专题06 空间向量及其应用（期末复习知识清单）高二数学上学期沪教版选择性必修第一册

专题06 空间向量及其应用（10知识&10题型&3易错&3方法清单） 【清单01】空间向量的加法、减法运算 1、空间向量的位置：已知空间向量，可以把它们平移到同一平面内，以任意点为起点，作向量， 2、空间向量的加法运算（首尾相接首尾连）：作向量，则向量叫做向量的和．记作，即 3、空间向量的减法运算（共起点，连终点，指向被减向量）：向量叫做与差，记作，即 4、空间向量的加法运算律 （1）加法交换律： （2）加法结合律： 【清单02】空间向量的数乘运算 1、定义：与平面向量一样，实数与空间向量的乘积仍然是一个向量，称为向量的数乘运算． 2：数乘向量与向量的关系 的范围 的方向 的模 与向量的方向相同 ，其方向是任意的 与向量的方向相反 3、对数乘向量与向量的关系的进一步理解： （1）可以把向量模扩大（当时），也可缩小（当时）；可以不改变向量的方向（当时），也可以改变向量的方向（当时）． （2）实数与向量的积的特殊情况：当时，；当时，若，则． （3）实数与向量可以求积，但是不能进行加减，例如，，没有意义，无法运算． 【清单03】共线向量与共面向量 1、共线（平行）向量的定义：若表示空间向量的有向线段所在的直线互相平行或重合，则这些向量叫做共线向量或平行向量，若与是共线向量，则记为． 2、共线向量定理：对空间任意两个向量，的充要条件是存在实数，使． （1）共线向量定理推论：如果为经过点平行于已知非零向量的直线,那么对于空间任一点,点在直线上的充要条件是存在实数,使①，若在上取，则①可以化作： （2）拓展(高频考点）：对于直线外任意点，空间中三点共线的充要条件是，其中 3、共面向量定义：平行于同一个平面的向量，叫做共面向量． （1）共面向量定理：如果两个向量不共线，那么向量与向量共面的充要条件是存在唯一的有序实数对，使 （2）空间共面向量的表示 如图空间一点位于平面内的充要条件是存在有序实数对，使． 或者等价于：对空间任意一点，空间一点位于平面内（四点共面）的充要条件是存在有序实数对，使，该式称为空间平面的向量表示式，由此可知，空间中任意平面由空间一点及两个不共线向量唯一确定． （3）拓展 对于空间任意一点，四点共面（其中不共线）的充要条件是（其中）． 【清单04】空间向量的数量积 1、定义：已知两个非零向量，，则叫做，的数量积，记作；即．规定：零向量与任何向量的数量积都为0. 2、空间向量数量积的应用 (1)利用公式可以解决空间中有关距离或长度的问题; (2)利用公式可以解决两向量夹角,特别是两异面直线夹角的问题; 3、向量的投影 (1)如图(1)，在空间，向量向向量投影，由于它们是自由向量，因此可以先将它们平移到同一个平面内，进而利用平面上向量的投影，得到与向量共线的向量，向量称为向量在向量上的投影向量．类似地，可以将向量向直线投影(如图(2))． (2)如图(3)，向量向平面投影，就是分别由向量的起点和终点作平面的垂线，垂足分别为，，得到，向量称为向量在平面上的投影向量．这时，向量，的夹角就是向量所在直线与平面所成的角． 4、空间向量数量积的几何意义：向量，的数量积等于的长度与在方向上的投影的乘积或等于的长度与在方向上的投影的乘积. 【清单05】空间向量运算的坐标表示 设，空间向量的坐标运算法则如下表所示： 运算 坐标表示 加法 减法 数乘 数量积 【清单06】空间向量平行与垂直的条件，几何计算的坐标表示 1、两个向量的平行与垂直 平行（） 垂直（） （均非零向量） 特别提醒：在中，应特别注意，只有在与三个坐标平面都不平行时，才能写成.例如，若与坐标平面平行，则，这样就没有意义了. 2、向量长度的坐标计算公式 若，则，即 空间向量长度公式表示的是向量的长度，其形式与平面向量长度公式一致，它的几何意义是表示长方体的体对角线的长度 3、两个向量夹角的坐标计算公式 设，则 【清单07】点到线面距离 1、点到直线的距离 已知直线的单位方向向量为，是直线上的定点，是直线外一点.设，则向量在直线上的投影向量，在中，由勾股定理得： 2、点到平面的距离 如图，已知平面的法向量为，是平面内的定点，是平面外一点.过点作平面的垂线，交平面于点，则是直线的方向向量，且点到平面的距离就是在直线上的投影向量的长度. 【清单08】用向量法求空间角 1、用向量运算求两条直线所成角 已知a，b为两异面直线，A，C与B，D分别是a，b上的任意两点，a，b所成的角为，则 ① ②. 【清单09】用向量运算求直线与平面所成角 设直线的方向向量为，平面的法向量为，直线与平面所成的角为，与的角为，则有 ① ②.（注意此公式中最后的形式是：） 【清单10】用向量运算求平面与平面的夹角 如图，若于A，于B，平面PAB交于E，则∠AEB为二面角的平面角，∠AEB+∠APB=180°. 若分别为面，的法向量 ① ②根据图形判断二面角为锐二面角还是顿二面角； 若二面角为锐二面角（取正），则； 若二面角为顿二面角（取负），则； 【题型一】空间向量加减数乘运算 【例1】（22-23高二上·上海嘉定·期末）如图，在长方体中，设，，，则 ． 【变式1-1】（24-25高二上·上海·期末）在四棱锥中，若，则实数组可能是（    ） A． B． C． D． 【变式1-2】（25-26高二上·上海·期中）如图，在四面体中，点是的重心，设，，，则 ．（用，，表示）    【变式1-3】（24-25高二上·上海宝山·期中）如图，已知正方体中，点为上底面的中心，若，则（   ） A． B． C． D． 【题型二】空间向量数量积 【例2】（24-25高二下·上海浦东新·期末）设正四面体的棱长为，为的中点，为的中点，则 ． 【变式2-1】（24-25高二下·上海闵行·期末）已知正四面体的棱长为，空间中的动点满足，则的取值范围是 ． 【变式2-2】（24-25高二上·上海·期末）已知正三棱锥，侧棱长为5，底面边长为8，若空间中的一个动点M满足，则的取值范围是 ． 【变式2-3】（24-25高二上·上海·期末）在正方体中，下列结论错误的是（    ） A． B．向量与的夹角是 C． D．这个正方体的体积为 【题型三】判断空间向量共面 【例3】（22-23高二上·河北沧州·月考）已知是不共面的三个向量，则能构成空间的一个基底的一组向量是（    ） A． B． C． D． 【变式3-1】（2025高三·上海·专题练习）已知是三个不共面的向量，则下列向量组中共面的是（    ） A． B． C． D． 【变式3-2】（24-25高二上·浙江台州·期中）已知向量，是平面的两个不共线向量，非零向量是直线l的一个方向向量，则“，，三个向量共面”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【变式3-3】（24-25高二上·上海·期末）有以下命题： ①若（），则与、共面； ②若与、共面，则（）； ③若（），则M、P、A、B共面； ④若M、P、A、B共面，则（）. 则所有真命题的序号是 【题型四】空间向量共面求参数 【例4】（25-26高二上·上海·期中）已知四面体，空间的一点满足，若共面，则实数的值为 ． 【变式4-1】（23-24高二下·上海奉贤·期末）已知空间向量，，，若向量共面，则实数的值为（   ）. A．7 B．8 C．9 D．10 【变式4-2】（24-25高二上·上海·期末）若，，是三个不共面的非零向量，，，，若向量，，共面，则 ． 【变式4-3】（24-25高二上·天津滨海新·期中）在四面体中，空间的一点满足，若、、、四点共面，则 ． 【题型五】空间向量平行、垂直的坐标表示 【例5】（22-23高二上·上海浦东新·期末）已知空间向量，则实数 . 【变式5-1】（24-25高二上·上海·期末）若，，且，则 . 【变式5-2】（25-26高二上·上海·期中）已知向量，若．则 ． 【变式5-3】（24-25高二上·广东深圳·期中）设x，，向量，，，且，，则（    ） A． B． C．2 D．8 【题型六】空间向量模、夹角计算 【例6】（2023·上海金山·二模）已知向量，向量，则与的夹角的大小为 . 【变式6-1】（24-25高二上·上海宝山·期中）已知空间中三点，，，设，． (1)求向量与向量的夹角的余弦值； (2)若与互相垂直，求实数的值． 【变式6-2】（25-26高二上·上海·期中）在空间直角坐标系中，已知． (1)若点满足，求； (2)求的面积． 【变式6-3】（25-26高三上·上海·开学考试）正方体棱长为4，点满足，点满足，则的最小值为 . 【题型七】利用向量求空间距离 【例7】（24-25高二下·上海·期末）已知正方体的棱长为1，是的中点，过的平面与分别交于，且． (1)求异面直线与所成角的大小； (2)求到平面的距离． 【变式7-1】（25-26高三上·上海松江·期末）已知四棱锥的底面是直角梯形，，，，是边长为2的正三角形，侧面底面ABCD． (1)证明：； (2)求点到平面的距离． 【变式7-2】（23-24高二下·上海·期末）如图，在四棱锥中，底面为正方形，底面，为线段的中点，，为线段上的动点.    (1)证明：； (2)当为线段的中点时，求点到面的距离. 【变式7-3】（23-24高二下·上海杨浦·期末）如图，三棱柱中，，，垂直于平面． (1)求异面直线与所成角的大小； (2)求点到平面的距离． 【题型八】异面直线所成角 【例8】（23-24高二上·上海浦东新·期末）在正方体中，为的中点，则异面直线与所成角的大小为 . 【变式8-1】（24-25高一下·上海浦东新·期末）如图，圆锥的顶点为P，底面半径与相互垂直，点M是母线的中点，已知． (1)求该圆锥的表面积； (2)求异面直线与所成角的大小． 【变式8-2】（24-25高二上·上海·期末）如图，四棱锥中，底面为矩形，，且平面底面.    (1)求该四棱锥的体积； (2)求异面直线和所成角的余弦值. 【变式8-3】（24-25高二上·上海·期末）如图，平行六面体中，底面是边长为1的正方形，，． (1)求该平行六面体的表面积； (2)记在底面上的射影为，，，，求证：，并求侧棱与底面的所成角； (3)求异面直线与的所成角． 【题型九】线面角 【例9】（2023·上海徐汇·一模）如图，在直三棱柱中，，，⊥，交于点，为的中点．    (1)求证：平面； (2)求直线与平面所成角的大小． 【变式9-1】（24-25高三上·江苏·月考）如图，在直三棱柱中，． (1)证明：平面； (2)求直线与平面所成角的正弦值． 【变式9-2】（2024·上海虹口·一模）如图，已知在四棱柱中，平面，、分别是、的中点． (1)求证：平面； (2)若底面为梯形，，异面直线与所成角为．求直线与平面所成角的正弦值． 【变式9-3】（24-25高三上·上海松江·期末）如图，已知平面，，为等边三角形，，点F为的中点.    (1)求证：平面； (2)求直线和平面所成角的正弦值. 【题型十】二面角 【例10】（24-25高二下·上海虹口·期末）如图，在四棱锥中，底面是边长为2的正方形，分别为中点． (1)求证：平面； (2)若，平面平面，求二面角的余弦值． 【变式10-1】（24-25高二上·上海·期末）如图，在四棱锥中，侧棱底面，底面是正方形且，、分别在棱、上，平面． (1)若是的中点，求与平面的所成角的大小； (2)若，求平面与平面所成锐二面角的大小； 【变式10-2】（2025·北京东城·二模）如图，长方体的底面是正方形，，，点在棱上，平面. (1)求证：为的中点； (2)求平面与平面夹角的余弦值. 【变式10-3】（2024·北京怀柔·模拟预测）三棱台中，若平面，，，，，分别是，中点.    (1)求证：平面； (2)求二面角的正弦值； (3)求点到平面的距离. 【题型一】忽视异面直线的夹角与向量的夹角范围不同 【例1】（24-25高二上·上海黄浦·期末）直三棱柱中，若，，则异面直线与所成角的余弦值为 . 【变式1-1】（25-26高二上·上海·期中）在三棱锥中，已知，则和所成角余弦值的取值范围为 . 【变式1-2】（23-24高一上·陕西延安·月考）在正四棱柱中，，，则异面直线与所成角的余弦值为 ． 【变式1-3】（25-26高二上·上海·期中）已知四面体，向量，，则异面直线所成角的大小为 ． 【题型二】线面角与向量夹角转化不清等问题 【例2】（23-24高二上·新疆伊犁·期中）如图，四棱锥的底面是梯形，平面，，，，，为线段上一个动点，且，若与平面所成的角为，则 ． 【变式2-1】（23-24高二上·辽宁大连·期中）如图，在四棱锥中，底面是矩形，为棱的中点，且为棱上的一点，若与平面所成角的正弦值为，则 .    【变式2-2】（25-26高二上·上海·期中）如图，在四棱锥中，底面为菱形，，点在底面的投影是与的交点，且是等边三角形，点在线段上，若直线与平面所成角为，则的取值范围为 ．    【变式2-3】（23-24高二上·天津北辰·期中）如图，在四棱锥中，底面ABCD为直角梯形，，，，，，，且平面平面ABCD，在平面ABCD内过B作，交AD于O，连PO.    (1)求证：平面ABCD； (2)求面APB与面PBC所成角的正弦值； (3)在线段PA上存在一点M，使直线BM与平面PAD所成的角的正弦值为，求PM的长. 【题型三】二面角概念模糊 【例3】（25-26高二·全国·课后作业）如图，三棱柱满足棱长都相等且⊥平面，D是棱的中点，E是棱上的动点．设，随着x增大，平面与平面的夹角是（   ） A．先增大再减小 B．减小 C．增大 D．先减小再增大 【变式3-1】（23-24高二上·安徽亳州·期末）在正方体中，设，若二面角的平面角的正弦值为，则实数的值为 ． 【变式3-2】（25-26高二上·上海·月考）如图，在直四棱柱中，底面是边长为2的菱形，，，则二面角的正切值为 【变式3-3】（25-26高二上·重庆·月考）已知三棱锥中，，，若二面角的余弦值是，则二面角的余弦值为 ． 【题型一】用已知向量表示某一向量的三个关键点 (1)要结合图形，以图形为指导是解题的关键． (2)要正确理解向量加法、减法与数乘运算的几何意义． (3)在立体几何中，三角形法则、平行四边形法则仍然成立． 【例1】（25-26高二上·上海·期中）已知三棱柱如图所示，其中，若点N为棱的中点，则（   ） A． B． C． D． 【变式1-1】（2025高三·全国·专题练习）我国古代数学名著《九章算术》中，将底面为矩形且一侧棱垂直于底面的四棱锥称为阳马.如图所示，已知四棱锥是阳马，平面，且，若，则（ ） A． B． C． D． 【变式1-2】（2025·上海·模拟预测）如图，在四面体OABC中，，，．点M在OA上，且，N为BC中点，则等于 .    【变式1-3】（24-25高二下·上海宝山·月考）如图，在三棱柱中，、分别为和的中点，设，，，则 （用表示）． 【例2】（25-26高二上·上海·期中）给定空间三点．若向量与向量都垂直，且，则向量的坐标为 ． 【题型二】空间向量数量积的应用 1．空间向量数量积的计算方法 (1)定义法：设向量a，b的夹角为θ，则a·b＝|a||b|·cosθ. (2)坐标法：设a＝(x1，y1，z1)，b＝(x2，y2，z2)，则a·b＝x1x2＋y1y2＋z1z2. (3)投影法：向量a，b的数量积就是向量a在向量b上的投影向量与向量b的数量积，还等于向量a在向量b所在平面上的投影向量与向量b的数量积． 2．数量积的应用 (1)解决垂直问题：利用a⊥b⇔a·b＝0(a≠0，b≠0)，可将垂直问题转化为向量数量积的计算问题． (2)求两向量的夹角：利用空间向量数量积求夹角．设向量a，b所成的角为θ，则cosθ＝，进而可求两异面直线所成的角． (3)求线段长度(距离)：运用公式|a|2＝a·a，可使线段长度的计算问题转化为向量数量积的计算问题． 【变式2-1】（25-26高三上·上海·月考）已知空间向量、、两两垂直，空间中点满足，记，则的取值范围为 . 【变式2-2】（2025·上海浦东新·二模）已知为空间中三个单位向量，且，若向量满足，，则向量与向量夹角的最小值为 ．（用反三角表示） 【变式2-3】（24-25高二上·上海浦东新·期中）已知空间三点，，． (1)若向量与互相垂直，求实数的值； (2)求以，为邻边的平行四边形的面积． 【题型三】利用空间向量求线面角的解题步骤 【例3】（25-26高三上·上海·期中）如图，在四棱锥中，底面是边长为2的正方形，分别为中点． (1)求证：平面PAB； (2)若平面，求直线与平面所成角的正弦值． 【变式3-1】（25-26高三上·上海金山·月考）如图，在四棱锥中，平面，底面为矩形，为线段的中点，，． (1)求证：平面； (2)求直线与平面的夹角的正弦值． 【变式3-2】（25-26高三上·上海·期中）如图，在四棱锥中，底面是正方形，底面是的中点. (1)求点到平面的距离； (2)求直线与平面的夹角的正弦值. 【变式3-3】（25-26高二上·上海·期中）如图，正四棱柱，底面边长，侧棱，点在线段上运动， (1)证明：直线平面； (2)若，求直线和平面的所成角． 学科网（北京）股份有限公5 / 5 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题06 空间向量及其应用（10知识&10题型&3易错&3方法清单） 【清单01】空间向量的加法、减法运算 1、空间向量的位置：已知空间向量，可以把它们平移到同一平面内，以任意点为起点，作向量， 2、空间向量的加法运算（首尾相接首尾连）：作向量，则向量叫做向量的和．记作，即 3、空间向量的减法运算（共起点，连终点，指向被减向量）：向量叫做与差，记作，即 4、空间向量的加法运算律 （1）加法交换律： （2）加法结合律： 【清单02】空间向量的数乘运算 1、定义：与平面向量一样，实数与空间向量的乘积仍然是一个向量，称为向量的数乘运算． 2：数乘向量与向量的关系 的范围 的方向 的模 与向量的方向相同 ，其方向是任意的 与向量的方向相反 3、对数乘向量与向量的关系的进一步理解： （1）可以把向量模扩大（当时），也可缩小（当时）；可以不改变向量的方向（当时），也可以改变向量的方向（当时）． （2）实数与向量的积的特殊情况：当时，；当时，若，则． （3）实数与向量可以求积，但是不能进行加减，例如，，没有意义，无法运算． 【清单03】共线向量与共面向量 1、共线（平行）向量的定义：若表示空间向量的有向线段所在的直线互相平行或重合，则这些向量叫做共线向量或平行向量，若与是共线向量，则记为． 2、共线向量定理：对空间任意两个向量，的充要条件是存在实数，使． （1）共线向量定理推论：如果为经过点平行于已知非零向量的直线,那么对于空间任一点,点在直线上的充要条件是存在实数,使①，若在上取，则①可以化作： （2）拓展(高频考点）：对于直线外任意点，空间中三点共线的充要条件是，其中 3、共面向量定义：平行于同一个平面的向量，叫做共面向量． （1）共面向量定理：如果两个向量不共线，那么向量与向量共面的充要条件是存在唯一的有序实数对，使 （2）空间共面向量的表示 如图空间一点位于平面内的充要条件是存在有序实数对，使． 或者等价于：对空间任意一点，空间一点位于平面内（四点共面）的充要条件是存在有序实数对，使，该式称为空间平面的向量表示式，由此可知，空间中任意平面由空间一点及两个不共线向量唯一确定． （3）拓展 对于空间任意一点，四点共面（其中不共线）的充要条件是（其中）． 【清单04】空间向量的数量积 1、定义：已知两个非零向量，，则叫做，的数量积，记作；即．规定：零向量与任何向量的数量积都为0. 2、空间向量数量积的应用 (1)利用公式可以解决空间中有关距离或长度的问题; (2)利用公式可以解决两向量夹角,特别是两异面直线夹角的问题; 3、向量的投影 (1)如图(1)，在空间，向量向向量投影，由于它们是自由向量，因此可以先将它们平移到同一个平面内，进而利用平面上向量的投影，得到与向量共线的向量，向量称为向量在向量上的投影向量．类似地，可以将向量向直线投影(如图(2))． (2)如图(3)，向量向平面投影，就是分别由向量的起点和终点作平面的垂线，垂足分别为，，得到，向量称为向量在平面上的投影向量．这时，向量，的夹角就是向量所在直线与平面所成的角． 4、空间向量数量积的几何意义：向量，的数量积等于的长度与在方向上的投影的乘积或等于的长度与在方向上的投影的乘积. 【清单05】空间向量运算的坐标表示 设，空间向量的坐标运算法则如下表所示： 运算 坐标表示 加法 减法 数乘 数量积 【清单06】空间向量平行与垂直的条件，几何计算的坐标表示 1、两个向量的平行与垂直 平行（） 垂直（） （均非零向量） 特别提醒：在中，应特别注意，只有在与三个坐标平面都不平行时，才能写成.例如，若与坐标平面平行，则，这样就没有意义了. 2、向量长度的坐标计算公式 若，则，即 空间向量长度公式表示的是向量的长度，其形式与平面向量长度公式一致，它的几何意义是表示长方体的体对角线的长度 3、两个向量夹角的坐标计算公式 设，则 【清单07】点到线面距离 1、点到直线的距离 已知直线的单位方向向量为，是直线上的定点，是直线外一点.设，则向量在直线上的投影向量，在中，由勾股定理得： 2、点到平面的距离 如图，已知平面的法向量为，是平面内的定点，是平面外一点.过点作平面的垂线，交平面于点，则是直线的方向向量，且点到平面的距离就是在直线上的投影向量的长度. 【清单08】用向量法求空间角 1、用向量运算求两条直线所成角 已知a，b为两异面直线，A，C与B，D分别是a，b上的任意两点，a，b所成的角为，则 ① ②. 【清单09】用向量运算求直线与平面所成角 设直线的方向向量为，平面的法向量为，直线与平面所成的角为，与的角为，则有 ① ②.（注意此公式中最后的形式是：） 【清单10】用向量运算求平面与平面的夹角 如图，若于A，于B，平面PAB交于E，则∠AEB为二面角的平面角，∠AEB+∠APB=180°. 若分别为面，的法向量 ① ②根据图形判断二面角为锐二面角还是顿二面角； 若二面角为锐二面角（取正），则； 若二面角为顿二面角（取负），则； 【题型一】空间向量加减数乘运算 【例1】（22-23高二上·上海嘉定·期末）如图，在长方体中，设，，，则 ． 【答案】 【分析】根据长方体的结构特征，结合空间向量减法的几何意义及已知条件，求目标向量的模即可. 【详解】 由 故答案为： 【变式1-1】（24-25高二上·上海·期末）在四棱锥中，若，则实数组可能是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用底面是平行四边形判断B，根据向量的线性运算与向量的共线与共面性质判断A,C,D． 【详解】 对于选项A，取的中点,连接,取的中点，连接,若，则，故A错误； 对于选项B，若底面是平行四边形，设，则， 因此，即，故B正确； 对于选项C，若，则，故C错误； 对于选项D，若，则， 但平面，即不共面，因此不可能成立，故D错误． 故选：B． 【变式1-2】（25-26高二上·上海·期中）如图，在四面体中，点是的重心，设，，，则 ．（用，，表示）    【答案】 【分析】根据G是的重心，可知，再根据空间向量的线性运算即可求解. 【详解】是的重心， ， . 故答案为：. 【变式1-3】（24-25高二上·上海宝山·期中）如图，已知正方体中，点为上底面的中心，若，则（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据和可求关于的线性表示，由此可求结果. 【详解】因为， 所以， 所以， 故选：B. 【题型二】空间向量数量积 【例2】（24-25高二下·上海浦东新·期末）设正四面体的棱长为，为的中点，为的中点，则 ． 【答案】 【分析】根据向量的线性运算和数量积的定义与运算法则求解. 【详解】如图所示，    . 故答案为： 【变式2-1】（24-25高二下·上海闵行·期末）已知正四面体的棱长为，空间中的动点满足，则的取值范围是 ． 【答案】 【分析】根据向量的线性运算可得，即可得，再利用转化法可得向量数量积. 【详解】 如图所示，设中心为，则平面， 则， 即，即， 所以点在以为球心，为半径的球上， 由已知正四面体的棱长为， 则，， 则 ， 故答案为：. 【变式2-2】（24-25高二上·上海·期末）已知正三棱锥，侧棱长为5，底面边长为8，若空间中的一个动点M满足，则的取值范围是 ． 【答案】 【分析】设O为中点，先由题设得和，进而得点M在以O为球心，半径为的球上，接着设 ，再将转化成即可计算求解. 【详解】如图，O为中点，则由题意且， 所以. 因为，则即， 所以点M在以O为球心，半径为的球上， 设，则， 所以. 故答案为：. 【变式2-3】（24-25高二上·上海·期末）在正方体中，下列结论错误的是（    ） A． B．向量与的夹角是 C． D．这个正方体的体积为 【答案】D 【分析】利用正方体的结构特征、性质，及空间向量加减、数乘的几何意义、数量积的运算律判断各项正误. 【详解】如下图示正方体，根据各向量对应线段的位置关系，各项判断如下， A：，则， 所以，对； B： ，， 所以向量与的夹角是，对； C： ，对； D：由正方体的结构易得，错. 故选：D 【题型三】判断空间向量共面 【例3】（22-23高二上·河北沧州·月考）已知是不共面的三个向量，则能构成空间的一个基底的一组向量是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据空间向量的基底性质——基底向量由三个不共面的非零向量构成，即不共线，以此作为判断依据. 【详解】对于A. ,故A错误； 对于B. 不共面，故B正确； 对于C. ,故C错误 对于D. ,故D错误 故选:B 【变式3-1】（2025高三·上海·专题练习）已知是三个不共面的向量，则下列向量组中共面的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】对于ABCD中的各组向量均先假设其共面，从而依据共面定理得向量的线性组合和等量关系，进而根据向量相等其相应向量系数相等得到方程组，再根据方程组有解还是无解即可判断向量是否共面. 【详解】对于A，设，，共面，则必有不全为0的实数，， 使得，又，，不共面， 所以，无解，所以，，不共面，故A不符合； 对于B，设，，共面，则必有不全为0的实数，， 使得，又，，不共面， 所以，无解，所以，，不共面，故B不符合； 对于C，假设，，共面，则必有不全为0的实数，， 使得，又，，不共面， 则，故，所以，，共面，故C符合题意； 对于D，设，，共面，则必有不全为0的实数，， 使得，又，，不共面， 所以，无解，所以，，不共面，故D不符合. 故选：C. 【变式3-2】（24-25高二上·浙江台州·期中）已知向量，是平面的两个不共线向量，非零向量是直线l的一个方向向量，则“，，三个向量共面”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】B 【分析】先根据向量基底的概念证明必要性，然后举出反例说明“不充分”，由此得出正确选项. 【详解】当时，由于是不共线的向量，故可用作为基底表示出来， 即共面，所以“必要性”成立. 当共面时，直线l可能在平面内，故“充分性”不成立. 所以是必要不充分条件. 故选：B. 【变式3-3】（24-25高二上·上海·期末）有以下命题： ①若（），则与、共面； ②若与、共面，则（）； ③若（），则M、P、A、B共面； ④若M、P、A、B共面，则（）. 则所有真命题的序号是 【答案】①③ 【分析】根据空间向量的共面定理，逐项判断即可. 【详解】由空间向量的共面定理可知，①和③是真命题； 对于②，当与共线，且与、不共线时，满足与、共面， 但不存在实数组，使成立，故②是假命题； 对于④，当M、A、B共线且P与M、A、B不共线时，满足M、P、A、B共面， 但不存在实数组，使成立，故④是假命题. 故答案为：①③. 【题型四】空间向量共面求参数 【例4】（25-26高二上·上海·期中）已知四面体，空间的一点满足，若共面，则实数的值为 ． 【答案】 【分析】利用四点共面的性质即可求解参数. 【详解】空间的一点满足，由共面， 可得， 故答案为： 【变式4-1】（23-24高二下·上海奉贤·期末）已知空间向量，，，若向量共面，则实数的值为（   ）. A．7 B．8 C．9 D．10 【答案】D 【分析】利用共面向量的性质，得到三个向量之间的关系，再利用待定系数法解得未知量． 【详解】向量，，共面，存在实数，使得，即． ，． 故选：D． 【变式4-2】（24-25高二上·上海·期末）若，，是三个不共面的非零向量，，，，若向量，，共面，则 ． 【答案】10 【分析】利用空间向量基本定理可得，由题设条件推得方程组，求解即得. 【详解】因向量，，共面，且，，是三个不共面的非零向量， 则存在，满足， 即， 则有，解得. 故答案为：10. 【变式4-3】（24-25高二上·天津滨海新·期中）在四面体中，空间的一点满足，若、、、四点共面，则 ． 【答案】 【分析】根据给定条件，利用空间向量的共面向量定理的推论列式计算即得. 【详解】在四面体中，不共面， 因为，所以， 若、、、四点共面，则, 所以. 故答案为：. 【题型五】空间向量平行、垂直的坐标表示 【例5】（22-23高二上·上海浦东新·期末）已知空间向量，则实数 . 【答案】6 【分析】由空间向量平行得到方程组，求出的值. 【详解】因为，所以设，故，解得：. 故答案为：6 【变式5-1】（24-25高二上·上海·期末）若，，且，则 . 【答案】14 【分析】由向量的数量积为0即可列方程求解. 【详解】因为，，且， 所以，解得. 故答案为：14. 【变式5-2】（25-26高二上·上海·期中）已知向量，若．则 ． 【答案】4 【分析】先求得，再由求解. 【详解】因为向量， 所以，又． 所以，解得 ， 故答案为：4 【变式5-3】（24-25高二上·广东深圳·期中）设x，，向量，，，且，，则（    ） A． B． C．2 D．8 【答案】B 【分析】根据空间向量垂直、平行的坐标运算即可求解. 【详解】因为，所以，解得， 由可知，，解得，所以. 故选：B. 【题型六】空间向量模、夹角计算 【例6】（2023·上海金山·二模）已知向量，向量，则与的夹角的大小为 . 【答案】 【分析】利用向量夹角的坐标表示来求解. 【详解】因为， 所以， 因为，所以. 故答案为：. 【变式6-1】（24-25高二上·上海宝山·期中）已知空间中三点，，，设，． (1)求向量与向量的夹角的余弦值； (2)若与互相垂直，求实数的值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）求得向量与的坐标，根据向量的夹角公式即可求得答案； （2）表示出的坐标，依题意可得，根据数量积的坐标表示得到方程，解得即可. 【详解】（1）因为，，， 所以，， 所以， 即向量与向量的夹角的余弦值为； （2）因为， 又与互相垂直，所以， 解得. 【变式6-2】（25-26高二上·上海·期中）在空间直角坐标系中，已知． (1)若点满足，求； (2)求的面积． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）设点的坐标，利用的向量关系列方程，求解点的坐标，进而可计算． （2）先求向量，的坐标，计算它们的数量积和模长，进而求出夹角的正弦值，最后代入三角形面积公式求解即可． 【详解】（1）设点，因为，， 所以， 则，解得，所以点， 所以，故． （2）由已知得，，则， ，， 所以，则为锐角， 所以， 因此， 故的面积为． 【变式6-3】（25-26高三上·上海·开学考试）正方体棱长为4，点满足，点满足，则的最小值为 . 【答案】 【分析】依题意，建立空间直角坐标系，由求得，再由得到动点的轨迹是以B为球心，1为半径的球，因，则的最小值为到球心B的最小距离减去半径1，计算，利用二次函数的性质即可求得的最小值. 【详解】如图建立空间直角坐标系,    则由题意可得， 则， 则，由可知，动点的轨迹是以B为球心，1为半径的球， 的最小值为到球心B的最小距离减去半径1， 而， 则当时，取到最小值为，故的最小值为. 故答案为：. 【题型七】利用向量求空间距离 【例7】（24-25高二下·上海·期末）已知正方体的棱长为1，是的中点，过的平面与分别交于，且． (1)求异面直线与所成角的大小； (2)求到平面的距离． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）应用线线平行得出异面直线所成角，再应用正切计算求角； （2）建立空间直角坐标系得出平面的法向量，再应用点到平面距离公式计算求解. 【详解】（1）由题意，， 因为平面平面，平面平面，平面平面， 所以， 所以异面直线与所成角的大小与相等． ，即． （2）建立D为原点，DA、DC、DD1分别为x、y、z轴的坐标系得， ，，，所以，， 设平面的法向量为，则，令，即． 由点到平面的距离公式．  所以到平面的距离． 【变式7-1】（25-26高三上·上海松江·期末）已知四棱锥的底面是直角梯形，，，，是边长为2的正三角形，侧面底面ABCD． (1)证明：； (2)求点到平面的距离． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）建立空间直角坐标系，利用空间向量证明线线垂直. （2）利用空间向量求点到平面的距离. 【详解】（1）取中点，中点，连接，. 因为为等边三角形，所以， 又平面平面，平面平面，平面， 所以平面. 平面，所以， 又底面是直角梯形，，所以. 又分别为，中点，所以，所以. 所以两两垂直. 故以为原点，建立如图空间直角坐标系， 因为，所以，，，. 所以，. 因为. 所以，所以. （2）由（1）得，，，. 设平面的一个法向量为， 则，令，可得. 所以点到平面的距离为：. 【变式7-2】（23-24高二下·上海·期末）如图，在四棱锥中，底面为正方形，底面，为线段的中点，，为线段上的动点.    (1)证明：； (2)当为线段的中点时，求点到面的距离. 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）利用线面垂直的判定定理证出平面和平面，进而可得； （2）以为原点，分别为轴建立空间直角坐标系，写出点的坐标，求出平面的法向量，利用空间向量法求出点到平面的距离． 【详解】（1）平面，平面， ， 又平面， 平面，又平面， ， 中，为的中点，， 平面，平面， 平面，. （2）以为原点，分别为轴建立空间直角坐标系， 则，，，， 所以，，， 设为平面的法向量，    则，令，则，故， 则点与平面的距离. 【变式7-3】（23-24高二下·上海杨浦·期末）如图，三棱柱中，，，垂直于平面． (1)求异面直线与所成角的大小； (2)求点到平面的距离． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）建立空间直角坐标系，利用空间向量法求出异面直线所成角的余弦值，即可得解； （2）求出平面的法向量，由距离公式计算可得. 【详解】（1）因为，垂直于平面，如建立空间直角坐标系， 则，，，，， 所以，， 设异面直线与所成角为，则， 又，所以，即异面直线与所成角为； （2）因为，，， 设平面的法向量为，则，取， 则点到平面的距离. 【题型八】异面直线所成角 【例8】（23-24高二上·上海浦东新·期末）在正方体中，为的中点，则异面直线与所成角的大小为 . 【答案】 【分析】建系，向量法求直线夹角. 【详解】不妨设正方体棱长为2，以点为坐标原点，为轴，为轴，为轴建立空间直角坐标系， 则 则 故所成角的大小为 故答案为：. 【变式8-1】（24-25高一下·上海浦东新·期末）如图，圆锥的顶点为P，底面半径与相互垂直，点M是母线的中点，已知． (1)求该圆锥的表面积； (2)求异面直线与所成角的大小． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）先求母线，利用圆锥的表面积公式即可求解； （2）建立空间直角坐标系，利用向量的夹角公式即可求解. 【详解】（1）由题意有，又点M是母线的中点， 所以，所以母线， 底面半径为， 所以圆锥的表面积为 （2）以为坐标原点，分别以为轴建立空间直角坐标系， 由，所以， 所以， 所以， 设异面直线与所成角为， 所以， 所以， 【变式8-2】（24-25高二上·上海·期末）如图，四棱锥中，底面为矩形，，且平面底面.    (1)求该四棱锥的体积； (2)求异面直线和所成角的余弦值. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）设边的中点为，结合面面垂直的性质定理可得平面，则四棱锥的高可求，再利用棱锥的体积公式求解可得答案； （2）法一：利用几何法，在中利用余弦定理求解即可； 法二：利用空间向量法，建立空间直角坐标系，结合线线所成角的向量解法即可得答案. 【详解】（1）等腰中，设边的中点为，易知， 因为平面底面，且底面， 则平面，在中，，所以， 则体积. （2）法一：因为， 所以即为异画直线和所成的角或其补角； 由（1）知平面底面，且平面底面 矩形中，， 因为平面底面，且底面， 所以面，又因为面，从而， 中，，所以 同理可得中，， 由余弦定理可得 ， 所以异面直线和所成角的余弦值为. 法二：以的中点为为原点， 为轴建立空间坐标系，    则， 所以， ， 所以异面直线和所成角余弦值为. 【变式8-3】（24-25高二上·上海·期末）如图，平行六面体中，底面是边长为1的正方形，，． (1)求该平行六面体的表面积； (2)记在底面上的射影为，，，，求证：，并求侧棱与底面的所成角； (3)求异面直线与的所成角． 【答案】(1) (2)证明见解析， (3) 【分析】（1）分别求出平行六面体的底面积和侧面积，由即可求解； （2）数形结合，作出辅助线，利用，，即可求证，根据平面， ，可知即为所求的侧棱与底面的所成角，计算从而得解； （3）根据题意可得， ，根据数量积运算结合夹角公式求异面直线夹角. 【详解】（1）底面是边长为1的正方形，则,, ，， 所以， 所以该平行六面体的表面积. （2）过 作 平面，连接 AM, HM, AE, HE, AH， 此时平面 ，，，平面， 面， ，， ，得证. 因为，则, 则， 所以 , 所以，所以， 因为平面，平面，所以， 所以侧棱与底面的所成角为. 所以，侧棱与底面的所成角为. （3）由题意，， ， ， 所以． 而，， 则 ， 所以， 所以直线与所成角为. 【题型九】线面角 【例9】（2023·上海徐汇·一模）如图，在直三棱柱中，，，⊥，交于点，为的中点．    (1)求证：平面； (2)求直线与平面所成角的大小． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）由直三棱柱得到⊥，根据⊥，得到线面垂直，故⊥，结合得到线面垂直； （2）建立空间直角坐标系，写出点的坐标，结合（1），求出平面的一个法向量为，利用线面角的求解公式得到答案. 【详解】（1）因为三棱柱为直三棱柱， 所以⊥平面， 又平面，所以⊥， 因为⊥，，平面， 所以⊥平面， 因为平面，所以⊥， 因为，，平面， 所以平面； （2）由（1）知，两两垂直， 以为坐标原点，所在直线分别为轴，建立空间直角坐标系，    则， 设，， 因为，所以， 解得，则， 由（1）知，平面的一个法向量为， 又， 设直线与平面所成角的大小为， 则 故直线与平面所成角大小为 【变式9-1】（24-25高三上·江苏·月考）如图，在直三棱柱中，． (1)证明：平面； (2)求直线与平面所成角的正弦值． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）根据条件，得到面，利用线面垂直的性质得到，再利用几何关系得到，再由线面垂直的判断定理，即可证明结果； （2）建立空间直角坐标系，再利用线面角的向量求法，即可求解. 【详解】（1）由题知面，又面，所以， 又，，面，所以面， 又面，所以， 又，所以四边形是正方形，得到， 又，面，所以平面. （2）如图，建立空间直角坐标系，因为， 则，， 得到，，， 直线与平面所成角为， 设平面的法向量为， 则，令，则， 所以平面的法向量为， 则， 直线与平面所成角的正弦值为. 【变式9-2】（2024·上海虹口·一模）如图，已知在四棱柱中，平面，、分别是、的中点． (1)求证：平面； (2)若底面为梯形，，异面直线与所成角为．求直线与平面所成角的正弦值． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）连接交于点，连接，，根据棱柱的性质及中位线的性质得到且，则四边形为平行四边形，从而得到，即可得证； （2）由，可得即为异面直线与所成角，则，建立空间直角坐标系，利用空间向量法计算可得. 【详解】（1）连接交于点，连接，， 在四棱柱中，四边形，为平行四边形，所以为的中点， 又、分别是、的中点， 所以且，且， 所以且，所以四边形为平行四边形， 所以，又平面，平面，所以平面； （2）因为异面直线与所成角为，又， 所以即为异面直线与所成角，即，即， 又平面， 如图建立空间直角坐标系，则，，，， 所以，，， 设平面的法向量为，则，取， 设直线与平面所成角为，则， 所以直线与平面所成角的正弦值为. 【变式9-3】（24-25高三上·上海松江·期末）如图，已知平面，，为等边三角形，，点F为的中点.    (1)求证：平面； (2)求直线和平面所成角的正弦值. 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）设，建立空间直角坐标系，利用向量的坐标运算得出，结合线面平行判定定理即可得结论； （2）确定平面的一个法向量，利用和的夹角求解即可. 【详解】（1）因为平面，，为等边三角形， 设，建立如图所示的空间直角坐标系，    则， 为的中点，， ，， ，平面， 平面. （2）又是轴上的单位向量，则其是平面的一个法向量， 因为，设和平面所成的角为， 则， 直线和平面所成角的正弦值为. 【题型十】二面角 【例10】（24-25高二下·上海虹口·期末）如图，在四棱锥中，底面是边长为2的正方形，分别为中点． (1)求证：平面； (2)若，平面平面，求二面角的余弦值． 【答案】(1)证明见解析； (2). 【分析】（1）取中点，连接，，根据已知证明，再由线面平行的判定证明结论； （2）取中点为中点为，连接，，构建合适的空间直角坐标系，标出相关点坐标，并求出相关平面的法向量，再由夹角公式求二面角的余弦值. 【详解】（1）取中点，连接，， 三角形中，分别为中点，则且， 又正方形中，为中点，则， 且，四边形为平行四边形，故， 由平面，平面，则平面； （2）取中点为中点为，连接，， 中，则， 平面平面，平面，平面平面， 所以平面，又四边形为正方形，则， 以所在直线分别为轴，建立如图所示的空间直角坐标系， ，则， ，设平面的法向量为， 由，得，所以， 取，则，可得， 设平面的法向量为， 设平面与平面的夹角为，则． 由图，二面角为锐角，所以其余弦为． 【变式10-1】（24-25高二上·上海·期末）如图，在四棱锥中，侧棱底面，底面是正方形且，、分别在棱、上，平面． (1)若是的中点，求与平面的所成角的大小； (2)若，求平面与平面所成锐二面角的大小； 【答案】(1) (2) 【分析】（1）建立空间直角坐标系，利用线面角的向量坐标公式计算即可； （2）分别求出平面与平面的法向量，再利用面面角的向量坐标公式计算即可. 【详解】（1） 底面是正方形；连接交于点O，连接；因为平面， 平面平面,平面，所以；又O是中点， 故E是中点；因为侧棱底面，底面是正方形， 以点D为坐标原点，为x轴，y轴，z轴，建立空间直角坐标系， 设正方形的边长为2，则，, 由题意，是的中点，则， 设平面的法向量为，则, 令，得，记与平面的所成角， 则, 故 （2）由, 则，故，故， 又平面，平面,故平面， 故平面的法向量为，平面的法向量为， 记平面与平面的夹角为，则， 故平面与平面的夹角为. 【变式10-2】（2025·北京东城·二模）如图，长方体的底面是正方形，，，点在棱上，平面. (1)求证：为的中点； (2)求平面与平面夹角的余弦值. 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）根据线面平行的性质定理平面得出即可得证； （2）求出平面与平面两个面的法向量，用平面夹角的向量公式即可求出余弦值. 【详解】（1）连接， 因为底面是正方形，所以是的中点，点在棱上，因为平面，平面， 且平面平面，所以，所以为的中点. （2）如图，以为原点，所在直线为x轴，所在直线为y轴，所在直线为z轴，建立空间直角坐标系，设， 则， 设平面的法向量， 则，取，得， 设平面的法向量， 则，取，得， 设平面与平面夹角为， 则， 所以平面与平面夹角的余弦值为． 【变式10-3】（2024·北京怀柔·模拟预测）三棱台中，若平面，，，，，分别是，中点.    (1)求证：平面； (2)求二面角的正弦值； (3)求点到平面的距离. 【答案】(1)证明见解析 (2) (3) 【分析】（1）以点为原点建立空间直角坐标系，利用空间位置关系的向量证明推理即可； （2）利用面面角的向量求法求解即可； （3）利用点到平面距离的向量求法求解即可. 【详解】（1）在三棱台中，平面，， 显然直线两两垂直， 以点为原点，直线分别为轴建立如图所示的空间直角坐标系，    因为，， 所以，，，，，， 由，分别是，中点，得，， 则，， 因此，而点直线，则， 又平面，平面， 所以平面； （2）由（1）知，，，， 设平面的一个法向量为，则， 令，则，，所以， 设平面的一个法向量为，则， 令，则，，所以， 设二面角的大小为，， 则， 所以二面角的正弦值为； （3）由（1）知，，由（2）知，平面的法向量， 所以点到平面的距离. 【题型一】忽视异面直线的夹角与向量的夹角范围不同 【例1】（24-25高二上·上海黄浦·期末）直三棱柱中，若，，则异面直线与所成角的余弦值为 . 【答案】/ 【分析】根据题意可得两两互相垂直，建立空间直角坐标系，利用空间向量法求解即可. 【详解】因为在直三棱柱中，， 所以两两互相垂直，故建立如图所示空间直角坐标系， 因为，设， 所以，，， 所以，， 所以， 所以异面直线与所成角的余弦值为. 故答案为： 【变式1-1】（25-26高二上·上海·期中）在三棱锥中，已知，则和所成角余弦值的取值范围为 . 【答案】 【分析】建立空间直角坐标系，再写出坐标结合异面直线所成角的余弦公式计算求解. 【详解】过作，且， 设， 得， 以为原点，以所在直线分别为轴，过作平面为轴建立空间直角坐标系， 设， 则， 故， 设和所成角为. 故答案为：. 【变式1-2】（23-24高一上·陕西延安·月考）在正四棱柱中，，，则异面直线与所成角的余弦值为 ． 【答案】 【分析】法一：建立空间直角坐标系，利用空间向量法计算可得. 法二：在正四棱柱下方补一个完全相同的正四棱柱，连接，所以或其补角为异面直线与所成的角，利用余弦定理求解. 【详解】 法一：如图建立空间直角坐标系，则，，，， 则，， 所以， 所以，异面直线与所成角的余弦值为. 法二：如图，在正四棱柱下方补一个完全相同的正四棱柱， 连接， 因为，所以四边形为平行四边形， 则，所以或其补角为异面直线与所成的角， 在中，. 所以，异面直线与所成角的余弦值为. 故答案为：. 【变式1-3】（25-26高二上·上海·期中）已知四面体，向量，，则异面直线所成角的大小为 ． 【答案】/ 【分析】求出，得到答案. 【详解】向量，， 则， 设异面直线所成角的大小为，则， 所以. 故答案为： 【题型二】线面角与向量夹角转化不清等问题 【例2】（23-24高二上·新疆伊犁·期中）如图，四棱锥的底面是梯形，平面，，，，，为线段上一个动点，且，若与平面所成的角为，则 ． 【答案】 【分析】建立空间直角坐标系，利用空间向量法求解线面夹角，从而求解. 【详解】连接，因为：，，，在中，由余弦定理得： ， 即有：，所以：， 以点为原点，以所在直线分别为轴建立如图所示空间直角坐标系， 则，，，，， 所以：，，，， 因为：，且，， 设平面的一个法向量为：， 则：，令：，得：， 所以得：，解得：. 故答案为：. 【变式2-1】（23-24高二上·辽宁大连·期中）如图，在四棱锥中，底面是矩形，为棱的中点，且为棱上的一点，若与平面所成角的正弦值为，则 .    【答案】/ 【分析】根据给定条件，证得平面，以为原点建立空间直角坐标系，利用空间向量求解即得. 【详解】过点作，交于点，由，为中点，得， 又，且，平面，则平面， 而平面，有，又是矩形，则两两垂直， 以为原点，所在直线分别为轴建立空间直角坐标系，如图：    由，，为中点，得，为的中点， 则点，，，，， ，,，， 令，， 设平面法向量为，则，令，得， 由与平面所成角的正弦值为，得， 解得，所以. 故答案为： 【变式2-2】（25-26高二上·上海·期中）如图，在四棱锥中，底面为菱形，，点在底面的投影是与的交点，且是等边三角形，点在线段上，若直线与平面所成角为，则的取值范围为 ．    【答案】 【分析】设，根据条件建系，设，求出相关向量的坐标和平面的法向量坐标，设，利用空间向量夹角的坐标公式求出的表示式，再借助于二次函数的性质即可求得其取值范围. 【详解】    如图，设，因底面为菱形，则，依题意，平面， 故可以点为坐标原点，分别以所在直线为轴，建立空间直角坐标系. 设，因是等边三角形，且，则， 于是，， 则， 设平面的法向量为， 则，故可取， 设，则， 且， 依题意，， 因，则，故可得. 故答案为：. 【变式2-3】（23-24高二上·天津北辰·期中）如图，在四棱锥中，底面ABCD为直角梯形，，，，，，，且平面平面ABCD，在平面ABCD内过B作，交AD于O，连PO.    (1)求证：平面ABCD； (2)求面APB与面PBC所成角的正弦值； (3)在线段PA上存在一点M，使直线BM与平面PAD所成的角的正弦值为，求PM的长. 【答案】(1)证明见解析 (2) (3) 【分析】（1）结合余弦定理的值，再由勾股定理可得，根据面面垂直的性质定理即可证明线面垂直； （2）以为原点，为轴，为轴，为轴，建立空间直角坐标系，利用空间向量的坐标运算求解面APB与面PBC的法向量，从而可得面面夹角的余弦值，利用平方公式得正弦值； （3）设，确定的坐标，利用空间向量线面夹角公式求解即可. 【详解】（1）因为，，，    所以四边形为矩形， 在中，，，， 则， 所以，则， 且平面平面，平面，平面平面， 所以平面； （2）以为原点，为轴，为轴，为轴，建立空间直角坐标系，    因为，，可得，则，，，，， 设平面的法向量为，，， 由，取， 设平面的法向量为，， 由，取， ， 又由图可知二面角是钝角， 所以二面角的正弦值为； （3）设，则， 又平面的法向量为， 直线与平面所成的角的正弦值为，解得， 所以. 【题型三】二面角概念模糊 【例3】（25-26高二·全国·课后作业）如图，三棱柱满足棱长都相等且⊥平面，D是棱的中点，E是棱上的动点．设，随着x增大，平面与平面的夹角是（   ） A．先增大再减小 B．减小 C．增大 D．先减小再增大 【答案】D 【分析】先建系，分别求出平面与平面的法向量，再根据二面角余弦公式结合余弦函数单调性判断即可. 【详解】以AC中点O为坐标原点，OB，OC分别为x，y轴，建立空间直角坐标系． 设所有棱长均为2， 则，，， ，设平面BDE法向量， 则， 令，则， 故． 又平面的法向量， 故平面与底面所成锐二面角的平面角的余弦值， 又，故在上单调递增，上单调递减， 即随着x增大先增大后减小，且在单调递减，所以随着x增大先减小后增大． 故选：D． 【变式3-1】（23-24高二上·安徽亳州·期末）在正方体中，设，若二面角的平面角的正弦值为，则实数的值为 ． 【答案】或 【分析】建立空间直角坐标系，利用法向量方法用表示二面角的平面角的余弦值，建立方程求解即可. 【详解】建立空间直角坐标系如图所示， 设棱长为1，, 则， ， 设平面，平面的一个法向量分别为， 所以，，即，， 分别令，则， 故， 设二面角的平面角为， 由，则， 故由， 解得或. 【变式3-2】（25-26高二上·上海·月考）如图，在直四棱柱中，底面是边长为2的菱形，，，则二面角的正切值为 【答案】 【分析】设二面角的平面角为，根据题意分析可以建立空间直角坐标系，利用空间向量法求得，得，进而即得. 【详解】取的中点， 因为底面是边长为2的菱形，且， 由余弦定理得， 所以,则，即得， 如图所示，分别以、、为x，y，z轴建立坐标系， 则，，，， 则， 设平面的一个法向量为， 则，，则， 令，则，即可得， 因为为平面的一个法向量， 设二面角的平面角为， 则， , 所以二面角的正切值是． 故答案为： 【变式3-3】（25-26高二上·重庆·月考）已知三棱锥中，，，若二面角的余弦值是，则二面角的余弦值为 ． 【答案】/ 【分析】过作于，过作交于，则为二面角的平面角，，令，，利用余弦定理求出，过作于，又，可知与夹角为二面角的平面角，利用向量的夹角公式求解即可. 【详解】过作于，过作交于，   为二面角的平面角，， ，令，， 令，，，，， 中，，即，， 中，，，，； 过作于，， 与夹角为二面角的平面角，设其为， ，，， ． 即二面角的余弦值为. 故答案为：. 