湖北省黄梅县第一中学2025-2026学年高二上学期数学周测卷（1.6）

高二测试题20260106 一、单选题：本题共8小题，每小题满分5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求,选对得5分，选错得0分. 1．等差数列中，，，则（   ） A．35 B．40 C．55 D．53 2．在等差数列中，为其前项和．若，则（　　） A．205 B．410 C．230 D．460 3．在等差数列中，已知，那么这个数列前100项的和等于（  ） A．170 B．145 C．120 D．80 4．等差数列前n项的和为，已知，，则（    ） A．7 B．8 C．9 D．10 5．已知等差数列的前项和分别为，若，则（    ） A． B． C． D． 6．已知椭圆（）的左、右焦点分别为，，焦距为4，若直线与椭圆交于点M，满足，则离心率是（   ） A． B． C． D． 7．已知点到点的距离与点到直线的距离之比为，则的最大值为（    ） A．1 B．3 C．6 D．8 8．如图的形状出现在南宋数学家杨辉所著的《详解九章算法·商功》中，后人称为“三角垛”.“三角垛”最上层有1个球，第二层有3个球，第三层有6个球……第层有个球，则数列的前项和为（    ） A． B． C． D． 二、多选题：本题共3小题，每小题满分6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求。全部选对得6分，部分选对的得部分分。有选错的得0分. 9．已知数列是等差数列，其公差为，前项和为，则下列说法正确的有（　　） A．若，则 B．若，则 C．若，则当时最小 D．若，则 10．已知数列满足，记为其前项和，若，，则下列说法正确的是（    ） A． B．为递减的等差数列 C．当时，取得最大值 D．使得成立的最小正整数的值为23 11．已知为坐标原点，抛物线的焦点为，点在的准线上，过的直线与交于不同的两点，则（   ） A． B． C． D． 三、填空题：本题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分。 12．已知等差数列的前项和为，，，则 . 13．已知数列满足，，则 . 14．已知数列满足，，设数列的前项和为，则 . 四、解答题：本题共 5 小题，共 77 分，（15 题 13 分，16-17 题 15 分，18-19 题 17 分）解答应写出文字说 明、证明过程或演算步骤。 15．（1）若为等差数列，且，，求的通项公式； （2）记的前项和为，若，，且为等差数列，求和． 16．已知数列的前项和满足， (1)求数列的通项公式； (2)求数列的前项和的最大值. 17．已知点是抛物线： 的焦点，纵坐标为2的点在上，以为圆心、为半径的圆交轴于，，． (1)求抛物线的方程； (2)过作直线与抛物线交于，，求的值． 18．已知等差数列满足. (1)求数列的通项公式. (2)记，数列的前项和为，求. 19．已知双曲线的一条渐近线的倾斜角为150°，且经过点. (1)求双曲线的标准方程； (2)设为坐标原点，动点满足过能作出的两条互相垂直的切线，记切点分别为点，. （ⅰ）求动点的轨迹方程； （ⅱ）若记的面积为，的面积为，求的最大值. 第1页 共4页 ◎ 第2页 共4页 《高二测试题20260106》参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 D A B D D A C B BCD ABD 题号 11 答案 ABD 1．D 【分析】设公差为d，根据条件，联立求得，代入公式，即可得答案. 【详解】因为为等差数列，设公差为d， 所以，则， 又，联立解得， 所以. 故选：D 2．A 【分析】根据等差数列的下标和性质得出，再利用等差数列的前项和公式求出. 【详解】因为，所以， 由等差数列的性质得， 所以． 故选：A． 3．B 【分析】根据等差数列的性质，由奇数项之和与公差可求出偶数项之和，两者相加即为该数列前100项的和. 【详解】因为， 所以 故选：B. 4．D 【分析】根据等差数列性质可得，，结合题意运算求解即可. 【详解】因为数列为等差数列，则， 又因为，即，解得或， 若，则，不合题意； 若，则，解得； 综上所述：. 故选：D. 5．D 【分析】利用等差数列前项和公式以及下标和性质可得 【详解】由等差数列的前项和分别为且， 所以 故选： D 6．A 【分析】先根据直线过定点求出，进而可判定为直角三角形，根据椭圆的定义即可求出，进而可求出椭圆的离心率. 【详解】因为焦距为4，所以，所以. 因为直线过点，斜率为，所以， 那么，所以为直角三角形， 所以. 根据椭圆的定义得，所以. 所以椭圆的离心率为. 故选：A. 7．C 【分析】利用设动点坐标，表示距离，结合题意可得轨迹方程，再用坐标法来求距离的最大值即可. 【详解】设点，则根据题意可得：， 整理得：， 则， 因为，所以当时，， 故选：C 8．B 【分析】根据规律求递推公式，利用累加法求通项，然后由裂项相消法求解可得. 【详解】由题意可知，， 当时，， 显然满足上式，所以， 因为， 所以数列的前项和为： 故选：B 9．BCD 【分析】对于A，根据等差数列基本量计算即可；对于B，由等差数列的性质可得即可；对于C，由等差数列的单调性，时，，当时，即可判断；对于D，由等差数列前项和性质，为等差数列即可求解． 【详解】因为，所以，解得，故A错误． 因为，所以，所以．故B正确． 因为，所以当时，，当时，，所以当时最小．故C正确． 由等差数列的性质，得是公差为的等差数列， 即是等差数列． 因为，所以成等差数列， 即，解得．故D正确． 故选：BCD． 10．ABD 【分析】设出首项和公差，并结合题意得到，进而判断A，利用等差数列的求和公式并结合等差数列的定义判断B，利用等差数列的性质判断C，结合题意建立不等式，进而得到且，从而判断D即可. 【详解】因为，所以是等差数列， 因为，所以， 设首项为，公差为，则，解得， 对于A，可得，故A正确， 对于B，由等差数列性质得， 则，， 可得， 而，则为递减的等差数列，故B正确， 对于C，因为，，所以， 因为，，所以为递减的等差数列， 则的前11项均为正，从第12项起为负， 则当时，取得最大值，故C错误， 对于D，令，则， 而，可得，且，解得， 则使得成立的最小正整数的值为23，故D正确. 故选：ABD 11．ABD 【分析】对于A，由准线的位置可计算得；对于B，设出，联立直线与抛物线，结合韦达定理，即可得解；对于C，由抛物线的性质将转化为，再将其转化为，结合直线倾斜角的范围，即可得解；对于D，由抛物线的性质可得，通分后结合韦达定理，即可得解. 【详解】由题可知，，故，故抛物线. 对于A：，故A正确； 对于B：易知直线的斜率存在，且不为0，故可设直线，， 联立直线与抛物线可得，，消得，， 解得或，. ，故B正确； 对于C：过点作准线的垂线，由抛物线的性质可知，， 故. 由B可知，，或，由对称性，不妨令，则，则，，，即，故C错误； 对于D：由B可知，，. 由抛物线的性质可知，， 故，故D正确. 故选：ABD. 12．9 【分析】利用片段和性质求解可得. 【详解】在等差数列中，，，所以，， 故构成公差为2的等差数列， 所以，即. 故答案为：9 13． 【分析】利用累加法求解. 【详解】，，，，， ， ， ，. 故答案为：. 14．/ 【分析】根据数列的递推关系式，求出数列的项，可知数列周期为4，利用周期求解即可. 【详解】因为， 所以，，， 所以数列的周期为， 所以， 故答案为：. 15．（1）；（2）， 【分析】（1）由等差数列的通项公式列方程组求解可得结果； （2）设的公差为，由等差数列的通项公式得到的通项公式，从而得到的表达式，由可得的值，从而得到和. 【详解】（1）设的公差为． 由题意知解得 所以． （2）设的公差为， 则，即． 当时，， 所以，得， 所以，也符合该式． 所以． 16．(1) (2)42 【分析】（1）由与的关系式可得答案； （2）配方，结合二次函数最值可得答案. 【详解】（1）由 ，得 当 时，； 当 时，， 又 时，，符合上式， 故数列 的通项公式为 （）. （2）， 由于 为正整数，且 ，， 故 . 17．(1). (2)2. 【分析】（1）根据抛物线方程求出焦点坐标，再利用点在抛物线上得到点横坐标与的关系，最后根据圆的性质求出的值即可； （2）设出直线方程，与抛物线方程联立，得到关于的一元二次方程，利用韦达定理得到，的值，最后利用斜率公式求出即可. 【详解】（1） 设圆的半径为，以为圆心、为半径的圆交轴于，，点在轴上，为原点， 所以. ，. 点坐标为，所以. 设点坐标为，则，所以， 所以， 即， 解得， 所以抛物线的方程为：. （2）由（1）知. 设直线的方程为，，. 代入抛物线方程，整理得， ，所以， 所以，. 所以的值为2. 18．(1)，. (2)，. 【分析】（1）设公差为，利用条件等式计算，分类讨论的取值，验证再利用等差数列的通项公式计算即可； （2）利用（1）的结论，分类讨论的范围，结合等差数列求和公式计算即可. 【详解】（1）设的公差为，由，则或， 若，则，此时，， 满足条件等式； 若，则， 此时，， 不满足条件等式，舍去； 综上，. （2）由上可知， 所以当时， 此时， 当时， 此时 ， 综上，. 19．(1) (2)（i）；（ii） 【分析】（1）根据双曲线写出渐近线方程，再根据直线倾斜角与斜率的关系，最后代入已知点，可得答案； （2）（i）设出双曲线的切线方程，联立方程组并化简整理一元二次方程，利用切线的判别条件，可化简切线方程，代入动点坐标并整理一元二次方程，根据韦达定理，可得答案；（ii）由切线垂直可得切点坐标的等量关系，设出直线方程并联立方程组，化简整理一元二次方程，写出韦达定理，由此表示弦长以及直线的一般式方程，求得三角形高线，求得面积差的解析式后可得答案. 【详解】（1）由双曲线，则渐近线方程为， 由双曲线的一条渐近线的倾斜角为，则，即， 将点代入双曲线的方程可得，解得，， 所以双曲线的标准方程为. （2）（i）由题意可知分别过的两条切线斜率存在，设为，设， 则切线方程为， 代入，化简可得， 由得， 整理得， 设的斜率为，的斜率为， 则为的解， 因为，则，故即， 故动点的轨迹方程为. （ii）设，由题设不为顶点， 由（i）可得， 且由可得， 故，故，同理可得， 由两切线垂直，可得，整理可得. 当直线的斜率存在时，设直线， 代入，可得， ，且， 由韦达定理可得， 则， 代入韦达定理可得化简可得，此时， ， 又，同理， 故，， 故，同理， 故， 因为在的同一侧，故， 故 ， 由可得且， 则. 当的斜率不存在时，则，故，， 由对称性可得不妨设在第一象限，则，故， 此时，，故， 综上所述，的最大值为. 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $