精品解析：山东省蒙阴第一中学2025-2026学年高一火箭部上学期第三次月考（12月）数学试题

蒙阴一中2025级火箭部高一上学期第三次月考数学试卷 本试卷满分150分．考试用时120分钟． 注意事项： 1．答题前，考生请务必用黑色字迹钢笔或签字笔将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上．用铅笔将试卷类型A．填涂在答题卡相应位置上．将条形码横贴在答题卡右上角“条形码粘贴处”． 2．作答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案，答案不能答在试卷上． 3．非选择题必须用黑色字迹钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液．不按以上要求作答的答案无效． 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知集合，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】先求出集合，然后再求交集. 【详解】， . 故选：D. 2. 若函数则（ ） A. B. C. 0 D. 4 【答案】C 【解析】 【分析】根据函数的定义，从里往外代入求值即可． 【详解】由题意可得． 故选：C． 3. 以下函数中，在上单调递增且是奇函数的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据函数的单调性和奇偶性求得正确答案. 【详解】A选项，在上单调递减，不符合题意. B选项，是偶函数，不符合题意. C选项，是偶函数，不符合题意. D选项，是奇函数，且在上单调递增，符合题意. 故选：D 4. 已知均为实数，下列说法正确的是（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则 【答案】C 【解析】 【分析】根据不等式的性质，即可结合选项逐一求解. 【详解】对于A，若，满足，此时，不满足，故A错误； 对于B，若，则，不满足，故B错误； 对于C，若，根据可乘性可得，故C正确； 对于D， 若，则，因此，D错误. 故选：C 5. “幂函数在上是减函数”是“”的一个（ ） A. 必要不充分条件 B. 充要条件 C. 充分不必要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】A 【解析】 【分析】根据幂函数的单调性求解或，再根据必要不充分条件的定义即可得解. 【详解】由幂函数的定义得，解得或，此时，； 所以当幂函数在上是减函数时，或，充分性不成立； 当时，在上是减函数，必要性成立； 所以幂函数在上是减函数”是“”的一个必要不充分条件. 故选： 6. 函数的图像大致为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】由函数为偶函数可排除AC，再由当时，，排除D，即可得解. 【详解】设，则函数的定义域为，关于原点对称， 又，所以函数为偶函数，排除AC； 当时， ，所以，排除D. 故选：B. 7. 设，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据函数的单调性确定正确答案. 【详解】， 函数在上单调递增， 所以，即. 函数在上单调递减， 所以，即. 综上所述，. 故选：A 8. 已知函数，则不等式的解集为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据已知条件构造新函数，将问题转化得出，再根据函数单调性的定义判断函数单调性，从而得出关于的不等式，解出即可. 【详解】由函数， 令， 则不等式转化为： ， 即， 由 ， 所以， 所以， 代入得： ， 即， 由函数定义域为， 取，规定， 则 因为函数在上单调递增， 且，所以， 又，， 所以， 所以函数在上单调递增， 所以由得： ， 解得：或， 所以不等式的解集为：， 故选：B. 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 下列说法中正确的是（ ） A. 半径为2，圆心角为1弧度的扇形面积为2 B. 已知函数是定义在上的偶函数，当时，则的解析式为 C. 若是第二象限角，则是第一象限角 D. 命题：的否定是： 【答案】ABD 【解析】 【分析】根据计算判断A；根据奇函数求解析式方法得，进而判断B；根据范围判断C；根据含一个量词的命题的否定判断D. 【详解】对于A，半径为2，圆心角为1弧度的扇形面积为,故正确； 对于B，设，则，故， 由函数是定义在上的偶函数知， 所以， 又当时 所以的解析式为，故B正确； 对于C，若是第二象限角，则， 所以，故是第一象限角或第三象限角，故错误； 对于D，命题：的否定是：，故正确. 故选：ABD 10. 以下命题正确的是（ ） A. 已知，则有最大值 B. 函数的最小值为5 C. 已知且，则的最小值为9 D. 已知为正实数，，则的最小值 【答案】BCD 【解析】 【分析】A利用基本不等式求解；B令，结合对勾函数单调性求解；C利用基本不等式，结合一元二次不等式求解；D利用1的妙用. 【详解】因，则，则，等号成立时， 故， 则，A错误； 令，则， 因在上单调递增，则， 故函数的最小值为5，B正确； 因，则，即， 得，即，等号成立时，故C正确； 因为正实数，， 则， 等号成立时，故D正确. 故选：BCD 11. 已知函数的定义域为，若存在常数，使得对成立，则称为上的“类函数”，则（ ） A. 可为上的4类函数 B. 可为上的3类函数 C. 若为上的类函数，则 D. 若是上的3类函数，则，有 【答案】BC 【解析】 【分析】结合“类函数”的定义及所给解析式判断A、B、C，根据“3类函数”的定义可得，即可判断D. 【详解】对于A，因为的定义域为， ， 又因为，只有才成立，不满足“4类函数”的定义，故A错误； 对于B，因为的定义域为，， 所以可为上的“3类函数”，故B正确； 对于C，因为， 若为上的类函数，则（）对任意恒成立， 因为，所以的最大值为，所以，故C正确； 对于D，因为为上的3类函数，则，，有， 又因为，所以，故D错误. 故选：BC. 第II卷（非选择题） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 已知函数的图象一定过点，则点的坐标是___________． 【答案】 【解析】 【分析】先利用指数函数的性质确定指数部分为时的值，再代入函数求出对应的函数值，从而得到定点的坐标. 【详解】因为指数函数(且)，的图象恒过点， 令，即，此时， 所以函数恒过点，即点的坐标是. 故答案为： 13. 已知分别为定义在上的偶函数、奇函数，且满足，则的值为___________． 【答案】 【解析】 【分析】由奇偶函数性质得，再结合已知得，最后代入求解即可得答案. 【详解】因为分别为定义在上的偶函数、奇函数， 所以， 因为， 所以，即， 所以， 所以 故答案为： 14. 已知函数，若关于的方程有4个不同的实根，，且，则的取值范围是___________，___________． 【答案】 ①. ②. 1 【解析】 【分析】作出函数的图象，结合图象易得，，，进而得到，即可求解. 【详解】作出函数的图象，如图， 由题意关于的方程有4个不同的实根，，且， 则有4个交点， 即，则的取值范围是； 且，， 又，则，即， 所以. 故答案为：；1 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 已知一扇形的圆心角为，半径为，弧长为． （1）若，，求扇形的弧长； （2）若扇形周长为，当扇形的圆心角为多少弧度时，这个扇形的面积最大，最大值是多少？ 【答案】（1）； （2），. 【解析】 【分析】（1）根据扇形的弧长公式进行计算即可； （2）根据扇形的周长和面积公式，可得，再结合二次函数的图像性质进行求解即可. 【小问1详解】 由题意，扇形的圆心角，半径为， 所以扇形的弧长； 【小问2详解】 因为扇形的周长为，即，所以， 又，所以， 所以当时，面积取得最大值，为， 此时，所以. 所以若扇形周长为，当扇形的圆心角为弧度时，这个扇形的面积最大，最大值是. 16. 已知函数是定义在上的奇函数. （1）确定的解析式； （2）用定义证明：在区间上是减函数； （3）解不等式. 【答案】（1）； （2）证明： 在上任取、，且， 则 ， 因为，，，， 所以，，在区间上是减函数. （3） 【解析】 【分析】（1）本题可根据求出的解析式； （2）本题可在上任取、且，然后通过转化得出，即，即可证得结论； （3）本题首先可根据奇函数性质将转化为，然后根据减函数性质转化为，最后通过计算即可得出结果. 【详解】（1）因为，所以， 因为函数是奇函数，所以， 即，解得，. （2）略； （3）因为是定义在上的奇函数和减函数， 所以即，， 则，解得，不等式的解集为. 【点睛】关键点点睛：本题考查利用函数奇偶性求函数解析式、定义法判断函数单调性以及利用函数性质解不等式，偶函数满足，奇函数满足，考查计算能力，考查化归与转化思想，是中档题. 17. 为推动县域经济发展，某县计划建一农产品加工厂.经市场调研，生产需投入年固定成本为万元，每生产万件产品，需另投入的流动成本为万元，在年产量不足万件时，（万元），在年产量不小于万件时，（万元），每件产品的售价为元，且该厂生产的产品当年能全部售完. （1）写出年利润（万元）关于年产量（万件）的函数解析式； （注：年利润＝年销售收入－固定成本－流动成本） （2）当年产量为多少万件时，该厂所获利润最大？最大利润是多少？ 【答案】（1） （2）年产量万件时，该厂所获利润最大，最大利润为万元 【解析】 【分析】（1）根据年利润的定义，分别考虑时年利润的表达式，由此可知结果； （2）当时，利用二次函数性质分析的最大值；当时，利用基本不等式求出的最大值，由此可知结果. 【小问1详解】 当时，， 当时，， 所以. 【小问2详解】 当时，， 因为，所以； 当时，， 当且仅当，即时取等号，所以； 综上所述，当年产量万件时，该厂所获利润最大，最大利润为万元. 18. 已知幂函数，且在上单调递增． （1）求的值； （2）若在上恒成立，求的取值范围； （3）设为偶函数，当时，，当时，求的表达式． 【答案】（1） （2） （3）当时， 【解析】 【分析】（1）根据幂函数的定义和性质即可求解； （2）构造二次函数，利用二次函数的图像处理恒成立问题； （3）先赋值求出，然后利用偶函数的定义即可得出答案. 【小问1详解】 由题可得，解得或； 又在上单调递增，所以， 故； 【小问2详解】 由（1）得，所以原问题即在上恒成立， 即在上恒成立， 令，可知该二次函数开口向上， 所以要满足题意，只需， 解得； 【小问3详解】 由（1）得，当时，， 令，代入得， 所以当时，， 当时，，. 所以当时，. 19. 对于定义域为的函数．，如果存在区间 同时满足： ①在上是单调函数； ②当定义域是时， 的值域也是．则称是该函数的“保值区间”． （1）求证： 是函数 的一个“保值区间”； （2）求证：函数 不存在“保值区间”； （3）已知函数 有“保值区间”，当取得最大值时，求的值． 【答案】（1） 函数在[0，2]上单调递增， 又， 因此函数在[0，2]上的值域为[0，2]， 所以[0，2]是函数的一个“保值区间”. （2） 假设存在保值区间，函数中则或， 则函数在上单调递增， 若是的“保值区间”，则， 即是方程的两个不等的同号实根， 方程，而方程无解， 所以函数不存在“保值区间”. （3） 【解析】 【分析】（1）先判断函数的单调性再求值域即可得解； （2）假设存在保值区间，由的单调性知，而方程组无解，故不存在保值区间； （3）根据函数的单调性和“保值区间”定义得到是方程的两个不等的同号实根，再根据求解即可. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 【小问3详解】 函数中，则或； 函数在上单调递增， 而是函数的“保值区间”，所以. 则是方程的两个不等的同号实根， 方程， 所以解得或又， 所以， 当且仅当时取等号，所以当取得最大值时. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 蒙阴一中2025级火箭部高一上学期第三次月考数学试卷 本试卷满分150分．考试用时120分钟． 注意事项： 1．答题前，考生请务必用黑色字迹钢笔或签字笔将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上．用铅笔将试卷类型A．填涂在答题卡相应位置上．将条形码横贴在答题卡右上角“条形码粘贴处”． 2．作答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案，答案不能答在试卷上． 3．非选择题必须用黑色字迹钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液．不按以上要求作答的答案无效． 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知集合，则（ ） A. B. C. D. 2. 若函数则（ ） A. B. C. 0 D. 4 3. 以下函数中，在上单调递增且是奇函数的是（ ） A. B. C. D. 4. 已知均为实数，下列说法正确的是（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则 5. “幂函数在上是减函数”是“”的一个（ ） A. 必要不充分条件 B. 充要条件 C. 充分不必要条件 D. 既不充分也不必要条件 6. 函数的图像大致为（ ） A. B. C. D. 7. 设，则（ ） A. B. C. D. 8. 已知函数，则不等式的解集为（ ） A. B. C. D. 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 下列说法中正确的是（ ） A. 半径为2，圆心角为1弧度的扇形面积为2 B. 已知函数是定义在上的偶函数，当时，则的解析式为 C. 若是第二象限角，则是第一象限角 D. 命题：的否定是： 10. 以下命题正确的是（ ） A. 已知，则有最大值 B. 函数的最小值为5 C. 已知且，则的最小值为9 D. 已知为正实数，，则的最小值 11. 已知函数的定义域为，若存在常数，使得对成立，则称为上的“类函数”，则（ ） A. 可为上的4类函数 B. 可为上的3类函数 C. 若为上的类函数，则 D. 若是上的3类函数，则，有 第II卷（非选择题） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 已知函数的图象一定过点，则点的坐标是___________． 13. 已知分别为定义在上的偶函数、奇函数，且满足，则的值为___________． 14. 已知函数，若关于的方程有4个不同的实根，，且，则的取值范围是___________，___________． 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 已知一扇形的圆心角为，半径为，弧长为． （1）若，，求扇形的弧长； （2）若扇形周长为，当扇形的圆心角为多少弧度时，这个扇形的面积最大，最大值是多少？ 16. 已知函数是定义在上的奇函数. （1）确定的解析式； （2）用定义证明：在区间上是减函数； （3）解不等式. 17. 为推动县域经济发展，某县计划建一农产品加工厂.经市场调研，生产需投入年固定成本为万元，每生产万件产品，需另投入的流动成本为万元，在年产量不足万件时，（万元），在年产量不小于万件时，（万元），每件产品的售价为元，且该厂生产的产品当年能全部售完. （1）写出年利润（万元）关于年产量（万件）的函数解析式； （注：年利润＝年销售收入－固定成本－流动成本） （2）当年产量为多少万件时，该厂所获利润最大？最大利润是多少？ 18. 已知幂函数，且在上单调递增． （1）求的值； （2）若在上恒成立，求的取值范围； （3）设为偶函数，当时，，当时，求的表达式． 19. 对于定义域为的函数．，如果存在区间 同时满足： ①在上是单调函数； ②当定义域是时， 的值域也是．则称是该函数的“保值区间”． （1）求证： 是函数 的一个“保值区间”； （2）求证：函数 不存在“保值区间”； （3）已知函数 有“保值区间”，当取得最大值时，求的值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $