专题05 随机事件的概率（期末复习讲义，8知识点+7题型+解题技巧）九年级数学上学期华东师大版

专题05 随机事件的概率（期末复习讲义） 核心考点 复习目标 考情规律 事件的分类 能区分确定事件与随机事件，理解事件的三种类型（必然事件、不可能事件、随机事件） 基础考点，常以选择题形式出现，要求考生对事件本质理解清晰 判断事件发生的可能性的大小 能根据条件判断不同事件发生的可能性大小，并进行排序或比较 常与生活情境结合，考查学生的直观判断与逻辑推理能力 列举随机实验的所有可能结果 能完整、有序地列出随机试验的所有可能结果，做到不重不漏 高频考点，常与概率计算结合，考查学生的系统思维与表达能力 判断实验所得结果是否是等可能的 能根据试验设计判断结果是否等可能，为概率计算奠定基础 常作为概率题的前置判断，要求学生具备基本的逻辑分析能力 概率及其意义 能解释概率的意义，会用数值表示事件发生的可能性 基础概念题，常考查对概率本质的理解，易与频率混淆 频率与概率 能理解频率与概率的区别与联系，掌握用频率估计概率的方法 常以实验题或应用题形式出现，考查学生的数据处理与推理能力 列举所有机会均等的结果 能系统列出所有等可能结果，并计算指定事件的概率 中考必考计算题型，常以解答题形式出现，要求计算准确、过程清晰 知识点一、事件的认识 事件的判断 (1)必然事件:无需通过试验就能够预先确定它们在每次试验中都一定会发生的事件为必然事件， (2)不可能事件:在每次试验中都一定不会发生的事件为不可能事件. (3)确定事件:必然事件和不可能事件在试验中是否发生都是我们能够预先确定的，所以统称为确定事件 (4)随机事件:无法预先确定在一次试验中会不会发生的事件，我们称它们为随机事件 易错点： 一般地，描述真理或客观存在的事实的事件是必然事件;描述违背真理或违背客观存在的事实的事件是不可能事件。 知识点二、事件发生的机会 1.一般地，随机事件发生的机会是有大小的，不同的随机事件发生的机会的大小有可能不同 2.事件发生的机会 (1)必然事件:发生的机会为100%或1; (2)不可能事件:发生的机会为0； (3)随机事件:发生的机会介于0和1之间(不包括0和1) 易错点： 描述随机事件发生的机会大小的常用语: “机会极小”“不大可能”“可能”“很可能”“机会极大”等 知识点三、用频率估计随机事件发生的机会的大小 在随机事件中，虽然其结果是随机的、无法预测的但随着试验次数的增加，隐含的规律逐渐显现，事件发生的频率会逐渐稳定到某一个数值附近，正因为随机现象发生的频率有这样趋于稳定的特点，所以我们就可以用频率估计随机事件在每次试验时发生的机会的大小 注意:(1)随着试验次数的增加，随机事件发生频率的图象呈现“先波澜起伏，后风平浪静”的趋势， (2)频率是通过试验得到的，可能取多个数值，具有随机性，所以只能近似地反映事件发生机会的大小 易错点： 每一个随机事件发生的频率在很多次试验之后才会稳定下来，所以把仅通过几次试验得到的频率作为某一随机事件发生的机会的稳定值是不恰当的. 知识点四、 概率 1.概率 一个事件发生的可能性就叫做该事件的概率，事件发生的概率，记为 2.概率的计算 一般地，如果在一次试验中，有 种可能的结果，并且它们发生的机会都相等，事件 包含其中的 种结果，那么事件 发生的概率 。当 为必然事件时， ；当 为不可能事件时， ． 3.事件发生的机会与概率的关系 事件发生的机会越大，它的概率越接近1:反之事件发生的机会越小，它的概率越接近0. 易错点： 1. 概率大，并不能说明事件一定发生;反之，概率小并不能说明事件一定不发生 2.同一事件，发生的概率和不发生的概率之和为1. 知识点五、 概率的应用 几何图形中的概率 设某几何图形的面积为 ，其中事件 发生所在区域的面积为 ，由于对这个几何图形内的每个点，事件发生的机会是相等的，因此我们可以得到事件 发生的概率 ． 易错点： 当某区域内各个区域的面积都相等时，则面积类型可转化为个数类型来进行概率计算 知识点六、 用频率估计概率 1．频率 在相同的条件下，重复 次试验，事件 发生的次数 与试验总次数 的比值，即 称为事件 发生的频率． 2. 用频率估计概率 当试验次数很大时，事件发生的频率具有一定为稳定性，它会在某人数值附近摆动，并且试验次数越多，事件发生的频率越接近这个数值，所以通过大量重复试验可以用频率来估计概率 易错点： 1.试验得出的频率只是概率的估计值 2.对一个随机事件 ，用频率估计的概率不可能小于或等于0，也不可能大于或等于1. 3.概率是针对大量重复试验而言的，大量重复试验反映的规律并非在每一次试验中都发生 3.频率与概率的关系 区别:频率是试验值或使用时的统计值，与试验人、试验时间、试验地点有关;概率是理论值，与其他外界因素无关 联系:试验次数越多，频率越趋向于概率 知识点七、 画树状图法 1.画树状图法求概率 画树状图法是用树状图的形式反映事件发生的各种情况出现的次数和方式，以及某一事件发生的次数和方式，并求出概率的方法 2.画树状图法的应用 当一次试验要涉及3 个或更多的因素时，为了不重不漏地列出所有可能的结果，通常采用画树状图法来求事件发生的概率,用树状图列举出的结果看起来一目了然，当事件要经过多个步骤(三步或三步以上)完成时，用画树状图法求事件的概率很有效。 易错点： 1.用画树状图法求事件的概率时，应注意各种情况出现的可能性必须相等 2.当试验包含两步时，可用画树状图法，也可用其他方法当试验在三步或三步以上时用画树状图法比较方便 知识点八、 列表法 1.列表法 就是用表格的形式反映事件发生的各种情况出现的次数和方式，以及某一事件发生的次数和方式，并求出概率的方法 2.适用条件 当一次试验涉及两个因素，(1)同时进行两种相同的操作;(2)先后进行两次相同的操作，即两步试验，并且可能出现的等可能结果数目较多时，为了不重不漏地列出所有可能的结果，常采用列表法, 3．具体步骤 （1）选其中的一次操作（或一个条件）为横行，另一次操作（或另一个条件）为坚列，列出表格； （2）运用概率公式 计算概率。 易错点： 1.列表法适用于求两步试验的概率，利用表格的行和列分别表示出两次操作或两个条件， 2.列表法不适用于求三步及三步以上试验的概率 题型一 事件的分类 解｜题｜技｜巧 ☆判断事件类型时，紧扣定义： ◎必然事件：一定会发生（如“太阳东升西落”） ◎不可能事件：一定不会发生（如“掷骰子出现7点”） ◎随机事件：可能发生也可能不发生（如“明天下雨”） ☆注意题目中是否隐含“在一定条件下”的前提 【典例1】“从装有1个黑球、5个红球的袋子里任取一球，是红球”这个事件是（   ） A．必然事件 B．不可能事件 C．随机事件 D．以上说法都不对 【答案】C 【分析】本题考查了随机事件，熟练掌握随机事件，必然事件，不可能事件的定义是解题的关键． 根据确定事件和随机事件的定义来区分判断即可，必然事件和不可能事件统称确定性事件；必然事件：在一定条件下，一定会发生的事件称为必然事件；不可能事件：在一定条件下，一定不会发生的事件称为不可能事件；随机事件：在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件称为随机事件． 【详解】解：“从装有1个黑球、5个红球的袋子里任取一球，是红球”，这个事件是随机事件， 故选：C． 【变式1】下列事件中，属于必然事件的是（ ） A．经过有交通信号灯的路口，刚好遇到绿灯 B．在黑板上任意画两条直线，它们恰好平行 C．在黑板上任意画一个四边形，其内角和为 D．同时抛掷两枚质地均匀的硬币，全都正面朝上 【答案】C 【分析】本题考查必然事件和随机事件的定义，熟练掌握其定义是解题的关键． 必然事件是指在一定条件下一定会发生的事件。选项A、B、D均为随机事件，不一定发生；选项C中，四边形的内角和恒为，是必然事件，据此判定即可． 【详解】解：四边形的内角和总是（根据多边形内角和定理），则任意画一个四边形，其内角和一定为，故选项C是必然事件， 选项A、B、D均可能发生也可能不发生，不是必然事件， 故选：C． 【变式2】下面四个事件中，不可能发生的是（   ） A．某运动员跳高的最好成绩是米 B．任意抛掷一枚图钉，结果钉尖着地 C．在纸上任意画两条线段，这两条线段相交 D．在一个装着白球与红球的袋中摸球，摸出黄球 【答案】D 【分析】本题考查不可能事件的概念，熟练掌握概念是解决问题的关键．根据不可能事件是指在一定条件下，一定不发生的事件，据此逐项分析即可． 【详解】解：A、运动员跳高成绩可能为米，为可能事件； B、图钉抛掷时钉尖可能着地，为可能事件； C、两条线段可能相交，为可能事件； D、因为袋子中只有白球和红球，没有黄球，所以摸出黄球是不可能事件． 故选：D． 【变式3】下列事件中，是随机事件的是（   ） A．投掷一枚硬币，正面向上 B．明天早晨太阳从东方升起 C．某运动员跳高成绩为20米 D．把水加热到时，水沸腾 【答案】A 【分析】本题考查随机事件、必然事件、不可能事件的概念区分，理解“只有结果不唯一的事件才是随机事件”是解题关键． 选项A中投掷硬币正面向上具有不确定性；选项B是必然事件；选项C和D都是不可能事件． 【详解】解：∵投掷一枚硬币，正面向上和向下都有可能发生，结果不确定， ∴A是随机事件， ∵太阳从东方升起是必然事件， ∴B不是随机事件， ∵运动员跳高20米不可能， ∴C不是随机事件， ∵水在时不会沸腾， ∴D不是随机事件． 故选：A． 题型二 判断事件发生的可能性的大小 解｜题｜技｜巧 ☆先列出所有可能结果的数量 ☆比较目标结果占总结果的比例 ☆若涉及数字或实物数量，直接比较多少 ☆常用表达：“可能性较大/较小”“几乎不可能”“很有可能” 【典例1】一个布袋里装有4个红球，3个黑球，2个白球，1个绿球，它们除颜色外其余均相同．从中任意摸出1个球，可能性最大的是（ ） A．摸出红球 B．摸出黑球 C．摸出白球 D．摸出绿球 【答案】A 【分析】本题考查概率的定义，熟练掌握概率的定义是解题的关键． 可能性大小取决于球的数量，数量越多，可能性越大． 【详解】解：总球数为个，红球4个，黑球3个，白球2个，绿球1个， 则红球数量最多，摸出红球的可能性最大， 故选：A． 【典例2】盒子里有红球6个、白球5个、蓝球4个、黄球3个、绿球2个、黑球1个，每个球的大小、质量都相同．现在从盒子里任意摸出1个球，摸出的是黑球的可能性 ，摸出的是红球的可能性 ．（填“大”或“小”） 【答案】 小 大 【分析】本题考查事件发生的可能性，掌握相关知识是解决问题的关键．因为红球数量最多，黑球数量最少，所以摸出的是红球的可能性大，摸出的是黑球的可能性小． 【详解】解：∵ ∴摸出的是黑球的可能性小，摸出的是红球的可能性大． 故答案为：小，大． 【变式1】在一个不透明的袋子中装有1个白球、2个黄球和3个红球，每个球除颜色外完全相同，将球摇匀，从中任取1球．①恰好取出白球；②恰好取出黄球；③恰好取出红球．根据你的判断，将这些事件按发生的可能性从小到大的顺序排列是（    ） A．①③② B．②①③ C．①②③ D．③②① 【答案】C 【分析】本题考查可能性大小，根据球的数量决定事件发生可能性大小解答即可． 【详解】解：∵白球数量（1个）＜黄球数量（2个）＜红球数量（3个）， ∴这些事件按发生的可能性从小到大的顺序排列是①②③， 故选：C． 【变式2】不透明的盒中装有红球、黄球和白球共10个，每个球除颜色外都相同，每次随机摸1个球，然后放回；摇匀后，再摸第2次、第3次……．以下是小莲和小明的对话： (1)小莲的判断正确吗？为什么？ (2)小明的说法对吗？请说明理由． 【答案】(1)不正确，理由见详解 (2)错误，理由见详解 【分析】本题考查了随机事件可能性，正确理解随机事件事件发生的可能性是解题的关键． （1）根据事件发生的可能性进行判断即可； （2）根据事件发生的可能性进行判断即可； 【详解】（1）解：不正确，理由如下： 小莲同学摸球次，没有摸到红球，便断定“摸到红球”是不可能的， 这种判断不正确， 因为此事件是随机事件，不能因为事件发生的可能性小就认为它是不可能事件； （2）解：错误，理由如下; 小明同学没有去摸球，就认为摸到红球、黄球、白球的可能性大小是一样的，这种说法不对， 因为只知道不透明的盒中装有红球、黄球和白球共10个，且红球数、黄球数及白球数不可能相等，那么他们的可能性就不一样． 题型三 列举随机实验的所有可能结果 解｜题｜技｜巧 ☆使用树状图（适合分步实验）或列表法（适合两个因素） ☆按顺序列举，避免重复或遗漏 ☆若结果较多，注意是否区分顺序（如“甲乙”与“乙甲”是否相同） 【典例1】众所周知，八纲辩证是我国中医诊断学基础，八纲分别为阴阳、表里、寒热、虚实，每纲对应病症不同，则共有多少种病症．（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查事件发生可能性的数量，解题的关键是根据八纲的意义可知每纲为二元对立且每纲独立，利用乘法即可得出病症的种类． 【详解】解：∵八纲分别为阴阳、表里、寒热、虚实，即每组包含两种对立状态， ∴每纲有种可能， ∴病症的种类共有：（种）， 即共有种病症． 故选：B． 【典例2】现有1，2，3，…，9九个数字，甲、乙轮流从中选出一个数字，从左至右依次填入下图所示的表格中（表中已出现的数字不再重复使用），每次填数时，甲会选择填入后使表中现有数据平均数最大的数字，乙会选择填入后使表中现有数据中位数最小的数字．如图，若表中第一个数字是4，甲先填，则满足条件的填法有 种，请你在表中空白处填出一种符合要求的填数，则表中空白处可以填写的数为 ． 4 【答案】 6 9182 【分析】本题考查概率的知识，解题的关键是理解甲选数字的方法，乙选数字的方法，根据其选数字的方法知道其所选数字． 根据填数时，甲会选择填入后使表中现有数据平均数最大的数字，可知，甲每次都会选最大的数字；再根据乙选择数字的方法判断满足条件的填法即可． 【详解】解：∵甲会选择填入后使表中现有数据平均数最大的数字，表中第一个数字是4，甲先填， ∴第二个数字为9，第四个数字为8， ∵乙会选择填入后使表中现有数据中位数最小的数字． ∴第三个数字可以为1，2，3，第五个数字可以为1，2，且不能与第三个数字相同，即第三个数字有3种选法，第五个数字有2种选法， ∴满足条件的填法有6种，表中空白处可以为9182． 故答案为：6，9182． 【变式1】在一次数学活动课上，李老师带学生做一个数学游戏，伸出右手，张开5指，然后任意弯曲两指，问同学们一共有多少种弯曲方式？同学们通过讨论，得出共有10种弯曲方式．接下来，李老师又说，伸出左手，握成拳头，然后任意张开三指，请问一共有 种张开方式． 【答案】10 【分析】此题考查了列举法求可能的情况，设5指分别为1，2，3，4，5，根据题意列举出所有可能得情况即可求解． 【详解】解：设5指分别为1，2，3，4，5 根据题意得，可能的情况有： ①1，2，3；②1，2，4；③1，2，5；④1，3，4；⑤1，3，5；⑥1，4，5； ⑦2，3，4；⑧2，3，5；⑨2，4，5；⑩3，4，5． ∴一共有10种张开方式． 故答案为：10． 【变式2】某企业研发并生产了一种新设备，计划分配给A，B，C，D四家经销商销售．当一家经销商将分配到的n台设备全部售出后，企业从该经销商处获得的利润（单位：万元）与n的对应关系如下： … A 40 60 B 30 55 75 90 100 105 C 20 40 60 70 80 90 … D 14 38 62 86 110 134 … （1）如果企业将5台设备分配给这四家经销商销售，且每家经销商至少分配到1台设备，为使5台设备都售出后企业获得的总利润最大，应向经销商 分配2台设备（填“A”“B”“C”或“D”）； （2）如果企业将6台设备分配给这四家经销商中的一家或多家销售，那么6台设备都售出后，企业可获得的总利润的最大值为 万元． 【答案】 【分析】本题考查列举等可能的结果，根据表格列举出增长量的变化是解题关键． （1）分别计算各经销商销售完第2台比第1台的利润的增长量，比较即可得答案； （2）分别求出一家分配时、四家分配时、三家分配时、两家分配时的最大利润，比较即可得答案． 【详解】解：（1）当时， 经销商的利润为，比时增加（万元）， 经销商的利润为，比时增加（万元）， 经销商的利润为，比时增加（万元）， 经销商的利润为，比时增加（万元）， ∵， ∴应向经销商分配2台设备． （2）当给这四家经销商中的一家分配时，最大利润为经销商的万元， 当分配给多家销售时： 当分配四家时，最大利润为（万元）， 当分配给三家时，最大利润为（万元）， 当分配给两家时，最大利润为（万元）或（万元）， 综上所述：企业可获得的总利润的最大值为万元． 故答案为：，. 题型四 判断实验所得结果是否是等可能的 解｜题｜技｜巧 ☆检查实验条件是否公平（如骰子是否均匀、硬币是否平衡） ☆若每个结果出现的机会相同，则为等可能 ☆常见错误：认为“抛两枚硬币只有三种结果（正正、反反、正反）”，忽略了“反正” 【典例1】在一次数学活动课上，某数学老师将1~10共十个整数依次写在十张不透明的卡片上（每张卡片上只写一个数字，每一个数字只写在一张卡片上，而且把写有数字的那一面朝下），他先像洗扑克牌一样打乱这些卡片的顺序，然后把甲，乙，丙，丁，戊五位同学叫到讲台上，随机地发给每位同学两张卡片，并要求他们把自己手里拿的两张卡片上的数字之和写在黑板上，写出的结果依次是：甲：7；乙：12；丙：17；丁：3；戊：16根据以上信息，下列判断正确的是（    ） A．戊同学手里拿的两张卡片上的数字是9和7 B．丙同学手里拿的两张卡片上的数字是9和8 C．乙同学手里拿的两张卡片上的数字是4和8 D．甲同学手里拿的两张卡片上的数字是2和5 【答案】B 【分析】正确的推理判断即可求解． 【详解】解：因为丁同学手里拿的两张卡片上的数字之和是3，所以丁拿的卡片只能是1和2，则甲同学手里拿的就只能是3和4． 如果戊同学手里拿的两张卡片上的数字是9和7， 则乙同学拿的就是6和6，因为不能重复，所以A是错误的； 如果丙同学拿的是9和8，则乙同学拿的是5和7，戊同学拿的就是10和6，符合数学的演绎推理，是正确的． 根据数学选择题的四选一原则，就选B． 故选：B． 【典例2】如果手头没有硬币，下列方法可以模拟掷硬币实验的是（  ) A．掷一个瓶盖，盖面朝上代表正面，盖面朝下代表反面 B．掷一枚图钉，钉尖着地代表正面，钉帽着地代表反面 C．用计算器产生1和2两个随机整数，1代表正面，2代表反面 D．转动如图所示的装盘，指针指向“红”代表正面，指针指向“蓝”代表反面 【答案】C 【分析】本题考查了概率，看所给物品得到的可能性与硬币只有正反两面的可能性是否相等即可． 【详解】A选项中，一个瓶盖可用盖面朝上表示硬币的正面，盖面朝下表示硬币的反面，两者出现的概率不一样，不可作实验替代物，所以本选项不正确； B选项中，图钉尖着地的概率与针帽着地的概率不同，不可做实验替代物，所以本选项错误； C选项中，用计算器产生1和2两个随机整数，1代表正面，2代表反面，两数产生的概率相同，能代替抛掷硬币的实验，所以本选项正确； D选项中，转动如图所示的装盘，指针指向“红”代表正面，指针指向“蓝”代表反面，由于还有一个“黄色区域”，本实验中有三种等可能结果，与抛掷硬币实验情况不一样，所以本选项错误； 故选：C． 【变式1】在做针尖落地的实验中，正确的是（　　） A．甲做了4 000次，得出针尖触地的机会约为46%，于是他断定在做第4 001次时，针尖肯定不会触地 B．乙认为一次一次做，速度太慢，他拿来了大把材料、形状及大小都完全一样的图钉，随意朝上轻轻抛出，然后统计针尖触地的次数，这样大大提高了速度 C．老师安排每位同学回家做实验，图钉自由选取 D．老师安排同学回家做实验，图钉统一发（完全一样的图钉）．同学交来的结果，老师挑选他满意的进行统计，他不满意的就不要 【答案】B 【分析】根据模拟实验带有一定的偶然性，相应的条件性得到正确选项即可． 【详解】A．在做第4001次时，针尖可能触地，也可能不触地，故错误，不符合题意； B．符合模拟实验的条件，正确，符合题意； C．应选择相同的图钉，在类似的条件下实验，故错误，不符合题意； D．所有的实验结果都是有可能发生，也有可能不发生的，故错误，不符合题意； 故选B． 【点睛】本题考查的是模拟实验的条件．解答本题的关键是注意实验器具和实验环境应相同，实验的结果带有一定的偶然性． 【变式2】下列随机事件属于“等可能性事件”的是（   ） A．交通信号灯出现红色、绿色、黄色 B．掷一枚图钉，落地后钉尖“朝上”或“朝下” C．小明用随机抽签的方式选择、、三种答案，分别选中、、 D．小亮在沿着“直角三角形”的小路散步，他出现在各边上 【答案】C 【分析】本题主要考查了等可能性事件， 等可能性事件需每个结果概率相等，再逐项判断即可． 【详解】解：∵交通信号灯红、绿、黄灯时间通常不相等， ∴概率不相等，A不是等可能性事件； ∵图钉结构不对称，钉尖朝上和朝下概率不相等， ∴B不是等可能性事件； ∵随机抽签方式选择A、B、C，每个被选中的概率均为， ∴C是等可能性事件； ∵直角三角形三边长度可能不相等，出现在各边上的概率不相等， ∴D不是等可能性事件． 故选：C． 题型五 概率及其意义 解｜题｜技｜巧 ☆概率取值范围：0≤P(A)≤1 ◎必然事件 P=1，不可能事件 P=0 ☆理解“概率是理论值”，不保证单次试验一定发生 【典例1】事件：买体育彩票中一等奖；事件：抛掷一枚质地均匀的骰子，朝上的点数小于7；事件：在标准大气压下，温度低于时冰融化．3个事件的概率分别记为、、，则、、的大小关系正确的是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了概率的分类（不可能事件、随机事件、必然事件）及概率大小的判断，解题关键是判断每个事件属于不可能事件、随机事件还是必然事件，再根据各类事件的概率范围比较大小． 根据事件类型判断概率：事件A是随机事件，事件B是必然事件，事件C是不可能事件，再比较概率大小即可． 【详解】∵ 事件A：买体育彩票中一等奖，是随机事件， ∴ ． ∵ 事件B：抛掷一枚质地均匀的骰子，朝上的点数小于7（骰子点数最大为6，均小于7），是必然事件， ∴ ． ∵ 事件C：在标准大气压下，温度低于0℃时冰融化，是不可能事件， ∴ ． ∴． 故选：B． 【变式1】下列说法正确的是（  ） A．“明天的降水概率为”是指明天下雨的可能性是 B．连续抛一枚硬币次，出现正面朝上的次数一定是次 C．年奥运会刘翔一定能夺得米跨栏冠军 D．某地发行一种福利彩票，中奖概率为，买这种彩票张一定会中奖 【答案】A 【分析】本题考查了概率的意义，正确掌握概率的实际意义是解题关键．直接利用概率的意义逐项判断即可． 【详解】解：A、“明天的降水概率为”是指明天下雨的可能性是，说法正确，故A符合题意； B、连续抛一枚硬币次，出现正面朝上的次数不一定是次，原说法错误，故B不符合题意； C、年奥运会刘翔退赛，所以年奥运会刘翔一定能夺得米跨栏冠军是不可能事件，原说法错误，故C不符合题意； D、某地发行一种福利彩票，中奖概率为，买这种彩票张可能会中奖，原说法错误，故D不符合题意； 故选：A ． 【变式2】若气象部门预报，明天下雨的概率是，下列说法正确的是（   ） A．明天下雨的可能性比较大 B．明天一定不会下雨 C．明天一定会下雨 D．明天下雨的可能性比较小 【答案】D 【分析】本题考查概率的意义，理解概率的意义是正确判断的前提． 利用概率的意义结合具体的选项进行判断即可． 【详解】解：明天下雨的概率是，说明明天下雨的可能性比较小，有可能下雨，也可能不下雨， 因此选项D符合题意， 故选：D． 【变式3】下列说法正确的是（   ） A． 概率很大的事件一定会发生 B． “任意画一个三角形，其外角和是”是必然事件 C．两组身高数据的方差分别是，，则乙组的身高更整齐 D．某抽奖活动的中奖概率为，表示抽奖10次就有1次中奖 【答案】B 【分析】本题考查了事件的概率，随机事件的分类，方差等知识的综合运用，理解概率，事件分类，方差的概念是解题的关键． 根据概率，事件的分类，方差的概念，逐一分析即可求解． 【详解】解：A、概率很大的事件发生的可能性大，不一定会发生，故A选项错误，不符合题意； B、“任意画一个三角形，其外角和是”是必然事件，正确，符合题意； C、∵， ∴甲组的身高更整齐，故C选项错误，不符合题意 ； D、某抽奖活动的中奖概率为，则抽奖10次不一定就有1次中奖，故D选项错误，不符合题意； 故选：B ． 题型六 频率与概率 解｜题｜技｜巧 ☆频率= 发生次数除以总试验次数 ☆当试验次数很大时，频率会稳定在概率附近 ☆用频率估计概率时，试验次数越多越准确 ☆注意区分“一次试验的频率”与“长期试验的平均频率” 【典例1】如图是用计算机模拟随机投掷一枚图钉的某次实验的结果．下面是根据实验结果所作出的四个推断，其中合理的是（） A．当投掷次数是时，“钉尖向上”的次数是 B．当投掷第次时，“钉尖向上”的概率是 C．随着实验次数的增加，“钉尖向上”的频率趋近于，故可以估计其概率是 D．若再次用计算机模拟实验，则当投掷次数为时，“钉尖向上”的频率一定是 【答案】C 【分析】本题考查利用频率估计概率，根据图形和各个选项的说法可以判断是否正确，从而可以解答本题． 【详解】解：当投掷次数是时，此次计算机记录“钉尖向上”的频率是，故此次次数约是，选项A符合题意； 当投掷次数是时，此时“钉尖向上”的频率是，但“钉尖向上”的概率不一定是，选项B不合题意； 随着实验次数的增加，“钉尖向上”的频率总在附近摆动，显示出一定的稳定性，可以估计“钉尖向上”的概率是．选项C符合题意； 若再次用计算机模拟实验，则当投掷次数为时，“钉尖向上”的频率可能是，但不一定是，选项D不符合题意． 故选：C． 【典例2】 （精灵天团）是泡泡玛特旗下的独家潮玩，主要角色为、、、等． 某商场推出了“购物抽盲盒”活动，每个盲盒包含其中一个角色，且每个盲盒被抽中的概率相同．商场记录顾客抽到获得的数据如下： 抽盲盒次数n 100 150 200 500 800 1000 抽到的次数m 11 20 b 79 128 161 抽到的频率 a (1)表中的______， ______． (2)“抽到”的概率的估计值是______（精确到）； (3)商场准备的2000个盲盒全部抽完，除外，若顾客抽到其他三种角色的概率相同，则抽到的次数是多少个？ 【答案】(1)，33 (2) (3)560个 【分析】本题主要考查了频率估计概率，熟练掌握频率和概率的关系，是解题的关键． （1）根据表格中数据求出a、b的值即可； （2）根据频率估计概率即可； （3）根据抽到”的概率得出2000个盲盒中的个数，然后求出其他三种角色的个数之和，再根据抽到其他三种角色的概率相同，得出抽到的次数即可． 【详解】（1）解：，； （2）解：根据表格中数据可知：抽到的频率稳定在附件，所以抽到的概率的估计值是． （3）解： （个）， 答：抽到的次数是560个． 【变式1】AI赋能数学课堂是指将人工智能技术融入数学教学过程，提升教学效果和学生学习体验．为了解学生对赋能数学课堂的喜爱程度，在全校进行了随机抽测，结果如下表，根据抽测结果，估计学生喜爱赋能数学课堂的概率约为 ． 累计抽测的学生数n 100 200 300 400 500 600 700 800 900 1000 喜欢赋能数学课堂的学生数与n的比值 0.85 0.90 0.93 0.90 0.89 0.90 0.91 0.91 0.92 0.90 【答案】0.90 【分析】此题考查了频率估计概率， 根据频率估计概率的原理，当试验次数足够大时，事件发生的频率会稳定在概率附近．观察表格数据可知，随着累计抽测学生数n的不断增大，喜欢AI赋能数学课堂的学生数与n的比值（频率）在0.90附近波动，并趋于稳定，故可以估计学生喜爱AI赋能数学课堂的概率约为0.90． 【详解】由表可知，当抽测学生数时，喜欢赋能数学课堂的学生数与n的比值为0.90，因此估计学生喜爱AI赋能数学课堂的概率约为0.90． 故答案为：0.90． 【变式2】阅读下列材料，回答问题： 任务1：估计不规则封闭图形的面积 如图，地面上有一个不规则的封闭图形，为求得它的面积，小明在此封闭图形内画出一个边长为1米的正方形后，在附近闭上眼睛向封闭图形内丢掷绿豆（可把绿豆近似看成点），并记录如下数据（有效丢掷绿豆落在该封闭图形内，含边界）： 有效丢掷绿豆总次数m 50 150 300 600 绿豆落在正方形内（含正方形的边）的次数n 10 35 78 151 （1）当有效丢掷绿豆总次数时，绿豆落在正方形内（含正方形边上）的次数n最可能是______； A．150  B．230  C．251  D．510 （2）请根据表格中的数据估计，如果你随机丢掷一颗绿豆（落在该封闭图形内，含边界），那么该绿豆恰好落在正方形内（含正方形的边）的概率约为______（精确到）； （3）请你利用（2）中所得概率，估计该不规则封闭图形的面积； 任务2：估计圆周率的大小 （4）关于圆周率，数学发展史上出现过许多有创意的求法，小华借鉴任务1的探究思路，设计一个估算圆周率的实验，如图，地面上有一个边长为3米的正方形，在此正方形内画出一个半径为米的圆．在正方形外闭上眼睛向正方形内掷绿豆（可把绿豆近似看成点），大量重复实验记录数据，小华将有效丢掷绿豆总次数计为a，绿豆落在圆内（含圆的边）的次数记为b．当a很大时，绿豆落在圆内（含圆的边上）的频率值稳定在，则______（用字母a，b表示） 【答案】（1）C；（2）；（3）估计该不规则封闭图形的面积约是平方米；（4）． 【分析】本题考查了利用频率求概率，熟练掌握概率公式是解题的关键． （1）观察数据，根据大量试验时，频率可估计概率找到稳定值进行估计即可； （2）大量试验时，频率可估计概率； （3）利用概率，用正方形面积：封闭图形的面积概率建立方程求解； （4）如图，地面上有一个边长为3米的正方形，在此正方形内画出一个半径为米的圆，在正方形外闭上眼睛向正方形内掷绿豆(可把绿豆近似看成点)，大量重复实验记录数据，根据频率可估计概率即可求解． 【详解】解：（1）观察表格得：随着投掷次数的增大，绿豆落在正方形内（含正方形边上）的频率值稳定在， ∴如果你掷一次绿豆，那么绿豆落在正方形内（含正方形边上）的概率约为， 当掷绿豆所落的总次数时，绿豆落在正方形内（含正方形边上）的次数最可能为，只有比较接近， 故选：C； （2）由（1）可知如果你掷一次绿豆，那么绿豆落在正方形内（含正方形边上）的概率约为， 故答案为：； （3）设封闭图形的面积为， 根据题意得：， 解得：， 即：估计整个不规则封闭图形的面积约是平方米； （4）如图，地面上有一个边长为米的正方形，在此正方形内画出一个半径为米的圆， 在正方形外闭上眼睛向正方形内掷绿豆（可把绿豆近似看成点），大量重复实验记录如下： 有效丢掷绿豆总次数 绿豆落在圆内（含圆的边）的次数 当很大时，绿豆落在圆内（含圆的边上）的频率值稳定在， ∴如果掷一次绿豆，那么绿豆落在圆内（含圆的边上）的概率约为，则， ． 题型七 列举所有机会均等的结果 解｜题｜技｜巧 ☆若事件是等可能的，概率=目标结果数除以所有等可能结果数 ☆复杂情境先用树状图或表格列出所有可能 ☆注意是否“放回”与“不放回”，是否考虑顺序 ☆检查总结果数是否正确，避免遗漏或重复 【典例1】2025年是农历乙巳年，中国邮政《乙巳年》特种邮票“蛇呈丰稔”全国首发．为了测得如图邮票上蛇形图案的面积，李华同学利用电脑模拟投针试验（在电脑上反复向邮票内随机投掷一个点，假设这个点落在邮票内的每一点都是等可能的），经过反复大量的重复试验，发现这个点落在蛇形图案上的频率稳定在0.6左右，若一张邮票的面积是6cm2，则邮票上蛇形图案的面积约为 cm2． 【答案】3.6/ 【分析】本题考查了由频率估计概率，求出这个点落在蛇形图案上的概率是解决本题的关键． 先求解这个点落在蛇形图案上的概率，再由概率乘面积求解即可． 【详解】解：由频率估计概率的知识可得：这个点落在蛇形图案上的概率约为， 所以邮票上蛇形图案的面积约为． 故答案为：3.6． 【典例2】某班为元旦晚会设计了一个抽卡表演节目的环节．规则如下：一个不透明的箱子中装着分别写有“唱歌”、“跳舞”、“朗诵”的卡片各一张（这些卡片的外观完全相同），搅匀后，同学从中随机抽取一张，记录后放回． (1)甲同学抽到写有“跳舞”卡片的概率为_________； (2)用画树状图或列表法求甲、乙两位同学都抽到写有“朗诵”卡片的概率． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了概率公式、用列表法或画树状图法求概率等知识点．掌握运用列表法或画树状图法求概率是解题的关键． （1）直接运用概率公式求解即可； （2）先画树状图确定所有可能结果数和都抽到写有“朗诵”卡片的情况数，然后运用概率公式计算即可． 【详解】（1）解：∵一个不透明的箱子中装着分别写有“唱歌”、“跳舞”、“朗诵”的卡片各一张（这些卡片的外观完全相同）， ∴甲同学抽到写有“跳舞”卡片的概率为； （2）解：设“唱歌”、“跳舞”、“朗诵”分别为1，2，3 根据题意画树状图如下： ∴共有9种等可能的结果，甲、乙两位同学都抽到写有“朗诵”卡片的情况有1种， ∴甲、乙两位同学都抽到写有“朗诵”卡片的概率为． 【变式1】如图，平行四边形的对角线，相交于点，直线过点，分别交，于点，，一个小球在平行四边形内自由滚动，它落在阴影部分的概率是 ． 【答案】 【分析】本题考查了平行四边形的性质，全等三角形的判定与性质，几何概率，三角形中线定义等知识，掌握知识点的应用是解题的关键． 由平行四边形性质可得，，，则有，，然后证明，则有，故，然后用概率即可求解． 【详解】解：∵四边形是平行四边形， ∴，，， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴它落在阴影部分的概率是， 故答案为：． 【变式2】在某实验中，已知事件A发生的概率为，那么进行1000次这种实验，事件A发生的次数约为 次． 【答案】 【分析】本题考查了概率的意义，解题的关键是明确概率的意义，在大量重复试验下，事件发生的频率会趋近于某个数附近，这个数即概率． 根据概率的意义，事件发生的可能次数等于概率乘以实验次数，求解即可． 【详解】解：事件发生的概率为，进行1000次独立重复实验， 事件发生的次数约为， 故答案为：． 【变式3】哥德巴赫猜想提出“每个大于2的偶数都可以表示为两个质数之和”，我国数学家陈景润在哥德巴赫猜想的研究中取得了世界领先的成果．数学兴趣小组准备了4张除正面外完全相同的卡片，上面分别写着质数2，3，5，7． (1)小组成员从中随机抽取1张卡片，卡片上的数字是偶数的概率为 ． (2)小组成员从中随机抽取2张卡片，请用画树状图或列表的方法求出这2张卡片上的数字之和是偶数的概率． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了随机事件的概率，列表法或树状图法求概率，根据概率公式计算概率等知识点，利用列表法或树状图法列出所有等可能的结果是解题的关键． （1）利用概率公式计算概率即可； （2）根据题意画出树状图，列出所有等可能的结果及所求的结果，然后利用概率公式计算概率即可． 【详解】（1）解：解：根据题意：小组成员从中随机抽取1张卡片，卡片上的数字是偶数的概率为， 故答案为：； （2）解：根据题意，画树状图如下： 由树状图可知，共有12种等可能的结果，其中和是偶数的结果共有6种， ∴这2张卡片上的数字之和是偶数的概率为． 【变式4】如图，一个可以自由转动的转盘被等分成10个扇形，分别标有，，，，，，，，，10这10个数字．转动转盘，当转盘停止时，指针指向的数字即为转出的数字（指针指向分界线时，重转一次）．小西和小阳利用此转盘做游戏：一人转动转盘，另一人猜数．若所猜数字特征与转出的数字特征相符，则猜数的人获胜；否则，转动转盘的人获胜． (1)若小西转动转盘，小阳猜转出的数是奇数，请计算小阳获胜的概率； (2)若小阳转动转盘，小西猜数的方式有两种：①转出的数是3的倍数；②转出的数比7小．为了尽可能获胜，小西应该选择第几种猜数方式？请说明理由． 【答案】(1) (2)为了尽可能获胜，小西应该选择第②种猜数方式，见解析 【分析】本题考查概率的应用，熟练掌握概率公式是解题的关键： （1）直接利用概率公式进行计算即可； （2）求出2种猜数方式获胜的概率，比较后即可得出结果． 【详解】（1）解：因为10个数中有5个奇数， 所以（小阳获胜）． （2）10个数中有3个数为3的倍数，比7小的数有6个， 所以（转出的数是3的倍数）， （转出的数比7小）． 因为， 所以为了尽可能获胜，小西应该选择第②种猜数方式． 期末基础通关练（测试时间：10分钟） 1．从一个装有4个红球、3个蓝球、2个白球和1个黑球的不透明袋子中，随机摸出一个球（除颜色外其余均同），下列事件中发生可能性最小的是（   ） A．摸出红球 B．摸出蓝球 C．摸出白球 D．摸出黑球 【答案】D 【分析】本题主要考查了简单的概率计算，通过计算每种颜色球的概率，比较大小，概率最小的事件发生可能性最小． 【详解】∵从一个装有4个红球、3个蓝球、2个白球和1个黑球的不透明袋子中，随机摸出一个球（除颜色外其余均同）， ∴摸出红球的概率为， 摸出蓝球的概率为， 摸出白球的概率为， 摸出黑球的概率为， 又∵， ∴ 摸出黑球的概率最小，即发生可能性最小． 故选：D． 2．某班级有18位女同学和22位男同学，班上每位同学的名字都被分别写在一张小纸条上，放入一个不透明的盒中搅匀．若老师随机从盒中抽出1张纸条，则抽到男同学名字的概率为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查概率计算，掌握概率=所求情况数与总情况数之比是关键； 根据概率公式，抽到男同学名字的概率等于男同学人数除以总人数． 【详解】解：∵总人数， 男同学人数， ∴ 概率， 故选：D． 3．下面四个事件中，不可能发生的是（   ） A．某运动员跳高的最好成绩是米 B．任意抛掷一枚图钉，结果钉尖着地 C．在纸上任意画两条线段，这两条线段相交 D．在一个装着白球与红球的袋中摸球，摸出黄球 【答案】D 【分析】本题考查不可能事件的概念，熟练掌握概念是解决问题的关键．根据不可能事件是指在一定条件下，一定不发生的事件，据此逐项分析即可． 【详解】解：A、运动员跳高成绩可能为米，为可能事件； B、图钉抛掷时钉尖可能着地，为可能事件； C、两条线段可能相交，为可能事件； D、因为袋子中只有白球和红球，没有黄球，所以摸出黄球是不可能事件． 故选：D． 4．经过有交通信号灯的路口，遇到红灯的事件为（      ） A．必然事件 B．不可能事件 C．随机事件 D．确定性事件 【答案】C 【分析】本题考查了事件的分类，理解随机事件的概念是解题的关键．根据事件类型的定义，遇到红灯可能发生也可能不发生，具有不确定性，因此属于随机事件． 【详解】解：∵ 交通信号灯的变化是随机的， ∴ 经过路口时可能遇到红灯，也可能遇到绿灯或其他信号， ∴ 该事件是随机事件． 故选：C． 5．在句子“ ”中，随机抽取一个字母是“o”的概率为 ． 【答案】 【分析】本题考查求概率，直接利用概率公式进行计算即可． 【详解】解：从“ ”中随机抽取一个字母，抽中字母“o”的概率为． 故答案为：． 6．一个不透明的袋子中有若干个白球．为估计白球个数，小何向其中投入个黑球(黑球与白球除颜色外，其他均相同)，搅拌均匀后随机摸出一个球，记下颜色，再把它放入袋子中，不断重复摸球次，其中次摸到黑球，则估计袋子中有白球   个． 【答案】 【分析】本题考查了频率估计概率，根据摸到黑球的频率估计概率，利用黑球数量与总球数的比例关系求解即可，掌握频率估计概率是解题的关键． 【详解】解：摸球次，其中次摸到黑球， ∴摸到黑球的频率为， 则一共有球（个）， ∴白球数为（个）， 故答案为：． 7．一个不透明袋子中装有1个红球，1个绿球和2个黄球，这些球除颜色外都完全相同． (1)从袋中随机摸出1个球，恰好是黄球的概率为______； (2)从袋中随机摸出1个球，记录下颜色后不放回，再随机摸出1个球，求两次摸出的球恰好是1个红球和1个黄球的概率． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查列表法求概率，熟练掌握列表法是解题的关键． （1）从袋中随机摸出1个球共有4种等可能的结果，其中恰好是黄球的结果有2种，据此计算概率即可； （2）通过列表法计算概率即可． 【详解】（1）解：由题意知，从袋中随机摸出1个球的情况有， 红球、绿球、黄球、黄球， 共有4种等可能的结果，其中恰好是黄球的结果有2种， 因此，从袋中随机摸出1个球，恰好是黄球的概率为， 故答案为：； （2）解：列表如下： 红 绿 黄 黄 红 红，绿 红，黄 红，黄 绿 绿，红 绿，黄 绿，黄 黄 黄，红 黄，绿 黄，黄 黄 黄，红 黄，绿 黄，黄 共有12种等可能的结果，其中两次摸出的球恰好是1个红球和1个黄球的结果有4种， 因此，两次摸出的球恰好是1个红球和1个黄球的概率为． 8．书院是中国古代教育机构，最早出现在唐玄宗时期，其中“应天书院”“岳麓书院”“嵩阳书院”和“白鹿洞书院”是我国的“四大书院”．某校开展“书院文化讲解员”风采展示活动，甲、乙两位同学分别从嵩阳书院、应天书院、岳麓书院、白鹿洞书院古代四大书院中随机选择一个进行讲解．设嵩阳书院、应天书院、岳麓书院、白鹿洞书院分别用、、、表示． (1)甲选择讲解白鹿洞书院的概率是______； (2)请用列表或画树状图的方法求甲、乙两位同学选择讲解的书院中有“应天书院”的概率． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了概率公式求概率，列表法求概率． （1）甲从四个书院中随机选择，每个书院被选中的概率相等，白鹿洞书院对应，故概率为． （2）甲、乙分别选择书院，总共有16种等可能结果，通过列表找出包含应天书院（）的结果有7种，故概率为 ． 【详解】（1）解：共有4个书院，甲选择讲解白鹿洞书院（）的概率是． 故答案为：． （2）解：列表如下： 甲乙 共有种等可能结果，其中甲、乙两位同学选择讲解的书院中有“应天书院”（）的结果有7种，即、、、、、、。 ∴甲、乙两位同学选择讲解的书院中有“应天书院”的概率为． 期末重难突破练（测试时间：12分钟） 1．为组建学校秋季田径运动会开幕式彩旗队，九（1）班决定从符合身高条件的3名男生和2名女生中随机抽调两名学生进入彩旗队．则恰好抽到一名男生和一名女生的概率是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了用列表法求概率，解题的关键是通过列表列出所有抽取两名学生的可能情况，再找出恰好抽到一男一女的情况数，进而计算概率； 先给学生编号，用列表法枚举所有抽取情况，统计总情况数与符合条件的情况数，再利用概率公式计算． 【详解】解：将3名男生记为A、B、名女生记为D、E，列出所有抽取两名学生的所有情况： A B C D E A —— B      —— C           —— D                —— E                     —— 共(种)情况； 其中恰好抽到1名男生和1名女生的情况有：共(种)； 则概率为． 故选：B． 2．小明在一次用频率估计概率的试验中，统计了某一结果出现的频率，并绘制成如图所示的统计图，则符合这一试验结果的可能是（   ） A．掷一枚质地均匀的硬币，正面朝上 B．掷两枚质地均匀的硬币，出现一正一反 C．掷一枚质地均匀的骰子，朝上的数字是4 D．小明、小红玩“石头、剪刀、布”游戏，小明获胜 【答案】D 【分析】此题考查了利用频率估计概率，概率公式，解题的关键在于从折线图读取稳定频率． 根据统计图可知，试验结果在附近波动，即其概率，然后分别计算四个选项的概率，约为者即为正确答案． 【详解】解：A、掷一枚质地均匀的硬币，正面朝上的概率为，不符合题意； B、掷两枚质地均匀的硬币，出现一正一反的概率为，不符合题意； C、掷一枚质地均匀的骰子，朝上的数字是4的概率为，不符合题意； D、小明、小红玩“石头、剪刀、布”游戏，共有9种等可能的结果，其中小明获胜的情况有3种， 故小明获胜的概率为，符合题意； 故选：D． 3．一个不透明袋子中装有除颜色外完全相同的3个红球和2个白球，现从袋子中先后摸出两个球（不放回），则两个球颜色不同的概率为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查的是利用画树状图与列表的方法求解随机事件的概率，根据随机事件概率大小的求法，找准两点：①符合条件的情况数目；②全部情况的总数，二者的比值就是其发生的概率的大小． 【详解】解：画树状图如图： 共有20种等可能的结果，而摸到的2个球颜色不相同的情况有12种，所以其概率为． 故选：C. 4．现有4个分别标有汉字“诚”“实”“友”“善”的小球，它们除表面所标汉字不同外其他都相同，将4个小球放在箱子中摇匀，然后随机摸出一个小球，不放回．再随机摸出一个，则这两次摸出的小球上的汉字能组成词语“友善”（不分先后顺序）的概率为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查概率计算；画出树状图，计算两次摸球能组成“友善”的概率即可． 【详解】解：树状图如下： 共计12种结果，能组成“友善”的有2种， 因此总概率为． 故答案为：． 5．在如图所示的电路中，随机闭合开关中的两个，能让灯泡发光的概率是 ． 【答案】 【分析】本题考查的是用列表法或画树状图法求概率．列表法或画树状图法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，列表法适合于两步完成的事件，树状图法适合两步或两步以上完成的事件．注意概率=所求情况数与总情况数之比，利用树状图求概率即可． 【详解】解：画树状图得： ∵共有6种等可能的结果，能让灯泡发光的有2种情况， ∴能让灯泡发光的概率为： ． 故答案为：． 6．“赵爽弦图”利用面积关系证明了勾股定理，是我国古代数学的骄傲．如图，在正方形中，，，假设可在弦图区域内随机取点，则这个点落在阴影部分的概率为 ． 【答案】 【分析】本题考查了勾股定理的运用，几何概率，设，则，根据，求出，得到正方形的面积，利用概率公式代入计算即可． 【详解】解：设，则， ，， ，     ， 解得：或舍去， ， ， ， ， 这个点落在阴影部分的概率为， 故答案为： 7．如图，有四张分别印有《浪浪山小妖怪》角色图案的卡片：A．猪妖，B．蛤蟆精，C．黄鼠狼精，D．猩猩怪．将这4张卡片(形状、大小、质地都相同)放在不透明的盒子中，搅匀后从中任意取出一张卡片． A．猪妖 B．蛤蟆精 C．黄鼠狼精 D．猩猩怪 (1)取出的卡片图案为“B蛤蟆精”的概率为________． (2)若现在要在这4个中挑选2个去除妖，请用画树状图或列表的方法，求选中“A猪妖”和“D猩猩怪”的概率． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查概率公式求概率，列表法或树状图法求概率； （1）直接由概率公式求解即可； （2）列表得出共有12种等可能的结果，其中选中“A．猪妖”和“D．猩猩怪”的结果有2种，再由概率公式求解即可． 【详解】（1）解：有四张分别印有《浪浪山小妖怪》角色图案的卡片：A．猪妖，B．蛤蟆精，C．黄鼠狼精，D．猩猩怪，搅匀后从中任意取出一张卡片， ∴取出的卡片图案为“B．蛤蟆精”的概率为； 故答案为：． （2）列表如下： 共有12种等可能的结果，其中选中“A．猪妖”和“D．猩猩怪”的结果有2种，即、， ∴选中“A．猪妖”和“D．猩猩怪”的概率为． 8．为做好青少年安全教育工作，某校开展了主题为“珍爱生命，牢记安全”的知识竞赛．该校从九（1）班和九（3）班中，各随机抽取了10名学生成绩进行整理，绘制了如下不完整的条形统计图及分析表． 【收集数据】 九（1）班10名学生成绩：90，95，85，100，80，95，100，85，95，95． 九（3）班10名学生成绩：90，80，100，85，80，90，95，90，85，100． 【描述数据】 九（1）班和九（3）班10名学生成绩分析表 统计量班级 平均数 中位数 众数 九（1）班 a b 95 九（3）班 89.5 90 c 【分析数据】 (1)请补全条形统计图． (2)填空：______，______，_______． (3)从上面4名得100分的学生中，随机抽取2名学生参加市级知识竞赛．请用列表法或画树状图法求所抽取的2名学生恰好在同一个班的概率． 【答案】(1)图见解析 (2)92，95，90 (3) 【分析】本题考查条形图，求中位数，众数和平均数，列表法求概率，熟练掌握相关知识点是解题的关键： （1）根据收集的数据，补全条形图即可； （2）根据平均数，中位数和众数的计算方法进行求解即可； （3）用表示九（1）班的两个100分的学生，用表示九（3）班的两个100分的学生，列出表格，利用概率公式进行计算即可． 【详解】（1）解：由收集的数据可知，85分的学生有2个，95分的学生有4个，补全条形图如图： （2）； 九（1）班的数据排序后，第5个和第6个数据均为95，故； 九（3）班的数据中出现次数最多的是90，故； （3）用表示九（1）班的两个100分的学生，用表示九（3）班的两个100分的学生，列表如下： 共12种等可能的结果，其中所抽取的2名学生恰好在同一个班的结果有4种， 故． 期末综合拓展练（测试时间：15分钟） 1．同一元素中质子数相同，中子数不同的各种原子互为同位素，如与、与．在一次制取CO的实验中，与的原子个数比为2:1，与的原子个数比为1:1，若实验恰好完全反应生成CO，则反应生成的概率（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了利用列举法求概率．先画出树状图，从而可得所有等可能的结果，再找出反应生成的结果，利用概率公式求解即可得． 【详解】解：由题意，画出树状图如下： 由图可知，总共有6种等可能的结果，其中，反应生成的结果有2种， 则反应生成的概率是， 故选：B． 2．如图，将一枚棋子依次沿正方形的四个顶点，，，，，，，…移动．开始时，棋子位于点处，然后，根据掷骰子掷得的点数移动棋子（如掷得1点就移动1步到点处，掷得3点就移动3步到点处……）；接着，以移动后棋子所在的位置为新的起点，再进行同样的操作．在第二次掷子后，棋子回到点处的概率是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了树状图或者列表法求概率．要使棋子回到点A处，前两次掷得的点数之和必须为4，8或12．因此，所求事件中可能出现的结果数应该等于两次掷得的点数之和为4的结果数+两次掷得的点数之和为8的结果数+两次掷得的点数之和为12的结果数． 【详解】解：随机地掷一枚质地均匀的骰子两次，所有可能出现的结果如下：       第二次 第一次 1 2 3 4 5 6 1 2 3 4 5 6 总共有36种可能的结果，每种结果出现的可能性相同． 要使棋子回到点A处，两次掷得的点数之和必须为4，8或12． 两次掷得的点数之和4的结果有3种：，，； 两次掷得的点数之和为8的结果有5种：，，，，； 两次掷得的点数之和为12的结果有1种：， 所以，使棋子回到点A处的可能结果总共有（种）． 因此，棋子回到点A处的概率为． 故选：C． 3．有一枚质地均匀的正方体骰子，六个面上的点数分别为1、2、3、4、5、6，现将这枚骰子先后抛掷两次，记下抛掷后朝上的面上的点数，第一次记下的点数为，第二次记下的点数为，则关于的二元一次方程组只有非负解的概率为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了加减消元法解二元一次方程，列举法求概率．熟练掌握加减消元法解二元一次方程，列举法求概率是解题的关键． 解，可得，当时，方程组无解；当时，，，由题意知，，，当时，，，解得，，，， 则当时，；当时，；当时，；当时，，，解得，，，，当时，；然后求概率即可． 【详解】解：， 得，， 当时，方程组无解； 当时，， 将代入①得，， ∵二元一次方程组只有非负解， ∴，， 当时，，， 解得，，，， 当时，； 当时，； 当时，； 当时，，， 解得，，，， 当时，； 综上，共有种等可能的结果，其中只有非负解有种等可能的结果， ∴只有非负解的概率为， 故选：D． 4．在三张分别标有数字，，3的不透明卡片，它们除数字不同外其余均相同，现将它们背面朝上，洗匀后从中任取一张，将该卡片上的数字记为后放回，再次洗匀从中任取一张，将数字记为，则方程有解的概率是 ． 【答案】 【分析】此题考查了概率公式，用到的知识点是概率公式和根的判别式．根据题意可以求得，得到两次取得卡片数字的事件共有等9种可能的事件，然后根据概率公式求解即可． 【详解】解：关于的一元二次方程有解， ， 两次取得卡片数字的事件为，，，，，，，，等9种可能的事件， 当时，一定大于0，方程有解，共有，，，，，6种可能的事件， 当时，，方程无解； 当时，，方程无解； 当时，，方程无解； 数字，使得关于的方程有解的概率为：； 故答案为：． 5．如图，在等边中，点是线段上一点，是边上的高，连接交于点，且，现随机在内投掷一枚小针，则针尖落在阴影区域的概率是 【答案】 【分析】本题主要考查了等边三角形的性质，求概率，平行线分线段成比例， 作，连接，先根据等边三角形的性质及平行线的性质得进而说明，即可得，再设，可表示，， 然后说明，接下来可求出，即可求出阴影部分的面积，最后根据概率公式可得答案. 【详解】解：过点E作，交于点G，连接， ∵是等边三角形，且是高线， ∴. ∵， ∴， 则. ∵， ∴. ∵， ∴， ∴， 设，则 ∴. 根据等边三角形的对称性可知， ∵， ∴， ∴， ∴阴影部分的面积是， 所以针尖落在阴影区域的概率是. 故答案为：. 6．从背面完全相同，正面分别标有数的四张卡片中任取一张，将该卡片上的数记为，则使关于的方程有整数解且使关于的一元二次方程有正数解的概率为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了概率公式的应用、分式方程、一元二次方程解等知识点．掌握分式方程的解法是解题的关键． 先求得使关于x的方程有整数解，且使关于x的一元二次方程有正数解时的情况，再利用概率公式求解即可． 【详解】解：∵， ∴， 当，即时原分式无解， ∴使关于x的方程有整数解的：，1，2； ∵， ∴，解得：， ∵关于x的一元二次方程x2+mx=0有正数解， ∴或， ∴使关于x的方程有整数解，且使关于x的一元二次方程有正数解的只有， ∴使关于x的一元二次方程有正数解的概率为：． 故答案为：． 7．某中学为了解九年级学生的体能状况，从九年级学生中随机抽取部分学生进行体能测试，测试结果分为A，，，四个等级．请根据两幅统计图（不完整）中的信息回答下列问题： (1)本次抽样调查共抽取了_____名学生，并补全条形统计图； (2)“B等级”在扇形图中的圆心角度数为_____； (3)若从体能测试结果为等级的2名男生和2名女生中随机抽取2名学生，作为重点帮扶对象，请用列表或画树状图的方法求所抽取的两人恰好都是男生的概率． 【答案】(1)，图见解析 (2) (3) 【分析】（1）根据A等级的人数和所占的百分比即可求出抽样调查的总人数，再求出C等级学生人数，再补全条形统计图即可； （2）用乘以B等级所占的比例即可解答； （3）先画出树状图确定所有等可能结果数以及两人恰好都是男生的情况数，再运用概率公式求解即可． 【详解】（1）解：（名）． C等级学生人数为：（人）． 补全条形图如图： 故答案为：50． （2）解：测试结果为等级的学生数为20名， ． 故答案为：． （3）解：画出树状图如下： 共有12种等可能的结果数，其中抽取的两人恰好都是男生的结果数为2． 所以抽取的两人恰好都是男生的概率为． 【点睛】本题主要考查了列表法或树状图法求概率、条形统计图和扇形统计图、画条形统计图、求扇形统计图圆心角等知识点，从统计图中获取所需信息是解题关键． 8．交强险是车主必须为机动车购买的险种，若普通6座以下私家车投保交强险第一年的费用（基准保费）统一为元，在下一年续保时，实行的是费率浮动机制，保费与上一年度车辆发生道路交通事故的情况相联系，发生交通事故的次数越多，费率也就越高，具体浮动情况如表： 交强险浮动因素和浮动费率比率表 浮动因素 浮动比率 上一个年度未发生有责任道路交通事故 下浮 上两个年度未发生有责任道路交通事故 下浮 上三个及以上年度未发生有责任道路交通事故 下浮 上一个年度发生一次有责任不涉及死亡的道路交通事故 上一个年度发生两次及两次以上有责任道路交通事故 上浮 上一个年度发生有责任道路交通死亡事故 上浮 某机构为了研究某一品牌普通6座以下私家车的投保情况，随机抽取了60辆车龄已满三年的该品牌同型号私家车的下一年续保时的情况，统计得到了下面的表格： 类型 数量 10 5 5 20 15 5 以这60辆该品牌车的投保类型的频率代替一辆车投保类型的概率，完成下列问题： (1)按照我国《机动车交通事故责任强制保险条例》汽车交强险价格的规定．求某同学家的一辆该品牌车在第四年续保时的平均费用；（费用值保留到个位数字） (2)某二手车销售商专门销售这一品牌的二手车，且将下一年的交强险保费高于基本保费的车辆记为事故车．假设购进一辆事故车亏损5000元，一辆非事故车盈利10000元； ①若该销售商购进两辆（车龄已满三年）该品牌二手车，第一辆经鉴定为非事故车，求第二辆车是事故车的概率； ②若该销售商一次购进100辆（车龄已满三年）该品牌二手车，求他获得利润的平均数． 【答案】(1)元 (2)①  ②万元 【分析】（1）根据加权平均数计算解题即可； （2）①从辆已满三年的该品牌同型号私家车中，任意抽出一辆车为事故车的有辆，可直接得出第二辆车为事故车的概率； ②设为该销售商购进并销售一辆二手车的利润，根据题意求得的可能取值和对应的概率后，可得的平均值，最后求购进100辆车获得利润的平均费用再乘以100即可． 【详解】（1）解：元， 答：在第四年续保时的平均费用约为元； （2）①解：由题意得到从辆已满三年的该品牌同型号私家车中，任意抽出一辆车为事故车的有辆， ∴任意一辆该品牌车龄已满三年的二手车为事故车的概率为； ②一次购进100辆（车龄已满三年）该品牌二手车，获得利润的平均数为：万元． 【点睛】本题考查加权平均数的计算，列举法求概率，掌握加权平均数的计算公式是解题的关键． 1 / 3 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题05 随机事件的概率（期末复习讲义） 核心考点 复习目标 考情规律 事件的分类 能区分确定事件与随机事件，理解事件的三种类型（必然事件、不可能事件、随机事件） 基础考点，常以选择题形式出现，要求考生对事件本质理解清晰 判断事件发生的可能性的大小 能根据条件判断不同事件发生的可能性大小，并进行排序或比较 常与生活情境结合，考查学生的直观判断与逻辑推理能力 列举随机实验的所有可能结果 能完整、有序地列出随机试验的所有可能结果，做到不重不漏 高频考点，常与概率计算结合，考查学生的系统思维与表达能力 判断实验所得结果是否是等可能的 能根据试验设计判断结果是否等可能，为概率计算奠定基础 常作为概率题的前置判断，要求学生具备基本的逻辑分析能力 概率及其意义 能解释概率的意义，会用数值表示事件发生的可能性 基础概念题，常考查对概率本质的理解，易与频率混淆 频率与概率 能理解频率与概率的区别与联系，掌握用频率估计概率的方法 常以实验题或应用题形式出现，考查学生的数据处理与推理能力 列举所有机会均等的结果 能系统列出所有等可能结果，并计算指定事件的概率 中考必考计算题型，常以解答题形式出现，要求计算准确、过程清晰 知识点一、事件的认识 事件的判断 (1)必然事件:无需通过试验就能够预先确定它们在每次试验中都一定会发生的事件为必然事件， (2)不可能事件:在每次试验中都一定不会发生的事件为不可能事件. (3)确定事件:必然事件和不可能事件在试验中是否发生都是我们能够预先确定的，所以统称为确定事件 (4)随机事件:无法预先确定在一次试验中会不会发生的事件，我们称它们为随机事件 易错点： 一般地，描述真理或客观存在的事实的事件是必然事件;描述违背真理或违背客观存在的事实的事件是不可能事件。 知识点二、事件发生的机会 1.一般地，随机事件发生的机会是有大小的，不同的随机事件发生的机会的大小有可能不同 2.事件发生的机会 (1)必然事件:发生的机会为100%或1; (2)不可能事件:发生的机会为0； (3)随机事件:发生的机会介于0和1之间(不包括0和1) 易错点： 描述随机事件发生的机会大小的常用语: “机会极小”“不大可能”“可能”“很可能”“机会极大”等 知识点三、用频率估计随机事件发生的机会的大小 在随机事件中，虽然其结果是随机的、无法预测的但随着试验次数的增加，隐含的规律逐渐显现，事件发生的频率会逐渐稳定到某一个数值附近，正因为随机现象发生的频率有这样趋于稳定的特点，所以我们就可以用频率估计随机事件在每次试验时发生的机会的大小 注意:(1)随着试验次数的增加，随机事件发生频率的图象呈现“先波澜起伏，后风平浪静”的趋势， (2)频率是通过试验得到的，可能取多个数值，具有随机性，所以只能近似地反映事件发生机会的大小 易错点： 每一个随机事件发生的频率在很多次试验之后才会稳定下来，所以把仅通过几次试验得到的频率作为某一随机事件发生的机会的稳定值是不恰当的. 知识点四、 概率 1.概率 一个事件发生的可能性就叫做该事件的概率，事件发生的概率，记为 2.概率的计算 一般地，如果在一次试验中，有 种可能的结果，并且它们发生的机会都相等，事件 包含其中的 种结果，那么事件 发生的概率 。当 为必然事件时， ；当 为不可能事件时， ． 3.事件发生的机会与概率的关系 事件发生的机会越大，它的概率越接近1:反之事件发生的机会越小，它的概率越接近0. 易错点： 1. 概率大，并不能说明事件一定发生;反之，概率小并不能说明事件一定不发生 2.同一事件，发生的概率和不发生的概率之和为1. 知识点五、 概率的应用 几何图形中的概率 设某几何图形的面积为 ，其中事件 发生所在区域的面积为 ，由于对这个几何图形内的每个点，事件发生的机会是相等的，因此我们可以得到事件 发生的概率 ． 易错点： 当某区域内各个区域的面积都相等时，则面积类型可转化为个数类型来进行概率计算 知识点六、 用频率估计概率 1．频率 在相同的条件下，重复 次试验，事件 发生的次数 与试验总次数 的比值，即 称为事件 发生的频率． 2. 用频率估计概率 当试验次数很大时，事件发生的频率具有一定为稳定性，它会在某人数值附近摆动，并且试验次数越多，事件发生的频率越接近这个数值，所以通过大量重复试验可以用频率来估计概率 易错点： 1.试验得出的频率只是概率的估计值 2.对一个随机事件 ，用频率估计的概率不可能小于或等于0，也不可能大于或等于1. 3.概率是针对大量重复试验而言的，大量重复试验反映的规律并非在每一次试验中都发生 3.频率与概率的关系 区别:频率是试验值或使用时的统计值，与试验人、试验时间、试验地点有关;概率是理论值，与其他外界因素无关 联系:试验次数越多，频率越趋向于概率 知识点七、 画树状图法 1.画树状图法求概率 画树状图法是用树状图的形式反映事件发生的各种情况出现的次数和方式，以及某一事件发生的次数和方式，并求出概率的方法 2.画树状图法的应用 当一次试验要涉及3 个或更多的因素时，为了不重不漏地列出所有可能的结果，通常采用画树状图法来求事件发生的概率,用树状图列举出的结果看起来一目了然，当事件要经过多个步骤(三步或三步以上)完成时，用画树状图法求事件的概率很有效。 易错点： 1.用画树状图法求事件的概率时，应注意各种情况出现的可能性必须相等 2.当试验包含两步时，可用画树状图法，也可用其他方法当试验在三步或三步以上时用画树状图法比较方便 知识点八、 列表法 1.列表法 就是用表格的形式反映事件发生的各种情况出现的次数和方式，以及某一事件发生的次数和方式，并求出概率的方法 2.适用条件 当一次试验涉及两个因素，(1)同时进行两种相同的操作;(2)先后进行两次相同的操作，即两步试验，并且可能出现的等可能结果数目较多时，为了不重不漏地列出所有可能的结果，常采用列表法, 3．具体步骤 （1）选其中的一次操作（或一个条件）为横行，另一次操作（或另一个条件）为坚列，列出表格； （2）运用概率公式 计算概率。 易错点： 1.列表法适用于求两步试验的概率，利用表格的行和列分别表示出两次操作或两个条件， 2.列表法不适用于求三步及三步以上试验的概率 题型一 事件的分类 解｜题｜技｜巧 ☆判断事件类型时，紧扣定义： ◎必然事件：一定会发生（如“太阳东升西落”） ◎不可能事件：一定不会发生（如“掷骰子出现7点”） ◎随机事件：可能发生也可能不发生（如“明天下雨”） ☆注意题目中是否隐含“在一定条件下”的前提 【典例1】“从装有1个黑球、5个红球的袋子里任取一球，是红球”这个事件是（   ） A．必然事件 B．不可能事件 C．随机事件 D．以上说法都不对 【变式1】下列事件中，属于必然事件的是（ ） A．经过有交通信号灯的路口，刚好遇到绿灯 B．在黑板上任意画两条直线，它们恰好平行 C．在黑板上任意画一个四边形，其内角和为 D．同时抛掷两枚质地均匀的硬币，全都正面朝上 【变式2】下面四个事件中，不可能发生的是（   ） A．某运动员跳高的最好成绩是米 B．任意抛掷一枚图钉，结果钉尖着地 C．在纸上任意画两条线段，这两条线段相交 D．在一个装着白球与红球的袋中摸球，摸出黄球 【变式3】下列事件中，是随机事件的是（   ） A．投掷一枚硬币，正面向上 B．明天早晨太阳从东方升起 C．某运动员跳高成绩为20米 D．把水加热到时，水沸腾 题型二 判断事件发生的可能性的大小 解｜题｜技｜巧 ☆先列出所有可能结果的数量 ☆比较目标结果占总结果的比例 ☆若涉及数字或实物数量，直接比较多少 ☆常用表达：“可能性较大/较小”“几乎不可能”“很有可能” 【典例1】一个布袋里装有4个红球，3个黑球，2个白球，1个绿球，它们除颜色外其余均相同．从中任意摸出1个球，可能性最大的是（ ） A．摸出红球 B．摸出黑球 C．摸出白球 D．摸出绿球 【典例2】盒子里有红球6个、白球5个、蓝球4个、黄球3个、绿球2个、黑球1个，每个球的大小、质量都相同．现在从盒子里任意摸出1个球，摸出的是黑球的可能性 ，摸出的是红球的可能性 ．（填“大”或“小”） 【变式1】在一个不透明的袋子中装有1个白球、2个黄球和3个红球，每个球除颜色外完全相同，将球摇匀，从中任取1球．①恰好取出白球；②恰好取出黄球；③恰好取出红球．根据你的判断，将这些事件按发生的可能性从小到大的顺序排列是（    ） A．①③② B．②①③ C．①②③ D．③②① 【变式2】不透明的盒中装有红球、黄球和白球共10个，每个球除颜色外都相同，每次随机摸1个球，然后放回；摇匀后，再摸第2次、第3次……．以下是小莲和小明的对话： (1)小莲的判断正确吗？为什么？ (2)小明的说法对吗？请说明理由． 题型三 列举随机实验的所有可能结果 解｜题｜技｜巧 ☆使用树状图（适合分步实验）或列表法（适合两个因素） ☆按顺序列举，避免重复或遗漏 ☆若结果较多，注意是否区分顺序（如“甲乙”与“乙甲”是否相同） 【典例1】众所周知，八纲辩证是我国中医诊断学基础，八纲分别为阴阳、表里、寒热、虚实，每纲对应病症不同，则共有多少种病症．（　　） A． B． C． D． 【典例2】现有1，2，3，…，9九个数字，甲、乙轮流从中选出一个数字，从左至右依次填入下图所示的表格中（表中已出现的数字不再重复使用），每次填数时，甲会选择填入后使表中现有数据平均数最大的数字，乙会选择填入后使表中现有数据中位数最小的数字．如图，若表中第一个数字是4，甲先填，则满足条件的填法有 种，请你在表中空白处填出一种符合要求的填数，则表中空白处可以填写的数为 ． 4 【变式1】在一次数学活动课上，李老师带学生做一个数学游戏，伸出右手，张开5指，然后任意弯曲两指，问同学们一共有多少种弯曲方式？同学们通过讨论，得出共有10种弯曲方式．接下来，李老师又说，伸出左手，握成拳头，然后任意张开三指，请问一共有 种张开方式． 【变式2】某企业研发并生产了一种新设备，计划分配给A，B，C，D四家经销商销售．当一家经销商将分配到的n台设备全部售出后，企业从该经销商处获得的利润（单位：万元）与n的对应关系如下： … A 40 60 B 30 55 75 90 100 105 C 20 40 60 70 80 90 … D 14 38 62 86 110 134 … （1）如果企业将5台设备分配给这四家经销商销售，且每家经销商至少分配到1台设备，为使5台设备都售出后企业获得的总利润最大，应向经销商 分配2台设备（填“A”“B”“C”或“D”）； （2）如果企业将6台设备分配给这四家经销商中的一家或多家销售，那么6台设备都售出后，企业可获得的总利润的最大值为 万元． 题型四 判断实验所得结果是否是等可能的 解｜题｜技｜巧 ☆检查实验条件是否公平（如骰子是否均匀、硬币是否平衡） ☆若每个结果出现的机会相同，则为等可能 ☆常见错误：认为“抛两枚硬币只有三种结果（正正、反反、正反）”，忽略了“反正” 【典例1】在一次数学活动课上，某数学老师将1~10共十个整数依次写在十张不透明的卡片上（每张卡片上只写一个数字，每一个数字只写在一张卡片上，而且把写有数字的那一面朝下），他先像洗扑克牌一样打乱这些卡片的顺序，然后把甲，乙，丙，丁，戊五位同学叫到讲台上，随机地发给每位同学两张卡片，并要求他们把自己手里拿的两张卡片上的数字之和写在黑板上，写出的结果依次是：甲：7；乙：12；丙：17；丁：3；戊：16根据以上信息，下列判断正确的是（    ） A．戊同学手里拿的两张卡片上的数字是9和7 B．丙同学手里拿的两张卡片上的数字是9和8 C．乙同学手里拿的两张卡片上的数字是4和8 D．甲同学手里拿的两张卡片上的数字是2和5 【典例2】如果手头没有硬币，下列方法可以模拟掷硬币实验的是（  ) A．掷一个瓶盖，盖面朝上代表正面，盖面朝下代表反面 B．掷一枚图钉，钉尖着地代表正面，钉帽着地代表反面 C．用计算器产生1和2两个随机整数，1代表正面，2代表反面 D．转动如图所示的装盘，指针指向“红”代表正面，指针指向“蓝”代表反面 【变式1】在做针尖落地的实验中，正确的是（　　） A．甲做了4 000次，得出针尖触地的机会约为46%，于是他断定在做第4 001次时，针尖肯定不会触地 B．乙认为一次一次做，速度太慢，他拿来了大把材料、形状及大小都完全一样的图钉，随意朝上轻轻抛出，然后统计针尖触地的次数，这样大大提高了速度 C．老师安排每位同学回家做实验，图钉自由选取 D．老师安排同学回家做实验，图钉统一发（完全一样的图钉）．同学交来的结果，老师挑选他满意的进行统计，他不满意的就不要 【变式2】下列随机事件属于“等可能性事件”的是（   ） A．交通信号灯出现红色、绿色、黄色 B．掷一枚图钉，落地后钉尖“朝上”或“朝下” C．小明用随机抽签的方式选择、、三种答案，分别选中、、 D．小亮在沿着“直角三角形”的小路散步，他出现在各边上 题型五 概率及其意义 解｜题｜技｜巧 ☆概率取值范围：0≤P(A)≤1 ◎必然事件 P=1，不可能事件 P=0 ☆理解“概率是理论值”，不保证单次试验一定发生 【典例1】事件：买体育彩票中一等奖；事件：抛掷一枚质地均匀的骰子，朝上的点数小于7；事件：在标准大气压下，温度低于时冰融化．3个事件的概率分别记为、、，则、、的大小关系正确的是（　　） A． B． C． D． 【变式1】下列说法正确的是（  ） A．“明天的降水概率为”是指明天下雨的可能性是 B．连续抛一枚硬币次，出现正面朝上的次数一定是次 C．年奥运会刘翔一定能夺得米跨栏冠军 D．某地发行一种福利彩票，中奖概率为，买这种彩票张一定会中奖 【变式2】若气象部门预报，明天下雨的概率是，下列说法正确的是（   ） A．明天下雨的可能性比较大 B．明天一定不会下雨 C．明天一定会下雨 D．明天下雨的可能性比较小 【变式3】下列说法正确的是（   ） A． 概率很大的事件一定会发生 B． “任意画一个三角形，其外角和是”是必然事件 C．两组身高数据的方差分别是，，则乙组的身高更整齐 D．某抽奖活动的中奖概率为，表示抽奖10次就有1次中奖 题型六 频率与概率 解｜题｜技｜巧 ☆频率= 发生次数除以总试验次数 ☆当试验次数很大时，频率会稳定在概率附近 ☆用频率估计概率时，试验次数越多越准确 ☆注意区分“一次试验的频率”与“长期试验的平均频率” 【典例1】如图是用计算机模拟随机投掷一枚图钉的某次实验的结果．下面是根据实验结果所作出的四个推断，其中合理的是（） A．当投掷次数是时，“钉尖向上”的次数是 B．当投掷第次时，“钉尖向上”的概率是 C．随着实验次数的增加，“钉尖向上”的频率趋近于，故可以估计其概率是 D．若再次用计算机模拟实验，则当投掷次数为时，“钉尖向上”的频率一定是 【典例2】 （精灵天团）是泡泡玛特旗下的独家潮玩，主要角色为、、、等． 某商场推出了“购物抽盲盒”活动，每个盲盒包含其中一个角色，且每个盲盒被抽中的概率相同．商场记录顾客抽到获得的数据如下： 抽盲盒次数n 100 150 200 500 800 1000 抽到的次数m 11 20 b 79 128 161 抽到的频率 a (1)表中的______， ______． (2)“抽到”的概率的估计值是______（精确到）； (3)商场准备的2000个盲盒全部抽完，除外，若顾客抽到其他三种角色的概率相同，则抽到的次数是多少个？ 【变式1】AI赋能数学课堂是指将人工智能技术融入数学教学过程，提升教学效果和学生学习体验．为了解学生对赋能数学课堂的喜爱程度，在全校进行了随机抽测，结果如下表，根据抽测结果，估计学生喜爱赋能数学课堂的概率约为 ． 累计抽测的学生数n 100 200 300 400 500 600 700 800 900 1000 喜欢赋能数学课堂的学生数与n的比值 0.85 0.90 0.93 0.90 0.89 0.90 0.91 0.91 0.92 0.90 【变式2】阅读下列材料，回答问题： 任务1：估计不规则封闭图形的面积 如图，地面上有一个不规则的封闭图形，为求得它的面积，小明在此封闭图形内画出一个边长为1米的正方形后，在附近闭上眼睛向封闭图形内丢掷绿豆（可把绿豆近似看成点），并记录如下数据（有效丢掷绿豆落在该封闭图形内，含边界）： 有效丢掷绿豆总次数m 50 150 300 600 绿豆落在正方形内（含正方形的边）的次数n 10 35 78 151 （1）当有效丢掷绿豆总次数时，绿豆落在正方形内（含正方形边上）的次数n最可能是______； A．150  B．230  C．251  D．510 （2）请根据表格中的数据估计，如果你随机丢掷一颗绿豆（落在该封闭图形内，含边界），那么该绿豆恰好落在正方形内（含正方形的边）的概率约为______（精确到）； （3）请你利用（2）中所得概率，估计该不规则封闭图形的面积； 任务2：估计圆周率的大小 （4）关于圆周率，数学发展史上出现过许多有创意的求法，小华借鉴任务1的探究思路，设计一个估算圆周率的实验，如图，地面上有一个边长为3米的正方形，在此正方形内画出一个半径为米的圆．在正方形外闭上眼睛向正方形内掷绿豆（可把绿豆近似看成点），大量重复实验记录数据，小华将有效丢掷绿豆总次数计为a，绿豆落在圆内（含圆的边）的次数记为b．当a很大时，绿豆落在圆内（含圆的边上）的频率值稳定在，则______（用字母a，b表示） 题型七 列举所有机会均等的结果 解｜题｜技｜巧 ☆若事件是等可能的，概率=目标结果数除以所有等可能结果数 ☆复杂情境先用树状图或表格列出所有可能 ☆注意是否“放回”与“不放回”，是否考虑顺序 ☆检查总结果数是否正确，避免遗漏或重复 【典例1】2025年是农历乙巳年，中国邮政《乙巳年》特种邮票“蛇呈丰稔”全国首发．为了测得如图邮票上蛇形图案的面积，李华同学利用电脑模拟投针试验（在电脑上反复向邮票内随机投掷一个点，假设这个点落在邮票内的每一点都是等可能的），经过反复大量的重复试验，发现这个点落在蛇形图案上的频率稳定在0.6左右，若一张邮票的面积是6cm2，则邮票上蛇形图案的面积约为 cm2． 【典例2】某班为元旦晚会设计了一个抽卡表演节目的环节．规则如下：一个不透明的箱子中装着分别写有“唱歌”、“跳舞”、“朗诵”的卡片各一张（这些卡片的外观完全相同），搅匀后，同学从中随机抽取一张，记录后放回． (1)甲同学抽到写有“跳舞”卡片的概率为_________； (2)用画树状图或列表法求甲、乙两位同学都抽到写有“朗诵”卡片的概率． 【变式1】如图，平行四边形的对角线，相交于点，直线过点，分别交，于点，，一个小球在平行四边形内自由滚动，它落在阴影部分的概率是 ． 【变式2】在某实验中，已知事件A发生的概率为，那么进行1000次这种实验，事件A发生的次数约为 次． 【变式3】哥德巴赫猜想提出“每个大于2的偶数都可以表示为两个质数之和”，我国数学家陈景润在哥德巴赫猜想的研究中取得了世界领先的成果．数学兴趣小组准备了4张除正面外完全相同的卡片，上面分别写着质数2，3，5，7． (1)小组成员从中随机抽取1张卡片，卡片上的数字是偶数的概率为 ． (2)小组成员从中随机抽取2张卡片，请用画树状图或列表的方法求出这2张卡片上的数字之和是偶数的概率． 【变式4】如图，一个可以自由转动的转盘被等分成10个扇形，分别标有，，，，，，，，，10这10个数字．转动转盘，当转盘停止时，指针指向的数字即为转出的数字（指针指向分界线时，重转一次）．小西和小阳利用此转盘做游戏：一人转动转盘，另一人猜数．若所猜数字特征与转出的数字特征相符，则猜数的人获胜；否则，转动转盘的人获胜． (1)若小西转动转盘，小阳猜转出的数是奇数，请计算小阳获胜的概率； (2)若小阳转动转盘，小西猜数的方式有两种：①转出的数是3的倍数；②转出的数比7小．为了尽可能获胜，小西应该选择第几种猜数方式？请说明理由． 期末基础通关练（测试时间：10分钟） 1．从一个装有4个红球、3个蓝球、2个白球和1个黑球的不透明袋子中，随机摸出一个球（除颜色外其余均同），下列事件中发生可能性最小的是（   ） A．摸出红球 B．摸出蓝球 C．摸出白球 D．摸出黑球 2．某班级有18位女同学和22位男同学，班上每位同学的名字都被分别写在一张小纸条上，放入一个不透明的盒中搅匀．若老师随机从盒中抽出1张纸条，则抽到男同学名字的概率为（   ） A． B． C． D． 3．下面四个事件中，不可能发生的是（   ） A．某运动员跳高的最好成绩是米 B．任意抛掷一枚图钉，结果钉尖着地 C．在纸上任意画两条线段，这两条线段相交 D．在一个装着白球与红球的袋中摸球，摸出黄球 4．经过有交通信号灯的路口，遇到红灯的事件为（      ） A．必然事件 B．不可能事件 C．随机事件 D．确定性事件 5．在句子“ ”中，随机抽取一个字母是“o”的概率为 ． 6．一个不透明的袋子中有若干个白球．为估计白球个数，小何向其中投入个黑球(黑球与白球除颜色外，其他均相同)，搅拌均匀后随机摸出一个球，记下颜色，再把它放入袋子中，不断重复摸球次，其中次摸到黑球，则估计袋子中有白球   个． 7．一个不透明袋子中装有1个红球，1个绿球和2个黄球，这些球除颜色外都完全相同． (1)从袋中随机摸出1个球，恰好是黄球的概率为______； (2)从袋中随机摸出1个球，记录下颜色后不放回，再随机摸出1个球，求两次摸出的球恰好是1个红球和1个黄球的概率． 8．书院是中国古代教育机构，最早出现在唐玄宗时期，其中“应天书院”“岳麓书院”“嵩阳书院”和“白鹿洞书院”是我国的“四大书院”．某校开展“书院文化讲解员”风采展示活动，甲、乙两位同学分别从嵩阳书院、应天书院、岳麓书院、白鹿洞书院古代四大书院中随机选择一个进行讲解．设嵩阳书院、应天书院、岳麓书院、白鹿洞书院分别用、、、表示． (1)甲选择讲解白鹿洞书院的概率是______； (2)请用列表或画树状图的方法求甲、乙两位同学选择讲解的书院中有“应天书院”的概率． 期末重难突破练（测试时间：12分钟） 1．为组建学校秋季田径运动会开幕式彩旗队，九（1）班决定从符合身高条件的3名男生和2名女生中随机抽调两名学生进入彩旗队．则恰好抽到一名男生和一名女生的概率是（   ） A． B． C． D． 2．小明在一次用频率估计概率的试验中，统计了某一结果出现的频率，并绘制成如图所示的统计图，则符合这一试验结果的可能是（   ） A．掷一枚质地均匀的硬币，正面朝上 B．掷两枚质地均匀的硬币，出现一正一反 C．掷一枚质地均匀的骰子，朝上的数字是4 D．小明、小红玩“石头、剪刀、布”游戏，小明获胜 3．一个不透明袋子中装有除颜色外完全相同的3个红球和2个白球，现从袋子中先后摸出两个球（不放回），则两个球颜色不同的概率为（   ） A． B． C． D． 4．现有4个分别标有汉字“诚”“实”“友”“善”的小球，它们除表面所标汉字不同外其他都相同，将4个小球放在箱子中摇匀，然后随机摸出一个小球，不放回．再随机摸出一个，则这两次摸出的小球上的汉字能组成词语“友善”（不分先后顺序）的概率为 ． 5．在如图所示的电路中，随机闭合开关中的两个，能让灯泡发光的概率是 ． 6．“赵爽弦图”利用面积关系证明了勾股定理，是我国古代数学的骄傲．如图，在正方形中，，，假设可在弦图区域内随机取点，则这个点落在阴影部分的概率为 ． 7．如图，有四张分别印有《浪浪山小妖怪》角色图案的卡片：A．猪妖，B．蛤蟆精，C．黄鼠狼精，D．猩猩怪．将这4张卡片(形状、大小、质地都相同)放在不透明的盒子中，搅匀后从中任意取出一张卡片． A．猪妖 B．蛤蟆精 C．黄鼠狼精 D．猩猩怪 (1)取出的卡片图案为“B蛤蟆精”的概率为________． (2)若现在要在这4个中挑选2个去除妖，请用画树状图或列表的方法，求选中“A猪妖”和“D猩猩怪”的概率． 8．为做好青少年安全教育工作，某校开展了主题为“珍爱生命，牢记安全”的知识竞赛．该校从九（1）班和九（3）班中，各随机抽取了10名学生成绩进行整理，绘制了如下不完整的条形统计图及分析表． 【收集数据】 九（1）班10名学生成绩：90，95，85，100，80，95，100，85，95，95． 九（3）班10名学生成绩：90，80，100，85，80，90，95，90，85，100． 【描述数据】 九（1）班和九（3）班10名学生成绩分析表 统计量班级 平均数 中位数 众数 九（1）班 a b 95 九（3）班 89.5 90 c 【分析数据】 (1)请补全条形统计图． (2)填空：______，______，_______． (3)从上面4名得100分的学生中，随机抽取2名学生参加市级知识竞赛．请用列表法或画树状图法求所抽取的2名学生恰好在同一个班的概率． 期末综合拓展练（测试时间：15分钟） 1．同一元素中质子数相同，中子数不同的各种原子互为同位素，如与、与．在一次制取CO的实验中，与的原子个数比为2:1，与的原子个数比为1:1，若实验恰好完全反应生成CO，则反应生成的概率（　　） A． B． C． D． 2．如图，将一枚棋子依次沿正方形的四个顶点，，，，，，，…移动．开始时，棋子位于点处，然后，根据掷骰子掷得的点数移动棋子（如掷得1点就移动1步到点处，掷得3点就移动3步到点处……）；接着，以移动后棋子所在的位置为新的起点，再进行同样的操作．在第二次掷子后，棋子回到点处的概率是（   ） A． B． C． D． 3．有一枚质地均匀的正方体骰子，六个面上的点数分别为1、2、3、4、5、6，现将这枚骰子先后抛掷两次，记下抛掷后朝上的面上的点数，第一次记下的点数为，第二次记下的点数为，则关于的二元一次方程组只有非负解的概率为（    ） A． B． C． D． 4．在三张分别标有数字，，3的不透明卡片，它们除数字不同外其余均相同，现将它们背面朝上，洗匀后从中任取一张，将该卡片上的数字记为后放回，再次洗匀从中任取一张，将数字记为，则方程有解的概率是 ． 5．如图，在等边中，点是线段上一点，是边上的高，连接交于点，且，现随机在内投掷一枚小针，则针尖落在阴影区域的概率是 6．从背面完全相同，正面分别标有数的四张卡片中任取一张，将该卡片上的数记为，则使关于的方程有整数解且使关于的一元二次方程有正数解的概率为 ． 7．某中学为了解九年级学生的体能状况，从九年级学生中随机抽取部分学生进行体能测试，测试结果分为A，，，四个等级．请根据两幅统计图（不完整）中的信息回答下列问题： (1)本次抽样调查共抽取了_____名学生，并补全条形统计图； (2)“B等级”在扇形图中的圆心角度数为_____； (3)若从体能测试结果为等级的2名男生和2名女生中随机抽取2名学生，作为重点帮扶对象，请用列表或画树状图的方法求所抽取的两人恰好都是男生的概率． 8．交强险是车主必须为机动车购买的险种，若普通6座以下私家车投保交强险第一年的费用（基准保费）统一为元，在下一年续保时，实行的是费率浮动机制，保费与上一年度车辆发生道路交通事故的情况相联系，发生交通事故的次数越多，费率也就越高，具体浮动情况如表： 交强险浮动因素和浮动费率比率表 浮动因素 浮动比率 上一个年度未发生有责任道路交通事故 下浮 上两个年度未发生有责任道路交通事故 下浮 上三个及以上年度未发生有责任道路交通事故 下浮 上一个年度发生一次有责任不涉及死亡的道路交通事故 上一个年度发生两次及两次以上有责任道路交通事故 上浮 上一个年度发生有责任道路交通死亡事故 上浮 某机构为了研究某一品牌普通6座以下私家车的投保情况，随机抽取了60辆车龄已满三年的该品牌同型号私家车的下一年续保时的情况，统计得到了下面的表格： 类型 数量 10 5 5 20 15 5 以这60辆该品牌车的投保类型的频率代替一辆车投保类型的概率，完成下列问题： (1)按照我国《机动车交通事故责任强制保险条例》汽车交强险价格的规定．求某同学家的一辆该品牌车在第四年续保时的平均费用；（费用值保留到个位数字） (2)某二手车销售商专门销售这一品牌的二手车，且将下一年的交强险保费高于基本保费的车辆记为事故车．假设购进一辆事故车亏损5000元，一辆非事故车盈利10000元； ①若该销售商购进两辆（车龄已满三年）该品牌二手车，第一辆经鉴定为非事故车，求第二辆车是事故车的概率； ②若该销售商一次购进100辆（车龄已满三年）该品牌二手车，求他获得利润的平均数． 1 / 3 学科网（北京）股份有限公司 $