【题型一】用已知向量表示某一向量的三个关键点 (1)要结合图形，以图形为指导是解题的关键． (2)要正确理解向量加法、减法与数乘运算的几何意义． (3)在立体几何中，三角形法则、平行四边形法则仍然成立． 【例1】（25-26高二上·上海·期中）已知三棱柱如图所示，其中，若点N为棱的中点，则（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据向量的加减法和数乘向量的定义运算即可. 【详解】由题意可知，， 则. 故选：A 【变式1-1】（2025高三·全国·专题练习）我国古代数学名著《九章算术》中，将底面为矩形且一侧棱垂直于底面的四棱锥称为阳马.如图所示，已知四棱锥是阳马，平面，且，若，则（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据空间向量加、减运算法则，以为基底表示出向量即可. 【详解】 . 故选：D 【变式1-2】（2025·上海·模拟预测）如图，在四面体OABC中，，，．点M在OA上，且，N为BC中点，则等于 .    【答案】 【分析】利用给定的基底，结合空间向量线性运算求出. 【详解】依题意，. 故答案为： 【变式1-3】（24-25高二下·上海宝山·月考）如图，在三棱柱中，、分别为和的中点，设，，，则 （用表示）． 【答案】 【分析】利用向量加法的三角形法则与向量减法的三角形法则即可求得结果. 【详解】 , 故答案为： 【例2】（25-26高二上·上海·期中）给定空间三点．若向量与向量都垂直，且，则向量的坐标为 ． 【答案】或 【分析】先计算出，然后根据垂直关系计算出的坐标之间的关系，结合模长可求解出结果. 【详解】因为，所以， 设，因为向量与向量都垂直， 所以，所以， 因为，所以，解得， 所以的坐标为或， 故答案为：或. 【题型二】空间向量数量积的应用 1．空间向量数量积的计算方法 (1)定义法：设向量a，b的夹角为θ，则a·b＝|a||b|·cosθ. (2)坐标法：设a＝(x1，y1，z1)，b＝(x2，y2，z2)，则a·b＝x1x2＋y1y2＋z1z2. (3)投影法：向量a，b的数量积就是向量a在向量b上的投影向量与向量b的数量积，还等于向量a在向量b所在平面上的投影向量与向量b的数量积． 2．数量积的应用 (1)解决垂直问题：利用a⊥b⇔a·b＝0(a≠0，b≠0)，可将垂直问题转化为向量数量积的计算问题． (2)求两向量的夹角：利用空间向量数量积求夹角．设向量a，b所成的角为θ，则cosθ＝，进而可求两异面直线所成的角． (3)求线段长度(距离)：运用公式|a|2＝a·a，可使线段长度的计算问题转化为向量数量积的计算问题． 【变式2-1】（25-26高三上·上海·月考）已知空间向量、、两两垂直，空间中点满足，记，则的取值范围为 . 【答案】 【分析】不妨设，，，，由空间向量模的意义及条件可得，进而求出范围. 【详解】不妨设，，，则. 设，则有， 所以， 由，及， 因此得到等式，即， 所以. 故答案为：. 【变式2-2】（2025·上海浦东新·二模）已知为空间中三个单位向量，且，若向量满足，，则向量与向量夹角的最小值为 ．（用反三角表示） 【答案】 【分析】由题意可设设，，结合，，求得和，再结合向量夹角得坐标表示即可求解. 【详解】可设，设， 则， 所以， 两式相减可得：，再代入第一个式子， 可得： 设向量与向量夹角为， 则， 易知对于当即取得最大值， 此时取得最大值， 即的最大值为，时取得， 再由余弦函数的单调性可知的最小值为， 故答案为： 【变式2-3】（24-25高二上·上海浦东新·期中）已知空间三点，，． (1)若向量与互相垂直，求实数的值； (2)求以，为邻边的平行四边形的面积． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）首先求出、的坐标，即可求出的坐标，依题意，根据数量积的坐标表示得到方程，解得即可； （2）首先求出，即可求出，再由面积公式求出，即可得解. 【详解】（1）因为，，， 所以，， 所以， 因为向量与互相垂直，所以， 解得； （2）因为，， 所以，则， 所以， 所以以，为邻边的平行四边形的面积. 【题型三】利用空间向量求线面角的解题步骤 【例3】（25-26高三上·上海·期中）如图，在四棱锥中，底面是边长为2的正方形，分别为中点． (1)求证：平面PAB； (2)若平面，求直线与平面所成角的正弦值． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）取的中点，连接，，通过证明四边形BENM为平行四边形，可得，从而得证； （2）建立空间直角坐标系，求出直线的方向向量与平面的法向量的坐标，再求出这两个向量的夹角的余弦值，进而可得线面所成角的正弦值． 【详解】（1）取的中点，连接，， 因为底面是边长为2的正方形，分别为中点， 可得，且， 而，且， 所以，且， 所以四边形BENM为平行四边形， 所以， 而平面PAB，平面PAB， 所以平面； （2）由题意以为坐标原点，以所在的直线分别为轴建立空间直角坐标系， 若，则，，，， 则， 所以， 设平面的法向量为， 则，即， 令，则， 所以， 所以， 设直线与平面所成角为， 则． 【变式3-1】（25-26高三上·上海金山·月考）如图，在四棱锥中，平面，底面为矩形，为线段的中点，，． (1)求证：平面； (2)求直线与平面的夹角的正弦值． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）连接交于点，应用中位线得出，再应用线面平行判定定理证明即可； （2）建立空间直角坐标系，先求出平面的法向量，再应用线面角正弦公式计算求解. 【详解】（1）连接交于点， ∵是的中点，是中点，， 又∵平面，平面， ∴平面； （2）建立如图所示的空间直角坐标系， 则，， ∴，， 设平面的法向量为， 则，∴， 令，则，， ∴是平面的一个法向量，， 设直线与平面所成角为， 则直线与平面所成角的正弦值为 【变式3-2】（25-26高三上·上海·期中）如图，在四棱锥中，底面是正方形，底面是的中点. (1)求点到平面的距离； (2)求直线与平面的夹角的正弦值. 【答案】(1)； (2) 【分析】（1）建系，由点到平面的距离公式即可求解； （2）由线面角的夹角公式即可求解. 【详解】（1）因为底面是正方形，则， 又底面，且在平面内， 则， 以为原点，分别以为轴建立空间直角坐标系，如图所示， 已知，底面是正方形， 则， 是中点，故， 所以， 设平面的一个法向量为， 则由，得，令，可得， 根据点到平面的距离公式，点到平面的距离为， 又， 所以. （2），所以，所以， 设直线与平面的夹角为，则. 【变式3-3】（25-26高二上·上海·期中）如图，正四棱柱，底面边长，侧棱，点在线段上运动， (1)证明：直线平面； (2)若，求直线和平面的所成角． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）直接用空间向量判断线面关系可证； （2）用空间向量求线面角. 【详解】（1）以为原点，以射线为轴､轴､轴的正半轴，建立空间直角坐标系．如图： 设，直线的一个方向向量为， 又，设是平面的一个法向量， 则，得，令，则. 于是平面的一个法向量， 于是，所以，又直线平面， 所以直线平面． （2）设为所求角，由（1）可知，，， 解得（负值舍去）， 平面的一个法向量，， ，， 于是， 所以直线和平面的所成角为． 学科网（北京）股份有限公5 / 5 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $