湖北省黄梅县第一中学2025-2026学年高二上学期数学周测卷（12.16）

黄梅一中高二数学测试卷12.16 一、单选题 1．与双曲线1共渐近线，且过点的双曲线的标准方程是（　　） A．1 B．1 C．1 D．1 2．已知直线，椭圆．若直线l与椭圆C交于A，B两点，则线段AB的中点的坐标为（    ） A． B． C． D． 3．已知为抛物线的准线，抛物线上的点到的距离为，点的坐标为，则的最小值是（    ） A． B．4 C．2 D． 4．若双曲线的一条渐近线与直线相互垂直，则双曲线的两个焦点与虚轴的一个端点构成的三角形的面积为                         （    ） A． B．6 C． D．8 5．已知椭圆的左、右焦点分别为，点在椭圆上，且满足,延长线交椭圆于另一点，，则椭圆的方程为（    ） A． B． C． D． 6．已知平面四边形的四个顶点都在抛物线上，其中顶点，为抛物线的焦点，若，则（    ） A．12 B．9 C．6 D．3 7．已知椭圆的左，右焦点是，，是椭圆上一点，若，则椭圆的离心率的取值范围是（    ） A． B． C． D． 8．已知椭圆：（）与双曲线：（）有相同的焦点、，椭圆的离心率为，双曲线的离心率为，点为椭圆与双曲线的交点，且，则取最大值时的值为（ ） A． B． C． D． 二、多选题 9．已知O为坐标原点，椭圆C：的左､右焦点分别为，，两点都在上，且，则（    ） A．的最小值为4 B．为定值 C．存在点，使得 D．C的焦距是短轴长的倍 10．在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线的焦点为F，直线l的倾斜角为60°且经过点F.若l与C相交于两点，则（    ） A． B． C． D．△AOB的面积为 11．已知点在双曲线上，分别是左、右焦点，若的面积为20，则下列判断正确的有（    ） A．点到轴的距离为 B． C．为钝角三角形 D． 三、填空题 12．已知双曲线，过原点作一条倾斜角为直线分别交双曲线左、右两支，两点，以线段为直径的圆过右焦点，则双曲线离心率为 . 13．抛物线上动点和圆上动点间的距离的最小是 ． 14．已知双曲线的左、右焦点分别是，，过点的直线与双曲线的右支交于点，，连接交双曲线的左支于点，若，，，则的面积是 ． 四、解答题 15．已知抛物线与直线相交于A、B两点． (1)求证：； (2)当的面积等于时，求k的值． 16.已知椭圆C：的短轴长为2，离心率为. （Ⅰ）求椭圆C的方程； （Ⅱ）设过定点的直线与椭圆C交于不同的两点A、B，且∠AOB为锐角，求直线l的斜率k的取值范围． 17．已知双曲线C：的右焦点为，且C的一条渐近线恰好与直线垂直. (1)求C的方程； (2)直线l：与C的右支交于A，B两点，点D在C上，且轴.求证：直线BD过点F. 18．如图，圆柱上，下底面圆的圆心分别为，，该圆柱的轴截面为正方形，三棱柱的三条侧棱均为圆柱的母线，且，点在轴上运动． (1)证明：不论在何处，总有； (2)当为的中点时，求平面与平面夹角的余弦值． 19．已知椭圆C：的离心率为，左、右焦点分别为，，A为C的上顶点，且的周长为． (1)求椭圆C的方程； (2)直线l：与椭圆C交于M，N两点，O为坐标原点，当k为何值，恒为定值，并求此时面积的最大值． 《2025年12月16日高中数学作业》参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 D B A C C C C B BCD BC 题号 11 答案 BC 1．D 【分析】由题意，设要求的双曲线为，将点的坐标代入，计算可得t的值，将其方程变形为标准方程，即可得答案． 【详解】由题意知，要求双曲线与双曲线共渐近线， 设要求的双曲线为. 又该双曲线经过点，则，解得， 则要求的双曲线的标准方程为. 故选：D. 2．B 【分析】联立直线方程与椭圆方程，消y得到关于x的一元二次方程，根据韦达定理可得，进而得出中点的横坐标，代入直线方程求出中点的纵坐标即可. 【详解】由题意知， ，消去y，得， 则，， 所以A、B两点中点的横坐标为：， 所以中点的纵坐标为：， 即线段AB的中点的坐标为. 故选：B 3．A 【分析】设抛物线焦点为，由题意，利用抛物线的定义可得，当共线时，取得最小值，由此求得答案. 【详解】抛物线的焦点，准线， 连接，，    由抛物线定义， ， 当且仅当三点共线时，取“＝”号， ∴的最小值为. 故选：A. 【点睛】关键点点睛： 求解本题的关键在于，根据题中条件，由抛物线的定义，得到，进而可得出结果. 4．C 【分析】写出渐近线方程，利用直线垂直列方程求解，从而得焦点坐标与虚轴顶点坐标，可求解得三角形面积. 【详解】双曲线的一条渐近线方程为， 由两直线垂直得，， ，所以双曲线的焦点坐标为 ， 虚轴一个顶点坐标为， 故选：C 5．C 【分析】根据椭圆的定义可得，，再利用勾股定理，列出方程，求出的值，从而得到椭圆方程. 【详解】因为点在椭圆上，延长线交椭圆于另一点，且， 所以，，则，由于， 所以，即，解得， 所以，则， 则，， 所以椭圆方程为， 故选：C 6．C 【分析】利用向量的坐标运算得，再根据抛物线的定义即可求解. 【详解】因为在抛物线上，所以，即，所以， 设， 由得， 所以，即， 根据抛物线的定义可得 . 故选:C. 7．C 【解析】根据椭圆定义及求出， 由即可求解. 【详解】由椭圆的定义知：， 因为，即， 又因为，所以， 所以有：， ， 故椭圆的离心率的取值范围是． 故选：C 【点睛】本题主要考查了椭圆的定义，椭圆的简单几何性质，属于中档题. 8．B 【分析】由椭圆的定义及双曲线的定义结合余弦定理可得，，的关系，由此可得，再利用三角换元求的最大值，并求此时的的值. 【详解】设为第一象限的交点，、， 则、，解得、， 在中，由余弦定理得：， ∴，∴， ∴，∴，∴， 设，，则， 当时，取得最大值，此时，，， 故选：B 9．BCD 【分析】由题知关于原点对称，，，，进而判断AD；再根据椭圆的对称性可判断B正确；根据当在轴上时，为钝角判断C正确. 【详解】解：因为，，，所以，，， 所以,C的焦距是短轴长的倍，D正确. 因为，故关于原点对称， 所以，最小值为，故A错误； 所以，由椭圆的对称性知，，所以B正确. 当在轴上时，，则为钝角，所以存在点A，使得，故C正确. 故选：BCD 10．BC 【分析】根据抛物线方程得到焦点坐标，即可得到直线的方程，联立直线与抛物线方程，消元、列出韦达定理，即可判断A、B，根据焦点弦公式判断C，再求出原点到直线的距离，即可求出三角形的面积； 【详解】解：抛物线的焦点坐标为，所以直线：， 则，消去得，所以，， 所以，故A错误，C正确； ，故B正确； 又到直线：的距离，所以，故D错误； 故选：BC 11．BC 【分析】设点，根据求得判断A；求出点的坐标，利用两点距离求出，根据双曲线定义求出，即可判断B；结合B选项，利用余弦定理求得，则为钝角，即可判断C；由得，即可判断D． 【详解】设点． 因为双曲线，所以，，，． 对于A，，所以， 所以点到轴的距离为4，错误． 对于B，将代入得，则． 由双曲线的对称性，不妨取点的坐标为，得． 由双曲线的定义得，所以，正确． 对于C，结合B选项，在中，， 且，则为钝角， 所以为钝角三角形，正确． 对于D，由，得，且， 所以，所以，错误． 故选：BC 12． 【分析】首先直线方程和双曲线方程联立，求得根与系数的关系，并由条件可知，代入数量积的坐标表示，转化为关于的齐次方程，再求离心率. 【详解】设，，直线的方程为，代入双曲线方程，化简为，，， 那么，，， 设右焦点坐标，由条件可知，即， ，， 所以，即， ，代入后整理为 ，两边同时除以后可得 ，即，因为， 所以，即. 故答案为： 【点睛】本题考查双曲线的离心率，直线和双曲线相交的综合应用，属于中档题型. 13． 【分析】根据圆的性质，化简得到，设坐标，得到，结合二次函数的性质，即可求解. 【详解】如图所示，设圆心为，则， 因为点在上，则坐标，点坐标， 则， 因为圆的半径为，所以最小值为． 故答案为：． 14．10 【分析】利用双曲线的定义表示，，设，表示，由勾股定理可得的关系，再由余弦定义求，结合余弦定理列方程求，由此可求的面积. 【详解】连接，由，，得，． 设，则，． 由得， 即， 得． 在中，． 在中，由余弦定理，得， 所以，得， 所以，，即， 故的面积为． 故答案为：10. 15．(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）根据题意，将证明转化为证即可； （2）根据题意，由利用面积建立关于k的方程，然后代入计算，即可得到结果. 【详解】（1）由方程与联立，消去后，整理得． 由题意易知，且， 设，由韦达定理，， 在抛物线上，， 则，. ∴． （2）    设直线与轴交于N，又显然，令，则，即， 又， ，且， 则，解得. 16.（Ⅰ）+y2＝1；（Ⅱ）． 【解析】（Ⅰ）根据椭圆短轴长公式、离心率公式，结合椭圆中的关系进行求解即可； （Ⅱ）根据平面向量数量积公式，结合一元二次方程根与系数关系、根的判别式进行求解即可. 【详解】（Ⅰ）由已知得 2b＝2，所以，又因为，所以有：，而， 解得， 即椭圆C的方程为+y2＝1． （Ⅱ）直线l方程为y＝kx+2，将其代入+y2＝1，得（3k2+1）x2+12kx+9＝0， 设A（x1，y1），B（x2，y2）， ∴△＝（12k）2﹣36（1+3k2）＞0，解得k2＞1， 由根与系数的关系，得x1+x2＝，x1x2＝ ∵∠AOB为锐角， ∴＞0， ∴x1x2+y1y2＞0， ∴x1x2+（kx1+2）（kx2+2）＞0， ∴（1+k2）x1x2+2k（x1+x2）+4＞0， 化简得＞0，解得， 由且， 解得． 【点睛】关键点睛：本题的关键是由∠AOB为锐角转化为＞0，然后通过一元二次方程根与系数关系以及根的判别式进行求解. 17．(1) (2)证明见解析 【分析】（1）根据焦点坐标及渐近线的斜率列式求解即可； （2）设点的坐标，联立直线与双曲线方程，韦达定理，根据向量共线坐标运算得三点共线，即证. 【详解】（1）由焦点坐标为得，所以， 又双曲线C：的一条渐近线恰好与直线垂直， 得即，所以， 所以双曲线C的方程为，即. （2）由题意可知直线l的斜率存在且不为0，所以， 设，，则，由（1）可知，双曲线C的渐近线为， 又直线l与双曲线C的右支交于A，B两点，则，即. 联立，消去x得， 则，得， ，，则， 又，所以，， 所以， 所以，又，有公共点F，所以B，F，D三点共线， 所以直线BD过点F.    18．(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）证明线面垂直，进而证明线线垂直； （2）利用空间向量的坐标运算方法求面面角的余弦值. 【详解】（1）证明：连接并延长，交于，交圆柱侧面于． 因为，，所以，所以， 所以，所以M为BC中点，所以． 又在圆柱中，平面，平面， ，，平面, 所以平面． 因为不论P在何处，总有平面， 所以． （2）设，则． 在中，， 则．所以． 如图，建立空间直角坐标系， 其中轴，轴是的垂直平分线， 则，，，， 所以，， ，． 设平面的一个法向量为，则 ，取，得． 设平面的一个法向量为，则 ，取，得． 设平面与平面的夹角为，则 ， 所以平面与面夹角（锐角）的余弦值为． 19．(1) (2)，面积的最大值为1 【分析】（1）由椭圆的定义可知的周长为，结合离心率，即可求解； （2）联立直线方程与椭圆方程，结合韦达定理可得，若恒为定值，则与无关，即可求得值；将代回可得，设点到直线的距离，则，利用均值不等式即可求解. 【详解】（1）设椭圆的半焦距为．因为的周长为， 所以，① 因为椭圆的离心率为，所以，② 由①②解得，． 则． 所以椭圆的方程为． （2）设，， 联立，消元得， 当，即时， 则，， 则 ， 当为定值时，即与无关，故，得， 此时 ， 又点到直线的距离， 所以， 当且仅当，即时，等号成立， 经检验，此时成立， 所以面积的最大值为1． 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $