的零点 D 解：∵的解集为， 所以方程的两根分别为和2，且， 则，解得， 故函数， 则与轴的交点坐标为和， 所以零点为和． 故选：D． 题型剖析 2.已知函数f(x)＝x＋2x，g(x)＝x＋ln x，的零点分别为x1，x2，则x1，x2的大小关系是__________. 题型一 函数的零点 x1＜x2 解：令，得； 令，得； 在同一平面直角坐标系内画出，的图象， 由图可知. 针对训练 3.已知是函数的一个零点，则（    ） A． B． C． D． B 题型一 函数的零点 解：函数在区间上单调递减，函数在区间上单调递减， 故函数在区间上单调递减， 又， ． 故选：B 针对训练 题型一 函数的零点 4.设函数f(x)是定义在R上的偶函数，且对任意的x∈R，都有f(x＋2)＝f(2－x)，当x∈[－2,0]时，，则关于x的方程f(x)－log8(x＋2)＝0在区间(－2,6)上根的个数为( ) A.1       B.2       C.3       D.4 解：对于任意的，都有 ∴函数是一个周期函数，且T＝4. 又∵当x∈[－2,0]时，，且函数f(x)是定义在R上的偶函数. 且f(6)＝1，则函数y＝f(x)与y＝log8(x＋2)在区间(－2,6)上的图象如图所示， 根据图象可得与在区间(－2,6)上有3个不同的交点，即在区间(－2,6)上有3个根. C 针对训练 题型一 函数的零点 5.已知函数有三个零点，则实数m的取值范围为（    ） A． B． C． D． 解：令，显然有且且， 于是有， 设，它的图象如图所示： 因此要想函数有三个零点， 只需， 故选：A A 针对训练 题型一 函数的零点 解：如图，当时，当时，， 在为增函数.若存在实数，使方程有三个不同的根， 则 ，解得 针对训练 7.已知函数，若方程有6个不等实根，则非零实数的取值范围为 ． 解：函数的图象如图，且， 由，可得或， 当时，有3个不等的实根， 又方程有6个不等实根， 则有3不等实根， 所以，解得． 故答案为：． 题型一 函数的零点 针对训练 题型二 二分法求方程的近似解 1.下列函数中不能用二分法求零点的是(　　)   解：二分法的应用前提：符合零点存在定理为前提.即函数存在变号零点. 观察图象与轴的交点，若交点附近的函数图象连续，且在交点两侧的函数值符号相异，则可用二分法求零点，而B不能用二分法求零点．故选B B 针对训练 2.已知函数在上有一个零点，用二分法求零点的近似值（精确度为0．1时，至少需要进行 次函数值的计算． 解：设对区间二等分次，初始区间长度为1， 第1次计算后区间长度为； 第2次计算后区间长度为； 第3次计算后区间长度为； 第4次计算后区间长度为； 故至少计算4次． 故答案为：4． 4 题型二 二分法求方程的近似解 针对训练 3.用二分法求函数的一个零点，根据参考数据，可得函数的一个零点的近似解（精确到0．1）为 ． （参考数据：，，，．） 解：由题意可知： ， ， 又因为函数在上连续， 所以函数在区间上有零点，约为． 故答案为： 1.8 题型二 二分法求方程的近似解 针对训练 题型二 二分法求方程的近似解 4.求函数的负零点的近似值(精确到0.1). 解：由于f(-2)=-1<0,f(-3)=4>0,故取区间[-3,-2]作为计算的初始区间.用二分法逐次计算,列表如下: 区间 中点的值 中点函数值(近似值) (-3,-2) -2.5 1.25 (-2.5,-2) -2.25 0.062 5 (-2.25,-2) -2.125 -0.484 4 (-2.25,-2.125) -2.187 5 -0.214 8 (-2.25,-2.187 5) -2.218 75 -0.077 1 由于|-2.25-(-2.187 5)|=0.062 5<0.1, 所以函数的一个近似负零点可取-2.25. 针对训练 题型二 二分法求方程的近似解 5.证明函数f(x)=2x+3x-6在区间(1,2)内有唯一一个零点,并求出这个零点(精确到0.1). 解：设函数f(x)=2x+3x-6.∵f(1)=-1<0,f(2)=4>0,∴f(x)在区间(1,2)内有零点. 又f(x)是增函数,∴函数f(x)=2x+3x-6在区间(1,2)内有唯一的零点. f(1.234 375)≈0.055 9>0,f(1.218 75)·f(1.234 375)<0,∴x0∈(1.218 75,1.234 375). ∵1.218 75与1.234 375精确到0.1的近似值都为1.2, ∴可取x0=1.2.则该函数的零点近似解可取1.2. 区间 中点的值 中点函数值(近似值) (1,2) 1.5 1.33 (1，1.5) 1.25 0.128 (1,1.25) 1.125 -0.44 (1.125,1.25) 1.187 5 -0.16 (1.187 5,1.25) 1.218 75 -0.016 (1.218 75,1.25) 1.234 375 0.0559 针对训练 题型三 函数模型的应用 A 针对训练 D 题型三 函数模型的应用 针对训练 3.某工厂生产甲、乙两种产品所得的利润分别为P和Q(万元)，事先根据相关资料得出它们与投入资金(万元)的数据分别如表和如图所示，其中已知甲的利润模型为，乙的利润模型为(为参数，且). (1)请根据如表与如图中数据，分别求出甲、乙两种产品所得的利润与投入资金(万元)的函数模型； (2)今将300万资金投入生产甲、乙两种产品，并要求对甲、乙两种产品的投入资金都不低于75万元.设对乙种产品投入资金m(万元)，并设总利润为y(万元)，如何分配投入资金，才能使总利润最大？并求出最大总利润. X 20 40 60 80 P 33 36 39 42 题型三 函数模型的应用 针对训练 题型三 函数模型的应用 针对训练 (2)根据题意，对乙种产品投资m(万元)，对甲种产品投资(300－m)(万元)， 所以当时，即时， 答：当甲产品投入200万元，乙产品投入100万元时，总利润最大为130万元. 题型三 函数模型的应用 针对训练 题型三 函数模型的应用 4.直播购物逐渐走进了人们的生活．某电商在抖音上对一款成本价为40元的小商品进行直播销售，如果按每件60元销售，每天可卖出20件．通过市场调查发现，每件小商品售价每降低5元，日销售量增加10件． （1）若日利润保持不变，商家想尽快销售完该商品，每件售价应定为多少元？ （2）每件售价定为多少元时，每天的销售利润最大？最大利润是多少？ 解：（1）设每件售价应定为元，则每件的销售利润为元， 日销售量为件， 依题意得：，整理得：， 解得：，（不合题意，舍去）． 答：每件售价应定为50元； 针对训练 题型三 函数模型的应用 4.直播购物逐渐走进了人们的生活．某电商在抖音上对一款成本价为40元的小商品进行直播销售，如果按每件60元销售，每天可卖出20件．通过市场调查发现，每件小商品售价每降低5元，日销售量增加10件． （1）若日利润保持不变，商家想尽快销售完该商品，每件售价应定为多少元？ （2）每件售价定为多少元时，每天的销售利润最大？最大利润是多少？ 解：（2）设每天的销售利润为元．依题意，得： 整理得：， 化成顶点式得， ∴当时．每天的销售利润最大，最大利润是450元． 针对训练 1.函数的零点 函数零点即方程的根，即函数图象与轴交点的横坐标 如何求解函数零点的个数 已知零点个数解参数 2.二分法求方程的近似值 二分法求应用的前提条件 二分法求近似解的步骤 3.函数的应用 函数模型的选取 课堂总结 感谢聆听! 6.已知函数f(x)＝其中m＞0.若存在实数b，使得关于x的方程f(x)＝b有三个不同的根，则m的取值范围是________. 解：由题意可知4<A，则 解得 2.据统计，一名工人组装第x件某产品所用的时间(单位：min)为f(x)＝(A，c为常数)．已知某工人组装第4件产品用时30 min，组装第A件产品用时15 min，那么c和A的值分别是(　　) A．75，25 B．75，16 C．60，25 D．60，16 解：(1)由甲表的数据结合模型P＝ax＋b代入两点(20，33)，(40，36)，有得a＝，b＝30，即P＝x＋30，x≥0. 由乙的数据图结合模型Q＝b＋axα代入三个点(0，40)，(36，58)，(100，70)，可得 令t＝，m∈[75，225]，故t∈[5，15]，则y＝－t2＋3t＋115＝－(t－10)2＋130， 那么总利润y＝(300－m)＋30＋40＋3＝－m＋3＋115. $