专题02 二次根式全章17大题型（期末复习专项训练）八年级数学上学期新教材沪教版五四制

专题02 二次根式 题型1 二次根式的识别 题型10 二次根式的乘除混合运算 题型2 二次根式有意义的条件 题型11 二次根式的加减运算 题型3 利用二次根式的性质化简（常考点） 题型12 二次根式的混合运算（常考点） 题型4 最简二次根式的判断 题型13 分母有理化（常考点） 题型5 化为最简二次根式（常考点） 题型14 已知字母的值，化简求值 题型6 同类二次根式（常考点） 题型15 已知条件式，化简求值（常考点） 题型7 二次根式的乘法 题型16 二次根式的应用（难点） 题型8 二次根式的除法 题型17 规律探究题（难点） 题型9 比较二次根式的大小 题型1 二次根式的识别（共5题） 1．（2025·上海·期中）下列各式一定是二次根式的是（    ） A． B． C． D． 2．下列式子一定是二次根式的是（ ） A． B． C． D． 3．下列各式一定是二次根式的是（     ） A． B． C． D． 4．下列式子中，是二次根式的是（    ） A． B． C． D． 5．下列各式一定属于二次根式的是（    ） A． B． C． D． 题型2 二次根式有意义的条件（共6题） 6．（2024·上海·中考真题）已知，则 ． 7．（2025·上海奉贤·期末）使有意义的的取值范围是 ． 8．（2025·上海崇明·期末）二次根式有意义的条件是： ． 9．如果等式成立，需要添加条件 ． 10．如果在实数范围内有意义，那么x的取值范围是 ． 11如果方程没有实数根，那么的取值范围是 ． 题型3 利用二次根式的性质化简（共7题） 12．（2025·上海·期末）已知，化简： ． 13．当时，化简 ． 14．化简： ． 15．计算： ． 16．（2025·上海徐汇·期末）若，则 ． 17．（2025·上海长宁·期末）化简：＝ ． 18．如果，那么等式成立的条件是 . 题型4 最简二次根式的判断（共5题） 19．下列二次根式中，是最简二次根式的是（   ） A． B． C． D． 20．（2025·上海浦东新·期末）下列代数式中，是最简二次根式的是（    ） A． B． C． D． 21．（2025·上海松江·期末）在下列二次根式中，最简二次根式是（    ） A． B． C． D． 22．下列各式不是最简二次根式的是(    ) A． B． C． D． 23．（2025·上海杨浦·期末）下列二次根式中，最简二次根式的是（   ） A． B． C． D． 题型5 化为最简二次根式（共3题） 24．下列各式中，能与合并的是（    ） A． B． C． D． 25．若最简二次根式与可以合并，则的值是（    ）． A． B． C． D． 26．化成最简二次根式后不能与合并的是（ ） A． B． C． D． 题型6 同类二次根式（共4题） 27．（2025·上海·期末）下列二次根式中与是同类二次根式是（   ） A． B． C． D． 28．（2025·上海·期末）下列各式中，与是同类二次根式的是（　　） A． B． C． D． 29．（2025·上海普陀·期末）下列二次根式中，与是同类二次根式的是（   ） A． B． C． D． 30．（2025·上海崇明·期末）下列各组二次根式中，不是同类二次根式的是（    ） A．和 B．和 C．和 D．和 题型7 二次根式的乘法（共4题） 31．（2025·上海松江·月考）对于任意的正数、定义运算，，计算的结果为 ． 32．（2024·上海长宁·期末）计算：． 33．． 34．计算：． 题型8 二次根式的除法（共6题） 35．（2025·上海松江·期末）计算： ． 36．（2025·上海浦东新·期中）计算： . 37．（2025·上海闵行·期中）不等式的解集为 ． 38．（2025·上海·期中）若，则“”内的运算符号为 （填“”“”“”“”）． 39．（2025·上海闵行·期中）如果成立，那么的取值范围是： ． 40．（2025·上海静安·期中）计算：． 题型9 比较二次根式的大小（共5题） 41．（2025·上海静安·期中）比大小： （填写“＞”、“=”、或“＜”）． 42．（2025·上海长宁·月考）比较大小： （请填、或）． 43．（2025·上海奉贤·期中）比较大小： （填“>”“<”或“=”） 44．（2025·上海·期中）比较大小：    (用“”、“”或“”填空)． 45．（2025·上海·期中）比较大小∶ ． 题型10 二次根式的乘除混合运算（共6题） 46．（2025·上海松江·期中）计算：． 47．计算：． 48．（2025·上海闵行·期中）计算：． 49．（2025·上海嘉定·期中）计算： 50．（2025·上海浦东新·期中）计算： 51．（2025·上海青浦·期中）计算： 题型11 二次根式的加减运算（共5题） 52．计算： ． 53．（2025·上海·期末）计算：． 54．（2025·上海青浦·期中）计算：． 55．（2025·上海闵行·期中）计算：． 56．（2025·上海杨浦·期中）化简： 题型12 二次根式的混合运算（共4题） 57．计算：． 58．（2025·上海松江·期末）计算：． 59．（2025·上海·期末）计算： 60．（2025·上海·期末）计算：． 题型13 分母有理化（共6题） 61．（2025·上海宝山·期中）的有理化因式是 ． 62．（2025·上海·期末）二次根式的有理化因式可以是 ． 63．（2025·上海·期末）化简： ． 64．（2025·上海宝山·期中）的倒数是 ． 65．（2025·上海浦东新·期中）不等式的解集是 ． 66．（2025·上海·期中）写出的有理化因式是 ． 题型14 已知字母的值，化简求值（共8题） 67．（2025·上海青浦·期中）已知，求的值． 68．（2025·上海闵行·期中）已知，求的值． 69．（2025·上海奉贤·期中）先化简再求值：，其中． 70．（2025·上海宝山·期中）先化简，再求值：，其中 71．（2025·上海·期中）先化简再求值∶，其中， 72．（2025·上海崇明·期中）先化简，再求值，已知，，求：的值． 73．（2025·上海金山·期中）先化简，再求值：，其中，． 74．（2025·上海浦东新·期中）先化简，再求值：，其中，． 题型15 已知条件式，化简求值（共4题） 75．（2025·四川宜宾·月考）已知、为实数，且，求的值为（    ） A．2 B．3 C．5 D．13 76．（2025·上海·期中）如果正数满足，那么的值是 ． 77．（2025·上海·期中）已知，判断和的正负并求的值． 78．