专题02 整式的乘除（期末复习知识清单，9知识15题型3易错5方法）七年级数学上学期新教材沪教版五四制

该初中数学“整式的乘法”专题知识清单，系统涵盖幂的运算、整式乘除、平方差公式、完全平方公式等核心内容，以“法则梳理-公式应用-综合运算”为脉络，搭建从基础到进阶的递进式学习支架。 清单采用“9大知识清单+15类题型+5种方法清单”的分级架构，突出知识完整性与条理性，如平方差公式标注“两项同异号”特征，完全平方公式配“首平方尾平方”口诀，培养运算能力与模型意识。配套易错点提示（如零指数幂底数不为0）和逆用幂的运算法则解题方法，助力学生高效自主复习，也为教师教学设计提供精准素材。

专题02 整式的乘法（9知识&15题型&3易错&5方法清单） 【清单01】幂的运算 法则（m，n都是正整数） 同底数幂的乘法 底数不变，指数相加，即 幂的乘方 底数不变，指数相乘，即 积的乘方 积的乘方等于把每一个因式分别乘方，再把所得的积相乘，即 同底数幂的除法 底数不变，指数相减，即（a≠0） 【清单02】零指数幂 零指数幂法则：任何不等于0的数的0次幂都等于1，即（a≠0）. 【补充】 1.（a≠0），这是对零指数幂意义的规定，不能把理解成0个a相乘， 2. 0次幂的底数不能为0，因为同底数幂的除法法则的前提条件是a≠0，m，n都为正整数，且m＞n. 【清单03】单项式与单项式相乘 法则：单项式与单项式相乘，把它们的系数，同底数幂分别相乘，对于只在一个单项式里含有的字母，则连同它们的指数作为积的一个因式. 法则的理论依据：乘法的交换律、结合律及同底数幂的乘法法则. 【清单04】单项式与整式相乘 法则：单项式与整式相乘，就是用单项式去乘整式的每一项，再把所得的积相加. 即. 法则的理论依据：乘法分配率. 【清单05】整式与整式相乘 法则：多项式与多项式相乘，先用一个多项式的每一项乘另一个多项式的每一项，再把所得的积相加．即 . 【解读】 1）多项式与多项式相乘，要按一定的顺序进行，必须做到不重不漏. 2）多项式与多项式相乘，多项式的每一项都应该带上它前面的正负号. 3）运算结果仍是多项式，在合并同类项之前，积的项数应等于原多项式的项数之积．如的积的项数为4（2×2=4），这是检查多项式相乘是否漏乘的方法. 4）若结果中含有同类项，则一定要进行合并同类项，使得结果为最简形式. 【清单06】单项式除以单项式 法则：单项式相除，把系数与同底数幂分别相除作为商的因式，对于只在被除式里含有的字母，则连同它的指数作为商的一个因式. 一般步骤： 1）系数相除，作为商的系数，注意系数包括前面的符号； 2）同底数幂相除，作为商的因式; 3）对于只在被除式里含有的字母，则连同它的指数作为商的一个因式，不要遗漏. 【清单07】整式除以单项式 法则：一般地，整式除以单项式，先用这个整式的每一项除以这个单项式，再把所得的商相加.即 【解读】 1）此法则是将整式除以单项式的转化为单项式除以单项式的问题. 2）在计算时，整式各项要包括前面的符号，商的各项的符号由整式中各项的符号与单项式的符号决定. 3）在进行整式除以单项式的计算时不要漏项，所得结果的项数应与被除式的项数相同. 【清单08】平方差公式 文字表述：两个数的和与这两个数的差的积，等于这两个数的平方差. 代数表述： 【解读】 1）平方差公式的特征:(1)左边是两个二项式相乘，并且这两个二项式中有一项完全相同，另一项互为相反数； (2)右边是乘式中两项的平方差，即用相同项的平方减去相反项的平方. 2）公式中的a，b可以是单项式或多项式.所以，当这个字母表示一个负数、分式、多项式时，应加括号避免出现只把字母平方，而系数忘了平方的错误. 3）只有形如两数的和与这两个数的差相乘时，才可以用平方差公式. 如：(a＋3b)(3a-b)，不能运用平方差公式. 【清单09】完全平方公式 文字表述： 两个数的和（或差）的平方等于这两数的平方和加上（或减去）这两数乘积的两倍. 代数表述： . 【解读】 1）完全平方公式特征：（1）左边是两个数的和(或差)的平方； （2）右边是一个二次三项式，其中有两项是公式左边二项式中每一项的平方，第三项是左边二项式中两项的积的2倍. 2）运用公式时要注意保持前后“符号”的一致性.（口诀：首平方，尾平方，二倍乘积放中央，中间符号同前方.） 3）公式中的a，b既可以是单项式，也可以是多项式. 【题型一】同底数幂的运算 1．（25-26七年级上·上海·期中）下列计算正确的（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了整式的运算，根据合并同类项法则、同底数幂的除法、积的乘方和幂的乘方运算法则分别计算即可判断求解，熟练掌握知识点是解题的关键． 【详解】解：、和 不是同类项，不能合并，该选项计算错误，不合题意； 、，该选项计算错误，不合题意； 、，该选项计算错误，不合题意； 、，该选项计算正确，符合题意； 故选：． 2．（25-26七年级上·上海·期中）如果成立，则（    ） A．m是偶数，n是奇数 B．m、n都是奇数 C．m是奇数，n是偶数 D．n是偶数 【答案】D 【分析】本题考查了幂的乘方与符号的性质，解题关键是根据幂的运算规则分析的符号与的符号关系，从而确定n的奇偶性． 根据指数运算法则，将左边化简后，等式成立的条件仅与n的奇偶性有关，需n为偶数． 【详解】∵ = = ， 又∵ = ， ∴ = ． 假设 ，则两边除以 ，得 ， ∴ n 是偶数． 因此，n是偶数． 故选D． 3．（25-26七年级上·上海·期中）计算：等于（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了幂的乘方计算，同底数幂乘法计算，把看作一个整体，先计算幂的乘方，再根据同底数幂乘法计算法则求解即可． 【详解】解： ， 故选：C． 4．（25-26七年级上·上海·期中）计算：． 【答案】 【分析】本题考查积的乘方，合并同类项．先计算积的乘方运算，然后合并同类项即可． 【详解】解： ． 5．（25-26七年级上·上海闵行·期中）计算： 【答案】9 【分析】此题考查了幂的运算法则与合并同类项等知识，熟练掌握同底数幂的乘法、幂的乘方、积的乘方等运算法则是解答此题的关键． 根据同底数幂的乘法、幂的乘方、积的乘方化简，然后再合并同类项，即可得到答案． 【详解】解： ． 【题型二】零指数幂 6．（22-23七年级下·浙江杭州·期中）若式子有意义，则实数x的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查零指数幂有意义的条件．根据零指数幂有意义“底数不等于0”的条件求解即可． 【详解】解：∵代数式有意义， ∴， ∴． 故选：A． 7．（22-23七年级上·上海青浦·期末）关于代数式，下列说法正确的是（    ） A．的值一定是0 B．的值一定是1 C．当时，的值是1 D．当时，的值是1 【答案】D 【分析】根据当时，有意义，且，即判断即可． 【详解】解：有意义的条件是： ， 解得， 即当时， 故选：D． 【点睛】本题考查了0次幂有意义的条件；熟练掌握0次幂有意义的条件是解题的关键． 8．（25-26七年级上·上海杨浦·期中）已知，的值是 ． 【答案】或0或 【分析】题目主要考查有理数的乘方运算，方程成立需考虑三种情况：底数为1；指数为0且底数不为0；底数为且指数为偶数，即可求解． 【详解】解：当底数时， 解得，此时指数为，得到，等式成立； 当指数时， 解得，此时底数为，得到，等式成立； 当底数时， 解得，此时指数为，为偶数，得到，等式成立； 其他情况均不满足等式， 故答案为：或0或． 9．（23-24七年级上·上海青浦·期末）计算：． 【答案】 【分析】本题主要考查零次幂及负指数幂，熟练掌握零次幂及负指数幂是解题的关键；因此此题可根据零次幂及负指数幂可进行求解． 【详解】解：原式 ． 【题型三】单项式乘单项式 10．（24-25七年级上·上海闵行·期中）如果都是关于的单项式，且是一个八次单项式，是一个五次多项式，那么的次数（   ）． A．一定是五次 B．一定是八次 C．一定是三次 D．无法确定 【答案】A 【分析】本题考查了整式的加减，单项式乘单项式，利用单项式乘单项式，单项式的加减运算来判断即可． 【详解】解：是一个八次单项式， ∴单项式、次数之和是， ∵是一个五次多项式， ∴单项式、有一个是五次单项式， 单项式、一个是五次单项式，一个是三次单项式， ∴的次数是五次． 故选：A． 11．（2024·陕西西安·模拟预测）计算：（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了单项式乘单项式法则以及积的乘方，先计算乘方，再计算单项式乘单项式即可． 【详解】解：， 故选：D． 12．（23-24七年级上·上海松江·阶段练习）的结果是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据单项式乘单项式，同底数幂相乘，计算求解即可． 【详解】解： , 故选：D． 【点睛】本题考查了单项式乘单项式，同底数幂相乘．解题的关键在于正确的运算． 13．（25-26七年级上·上海·阶段练习）计算： ． 【答案】 【分析】本题考查积的乘方，幂的乘方，单项式乘以单项式，根据相关运算法则，进行计算即可． 【详解】解：原式； 故答案为：． 【题型四】单项式乘多项式 14．（2024·陕西西安·模拟预测）计算的结果是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了单项式乘以多项式．熟练掌握单项式乘以多项式的法则是解题的关键． 根据单项式乘以多项式的法则求解即可． 【详解】解： ． 故选B． 15．（20-21七年级上·上海浦东新·期中）现有下列算式：①；②；③；④，其中错误的有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【分析】根据合并同类项、单项式乘以单项式、单项式乘以多项式法则计算进行选择． 【详解】解：①；正确，不符合题意； ②，符合题意； ③，符合题意； ④，符合题意； 故选：C． 【点睛】本题考查合并同类项、整式的乘法，熟练掌握运算法则及符号的处理是解题的关键． 16．（23-24七年级下·山东淄博·月考）已知，当x为任意数时该等式都成立，则的值为（   ） A．17 B． C． D．-17 【答案】B 【分析】本题主要考查了整式乘法混合运算．先把原式变形为，根据当x为任意数时该等式都成立，可得，然后代入，即可求解． 【详解】解：， ∴， ∵，当x为任意数时该等式都成立， ∴， ∴ 故选：B 17．（25-26七年级上·上海·期中）已知，则 ． 【答案】 【分析】本题考查了单项式乘以多项式的运算，幂的乘方、积的乘方逆运算，代数式求值． 将原式展开后，再根据幂的乘方、积的乘方逆运算变形，然后将进行代入计算． 【详解】解： 由已知，得， ， 代入上式： 故答案为：． 18．（25-26七年级上·上海浦东新·期中）计算：． 【答案】 【分析】本题考查整式混合运算，涉及积的乘方运算、单项式乘以多项式运算，熟记整式乘法运算法则是解决问题的关键． 先计算积的乘方运算，再由单项式乘以多项式运算展开即可得到答案． 【详解】解： ． 【题型五】多项式乘多项式 19．（25-26七年级上·上海·期中）下列计算错误的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了整式乘法，熟练掌握完全平方公式，平方差公式以及多项式乘以多项式的法则是解题的关键． 根据整式乘法的运算法则逐项判断即可． 【详解】解：A. ，计算正确，不符合题意； B. ，计算正确，不符合题意； C. ，计算正确，不符合题意； D. ，计算错误，符合题意； 故选：D． 20．（25-26七年级上·上海·期中）我国宋朝数学家杨辉在其著作《详解九章算法》中提出的表格，揭示了（n为非负数）展开式中各项系数的规律．例如，系数为1，2，1；又如，系数为1，3，3，1．请根据上述规律计算：（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题是阅读理解题，考查了完全平方公式的拓展—规律型问题，根据已知展开式找出一般性的数字规律是解题关键,根据前面的变化规律，计算后解答即可． 【详解】解：∵ ∴． 故选：B ． 21．（25-26七年级上·上海闵行·期中）计算：（结果用幂的形式表示）． 【答案】 【分析】本题主要考查了积的乘方、幂的乘方和同底数幂的乘法，先将转化为，再根据积的乘方、幂的乘方和同底数幂的乘法法则进行计算． 【详解】解： ． 【题型六】利用多项式乘多项式求参数的值 22．（25-26七年级上·上海·期中）若等式对任意恒成立，为常数，则的值为（   ） A． B．22 C． D．14 【答案】D 【分析】本题考查了多项式与多项式的乘法，代数式求值，熟练掌握运算法则是解答本题的关键． 根据多项式与多项式的乘法法则把左边化简，并比较等式两边对应项的系数，求出m、n、p的值，再计算它们的和． 【详解】解：∵， ∴， ∴，，， ∴． 故选D． 23．（25-26七年级上·上海·阶段练习）如果，那么、的值是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查多项式乘法的展开和系数比较，是基础题． 通过展开右侧的因式形式，比较多项式系数，即可得出和的值． 【详解】解：， ∵， ∴ ， 比较系数得：，． 故选：B． 24．（25-26七年级上·上海普陀·阶段练习）若，则m可取的整数值有 个． 【答案】9 【分析】本题考查了多项式乘多项式，先整理得，再结合，，，则分别算出m可取的整数值，即可作答． 【详解】解：∵， ， ∴， 则，， ∵为整数 ∴ ， 或35或或16或或9或或5或0，共9个， 故答案为：9 25．（24-25八年级上·湖北襄阳·期末）已知，则的值为 ． 【答案】12 【分析】本题主要考查了多项式乘多项式、代数式求值等知识点，掌握多项式乘多项式法则是解题的关键． 根据多项式乘多项式法则将等式左侧展开，然后利用对应系数法即可求出和，然后整体代入计算即可． 【详解】解：∵． ∴， ∴． 故答案为：12． 【题型七】整式乘法的应用—不含某项求参数 26．（25-26七年级上·上海·阶段练习）已知展开后，不含和的项，求． 【答案】 【分析】本题主要考查整式的化简和项无关，解决此题的关键是正确的计算；先把整式运用多项式乘多项式的法则化简，再合并同类项，根据项无关的概念得到m的值，进而得到答案即可； 【详解】解：， ， ， ， ∵式子不含和的项， ∴，， ∴，， ∴． 27．（2024七年级上·上海·专题练习）小红准备完成题目：计算时，她发现第一个因式的一次项系数被一滴墨水遮挡住了． (1)她把被遮住的一次项系数猜成2，请你帮她完成计算：； (2)老师说：“你猜错了，这个题目的正确答案是不含一次项的．”请通过计算说明原题中被遮住的一次项系数是多少？ 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了多项式乘多项式的运算，熟练掌握多项式乘多项式的运算法则是解题的关键． （1）根据多项式与多项式相乘，先用一个多项式的每一项乘另一个多项式的每一项，再把所得的积相加即可； （2）设被遮住的一次项系数为，根据多项式乘多项式的运算法则进行计算，再根据正确答案是不含一次项的，得到关于的方程，求出方程的解即可． 【详解】（1）解： ； （2）解：设被遮住的一次项系数为， 即 ， ∵这个题目的正确答案不含一次项的， ∴， 解得：， ∴被遮住的一次项系数为． 28．（24-25七年级上·上海·阶段练习）将关于的一次二项式与二次三项式相乘，积中不含二次项，且一次项系数为6．求、的值． 【答案】， 【分析】此题考查了多项式乘以多项式．由题意列出算式，利用多项式乘以多项式法则计算，合并后令二次项系数为，一次项系数为6，即可求出与的值． 【详解】解： ， ∵积不含的项，一次项系数为6， ∴， 解得， ∴，． 【题型八】整式乘法的应用—无关型 29．（23-24七年级下·河南郑州·期中）已知，，，且的值与无关，则 ． 【答案】 【分析】先根据题意列出算式，再计算单项式与多项式的乘法，最后合并，由题意得关于的方程，求解即可．此题考查的是单项式乘多项式及整式的加减，掌握其运算法则是解决此题的关键． 【详解】解： ， 的值与无关， ， ． 故答案为：． 30．（22-23七年级上·上海浦东新·期中）已知，，且与的3倍的差的值与的取值无关，求代数式的值． 【答案】 【分析】根据题意先计算，根据与的取值无关，求得的值，然后根据整式的乘法化简代数式，将的值代入进行计算即可求解． 【详解】解：∵ ， ∵与的取值无关， ∴， 解得； ； 当时， ． 【点睛】本题考查了整式的加减运算，整式的乘法运算，化简求值，正确的计算是解题的关键． 31．（19-20七年级上·上海·阶段练习）求证代数式的值与无关. 【答案】见解析. 【分析】原式利用多项式乘以多项式，单项式乘以多项式法则计算，去括号合并得到最简结果，即可做出判断. 【详解】证明：∵(2x+3)(3x+2)−6x(x+3)+5x+16 =6x2+4x+9x+6−6x2−18x+5x+16 =22， 化简后的结果不含x. ∴代数式(2x+3)(3x+2)−6x(x+3)+5x+16的值与x无关． 【点睛】本题考查整式的混合运算，解答此类题目的基本思路是:将所给的代数式逐项展开并合并同类项后,所得的结果为一个常数,即可得证. 【题型九】运用平方差公式求解 32．（25-26七年级上·上海·期中）计算的结果是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了平方差公式． 将原式变形后利用平方差公式计算即可． 【详解】解： ． 故选：A． 33．（25-26七年级上·上海闵行·月考）下列各式中，计算结果不正确的是（   ）． A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了乘法公式、多项式乘多项式．根据乘法公式、多项式乘多项式计算出结果，即可判断． 【详解】解：A、，该选项不符合题意； B、，该选项不符合题意； C、，该选项不符合题意； D、，该选项符合题意． 故选：D． 34．（24-25七年级上·上海嘉定·期中）利用乘法公式计算：． 【答案】1 【分析】本题主要考查了运用平方差公式进行简便计算．根据算式中数字的特点把写成的形式，然后运用平方差公式展开，得到，去括号合并同类项可得结果． 【详解】解： ． 35．（24-25七年级上·上海嘉定·期中）计算：． 【答案】 【分析】本题考查整式的乘法，利用乘法公式进行计算即可． 【详解】解：原式 ． 【题型十】运用完全平方公式求解 36．（25-26七年级上·上海普陀·期中）下列单项式中，与整式相加后不能组成某个整式的平方的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了完全平方公式的应用，通过完全平方公式验证每个单项式与相加后是否能组成完全平方式即可． 【详解】解：∵ 完全平方公式：，， A项：相加得，是完全平方式，不符合题意； B项：相加得，是完全平方式，不符合题意； C项：相加得，是完全平方式，不符合题意； D项：相加得，不是完全平方式，符合题意． 故选：D． 37．（24-25七年级上·上海·期中）老师在黑板上写了一个等式，并用手掌遮住了其中一部分（如图）．如果遮住的是一个二次三项式，那么这个式子是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了完全平方公式，整式的加减．由题意可知：所的二次三项式是个加数，根据加数和另一个加数，列出算式，进行化简即可． 【详解】解：由题意得： ， 所捂的多项式为：； 故选：B． 38．（25-26七年级上·上海·期中）计算： ． 【答案】 【分析】本题考查完全平方公式的应用，把看成，然后根据完全平方公式计算即可． 【详解】解： ． 故答案为：． 39．（25-26七年级上·上海金山·期中）已知两个整式． (1)求； (2)当，求的值． 【答案】(1)； (2)． 【分析】本题主要考查了整式的化简求值，解题关键是熟练掌握去括号法则和合并同类项法则． （1）把已知条件中的A，B代入，再根据去括号法则和合并同类项法则化简即可； （2）根据完全平方式和绝对值的非负性，列出关于x，y的方程，解方程求出x，y，再代入（1）中所求的进行计算即可． 【详解】（1）解：， ； （2）解：， ， ， 解得：，， ， ． 【题型十一】单项式除以单项式 40．（24-25七年级上·上海·期中）已知那么、的取值依次为（    ） A．2，3 B．4，3 C．1，3 D．4，1 【答案】B 【分析】本题考查了整式的除法．依据整式的除法法则得到，，即可求出m，n． 【详解】解：∵， ∴， ∴，， 解方程组得，． 故选：B． 41．（22-23七年级·上海·假期作业）下列运算中正确的是（    ）． A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据积的乘方和单项式的除法法则逐项计算判断即可． 【详解】解：A、，故本选项计算错误； B、，故本选项计算正确； C、，故本选项计算错误； D、，故本选项计算错误． 故选：B． 【点睛】本题主要考查积的乘方和单项式的除法，熟练掌握运算法则是解题关键． 42．（24-25七年级上·上海嘉定·期中）计算： ． 【答案】 【分析】本题主要考查了单项式除以单项式，积的乘方计算，先计算积的乘方，再根据单项式除以单项式的计算法则求解即可． 【详解】解： ， 故答案为：． 【题型十二】多项式除以单项式 43．（23-24七年级下·全国·课后作业）下列运算正确的是（    ） ①； ②； ③； ④． A．①② B．③④ C．①②③ D．②③④ 【答案】B 【分析】本题主要考查多项式除以单项式，本题要依照多项式除以单项式的法则逐题进行检查计算即可． 【详解】解：①，故①计算错误，不符合题意； ②，故②计算错误，不符合题意； ③，故③计算正确，符合题意； ④，故④计算正确，符合题意． 所以，运算正确的是③④， 故选：B 44．（23-24七年级下·浙江杭州·阶段练习）若A与的积为，则A为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查的是多项式除以单项式，直接列式利用多项式除以单项式进行计算即可． 【详解】解：∵A与的积为， ∴ ； 故选C 45．（25-26七年级上·上海浦东新·期中）计算： ． 【答案】/ 【分析】本题主要考查了多项式除以单项式，熟练掌握相应的运算法则是解题的关键． 根据多项式除以单项式的法则进行计算即可． 【详解】解：原式 ． 故答案为：． 46．（25-26七年级上·上海·期中）已知为，为，根据流程图列式计算，求． 【答案】 【分析】本题考查了流程图计算，多项式除以单项式，熟练掌握相关运算法则是解题的关键． 根据流程图列式得到，即，然后根据多项式除以单项式的运算法则计算即可解答． 【详解】解：根据题意可知，， ∴． 【题型十三】整式的混合运算 47．（25-26七年级上·上海·阶段练习）计算：． 【答案】 【分析】本题主要考查了整式的四则混合运算，先计算乘法，再计算整式加减法． 【详解】解： ． 48．（25-26七年级上·上海·阶段练习）计算． (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查整式的运算，熟练掌握运算法则是解答本题的关键． （1）原式根据单项式除以单项式运算法则进行计算即可； （2）原式先根据单项式乘以多项式去括号，再合并同类项即可得到答案． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 49．（24-25七年级上·上海·期中）计算： 【答案】2 【分析】本题考查了整式的混合运算的应用，先算乘方，再算乘法，最后算除法即可． 【详解】解： ． 50．（23-24七年级下·陕西西安·期中）计算 (1) (2) (3) (4) 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】本题考查了整式的混合运算； （1）先根据积的乘方以及单项式乘以单项式进行计算，然后合并同类项，即可求解； （2）根据多项式除以单项式，进行计算即可求解； （3）根据单项式乘以单项式，多项式乘以多项式进行计算即可求解； （4）根据平方差公式以及完全平方公式进行计算即可求解． 【详解】（1）解： ； （2）解： ； （3）解： ； （4）解： 【题型十四】整式的化简求值问题 51．（25-26七年级上·上海静安·期中）先化简，再求值：，其中． 【答案】， 【分析】先利用完全平方公式，多项式乘多项式的法则进行计算，然后把，的值代入化简后的结论进行计算，即可解答． 本题考查了整式的混合运算—化简求值，完全平方公式，准确熟练地进行计算是解题的关键． 【详解】解： ， 当时，原式． 52．（25-26七年级上·上海·期中）先化简再求值，，其中． 【答案】， 【分析】本题考查了整式的化简求值． 根据平方差公式分别计算、，进而化简原整式，根据绝对值的非负性、平方的非负性求出x、y的值，进而代入化简结果计算即可． 【详解】解： ， ∵， ∴，， ∴，， ∴原式 ． 53．（24-25七年级下·四川成都·期中）先化简，再求值：，其中 【答案】； 【分析】本题考查了整式的混合运算-化简求值，完全平方公式，平方差公式，偶次方的非负性，准确熟练地进行计算是解题的关键．先利用完全平方公式，平方差公式，单项式乘多项式的法则进行计算，再根据非负数的性质求出x、y的值，然后把x，y的值代入化简后的式子进行计算，即可解答． 【详解】解： ， ， ，， 解得：，， 当，时，原式． 【题型十五】新定义问题 54．（25-26七年级上·上海浦东新·期中）定义一种新运算：当时，定义．例如：，则．若，，则2， ． 【答案】62 【分析】根据新运算的定义，由可得 ，求出的值；再代入 ，利用幂的运算得到 ，从而求出空白处的值．本题主要考查了新定义的运算、同底数幂乘法运算等知识，熟练掌握相关运算法则是解题关键． 【详解】解：由 ，根据定义得 ， 即 ， 解得 ． 由 ，根据定义得， 代入 得， 由于 ，所以 ， 根据定义得 ， 故答案为：62． 55．（25-26七年级上·上海普陀·期中）已知是有理数，定义一种新运算“*”：，下列结论： 不存在有理数满足；如果，那么 下列说法正确的是（    ） A．①正确，②错误 B．①错误，②正确 C．①②都正确 D．①②都错误 【答案】B 【分析】本题考查完全平方公式、整式的乘除运算等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题； 先化简新运算表达式，然后分别验证两个结论是否成立． 【详解】 ， ∴， ， ， 时，满足条件， 存在有理数，，满足；故错误， ， ， ， ；故正确． 故选：B． 56．（24-25七年级上·上海·期中）阅读材料： 定义：如果一个数的平方等于，记为，这个数叫做虚数单位．它的加、减、乘法运算与整式的加、减、乘法运算类似． 例如计算：； ； ． (1)填空：_____；_____． (2)计算（需写出计算过程）： ； ． 【答案】(1)，． (2) ； ． 【分析】本题主要考查虚数单位的运算，以及整式乘法公式（平方差公式、完全平方公式 ）在虚数运算中的应用．熟练掌握，并能灵活运用整式乘法公式进行虚数运算，是解题的关键． （1）利用，通过对、进行变形，结合乘方运算规则来计算． （2）①把类比整式乘法的平方差公式，再代入计算． ②将类比整式乘法的完全平方公式展开，然后代入化简 ． 【详解】（1）解：∵， ∴． ∵， ∴． 故答案为：，． （2）解：① ； ② ． 【题型一】积的乘方运算 1．（25-26七年级上·上海金山·期中）计算： ． 【答案】 【分析】本题主要考查了积的乘方计算，幂的乘方运算，，，据此求解即可． 【详解】解：， 故答案为：． 2．（25-26七年级上·上海·期中）计算：= ． 【答案】 【分析】本题主要考查了积的乘方和幂的乘方，先根据积的乘方和幂的乘方依次去括号，再计算即可. 【详解】解：， 故答案为：． 3．（25-26七年级上·上海·阶段练习）计算： 【答案】 【分析】本题考查积的乘方，幂的乘方，同底数幂的乘法，根据相关运算法则，进行计算即可． 【详解】解： ． 【题型二】乘法公式的特征辨别 1．（25-26七年级上·上海金山·期中）下列两个整式相乘，可以用平方差公式计算的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了平方差公式，关键是熟练掌握公式的适用形式； 根据平方差公式适用于形式为的表达式，其中和是整式，分析各选项进行选择即可. 【详解】解：选项A： 与即无相同项也无相反项，不能用平方差公式计算； 选项B： ∵ ， ∴可用平方差公式计算； 选项C： 与互为相反数，不能用平方差公式计算； 选项D： 与相同，乘积为完全平方式，不能用平方差公式计算； 故答案选：B. 2．（25-26七年级上·上海浦东新·期中）下列多项式的乘法中，可以用平方差公式计算的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查平方差公式：（1）两个两项式相乘；（2）有一项相同，另一项互为相反数，熟记公式结构是解题的关键． 【详解】解：A选项：∵ ，∴ 不能用平方差公式计算； B选项：∵ ，∴ 可以用平方差公式计算； C选项：∵ ，∴ 不能用平方差公式计算； D选项：∵项不匹配，无相同和相反项，∴ 不能用平方差公式计算. 故选：B. 62．（21-22七年级上·上海浦东新·期中）下列算式中不能利用平方差公式计算的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】平方差公式是两个二项式相乘，并且这两个二项式中有一项完全相同，另一项互为相反数，根据平方差公式的结构特点解答即可． 【详解】解：A、，故A不符合题意； B、，故B不符合题意； C、不能利用平方差公式计算，故C符合题意； D、，故D不符合题意； 故选：C． 【点睛】本题考查了平方差公式，解题的关键是熟悉平方差公式的结构特点． 【题型三】已知完全平方式求字母系数 1．（25-26七年级上·上海·课后作业）若二次三项式是完全平方式，则的值是（    ） A．9 B．3 C． D．3或 【答案】D 【分析】本题考查了求完全平方式中的字母系数，先由二次三项式是完全平方式，得出，再把展开，进行分析，即可作答． 【详解】解：∵二次三项式是完全平方式， ∴， ∴， 解得， 故选：D 2．（24-25八年级下·广东惠州·开学考试）如果二次三项式是完全平方式，那么的值是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了完全平方式的概念及一元一次方程的求解，解题的关键是根据完全平方式的结构特征，建立关于k的方程并求解． 根据完全平方式的结构，可知二次三项式中中间项系数的一半的平方等于常数项；据此列出关于k的方程，求解方程并排除无解情况，得到k的值． 【详解】∵二次三项式是完全平方式， 又∵完全平方式的形式为 ∴中间项系数的一半的平方等于常数项，即． 两边开平方得：． 当时， 两边同乘2得： 化简得：，此方程无解． 当时，即 两边同乘2得： 移项得： 合并同类项得： 解得：． 故选：D． 3．（25-26七年级上·上海·期中）若关于x的整式是某个关于x的整式的平方，则k的值为 ． 【答案】或 【分析】本题考查完全平方式的特点．给定整式为完全平方式，可将其与展开式比较系数，从而建立关于的方程求解． 【详解】解：∵关于的整式是某个整式的平方， ∴可设， 比较系数得：． 当时， ∴， 即， 解得：； 当时， ∴，即， 解得：． 故的值为或． 故答案为：或． 【题型一】幂的运算法则的应用 解题方法：1）通过逆用积的乘方，幂的乘方积同底数幂的乘、除法则可以简化计算. 如：，， ，（a≠0）. 2）解一些结构特殊的题目，可以先将式子进行合理变形后求解. 1．（25-26七年级上·上海·期中）已知，，求的值． 【答案】 【分析】本题考查了幂的乘方与积的乘方、同底数幂的乘法，解题关键是将所求式子转化为以3为底的幂的形式，再利用已知条件代入计算． 先将和转化为以为底的幂，即再根据幂的乘方性质变形为；最后代入，计算，求和得到结果． 【详解】 ， ， ， ， ， ， ． 2．（25-26七年级上·上海·期中）已知：，，求的值． 【答案】5 【分析】本题考查了幂的乘方． 通过将方程两边化为同底数幂，比较指数求出m和n的值，进而计算的值即可． 【详解】解：∵，， ∴， ∴， ∴； ∵，且 ， ∴， ∴， ∴； ∴． 3．（25-26七年级上·上海·月考）已知：，， (1)求代数式的值； (2)试求a、b、c所满足的数量关系式． 【答案】(1)675 (2) 【分析】本题考查同底数幂的乘法，幂的乘方的逆用，熟练掌握相关运算法则，是解题的关键： （1）逆用幂的乘方法则，整体代数法求值即可； （2）根据同底数幂的乘法法则，进行计算即可． 