专题05 空间向量及其应用全章9大题型（期中复习专项训练）高二数学下学期沪教版

专题05 空间向量及其应用（期中复习专项训练） 一．空间中的点的坐标 二．空间向量的数乘及线性运算 三．空间向量的共线与共面 四．空间向量的数量积运算 五．空间向量的夹角与距离求解公式 六．平面的法向量（重点） 七．空间向量法求解直线与平面所成的角（重点） 八．空间向量法求解二面角及两平面的夹角（难点） 九．空间中点到平面的距离（重点） 题型一．空间中的点的坐标（共2小题） 1．（24-25高二下•上海期中）在空间直角坐标系中一点，3，关于坐标平面的对称点的坐标为___________. 2．（24-25高二下•上海杨浦期中）在空间直角坐标系中，点，，到平面的距离为 _________. 题型二．空间向量的数乘及线性运算（共3小题） 3．（24-25高二下•上海宝山期中）空间四边形中，，，，且，，则（　　） A． B． C． D． 4．（24-25高二下•上海宝山期中）如图，空间四边形中，．点在上，且，为的中点，则（　　） A． B． C． D． 5．（24-25高二下•上海期中）如图，在三棱柱中，、分别为和的中点，设，，，则___________（用表示）． 题型三．空间向量的共线与共面（共2小题） 6．（24-25高二下•松江期中）已知，，，四点共面，且任意三点不共线，为平面外任意一点，若，则_________. 7．（24-25高二下•上海杨浦区期中）已知空间向量，，若，则实数的值为　_________. 题型四．空间向量的数量积运算（共2小题） 8．（24-25高二下•上海期中）已用，，则在方向上的投影向量为_________. 9．（24-25高二下•上海金山期中）如图，已知正四面体，点，，，，，分别是所在棱中点，点满足且，记，则当，且时，数量积的不同取值的个数是　 　 个． 题型五．空间向量的夹角与距离求解公式（共2小题） 10．（24-25高二下•上海宝山期中）已知空间向量，，若的夹角为钝角，则实数的取值范围为_________. 11．（24-25高二下•青浦期中）已知为空间中三个单位向量，且，若向量满足，，则向量与向量夹角的最小值为 _________.（用反三角表示） 题型六．平面的法向量（共3小题） 12．（24-25高二下•上海浦东新期中）在空间直角坐标系中，已知点，0，、，0，、，1，，则下列向量可以作为平面的一个法向量的是（　　） A．，1， B．，1， C．，1， D．，， 13．（24-25高二下•上海期中）已知直线的一个方向向量，3，，平面的一个法向量，3，，且，则_________. 14．（24-25高二下•上海上海期中）已知直线的一个方向向量为，平面的一个法向量为，若，则_________. 题型七．空间向量法求解直线与平面所成的角（共6小题） 15．（24-25高二下•上海奉贤期中）如图，在三棱锥中，，，．为的中点，且，平面平面． （1）求证：平面； （2）求直线与平面所成角的大小． 16．（24-25高二下•上海奉贤期中）如图，在四棱锥中，底面是直角梯形，，平面，是的中点，，． （1）证明：平面； （2）求直线与平面所成角的大小． 17．（24-25高二下•上海金山期中）已知六面体的底面是矩形，，，且． （Ⅰ）求证：平面； （Ⅱ）若平面，求直线与平面夹角的正弦值． 18．（24-25高二下•上海宝山期中）如图，在四棱锥中，底面是正方形，侧面是正三角形，且平面平面，、分别为棱、的中点． （1）求证：直线平面； （2）求直线与平面所成的角的正弦值． 19．（24-25高二下•上海期中）如图，已知在四棱柱中，平面，、分别是、的中点． （1）求证：平面； （2）若底面为梯形，，，，异面直线与所成角为，求直线与平面所成角的正弦值． 20．（24-25高二下•黄浦期中）如图，直三棱柱的体积为4，△的面积为． （1）求到平面的距离； （2）设为的中点，，平面平面，求二面角的正弦值． 题型八．空间向量法求解二面角及两平面的夹角（共3小题） 21．（24-25高二下•上海宝山期中）如图，在四棱锥中，平面，，且，，，，，为的中点． （Ⅰ）求证：平面； （Ⅱ）求二面角的余弦值； （Ⅲ）点在线段上，直线与平面所成角的正弦值为，求点到平面的距离． 22．（24-25高二下•上海上海期中）如图，在正方体中，，为棱的中点，是正方形内（含边界）的一个动点，且平面， （1）求平面与平面所成二面角的余弦值； （2）求动点的轨迹长度． 23．（24-25高二下•上海宝山期中）如图，在平面中，，，，在四棱锥中，平面，，为的中点，在上，且． （1）求证：； （2）求点到平面的距离； （3）求平面与平面所成的二面角大小． 题型九．空间中点到平面的距离（共4小题） 24．（24-25高二下•上海杨浦区期中）已知平面的一个法向量为，2，，点，3，在平面内，则点，1，到平面的距离为（　　） A． B． C．1 D． 25．（24-25高二下•上海浦东新期中）平面经过点，0，，且的法向量，则，2，到平面的距离为 _________. 26．（24-25高二下•上海普陀期中）在四面体中，若底面的一个法向量，且，则定点到底面的距离为_________. 27．（24-25高二下•上海嘉定期中）如图，在四棱锥中，底面是边长为1的正方形，、分别是、的中点． （1）求证：平面； （2）若平面，且，求点到平面的距离． 1 / 1 学科网（北京）股份有限公司 $品学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 专题05 空间向量及其应用（期中复习专项训练) 题型归纳·内容导航 空间中的点的坐标 二、空间向量的数乘及线性运算 三、空间向量的共线与共面 四。空间向量的数量积运算 五.空间向量的夹角与距离求解公式 六.平面的法向量（重点） 士.空间向量法求解直线与平面所成的角（重点）】 八。空间向量法求解二面角及两平面的夹角（难点） 九.空间中点到平面的距离（重点） 题型通关·靶向提分 题型一、空间中的点的坐标（共2小题） 1.(24-25高二下·上海期中)在空间直角坐标系0-yz中一点P(2,3,④关于坐标平面Oz的对称点P的 坐标为 【答案】(-2,3，④ 【分析】关于坐标平面yOz的对称的两个点，它们的纵坐标、竖坐标相等，横坐标互为相反数，由此即可 得。 【解答】解：设所求对称点为P(x,y,z),关于坐标平面Oz的对称的两个点， 它们的纵坐标、竖坐标相等，而横坐标互为相反数，x=-2,y=3,z=4, 即P关于坐标平面Oz的对称点的坐标为P'(-2,3,④， 故答案为：(-2,3，④ 2.(24-25高二下·上海杨浦期中)在空间直角坐标系中，点P1,-2,3)到xOy平面的距离为 【答案】3 【分析】点到坐标平面的距离即为对应坐标的绝对值， 【解答】解：点P(1,-2,3)到平面xOy的距离即为点P竖坐标的绝对值，即为3. 故答案为：3. 题型二、空间向量的数乘及线性运算（共3小题） 3.（24-25高二下·上海宝山期中)空间四边形0ABC中，OA=a，0B=i，OC=c,且OM=20A, BN=NC,则MN=() 6+B0- ca+6+D.5+ 1/25 函学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 【答案】D 【分析】利用空间向量的线性运算法则求解。 【解答】解：BN=NC,N为BC的中点， ..ON=(0B+0C), m-o丽-ow-3o8-o0-号-6+0-号-号+5+ 3 3 3 2 故选：D. 4.(24-25高二下·上海宝山期中)如图，空间四边形0ABC中，0A=a,0B=b,0C=c.点M在0A上，且 OM=2MA,N为BC的中点，则MN=() A. a- 26+ B.-2 a+6+ C. a+6-2D.a 3 3 22 2 2 3 3 【答案】B 【分析】直接利用向量的线性运算的应用求出结果。 【解答】解：在△08C中，利用△08C中，oN=O8+O0-=6+,0M=0A 2 3 3 所以m-oN-0m=号a+5+ 3 21 故选：B 5.(24-25高二下·上海期中)如图，在三棱柱ABC-AB,C中，D、E分别为BC和AB的中点，设 AB=a,AC=b,AA=c,则DE= (用a,b,c表示. B A E 2/25 品学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 【答案】-6-c. 2 【分析】利用向量加法的三角形法则与向量减法的三角形法则即可求得结果， 【解答】解：由于在三棱柱ABC-A,B,C中，D、E分别为B,C和AB的中点，设AB=ā，AC=b, AA=c, 则DE=DC+CC+CA+A正=)BC+AA-AC+}AB, =c-+-c+号丽=--号c=5- 故答案为： 1- 题型三、空间向量的共线与共面（共2小题） 6.(24-25高二下·松江期中)已知A,B,C,D四点共面，且任意三点不共线，O为平面ABCD外任意 点，若0A=上0B+200+0D,则1=一 【分析】根据空间向量共面定理即可求得2· 2 【解答】解：~OA=上OB+0C+0D,且A,B,C,D四点共面， 5 5 1.2 2 .二+二+入=1，解得入= 55 故答案为：5 7.(24-25高二下·上海杨浦区期中)已知空间向量ā=1，-2,3)，b=(2,m,6),若ā/1b,则实数m的值为 【答案】-4. 【分析】直接利用向量共线的充要条件求出结果 【解答】解：由于空间向量ā=(L,-2,3),b=(2,m,6),若ā/16， 故=23 2m6:解得m=-4 故答案为：-4. 题型四.空间向量的数量积运算（共2小题） 8.(24-25高二下·上海期中)己用a=(-1,2,1),b=(-2,-2,4),则b在a方向上的投影向量为 121 【答案】(333 【分析】用b在ā方向上的投影乘以与ā同向的单位向量可得结果. 3/25 函学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 【解答】解：6在后方向上的投影向量为a-6.a-2-4+4.1,2少=-2 |a||a1V1+4+1V1+4+1 33'3 盛答案为（的 9.(24-25高二下·上海金山期中)如图，己知正四面体A42AA,点4，A,A,A,A,A。分别是所 在棱中点，点P满足A,P=xAA+yA4A,+zAA且x+y+z=1,记A0APmm,则当1i,j10且 i≠j时，数量积A,Q·A,A,的不同取值的个数是一个. As A10 A5 A6 A2 【答案】5 【分析】由已知可得点P在平面AA,A,上，且A,Q上平面AA,A,,再利用数量积的几何意义可求出 A,Q·A,A,的不同取值的个数。 【解答】解：知正四面体AAAA4,点A,A,A,A,A,A。分别是所在棱中点，点P满足 A P=xAA+yA 4+24Ax+y+z=1, 因为点P满足A,P=xAA+yAA,+zA,A,且x+y+z=1, 所以点P在平面A,A,A上， 因为A,0A,Pnn, 所以Q为平面A,A2A的中心，此时A,Q⊥平面A,A2A, 由数量积的几何意义可知A4在A0的投影有5种情况：0，±)14,01，±1AQ, 所以数量积A,Q·A,A,的不同取值的个数是5. 故答案为：5. 4/25 命学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 A10 A A2 题型五、空间向量的夹角与距离求解公式（共2小题） 10.(24-25高二下·上海宝山期中)己知空间向量ā=1,1，)，b=(-2,2-12,1-6),若ā，b的夹角为钝角， 则实数2的取值范围为 【答案】(0,2)U(2,+∞). 【分析】依题意ā，b<0且ā与b不反向共线，结合数量积的坐标表示得到不等式，求解即可. 【解答】解：由ā=(1,1，入)，b=(-2,2-12,入-6)， 且a,b的夹角为钝角， 可得a.b<0且a与b不反向共线， 由ā6<0，可得-2+2-12+1(2-6)<0， 整理得-6元<0，解得元>0， 当ā与b共线时，设b=ta, [-2=t t=-2 则有2-22=t,解得 入-6=t2 2=2 当2=2时，有b=-2ā，不合题意， 故实数2的取值范围是(0,2))(2，+∞). 