（2025·上海闵行·期中）先化简，再求值：，其中是4的算术平方根，是的倒数． 题型16 二次根式的应用（共3题） 79．（2025·上海黄浦·期中）如图，长方形内有两个相邻的正方形，其面积分别为6和24，则图中阴影部分面积为 ． 80．（2025·上海闵行·期中）高空抛物是一种不文明的危险行为，据研究，从高处坠落的物体．其下落的时间（单位：）和下落高度（单位：）近似满足公式（不考虑阻力的影响）． (1)物体从的高空落到地面的时间为_________． (2)已知从高空坠落的物体所带能量（单位：）物体质量高度．一个质量为的鸡蛋经过落到地面，这个鸡蛋在下落过程中产生的能量有多大？会对无防护人体造成伤害吗？（注：伤害无防护人体只需要的能量） 81．（2025·上海黄浦·期中）高空抛物是一种不文明的行为，会带来很大的社会危害，即使是一个苹果从高处坠落也可能造成严重伤害． (1)研究表明，忽略空气阻力时，物体自由下落的落地所需时间（单位：）和高度（单位：）满足公式，其中．假设一个物体从的高处自由下落，如果忽略空气阻力，那么这个物体落到地面大约需要多少秒时间？（结果保留根号） (2)物体从高空自由落下时由于运动而具有能量，实验表明，当动能超过焦的物体有可能对无防护的人体造成伤害．已知物体从高空自由落下，物体落地时的动能（单位：焦）可以用物体质量（单位：）和初始位置的高度（单位：）近似表示．公式为，其中．假设从高度为的空中落下一个质量为的苹果，请问是否可能会对楼下的行人造成伤害（行人身高和空气阻力忽略不计）请通过计算说明理由． 题型17 规律探究题（共6题） 82．（2025·上海·月考）先观察下列等式，再回答问题： ①； ②； ③； … (1)请你利用上述规律计算（仿照上式写出过程）； (2)请你按照上面各等式反映的规律，写出一个用n（n为正整数）表示的等式__________； (3)请你利用发现的规律，计算： 83．（2025·上海·期中）阅读材料，回答下列问题： （一）已知a，b为非负实数，，，当且仅当“”时，等号成立．这个结论就是著名的“均值不等式”． （二）分数和分式有着很多的相似点，如类比分数的基本性质，我们得到了分式的基本性质．小学里，把分子比分母小的数叫真分数，类似的，我们把分子的次数小于分母的次数的分式称为真分式，反之，称为假分式．对于任何一个假分式都可以化为整式与真分式的和的形式，如； (1)在①，②，③，④这些分式中，属于假分式的是_____（填序号）： (2)已知，求代数式的值； (3)当为何值时，有最小值？求出该最小值． 84．（2025·上海闵行·期中）材料一：观察等式，其左边是两个含有二次根式的代数式相乘，而右边不含二次根式．像这样，两个含有二次根式的非零代数式相乘，如果它们的积不含有二次根式，那么就说这两个代数式互为有理化因式． 材料二：根式化简 ； ． 根据以上材料，请完成下列问题： (1)_________；（直接写出答案） (2)计算：；（直接写出答案） (3)计算：； (4)计算：． 85．（2025·上海奉贤·期中）【阅读】除了用分母有理化，我们还可以这样化简： ，我们把这样的化简方法叫作“二次根式的因式分解法”． 【完成任务】 (1)如果二次根式能用“二次根式的因式分解法”化简，请写出一个A的值，并将用“二次根式的因式分解法”进行化简； (2)用“二次根式的因式分解法”化简（其中、）． 86．（2025·上海虹口·期中）请阅读下列材料： 已知，求代数式的值． 小熙根据二次根式的性质及整体代入思想，给出了如下解法： 由，分母有理化得：． 但直接代入太繁琐，转而寻求整体关系： 由得，两边平方得， 得，则． 观察原代数式，注意到前两项可提取公因式： 代入，得． 因此，原式得值为2023． 请运用上述思想方法解决下列问题： (1)已知，求代数式的值； (2)已知，求代数式的值． 87．（2025·上海·期中）二次根式除法可以这样做：如果，像这样通过分子、分母同乘一个式子把分母中的根号化去或者把根号中的分母化去，叫做分母有理化．有下列结论： ①将式子进行分母有理化，可以对其分子、分母同时乘以； ②若a是的小数部分，则的值为 ③比较两个二次根式的大小： ④计算： 以上结论正确的是 ．（写出所有正确的序号） 2 / 47 1 / 47 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题02 二次根式 题型1 二次根式的识别 题型10 二次根式的乘除混合运算 题型2 二次根式有意义的条件 题型11 二次根式的加减运算 题型3 利用二次根式的性质化简（常考点） 题型12 二次根式的混合运算（常考点） 题型4 最简二次根式的判断 题型13 分母有理化（常考点） 题型5 化为最简二次根式（常考点） 题型14 已知字母的值，化简求值 题型6 同类二次根式（常考点） 题型15 已知条件式，化简求值（常考点） 题型7 二次根式的乘法 题型16 二次根式的应用（难点） 题型8 二次根式的除法 题型17 规律探究题（难点） 题型9 比较二次根式的大小 题型1 二次根式的识别（共5题） 1．（2025·上海·期中）下列各式一定是二次根式的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】二次根式的识别 【分析】本题考查二次根式的定义，根据二次根式的定义形如，这样的式子叫做二次根式，进行判断即可． 【详解】解：A、当时，不是二次根式，不符合题意； B、，不是二次根式，不符合题意； C、是二次根式，符合题意； D、是三次根式，不是二次根式，不符合题意； 故选C． 2．下列式子一定是二次根式的是（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】二次根式的识别 【分析】本题考查了二次根式的定义，形如的式子叫做二次根式，熟练掌握二次根式的定义是解题的关键． 根据二次根式的定义，被开方数必须非负,逐一分析各选项中被开方数的取值范围，判断其是否恒为非负数． 【详解】A、，被开方数为，显然为负数，在实数范围内无意义，故不是二次根式； B、，被开方数为，恒为正数，因此一定是二次根式； C、，被开方数为，当时有意义，但可能为负数（如），此时无意义，故不一定是二次根式； D、，被开方数为，需满足即，但可能为正数（如），此时无意义，故不一定是二次根式； 故选：B． 3．下列各式一定是二次根式的是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】二次根式的识别 【分析】本题考查了二次根式的识别，熟悉掌握二次根式的概念是解题的关键． 根据二次根式的概念逐一判断即可． 【详解】解：A：，为二次根式，故A正确； B：，二次根式被开方数为非负数，为负数，故B不符合题意； C：为5的立方根，故C不符合题意； D：为的立方根，故D不符合题意； 故选：A． 4．下列式子中，是二次根式的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】二次根式有意义的条件、二次根式的识别 【分析】本题主要考查了二次根式的定义，我们把形如其中的式子叫二次根式，解决本题的关键是根据二次根式的定义进行判断． 【详解】解：A．∵中的，∴二次根式无意义，∴不是二次根式，故A选项不符合题意； B．是二次根式，故B选项符合题意； C．不是二次根式，是三次根式，故C选项不符合题意； D．是分式不是二次根式，故D选项不符合题意． 故选： B． 5．下列各式一定属于二次根式的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】二次根式有意义的条件、二次根式的识别 【分析】本题考查二次根式的识别，熟练掌握二次根式的定义是解题的关键． 根据形如，这样的式子叫做二次根式，逐项进行判断即可． 【详解】解：A、因为，则无意义，不是二次根式，故此选项不符合题意； B、当时，则无意义，不是二次根式，故此选项不符合题意； C、因为，故是二次根式，故此选项符合题意； D、当时，则，无意义，不是二次根式，故此选项不符合题意； 故选：C． 题型2 二次根式有意义的条件（共6题） 6．（2024·上海·中考真题）已知，则 ． 【答案】1 【知识点】解一元一次方程（一）——合并同类项与移项、二次根式有意义的条件 【分析】本题主要考查了二次根式有意义的条件，掌握二次根式中的被开方数是非负数是解题的关键．由二次根式被开方数大于0可知，则可得出，求出x即可． 【详解】解：根据题意可知：， ∴， 解得：， 故答案为：1． 7．（2025·上海奉贤·期末）使有意义的的取值范围是 ． 【答案】 【知识点】二次根式有意义的条件、求一元一次不等式的解集 【分析】本题考查了二次根式有意义的条件，解题关键是理解二次根式有意义的条件：被开方数非负．根据二次根式有意义的条件可得关于的不等式，求解即可获得答案． 【详解】解：若有意义， 则有，解得． 故答案为：． 8．（2025·上海崇明·期末）二次根式有意义的条件是： ． 【答案】 【知识点】二次根式有意义的条件、求一元一次不等式的解集 【分析】本题考查了二次根式有意义的条件，根据二次根式的被开放数为非负数可得，计算即可得解，熟练掌握二次根式有意义的条件是解此题的关键． 【详解】解：根据题意可得：， 解得：， 故答案为：． 9．如果等式成立，需要添加条件 ． 【答案】 【知识点】二次根式有意义的条件 【分析】本题考查了二次根式有意义的条件，根据被开方数列不等式组即可求解，掌握二次根式有意义的条件是解题的关键． 【详解】解：根据题意可得，， 解得， 故答案为：． 10．如果在实数范围内有意义，那么x的取值范围是 ． 【答案】 【知识点】二次根式有意义的条件、分式有意义的条件 【分析】本题考查了二次根式有意义：被开方数为非负数以及分母不为0，据此即可列式计算作答． 【详解】解：∵在实数范围内有意义 ∴， 解得 故答案为： 11如果方程没有实数根，那么的取值范围是 ． 【答案】/ 【知识点】高次方程和无理方程、二次根式有意义的条件 【分析】根据二次根式的非负性得出，再求出的范围即可． 【详解】解：方程没有实数根， ， 解得：， 故答案为：． 【点睛】本题考查了解无理方程，能熟记具有非负性是解此题的关键． 题型3 利用二次根式的性质化简（共7题） 12．（2025·上海·期末）已知，化简： ． 【答案】 【知识点】利用二次根式的性质化简 【分析】本题考查二次根式的性质，根据二次函数的性质，进行化简即可． 【详解】解：∵， ∴； 故答案为：． 13．当时，化简 ． 【答案】/ 【知识点】利用二次根式的性质化简 【分析】根据二次根式的性质即可求出答案． 【详解】解：∵， ∴， 故答案为：． 【点睛】本题考查二次根式的性质与化简，解题的关键是正确理解二次根式的性质． 14．化简： ． 【答案】/ 【知识点】利用二次根式的性质化简 【分析】本题考查的是二次根式的化简．根据题意知，然后根据平方根的性质化简． 【详解】解：由知，， ∴， ∴． 故答案为：． 15．计算： ． 【答案】 【知识点】利用二次根式的性质化简 【分析】此题考查二次根式的性质与化简，根据二次根式性质化简即可求解，解题关键在于掌握运算法则． 【详解】解：， 故答案为：． 16．（2025·上海徐汇·期末）若，则 ． 【答案】/ 【知识点】利用二次根式的性质化简 【分析】本题考查的是二次根式的性质与化简，掌握二次根式的性质：是解题的关键． 【详解】解：∵， ∴， 则， 故答案为：． 17．（2025·上海长宁·期末）化简：＝ ． 【答案】 【知识点】利用二次根式的性质化简 【分析】本题考查二次根式的化简，解题的关键是利用分母有理化和二次根式的性质进行化简． 先将被开方数的分子分母同乘分母进行分母有理化，再根据二次根式性质化简． 【详解】解：∵， ∴，， ∴， 故答案为：． 18．如果，那么等式成立的条件是 . 【答案】/ 【知识点】求一元一次不等式的解集、利用二次根式的性质化简 【分析】本题主要考查了二次根式的性质，求不等式组的解集，解题的关键是根据二次根式的性质得出，，再求解即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴等式成立的条件是：， 故答案为：． 题型4 最简二次根式的判断（共5题） 19．下列二次根式中，是最简二次根式的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】最简二次根式的判断、化为最简二次根式 【分析】本题考查了二次根式的化简，最简二次根式的定义，熟练掌握二次根式的性质是解题的关键．根据最简二次根式的定义判断即可． 【详解】解：A．，不是最简二次根式，不符合题意； B．，不是最简二次根式，不符合题意； C．，被开方数为多项式，无法分解成含完全平方的因式，是最简二次根式，符合题意， D．不是最简二次根式，不符合题意． 故选：C． 20．（2025·上海浦东新·期末）下列代数式中，是最简二次根式的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】最简二次根式的判断 【分析】根据最简二次根式的定义判断即可． 本题考查了最简二次根式，熟练掌握定义是解题的关键． 【详解】A. ，不符合题意； B. ，不是二次根式，不符合题意；     C. ，符合题意；     D. ，不符合题意； 故选：Ｃ． 21．（2025·上海松江·期末）在下列二次根式中，最简二次根式是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】最简二次根式的判断、化为最简二次根式 【分析】本题主要考查了最简二次根式的定义，被开方数不含能开得尽的因数或因式，且开方数不含分母，这样的二次根式叫做最简二次根式，据此可得答案． 【详解】解：A、被开方数含有分母，不是最简二次根式，不符合题意； B、是最简二次函数，符合题意； C、被开方数含有开得尽方的因式，不是最简二次根式，不符合题意； D、被开方数含有开得尽方的因数，不是最简二次根式，不符合题意； 故选：B． 22．下列各式不是最简二次根式的是(    ) A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】最简二次根式的判断 【详解】解：A、是最简二次根式； B、是最简二次根式； C、是最简二次根式； D、不是最简二次根式； 故选：D 23．（2025·上海杨浦·期末）下列二次根式中，最简二次根式的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】最简二次根式的判断 【分析】本题考查最简二次根式的定义，最简二次根式必须满足两个条件：被开方数不含分母，被开方数不含能开得尽方的因数或因式，熟练掌握最简二次根式的定义是解答本题的关键．根据最简二次根式的定义解答即可． 【详解】解：A、是最简二次根式，故A选项符合题意； B、，被开方数含有能开得尽的因式，不是最简二次根式，故B选项不符合题意； C、，被开方数含有分母，不是最简二次根式，故C选项不符合题意； D、，被开方数含有分母，不是最简二次根式，故D选项不符合题意； 故选：A． 题型5 化为最简二次根式（共3题） 24．下列各式中，能与合并的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】化为最简二次根式、同类二次根式 【分析】本题考查了同类二次根式，利用二次根式的性质进行化简． 要判断二次根式能否合并，需满足被开方数相同．将各选项化简后，观察是否与的被开方数一致． 【详解】解： 选项A：，被开方数为，与的被开方数不同，无法合并． 选项B：，被开方数为，与的被开方数不同，无法合并． 选项C：，化简为，与的被开方数均为，是同类二次根式，可以合并． 选项D：，被开方数为，与的被开方数不同，无法合并． 故选C． 25．若最简二次根式与可以合并，则的值是（    ）． A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】化为最简二次根式、同类二次根式 【分析】本题考查同类二次根式，化简二次根式，由最简二次根式与可以合并，可知与是同类二次根式，由此求出m的值，代入计算即可． 【详解】解：由题意知与是同类二次根式， ， 解得， ， 故选B． 26．化成最简二次根式后不能与合并的是（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】化为最简二次根式、同类二次根式 【分析】本题主要考查了同类二次根式的定义，化简二次根式，先化简四个选项中的二次根式，再根据被开方数相同的两个最简二次根式叫做同类二次根式进行求解即可． 【详解】解：A、，其二次根式部分与是同类二次根式，不符合题意； B、，其二次根式部分与是同类二次根式，不符合题意； C、，其二次根式部分与是同类二次根式，不符合题意； D、与不是同类二次根式，符合题意； 故选：D． 题型6 同类二次根式（共4题） 27．（2025·上海·期末）下列二次根式中与是同类二次根式是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】同类二次根式 【分析】本题考查同类二次根式，根据被开方数相同的最简二次根式，叫做同类二次根式，进行判断即可． 【详解】解：A、，与不是同类二次根式，不符合题意； B、，与是同类二次根式，符合题意； C、，与不是同类二次根式，不符合题意； D、，与不是同类二次根式，不符合题意； 故选B． 28．（2025·上海·期末）下列各式中，与是同类二次根式的是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】利用二次根式的性质化简、同类二次根式 【分析】本题主要考查了同类二次根式，利用二次根式的性质化简等知识点，熟练掌握同类二次根式的定义是解题的关键：把几个二次根式化为最简二次根式后，如果它们的被开方数相同，那么这几个二次根式叫做同类二次根式．利用二次根式的性质把各个二次根式化简，再根据同类二次根式的定义判断即可． 【详解】解：A. 与不是同类二次根式，故选项不符合题意； B. ，与不是同类二次根式，故选项不符合题意； C. ，与是同类二次根式，故选项符合题意； D. ，与不是同类二次根式，故选项不符合题意； 故选：． 29．（2025·上海普陀·期末）下列二次根式中，与是同类二次根式的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】利用二次根式的性质化简、同类二次根式 【分析】本题考查同类二次根式，根据被开方数相同的最简二次根式为同类二次根式进行判断即可． 【详解】解：A、，与不是同类二次根式，不符合题意； B、，与不是同类二次根式，不符合题意； C、，与是同类二次根式，符合题意； D、，与不是同类二次根式，不符合题意； 故选C． 30．（2025·上海崇明·期末）下列各组二次根式中，不是同类二次根式的是（    ） A．和 B．和 C．和 D．和 【答案】C 【知识点】利用二次根式的性质化简、同类二次根式 【分析】本题主要考查了同类二次根式的定义：将二次根式化成最简二次根式后，被开方数相同，这样的二次根式叫做同类二次根式．先利用二次根式化简各数，再根据同类二次根式的定义逐项判断即可解答． 【详解】解：A．与的被开方数相同，所以两数是同类二次根式，故本选项不符合题意； B．与的被开方数相同，所以它们是同类二次根式，故本选项不符合题意； C．与的被开方数不同，所以它们不是同类二次根式，故本选项符合题意； D．与的被开方数相同，所以它们是同类二次根式，故本选项不符合题意； 故选：C． 题型7 二次根式的乘法（共4题） 31．（2025·上海松江·月考）对于任意的正数、定义运算，，计算的结果为 ． 【答案】 【知识点】新定义下的实数运算、利用二次根式的性质化简、二次根式的乘法 【分析】本题考查了新定义运算，二次根式的混合运算．根据新定义运算得到、的结果，再相乘即可． 【详解】∵， ∴，， ∴． 故答案为：． 32．（2024·上海长宁·期末）计算：． 【答案】 【知识点】二次根式的乘法、二次根式的混合运算 【分析】本题考查了二次根式的混合运算，掌握运算法则以及性质是解题的关键．根据二次根式的乘法法则以及二次根式的性质计算乘法和分母有理化，再进行加减运算即可． 【详解】解： ． 33．． 【答案】． 【知识点】二次根式的乘法、分母有理化 【分析】此题考查了二次根式的乘法运算，根据法则计算即可，解题的关键是熟练掌握运算法则的应用． 【详解】解：原式， ， ， ． 34．计算：． 【答案】 【知识点】分母有理化、二次根式的混合运算、二次根式的乘法 【分析】本题考查了二次根式的混合运算，熟练掌握二次根式的性质、二次根式的乘法和分母有理化是解决问题的关键． 先根据二次根式的乘法和分母有理化的方法运算，然后化简后合并即可． 【详解】解： ． 题型8 二次根式的除法（共6题） 35．（2025·上海松江·期末）计算： ． 【答案】 【知识点】二次根式的除法 【分析】本题考查了二次根式的除法运算，根据二次根式的除法运算法则进行计算即可求解． 【详解】解： 故答案为：． 36．（2025·上海浦东新·期中）计算： . 【答案】 【知识点】利用二次根式的性质化简、二次根式的除法 【分析】本题主要考查二次根式的除法运算及二次根式的性质，熟练掌握二次根式的除法运算及二次根式的性质是解题的关键；将根式的除法运算转化为乘法，利用二次根式的性质进行简化即可． 【详解】解：； 故答案为：． 37．（2025·上海闵行·期中）不等式的解集为 ． 【答案】 【知识点】二次根式的除法、求一元一次不等式的解集 【分析】本题考查解一元一次不等式以及二次根式的运算，熟练掌握运算法则是解题关键； 先通过移项，然后系数化为1，求解不等式，并简化表达式． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∵， ∴不等式的解集为：． 38．（2025·上海·期中）若，则“”内的运算符号为 （填“”“”“”“”）． 【答案】 【知识点】二次根式的乘法、二次根式的除法、二次根式的加减运算 【分析】本题考查了二次根式的乘法，根据二次根式的乘法法则计算即可得解，熟练掌握运算法则是解此题的关键．分别计算与进行加、减、乘、除运算的结果，与比较，判断等式成立的运算符号． 【详解】加法：不是同类二次根式，不能合并，且数值不相等． 减法：不是同类二次根式，不能合并，且数值不相等． 乘法：，等式成立． 除法：，等式不成立． 故答案为：×． 39．（2025·上海闵行·期中）如果成立，那么的取值范围是： ． 【答案】/ 【知识点】二次根式有意义的条件、二次根式的除法、求不等式组的解集 【分析】本题考查了二次根式的定义，解一元一次不等式组，根据二次根式的定义，被开方数必须非负，且分母不能为零，得出，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． 【详解】解：由题意可得：， 故， ∴的取值范围是， 故答案为：． 40．（2025·上海静安·期中）计算：． 【答案】 【知识点】二次根式的除法、分母有理化 【分析】本题考查了二次根式的除法运算，分母有理化，正确掌握相关性质内容是解题的关键．先运算除法，再进行分母有理化，最后化简，即可作答． 【详解】解： ． 题型9 比较二次根式的大小（共5题） 41．（2025·上海静安·期中）比大小： （填写“＞”、“=”、或“＜”）． 【答案】 【知识点】比较二次根式的大小 【分析】本题考查了二次根式的大小比较，对于带根号的无理数的大小比较，可以利用平方法先转化为有理数的大小比较． 通过比较两数的平方值，根据平方后的大小关系推断原数的大小即可． 【详解】解：∵ ，，且， ∴ ． 故答案为． 42．（2025·上海长宁·月考）比较大小： （请填、或）． 【答案】 【知识点】实数的大小比较、比较二次根式的大小 【分析】本题考查了实数的大小比较，熟练掌握平方运算比较大小是解题的关键． 将两数分别平方后，再比较大小即可． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴． 故答案为： ． 43．（2025·上海奉贤·期中）比较大小： （填“>”“<”或“=”） 【答案】> 【知识点】利用二次根式的性质化简、比较二次根式的大小 【分析】本题考查了比较二次根式的大小．先整理，根据，得，则，即可作答． 【详解】解：依题意，， ∵， ∴， ∴， 即， 故答案为：>． 44．（2025·上海·期中）比较大小：    (用“”、“”或“”填空)． 【答案】 【知识点】二次根式的加减运算、比较二次根式的大小 【分析】本题考查了二次根式的大小比较．通过计算两数的差，根据差的符号判断大小关系，即可求解． 【详解】解：， 由于，所以， 因此 ， 故 ． 故答案为：． 45．（2025·上海·期中）比较大小∶ ． 【答案】 【知识点】二次根式的混合运算、比较二次根式的大小 【分析】本题考查二次根式比较大小，通过计算两个表达式的差值，并判断差值的正负来比较大小即可． 【详解】解：， ∵， ∴， ∴， ∴； 故答案为：． 题型10 二次根式的乘除混合运算（共6题） 46．（2025·上海松江·期中）计算：． 【答案】 【知识点】利用二次根式的性质化简、二次根式的乘除混合运算 【分析】本题考查了二次根式的乘除运算，根据二次根式的乘除运算法则、二次根式的性质计算即可． 【详解】解：原式 ． 47．计算：． 【答案】 【知识点】分母有理化、二次根式的乘除混合运算 【分析】本题考查了二次根式的混合运算、分母有理化，根据二次根式的混合运算法则进行计算即可得出答案，熟练掌握二次根式的混合运算法则是解此题的关键． 【详解】解： ． 48．（2025·上海闵行·期中）计算：． 【答案】 【知识点】二次根式的乘除混合运算 【分析】本题考查二次根式的运算，熟练掌握二次根式的运算法则是解题的关键． 先将根号下的小数化为分数，再将除法转化为乘法，最后计算根号内的乘法即可． 【详解】解： ． 49．（2025·上海嘉定·期中）计算： 【答案】 【知识点】二次根式的乘除混合运算 【分析】本题主要考查二次根式乘除法，根据二次根式乘除法运算法则进行计算即可． 【详解】解： ． 50．（2025·上海浦东新·期中）计算： 【答案】 【知识点】利用二次根式的性质化简、二次根式的乘除混合运算 【分析】本题主要考查了二次根式的乘除混合运算，熟练掌握二次根式的化简方法和乘除运算法则是解题的关键． 先将各项根式化为最简形式，再根据二次根式的乘除运算法则，从左到右依次进行计算． 【详解】解： ． 51．（2025·上海青浦·期中）计算： 【答案】 【知识点】二次根式的乘除混合运算、二次根式的混合运算 【分析】本题考查二次根式的混合运算．掌握二次根式的混合运算法则是解题关键． 根据二次根式的混合运算法则计算即可． 【详解】解：原式 . 题型11 二次根式的加减运算（共5题） 52．计算： ． 【答案】/ 【知识点】二次根式的加减运算 【分析】本题考查了二次根式的运算，熟练掌握二次根式运算法则是解本题的关键； 直接利用二次根式运算法则进行计算即可． 【详解】解：原式 ， 故答案为：． 53．（2025·上海·期末）计算：． 【答案】 【知识点】二次根式的加减运算 【分析】本题考查二次根式的加减运算，先化简各式，再合并同类二次根式即可． 【详解】解：原式 ． 54．（2025·上海青浦·期中）计算：． 【答案】 【知识点】二次根式的加减运算 【分析】根据二次根式的性质，二次根式的加减解答即可． 本题考查了二次根式的性质，加减运算，熟练掌握运算是解题的关键． 【详解】解： ． 55．（2025·上海闵行·期中）计算：． 【答案】 【知识点】求一个数的立方根、二次根式的加减运算 【分析】本题考查了二次根式的加减运算，求一个数的立方根；先根据二次根式的性质和立方根的定义化简，再合并同类二次根式，即可求解． 【详解】解： 56．（2025·上海杨浦·期中）化简： 【答案】 【知识点】利用二次根式的性质化简、二次根式的加减运算 【分析】本题考查了二次根式的化简，判断出字母的符号是解决本题的关键． 根据算术平方根的定义判断出a和b的符号，再进行化简即可． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴a和b同号， ∴， ∵要使和有意义， ∴，， ∴，， ∴ ． 题型12 二次根式的混合运算（共4题） 57．计算：． 【答案】 【知识点】利用二次根式的性质化简、二次根式的混合运算 【分析】本题考查了二次根式的混合运算，二次根式的性质，先根据二次根式的性质化简，再运算乘除，最后运算加减，即可作答． 【详解】解： ． 58．（2025·上海松江·期末）计算：． 【答案】 【知识点】二次根式的混合运算 【分析】本题主要考查二次根式的运算，根据二次根式的运算法则即可求解． 【详解】解： 59．（2025·上海·期末）计算： 【答案】 【知识点】二次根式的混合运算 【分析】本题考查了二次根式的混合运算，熟练掌握二次根式的运算法则是解题关键．先化简二次根式，再计算括号内的二次根式的加减法，然后计算二次根式的除法与乘法即可得． 【详解】解： ． 60．（2025·上海·期末）计算：． 【答案】 【知识点】二次根式的混合运算、分母有理化 【分析】本题考查二次根式的混合运算，熟练掌握二次根式的混合运算法则并正确求解是解答的关键．先计算二次根式的乘法和分母有理化，再加减求解即可． 【详解】解： ． 题型13 分母有理化（共6题） 61．（2025·上海宝山·期中）的有理化因式是 ． 【答案】/ 【知识点】分母有理化 【分析】本题考查了有理化因式，如果两个含有二次根式的非零代数式相乘，它们的积不含有二次根式，就说这两个非零代数式互为有理化因式． 根据有理化因式的定义：两个根式相乘的积不含根号即可解答． 【详解】解：∵， ∴的有理化因式为． 故答案为：． 62．（2025·上海·期末）二次根式的有理化因式可以是 ． 【答案】/ 【知识点】分母有理化 【分析】本题考查二次根式的运算，掌握二次根式运算法则是解题的关键． 根据分母有理化因式的特征进行解答即可． 【详解】解：， ∴二次根式的有理化因式可以是， 故答案为： 63．（2025·上海·期末）化简： ． 【答案】 【知识点】分母有理化 【分析】本题考查了二次根式的分母有理化，熟练掌握二次根式的运算法则是解题关键．分母分子同乘以，计算二次根式的乘法即可得． 【详解】解：原式 ， 故答案为：． 64．（2025·上海宝山·期中）的倒数是 ． 【答案】 【知识点】分母有理化 【分析】本题主要考查分母有理化，原式通过分母有理化进行化简即可． 【详解】解：的倒数为， 故答案为：． 65．（2025·上海浦东新·期中）不等式的解集是 ． 【答案】 【知识点】分母有理化、求一元一次不等式的解集 【分析】本题考查解一元一次不等式，熟练掌握一元一次不等式的解法是解题的关键． 通过移项、合并同类项后，由于系数为负数，需改变不等号方向，并有理化分母即可． 【详解】解：移项得， 合并同类项得， 由于，除以负数时不等号方向改变， 得， 有理化分母：， 故解集为：． 66．（2025·上海·期中）写出的有理化因式是 ． 【答案】 【知识点】分母有理化 【分析】本题考查了分母有理化，掌握有理化因式的定义是解题的关键．利用平方差公式解答即可求解． 【详解】解：∵ ， ∴分母 的有理化因式为， 即 的有理化因式为， 故答案为：． 题型14 已知字母的值，化简求值（共8题） 67．（2025·上海青浦·期中）已知，求的值． 【答案】 【知识点】运用完全平方公式进行运算、分式的求值、分母有理化 【分析】本题考查了分母有理化，完全平方公式，分式的求值，先对进行分母有理化，得到，再利用完全平方公式把原式转化为，然后代入计算即可求解，正确计算是解题的关键． 【详解】解：∵， ∴ ∴原式 ． 68．（2025·上海闵行·期中）已知，求的值． 【答案】 【知识点】分母有理化、已知字母的值，化简求值 【分析】本题考查二次根式的化简求值，熟练掌握化简二次根式的方法是解题的关键． 先对进行分母有理化得，再利用完全平方公式化简，将的值代入所求的化简后的式子，进行计算求解即可． 【详解】解：对进行分母有理化得： 所求表达式化简得：， 由于，则 因此． 答：的值为：． 69．（2025·上海奉贤·期中）先化简再求值：，其中． 【答案】， 【知识点】分母有理化、已知字母的值，化简求值 【分析】本题考查了二次根式的性质化简，分母有理化，已知字母的值求代数式的值．正确掌握相关性质内容是解题的关键．先整理得，则，化简，再把代入进行计算，即可作答． 【详解】解：依题意，， 则， ； 把代入， 得． 70．（2025·上海宝山·期中）先化简，再求值：，其中 【答案】 ， 【知识点】分式化简求值、利用二次根式的性质化简、分母有理化 【分析】结合二次根式的性质完成分式的化简，再将代入即可求解． 【详解】解：∵， ∴， ， ， ， ； ， 原式， ， ． 【点睛】本题考查的知识点是分式的化简求值、分母有理化、二次根式的性质，解题关键是熟练掌握分式的化简求值． 71．（2025·上海·期中）先化简再求值∶，其中， 【答案】， 【知识点】分式化简求值、利用二次根式的性质化简、已知字母的值，化简求值 【分析】本题考查二次根式的化简求值，分式的化简求值，熟练掌握二次根式的性质与分式的性质是解题的关键． 先化简得，则，再化简，然后把代入化简式计算即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴ ， 当时，原式． 72．（2025·上海崇明·期中）先化简，再求值，已知，，求：的值． 【答案】4 【知识点】分母有理化、已知字母的值，化简求值 【分析】本题主要考查了二次根式的化简求值，分母有理化， 先分母有理化求出x，y，再因式分解代入求值即可． 【详解】解：，， ∴． 73．（2025·上海金山·期中）先化简，再求值：，其中，． 【答案】0，0 【知识点】分式化简求值、二次根式的混合运算、分母有理化 【分析】本题考查了分母有理化，分式化简求值，先把整理得，以及把整理得，再运算，即可作答． 【详解】解：， ， 则， 当，时，则． 74．（2025·上海浦东新·期中）先化简，再求值：，其中，． 【答案】， 【知识点】已知字母的值，化简求值 【分析】本题考查了二次根式的化简求值，解题关键是利用乘法公式化简． 先利用平方差公式、完全平方公式进行约分，然后合并同类二次根式，再代入求解． 【详解】解：原式 ， 当，时，原式． 题型15 已知条件式，化简求值（共4题） 75．（2025·四川宜宾·月考）已知、为实数，且，求的值为（    ） A．2 B．3 C．5 D．13 【答案】C 【知识点】二次根式有意义的条件、已知条件式，化简求值 【分析】本题考查了二次根式有意义的条件，求代数式的值，先根据二次根式有意义的条件求出，从而可得，再代入所求式子计算即可得解，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． 【详解】解：由题意可得：，， 解得：， ∴ ， ∴， 故选：C． 76．（2025·上海·期中）如果正数满足，那么的值是 ． 【答案】 【知识点】分式化简求值、已知条件式，化简求值 【分析】本题主要考查了二次根式的混合运算，熟练掌握运算法则的关键． 由 可得 ，然后求出的平方即可求解． 【详解】解：由 ，可得 ， ∵，, ∴． 故答案为：． 77．（2025·上海·期中）已知，判断和的正负并求的值． 【答案】和都为负数，5 【知识点】利用二次根式的性质化简、已知条件式，化简求值 【分析】根据，可判定和同号且同为负，后根据二次根式的性质，结合已知，化简求值即可． 本题考查了二次根式的化简求值，实数的和，积运算，熟练掌握化简求值的基本思路是解题的关键． 【详解】解：根据题意，， 故和同号且同为负， 故 ． 78．（2025·上海闵行·期中）先化简，再求值：，其中是4的算术平方根，是的倒数． 【答案】， 【知识点】利用二次根式的性质化简、已知条件式，化简求值 【分析】本题重点考查了二次根式的混合运算，化简求值，二次根式的混合运算顺序与实数的混合运算顺序一样，先乘方、再乘除，最后加减，有括号的先算括号里的(或先去掉括号)，同时本题还运用到了平方差公式和完全平方差公式，熟练掌握二次根式混合运算顺序以及平方差和完全平方差公式是本题求解的关键． 先将左边括号的代数式构造平方差公式和完全平方差公式，约掉相同的公因式，并相加减得左边括号代数式，右边括号代数式通分，再约掉相同的公因式，最终得到化简后的代数式。代入的值，即可完成求解． 【详解】解：由题意知，， 原式 ， 将，代入得， 原式 题型16 二次根式的应用（共3题） 79．（2025·上海黄浦·期中）如图，长方形内有两个相邻的正方形，其面积分别为6和24，则图中阴影部分面积为 ． 【答案】6 【知识点】算术平方根的实际应用、二次根式的应用 【分析】本题考查二次根式的混合运算和正方形，长方形的面积．熟练掌握正方形，长方形的面积公式，二次根式的性质，二次根式的混合运算顺序和法则，是解决本题的关键． 根据图形可以求得图中两个小正方形的边长，本题得以解决． 【详解】解：设两个正方形的边长分别是x、y（）， 则． ∴． ∴阴影部分的面积是． 故答案为：6． 80．（2025·上海闵行·期中）高空抛物是一种不文明的危险行为，据研究，从高处坠落的物体．其下落的时间（单位：）和下落高度（单位：）近似满足公式（不考虑阻力的影响）． (1)物体从的高空落到地面的时间为_________． (2)已知从高空坠落的物体所带能量（单位：）物体质量高度．一个质量为的鸡蛋经过落到地面，这个鸡蛋在下落过程中产生的能量有多大？会对无防护人体造成伤害吗？（注：伤害无防护人体只需要的能量） 【答案】(1)2 (2) 能量为，会对无防护人体造成伤害 【知识点】二次根式的应用 【分析】本题考查了二次根式的计算，熟练掌握二次根式的计算法则是解题的关键． （1）根据公式，代入计算即可． （2）先根据公式，求得高度，再根据公式物体质量×高度，计算能量即可． 【详解】（1）∵，， ∴． 故答案为：2； （2）∵，, ∴， ∴， ∴，而 ∴， 故，会对无防护人体造成伤害． 81．（2025·上海黄浦·期中）高空抛物是一种不文明的行为，会带来很大的社会危害，即使是一个苹果从高处坠落也可能造成严重伤害． (1)研究表明，忽略空气阻力时，物体自由下落的落地所需时间（单位：）和高度（单位：）满足公式，其中．假设一个物体从的高处自由下落，如果忽略空气阻力，那么这个物体落到地面大约需要多少秒时间？（结果保留根号） (2)物体从高空自由落下时由于运动而具有能量，实验表明，当动能超过焦的物体有可能对无防护的人体造成伤害．已知物体从高空自由落下，物体落地时的动能（单位：焦）可以用物体质量（单位：）和初始位置的高度（单位：）近似表示．公式为，其中．假设从高度为的空中落下一个质量为的苹果，请问是否可能会对楼下的行人造成伤害（行人身高和空气阻力忽略不计）请通过计算说明理由． 【答案】(1) (2)可能造成伤害，理由如下 【知识点】已知字母的值 ，求代数式的值、二次根式的应用 【分析】本题考查二次根式的实际应用，通过具体情境考查二次根式，读懂题意，理解题中现实情境相关的公式，正确运算代入求值是解决本题的关键．． （1）先根据已知条件求出h的值，再代入公式即可得时间； （2）根据公式，代入计算公式求出这个苹果产生的动能，即可判断． 【详解】（1）解∶ 物体从的高处自由下落， ． 故答案为∶； （2）解∶ 可能造成伤害，理由如下∶ ，，， （焦）焦 答：可能会对楼下的行人造成伤害． 题型17 规律探究题（共6题） 82．（2025·上海·月考）先观察下列等式，再回答问题： ①； ②； ③； … (1)请你利用上述规律计算（仿照上式写出过程）； (2)请你按照上面各等式反映的规律，写出一个用n（n为正整数）表示的等式__________； (3)请你利用发现的规律，计算： 【答案】(1)见解析 (2) (3) 【知识点】利用二次根式的性质化简、与实数运算相关的规律题 【分析】考查了二次根式的性质与化简，此题是一个阅读题目，通过阅读找出题目隐含条件．总结：找规律的题，都要通过仔细观察找出和数之间的关系，并用关系式表示出来． （1）从三个式子中可以发现，第一个加数都是1，第二个加数是个分数，设分母为n，第三个分数的分母就是，结果是一个带分数，整数部分是1，分数部分的分子也是1，分母是前项分数的分母的积．由此可求解即可； （2）根据（1）找的规律进行计算即可； （3）根据规律把所求式子先化简二次根式，最后计算期间即可； 【详解】（1）解：由题意得，； （2）解：由题意得， （3）解： ． 83．（2025·上海·期中）阅读材料，回答下列问题： （一）已知a，b为非负实数，，，当且仅当“”时，等号成立．这个结论就是著名的“均值不等式”． （二）分数和分式有着很多的相似点，如类比分数的基本性质，我们得到了分式的基本性质．小学里，把分子比分母小的数叫真分数，类似的，我们把分子的次数小于分母的次数的分式称为真分式，反之，称为假分式．对于任何一个假分式都可以化为整式与真分式的和的形式，如； (1)在①，②，③，④这些分式中，属于假分式的是_____（填序号）： (2)已知，求代数式的值； (3)当为何值时，有最小值？求出该最小值． 【答案】(1)②④ (2) (3)当 时，最小值为3 【知识点】分式的判断、分式的求值、二次根式的应用 【分析】本题为新定义问题，考查了分式的计算，二次根式的变形，完全平方公式的应用等知识，理解题目中的相关材料，并根据题意灵活应用是解题关键． （1）根据真分式、假分式的定义逐项判断即可求解； （2）先根据，得到，进而得到，即可得到，利用倒数的定义即可求出； （3）先求出，再将变形为根据（一）结论得到，即可求出当且仅当，即时，有最小值，最小值为3． 【详解】（1）解：在①，②③④这些分式中，属于假分式的是：②，④. 故答案为：②④ （2）解：∵， ∴， ∴， ∴， ∴. （3）解：由题意，， ∴． 原式 ． 当且仅当，即时，等号成立． ∴原式的最小值为3． 84．（2025·上海闵行·期中）材料一：观察等式，其左边是两个含有二次根式的代数式相乘，而右边不含二次根式．像这样，两个含有二次根式的非零代数式相乘，如果它们的积不含有二次根式，那么就说这两个代数式互为有理化因式． 材料二：根式化简 ； ． 根据以上材料，请完成下列问题： (1)_________；（直接写出答案） (2)计算：；（直接写出答案） (3)计算：； (4)计算：． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【知识点】二次根式的混合运算、分母有理化 【分析】本题主要考查了分母有理化、二次根式的混合运算等知识点，理解分母有理化的求解过程并灵活运用是解答的关键． （1）根据分母有理化求解即可； （2）先根据分母有理化化简，然后再根据二次根式的加减运算法则计算即可； （3）先根据分母有理化化简，然后再根据二次根式的加减运算法则计算即可； （4）先将分母因式分解，然后分母有理化，最后根据二次根式的加减运算法则计算即可． 【详解】（1）解：． 故答案为：． （2）解： ． （3）解： ． （4）解： ． 85．（2025·上海奉贤·期中）【阅读】除了用分母有理化，我们还可以这样化简： ，我们把这样的化简方法叫作“二次根式的因式分解法”． 【完成任务】 (1)如果二次根式能用“二次根式的因式分解法”化简，请写出一个A的值，并将用“二次根式的因式分解法”进行化简； (2)用“二次根式的因式分解法”化简（其中、）． 【答案】(1)（答案不唯一），化简结果为 (2) 【知识点】运用平方差公式进行运算、分母有理化 【分析】本题考查平方差公式，二次根式的化简，掌握知识点是解题的关键． （1）取，再根据二次根式的因式分解法进行化简即可； （2）根据二次根式的因式分解法进行化简即可． 【详解】（1）解：当时， ； （2） ． 86．（2025·上海虹口·期中）请阅读下列材料： 已知，求代数式的值． 小熙根据二次根式的性质及整体代入思想，给出了如下解法： 由，分母有理化得：． 但直接代入太繁琐，转而寻求整体关系： 由得，两边平方得， 得，则． 观察原代数式，注意到前两项可提取公因式： 代入，得． 因此，原式得值为2023． 请运用上述思想方法解决下列问题： (1)已知，求代数式的值； (2)已知，求代数式的值． 【答案】(1) (2) 【知识点】已知式子的值，求代数式的值、运用完全平方公式进行运算、分母有理化 【分析】本题考查了二次根式的分母有理化以及代数式的整体代入求值，熟练掌握二次根式的分母有理化是解题关键． 通过分母有理化得到的表达式，进而推导出关于的二次式的整体值，再将代数式进行变形后整体代入计算． 【详解】（1）由， 得， ， ， 即， ， ， ， ． （2）由， 得， ， ， 即， ， ， ， ， ， ， ． 87．（2025·上海·期中）二次根式除法可以这样做：如果，像这样通过分子、分母同乘一个式子把分母中的根号化去或者把根号中的分母化去，叫做分母有理化．有下列结论： ①将式子进行分母有理化，可以对其分子、分母同时乘以； ②若a是的小数部分，则的值为 ③比较两个二次根式的大小： ④计算： 以上结论正确的是 ．（写出所有正确的序号） 【答案】①③④ 【知识点】无理数整数部分的有关计算、分母有理化、比较二次根式的大小 【分析】本题考查了利用分式的基本性质、平方差公式进行分母有理化． ①类比示例，利用分式的基本性质进行分母有理化； ②估计无理数的整数部分，求出小数部分，进而分母有理化进行化简； ③通过分母有理化，比较两个二次根式的大小； ④通过分母有理化找到题中无理式求和的运算规律，从而化简求出值． 【详解】解：①， 故将式子进行分母有理化，可以对其分子、分母同时乘以，故①正确； ②∵a是的小数部分， ∴， 故，故②错误； ③，， ，， ∵，， 故， ∴， 故 即，故③正确； ④， ， ， ， 故 ，故④正确． 故答案为：①③④． 2 / 47 1 / 47 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