【详解】（1）解：∵，， ∴； （2）∵，，， ∴， ∴， ∴． 4．（24-25七年级下·江苏连云港·月考）若且，m，n是正整数，则 你能利用上面的结论解决下面的3个问题吗？试试看，相信你一定行！ (1)如果，求x的值； (2)如果，求x的值； (3)已知x满足，求x的值． 【答案】(1)3 (2)3 (3) 【分析】本题主要考查了整式的有关运算，解题关键是熟练掌握同底数幂相乘法则、幂的乘方法则和解一元一次方程． （1）先把已知等式中的等式写成底数是3的幂，然后列出关于x的方程，解方程求出x即可； （2）先把已知等式中的等式写成底数是2的幂，然后根据幂的乘方和同底数幂相乘法则进行计算，然后列出关于x的方程，解方程求出x即可； （3）先把已知等式中的等式写成底数是2的幂，然后逆用乘法分配律进行计算，从而列出关于x的方程，解方程求出x即可． 【详解】（1）解：， ， ， ， ； （2）解：， ， ， ， ， ， ； （3）解：， ， ， ， ， ， ， 【题型二】比较幂的大小 解题方法：对于底数为正整数的两个数 1）若底数相同，比较指数，指数大的比较大; 2）若指数相同，比较底数，底数大的比较大; 3）底数指数化不了一样的时候，利用放缩法（根据缩放底数或者指数转化为同底数幂或同指数幂的大小比较）. 1．（25-26八年级上·河南南阳·月考）阅读下列两则材料，解决问题： 材料一：比较和的大小． 解：∵，且 ∴，即． 小结：指数相同的情况下，通过比较底数的大小，来确定两个幂的大小． 材料二：比较和的大小 解：∵，且， ∴，即． 小结：底数相同的情况下，通过比较指数的大小，来确定两个幂的大小， 【方法运用】 (1)比较______的大小（填“＞”或者“＜”）； (2)已知，，比较a、b的大小； (3)比较与的大小． 【答案】(1)＞ (2) (3) 【分析】本题考查幂的乘方与积的乘方、实数的大小比较，解答本题的关键是明确实数的大小比较方法． （1）由，，再比较大小即可； （2）由，，再仿照材料中的例题，比较大小即可； （3）由，，再比较大小即可． 【详解】（1）解：，， ∵， ∴，即， 故答案为：＞． （2）解：∵，， ∴，， ∵， ∴， ∴， 由题意得，， ∴， 又∵， ∴． （3）解：， ， ∵， ∴， 即． 2．（24-25七年级下·安徽六安·期中）阅读下面的材料：我们知道一般的数学公式、法则、定义可以正向运用，也可以逆向运用．例如，“同底数幂的乘法”“幂的乘方”“积的乘方”这几个法则的逆向运用表现为：，，如下列探究： 探究一：比较与的大小． 解：因为，， 又因为，所以，所以． 小结：指数相同的情况下，通过比较底数的大小，来确定两个幂的大小， 探究二：比较和的大小． 解：因为，且，所以，即， 小结：底数相同的情况下，通过比较指数的大小，来确定两个幂的大小． 解决下列问题： (1)比较，的大小； (2)比较，，，的大小； (3)比较与的大小． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题主要考查了幂的乘方的逆运算，同底数幂乘法的逆运算，积的乘方的逆运算，正确理解题意是解题的关键． （1）根据幂的乘方的逆运算法则可求出，，据此可得答案； （2）根据幂的乘方的逆运算法则可求出，，， ，据此可得答案； （3）根据同底数幂乘法的逆运算法则和积的乘方的逆运算法则可得，，据此可得答案． 【详解】（1）解：∵，， ∴； （2）解：∵，，， ，且， ∴， ∴； （3）解：，， 又∵， ∴． 【题型三】乘法公式与几何图形结合的应用问题 解题方法：乘法公式与几何图形相结合的实质是将乘法公式与直观的图形结合起来，是代数问题与图形之间的相互转化，它可以使乘法公式几何化，可借助形的生动性和直观性进一步加深对乘法公式的. 1．（25-26七年级上·上海·期中）请完成以下题目： (1)如图，在边长为a的正方形纸片上剪去一个边长为的小正方形，通过不同的方法计算图中阴影部分的面积．方法①________；方法②_______由此可以验证的乘法公式是_____． (2)类似地，在棱长为a的正方体上割去一个棱长为的小正方体（如图），通过不同的方法计算图中余下几何体的体积．方法①_______；方法②_______．由此可以得某个多项式因式分解的等式是______，并用所学过的知识说明这个等式成立． (3)结合并使用（2）得到的等式分解因式：． 【答案】(1)；；； (2)；；，证明见解析； (3) 【分析】本题考查了平方差公式的几何背景，弄清楚图中阴影部分面积的求法是解题的关键． （1）阴影部分的面积可以直接求，也可以间接求，由此验证平方差公式即可； （2）阴影部分的面积可以直接求，也可以间接求，由此验证平方差公式即可； （3）可将看作，进而根据计算即可． 【详解】（1）解：方法①： 方法②： 可以验证的乘法公式为： 证明：右边左边 ； 故答案为：；；； （2）解：方法①： 方法②： 可以验证的乘法公式为： 证明：右边 左边 ； 故答案为：；；； （3）解： ． 2．（25-26七年级上·上海杨浦·期中）如图，线段长度为，在线段上截取线段，再延长至，使，，分别做正方形、正方形和正方形． (1)分别计算图中长方形和阴影部分图形的面积，可以发现一个乘法公式_________； (2)如果已知图中正方形、正方形的面积分别是7和3，计算长方形的面积； (3)分别连接、、、，如果已知正方形的面积是，正方形的面积是，用含、的代数式表示四边形的面积． 【答案】(1) (2)2 (3) 【分析】本题考查了整式运算的应用． （1）根据题意可以得到； （2）由题意得，，计算得到，据此求解即可； （3）根据四边形的面积等于中间小正方形的面积和四个直角三角形面积和，据此求解即可． 【详解】（1）解：由题意得，长方形的面积， 阴影部分图形的面积， ∴可以发现一个乘法公式为； 故答案为：； （2）解：∵正方形、正方形的面积分别是7和3， ∴，， ∴， 整理得，，即， 长方形的面积； （3）解：∵正方形的面积是，正方形的面积是， ∴，， ∴四边形的面积 ． ． 3．（25-26七年级上·上海金山·期中）【追本溯源】“数形结合”是一种非常重要的数学思想方法．利用“数形结合”的思想，可以从代数角度解决图形问题，也可以用图形角度解决代数问题．我们在学习“整式乘法公式”时．通过构造几何图形，用“等积法”直观地验证了平方差公式和完全平方和公式，如图和：，． 【初步应用】 （1）请你利用图2中的两个正方形画出一个几何图形来验证完全平方和公式，用字母a、b标注相关边长并简单说明你的验证思路，同时写出该数学等式______． 【拓展应用】 （2）请利用上述验证的恒等式解决如下问题： ①若、，求ab的值； ②正方形ABCD和AEFG如图3所示方式摆放，已知，，，且，求图中阴影部分的面积； 【迁移应用】 （3）类似的，用两种不同的方法计算同一个几何体的体积，如图4是由2个正方体和6个长方体拼成的一个大正方体，用它可以验证恒等式：，已知，，利用上述恒等式，求的值． 【答案】（1）；（2）①0.5；②20；（3）322． 【分析】本题考查完全平方公式的几何背景，掌握完全平方公式的结构特征是正确解答的关键． （1）用两种方法表示图2的面积即可； （2）①根据进行计算即可；②由题意得，根据，求出，再根据求出的值，由代入计算即可； （3）根据，求出，再根据进行计算即可． 【详解】解：（1）整体上是保持为的正方形，因此面积为，拼成图2的四个部分的面积和为， 所以有， 故答案为：； （2）①， ， 又， ； ②如图，，，，则， ， ， 即， ， ， 解得， ， ， ， ； （3），即，而，， ， ， ，即， 4．（25-26七年级上·上海松江·期中）“数缺形时少直观，形缺数时难入微．数形结合百般好，隔裂分家万事休．”数形结合是解决数学问题的重要思想方法．通过计算几何图形的面积可以验证一些代数恒等式． （1）如图①是一个大正方形被分割成了边长分别为a和b的两个正方形，长宽分别为a和b的两个长方形，利用这个图形可以验证公式__________． 利用上述公式解决问题： 【直接应用】 （2）若，，则__________； 【类比应用】 （3）若，求的值． 【知识迁移】 （4）如图②，点在线段上，四边形、都是正方形，连接、、．若阴影部分的面积和为10，的面积为3，求的长度． 【答案】（1）；（2）32；（3）80；（4） 【分析】本题主要考查完全平方公式的应用，算术平方根等知识，熟练掌握完全平方公式时解题的关键． （1）从“整体”与“部分”分别用代数式表示图形的面积，再根据各个部分面积之间的和差关系即可得出答案； （2）根据整体代入计算即可； （3）利用完全平方公式的变形进行解答即可； （4）设正方形的边长为m，正方形的边长为n，由题意可得，，进一步求出，，根据求出的值，最后根据算术平方根的定义求解即可． 【详解】解：（1）图①从“整体上”看是边长为的正方形，因此面积为，拼成图①的四个部分的面积和为， 所以利用这个图形可以验证公式． 故答案为：． （2）， ， 当，时， ． 故答案为：32． （3），， ； （4）设正方形的边长为m，正方形的边长为n， 则，，， ，， ，， ， ， ， ，， ，即． 【题型四】利用完全平方式变形求值 完全平方公式常用的变式：① ② ③ ④ ⑤ 1．（25-26七年级上·上海·期中）已知，， (1)求的值 (2)求 【答案】(1) (2)37 【分析】本题考查了多项式乘多项式，完全平方公式，已知式子的值求代数式的值，熟练掌握运算法则是解题的关键． （1）根据多项式乘多项式运算法则将式子展开，将已知代入求值即可； （2）根据完全平方公式变形求值即可． 【详解】（1）解：∵，， ∴ ； （2）解：∵，， ∴ ∴ ∴ ∴ ∴ ． 2．（25-26七年级上·上海杨浦·期中）已知，求的值． 【答案】8 【分析】本题考查了多项式的乘法，完全平方公式，熟练掌握完全平方公式是解决本题的关键．化简已知式子，得的值，所求式子利用完全平方公式变形后，将的值代入计算即可求出值． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴． 3．（25-26七年级上·上海闵行·阶段练习）若，且．求和的值． 【答案】； 【分析】本题考查了完全平方公式，多项式乘多项式，解题关键是整体思想的应用． 根据和可求得，再利用完全平方公式得，，整体代入计算即可求解． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴． 4．（25-26七年级上·上海宝山·期中）利用我们学过的知识，可以导出下面这个形式优美的等式： ，该等式从左到右的变形，不仅保持了结构的对称性，还体现了数学的和谐、简洁美． (1)请你验证该等式的正确性． (2)利用上述等式，解决下面的问题： ①若，求整式的值． ②一个立方体的每个面上都写有一个正整数，并且相对的两个面上所写数字之和都相等，若18的对面写的是a，14的对面写的是b，25的对面写的是c，求整式的值． 【答案】(1)见详解 (2)①12；②93 【分析】此题考查整式的乘法公式—完全平方公式，已知字母的值求代数式的值，等式的变形计算，正确掌握等式各项之间的关系是解题的关键． （1）利用完全平方公式将等式右边展开，合并同类项即可得到结论； （2）①根据题意可得，，，将其值代入变形后的式子计算即可； ②根据题意可得，，，根据，将其值代入变形后的式子计算即可； 【详解】（1）解：等式右边 ， ∴左边=右边， ∴式子正确； （2）解：①∵， ∴， ， ， ∴ ． ②根据题意可得， ，，， ． 【题型五】利用配方法求最值 解题方法：给二次项和一次项配一个数，使之成为完全平方式，然后利用平方的非负性求最值. 1．（25-26七年级上·上海闵行·阶段练习）整式可以变形为，由此可知的最小值是5．那么按此方法，整式的最小值是（   ）． A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了完全平方公式．根据完全平方公式变形求解即可． 【详解】解：， 则代数式的最小值是． 故选：C． 2．（25-26七年级上·上海·期中）已知数x、y、z满足，则的最大值是 ． 【答案】52 【分析】本题考查了利用完全平方公式进行运算，熟记完全平方公式是解题关键．将目标表达式展开，利用约束条件化简，转化为求交叉项的最小值，通过平方和公式确定其范围，进而得到最大值． 【详解】解：设， 则 ， 由，得， ， 若求的最大值，即求的最小值， ， ， ， ， 即的最大值为， 故答案为：． 3．（23-24七年级下·广东梅州·阶段练习） 配方法是数学中重要的一种思想方法．它是指将一个式子的某一部分通过恒等变形化为完全平方式或几个完全平方式的和的方法．这种方法常被用到代数式的变形中，并结合非负数的意义来解决一些问题．我们定义：一个整数能表示成、是整数）的形式，则称这个数为“完美数”．例如，5是“完美数”．理由：因为，所以5是“完美数”． (1)已知29是“完美数”，请将它写成（a、b是整数）的形式 ； (2)已知，则 ； (3)已知 x、y是整数，k是常数），要使S为“完美数”，试求出符合条件的一个k值，并说明理由． (4)已知实数x、y满足，求的最大值． 【答案】(1) (2) (3)，理由见详解 (4)． 【分析】本题考查了配方法的应用，熟练掌握完全平方公式是解此题的关键． （1）把29拆成两个整数的平方即可； （2）利用完全平方公式配方后，根据非负数的性质求出与的值，代入计算即可得解； （3）根据S为“完美数”，利用完全平方公式配方，确定出的值即可； （4）表示出，代入中，配方后利用非负数的性质求出最大值即可． 【详解】（1）解：由题意得：， 故答案为：； （2）解：∵， ∴， ∴， ∵，， ∴，， ∴，， ∴， 故答案为：． （3）解： 当时，S为“完美数”，理由如下： 把代入， 得 ， ∵，为整数， ∴，也是整数， ∴当时，S为“完美数”； （4）解：∵ ∴， ∴ ∴ ∵ ∴ ∴ ∴当时，的值最大，为． 学科网（北京）股份有限公5 / 5 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题02 整式的乘法（9知识&15题型&3易错&5方法清单） 【清单01】幂的运算 法则（m，n都是正整数） 同底数幂的乘法 底数不变，指数相加，即 幂的乘方 底数不变，指数相乘，即 积的乘方 积的乘方等于把每一个因式分别乘方，再把所得的积相乘，即 同底数幂的除法 底数不变，指数相减，即（a≠0） 【清单02】零指数幂 零指数幂法则：任何不等于0的数的0次幂都等于1，即（a≠0）. 【补充】 1.（a≠0），这是对零指数幂意义的规定，不能把理解成0个a相乘， 2. 0次幂的底数不能为0，因为同底数幂的除法法则的前提条件是a≠0，m，n都为正整数，且m＞n. 【清单03】单项式与单项式相乘 法则：单项式与单项式相乘，把它们的系数，同底数幂分别相乘，对于只在一个单项式里含有的字母，则连同它们的指数作为积的一个因式. 法则的理论依据：乘法的交换律、结合律及同底数幂的乘法法则. 【清单04】单项式与整式相乘 法则：单项式与整式相乘，就是用单项式去乘整式的每一项，再把所得的积相加. 即. 法则的理论依据：乘法分配率. 【清单05】整式与整式相乘 法则：多项式与多项式相乘，先用一个多项式的每一项乘另一个多项式的每一项，再把所得的积相加．即 . 【解读】 1）多项式与多项式相乘，要按一定的顺序进行，必须做到不重不漏. 2）多项式与多项式相乘，多项式的每一项都应该带上它前面的正负号. 3）运算结果仍是多项式，在合并同类项之前，积的项数应等于原多项式的项数之积．如的积的项数为4（2×2=4），这是检查多项式相乘是否漏乘的方法. 4）若结果中含有同类项，则一定要进行合并同类项，使得结果为最简形式. 【清单06】单项式除以单项式 法则：单项式相除，把系数与同底数幂分别相除作为商的因式，对于只在被除式里含有的字母，则连同它的指数作为商的一个因式. 一般步骤： 1）系数相除，作为商的系数，注意系数包括前面的符号； 2）同底数幂相除，作为商的因式; 3）对于只在被除式里含有的字母，则连同它的指数作为商的一个因式，不要遗漏. 【清单07】整式除以单项式 法则：一般地，整式除以单项式，先用这个整式的每一项除以这个单项式，再把所得的商相加.即 【解读】 1）此法则是将整式除以单项式的转化为单项式除以单项式的问题. 2）在计算时，整式各项要包括前面的符号，商的各项的符号由整式中各项的符号与单项式的符号决定. 3）在进行整式除以单项式的计算时不要漏项，所得结果的项数应与被除式的项数相同. 【清单08】平方差公式 文字表述：两个数的和与这两个数的差的积，等于这两个数的平方差. 代数表述： 【解读】 1）平方差公式的特征:(1)左边是两个二项式相乘，并且这两个二项式中有一项完全相同，另一项互为相反数； (2)右边是乘式中两项的平方差，即用相同项的平方减去相反项的平方. 2）公式中的a，b可以是单项式或多项式.所以，当这个字母表示一个负数、分式、多项式时，应加括号避免出现只把字母平方，而系数忘了平方的错误. 3）只有形如两数的和与这两个数的差相乘时，才可以用平方差公式. 如：(a＋3b)(3a-b)，不能运用平方差公式. 【清单09】完全平方公式 文字表述： 两个数的和（或差）的平方等于这两数的平方和加上（或减去）这两数乘积的两倍. 代数表述： . 【解读】 1）完全平方公式特征：（1）左边是两个数的和(或差)的平方； （2）右边是一个二次三项式，其中有两项是公式左边二项式中每一项的平方，第三项是左边二项式中两项的积的2倍. 2）运用公式时要注意保持前后“符号”的一致性.（口诀：首平方，尾平方，二倍乘积放中央，中间符号同前方.） 3）公式中的a，b既可以是单项式，也可以是多项式. 【题型一】同底数幂的运算 1．（25-26七年级上·上海·期中）下列计算正确的（   ） A． B． C． D． 2．（25-26七年级上·上海·期中）如果成立，则（    ） A．m是偶数，n是奇数 B．m、n都是奇数 C．m是奇数，n是偶数 D．n是偶数 3．（25-26七年级上·上海·期中）计算：等于（   ） A． B． C． D． 4．（25-26七年级上·上海·期中）计算：． 5．（25-26七年级上·上海闵行·期中）计算： 【题型二】零指数幂 6．（22-23七年级下·浙江杭州·期中）若式子有意义，则实数x的取值范围是（   ） A． B． C． D． 7．（22-23七年级上·上海青浦·期末）关于代数式，下列说法正确的是（    ） A．的值一定是0 B．的值一定是1 C．当时，的值是1 D．当时，的值是1 8．（25-26七年级上·上海杨浦·期中）已知，的值是 ． 9．（23-24七年级上·上海青浦·期末）计算：． 【题型三】单项式乘单项式 10．（24-25七年级上·上海闵行·期中）如果都是关于的单项式，且是一个八次单项式，是一个五次多项式，那么的次数（   ）． A．一定是五次 B．一定是八次 C．一定是三次 D．无法确定 11．（2024·陕西西安·模拟预测）计算：（    ） A． B． C． D． 12．（23-24七年级上·上海松江·阶段练习）的结果是（    ） A． B． C． D． 13．（25-26七年级上·上海·阶段练习）计算： ． 【题型四】单项式乘多项式 14．（2024·陕西西安·模拟预测）计算的结果是（   ） A． B． C． D． 15．（20-21七年级上·上海浦东新·期中）现有下列算式：①；②；③；④，其中错误的有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 16．（23-24七年级下·山东淄博·月考）已知，当x为任意数时该等式都成立，则的值为（   ） A．17 B． C． D．-17 17．（25-26七年级上·上海·期中）已知，则 ． 18．（25-26七年级上·上海浦东新·期中）计算：． 【题型五】多项式乘多项式 19．（25-26七年级上·上海·期中）下列计算错误的是（   ） A． B． C． D． 20．（25-26七年级上·上海·期中）我国宋朝数学家杨辉在其著作《详解九章算法》中提出的表格，揭示了（n为非负数）展开式中各项系数的规律．例如，系数为1，2，1；又如，系数为1，3，3，1．请根据上述规律计算：（   ） A． B． C． D． 21．（25-26七年级上·上海闵行·期中）计算：（结果用幂的形式表示）． 【题型六】利用多项式乘多项式求参数的值 22．（25-26七年级上·上海·期中）若等式对任意恒成立，为常数，则的值为（   ） A． B．22 C． D．14 23．（25-26七年级上·上海·阶段练习）如果，那么、的值是（　　） A． B． C． D． 24．（25-26七年级上·上海普陀·阶段练习）若，则m可取的整数值有 个． 25．（24-25八年级上·湖北襄阳·期末）已知，则的值为 ． 【题型七】整式乘法的应用—不含某项求参数 26．（25-26七年级上·上海·阶段练习）已知展开后，不含和的项，求． 27．（2024七年级上·上海·专题练习）小红准备完成题目：计算时，她发现第一个因式的一次项系数被一滴墨水遮挡住了． (1)她把被遮住的一次项系数猜成2，请你帮她完成计算：； (2)老师说：“你猜错了，这个题目的正确答案是不含一次项的．”请通过计算说明原题中被遮住的一次项系数是多少？ 28．（24-25七年级上·上海·阶段练习）将关于的一次二项式与二次三项式相乘，积中不含二次项，且一次项系数为6．求、的值． 【题型八】整式乘法的应用—无关型 29．（23-24七年级下·河南郑州·期中）已知，，，且的值与无关，则 ． 30．（22-23七年级上·上海浦东新·期中）已知，，且与的3倍的差的值与的取值无关，求代数式的值． 31．（19-20七年级上·上海·阶段练习）求证代数式的值与无关. 【题型九】运用平方差公式求解 32．（25-26七年级上·上海·期中）计算的结果是（    ） A． B． C． D． 33．（25-26七年级上·上海闵行·月考）下列各式中，计算结果不正确的是（   ）． A． B． C． D． 34．（24-25七年级上·上海嘉定·期中）利用乘法公式计算：． 35．（24-25七年级上·上海嘉定·期中）计算：． 【题型十】运用完全平方公式求解 36．（25-26七年级上·上海普陀·期中）下列单项式中，与整式相加后不能组成某个整式的平方的是（    ） A． B． C． D． 37．（24-25七年级上·上海·期中）老师在黑板上写了一个等式，并用手掌遮住了其中一部分（如图）．如果遮住的是一个二次三项式，那么这个式子是（　　） A． B． C． D． 38．（25-26七年级上·上海·期中）计算： ． 39．（25-26七年级上·上海金山·期中）已知两个整式． (1)求； (2)当，求的值． 【题型十一】单项式除以单项式 40．（24-25七年级上·上海·期中）已知那么、的取值依次为（    ） A．2，3 B．4，3 C．1，3 D．4，1 41．（22-23七年级·上海·假期作业）下列运算中正确的是（    ）． A． B． C． D． 42．（24-25七年级上·上海嘉定·期中）计算： ． 【题型十二】多项式除以单项式 43．（23-24七年级下·全国·课后作业）下列运算正确的是（    ） ①； ②； ③； ④． A．①② B．③④ C．①②③ D．②③④ 44．（23-24七年级下·浙江杭州·阶段练习）若A与的积为，则A为（    ） A． B． C． D． 45．（25-26七年级上·上海浦东新·期中）计算： ． 46．（25-26七年级上·上海·期中）已知为，为，根据流程图列式计算，求． 【题型十三】整式的混合运算 47．（25-26七年级上·上海·阶段练习）计算：． 48．（25-26七年级上·上海·阶段练习）计算． (1)； (2)． 49．（24-25七年级上·上海·期中）计算： 50．（23-24七年级下·陕西西安·期中）计算 (1) (2) (3) (4) 【题型十四】整式的化简求值问题 51．（25-26七年级上·上海静安·期中）先化简，再求值：，其中． 52．（25-26七年级上·上海·期中）先化简再求值，，其中． 53．（24-25七年级下·四川成都·期中）先化简，再求值：，其中 【题型十五】新定义问题 54．（25-26七年级上·上海浦东新·期中）定义一种新运算：当时，定义．例如：，则．若，，则2， ． 55．（25-26七年级上·上海普陀·期中）已知是有理数，定义一种新运算“*”：，下列结论： 不存在有理数满足；如果，那么 下列说法正确的是（    ） A．①正确，②错误 B．①错误，②正确 C．①②都正确 D．①②都错误 56．（24-25七年级上·上海·期中）阅读材料： 定义：如果一个数的平方等于，记为，这个数叫做虚数单位．它的加、减、乘法运算与整式的加、减、乘法运算类似． 例如计算：； ； ． (1)填空：_____；_____． (2)计算（需写出计算过程）： ； ． 【题型一】积的乘方运算 1．（25-26七年级上·上海金山·期中）计算： ． 2．（25-26七年级上·上海·期中）计算：= ． 3．（25-26七年级上·上海·阶段练习）计算： 【题型二】乘法公式的特征辨别 1．（25-26七年级上·上海金山·期中）下列两个整式相乘，可以用平方差公式计算的是（   ） A． B． C． D． 2．（25-26七年级上·上海浦东新·期中）下列多项式的乘法中，可以用平方差公式计算的是（    ） A． B． C． D． 62．（21-22七年级上·上海浦东新·期中）下列算式中不能利用平方差公式计算的是（    ） A． B． C． D． 【题型三】已知完全平方式求字母系数 1．（25-26七年级上·上海·课后作业）若二次三项式是完全平方式，则的值是（    ） A．9 B．3 C． D．3或 2．（24-25八年级下·广东惠州·开学考试）如果二次三项式是完全平方式，那么的值是（　　） A． B． C． D． 3．（25-26七年级上·上海·期中）若关于x的整式是某个关于x的整式的平方，则k的值为 ． 【题型一】幂的运算法则的应用 解题方法：1）通过逆用积的乘方，幂的乘方积同底数幂的乘、除法则可以简化计算. 如：，， ，（a≠0）. 2）解一些结构特殊的题目，可以先将式子进行合理变形后求解. 1．（25-26七年级上·上海·期中）已知，，求的值． 2．（25-26七年级上·上海·期中）已知：，，求的值． 3．（25-26七年级上·上海·月考）已知：，， (1)求代数式的值； (2)试求a、b、c所满足的数量关系式． 4．（24-25七年级下·江苏连云港·月考）若且，m，n是正整数，则 你能利用上面的结论解决下面的3个问题吗？试试看，相信你一定行！ (1)如果，求x的值； (2)如果，求x的值； (3)已知x满足，求x的值． 【题型二】比较幂的大小 解题方法：对于底数为正整数的两个数 1）若底数相同，比较指数，指数大的比较大; 2）若指数相同，比较底数，底数大的比较大; 3）底数指数化不了一样的时候，利用放缩法（根据缩放底数或者指数转化为同底数幂或同指数幂的大小比较）. 1．（25-26八年级上·河南南阳·月考）阅读下列两则材料，解决问题： 材料一：比较和的大小． 解：∵，且 ∴，即． 小结：指数相同的情况下，通过比较底数的大小，来确定两个幂的大小． 材料二：比较和的大小 解：∵，且， ∴，即． 小结：底数相同的情况下，通过比较指数的大小，来确定两个幂的大小， 【方法运用】(1)比较______的大小（填“＞”或者“＜”）； (2)已知，，比较a、b的大小； (3)比较与的大小． 2．（24-25七年级下·安徽六安·期中）阅读下面的材料：我们知道一般的数学公式、法则、定义可以正向运用，也可以逆向运用．例如，“同底数幂的乘法”“幂的乘方”“积的乘方”这几个法则的逆向运用表现为：，，如下列探究： 探究一：比较与的大小． 解：因为，， 又因为，所以，所以． 小结：指数相同的情况下，通过比较底数的大小，来确定两个幂的大小， 探究二：比较和的大小． 解：因为，且，所以，即， 小结：底数相同的情况下，通过比较指数的大小，来确定两个幂的大小． 解决下列问题：(1)比较，的大小； (2)比较，，，的大小； (3)比较与的大小． 【题型三】乘法公式与几何图形结合的应用问题 解题方法：乘法公式与几何图形相结合的实质是将乘法公式与直观的图形结合起来，是代数问题与图形之间的相互转化，它可以使乘法公式几何化，可借助形的生动性和直观性进一步加深对乘法公式的. 1．（25-26七年级上·上海·期中）请完成以下题目： (1)如图，在边长为a的正方形纸片上剪去一个边长为的小正方形，通过不同的方法计算图中阴影部分的面积．方法①________；方法②_______由此可以验证的乘法公式是_____． (2)类似地，在棱长为a的正方体上割去一个棱长为的小正方体（如图），通过不同的方法计算图中余下几何体的体积．方法①_______；方法②_______．由此可以得某个多项式因式分解的等式是______，并用所学过的知识说明这个等式成立． (3)结合并使用（2）得到的等式分解因式：． 2．（25-26七年级上·上海杨浦·期中）如图，线段长度为，在线段上截取线段，再延长至，使，，分别做正方形、正方形和正方形． (1)分别计算图中长方形和阴影部分图形的面积，可以发现一个乘法公式_________； (2)如果已知图中正方形、正方形的面积分别是7和3，计算长方形的面积； (3)分别连接、、、，如果已知正方形的面积是，正方形的面积是，用含、的代数式表示四边形的面积． 3．（25-26七年级上·上海金山·期中）【追本溯源】“数形结合”是一种非常重要的数学思想方法．利用“数形结合”的思想，可以从代数角度解决图形问题，也可以用图形角度解决代数问题．我们在学习“整式乘法公式”时．通过构造几何图形，用“等积法”直观地验证了平方差公式和完全平方和公式，如图和：，． 【初步应用】（1）请你利用图2中的两个正方形画出一个几何图形来验证完全平方和公式，用字母a、b标注相关边长并简单说明你的验证思路，同时写出该数学等式______． 【拓展应用】（2）请利用上述验证的恒等式解决如下问题： ①若、，求ab的值； ②正方形ABCD和AEFG如图3所示方式摆放，已知，，，且，求图中阴影部分的面积； 【迁移应用】（3）类似的，用两种不同的方法计算同一个几何体的体积，如图4是由2个正方体和6个长方体拼成的一个大正方体，用它可以验证恒等式：，已知，，利用上述恒等式，求的值． 4．（25-26七年级上·上海松江·期中）“数缺形时少直观，形缺数时难入微．数形结合百般好，隔裂分家万事休．”数形结合是解决数学问题的重要思想方法．通过计算几何图形的面积可以验证一些代数恒等式． （1）如图①是一个大正方形被分割成了边长分别为a和b的两个正方形，长宽分别为a和b的两个长方形，利用这个图形可以验证公式__________． 利用上述公式解决问题：【直接应用】（2）若，，则__________； 【类比应用】（3）若，求的值． 【知识迁移】（4）如图②，点在线段上，四边形、都是正方形，连接、、．若阴影部分的面积和为10，的面积为3，求的长度． 【题型四】利用完全平方式变形求值 完全平方公式常用的变式：① ② ③ ④ ⑤ 1．（25-26七年级上·上海·期中）已知，， (1)求的值 (2)求 2．（25-26七年级上·上海杨浦·期中）已知，求的值． 3．（25-26七年级上·上海闵行·阶段练习）若，且．求和的值． 4．（25-26七年级上·上海宝山·期中）利用我们学过的知识，可以导出下面这个形式优美的等式： ，该等式从左到右的变形，不仅保持了结构的对称性，还体现了数学的和谐、简洁美． (1)请你验证该等式的正确性． (2)利用上述等式，解决下面的问题： ①若，求整式的值． ②一个立方体的每个面上都写有一个正整数，并且相对的两个面上所写数字之和都相等，若18的对面写的是a，14的对面写的是b，25的对面写的是c，求整式的值． 【题型五】利用配方法求最值 解题方法：给二次项和一次项配一个数，使之成为完全平方式，然后利用平方的非负性求最值. 1．（25-26七年级上·上海闵行·阶段练习）整式可以变形为，由此可知的最小值是5．那么按此方法，整式的最小值是（   ）． A． B． C． D． 2．（25-26七年级上·上海·期中）已知数x、y、z满足，则的最大值是 ． 3．（23-24七年级下·广东梅州·阶段练习） 配方法是数学中重要的一种思想方法．它是指将一个式子的某一部分通过恒等变形化为完全平方式或几个完全平方式的和的方法．这种方法常被用到代数式的变形中，并结合非负数的意义来解决一些问题．我们定义：一个整数能表示成、是整数）的形式，则称这个数为“完美数”．例如，5是“完美数”．理由：因为，所以5是“完美数”． (1)已知29是“完美数”，请将它写成（a、b是整数）的形式 ； (2)已知，则 ； (3)已知 x、y是整数，k是常数），要使S为“完美数”，试求出符合条件的一个k值，并说明理由． (4)已知实数x、y满足，求的最大值 学科网（北京）股份有限公5 / 5 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $