第二章 二次函数：7大考点+ 10大题型+强化训练（高效培优讲义）数学北师大版九年级下册

该初中数学二次函数单元复习讲义以“概念—图象—性质—应用”为主线，通过分类梳理与表格对比构建知识体系，系统呈现二次函数的定义、三种解析式、图象特征及与一元二次方程的联系，突出系数对图象的影响、实际问题建模等重难点。 讲义亮点在于分层题型设计与素养导向的方法指导，如“二次函数的应用”题型以抛物线形景观竹棚为背景，引导学生建立模型解决装饰门高度问题，培养模型意识与抽象能力。每种题型配典例及变式练习，基础题巩固概念，综合题提升推理能力，助力教师实施分层教学，学生自主复习时可精准突破薄弱点。

第二章 二次函数 教学目标 1. 理解二次函数的概念，掌握y＝ax²+bx+c（a≠0）的一般形式及顶点式、交点式，能准确识别二次函数。 2. 会绘制二次函数图象，掌握开口方向、对称轴、顶点等特征，理解其对称性与增减性。 3. 能运用待定系数法求表达式，会建立二次函数模型解决实际最值问题，知晓与一元二次方程的联系。 教学重难点 1.重点 （1）透彻理解二次函数的定义与性质，熟练掌握三种表达式的转化及图象核心特征的判断。 （2）掌握待定系数法求表达式的方法，能运用二次函数解决利润、面积等实际应用问题。 2.难点 （1）理解二次函数中系数a、b、c对图象的综合影响，难以灵活运用图象性质分析复杂问题。 （2） 难以将实际问题中的数量关系抽象为二次函数模型，解决最值问题时易忽略自变量取值范围。 知识点一、二次函数的概念 1.形如（其中是常数，）的函数叫做二次函数，称为二次项系数，为一次项系数，为常数项. 注意：二次项系数，而可以为零．二次函数的自变量的取值范围是全体实数． 2.二次函数的结构特征： ⑴ 等号左边是函数，右边是关于自变量的二次式，的最高次数是2． ⑵ 是常数，是二次项系数，是一次项系数，是常数项． 二、二次函数的图象 1.二次函数（）的图象是一条抛物线，它关于轴对称，顶点是坐标原点.当时，抛物线开口向上，顶点是抛物线的最低点；当时，抛物线开口向下，顶点是抛物线的最高点. 2. 二次函数（）的图象的顶点坐标是 （m，0） ，对称轴是直线.图象的开口方向：当时，开口向上；当时，抛物线开口向下. 3. 二次函数（）的图象的顶点坐标是 （m，k） ，对称轴是直线.图象的开口方向：当时，开口向上；当时，抛物线开口向下. 4. 二次函数（）的图象是一条抛物线，它de 对称轴是直线，顶点坐标是 ，当时，抛物线开口向上，顶点是抛物线上的最低点；当时，抛物线开口向下，顶点是抛物线上的最高点. 三、二次函数的图象与系数的关系 二次函数（）的系数与图象的关系 （1）的符号由抛物线的开口方向决定： ，； （2）的符号由抛物线的对称轴的位置及的符号共同决定：对称轴在轴左侧同号，对称轴在轴右侧异号； （3）的符号由抛物线与轴的交点的位置决定：与轴正半轴相交，与轴正半轴相交 四、二次函数的图象与几何变换 1.二次函数的平移 （1） 平移步骤： ① 将抛物线解析式转化成顶点式，确定其顶点坐标； ② 保持抛物线的形状不变，将其顶点平移到处，具体平移方法如下： （2） 平移规律 在原有函数的基础上“值正右移，负左移；值正上移，负下移”．概括成八个字“左加右减，上加下减”． 2.二次函数图象的对称 （1）关于轴对称 关于轴对称后，得到的解析式是； 关于轴对称后，得到的解析式是； （2）关于轴对称 关于轴对称后，得到的解析式是； 关于轴对称后，得到的解析式是； （3）关于原点对称 关于原点对称后，得到的解析式是； 关于原点对称后，得到的解析式是； 4. 关于顶点对称 关于顶点对称后，得到的解析式是； 关于顶点对称后，得到的解析式是． 根据对称的性质，显然无论作何种对称变换，抛物线的形状一定不会发生变化，因此永远不变．求抛物线的对称抛物线的表达式时，可以依据题意或方便运算的原则，选择合适的形式，习惯上是先确定原抛物线（或表达式已知的抛物线）的顶点坐标及开口方向，再确定其对称抛物线的顶点坐标及开口方向，然后再写出其对称抛物线的表达式． 五、 二次函数的解析式 1.二次函数解析式的表示方法 （1） 一般式：（，，为常数，）； （2） 顶点式：（，，为常数，）； （3） 两根式：（，，是抛物线与轴两交点的横坐标）. 注意：任何二次函数的解析式都可以化成一般式或顶点式，但并非所有的二次函数都可以写成交点式，只有抛物线与轴有交点，即时，抛物线的解析式才可以用交点式表示．二次函数解析式的这三种形式可以互化. 2.二次函数解析式的确定： 根据已知条件确定二次函数解析式，通常利用待定系数法． 用待定系数法求二次函数的解析式必须根据题目的特点，选择适当的形式，才能使解题简便． 一般来说，有如下几种情况： （1） 已知抛物线上三点的坐标，一般选用一般式； （2） 已知抛物线顶点或对称轴或最大（小）值，一般选用顶点式； （3）已知抛物线与轴的两个交点的横坐标，一般选用两根式； （4）已知抛物线上纵坐标相同的两点，常选用顶点式． 六、二次函数的开口方向、对称轴、顶点 函数 （） （） 图象的开口方向 向上 向下 对称轴 直线 直线 顶点坐标 七、二次函数的增减性 函数 （） （） 增减性 当时，随的增大而减小； 当时，随的增大而增大； 当时，随的增大而增大； 当时，随的增大而减小； 二次函数的最值 函数 （） （） 最值 当时，有最小值， 无最大值； 当时，有最大值， 无最小值. 八、二次函数与一元二次方程 二次函数y＝ax2+bx+c（a，b，c是常数，a≠0） 1.抛物线与x轴的交点的横坐标是一元二次方程ax2+bx+c=0的解. 2.若已知二次函数y＝ax2+bx+c的函数值为，求自变量的值，就是解一元二次方程ax2+bx+c=. 九、二次函数与轴交点情况 对于二次函数y＝ax2+bx+c（a，b，c是常数，a≠0）△＝b2﹣4ac决定抛物线与x轴的交点个数： ①△＝b2﹣4ac＞0时，抛物线与x轴有2个交点； ②△＝b2﹣4ac＝0时，抛物线与x轴有1个交点； ③△＝b2﹣4ac＜0时，抛物线与x轴没有交点. 题型01 二次函数的概念 【典例1】（25-26九年级上·浙江绍兴·期中）下列函数中，是关于的二次函数的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查二次函数的识别，解题的关键是掌握：形如（、、是常数，）的函数叫做是的二次函数．据此判断即可． 【详解】解：A．该函数不是二次函数，故此选项不符合题意； B．，该函数是关于的二次函数，故此选项符合题意； C．该函数不是二次函数，故此选项不符合题意； D．该函数不是关于的二次函数，故此选项不符合题意． 故选：B． 【变式1】（25-26九年级上·安徽阜阳·期中）若是二次函数，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】此题主要考查了二次函数定义，关键是掌握二次函数的二次项系数不为零． 根据二次函数的定义，二次项系数必须不为零，据此解答即可． 【详解】∵ 函数是二次函数， ∴ 二次项系数， ∴ ． 故选：D． 【变式2】（25-26九年级上·安徽黄山·期中）若关于的函数是二次函数，则 ． 【答案】 【分析】本题考查了二次函数的定义．根据二次函数的定义，最高次项次数为2且系数不为零，据此进行列式计算，即可作答． 【详解】解：∵关于的函数是二次函数， ∴，且， 解得，且， 故， 故答案为：． 【变式3】（25-26九年级上·浙江杭州·期中）二次函数的二次项系数是 ，常数项是 ． 【答案】 【分析】本题考查的是二次函数的一般形式．通过去括号，移项，合并同类项，得到二次函数的一般形式，即可求解． 【详解】解：∵变形为， 二次项系数为，常数项是． 故答案为：，． 题型02 y=a（x-h）²+k的图象和性质 【典例2】（25-26九年级上·安徽阜阳·期中）已知抛物线，下列结论正确的是（   ） A．顶点坐标为 B．开口向上 C．对称轴是直线 D．当时，随的增大而减小 【答案】A 【分析】本题考查二次函数顶点式的性质，包括顶点坐标、开口方向、对称轴和增减性．根据二次函数的性质求解即可． 【详解】∵抛物线解析式为，是顶点形式，其中，，， ∴顶点坐标为，故A正确． ∵，∴抛物线开口向下，故B错误． 对称轴是直线，故C错误． ∵，开口向下，对称轴为， ∴当时，随的增大而增大；当时，随的增大而减小． 选项D中当时，随的增大而增大，所以时，随增大而增大，故D错误． 因此，正确答案是A． 【变式1】（25-26九年级上·浙江温州·期中）抛物线的顶点坐标是 ． 【答案】 【分析】本题考查了二次函数的性质，掌握抛物线的顶点式是解题的关键． 根据所给抛物线的解析式即可得解． 【详解】解：由题意得，的顶点坐标为． 故答案为：． 【变式2】（25-26九年级上·浙江杭州·期中）若，两点在二次函数的图象上，则 （请填写，，中的一个） 【答案】 【分析】本题考查的是二次函数的性质，二次函数开口向上，对称轴为直线，比较点和点与对称轴的距离，距离越大函数值越大，进一步可求解． 【详解】解：二次函数（其中 ) 的图象开口向上，对称轴为直线， 点 和点 在图象上， 点到对称轴的距离为，点到对称轴的距离为， 抛物线开口向上，距离对称轴越远的点函数值越大， ， 故答案为：． 【变式3】（25-26九年级上·吉林松原·期中）已知抛物线． (1)将化成的形式； (2)直接写出该抛物线的对称轴和顶点坐标． 【答案】(1) (2)对称轴是直线，顶点坐标是 【分析】本题考查将抛物线一般式化为顶点式、顶点式的图象与性质等知识，熟记抛物线的图象与性质是解决问题的关键． （1）利用配方法将抛物线一般式化为顶点式即可得到答案； （2）根据抛物线顶点式的图象与性质直接求解即可得到答案． 【详解】（1）解： ； （2）解：由（1）中可知，对称轴是直线，顶点坐标是． 题型03 y=ax²+bx+c的图象与性质 【典例3】（25-26九年级上·四川绵阳·月考）已知二次函数，若和对应的函数值相等，则a的值为（   ） A．2 B． C．0或 D．0或2 【答案】D 【分析】本题考查了二次函数的图象和性质．掌握相关性质是求解的关键． 先求出抛物线的对称轴，利用二次函数的对称性，由于函数值相等，可知两点关于对称轴对称或重合，从而求解． 【详解】解：∵二次函数的对称轴为， 又∵和对应的函数值相等， ∴点和 关于对称轴对称或重合， ∴或， 解得或， 故选：D． 【变式1】（25-26九年级上·吉林松原·期中）如图，二次函数的部分图象与轴的一个交点的横坐标是，顶点坐标是，则下列说法正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了二次函数图象的性质，掌握二次函数图象的对称性，开口方向等知识是关键． 根据二次函数图象开口，对称性得到时，，结合特殊值即可求解． 【详解】解：∵二次函数图象开口向下， ∴， ∵二次函数的部分图象与轴的一个交点的横坐标是，顶点坐标是， ∴二次函数图象与x轴的另一个交点坐标为， ∴， ∴B选项正确，符合题意； ∴， ∴，故C选项错误； 当时，， ∴当时，，则，故A选项错误； 当时，，故D选项错误； 故选：B ． 【变式2】（25-26九年级上·湖北十堰·期中）函数的图象如图所示，则该函数的最小值是 ，最大值是 ． 【答案】 3 【分析】本题考查了二次函数在指定区间内的最值问题，解题的关键是结合函数图象确定区间内的最高点和最低点． 观察函数图象在内的最低点纵坐标，得到最小值；再看该区间内的最高点纵坐标，得到最大值． 【详解】解；从函数图象可知∶ 函数在区间内的最低点纵坐标为，因此最小值是； 函数在处的纵坐标为，是该区间内的最高点，因此最大值是． 故答案为：，3． 【变式3】 （25-26九年级上·福建福州·期中）已知二次函数． (1)补全表格，并在平面直角坐标系中用描点法画出该二次函数的图象． … 0 1 2 3 4 … … 3 0 0 … (2)该函数的顶点是________； (3)根据图象回答：当时，的取值范围是_________． 【答案】(1)见详解 (2) (3) 【分析】本题考查了二次函数与不等式的关系，二次函数的性质，熟练掌握二次函数的性质以及函数图象的作法，数形结合是解题的关键． （1）根据题目中的函数解析式可以将表格中补充完整，然后描点、连线作出图象即可； （2）根据（1）中的函数图象作答即可； （3）根据函数图象写出y的取值范围即可． 【详解】（1）解：当时，， 补全表格如下， … 0 1 2 3 4 … … 3 0 0 3 … 函数图像如图所示， （2）由（1）中函数图象可知，顶点坐标为． （3）由（1）中的函数图象可知：当时，y的取值范围是． 题型04 二次函数图象与各项系数符号 【典例4】（25-26九年级上·安徽阜阳·期中）如图，抛物线与轴相交于，两点，点的横坐标为4，点的横坐标在和0之间，则下列判断正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查根据二次函数的图象，判断式子的符号，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键． 根据图象和二次函数的性质，逐一进行判断即可． 【详解】解：由图象可得，抛物线开口向下，故， 与y轴交于正半轴，故， 对称轴在轴右侧，故， 又∵， ∴， ∴，故A选项错误，不符合题意； 由题意得，当时， ， ∵点B在到之间，且在点B的左边， ∴，故B选项错误，不符合题意； 由题意得，当时， ， ∵是抛物线与x轴交点， ∴，故C选项错误，不符合题意； ∵点的横坐标在和0之间， ∴， ∵， ∴ ，故D选项正确，符合题意． 故选D． 【变式1】（25-26九年级上·广东汕尾·期中）二次函数的图像如图所示，有如下结论：①；②；③；④（m为实数）．其中正确结论的个数是（    ） A．个 B．个 C．个 D．个 【答案】B 【分析】本题考查了二次函数的图像与性质，解题的关键是根据抛物线的开口方向、对称轴、与坐标轴的交点，分析系数a、b、c的符号及相关式子的正误． 【详解】解：由抛物线开口向上，得；对称轴，得；抛物线与轴交于负半轴，得． ①（，三数相乘为正），此结论正确； ②，此结论正确； ③，，无法判定，此结论错误； ④顶点时函数取最小值，时，此结论错误． 综上，正确结论有2个． 故选：B． 【变式2】（25-26九年级上·辽宁丹东·月考）如图是二次函数的图象，其对称轴为，下列结论：①；②；③；④，其中正确结论的是 ． 【答案】②③④ 【分析】本题考查了二次函数图象与系数之间的关系，熟练掌握二次函数的开口方向，对称轴，图象与轴交点，函数增减性并会综合运用是解决本题的关键． 由开口方向、对称轴及抛物线与轴的交点位置可判断结论①；由对称轴及对称轴公式可判断结论②；由抛物线与轴的交点可判断结论④；抛物线的对称轴直线，过点，可判断出另一个交点为，即可判断结论③；由对称轴和当时，的值，即可判断结论④． 【详解】解：抛物线开口向下、顶点在轴右侧、抛物线与轴交于正半轴， ，，， ，故①错误； 抛物线的对称轴为直线， ， ， ，故②正确； 抛物线的对称轴直线，过点， 另一个交点为， 当时，，即，故③正确； 当时，， ， ， ，即，故④正确． 故答案为：②③④． 【变式3】（25-26九年级上·湖北武汉·期中）二次函数，其图象经过点，则下列说法： ①该函数图象过点； ②； ③若点在该函数图象上，则也在该函数图象上； ④当时，y只有3个整数值，则或； 其中正确的是 （填序号）． 【答案】①③④ 【分析】本题主要考查了二次函数的图象与性质，熟练掌握二次函数的图象与性质是解题的关键． 当时，，可判断①；再由图象经过点，可得二次函数的对称轴为直线，从而得到，可判断②；根据题意可得点关于对称轴的对称点为，可判断③；当时，，然后分两种情况：当时，可得；当时，可得，可判断④． 【详解】解：当时，， ∴该函数图象过点，故①正确； ∵二次函数，其图象经过点， ∴二次函数的对称轴为直线， ∴，即， ∴，故②错误； ∵二次函数的对称轴为直线， ∴点关于对称轴的对称点为， 即点在该函数图象上，则也在该函数图象上，故③正确； ∵， ∴， 当时，， 当时， ∵当时，y只有3个整数值，1，2，3，且图象经过点， ∴， ∴； 当时， ∵当时，y只有3个整数值，3，4，5，且图象经过点， ∴， ∴， 综上所述，当时，y只有3个整数值，则或，故④正确； 故答案为：①③④． 题型05 二次函数的平移 【典例5】（25-26九年级上·广东广州·期中）把抛物线的图象向右平移2个单位，再向上平移3个单位，所得的抛物线的函数关系式是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了抛物线的平移规律，根据函数图象平移规律“左加右减，上加下减”进行整理即可． 【详解】解：向右平移2个单位，得： ， 再向上平移3个单位，得： 所得的抛物线的函数关系式为 ， 故选：A． 【变式1】（25-26九年级上·江苏苏州·期中）将二次函数的图像先向上平移3个单位长度，再向左平移1个单位长度得到的图像对应的二次函数的表达式为，则的值为（   ） A．6 B．2 C． D． 【答案】D 【分析】本题考查二次函数图像的平移，准确应用平移规则是解题关键． 根据函数图像平移规则“上加下减，左加右减”，先向上平移，再向左平移，得到新函数表达式，从而求出a和b的值． 【详解】∵ 向上平移3个单位， ∴ ， ∵ 再向左平移1个单位， ∴ ， ∴ , ， ∴ ． 故选：D． 【变式2】（25-26九年级上·吉林松原·期中）将抛物线先向右平移个单位长度，再向下平移个单位长度，得到的新抛物线的解析式是 ． 【答案】 【分析】本题考查了二次函数图象的平移，根据“左加右减，上加下减”解答即可求解，掌握二次函数图象的平移规律是解题的关键． 【详解】解：将抛物线向右平移个单位长度，得到，再向下平移个单位长度，得到， 故答案为：． 【变式3】（25-26九年级上·上海·期中）若将抛物线向左平移3个单位，那么所得抛物线的表达式是 【答案】 【分析】本题考查把二次函数的一般式化为顶点式，二次函数图象的平移规律，结合“左加右减，上加下减”进行分析，即可作答． 【详解】解：依题意，， ∵向左平移3个单位， ∴平移后抛物线的表达式为， 故答案为：． 题型06 利用二次函数的对称性求解 【典例6】（25-26九年级上·河南驻马店·期中）在函数的图象上有三点，，，，则下列各式中，正确的是（  ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查二次函数的图象，熟练掌握二次函数的图象是解题的关键． 由于，则二次函数开口向下，对称轴为，点在对称轴上，最大，点和在对称轴两侧，通过比较距离对称轴的远近，得出函数值的大小即可． 【详解】解：函数的对称轴为， 由于， 则二次函数开口向下，在处取得最大值，即为最大值， 由于点到对称轴的距离为，点到对称轴的距离为， 则点离对称轴更近，函数值更大， 因此， 故选：D． 【变式1】（25-26九年级上·山东日照·期中）已知点、是二次函数图像上的两个点，若当时，y随x的增大而减小，则m的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了二次函数的图像和性质，得到该二次函数图像的对称轴为直线或在其右侧是解决本题的关键． 首先根据点A、B是该二次函数图像上的两点且纵坐标相等，可得对称轴为直线，再根据开口向上，时，y随x的增大而减小，可得，据此即可求解． 【详解】解：点、是二次函数图像上的两个点， 该二次函数图像的对称轴为直线，且开口向上， 当时，y随x的增大而减小， 该二次函数图像的对称轴为直线或在其右侧， ， 解得， 故选：B． 【变式2】（25-26九年级上·福建福州·期中）在二次函数中，自变量与函数的部分对应值如下表： 则表中的值是 ． 【答案】 【分析】本题考查了二次函数的性质，由表可知当时，，当时，；当时，，当时，，从而得出抛物线的对称轴为直线，然后求出的值即可，掌握二次函数的性质是解题的关键． 【详解】解：由表可知，当时，，当时，， ∴抛物线的对称轴为直线， 又当时，，当时，， ∴抛物线的对称轴为直线， ∴，解得：， 故答案为：． 【变式3】（25-26九年级上·广西钦州·阶段练习）如图，抛物线与轴分别交于两点（点在点的左侧），与轴交于点，在其对称轴上有一动点，连接，当最小时，则 ． 【答案】 【分析】本题考查了利用二次函数对称性求最短路径，由题意得点关于函数对称轴的对称点为点，连接交函数对称轴于点则点为所求点；则，即的最小值为的长度；据此即可求解； 【详解】解：如图，点关于函数对称轴的对称点为点，连接交函数对称轴于点则点为所求点， 则，即的最小值为的长度； 令，则，即； 令，则，解得，即； ∴， 故答案为： 题型07 确定二次函数的解析式 【典例7】（25-26九年级上·天津南开·期中）如图，若二次函数的图象经过点，则的值为（    ） A．2 B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了二次函数图象上的点，解题的关键是掌握二次函数图象上点的坐标特征．将坐标代入二次函数表达式即可求出a的值，再由二次函数图象开口向上即可得出结果． 【详解】解：把代入函数解析式， 得： 解得， 由图象得：开口向上， ， 故． 故选：A． 【变式1】（25-26九年级上·云南玉溪·期中）小明在平面直角坐标系中画了一个二次函数的图像，该图像经过，，三点，若用顶点式表示这个二次函数，正确的是（） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了求二次函数解析式；由于二次函数经过点，，可设函数为，再代入点求出，得到一般式后通过配方化为顶点式． 【详解】∵图像经过，，∴设二次函数为． 代入点得， 解得：． ∴． 配方：． ∴顶点式为， 故选：C． 【变式2】（25-26九年级上·福建南平·期中）若二次函数（）的x与y的部分对应值如下表：则当时，y的值为 ． x 0 1 2 3 y 14 7 2 【答案】 【分析】本题考查了求二次函数解析式． 求出二次函数解析式，将代入计算即可． 【详解】解：由表格可知，二次函数经过、、， 则， 解得：， 即， 当时，． 故答案为：． 【变式3】（25-26九年级上·吉林松原·期中）已知二次函数图象与轴的交点是，，与轴交于． (1)求该抛物线的解析式； (2)判断点是否在此抛物线上． 【答案】(1) (2)不在 【分析】本题主要考查二次函数，掌握待定系数法，函数值的计算是关键． （1）运用待定系数法求解即可； （2）根据自变量的值求函数值，再进行判定即可． 【详解】（1）解：设抛物线的解析式为， 把，，， 代入，得：， 解得，， 抛物线的解析式为； （2）解：当时，， ， ∴点不在此抛物线上． 题型08 二次函数的应用 【典例8】（25-26九年级上·山东淄博·期中）图1是我国著名建筑“东方之门”，它通过简单的几何曲线处理，将传统文化与现代建筑融为了一体，最大程度地传承了中国的历史文化．“门”的内侧曲线呈抛物线形，如图2．已知其底部宽度为，高度为，则离地面处的水平宽度（即的长）为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了二次函数的应用，正确地求出函数解析式是解题的关键．先建立直角坐标系，再根据题意设抛物线的解析式，然后根据点在抛物线上，可求出抛物线的解析式，最后将代入求出x的值，即可得的长． 【详解】解：以底部所在的直线为x轴，以线段的垂直平分线所在的直线为y轴建立平面直角坐标系， ， 设抛物线的解析式为， 将代入， 得， 解得：， ∴抛物线的解析式为， 将代入得：， 解得：， ， 故选：A． 【变式1】（25-26九年级上·广东广州·月考）每一次投篮，篮球在空中划出的轨迹都是一条优美的抛物线．如图，这是一次投篮时篮球的运动轨迹，它满足二次函数，其中（米）代表篮球飞行的高度，（米）代表篮球飞行的水平距离，则这次投篮时，篮球出手点的高度为 米． 【答案】2 【分析】本题考查二次函数与实际问题，理解题意是解题的关键．把代入函数解析式，即可解答． 【详解】解：令，则， ∴篮球出手点的高度为2米． 故答案为：2． 【变式2】（25-26九年级上·山东淄博·期中）如图，单孔拱桥的形状近似抛物线形，建立如图所示的平面直角坐标系，在正常水位时，水面宽度为，拱桥的最高点B到水面的距离为．求抛物线的表达式． 【答案】 【分析】此题考查待定系数法求函数解析式，根据实际问题得到图象上点的坐标，设定函数解析式是解题的关键．由题意可知，顶点坐标，设二次函数顶点式，将代入求出，即可得到抛物线的表达式． 【详解】解：由题意可知，顶点坐标， 设抛物线解析式为， 将代入得， 解得：， 则抛物线的表达式． 【变式3】（25-26九年级上·云南怒江·期中）如图1是某公园一个抛物线形状的景观竹棚，其截面示意图如图2所示，量得，最高处点P与地面的距离为．现以点O为原点，所在直线为x轴，过点O作的垂线为y轴建立平面直角坐标系． (1)求该抛物线对应的函数解析式． (2)现因举办活动，需要临时搭建一个矩形“装饰门”，该“装饰门”关于抛物线的对称轴对称，其中，，为三根承重钢支架，点A，D在抛物线上，点B，C在上，已知，则“装饰门”高多少米？ 【答案】(1) (2)“装饰门”高 【分析】本题考查了二次函数的应用，解题的关键是掌握待定系数法求二次函数解析式． （1）根据题意得到顶点坐标为，再利用待定系数法即可得解； （2）先求得点的横坐标为2，利用二次函数的性质求得，据此即可得解． 【详解】（1）解：由题意，得该拋物线的顶点坐标为， 设该抛物线对应的函数解析式为． 将代入，得，解得， 该抛物线对应的函数解析式为； （2）解：，矩形关于抛物线的对称轴对称，， ， 点的横坐标为2． 当时，， ， 即“装饰门”高． 题型9 二次函数与一元二次方程 【典例9】（25-26九年级上·福建厦门·期中）如图，二次函数的图象与x轴的一个交点坐标为，则关于x的一元二次方程的实数根是（    ） A．， B．， C．， D．， 【答案】A 【分析】本题考查了抛物线与轴的交点、二次函数的对称轴，关键是掌握二次函数的对称性． 关于的一元二次方程的两实数根，就是二次函数的图象与轴的两个交点的横坐标，根据一个交点的坐标和二次函数的对称轴，即可求出二次函数的图象与轴的另一个交点的坐标． 【详解】解：二次函数的解析式是， 该抛物线的对称轴是， 二次函数的图象与轴的一个交点为， 根据抛物线的对称性可知，该抛物线与轴的另一个交点的坐标是， 关于的一元二次方程的两实数根分别是，． 故选：A． 【变式1】（25-26九年级上·浙江金华·期中）下表是函数的部分自变量与对应的函数值： x y 根据此表，可以判断方程的一 个解x 可能的取值范围是 ． 【答案】 【分析】本题考查观察图表得知函数值情况，一元二次方程的根，二次函数与一元二次方程的关系．通过观察函数值的变化，当时，时，因此方程根在和之间． 【详解】解：由表可知，当时，；当时，， 由于二次函数图象是连续的，函数值由负变正，说明方程的一个解在和之间，即， 故答案为：． 【变式2】（25-26九年级上·福建福州·期中）已知抛物线与x轴的一个交点为，则代数式的值为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了抛物线与x轴的交点，求代数式的值. 先将点代入抛物线的关系式，再整理得出答案． 【详解】∵抛物线与x轴的一个交点， ∴， 即， 所以． 故答案为：． 【变式3】（25-26九年级上·广西南宁·期中）如图，已知抛物线与x轴交于A，B两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C． (1)写出点A，B，C的坐标； (2)点P为第一象限内抛物线上一动点，求面积的最大值； (3)若M为抛物线的对称轴上的一个动点，使得为直角三角形，请直接写出点M的坐标． 【答案】(1)点、、的坐标分别为：、、； (2) (3)点的坐标为：或或或． 【分析】本题考查的是二次函数综合运用，涉及到一次函数、点的对称性、图形的面积计算等，解题的关键是要注意分类求解，避免遗漏； （1）令，则或5，令，则，即可求解； （2）过点作轴交于，交直线于点，将问题转为，再利用二次函数的性质求解； （3）分为斜边、为斜边、为斜边三种情况，分别求解即可． 【详解】（1）解：令，则或5，令，则， 故点、、的坐标分别为：、、； （2）解：设点，其中，过点作轴交于，交直线于点， 设直线：，将、代入其中， ，解得：， ， ， ， ， ，抛物线开口向下，其最大值在顶点处取得， ，代入上式得：最大值为， 面积的最大值；； （3）解：设点，而点、的坐标分别为：、， 则，，， ①当为斜边时，则，解得：； ②当为斜边时，同理可得：； ③当为斜边时，同理可得：或； 综上点的坐标为：或或或． 题型10 二次函数与不等式 【典例10】（25-26九年级上·浙江金华·期中）已知二次函数（为常数，），当时，，则二次函数的图象可能为（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查二次函数的图象与性质，熟练掌握二次函数的图象与性质是解题的关键；因此此题可根据二次函数的图象与性质进行排除选项即可． 【详解】解：∵当时，， ∴函数与x轴的交点为和，且开口向下， ∴，且当时，该方程的解为， ∴， 解得：， ∴， ∴开口向下，对称轴为直线，在轴的左侧，与轴交于正半轴， ∴选项A为的图象， 故选：A． 【变式1】（25-26九年级上·浙江金华·期中）设二次函数（a，b，c是常数，），如表列出了x、y的部分对应值． x … 1 2 3 … y … m 0 n … 不等式的解集是 ． 【答案】或 【分析】本题考查二次函数与不等式，掌握知识点是解题的关键． 根据表格数据，当和时，函数值均为，可知二次函数的对称轴为．当时，函数值为，利用对称性可得另一交点横坐标为．由函数值在对称轴两侧为负，判断抛物线开口向上，因此不等式解集为两根之外，即可解答． 【详解】解：由表格可知，当时，，当时，， 因此二次函数的对称轴为直线． 当时，，则点关于对称轴的对称点为， 故抛物线与轴交于点和． 由于当和时函数值均为负，且对称轴为， 可知抛物线开口向上，即． 因此，不等式的解集为或． 故答案为：或． 【变式2】（25-26九年级上·广东广州·月考）如图，抛物线与直线交于两点，则不等式的解集是 【答案】 【分析】本题考查二次函数与一次函数图象的交点问题，利用图象求不等式的解集，找到直线在抛物线上方时的自变量的取值范围即可． 【详解】解：抛物线与直线交于两点， 由图象可知，不等式的解集是； 故答案为：． 【变式3】（25-26九年级上·江苏苏州·期中）如图，在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于点A，B，与y轴交于点C． (1)求顶点D的坐标； (2)当时，y的取值范围？ (3)求的面积． 【答案】(1) (2) (3)3 【分析】本题考查了抛物线的顶点和与坐标轴的交点，利用二次函数图象解不等式，二次函数上点的坐标特征，掌握相关知识是解决问题的关键． （1）把函数解析式化为顶点式即可； （2）求出当时的函数值，结合函数的图象求出y的取值范围； （3）令求出、点坐标，令求出点坐标，作轴交直线于交轴于，可求出解析式及点坐标，利用求解即可． 【详解】（1）解：， 顶点的坐标为； （2）解：当时，， 当时，， ∵顶点的坐标为， ∴当时，， 由图象得当时，； （3）解：令，即， 解得，，， ，， 令，则， ， 设解析式为，代入坐标得： 解得， ∴解析式为， 作轴交直线于， 当时，代入， ∴， ， ． 一、单选题 1．（25-26九年级上·云南怒江·期中）抛物线的对称轴是直线（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了二次函数顶点式的性质. 根据抛物线顶点式的对称轴为直线，直接作答即可. 【详解】解：∵抛物线方程为， ∴ 对称轴为直线. 故选：A. 2．（25-26九年级上·浙江温州·期中）如图是二次函数的图象，观察图象，当时，的取值范围为（   ）． A． B．或 C． D．或 【答案】A 【分析】本题考查二次函数的图象与性质，二次函数与不等式，熟练运用二次函数的对称性是解题关键． 由图象可知，这条抛物线的对称轴是直线，其与x轴的一个交点为．根据对称性求出另一个交点，再结合图象判断x的取值范围即可． 【详解】解：由图象可知，抛物线的对称轴为直线，其与x轴的一个交点为．由函数的对称性可知，抛物线与x轴的另一个交点为． 当时，图象为两个交点中间的一段，因此的取值范围为． 故选：A． 3．（25-26九年级上·重庆永川·期中）把抛物线先向右平移3个单位，再向上平移2个单位，得到抛物线的解析式为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了二次函数图象与几何变换，根据抛物线平移的规律即可求解，熟练掌握平移的规律：左加右减，上加下减，并用规律求函数解析式是解题的关键． 【详解】解：∵把抛物线先向右平移3个单位，再向上平移2个单位， ∴得到的抛物线的解析式是， 故选：C． 4．（25-26九年级上·安徽合肥·期中）已知抛物线，下列结论中错误的是（　　） A．抛物线的开口向下 B．当时，随的增大而增大 C．当时，取最大值 D．抛物线的对称轴为直线 【答案】B 【分析】本题考查二次函数的性质． 根据二次函数的性质逐一判断即可． 【详解】解：∵， ∴，抛物线开口向下，故A正确； 对称轴为直线，故D正确； 顶点为，当时，取最大值2，故C正确； ∵开口向下，对称轴为， ∴当时，随的增大而减小，故B错误； 故选：B． 5．（25-26九年级上·广东汕尾·期中）如图是抛物线部分图象，其对称轴是直线，且经过点，则下列说法：①当时，y随x的增大而增大；②；③；④当时，，其中正确的有（    ） A．①② B．②③ C．③④ D．②③④ 【答案】B 【分析】本题主要考查了二次函数的图象与性质，抛物线与x轴的交点问题，利用图象法解不等式等知识点，解题的关键是正确利用数形结合的思想求解． 根据抛物线开口向上，对称轴为直线，即，即可判断①②；根据抛物线对称轴为直线，且经过，得到抛物线经过，即可判断③④． 【详解】解：∵抛物线开口向上，对称轴为直线， ∴当时，y随x的增大而减小，故①错误； ∵对称轴为直线， ∴， ∴，则，故②正确； ∵抛物线经过，对称轴为直线， ∴抛物线经过点， ∴将代入，则，故③正确； ∵抛物线开口向上，且与轴交点为， ∴当时，，故④错误， ∴正确的有②③， 故选：B． 二、填空题 6．（25-26九年级上·湖北武汉·期中）如图，抛物线与直线交于，两点，它们的横坐标分别为，4，则方程的解是 ． 【答案】， 【分析】本题考查了根据二次函数图象与一次函数图象交点求方程的解，理解交点的意义是解题的关键． 根据抛物线与直线交于，两点，它们的横坐标分别为，4，即可得到答案． 【详解】解：∵抛物线与直线交于，两点，它们的横坐标分别为，4， ∴方程的解为，． 故答案为：，． 7．（25-26九年级上·山东东营·期中）已知二次函数的部分图象如图所示，则 ． 【答案】3 【分析】本题主要考查了求函数解析式．把点代入，即可求解． 【详解】解：观察图象得：抛物线过点， 把点代入得： ， 解得：． 故答案为：3． 8．（25-26九年级上·湖北孝感·期中）如图，抛物线与直线的两个交点坐标分别为，，则不等式的解集是 ． 【答案】或 【分析】本题考查了二次函数与一次函数的图象与不等式的关系，解题的关键是根据两函数图象的交点，确定抛物线在直线上方（含交点）对应的的取值范围． 【详解】解：不等式表示抛物线在直线上方（含交点）的部分对应的的取值． 已知两函数交点坐标为和，结合图象可知，此时或． 故答案为：或． 9．（25-26九年级上·辽宁葫芦岛·月考）已知二次函数，下表给出了与的几对对应值，由此判断，表中 ． x … 0 1 2 3 4 … y … m 1 1 5 … 【答案】5 【分析】本题考查了用列表法描述二次函数，理解二次函数的图象的轴对称性是解题的关键．通过表格中y值相同的点确定二次函数的对称轴，再利用对称性求m的值． 【详解】解：由表格数据可知，当和时，y值均为， 二次函数的对称轴为直线， 点和关于对称轴对称，当时，， ． 故答案为：5． 10．（25-26九年级上·吉林·期中）二次函数的图象如图所示，其对称轴是直线，图象上点的坐标是，下面几个结论：①；②；③方程没有实数根；④．其中正确的结论有 （请写出所有正都结论的序号）． 【答案】②④/④② 【分析】①常数项决定二次函数与轴交点的位置，结合二次函数与轴的交点和对称性即可确定二次函数与轴交点的位置，从而判断的正负； ②二次函数的对称轴公式为，将代入对称轴公式即可判断； ③方程是否有实数根，观察直线与二次函数是否有交点即可； ④将代入函数解析式，判断函数值的正负即可； 【详解】解：①函数的对称轴是直线，由图象知抛物线与轴的其中一个交点在和之间，根据二次函数的对称性，另一个交点应在和之间，则抛物线与轴的交点在轴的下方，则，故①错误； ②∵函数的对称轴是直线， ∴， ∴，故②正确； ③由图象得直线与二次函数有2个交点，则方程有2个实数根，故③错误； ④由①知，， ∴当时，， 则当时，，故④正确． 故答案为：②④． 【点睛】本题主要考查了二次函数的图象与系数的关系，根据二次函数确定一元二次方程根的情况，熟练掌握二次函数的图象与系数的关系，运用数形结合的思想是解题的关键． 三、解答题 11．（25-26九年级上·浙江金华·期中）已知函数（b，c为常数）的图象经过点． (1)求二次函数表达式(用一般式表示）． (2)当时，求函数y的最大值和最小值． 【答案】(1)； (2)最大值为4，最小值为． 【分析】本题主要考查了二次函数的表达式求解以及二次函数在区间内的最值问题，熟练掌握二次函数的交点式、抛物线的开口方向与对称轴的性质是解题的关键． （1）利用二次函数的交点式，结合已知的两个交点坐标求出函数表达式． （2）先确定抛物线的开口方向和对称轴，再根据给定的的取值范围，分析函数的增减性，从而求出最大值和最小值． 【详解】（1）解：∵函数图象经过点，，且， ∴函数解析式为； （2）由得：函数解析式为， ∴抛物线开口向下，对称轴为直线， ∵， ∴当时，y的值为4， 当时，y的值为3， 当时，y的值为． 即最大值为4，最小值为． 12．（25-26九年级上·黑龙江大兴安岭地·月考）如图，抛物线 过点和点，与y轴交于点 C，过点C作轴交抛物线于点 D，连接． (1)求抛物线的解析式； (2)若过点A 的直线交于点E，直线将四边形分成两部分，且这两部分的面积之比为，请直接写出点E的坐标． 【答案】(1) (2)点E的坐标是或 【分析】本题考查了二次函数的解析式以及与面积的综合问题，正确求出解析式是解题关键． （1）由题意得抛物线的解析式为：； （2）根据轴，推出是抛物线上的对称点，求出；求出直线的解析式，分类讨论若，若两种情况即可求解； 【详解】（1）解：∵抛物线 过点和点， ∴抛物线的解析式为：； （2）解：令，则 ∴； ∵， ∴抛物线的对称轴是直线， ∵轴， ∴是抛物线上的对称点， ∴； 设直线的解析式为：， 则， 解得：， ∴直线的解析式为：， 四边形的面积， ∵过点A 的直线交于点E， ∴， 若，则，解得：； ∴（符合题意）； ∴ 若，则，解得：； ∴（符合题意）； ∴ 综上所述，点E的坐标为或 13．（25-26九年级上·安徽合肥·期中）在校园足球社团课上同学们一起踢足球，球射向球门的路线呈抛物线形，小罗同学从球门正前方的处射门，当球飞行的水平距离为时，球达到最高点，此时球离地面，球门高为． (1)请建立适当平面直角坐标系，求该抛物线对应的函数表达式； (2)小罗此次射门能否射入球门内？请通过计算说明理由． 【答案】(1)该抛物线对应的函数表达式为； (2)小罗此次射门不能射入球门内，理由见解析． 【分析】本题考查的知识点是二次函数的实际应用，待定系数法求解析式，解题关键是根据题意正确求出二次函数解析式． （1）先根据题意建立平面直角坐标系，得到顶点坐标和点坐标，设抛物线解析式为，将点代入即可求解； （2）当时，，即可作答． 【详解】（1）解：如图所示：以为原点，为轴，建立平面直角坐标系， ， 抛物线顶点为，经过点， 设抛物线解析式为， 将点代入得， 解得， 该抛物线对应的函数表达式为； （2）解：由题意得，当时，， 小罗此次射门不能射入球门内． 14．（25-26九年级上·甘肃庆阳·期中）某驻村工作队，为带动群众增收致富，巩固脱贫攻坚成效，决定在该村山脚下，围一块矩形试验茶园，便于成功后大面积推广．如图所示，茶园一面靠墙，墙长，另外三面用长的篱笆围成，其中一边开有一扇宽的门（不包括篱笆）． (1)若矩形面积为，求这个茶园的长和宽． (2)当，分别为多少米时，茶园的面积最大？最大面积是多少？ 【答案】(1)这个茶园的长为，宽为 (2)当，时，茶园的面积最大，最大面积是 【分析】本题主要考查一元二次方程的应用及二次函数的应用，解题的关键是理解题意； （1）设这个茶园的宽为，则长为，由题意可得方程，进而求解即可； （2）设，则有，茶园的面积为，由题意易得，然后可得，进而根据二次函数的性质可进行求解． 【详解】（1）解：设这个茶园的宽为，则长为，由题意得： ， 解得：， ∵墙长， ∴，且， 解得：， ∴， ∴长为； 答：这个茶园的长为，宽为 （2）解：设，则有，茶园的面积为， 由题意得：， 由（1）可知：， ∵， ∴当时，茶园的面积为取得最大值，最大值为； 答：当，时，茶园的面积最大，最大面积是． 15．（25-26九年级上·江西赣州·期中）在平面直角坐标系中，若点P的横坐标和纵坐标互为相反数，则称点P为“相反点”，如点，都是“相反点”． 探究1（1）下列结论中，正确的是______（填写正确结论的序号）． ①一次函数的图象上存在“相反点”，且只有一个“相反点”； ②一次函数的图象上存在“相反点”； ③所有的“相反点”都在直线上． 探究2（2）小亮在研究抛物线时，发现抛物线上有且只有一个“相反点”．求抛物线的解析式． 探究3（3）如图，将一拱桥抽象成平面直角坐标系上抛物线的一部分，且抛物线关于y轴对称，水位警戒线刚好经过抛物线的“相反点”．已知平时水位线在位置（点A，B在x轴上），水面的宽为，由于最近降雨频繁，水位上升到达处，这时水面的宽为，试判断此时水位是否到达警戒线，并说明理由．    【答案】（1）①③； （2）； （3）水位超过了警戒线，理由见解析． 【分析】本题考查了二次函数的应用，一次函数图象上点的坐标特征，解题的关键是正确理解新定义． （1）先设出直线上的参数坐标，再根据“相反点”的定义得到方程求解判断即可； （2）把代入得：①．再根据“相反点”的定义关于x的方程有两个相等的实数根，则②，再联立①②解方程组即可； （3）先确定，，设抛物线解析式为，再代入求出函数解析式，然后根据“相反点”的定义得到方程当，再解方程即可判断． 【详解】解：（1）①设直线上任意一点为， 由题意得，，解得， ∴“相反点”为，故①正确； ②设直线上任意一点为， 由题意得，，该方程无解 ∴一次函数的图象上不存在“相反点”，故②错误； ③直线上任意一点可设为，满足“相反点”定义， ∴所有的“相反点”都在直线上，故③正确， 故答案为：①③； （2）把代入得：①． ∵抛物线有且只有一个“相反点”， ∴关于x的方程有两个相等的实数根， 整理得， ∴②． 由①②可得，． ∴抛物线的解析式为； （3）水位超过了警戒线． 理由如下：由题意得：，， 设抛物线解析式为：， ∴， 解得：， ∴抛物线的解析式为：． 当，得，（舍去）， ∴． ∵， ∴水位已超过警戒线． 16．（25-26九年级上·云南怒江·期中）如图，已知抛物线与轴交于点，，与轴交于点． (1)求该抛物线对应的函数解析式； (2)已知为抛物线对称轴上一动点，求周长的最小值； (3)若为抛物线上一点，当点运动到直线下方时，求面积的最大值． 【答案】(1) (2)最小值为 (3)最大值为 【分析】本题考查了待定系数法求二次函数解析式，轴对称解决最短路径问题，三角形面积的计算方法等知识点，熟练掌握以上知识点是解题的关键； （1）利用待定系数法求二次函数解析式即可； （2）利用轴对称解决最短路径问题； （3）根据三角形面积计算方法结合二次函数求最值即可求解； 【详解】（1）解：将点，分别代入， 得 解得 该抛物线对应的函数解析式为． （2）解：由（1）得该抛物线对应的函数解析式为， 该抛物线的对称轴为． ，， 点关于对称轴的对称点为点． 如图1，连接，则与对称轴的交点即为点P，连接， 周长的最小值为． 点，，， ，， 周长的最小值为． （3）解：设直线对应的函数解析式为． 将点，分别代入，得 解得 直线对应的函数解析式为． 设点． 如图2，过点作轴，交于点，则点， ， ． 点在直线的下方，即， 当时，的面积有最大值，最大值为． 17．（25-26九年级上·山东淄博·期中）如图，一位足球运动员在一次训练中，从球门正前方的A出射门，已知球门高为，球射向球门的路线可以看作是抛物线的一部分，当球飞行的水平距离为时，球达到最高点，此时求的竖直高度为．现以O为原点，如图建立平面直角坐标系． (1)求抛物线表示的二次函数关系式； (2)通过计算判断球能否射进球门（忽略其他因素）； (3)若运动员射门路线的形状、最大高度均保持不变，他带球向正后方移动米射门，才能让足球经过点O正上方和之内进球，求t的取值范围． 【答案】(1) (2)， ，不能射进球门 (3) 【分析】此题考查了二次函数的应用，待定系数法求函数解析式、二次函数图象的平移等知识，读懂题意，熟练掌握待定系数法是解题的关键． （1）求出抛物线的顶点坐标，设出抛物线的顶点式，用待定系数法即可求出抛物线表示的二次函数解析式； （2）当时，求出的值再与比较，即可知球能不能射进球门； （3）设抛物线向右平移t米后的解析式为：，分别将，；，代入，求出的值，即知当时他应该带球向正后方移动多少米射门，才能让足球经过点O正上方和之内进球． 【详解】（1）解：∵， ∴抛物线的顶点坐标为， 设抛物线为， 把点代入得：， 解得， ∴抛物线的函数解析式为：； （2）解：当时，， ∴球不能射进球门． （3）解：设抛物线向右平移t米后的解析式为：， 将，代入，， 解得，（舍去） 将，代入，， 解得，（舍去） ∴时，才能让足球经过点O正上方和之内进球． 18．（25-26九年级上·广东江门·期中）如图，抛物线与轴交于、两点（A在的左侧），与轴交于点，过A点的直线与轴交于点，与抛物线的另一个交点为，已知，，点为抛物线上一动点（不与、重合）． (1)求抛物线的解析式； (2)当点在直线上方的抛物线上时，连接、，当的面积最大时，求点的坐标； (3)设为直线上的点，探究是否存在点，使得以点、、、为顶点的四边形为平行四边形？若存在，直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2) (3)存在，点的坐标为或或或 【分析】此题考查了二次函数的图象和性质，平行四边形的性质、二次函数与四边形综合题等知识，数形结合是关键． （1）利用待定系数进行解答即可； （2）过点作轴，交直线于点，求出，根据二次函数的性质即可求出答案； （3）分情况进行解答即可． 【详解】（1）解：将，代入抛物线解析式得： ， 解得：， ∴抛物线的表达式为：； （2）解：如图，过点作轴，交直线于点， 由题意设点，则点， ， ， ，∴当时，取最大值27， 此时； （3）解：在抛物线：中，令，则；在直线中，令，则； ，， ， ①当是平行四边形的一条边时，设，则点， 由题意得：，即：， 解得：或或（舍去，此时和重合）， 则点坐标为或或； ②当是平行四边形的对角线时，则的中点坐标为， 设点，则点， ∵以、、、为顶点的四边形为平行四边形， 的中点即为中点， ，， 解得：或（舍去，此时和重合）， 故点， 综上，点的坐标为或或或． 2 / 37 学科网（北京）股份有限公司 $函学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 第二章 二次函数 内容概览 教学目标、教学重难点 知识点1二次函数的概念 知识点2二次函数的图象 知识点3二次函数与系数的关系 知识点4二次函数图象的几何变换 知识清单 知识点5二次函数的解析式 知识点6二次函数的应用 知识点7二次函数与一元二次方程 第二章二次函数 题型1二次函数的概念 题型2y=a(x-h)2+k的图像和性质 题型3y=ax2+bx+c的图像与性质 题型4二次函数图象与各项系数符号 题型5二次函数图象的平移 题型精讲 题型6利用二次函数的对称性求解 题型7确定二次函数的解析式 题型8二次函数的应用 题型9二次函数与一元二次方程 题型10二次函数与不等式 强化训练 教学目标、教学重难点 1.理解二次函数的概念，掌握y=ax2+bx+c(a0)的一般形式及顶点式、交点式，能 准确识别二次函数。 2.会绘制二次函数图象，掌握开口方向、对称轴、顶点等特征，理解其对称性与增减 教学目标 性。 3.能运用待定系数法求表达式，会建立二次函数模型解决实际最值问题，知晓与一元 二次方程的联系。 1/20 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 1.重点 (1)透彻理解二次函数的定义与性质，熟练掌握三种表达式的转化及图象核心特征 的判断。 (2)掌握待定系数法求表达式的方法，能运用二次函数解决利润、面积等实际应用 问题。 教学重难点 2.难点 (1)理解二次函数中系数a、b、c对图象的综合影响，难以灵活运用图象性质分析复 杂问题。 (2)难以将实际问题中的数量关系抽象为二次函数模型，解决最值问题时易忽略 自变量取值范围。 知识清单 知识点一、二次函数的概念 1,形如y=ax+bX+C(其中Q,b,C是常数，Q≠0）的函数叫做二次函数，称a为二次项系 数，b为一次项系数，C为常数项. 注意：二次项系数a≠0，而b,C可以为零.二次函数的自变量的取值范围是全体实数. 2.二次函数y=r+br+C的结构特征： ()等号左边是函数，右边是关于自变量x的二次式，x的最高次数是2. (②)a,b,c是常数，a是二次项系数，b是一次项系数，c是常数项. 二、二次函数的图象 1.二次函数y=ax2（a≠0）的图象是一条抛物线，它关于y轴对称，顶点是坐标原点.当 Q>0时，抛物线开口向上，顶点是抛物线的最低点：当Q<0时，抛物线开口向下，顶点是抛物线 的最高点 2.二次函数y=aX-m2(a≠0)的图象的顶点坐标是《m,0),对称轴是直线x=m·图 象的开口方向：当Q>0时，开口向上；当Q<0时，抛物线开口向下 3.二次函数y=aX-m+k(a≠0)的图象的顶点坐标是(m,k),对称轴是直线X=m. 图象的开口方向：当Q>0时，开口向上：当Q<0时，抛物线开口向下 b X=- 4.二次函数y=ax+bx+c(Q≠0)的图象是一条抛物线，它de对称轴是直线2a,顶点 b 4ac-b2 坐标是 2a’4a 当a>0时，抛物线开口向上，顶点是抛物线上的最低点；当a<0时， 2/20 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 抛物线开口向下，顶点是抛物线上的最高点， 三、二次函数的图象与系数的关系 二次函数y=ax+bx+C(a≠0）的系数与图象的关系 (1)a的符号由抛物线y=ax+bX+C的开口方向决定： 开口向上台a>0 开口向上台a>0 (2)b的符号由抛物线y=aX+bX+C的对称轴的位置及Q的符号共同决定：对称轴在y轴 左侧台a,b同号，对称轴在y轴右侧9a,b异号： (3)c的符号由抛物线y=ax+bx+C与y轴的交点的位置决定：与y轴正半轴相交 台C>0,与y轴正半轴相交台C<0 四、二次函数的图象与几何变换 1.二次函数的平移 (1)平移步骤： ①将抛物线解析式转化成顶点式y=(x-°+k,确定其顶点坐标h,个： ②保持抛物线y=心的形状不变，将其顶点平移到h,处，具体平移方法如下： 向上(k>O)【或向下(k<0)】平移k个单位 y=ax2 y=ax2+k 向右(h>0)【或左(h<0)】 向右(h>0)【或左(h<0)】 平移个单位 向右(h>0)【或左(h<0)】 平移k个单位 平移个单位 向上(k>0)【或下(k<O) 平移k个单位 y=a(x-h)2 向上(K>0)【或下（化<0）】平移k个单位 y=a(x-h)2+k (2)平移规律 在原有函数的基础上“h值正右移，负左移；k值正上移，负下移”.概括成八个字“左加右减，上加下 减”. 2.二次函数图象的对称 (1)关于x轴对称 y=r+br+c关于x轴对称后，得到的解析式是y=-r2-br-c; y=a(r-'+k关于x轴对称后，得到的解析式是=-ax--k, (2)关于'轴对称 y=ar+br+c关于y轴对称后，得到的解析式是y=ar-br+c; 3/20 函学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 y=a(x-+k关于y轴对称后，得到的解析式是y=a(x++k。 (3)关于原点对称 y=r+br+c关于原点对称后，得到的解析式是y=-am+br-c: y=a(x-°+k关于原点对称后，得到的解析式是y=-ax+°-， 4.关于顶点对称 b2 )=r+加+c关于顶点对称后，得到的解析式是'=-ar-+c 2a: y=ax-°+关于顶点对称后，得到的解析式是y=-ax-+k。 根据对称的性质，显然无论作何种对称变换，抛物线的形状一定不会发生变化，因此风永远不变.求抛物 线的对称抛物线的表达式时，可以依据题意或方便运算的原则，选择合适的形式，习惯上是先确定原抛物 线（或表达式已知的抛物线）的顶点坐标及开口方向，再确定其对称抛物线的顶点坐标及开口方向，然后 再写出其对称抛物线的表达式。 五、二次函数的解析式 1.二次函数解析式的表示方法 (1)一般式：y=ar2+br+c(a,b,c为常数，a≠0)： (2)顶点式：y=ar-+k(a,h,k为常数，a≠0)： (3)两根式：y=(x-x-)(a≠0，X,是抛物线与x轴两交点的横坐标). 注意：任何二次函数的解析式都可以化成一般式或顶点式，但并非所有的二次函数都可以写成交点式，只 有抛物线与x轴有交点，即b-4c≥0时，抛物线的解析式才可以用交点式表示.二次函数解析式 的这三种形式可以互化 2.二次函数解析式的确定： 根据已知条件确定二次函数解析式，通常利用待定系数法. 用待定系数法求二次函数的解析式必须根据题日的特点，选择适当的形式，才能使解题简便， 一般来说，有如下几种情况： (1)已知抛物线上三点的坐标，一般选用一般式： (2)已知抛物线顶点或对称轴或最大（小）值，一般选用顶点式： (3)已知抛物线与x轴的两个交点的横坐标，一般选用两根式； (4)已知抛物线上纵坐标相同的两点，常选用顶点式. 六、二次函数的开口方向、对称轴、顶点 函数 y=ax +bx+c (a>0) y=ax +bx+c (a<0) 图象的开口方向 向上 向下 b b 对称轴 X=- X=一 直线2a 直线2a 4/20 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 b 4ac-b2 b 4ac-b2 顶点坐标 2a 4a 2a 4a 、 二次函数的增减性 函数 y=ax +bx+c (a>0) y=ax +bx+c (a<0) b x<- X<- 当2a时，'随x的增大而减小： 当 2a时，y随x的增大而增大： 增减性 x>- 当2a时，y随x的增大而增大； 6 x>- 当2a时，y随x的增大而减小： 二次函数的最值 函数 y=ax+bx+c (a>0) y=ax +bx+c (a<0) 4ac-D b 4ac-b2 必 X=- 当2a时，y有最小值4a 2a时，y有最大值4a 最值 无最大值： 无最小值 八、二次函数与一元二次方程 二次函数y=ax+bx+c(a,b,c是常数，a≠0) 1.抛物线与x轴的交点的横坐标是一元二次方程ax+bx+c=0的解. 2.若已知二次函数y=ax+bx+c的函数值为s,求自变量x的值，就是解一元二次方程ax2+bx+c= 九、二次函数与x轴交点情况 对于二次函数y=ax+bx+c(a,b,c是常数，a≠0)△=b-4ac决定抛物线与x轴的交点个数： ①△=b2-4ac>0时，抛物线与x轴有2个交点： ②△=b2-4ac=0时，抛物线与x轴有1个交点； ③△=6-4ac<0时，抛物线与x轴没有交点。 题型精讲 题型01二次函数的概念 【典例1】(25-26九年级上·浙江绍兴·期中)下列函数中，y是关于x的二次函数的是() A.y=3x B.y=-xx-2) c D.x=y2 【变式1】(25-26九年级上安徽阜阳期中)若y=(a-4)x2-3x+4是二次函数，则a的取值范围是 5/20 学科网·上好课 www .zxxk.com 上好每一堂课 () A.a≠0 B.a>0 C.a>4 D.a≠4 【变式2】(25-26九年级上安徽黄山-期中)若关于x的函数y=(m-刂x1-x-2是二次函数，则m= 【变式3】(25-26九年级上浙江杭州期中)二次函数y=(2x-(1-x)的二次项系数是一，常数项是一 题型02y=a(x-h)2+k的图象和性质 【典例2】(25-26九年级上·安徽阜阳·期中)已知抛物线y=-(x-5)2+2,下列结论正确的是() A.顶点坐标为(5,2) B.开口向上 C.对称轴是直线x=-5 D.当x<-5时，y随x的增大而减小 【变式1】(25-26九年级上·浙江温州·期中)抛物线y=2(x-4)+6的顶点坐标是 【变式2】(25-26九年级上·浙江杭州·期中)若A-3,y),B1,2)两点在二次函数 y=a(x+2)2-k(a>0)的图象上，则y一y2(请填写<，=，>中的一个) 【变式3】(25-26九年级上·吉林松原·期中)已知抛物线y=x2+4x-1. (1)将y=x2+4x-1化成y=ax-h)+k的形式： (2)直接写出该抛物线的对称轴和顶点坐标. 题型O3y=ax2+bx+c的图象与性质 【典例3】(25-26九年级上·四川绵阳·月考)已知二次函数y=x2-2x+2,若x=0和x=a对应的函数值 相等，则a的值为() A.2 B.-2 C.0或-2 D.0或2 【变式1】(25-26九年级上·吉林松原·期中)如图，二次函数y=ax2+bx+c的部分图象与x轴的一个交点 6/20 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 的横坐标是-3，顶点坐标是(-1,4)，则下列说法正确的是() (1,4) A.ac>0 B.a+b+c=0 C.2a+b=0 D.4a-2b+c=0 【变式2】(25-26九年级上·湖北十堰·期中)函数y=ax2+bx+c(0≤x≤3)的图象如图所示，则该函数的最 小值是一，最大值是一 A 【变式3】 (25-26九年级上·福建福州期中)已知二次函数y=x2-4x+3, ()补全表格，并在平面直角坐标系中用描点法画出该二次函数的图象. 0 1 2 3 y 3 0 -1 0 3 2 -5-4-3-2-101 方45 2 --t--3 (2)该函数的顶点是 (3)根据图象回答：当0≤x<3时，y的取值范围是 0 1 2 3 3 0 -1 0 3 7/20 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 题型04二次函数图象与各项系数符号 【典例4】(25-26九年级上安徽阜阳期中)如图，抛物线y=ax+br+C(Q≠0)与x轴相交于A,B两点， 点A的横坐标为4，点B的横坐标在-1和0之间，则下列判断正确的是() A.abc>0 B.a-b+c>0 C.16a+4b+c>0D.3a+b>0 【变式1】(25-26九年级上广东汕尾·期中)二次函数y=ax+br+c的图像如图所示，有如下结论：① abc>0;②2a2a+b=0:③3b-2c>0;④am2+bm>a+b(m为实数).其中正确结论的个数是 () x=l 3 A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 【变式2】(25-26九年级上·辽宁丹东·月考)如图是二次函数y=ax2+bx+c的图象，其对称轴为x=1, 下列结论：①abc>0:②2a+b=0:③4a+2b+c>0:④3a+c=0,其中正确结论的是一. 【变式3】(25-26九年级上湖北武汉期中)二次函数y=ax2+br+3(a≠0)，其图象经过点(4,3)，则下 8/20 可学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 列说法： ①该函数图象过点(0,3)： ②ab>0: ③若点(1+m,n)在该函数图象上，则(3-m,n)也在该函数图象上： ④当3x4时，>只有3个整数值，则号sa<1或-1<a≤-号： 其中正确的是一（填序号）. 题型05二次函数的平移 【典例5】(25-26九年级上：广东广州期中)把抛物线y=-2(x-1)+3的图象向右平移2个单位，再向上 平移3个单位，所得的抛物线的函数关系式是() A.y=-2(x-3)+6 B.y=-2(x+1)+6 C.y=-2(x+3)2+6 D.y=-2(x-12+6 【变式1】(25-26九年级上·江苏苏州期中)将二次函数y=x2-4x+3的图像先向上平移3个单位长度， 再向左平移1个单位长度得到的图像对应的二次函数的表达式为y=x+axr+b,则ab的值为() A.6 B.2 C.-2 D.-6 【变式2】(25-26九年级上·吉林松原·期中)将抛物线y=2x先向右平移2个单位长度，再向下平移3个 单位长度，得到的新抛物线的解析式是 【变式3】(25-26九年级上·上海·期中)若将抛物线y=x-2x+3向左平移3个单位，那么所得抛物线的 表达式是 题型06利用二次函数的对称性求解 【典例6】(25-26九年级上河南驻马店期中)在函数y=ar2+2ax-2(a<0)的图象上有三点，A(-2,), 4,(-1,y2),A(1,),则下列各式中，正确的是() A.当<y2<B.<y2<y C.y2<y<y3 D.y3<y<y2 9/20 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 【变式1】(25-26九年级上·山东日照·期中)已知点A(m,n)、B(m+1,m)是二次函数y=x2+bx+c图像上 的两个点，若当x≤2时，y随x的增大而减小，则m的取值范围是() A.m>3 B.m≥3 Γ2 C m<2 0 m≤2 【变式2】(25-26九年级上·福建福州·期中)在二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)中，自变量x与函数y的部 分对应值如下表： … 0 1 m 4 y … n 0 0 n 则表中m的值是一· 【变式3】(25-26九年级上广西钦州阶段练习)如图，抛物线y=x2-4x+3与x轴分别交于4，B两点 (点A在点B的左侧)，与y轴交于点C,在其对称轴上有一动点M,连接MA,MC,当MC+MA最小 时，则MC+MA= 题型07确定二次函数的解析式 【典例7】(25-26九年级上·天津南开·期中)如图，若二次函数y=x2+5x+4-a2的图象经过点O(0,0), 则a的值为() A.2 B.2 C.2 【变式1】(25-26九年级上·云南玉溪·期中)小明在平面直角坐标系中画了一个二次函数的图像，该图像 10/20