故答案为：(0,2)八)(2，∞) 11.(24-25高二下·青浦期中)已知a,b,c为空间中三个单位向量，且a·b=b·c=c·a=0,若向量p满足 1万-2a上多1p-26多则向量万与向量c夹角的最小值为 ·(用反三角表示) 【答案】arccos- 4 【分折】由题意可设=0,05=0L0,=0,0),万=c,结合1D-2a多1万-25多，求得 5/25 函学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 > x=y和2x+2产=4r一4，再结合向量夹角得坐标表示即可求解， 【解答】解：可设ā=(1,0,0)，b=(0,1,0),c=(0,0,1),设p=(x,y,z), 则p-2a=(x-2,y,z),p-2b=(x,y-2,z), 因为D-2a1万-2 9 (x-2)2+y2+z2=9 4 所以 9 x2+0y-2)2+z2=9 4 两式相减可得：x=y,再代入第一个式子， 可得：2x2+z2=4x- 4 设向量D与向量c夹角为0， 因为p:=z,|=Vx2+y2+z2,1c=1, 7 4x- -2x2 所以cos0= p.c 4 2x2 2 1- 1川Vx2+y2+z l4x-A 7 47 4 x 4x2 7 易知对于y= 16 +4,当=。，即x=。时，取得最大值6 4x2 x 8 7 2 此时 47取得最大值 4 x 4x2 即cos0的最大值为2， 4·x一了时叹得 再由余弦函数的单调性可知0的最小值为arccos- √2 4 故答案为：arecos豆2 4 题型六、平面的法向量（共3小题） 12.(24-25高二下·上海浦东新期中)在空间直角坐标系O-z中，已知点A(-1,0,0)、B(0,0,1)、 C(1,1,1),则下列向量可以作为平面ABC的一个法向量的是() A.(-1,1,-1)B.(-1,1,1) C.(1,1,-1) D.(-1,-1,D 【答案】B 【分析】先求出AB和AC,然后求出平面ABC的法向量，再逐个分析各个向量是否与法向量共线即可， 【解答】解：根据题意，A(-1,0,O),B(0,0,1),C1,1,1), 6/25 品学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 则AB=(1,0,1),，AC=(2,1,1), 设平面ABC的法向量为m=(x,y,z), AB·m=X+z=0 则 ,令x=1,则y=-1,z=-1, AC.m=2x+y+z=0 故m=(1,-1,-1), 依次分析选项： 对于4，对于向量-山，，-)，因为=+所以此向量与示不共线，不能作为平面A8C的法向 量，所以A错误， 对于8，对于同最1,1。》，因为号子所以此倒量与后共线，可以作为平面48C的法向显。 所以B正确， 对于C,对于向量山，1，-》，因为夫所以此向量与m不共线，不能作为平面ABC的法间量 所以C错误， 发干0，对于向量1,1，》，因为产行所以此向童与后不共线，不能作为平面48C的法向 量，所以D错误. 故选：B 13.（24-25高二下·上海期中)已知直线1的一个方向向量d=(4,3,1),平面的一个法向量i=(m,3, -5),且11/a,则m= 【答案】-1. 【分析】由1/1a,得di=4m+3×3-1x5=0,由此能求出m, 【解答】解：”直线1的一个方向向量d=(4,3,), 平面a的一个法向量i=(m,3,-5),且1/1a, .d.n=4m+3x3-1x5=0, 解得m=-1. 故答案为：-1. 14.(24-25高二下·上海上海期中)已知直线1的一个方向向量为m=(1,-2,3)，,平面a的一个法向量为 元=（化，t+1,s),若1上a,则s+t= 【答案】 7/25 品学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 [t=元 【分析】由l⊥有元/1m,即i=1m,进而得t+1=-2入，解出即可. 5=32 【解答】解：己知直线1的一个方向向量为m=(1,-2,3),平面¤的一个法向量为万=(t,t+1,s), 由11a有i/1m,即i=入i, 1 [t=2 3 1 即{t+1=-22→{t=-三 4 →t+S=- -1=- 3 3 s=3 S=-1 4 故答案为：一 题型七.空间向量法求解直线与平面所成的角（共6小题） 15.(24-25高二下·上海奉贤期中)如图，在三棱锥P-ABC中，AB1BC,AB=BC=√2，PA=PC. O为AC的中点，且OP=2,平面PAC⊥平面ABC. (1)求证：OB⊥平面PAC; (2)求直线PC与平面PAB所成角的大小. B 【答案】1)证明见解析；(2)arcsin4 15 【分析】(1)先由等腰三角形的性质得出OB上AC,再根据面面垂直的性质即可证明： (2)设点C到平面PAB的距离为h,根据等体积法求得h,即可用反三角函数得出直线PC与平面PAB所 成角. 【解答】解：(1)证明：因为AB=BC,O为AC的中点， 所以OB⊥AC, 又平面PAC⊥平面ABC,平面PAC∩平面ABC=AC,OBc平面ABC, 所以OB⊥平面PAC. 8/25 命学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 (2)同理(1)得，P0⊥平面ABC,又0Bc平面ABC, 所以P0⊥0B, 在R1△A8C中，AC=VAB+BC=2,所以OB=OC=4C=1, 2 在R1△P0C中，PC=VOP2+0C2=5, 在R1△P0B中，PB=VP02+0B2=V5, 在△PAB中，cos∠APB=AP+BP2-AB24 2AP.BP 3 所以sin∠APB=三， 5 则S4ra即m∠P85x5号} 2 m分ix5x2- 31 设点C到平面PAB的距离为h, 323 3 设直线PC与平面PAB所成角为0， 则sin9=h、4V5 PC15, 所以直线PC与平面PAB所成角为aresin45 15 16.(24-25高二下·上海奉贤期中)如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是直角梯形， ∠BAD=∠CDA=90°，PA⊥平面ABCD,Q是PB的中点，PA=AD=DC=1,AB=2. (1)证明：CQ/平面PAD; (2)求直线AC与平面PCB所成角的大小. Q A D C 【答案】1)证明见解答：(2)平 【分析】(1)取PA的中点T,得出TQ//DC,TQ=DC,进而得出DT/1CQ,再应用线面平行判定定理 证明； 9/25 品学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 (2)先证∠ACM为直线AC与平面PCB所成角，再解三角形即可. 【解答】解：取PA的中点T,连接DT,T9,CQ, 因为LBAD=∠CDA=90°，所以AB11DC,AB=2,AD=1, 因为T,Q分别是PA,PB中点，得出TQ11AB,T0=AB=DC, 2 所以四边形DCQT是平行四边形， 所以DT/ICQ,DTc平面PAD,CQ不在t平面PAD, 所以CQ1/平面PAD: (2)因为PA⊥平面ABCD,BCc平面ABCD, 所以PA⊥BC, 又因为AC=√AD2+DC2=√2，BC=√AD2+(AB-CD)2=VP+(2-1)=V2, 所以AC2+BC2=AB2,即AC⊥BC, 又因为PA∩AC=A,且PA,ACc平面PAC, 所以BC⊥平面PAC,又因为BCc平面PCB, 所以平面PCB⊥平面PAC,且平面PCB∩平面PAC=PC, 过A在平面PAC内作AQ⊥PC,垂足为Q, 则LACM为直线AC与平面PCB所成角， 在直角三角形PAC中，an∠ACM=tan∠ACp=4-1-5 所以∠ACM=T 故直线4C与半面PC8所成角为子 A M D 17.(24-25高二下·上海金山期中)己知六面体ABCDEF的底面ABCD是矩形，AB=4,AD=3, AF/1DE且DE=2AF=4. (I)求证：BFI/平面DEC; (IⅡ)若DE⊥平面ABCD,求直线BF与平面BEC夹角的正弦值， 10/25