专题 5.3 一元一次方程的应用（知识梳理 + 题型精析 +同步练习）- 2025-2026学年北师大版七年级数学上册基础知识专项突破讲练

本讲义聚焦一元一次方程的应用这一核心知识点，系统梳理从图形面积（周长）、体积到行程、营销盈亏、生活阶梯计价等13类实际问题，构建“知识梳理-题型精析（例题+变式）-小结归纳”的学习支架，衔接方程解法与现实问题建模。 该资料立足新课标核心素养，通过课本例题改编与生活情境（如栅栏围鸡舍、阶梯水价计算）结合，培养学生用数学眼光观察现实世界。每个题型小结归纳等量关系（如配套问题“1配n”比例），发展推理意识与模型观念。课中助力分层教学（基础★到综合★★），课后同步练习（基础巩固+能力提升）帮助学生查漏补缺，强化应用能力。

专题 5.3 一元一次方程的应用 目录 一．知识梳理与题型分类精析 2 知识点：运用方程解决实际问题的一般过程是: 2 【题型1】图形面积（周长）问题 2 【题型2】体积问题 5 【题型3】调配问题 7 【小结归纳】 9 【题型4】配套问题 9 【小结归纳】 11 【题型5】行程问题 11 【小结归纳】 13 【题型6】营销盈亏问题 13 【小结归纳】 16 【题型7】义演问题 16 【小结归纳】 17 【题型8】工程问题 17 【小结归纳】 20 【题型9】日历问题 21 【小结归纳】 23 【题型10】年龄问题 23 【小结归纳】 25 【题型11】问题解决——生活中的阶梯计价问题 25 【小结归纳】 28 【题型12】几何问题 28 【小结归纳】 30 【题型13】数轴上动点问题 30 【小结归纳】 33 二．同步练习​ 33 【★基础巩固（选择题6题，填空题6题，解答题4题）】 33 【★★能力提升（选择题6题，填空题6题，解答题4题）】 42 一．知识梳理与题型分类精析 题号带“★”表示基础题，带“★★”表示综合题，带“★★★”表示压轴题 知识点：运用方程解决实际问题的一般过程是: 1.审题:分析题意,找出题中的数量及其关系； 2.设元:选择一个适当的未知数用字母表示； 3.列方程:根据相等关系列出方程； 4.解方程:求出未知数的值； 5.检验:检查求得的值是否正确和符合实际情形,并作答。 用一元一次方程解决实际问题的一般步骤如图所示: 【题型1】图形面积（周长）问题 【★例题1】（北师大版七上147页例题第1题改编）（24-25七年级上·河南郑州·期末）【课本再现】下面是北师版初中数学教科书七年级上册第147页的部分内容． 用一根长为10m的铁丝围成一个长方形．使该长方形的长比宽多1.4m，此时长方形的长是多少？ 【解决问题】悦悦同学周末和爸爸一起到农村参加献爱心志愿者活动，该村的李大爷正在准备用篱笆修建一个长方形鸡舍栅栏，栅栏一面靠墙（墙面长度不限），三面用篱笆，篱笆总长50米，篱笆围成的长方形鸡舍的长比宽多4米，如果要在墙的对面留一个2米宽的门（门不使用篱笆），那么长方形鸡舍的面积最大是多少？请你用所学的知识和悦悦一起来思考并告诉李大爷你的答案吧！（篱笆的占地面积忽略不计）． 【答案】课本再现：长方形的长为，宽为；解决问题：320m2 【分析】（1）首先设长方形的宽为，则长为，根据长方形的周长公式可得方程，再解即可； （2）设此时长方形的宽为，则它的长为，分鸡舍的长与墙为对面或鸡舍的宽与墙为对面两种情况，求出边长，进而可得面积． 解：[课本再现]：设此时长方形的宽为，则它的长为． 根据题意，得． 解这个方程，得． ． 此时长方形的长为，宽为． [解决问题]： 设鸡舍的宽为x米，则鸡舍的长． 当鸡舍的长与墙为对面时，依题意得：，解得：， ∴鸡舍的长为（米）． 鸡舍面积= ． 当鸡舍的宽与墙为对面时，依题意得： ，解得：， ∴鸡舍的长为（米）． 鸡舍面积= ． ∵ 答：长方形鸡舍的面积最大是． 【点拨】本题考查了一元一次方程的应用，根据题目给出的条件，找出合适的等量关系，列出方程，再求解．牢记长方形的面积求解：长×宽． 【★变式1】（24-25六年级上·上海崇明·期末）长方形的长为厘米，它的宽比长的还短2厘米，周长为7厘米．可列方程为 ． 【答案】 【分析】本题考查一元一次方程的应用，掌握长方形的周长公式是解题的关键． 首先表示出长方形的宽，然后根据周长为7厘米列出方程即可解答． 解：长方形的长为厘米，则它的宽厘米，根据题意得 ， 故答案为：． 【★★变式2】（25-26七年级上·重庆·开学考试）一个长方形的周长是130厘米，如果它的宽增加，长减少，就得到一个相同周长的新长方形．求原长方形的面积． 【答案】1000平方厘米 【分析】本题考查了一元一次方程的应用，找准等量关系，正确建立方程是解题关键．设原长方形的长为厘米，则原长方形的宽为厘米，根据新长方形与原长方形的周长相同可得原长方形的宽增加的长度与长减少的长度相等，据此建立方程，解方程求出的值，再利用长方形的面积公式求解即可得． 解：设原长方形的长为厘米，则原长方形的宽为厘米， 由题意得：， 解得， 则， 所以原长方形的面积为（平方厘米）， 答：原长方形的面积为1000平方厘米． 【小结归纳】利用面积不变或周长不变建立等量关系设未知数或列方程即可 【题型2】体积问题 【★例题2】（北师版七上154页习题5.3数学理解第1题改编）（24-25七年级上·河南郑州·阶段练习）两个圆柱体容器如图所示，它们的底面直径分别为和，高分别为和．先在右侧容器中倒满水然后将其倒入左侧容器中．倒完以后，左侧容器中的水面离容器口有多少厘米？小刚是这样做的：设倒完以后，左侧容器中的水面离容器口有．列方程．解得． （1）通过计算比较容器大小，并对小刚的结果作出合理的解释． （2）为避免出现通过小刚的方式操作后左侧容器中的水面离容器口距离为负数，若将右侧容器中的水倒入到左侧容器中后，恰好使得左侧容器倒满，此时右侧容器中的水离右侧容器口有多高？ 【答案】（1）见分析；（2）右侧容器中的水离右侧容器口有高 【分析】本题考查一元一次方程的应用，找准等量关系，正确的列出方程是解题的关键： （1）求出两个圆柱体的容积，进行解释即可； （2）设右侧容器中的水离右侧容器口高，根据水的体积不变，列出方程进行求解即可． 解：（1）解：由图可知，左侧容器的容积为：， 右侧容器的容积为：， ∴右侧容器的容积大于左侧容器的容积，， ∴把右侧容器中的水倒入左侧容器中，水会溢出相当于左侧容器高水的容积，故解出的的值为； （2）设右侧容器中的水离右侧容器口高，由题意，得： ， 解得：； 答：右侧容器中的水离右侧容器口有高． 【★变式1】如图，抽纸盒在外国叫，是一种主要盛放卫生纸、纸巾等的盒子，适用于各种场合．抽纸盒是纸盒的包装结构、包装形态与包装艺术的结合，既实用又美观．图1是边长为30cm的正方形纸板，裁掉阴影后将其折叠成图2所示的长方体盒子，已知该长方体的宽是高的2倍，则它的体积是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了一元一次方程的应用，解题的关键是找到等量关系并列出方程．设长方体的高为，然后表示出其宽为，利用宽是高的2倍列出方程求得小长方体的高后计算其体积即可． 解：设长方体的高为，则其宽为， 根据题意得：， 解得：， 故长方体的宽为，高为；长为， 则长方体的体积为． 故选：A． 【★变式2】（22-23七年级上·浙江·期中）如图，一个瓶子的容积为，瓶内装着一些溶液．当瓶子正放时，瓶内溶液的高度为，将瓶子倒放时，空余部分的高度为，现把溶液全部倒在一个底面直径为的圆柱形杯子里． 求： （1）瓶内溶液的体积是多少？ （2）圆柱形杯子溶液的高度是多少？（结果保留） 【答案】（1）；（2） 【分析】（1）由于瓶内装着的溶液，当瓶子正放时，瓶内溶液的高度为30cm，倒放时，空余部分的高度为10cm，说明这个瓶的空余部分体积相当于装这种溶液的10cm高的同样底面积圆柱体的体积，设溶液的体积为，那么空余部分的体积为，而已知瓶子的容积为1升，由此建立方程即可求出溶液的体积； （2）根据圆柱体体积公式即可求出圆柱形杯子溶液的高度． 解：（1）解：， 设瓶内溶液的体积为． 根据题意，得， 解得， 答：瓶内溶液的体积是； （2）解：圆柱形杯子溶液的高度， 则， 解得， 答：圆柱形杯子溶液的高度是． 【点拨】本题考查了一元一次方程的应用，解答这道题的关键是我们要读懂题目的意思，根据题目给出的条件，找出合适的等量关系，列出方程，再求解．此题还有注意单位的统一． 【小结归纳】通过体积公式列代数式表示体积， 再通等体积不变（等积性）列方程即可 【题型3】调配问题 【★例题3】（根据北师版七上149页例题2题改编）（2024七年级上·全国·专题练习）中国的《九章算术》是世界现代数学的两大源泉之一．书中有一盈不足问题：“今有共买金，人出四百，盈三千四百；人出三百，盈一百．问人数、金价各几何？”译文：今有数人共同买金子，每人出400，多出来3400；每人出300，多出来100，问：共有多少人？金价是多少？请解决这个问题． 【答案】共有33人，金价是9800 【分析】本题考查一元一次方程的应用，理解题意，正确列出方程是解答的关键．设共有x人，根据题意列方程求解即可． 解：设共有x人， 根据题意，得， 解得， 则． 答：共有33人，金价是9800． 【★★变式1】（25-26七年级上·天津·期末）我国古代《算法统宗》里有这样一首诗：“我问开店李三公，众客都来到店中，一房七客多七客，一房九客一房空．”诗中后两句的意思是：如果每一间客房住7人，那么有7人无房住：如果每一间客房住9人，那么就空出一间客房．求该店客房有几间？设该店有客房x间． （1）用含x的代数式填表： 每间客房住的人数（人间） 房间数/间 房客总数/人 第一种方案 7 x 第二种方案 9 （2）列出方程并完成本题解答． 【答案】（1）；（2），该店有8间客房，过程见分析 【分析】本题考查了一元一次方程的应用问题，理解题意、找到等量关系并正确列出方程是关键． （1）根据“如果每一间客房住7人，那么有7人无房住：如果每一间客房住9人，那么就空出一间客房”填写表格即可． （2）房客总数相同列方程即可解答． 解：（1）解：填表如下： 每间客房住的人数（人间） 房间数/间 房客总数/人 第一种方案 7 x 第二种方案 9 故答案为：． （2）解：根据题意可得：， 解得：， 故该店有8间客房． 【★★变式2】（25-26七年级上·黑龙江齐齐哈尔·月考）齐齐哈尔市某中学组织学生参观扎龙自然保护区，租用了3辆大客车和2辆小客车，一共坐了180人，已知每辆大客车比每辆小客车多坐15人，每辆大客车和小客车各坐多少人？ 【答案】每辆大客车坐人，每辆小客车坐人 【分析】本题主要考查了一元一次方程的应用，找准等量关系列方程计算是解题的关键． 设每辆小客车坐人，则每辆大客车坐人，列出方程，解方程即可； 解：设每辆小客车坐人，则每辆大客车坐人， ， ， ， ， 大客车：（人）； 答：每辆大客车坐人，每辆小客车坐人． 【小结归纳】 调配问题等量关系是：总量不变”即：总人数、总物资数等在调配前后保持不变或或部分量之间的关系不变。 情景包括：1.人员调配（如学校植树支援、车间工人调动、班级人数调整）；2.2物资调配（如仓库粮食转移、车辆分配、器材调）3.比例型调配（调配后甲、乙、丙的数量比为固定值）等等。 【题型4】配套问题 【★例题4】（25-26七年级上·全国·课后作业）乐业镇准备在敬老院开展重阳节活动，主办方计划为每位参与者分发糕点礼盒．已知制作1块大、小糕点分别要用面粉．现共用面粉制作糕点，其中大糕点数量是小糕点数量的一半．若每位参与者获得2个糕点礼盒，每个礼盒装有5块大糕点和8块小糕点，则这批糕点装成的礼盒够发给多少人？ 【答案】这批糕点装成的礼盒够发给320人． 【分析】设大糕点用面粉，先根据“制作块大、小糕点分别要用面粉”表示出大糕点和小糕点的数量，然后根据“大糕点数量是小糕点数量的一半”列一元一次方程求解，再根据每个礼盒装块大糕点和块小糕点，得出可装礼盒盒，最后由每位参与者可获得个糕点礼盒，即可得出结果． 解：设面粉制作大糕点用了面粉，则制作小糕点用了面粉． 根据题意，得， 解得， 则． 故制作大糕点用了面粉，制作小糕点用了面粉． （盒），（盒）， 所以这批糕点可装640盒． （人）． 故这批糕点装成的礼盒够发给320人． 【点拨】本题考查了一元一次方程的应用，根据题意建立等量关系是解题的关键． 【★★变式1】（25-26七年级上·甘肃张掖·月考）某车间加工生产一种创意式三角桌，已知该车间有85名工人，平均每人每天可以加工桌面8个或桌腿10条，又知1个桌面和3条桌腿配为一套，问应如何安排工人使每天加工的桌面与桌腿刚好配套？ 【答案】应安排25人生产桌面，安排60人生产桌腿才能使每天生产的桌面与桌腿刚好配套． 【分析】本题考查了一元一次方程的应用，能够理解题意列出方程是解题关键． 设安排人生产桌面，则安排人生产桌腿，根据题意列方程求解即可． 解：设安排人生产桌面，则安排人生产桌腿， 根据题意，得， 解得， 则． 答：应安排25人生产桌面，安排60人生产桌腿才能使每天生产的桌面与桌腿刚好配套． 【★★变式2】（2025七年级上·河北·专题练习）七年级一班共有学生50人，其中男生人数比女生人数多6人，劳动技术课上，老师组织同学们自己动手设计制作便携式垃圾盒，每名学生一节课能做盒身12个或盒底26个． （1）七年级一班有男生和女生各多少人？ （2）原计划女生负责做盒身，男生负责做盒底，每个盒身匹配2个盒底，那么这节课做出的盒身和盒底不能完全配套，最后决定男生去支援女生，问有多少名男生去支援女生，才能使这节课制作的盒身和盒底刚好配套． 【答案】（1）男生28人，女生22人；（2）4名 【分析】本题考查了一元一次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元一次方程是解题的关键． （1）设七年级一班有女生人，则有男生人，根据七年级一班共有学生50人，可列出关于的一元一次方程，解之即可得出结论； （2）设需要名男生去支援女生，才能使这节课制作的盒身和盒底刚好配套，根据制作盒底的总数量是制作盒身总数量的2倍，可列出关于的一元一次方程，解之即可得出结论． 解：（1）解：设七年级一班有女生人，则有男生人， 根据题意，得， 解方程，得， ， ∴七年级一班有男生28人，女生22人； （2）解：设需要名男生去支援女生，才能使这节课制作的盒身和盒底刚好配套， 根据题意，得， 解方程，得． ∴需要4名男生去支援女生，才能使这节课制作的盒身和盒底刚好配套． 【小结归纳】 这类问题中配套的物品之间具有一定的数量关系，这可以作为列方程的依据，按“1配n”比例建立数量关系，如：一个盒身配两个盒底得到等量关系：盒底数量=2倍盒身数量 【题型5】行程问题 【★例题5】（北师大版七上155页习题5.3数学理解第8题改编）小彬和小明每天早晨坚持跑步，小彬每秒跑4米，小明每秒跑6米． （1）如果他们站在百米跑道的两端同时相向起跑，那么几秒后两人相遇? （2）如果小明站在百米跑道的起点处，小彬站在他前面10米处，两人同时同向起跑，几秒后小明能追上小彬？（3）如果他们都站在四百米环形跑道的起点处，两人同时同向起跑，几分钟后他们再次相遇？ 【答案】（1）10秒后两人相遇；（2）5秒后小彬追上小明；（3）分钟后小彬追上小明． 试题分析：（1）此问利用行程中的相遇问题解答，两人所行路程和等于总路程； （2）（3）此问利用行程中的追及问题解答，两人所行路程差等于两人相距的路程．这两问利用最基本的数量关系：速度×时间=路程． 解：（1）设x秒后两人相遇，根据题意得：6x+4x=100， 解得x=10； 答：10秒后两人相遇； （2）解：设y秒后小彬追上小明，根据题意得：6y-4y=10， 解得y=5； 答：两人同时同向起跑，5秒后小彬追上小明． （3）解：设a秒后小彬追上小明，根据题意得：6a-4a=400 解得a=200；   200秒=分钟 答：两人同时同向起跑，分钟后小彬追上小明． 【点拨】此题考查行程问题中相遇问题与追及问题，最基本的数量关系：速度×时间=路程． 【★变式1】（2025七年级上·重庆·专题练习）小明参加了一场米的跑步比赛，他以米／秒的速度跑了一段路程后，又以米／秒的速度跑完了剩下的路程，一共花了分钟，设小明以米／秒的速度跑了米，则列方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了一元一次方程的应用，根据总时间等于两部分时间之和，且需统一单位（分钟秒），列出方程． 解：设以米秒的速度跑了米，则以米秒的速度跑了米． 时间距离速度， 以米秒跑的时间为秒，以米秒跑的时间为秒． 总时间为分钟秒， ，即． 故选：D． 【★★变式2】甲、乙两地相距千米，、两车分别从甲乙两地开出，车每小时行驶千米，车每小时行驶千米． （1）若两车相向而行，车提前小时出发，求车出发后几小时两车相遇？ （2）若、两车同向而行，车在前，车在后，车先行小时，求车出发几小时后两车相距千米？ 【答案】（1）车出发 小时相遇；（2）车出发小时或 小时后两车相距千米 【分析】本题考查了一元一次方程的应用． （1）设车出发后 小时相遇，根据两车相向而行，车的总路程为千米，列出一元一次方程； （2）设车出发 小时后两车相距千米，根据题意，分两种情况列出一元一次方程，解方程，即可求解． 解：（1）解：设车出发后 小时相遇 则 解得： 答：车出发后小时相遇 （2）解：设车出发 小时后两车相距千米 ① 解得： （小时） ② 解得：（小时） 答：车出发小时或 小时后两车相距千米 【小结归纳】 数量关系：路程=速度×时间 . 常见的等量关系： （1）相遇问题：路程和=总距离；（2）追及问题：路程差=初始距离； （3）顺逆水航行问题：顺速航行=船速+水速，逆速航行=船速-水速. 【题型6】营销盈亏问题 【★例题6】（25-26七年级上·安徽马鞍山·期中）综合应用：某商场计划购进甲、乙两种商品共100件，甲种商品每件进价50元，售价80元；乙种商品每件进价70元，售价110元． （1）若全部售出后获利3600元，求甲、乙两种商品分别有多少件？ （2）在第（1）题结论的条件下，该商场开展让利促销活动，若甲种商品每件售价60元，要使得这100件商品利润率为，乙种商品每件售价多少元？（商品销售总价商品总进价（利润率） 【答案】（1）甲40件，乙60件；（2）乙种商品每件售价84元 【分析】本题考查了一元一次方程的应用，解答本题的关键是仔细审题，找到等量关系，利用方程思想求解． （1）设甲种商品的数量为，列方程求出甲商品的数量，再求出乙商品的数量即可； （2）先算出100件商品的总进价，根据利润率求出总售价，再用总售价减去甲商品总售价，最后除以乙商品数量得到乙商品每件售价． 解：（1）解：设甲商品件，则乙商品件， 则乙商品数量为（件） 答：甲商品40件，乙商品60件． （2）解：总进价元 总售价元 甲总售价元 乙每件售价元 答：乙种商品每件售价84元． 【★★变式1】某商品的价格标签已丢失，但售货员知道“先把进价提价，再以8折出售”，若该商品出售的价格是a元，则出售该商品获利 元（用含a的代数式表示）． 【答案】 【分析】本题主要考查了一元一次方程的应用，审清题意、根据题目给出的条件，找出合适的等量关系、列出方程求得原价是解题的关键． 该商品进价是x元，根据题意可得，即，进而得到，然后根据获利、进价、售价的关系求解即可． 解：该商品进价是x元， 则，即， 所以， 所以该商品获利． 故答案为：． 【★★变式2】（24-25七年级上·广西梧州·期末）某水果店以5元/千克价格购进一批苹果，由于销售良好，该店又以元/千克价格再次购进同一种苹果，这样该水果店两次购进苹果共600千克，花去2800元． （1）求该水果店两次分别购买了多少千克苹果？ （2）在销售中，尽管两次进货的价格不同，但水果店仍以相同的价格售出，若第一次购进的苹果有的损耗，第二次购进的水果有的损耗，并且在销售过程中的其他费用为392元，如果该水果店希望售完这些苹果共获得1400元的利润，那么该水果店每千克售价应定为多少元？ 【答案】（1）第一次购买了200千克苹果，第二次购买了400千克苹果；（2）该水果店每千克售价应定为8元 【分析】本题主要考查了一元一次方程的实际应用，正确理解题意列出方程求解是解题的关键． （1）设第一次购买了x千克苹果，则第二次购买了千克苹果，根据两次购买的总费用为2800元建立方程求解即可； （2）设该水果店每千克售价应定为m元，根据利润等于总销售额减去总成本建立方程求解即可． 解：（1）解：设第一次购买了x千克苹果，则第二次购买了千克苹果， 由题意得，， 解得， ∴， 答：第一次购买了200千克苹果，第二次购买了400千克苹果； （2）解：设该水果店每千克售价应定为m元， 由题意得， 解得， 答：该水果店每千克售价应定为8元． 【小结归纳】 常见等量关系：获利=售价-进价； ； 利润率=利润/进价×100% ； 售价=标价×折扣； 亏损=进价-售价. 【题型7】义演问题 【★例题7】（北师大版七上161页复习题问题解决16题改编）某文艺团体为“希望工程”募捐组织了一场义演，共售出1000张票，筹出票款7160元，且每张成人票8元，学生票5元． （1）问成人票与学生票各售出多少张？ （2）若票价不变，仍售出1000张票，所得的票款可能是7290元吗？为什么？ 【答案】（1）成人720张，学生280张；（2）不能，理由见分析 【分析】（1）设成人票x张，则学生票张，根据题意列出方程进行求解，得出答案； （2）设成人票y张，则学生票张，然后根据题意列出方程求出y的值，看y是否为整数，如果是整数则符合条件，如果不是整数则不符合条件． 解：（1）解：设售出的成人票为x张， 根据题意得：   解得： 则张      答：成人720张，学生280张． （2）当售出1000张票，所得的票款是7290元时，设售出的成人票为y张， 根据题意得：， 解得：， ∵y不是整数 ∴所得的票款不可能是7290元． 【点拨】本题考查一元一次方程的应用，分析题意，找准等量关系列方程式是解题的关键． 【★★变式1】（2024·江苏淮安·中考真题）《张丘建算经》由北魏数学家张丘建所著，其中有这样一个问题：“今有客不知其数．两人共盘，少两盘：三人共盘，长三盘．问客及盘各几何？”意思为：“现有若干名客人．若2个人共用1个盘子，则少2个盘子；若3个人共用1个盘子，则多出来3个盘子，问客人和盘子各有多少？”请你解答这个问题． 【答案】客人共有30位，盘子共有13个． 【分析】本题考查一元一次方程的实际应用，设共有x位客人，根据盘子的数量为定值，列出方程进行求解即可． 解：设共有x位客人． 依题意，得，解得， 所以． 答：客人共有30位，盘子共有13个． 【★变式2】（25-26七年级上·重庆·期中）植树节这天，七年级170名学生志愿者参加植树活动，假设一名男生一天能挖树坑3个，一名女生一天能种树7棵，且男生只挖树坑，女生只种树．要求每个树坑种一棵树，那么该年级参加植树的男生，女生各有多少名？ 【答案】男生119名，女生51名 【分析】本题考查一元一次方程的实际应用，设男生有名，则女生有名，根据男生挖的坑数等于女生种的树的数量，列出方程进行求解即可． 解：设男生有名，则女生有名，由题意，得： ， 解得， ， 答：男生119名，女生51名． 【小结归纳】 义演问题一般都有两个等量关系，用一个等量关系设未知数，用含未知数表示另一个量，通过另一个等量关系列方程即可。 【题型8】工程问题 【★例题8】（25-26六年级上·黑龙江哈尔滨·期中）一项工程，如果甲队单独完成需要12天，乙队单独完成所需的时间比甲队多． （1）求乙队单独完成这项工程需要多少天？ （2）现在若甲队先做7天，剩余部分再由甲乙两队合作，求完成这项工程需要多少天？ （3）原计划由乙队单独完成这项工程，乙队工作几天后接到通知要缩短工期，后期工程由甲、乙两队合作完成．若甲队工作的天数是乙队工作天数的，乙队单独施工一天需工程款0.2万元，乙队每天工程款比甲队每天工程款的少0.01万元，求完成这项工程共需支付多少元工程款？（注：甲、乙两队施工过程中工作效率始终不变） 【答案】（1）18天；（2）10天；（3）4.32万元 【分析】本题考查了一元一次方程的应用以及有理数的混合运算． （1）由乙工程队单独完成这项工程所需的时间比甲工程队多，可求出乙队单独完成这项工程所需的天数； （2）设完成这项工程需要x天，根据甲工程队完成的工程量乙工程队完成的工程量总工程量，即可得出关于x的一元一次方程，解之即可得出结论； （3）设乙工程队工作的天数为y天，则甲工程队工作的天数为，根据甲工程队完成的工程量+乙工程队完成的工程量=总工程量，即可得出关于y的一元一次方程，解之即可得出y的值，设甲工程队每天施工费为m万元，则乙工程队每天施工费为万元，根据乙队单独施工一天需工程款0.2万元，即可得出关于m的一元一次方程，解之即可得出结论． 解：（1）解：根据题意可得：（天），所以乙队单独完成这项工程需要18天． （2）解：设完成这项工程需要x天， 依题意，得：， 解得：， 答：完成这项工程需要10天． （3）解：设乙工程队工作的天数为y天，则甲工程队工作的天数为天， 依题意，得：，解得， 所以， 设甲工程队每天施工费为m万元，则乙工程队每天施工费为万元， 依题意，得：， 解得：， ∴完成这项工程共需支付工程款（万元）． 【★变式1】（25-26七年级上·全国·课后作业）甲、乙两公司一起竞标了一项工程．若甲、乙两公司分别单独完成此工程，甲公司需要的天数与乙公司需要的天数的比为2：3，且甲公司需要的天数比乙公司需要的天数少10天． （1）甲、乙两公司合作需要多少天完成？ （2）若甲、乙两公司合作10天后，甲公司有事离开，剩下的工程由乙公司单独完成，则乙公司还需要多少天可以完成此工程？ 【答案】（1）12；（2）5 【分析】（1）设甲公司单独完成此工程需要天，则乙公司单独完成此工程需要天，根据“甲公司需要的天数比乙公司需要的天数少用天”列出方程，求出的值，即可求出两公司合作的天数； （2）设乙公司还需要天可以完成此工程，利用“甲公司完成的工程量+乙公司完成的工程量=工程总量”，可列出关于的一元一次方程，求出天数即可. 解：（1）解：设甲公司单独完成此工程需要天，则乙公司单独完成此工程需要天． 根据题意，得：， 解得， 则，所以（天）． 答：甲、乙两公司合作需要12天完成． （2）解：设乙公司还需要天可以完成此工程． 根据题意，得：， 解得． 答：乙公司还需要5天可以完成此工程． 【点拨】本题考查了一元一次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元一次方程是解题的关键． 【★★变式2】（2024七年级上·四川成都·专题练习）一项工程，甲独做要 12 小时完成，乙独做 18 小时完成．如果先由甲工作 1 小时，然 后由乙接替甲工作 1 小时，再由甲接替乙工作 1 小时……两人如此交替工作，那么： （1）完成任务时共用了多少小时？ （2）如果把条件中的“乙独做 18 小时完成”改为“乙独做 15 小时完成”，则完成任务时 共用了多少小时呢？ 【答案】（1）；（2） 【分析】本题主要考查了一元一次方程的应用，正确地用代数式表示甲、乙两人各自的工作效率和各自完成的工作量是解题的关键， （1）假设甲、乙合作小时可以完成，可列方程，得出甲、乙两人交替工作，各工作7小时后，还剩下部分任务由甲完成，设两人各工作7小时后甲还要工作小时才能完成，可列方程得，求出的值，再加上14，就是两人交替工作完成任务时所用的小时数； （2）利用（1）的解法即可求解． 解：（1）解：假设甲、乙合作小时可以完成， 根据题意得， 解得， 可见，甲、乙两人交替工作，各工作7小时后，还剩下部分任务由甲完成， 设各工作7小时后甲还要工作小时才能完成任务， 根据题意得， 解得， ∴（小时）， 答：完成任务时共用了小时； （2）解：假设甲、乙合作小时可以完成， 根据题意得，解得， 可见，甲、乙两人交替工作，各工作6小时后，还剩下部分任务由甲工作1小时，然后由乙接替甲工作完成， 甲、乙两人交替工作，由甲工作7小时，乙工作6小时后，还剩下部分任务由乙完成， 设乙还要工作小时才能完成任务， 根据题意得，解得， ∴， 答：完成任务时共用了小时． 【小结归纳】 这类问题中常常把总工作量看作1,并利用“工作量人均效率×人数×时间”的关系考虑问题，比如：甲工作量+乙工作量=1；已经完成工作量+未完成工作量=1等等建立等量关系。 【题型9】日历问题 【★例题9】（25-26七年级上·广东佛山·期中）如图是2025年元月的日历，用图1中的“工”型图案盖住图2中的7个数，若“工”型图案盖住的7个数的和为154，则“工”型图案最中间的数为 ． 【答案】22 【分析】本题考查了一元一次方程的应用，设“工”型图案最中间的数为x，则另外几个数为， ， ， ， ，，根据“工”型图案盖住的7个数的和为154，列方程求解即可． 解：设“工”型图案最中间的数为x，则另外几个数为， ， ， ， ，， 根据题意，得， 即， 解得， 故答案为：22． 【★变式1】（25-26七年级上·江苏无锡·期中）在某月历表中任意框出表中竖列上三个相邻的数，这三个数的和为42，则这三个数中最小的数为 ． 【答案】7 【分析】本题考查一元一次方程解应用题，掌握月历表中，同一列上下两个日期之间的关系规律是解决问题的关键． 设最小的数为，由月历表中，同一列上下两个日期之间相差得到下一个数为，第三个数为，列方程求解即可得到答案． 解：设最小的数为，则下一个数为，第三个数为， 这三个数的和为42， ， 解得， 故答案为：． 【★变式2】（24-25七年级上·河南省直辖县级单位·期中）如图是某月的月历． （1）带阴影的十字框中的个数的和与十字框中间的数有什么关系？ （2）这个结论对于任何一个月的月历都成立吗？若将十字框中间的数设为x，请用含有的式子表示十字框中五个数的和． （3）在该月的月历上用十字框框出个数，能使这个数的和为吗？ 【答案】（1）带阴影的十字框中的个数的和是十字框中间的数的倍；（2）成立，；（3）不能是． 【分析】本题主要考查了日历表中数字的排列规律、一元一次方程的实际运用，根据日历表中的数字排列规律解决问题． 根据有理数的加法法则计算即可； 设十字框中间的数为，则上面的数是，下面的数是，左面的数是，右面的数是，根据整式的加法法则计算即可得到十字框中五个数的和为； 设该月的月历上用十字框框出个数中间的一个数是，可列方程，解方程求出，由图可知，在日历的最右边一列，所以这个数的和不能是． 解：（1）解：， 带阴影的十字框中的个数的和是， ， 带阴影的十字框中的个数的和是十字框中间的数的倍； （2）解：中的结论对于任何一个月的月历都成立， 设十字框中间的数为，则上面的数是，下面的数是，左面的数是，右面的数是， 十字框中五个数的和为：； （3）解：设该月的月历上用十字框框出个数中间的一个数是， 根据题意可得：， 解得：， 由图可知，在日历的最右边一列， 不可能是中间的数字， 用十字框框出个数的和不可能是． 【小结归纳】 设中间日期为,以“3个连续日期”说明等量关系： 1横向3个日期和:； 2.纵向3个日期和:； 3.斜向3个日期和: 或. 【题型10】年龄问题 【★例题10】（北师大版七上159页复习题第3题改编）（24-25七年级上·全国·课后作业）一儿子今年13岁，父亲今年43岁．则几年后父亲的年龄恰好是儿子的3倍？ 【答案】2年后父亲的年龄恰好是儿子的3倍 【分析】本题主要考查了一元一次方程的应用，找出题意中的等量关系、列出方程是解题的关键． 设x年后父亲的年龄是儿子的年龄的3倍，然后根据题意给出的等量关系列出方程求解即可． 解：设x年后父亲的年龄是儿子年龄的3倍， ∴， 解得：． 答：2年后父亲的年龄恰好是儿子年龄的3倍． 【★变式1】（24-25七年级上·河南郑州·开学考试）古希腊有一位伟大的数学家叫丢番图，他的墓碑留下了可贵的资料，碑文大意如下：他一生的 是幸福的童年， 是无忧无虑的青年．又过了一生的 ，丢番图结了婚．再过5年儿子出生，可这孩子在世界上的时间只有他父亲的一半．儿子去世以后，丢番图在悲痛中又活了4年，也去世了．你能算出丢番图活了多少岁吗？ 【答案】84岁 【分析】本题考查了一元一次方程的实际应用，解题的关键是根据丢番图一生各阶段的时间占比和具体年数，找出等量关系列出方程求解． 设丢番图活了x岁，分别表示出童年、青年、结婚后到儿子出生前、儿子在世及悲痛中生活的时间，根据各阶段时间之和等于他的总年龄列方程求解即可． 解：设丢番图活了x岁，根据题意得： ， 解得：． 答：丢番图活了84岁． 【★变式2】（23-24七年级下·北京·自主招生）四个人一道去郊游，他们年龄的和是97岁，最小的一人只有10岁，他与年龄最大的人的岁数和比另外两人岁数的和大7岁．问年龄最大的人是多少岁？ 【答案】42 【分析】本题考查的是和差问题的应用．解题的关键是通过设未知数，根据题目中给出的年龄和以及年龄和之间的关系，建立方程来求解年龄最大的人的岁数． 解：设年龄最大的人是岁， 四个人年龄的和是97岁， 解得． 答：年龄最大的人是42岁． 【★变式2】（25-26八年级上·重庆·开学考试）有一户人家，父亲和儿子同一天过生日．若父子两人的年龄加起来是岁，则称为“百岁父子”．已知父亲岁时，儿子岁，现在父亲是儿子年龄的倍，请解决如下问题： （1）现在父亲多少岁？ （2）再过几年，父子两人可以称为“百岁父子”？ 【答案】（1）现在父亲岁；（2）再过年，父子两人可以称为“百岁父子” 【分析】本题考查了一元一次方程的应用，找出等量关系是解题的关键． （1）设现在儿子岁，则现在父亲岁，根据“父亲和儿子的年龄差不变”列出方程式，解方程求解即可； （2）设再过年，父子两人可以称为“百岁父子”，根据“父子两人的年龄加起来是岁”列出方程式，解方程求解． 解：（1）解：设现在儿子岁，则现在父亲岁， 根据题意，得， 解得， 所以． 答：现在父亲岁． （2）解：设再过年，父子两人可以称为“百岁父子”，即父子两人年龄和为岁， 则， 解得． 答：再过年，父子两人可以称为“百岁父子”． 【小结归纳】 等量关系：（1）大年龄一小年龄=固定值；（2）若干年前的年龄差=现在的年龄差=若干年后的年龄差. 【题型11】问题解决——生活中的阶梯计价问题 【★★例题11】（2024七年级下·江苏无锡·专题练习）为引导居民节约用水，某市出台了城镇居民用水阶梯水价制度，每年水费计算方法为：年交水费第一阶梯水价第一阶梯用水量第二阶梯水价第二阶梯用水量第三阶梯水价第三阶梯用水量．该市某同学家在实施阶梯水价制度后的第一年缴纳水费1820元，则该同学家这一年的用水量为 ． 某市居民用水阶梯水价表： 阶梯 户年用水量（） 水价（元/） 第一阶梯 第二阶梯 第三阶梯 【答案】 【分析】本题考查了阶梯计费问题；先判断该同学家的用水量包含哪些阶梯，由表格可知第一阶梯的水费为元，第二阶梯的水费为元，该同学家的用水量明显包含三个阶梯．该同学家缴纳的总水费扣除第一、二阶梯的总水费，就能得出第三阶梯的水费，从而得出第三阶梯的用水量． 解：根据表格知，，则该同学家的用水量包括第三阶梯费用． 设该同学这一年的用水量为， 依题意得：， 解得： 答：该同学家这一年的用水量为． 故答案为300． 【★★变式1】（24-25七年级上·云南楚雄·期中）水是生命之源．为鼓励居民节约用水，2020年昆明市自来水公司试行阶梯水费，每两个月结算一次，具体执行方案如下： 用水量（吨） 水费（元/吨） 不超过10吨的部分 超过10吨且不超过15吨的部分 超出15吨的部分 另：每吨用水加收1元的城市污水处理费 小明家2020年7、8两月共缴纳水费元，则7、8两月小明家共用水（   ） A．12吨 B．18吨 C．23吨 D．25吨 【答案】C 【分析】本题主要考查了一元一次方程的应用，审清题意、正确列出一元一次方程成为解题的关键． 设7、8两月小明家共用水吨，然后根据题意列出一元一次方程求解即可． 解：设7、8两月小明家共用水吨， ，解得：， 经检验，是原方程的解， 答：7、8两月小明家共用水23吨． 故答案为：C． 【★★变式2】（25-26七年级上·广东江门·期中）【问题背景】下表是东东家收到的9月水费缴费通知单，有两处的数据模糊不清．（表中用、表示），结合表中的信息回答下列问题： 上期抄表数 本期抄表数 本期用水量 587 632 45 自来水费（含污水处理费） 用水量（吨） 单价（元／吨） 金额（元） 第一级：20 2.5 50 第二级：20 第三级：5 6.3 31.5 本期实付金额（大写）：壹佰伍拾元伍角整  小写金额：150.5元 （1）【数据分析】求表中的值； （2）【理解应用】莉莉和东东住同一小区，若莉莉家某月用水量为吨，请计算莉莉家应缴的水费． （3）【计算说理】莉莉家8月用水15吨，因没及时缴费而产生滞纳费，9月用水35吨，如果她家一次性缴费（水费按月单独计费，其中8月份需缴纳滞纳金1元），那么她家的缴费会超过东东家9月的水费吗？ 【答案】（1）， ；（2）莉莉家应缴水费为：当时，水费为元；当时，水费为元；当时，水费为 元；（3）不会超过 【分析】此题考查了一元一次方程的应用，列代数式，有理数的混合运算的实际应用，解题的关键是阶梯收费的计算方法． （1）根据题意列出一元一次方程求解即可； （2）按阶梯水价分段计算水费即可； （3）分别计算莉莉家8月和9月的水费，加上滞纳金，与东东家9月水费比较． 解：（1）根据题意得， 解得 ∴ ∴； （2）莉莉家用水量为 m 吨，根据阶梯水价： 当时，水费为 元； 当时，前20吨水费50元，超出部分吨按3.45元/吨计算， 水费为 元； 当 时，前40吨水费为 元， 超出部分吨按6.3元/吨计算，水费为元； （3）莉莉家8月用水15吨，水费为 元，加上滞纳金1元，共需缴元． 9月用水35吨，水费为 元． 两月共需缴 元． 东东家9月水费为150.5元，， ∴不会超过． 【小结归纳】 基本等量关系：总费用=各阶梯费用之和；比如：分档的电费：总费=第一档单价×限额+第二档单价×（用量-限额）；超量部分单独计价. 【题型12】几何问题 【★★例题11】如图，已知，射线从出发，以每秒的速度在内部绕点逆时针旋转，若和中，有一个角是另一个角的2倍，则运动时间为 秒． 【答案】3或6 【分析】设运动时间为t秒，分时和时分别讨论即可． 解：设运动时间为t秒，此时． 当时，如图， 即， 解得； 当时，如图， 即， 解得； 故答案为3或6． 【点拨】本题考查了用一元一次方程求角的有关计算，解题的关键是注意分类讨论． 【★★变式1】（24-25七年级上·浙江湖州·期末）如图，为线段上两点，，且，则（　　） A．9 B．15 C．21 D． 【答案】A 【分析】本题考查线段的和差，解题的关键是数形结合，列出方程；由题意得方程解方程可得． 解：∵， ∴ ∴ 解得． 故选：A． 【★★变式2】（24-25七年级上·福建厦门·期末）如图，一艘快艇从灯塔南偏东的方向上的某点出发，绕着灯塔逆时针方向以每个时间单位的转速旋转周，当时，快艇旋转了 个时间单位．（题中所说的角是指还没有旋转成平角所成的角） 【答案】或/或 【分析】本题考查了方向角，一元一次方程的应用，理解题意列出一元一次方程是解题的关键．根据方向角的运算，分两种情况列方程求解即可． 解：∵快艇从灯塔南偏东的方向上的某点出发， ∴． 设当时，快艇旋转了个时间单位， 当转到右边时， ， 解得， 当转到左边时， ， 解得． 故答案为：或． 【小结归纳】 角和线段的计算是一元一次方程在几何中的基础应用，核心思路是利用线段、角的和差、倍分、中点、角平分线等定义，建立等量关系列方程求解，具体分为线段计算和角计算两个方面。 【题型13】数轴上动点问题 【★★例题11】（24-25七年级下·河南南阳·期中）已知线段，动点P从点A出发，以的速度沿运动，同时动点Q从点B出发，以的速度沿运动，其中一点到达终点时，另一点也停止运动．当点P出发 s时，P，Q两点重合． 【答案】3或6 【分析】本题考查了一元一次方程的应用以及两点间的距离，找准等量关系，正确列出一元一次方程是解题的关键． 利用时间路程速度，可求出点，到达终点所需时间，设点的运动时间为 ，分及两种情况考虑，当时，，，根据，可列出关于的一元一次方程，解之可得出的值；当时，，，根据，可列出关于的一元一次方程，解之可得出的值． 解：，，． 设点的运动时间为 ， 当时，，， 根据题意得：， 解得：； 当时，，， 根据题意得：， 解得：． 综上所述，当点出发或时，，两点重合． 故答案为：3或6． 【★★变式1】（23-24七年级下·四川内江·期末）如图，在中，，，点P从点B出发以每秒的速度向点A运动，同时点Q从点A出发以每秒的速度向点C运动，其中一个动点到达端点时，另一个动点也随之停止运动，当时，点P、点Q运动的时间是（　　） A．秒 B．秒 C．秒 D．秒 【答案】D 【分析】本题考查了一元一次方程的应用，当时，点P、点Q运动的时间为秒，由，即可得出关于的一元一次方程，解之即可得出结论． 解：设点P、点Q运动的时间是秒，则，，即， ∵， ∴， 解得， 故选：D． 【★★变式2】已知数轴上有A、B两个点对应的数分别是a、b，且； （1）直接写出a、b的值： ， ； （2）如图①：点M是数轴上A、B之间的一个点，若，求点M所对应的数； （3）如图②：点P、点Q为数轴上的两个动点，点P从A点以2个单位长度每秒的速度沿数轴正向运动，点Q同时从B点以1个单位长度每秒的速度沿数轴负向运动．设运动时间为t秒，在点P与点Q相遇之前，若，求时间t的值． 【答案】（1）， ；（2）点M 表示的数是2；（3）时间t的值为 【分析】本题考查的是数轴，非负数的性质，一元一次方程的应用，熟知数轴上两点间的距离公式是解答此题的关键． （1）先根据非负数的性质求出a，b的值即可； （2）先根据两点间的距离公式可求，再根据题意即可得出结论； （3）先用t表示出，及的值，再根据列出关于t的方程，求出t的值即可． 解：（1）解：∵， ∴，， 解得，． （2）解：设点M 表示的数是x， ∵点M 在 A、 B之间， ∴， ， ∵，    ∴， 解得：， ∴点M 表示的数是2． （3）解：由题意： ， ， 点P和点Q相遇前， ， ∵， ∴， 解得：， ∴ 时间t的值为． 【小结归纳】 数轴上的动点问题是一元一次方程几何应用的典型题型，核心是利用数轴上点的坐标表示、动点的运动规律，结合两点间距离公式或位置关系，建立等量关系列方程求解，解题关键在于数形结合，将动点的运动过程转化为代数表达式。 二．同步练习​ 【★基础巩固（选择题6题，填空题6题，解答题4题）】 一、单选题 1．（25-26七年级上·黑龙江哈尔滨·期中）某足球队参加年度联赛，共进行15场比赛，赛制规定：胜一场得3分，平一场得1分，负一场得0分．该队平的场数是负场数的2倍，最终总积分为31分，则该队在本次联赛中负了（   ）场 A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】A 【分析】本题主要考查了二元一次方程的实际应用，解题的关键在于能够根据题意准确列出方程求解． 设负场数为x场，则平场数为场，胜场数为场，根据总积分31分列方程求解． 解：设负场数为x场，则平场数为场，胜场数为场，根据题意得： ， 解得：． 答：负场数为2场． 故选：A． 2．（25-26七年级上·河北邯郸·期中）如图，梦之队同学们在编写数学谜题时“□”内要求填写同一个数字，若设“□”内的数字为x，则列出的方程正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了由实际问题抽象出一元一次方程，理解题意是解决本题的关键． 由给定的乘法竖式，即可得出关于的一元一次方程，此题得解． 解：由图可得，， 故选A． 3．（23-24七年级上·浙江衢州·期中）小丽在纸上画了一条数轴后．折叠纸面，使数轴上表示2的点与表示的点重合；若数轴上A、B两点之间的距离为8（A在B的左侧），且A、B两点经上述折叠后重合，则A点表示的数为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了数轴上两点之间的距离，一元一次方程的应用；设表示2的点与表示的点的连线段的中点表示的数为x，由数轴上两点之间的距离得，即可求解；能熟练利用数轴上两点之间的距离求解是解题的关键． 解：设表示2的点与表示的点的连线段的中点表示的数为x，则有： ， 解得：， 数轴上A、B两点之间的距离为8， ， 到表示的点的距离为4， 点表示的数为， 故选：B． 4．（25-26七年级上·辽宁大连·期中）一件工作，甲独做8小时完成，乙独做12小时完成，现由甲先做2小时，余下部分由乙独做，又做了x小时完成，用方程表示为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了一元一次方程的应用，将工作总量视为1，甲的工作效率为，乙的工作效率为，甲先做2小时完成的工作量为，乙做小时完成的工作量为，总工作量等于1，由此建立方程. 解：假设工作总量为1， 则甲的工作效率为，乙的工作效率为， 甲做2小时完成的工作量为 ， 乙做小时完成的工作量为， ∴ 总工作量方程：， 故选B. 5．（14-15七年级上·湖南·期末）一天，小明以48米/分钟的速度去上学，5分钟后小明的爸爸发现他忘了带数学书，于是爸爸立即以72米/分钟的速度去追赶小明．求多少分钟后爸爸能追上小明？如果设分钟后爸爸追上小明，依题意可得的方程是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查一元一次方程的实际应用，解题的关键在于理解追及过程． 根据“小明前面5分钟的路程小明后面分钟的路程爸爸分钟所走的路程”建立方程，即可解题． 解：根据题意可得的方程是， 故选：A． 6．（25-26七年级上·山东菏泽·期中）如图是某年11月份的月历表，按图中所示的方式任意圈出 4个数，设这四个数中最大的数为x，则这四个数中最小的数为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了一元一次方程的应用——日历问题，列代数式，正确列代数式是解题的关键．观察月历表中数的排列规律：同一列相邻数差7，同一行相邻数相差1．圈出的四个数：7，8，15，16，最大的数与最小的数的关系为：，据此规律可以求解． 解：由图中圈出的四个数：7，8，15，16，且， 圈出的4个数中，最大的数比最小的数大9， 若圈出的4个数中最大的数为，则最小的数为， 故选：C． 二、填空题 7．（25-26七年级上·江苏南京·期中）某种商品原价1000元，商家根据如图所示的优惠方案销售，则可获利．若商家想获利，则相应的优惠方案为 （写出一种即可）． 【答案】打折 【分析】该题考查了一元一次方程的应用，根据原价1000元，商家根据如图所示的优惠方案销售，则可获利，求出成本，若商家想获利，设打折，由题意列出方程解答即可． 解：由题意可知：成本为元， 若商家想获利，设打折， 由题意可得， 解得：， 故相应的优惠方案为打折． 故答案为：打折． 8．（2024七年级上·全国·专题练习）某学校需要购买一批电脑，有两种方案．方案1：到商家直接购买，每台需要7000元；方案2：学校买零部件组装，每台需要6000元，另外需要支付安装费等其他费用合计3000元，学校添置 台电脑时，两种方案的费用相同． 【答案】3 【分析】该题主要考查了一元一次方程的应用，解题的关键是找出等量关系式． 设学校添置x台电脑，根据“两种方案的费用相同”列出方程并解答． 解：设学校添置x台电脑， 由题意，得， 解得：， 答：当学校添置3台电脑时，两种方案的费用相同； 故答案为：3． 9．（23-24七年级上·福建莆田·月考）甲煤场有煤432吨，乙煤场有煤96吨，现从别的煤场调煤240吨，要使甲煤场的存煤数是乙煤场的存煤数的2倍，设调配到甲煤厂x吨，依题意，列出的方程是 【答案】 【分析】本题考查一元一次方程的应用，理解题意，根据甲煤场的存煤数是乙煤场的存煤数的2倍列方程即可． 解：设调配到甲煤厂x吨，则调配到乙煤厂吨， 依题意，得， 故答案为：． 10．（25-26六年级上·黑龙江哈尔滨·期中）双十一来临，一商家为应对订单高峰补充库存，现有甲、乙两个仓库储备空调，甲仓库的空调台数是乙仓库的空调台数的，后来又给乙仓库运来600台空调，这时甲仓库的空调台数比乙仓库的空调台数少，则甲仓库原来有空调 台． 【答案】 【分析】本题考查一元一次方程解应用题，读懂题意，找准等量关系列方程求解是解决问题的关键． 设乙仓库原有空调台数为台，则甲仓库原有台；乙仓库增加600台后为台，此时甲仓库台数比乙仓库少，即甲仓库台数为乙仓库台数的，据此列方程求解即可得到答案． 解：依题意，有方程：， 两边同乘35消分母：， ， 去括号得， 移项得， 合并同类项得， ， 则甲仓库原有台数为：， 故答案为：． 11．（24-25九年级下·贵州铜仁·阶段练习）明代数学家程大位著的《算法统宗》一书中，记载了一道数学题，大意是：有根短竹，每根短竹可制成毛笔的笔管个或笔套个，已知个笔管与个笔套配套使用，若要使制成的笔管与笔套正好配套，设用于制作笔管的短竹数为根，则可列方程为 ． 【答案】 【分析】本题考查了一元一次方程的应用，设用于制作笔管的短竹数为根，则能制成个笔管，根据题意列出一元一次方程，即可求解． 解：设用于制作笔管的短竹数为根，则能制成个笔管，用于制作笔套的短竹数为根，能制成个笔套， 根据题意可列方程为． 故答案为： ． 12．（2024·湖北·三模）明代读本《原本直指算法统宗》中有这样一个问题：隔墙听得客分银，不知人数不知银，七两分之多四两，九两分之少半斤，其大意为：有一群人分银子，若每人分七两，则剩余四两，若每人分九两，则还差八两，则银子有 两．（明代1斤两，故有“半斤八两”这个成语） 【答案】46 【分析】此题考查了一元一次方程的应用，解题的关键是利用人数不变找到等量关系列出方程． 根据题意利用人数不变，结合每人分七两，则剩余四两，如果每人分九两，则还差半斤，得出方程即可． 解：设有x人，根据题意得： ， 解得：， ∴， 答：银子有46两． 故答案为：46 三、解答题 13．（25-26七年级上·重庆·月考）周末小育和小才相约去登山．小育平均每分钟登高10米，并且先出发40分钟，小才平均每分钟登高15米，两人同时登上山顶．设小育登山用了x分钟． （1）小才登山所用时间为　　　分钟（用x的代数式表示）； （2）试用方程求x的值．由x的值能求出山高吗？如果能，山高多少米？ 【答案】（1）；（2）的值为120；由的值能求出山高，山高为1200米 【分析】本题考查了列代数式、一元一次方程的应用，找准等量关系，正确建立方程是解题关键． （1）根据小才登山所用时间等于小育登山所用时间减去小育提前出发的时间即可得； （2）根据两人登上山顶时，两人登的高度相等建立方程，解方程可得的值，再利用的值乘以小育登高的速度即可得山的高度． 解：（1）解：∵小育登山用了分钟，且小育先出发40分钟，两人同时登上山顶， ∴小才登山所用时间为分钟， 故答案为：． （2）解：由题意得：， 解得， 则山高为（米）， 答：的值为120；由的值能求出山高，山高为1200米． 14．（25-26七年级上·辽宁铁岭·期中）某中学有甲、乙两台印刷机，学校期末考试所需数学试卷如果用甲、乙两台印刷机单独印刷分别需要1小时和小时，为了保密，学校决定在考试前的一小时开始印刷数学试卷． （1）若甲、乙两台印刷机同时印刷，共需要多少小时才能印完？（要求列方程解答） （2）在两台印刷机同时印刷半小时后，甲印刷机出现故障停止印刷，此时离发卷还有分钟．请你计算一下，如果乙印刷机单独完成剩下的印刷任务，会不会影响按时发卷？ 【答案】（1）0.6小时；（2）不会影响按时发卷 【分析】本题考查一元一次方程的应用，解题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件． （1）根据题意可以列出相应的方程，从而可以解答本题； （2）根据题意可以求出乙机单独完成剩下的印刷任务需要的时间，然后再与比较，即可解答本题． 解：（1）解：设甲乙两台印刷机同时印刷，共需要x小时才能印完， ， 解得，， 即甲乙两台印刷机同时印刷，共需要小时才能印完； （2）解：乙机单独完成剩下的印刷任务需要的时间为：， ∵， ∴乙机单独完成剩下的印刷任务，不会影响按时发卷考试． 15．（2025七年级下·全国·专题练习）丢番图的墓志铭． 古希腊数学家丢番图被认为是代数学的鼻祖，但历史上没有一本正式的著作里留下他完整的生平介绍，甚至连他的国籍都没有明确的记载，然而有趣的是，他竟然有一个墓志铭，上面镌刻着他的一些情况：“他生命的六分之一是幸福的童年，再活十二分之一，颊上长出了细细须．又过了生命的七分之一才结婚．再过5年，他感到很幸福，得了一个儿子．可是这孩子光辉灿烂的生命只有他父亲的一半，儿子死后，他在悲痛中活了4年，结束了尘世的生涯．”你知道丢番图结婚时和去世时的年龄分别是多少吗？ 【答案】丢番图结婚时的年龄是33岁，去世时的年龄是84岁 【分析】本道题主要考查了一元一次方程的应用，熟练掌握是解答本题的关键．设丢番图的年龄为岁，由此得出他的每个阶段的经历的年数列出等量关系即可解答． 解：设丢番图去世时的年龄是岁． 根据题意，得， 解得， （岁）， 答：丢番图结婚时的年龄是33岁，去世时的年龄是84岁． 16．（25-26七年级上·吉林长春·期中）【课本再现】下面是新人教版数学教材七年级上册135页探究1的部分内容． 探究1销售中的盈亏 一商店以每件60元的价格卖出两件衣服，其中一件盈利，另一件亏损，卖这两件衣服总的是盈利还是亏损，或是不盈不亏？ 解：设盈利的那件衣服的进价是x元， 根据题意，得，解得， 设亏损的那件衣服的进价是y元， ， 由此可知卖这两件衣服共________（填“盈利”或“亏损”）了________元． 【解决问题】某商店有两种书包．每个小书包比大书包的进价少10元，而它们的售后利润额相同，其中，每个小书包的利润率为，每个大书包的利润率为．试求两种书包的进价． 【答案】【课本再现】亏损，8；【解决问题】小书包的进价为20元/个和大书包的进价30元/个． 【分析】本题主要考查了一元一次方程的应用， 对于探究1，根据原价降低等于60得出方程，求出解，进而得出盈亏情况； 对于解决问题，先设小书包进价为x元，则大书包进价为元，根据利润相同列出方程，求出解即可． 解：【课本再现】 探究1：根据题意，得， 解得． ∴， 由此可知卖这两件衣服共亏损了8元； 故答案为：亏损，8； 【解决问题】解：设小书包进价为x元，则大书包进价为（x+10）元，根据题意，得 ， 解得． ∴． 答：小书包的进价为20元/个和大书包的进价30元/个． 【★★能力提升（选择题6题，填空题6题，解答题4题）】 一、单选题 1．（25-26七年级上·广西南宁·开学考试）“甲桶油是乙桶的倍，甲桶倒去2千克后，两桶油的质量相等，乙桶油有多少千克？”为解决这个问题，可以“设乙桶油有x千克”，那么根据题意可列方程（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了由实际问题抽象出一元一次方程，找准等量关系、正确列出一元一次方程是解题的关键． 根据原来甲、乙桶油质量间的关系，可得出甲桶油有千克，根据“甲桶倒去2千克后，两桶油的质量相等”，即可列出关于x的一元一次方程． 解：∵甲桶油是乙桶的倍，且乙桶油有x千克， ∴甲桶油有千克． 根据题意得：，即． 故选：C． 2．（25-26七年级上·江苏南通·期中）某校组织学生前往素质教育基地开展研学活动，共有名学生租用了若干辆车，若每辆车坐40人，则还有7人不能上车；若每辆车坐45人，则最后一辆车空了23个座位．则表示租用车辆的代数式正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】题目主要考查列代数式，理解题意，列出相应代数式是解题关键． 根据题意，学生总数为 ，租用车辆数为 ，第一种情况：每辆车坐40人，还有7人不能上车，因此 ，可得 ；第二种情况：每辆车坐45人，最后一辆车空了23个座位，因此 ，可得 ；即可求解． 解：设租用车辆数为 ， ∵ 每辆车坐40人，还有7人不能上车， ∴ ， ∴ ， 又∵ 每辆车坐45人，最后一辆车空了6个座位， ∴ ， ∴ ， 比较选项，A为 ，与第一种情况推导一致， 故选：A． 3．（24-25七年级上·广东肇庆·期中）如图是某月的月历，用形如“十”字型框任意框出5个数，这5个数的和不可能是（   ） A．125 B．110 C．75 D．60 【答案】A 【分析】本题主要考查了一元一次方程的应用，设框出的最中间的数为，则其它几个数分别为，可求出这五个数的和，再令这五个数的和分别为四个选项中的数，解方程求出的值，看是否满足日历的特点即可得到答案． 解：设框出的最中间的数为，则其它几个数分别为， ∴这五个数的和为， 当，解得，而25不能作为最中间的数，故A符合题意； 当，解得，而22能作为最中间的数，故B不符合题意； 当，解得，而15能作为最中间的数，故C不符合题意； 当，解得，而12能作为最中间的数，故D不符合题意； 故选：A． 4．（25-26七年级上·广东深圳·期中）《九章算术》中，注有“今两算得失相反，要令正负以名之”，意思是：今有两数若其意义相反，则分别叫做正数和负数．小圳完成一套共10题的小测卷，满分100分，答对一题记作：分，答错一题或不答记作：分．若小圳最后得40分，请问小圳最后答对（   ）题． A．4 B．6 C．5 D．7 【答案】B 【分析】本题考查一元一次方程的实际应用，设答对题数为x，则答错或不答题数为，根据得分规则列方程求解即可． 解：设答对题数为x，则答错或不答题数为， 由题意，得， 解得． 因此，小圳答对6题； 故选：B． 5．（21-22七年级上·甘肃平凉·期末）一项工程，甲单独做需天完成，乙单独做需天完成，现由甲先做天，乙再加入合做，完成这项工程需多少天？若设完成这项工程需天，依题意可列方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了一元一次方程的应用（工程问题），读懂题意，依据题中的数量关系正确列出方程是解题的关键．根据工作总量等于各 工作量之和，列出方程即可． 解：设完成这项工程需天，依题意可列方程为 故选：D． 6．（25-26七年级上·福建漳州·期中）如图所示，已知数轴上点A表示的数为8，点B表示的数为．动点P从点A出发，以每秒3个单位长度的速度沿数轴向左匀速运动；动点Q从点B出发，以每秒1个单位长度的速度沿数轴向右匀速运动，设运动时间为t秒．若点P、Q同时出发，当P、Q两点相距2个单位长度时，t的值为（   ） A．3 B．4 C．3或4 D．3或5 【答案】C 【分析】本题主要考查了数轴上的动点问题，绝对值的方程求两点之间的距离问题．根据数轴上点的平移性质列出带有绝对值的方程，最后求解即可． 解：设运动时间为t秒，所以P表示的数是，Q表示的数是， 由题意得，即， 解得或， 故选：C． 二、填空题 7．（25-26七年级上·重庆·月考）某车间有名工人，每人每天可生产个甲种零件或者个乙种零件，1个甲种零件需配套2个乙种零件，为使每天生产的两种零件刚好配套，应安排 人生产甲种零件． 【答案】 【分析】本题主要考查了一元一次方程，熟练掌握以上知识是解题的关键． 设安排人生产甲种零件，则生产乙种零件的人数为人，根据配套比例列出方程求解即可． 解：设应安排人生产甲种零件，则安排人生产乙种零件， ∴每天生产甲种零件个，乙种零件个， ∵配套要求，乙种零件数量是甲种零件数量的倍， ∴得方程：， 化简得， 移项得， 解得：． 故答案为：． 8．（2025七年级上·四川成都·专题练习）《九章算术》中有“盈不足术”的问题，原文如下：“今有共买羊，人出五，不足四十五；人出七，不足三、问人数、羊价各几何？”题意是：若干人共同出资买羊，每人出5枚钱，则差枚钱；每人出7枚钱，则差3枚钱．求羊价是 枚钱． 【答案】 【分析】本题考查了一元一次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元一次方程是解题的关键． 设买羊的人数为x人，则羊价为枚钱，根据题意列出方程，求出x的值，从而求得答案． 解：设买羊的人数为x人，则羊价为枚钱， 根据题意得：， 解得：， （枚钱）， ∴羊价为枚钱． 故答案为：． 9．（24-25七年级上·广东深圳·期末）用一根米长的绳子围出一个长方形，使它的长是宽的倍，长方形的长和宽各应是多少米？在这个问题中，如果设长方形的宽为米，根据题意，可列出方程 ． 【答案】 【分析】本题考查由实际问题抽象出一元一次方程，解答本题的关键是明确题意，找出等量关系，列出相应的方程． 根据长方形的宽为米，长是宽的倍，可以用含的代数式表示出长，然后根据长方形的周长（长宽），可以列出相应的方程． 解：∵长方形的宽为米，长是宽的倍， ∴长为米， ∵用一根米长的绳子围出一个长方形， ， 故答案为： 10．（25-26七年级上·河南郑州·月考）如图，一条数轴上有，，三点，其中点，表示的数分别是，，现在以为折点，将数轴向右对折，若点落在数轴上，且落点距离点为个单位长度，则点表示的数为 ． 【答案】或 【分析】本题主要考查了数轴上的折叠问题，熟练掌握折叠的性质（对应点到折点的距离相等）和数轴上两点间的距离公式是解题的关键． 先确定点A的落点可能的位置，再根据折叠的性质（折叠后点C到点A的距离等于点C到其落点的距离），设点C表示的数为，列方程求解． 解：设点C表示的数为，点A的落点为． 当在点B右侧，距离点B为2个单位长度时，表示的数为． 折叠后， ， 解得， 当在点B左侧，距离点B为2个单位长度时，表示的数为． 折叠后 ， 解得， 故答案为：或． 11．（25-26七年级上·全国·课后作业）某校七年级三个班级联合开展户外研学活动，此次活动由一班班长负责购买车票，票价每张20元．有如图两种优惠方案：班长思考一会儿说，无论选择哪种方案所要付的车费是一样的，则七年级三个班级共有 【答案】63人 【分析】本题考查一元一次方程的应用，解题的关键是根据两种方案费用相同建立方程．设七年级三个班级共有人，根据两种方案的费用相同建立方程，解方程即可得到答案． 解：设七年级三个班级共有人， 根据题意得：， 解方程得：． 故答案为：人 12．（20-21七年级上·辽宁·期末）一项工程，甲队单独做天可以完成，乙队单独做天可以完成，由两队合做天可以完成，可列方程为 ；若甲队做天后，乙来支援，乙做天后，共完成任务的，可列方程为 ． 【答案】 【分析】本题考查了一元一次方程的应用，根据题意分别列出方程即可，读懂题意，找出等量关系，列出方程是解题的关键． 解：若由两队合做天可以完成，可列方程为，若甲队先做天后，乙队来支援，合做天后，甲、乙共完成任务的，可列方程为， 故答案为：，． 三、解答题 13．（2025七年级上·全国·专题练习）我校开展校园艺术节系列活动，派小明到文体超市购买若干个文具袋作为奖品．这种文具袋标价每个元，请认真阅读结账时老板与小明的对话． 老板 如果你再多买一个，就可以打八五折，花费比现在还省元 小明 那就多买一个吧，谢谢！ （1）结合两人的对话内容，求小明原计划购买文具袋多少个？ （2）学校决定，再次购买钢笔和签字笔共支作为补充奖品，其中钢笔标价每支8元，签字笔标价每支6元，经过沟通，这次老板给予8折优惠，合计元，那么小明购买钢笔多少支？ 【答案】（1）小明原计划购买文具袋个；（2）小明购买钢笔支 【分析】本题主要考查了一元一次方程的实际应用，正确理解题意列出方程求解是解题的关键． （1）设小明原计划购买文具袋x个，则原计划的费用为元，实际费用为元，根据实际比原计划节省元建立方程求解即可； （2）设小明购买钢笔m支，则购买签字笔支，根据打八折后的总费用为元建立方程求解即可． 解：（1）解：设小明原计划购买文具袋x个， 由题意得，， 解得， 答：小明原计划购买文具袋个； （2）解：设小明购买钢笔m支，则购买签字笔支， 由题意得，， 解得， 答：小明购买钢笔支； 14．（25-26七年级上·河南周口·期中）如图，在数轴上有A、B两点，点A表示的数为，点B表示的数为14，动点P从点A出发，以每秒2个单位长度的速度沿数轴向右匀速运动，设运动时间为t秒（）． （1）当时， ，此时点P表示的数为 ； （2）当时，求t的值； （3）若动点Q从点B出发，以每秒1个单位长度的速度沿数轴向左匀速运动，动点P、Q同时出发，经过多少秒后，P、Q两点之间的距离为6个单位长度？ 【答案】（1）4；；（2）4；（3）经过6秒或10秒后，P、Q两点之间的距离为6个单位长度 【分析】本题主要考查数轴上两点距离，整式加减的应用及一元一次方程的应用，解题的关键是理解题意； （1）根据数轴上有理数的表示及两点距离可进行求解； （2）由题意易得点P表示的数为，，然后可分当P在A、B之间时，当P在B的右侧时，进而分类进行求解即可； （3）由题意易得点P表示的数为，点Q表示的数为，则有，进而求解即可． 解：（1）解：由题意得：，点所表示的数为； 故答案为4；； （2）解：当运动时间为t秒时，点P表示的数为， ∵，， ∴分两种情况： ①当P在A、B之间时，即，，， 则， 解得； ②当P在B的右侧时，，， 则， 解得（舍去）， 综上，t的值为4． （3）解：设经过t秒后，P、Q两点之间的距离为6个单位长度 此时点P表示的数为，点Q表示的数为， 则， 即， 解得或， 即或； 答：经过6秒或10秒后，P、Q两点之间的距离为6个单位长度． 15．（25-26七年级上·吉林·期中）【阅读理解】整体思想是从问题的整体性质出发，根据题目的结构特征，把某一组数或某一个代数式看作一个整体，找出整体与局部的联系，从而找到解决问题的新途径．例如，求的值，我们将作为一个整体代入，则原式． （1）如果代数式的值为，那么代数式的值为_______． （2）如图，若，求长方形与的面积差． （3）两地相距千米，某日，甲从地出发前往地，同时，乙从地出发前往地．已知甲每小时行千米，乙每小时行千米，经过小时，甲、乙二人相遇．直接写出甲、乙两人相距千米的时间． 【答案】（1）；（2）；（3）小时或小时 【分析】本题主要考查列代数式，求解代数式的值，正确理解题意是做题的关键． （1）利用整体思想，将原式化为，即可求值； （2）先根据图形列出代数式，再整体代入即可； （3）根据题意列方程，再整体代入解方程即可． 解：（1）解：由题意得，， ， ． 故答案为：． （2）解：由图可得长方形与的面积差为： 答：长方形与的面积差为． （3）解：由题意得，， ． 设经过小时甲、乙两人相距千米， 则或， 即或， 解得，或． 答：甲、乙两人相距千米的时间为小时或小时． 16．（25-26七年级上·河南开封·期中）（请必须用方程做答） 某工厂生产某种罐头食品的外包装铁质罐头盒． （1）1个罐头盒由1个盒身和2个盒底构成，用1张铁皮可做35个盒身或60个盒底．现有260张铁皮，用多少张做盒身，多少张做盒底才能使盒身与盒底恰好配套？ （2）该工厂接到生产一批罐头盒的任务，由甲车间单独完成需要15天，由乙车间单独完成需要30天，现在甲乙两个车间合作4天后，剩下的任务由甲车间单独完成，那么甲车间还需要多少天才能完成？ 【答案】（1）120张做盒身，140张做盒底；（2）甲车间还需要9天 【分析】本题考查了由实际问题抽象出一元一次方程，解答本题的关键是要读懂题目的意思，根据题目给出的条件，找出合适的等量关系． （1）设用张做盒身，则用张做盒底，根据题意列出方程求解即可； （2）甲车间还需要y天才能完成，根据题意列出方程求解即可． 根据题意找出等量关系，设未知数，列出方程，即可解答. 解：（1）解：设用张做盒身，则用张做盒底． 根据题意，得， 解得， 所以． 故用120张做盒身，140张做盒底才能使盒身与盒底恰好配套． （2）解：甲车间还需要y天才能完成． 根据题意得：， 解得． 甲车间还需要9天才能完成． 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题 5.3 一元一次方程的应用 目录 一．知识梳理与题型分类精析 1 知识点：运用方程解决实际问题的一般过程是: 1 【题型1】图形面积（周长）问题 2 【题型2】体积问题 3 【题型3】调配问题 4 【小结归纳】 4 【题型4】配套问题 5 【小结归纳】 5 【题型5】行程问题 5 【小结归纳】 6 【题型6】营销盈亏问题 6 【小结归纳】 7 【题型7】义演问题 7 【小结归纳】 7 【题型8】工程问题 8 【小结归纳】 8 【题型9】日历问题 8 【小结归纳】 9 【题型10】年龄问题 9 【小结归纳】 10 【题型11】问题解决——生活中的阶梯计价问题 10 【小结归纳】 11 【题型12】几何问题 12 【小结归纳】 12 【题型13】数轴上动点问题 12 【小结归纳】 13 二．同步练习​ 13 【★基础巩固（选择题6题，填空题6题，解答题4题）】 13 【★★能力提升（选择题6题，填空题6题，解答题4题）】 16 一．知识梳理与题型分类精析 题号带“★”表示基础题，带“★★”表示综合题，带“★★★”表示压轴题 知识点：运用方程解决实际问题的一般过程是: 1.审题:分析题意,找出题中的数量及其关系； 2.设元:选择一个适当的未知数用字母表示； 3.列方程:根据相等关系列出方程； 4.解方程:求出未知数的值； 5.检验:检查求得的值是否正确和符合实际情形,并作答。 用一元一次方程解决实际问题的一般步骤如图所示: 【题型1】图形面积（周长）问题 【★例题1】（北师大版七上147页例题第1题改编）（24-25七年级上·河南郑州·期末）【课本再现】下面是北师版初中数学教科书七年级上册第147页的部分内容． 用一根长为10m的铁丝围成一个长方形．使该长方形的长比宽多1.4m，此时长方形的长是多少？ 【解决问题】悦悦同学周末和爸爸一起到农村参加献爱心志愿者活动，该村的李大爷正在准备用篱笆修建一个长方形鸡舍栅栏，栅栏一面靠墙（墙面长度不限），三面用篱笆，篱笆总长50米，篱笆围成的长方形鸡舍的长比宽多4米，如果要在墙的对面留一个2米宽的门（门不使用篱笆），那么长方形鸡舍的面积最大是多少？请你用所学的知识和悦悦一起来思考并告诉李大爷你的答案吧！（篱笆的占地面积忽略不计）． 【★变式1】（24-25六年级上·上海崇明·期末）长方形的长为厘米，它的宽比长的还短2厘米，周长为7厘米．可列方程为 ． 【★★变式2】（25-26七年级上·重庆·开学考试）一个长方形的周长是130厘米，如果它的宽增加，长减少，就得到一个相同周长的新长方形．求原长方形的面积． 【小结归纳】利用面积不变或周长不变建立等量关系设未知数或列方程即可 【题型2】体积问题 【★例题2】（北师版七上154页习题5.3数学理解第1题改编）（24-25七年级上·河南郑州·阶段练习）两个圆柱体容器如图所示，它们的底面直径分别为和，高分别为和．先在右侧容器中倒满水然后将其倒入左侧容器中．倒完以后，左侧容器中的水面离容器口有多少厘米？小刚是这样做的：设倒完以后，左侧容器中的水面离容器口有．列方程．解得． （1）通过计算比较容器大小，并对小刚的结果作出合理的解释． （2）为避免出现通过小刚的方式操作后左侧容器中的水面离容器口距离为负数，若将右侧容器中的水倒入到左侧容器中后，恰好使得左侧容器倒满，此时右侧容器中的水离右侧容器口有多高？ 【★变式1】如图，抽纸盒在外国叫，是一种主要盛放卫生纸、纸巾等的盒子，适用于各种场合．抽纸盒是纸盒的包装结构、包装形态与包装艺术的结合，既实用又美观．图1是边长为30cm的正方形纸板，裁掉阴影后将其折叠成图2所示的长方体盒子，已知该长方体的宽是高的2倍，则它的体积是（   ） A． B． C． D． 【★变式2】（22-23七年级上·浙江·期中）如图，一个瓶子的容积为，瓶内装着一些溶液．当瓶子正放时，瓶内溶液的高度为，将瓶子倒放时，空余部分的高度为，现把溶液全部倒在一个底面直径为的圆柱形杯子里． 求： （1）瓶内溶液的体积是多少？ （2）圆柱形杯子溶液的高度是多少？（结果保留） 【小结归纳】通过体积公式列代数式表示体积， 再通等体积不变（等积性）列方程即可 【题型3】调配问题 【★例题3】（根据北师版七上149页例题2题改编）（2024七年级上·全国·专题练习）中国的《九章算术》是世界现代数学的两大源泉之一．书中有一盈不足问题：“今有共买金，人出四百，盈三千四百；人出三百，盈一百．问人数、金价各几何？”译文：今有数人共同买金子，每人出400，多出来3400；每人出300，多出来100，问：共有多少人？金价是多少？请解决这个问题． 【★★变式1】（25-26七年级上·天津·期末）我国古代《算法统宗》里有这样一首诗：“我问开店李三公，众客都来到店中，一房七客多七客，一房九客一房空．”诗中后两句的意思是：如果每一间客房住7人，那么有7人无房住：如果每一间客房住9人，那么就空出一间客房．求该店客房有几间？设该店有客房x间． （1）用含x的代数式填表： 每间客房住的人数（人间） 房间数/间 房客总数/人 第一种方案 7 x 第二种方案 9 （2）列出方程并完成本题解答． 【★★变式2】（25-26七年级上·黑龙江齐齐哈尔·月考）齐齐哈尔市某中学组织学生参观扎龙自然保护区，租用了3辆大客车和2辆小客车，一共坐了180人，已知每辆大客车比每辆小客车多坐15人，每辆大客车和小客车各坐多少人？ 【小结归纳】 调配问题等量关系是：总量不变”即：总人数、总物资数等在调配前后保持不变或或部分量之间的关系不变。 情景包括：1.人员调配（如学校植树支援、车间工人调动、班级人数调整）；2.2物资调配（如仓库粮食转移、车辆分配、器材调）3.比例型调配（调配后甲、乙、丙的数量比为固定值）等等。 【题型4】配套问题 【★例题4】（25-26七年级上·全国·课后作业）乐业镇准备在敬老院开展重阳节活动，主办方计划为每位参与者分发糕点礼盒．已知制作1块大、小糕点分别要用面粉．现共用面粉制作糕点，其中大糕点数量是小糕点数量的一半．若每位参与者获得2个糕点礼盒，每个礼盒装有5块大糕点和8块小糕点，则这批糕点装成的礼盒够发给多少人？ 【★★变式1】（25-26七年级上·甘肃张掖·月考）某车间加工生产一种创意式三角桌，已知该车间有85名工人，平均每人每天可以加工桌面8个或桌腿10条，又知1个桌面和3条桌腿配为一套，问应如何安排工人使每天加工的桌面与桌腿刚好配套？ 【★★变式2】（2025七年级上·河北·专题练习）七年级一班共有学生50人，其中男生人数比女生人数多6人，劳动技术课上，老师组织同学们自己动手设计制作便携式垃圾盒，每名学生一节课能做盒身12个或盒底26个． （1）七年级一班有男生和女生各多少人？ （2）原计划女生负责做盒身，男生负责做盒底，每个盒身匹配2个盒底，那么这节课做出的盒身和盒底不能完全配套，最后决定男生去支援女生，问有多少名男生去支援女生，才能使这节课制作的盒身和盒底刚好配套． ∴需要4名男生去支援女生，才能使这节课制作的盒身和盒底刚好配套． 【小结归纳】 这类问题中配套的物品之间具有一定的数量关系，这可以作为列方程的依据，按“1配n”比例建立数量关系，如：一个盒身配两个盒底得到等量关系：盒底数量=2倍盒身数量 【题型5】行程问题 【★例题5】（北师大版七上155页习题5.3数学理解第8题改编）小彬和小明每天早晨坚持跑步，小彬每秒跑4米，小明每秒跑6米． （1）如果他们站在百米跑道的两端同时相向起跑，那么几秒后两人相遇? （2）如果小明站在百米跑道的起点处，小彬站在他前面10米处，两人同时同向起跑，几秒后小明能追上小彬？（3）如果他们都站在四百米环形跑道的起点处，两人同时同向起跑，几分钟后他们再次相遇？ 【★变式1】（2025七年级上·重庆·专题练习）小明参加了一场米的跑步比赛，他以米／秒的速度跑了一段路程后，又以米／秒的速度跑完了剩下的路程，一共花了分钟，设小明以米／秒的速度跑了米，则列方程为（    ） A． B． C． D． 【★★变式2】甲、乙两地相距千米，、两车分别从甲乙两地开出，车每小时行驶千米，车每小时行驶千米． （1）若两车相向而行，车提前小时出发，求车出发后几小时两车相遇？ （2）若、两车同向而行，车在前，车在后，车先行小时，求车出发几小时后两车相距千米？ 【小结归纳】 数量关系：路程=速度×时间 . 常见的等量关系： （1）相遇问题：路程和=总距离；（2）追及问题：路程差=初始距离； （3）顺逆水航行问题：顺速航行=船速+水速，逆速航行=船速-水速. 【题型6】营销盈亏问题 【★例题6】（25-26七年级上·安徽马鞍山·期中）综合应用：某商场计划购进甲、乙两种商品共100件，甲种商品每件进价50元，售价80元；乙种商品每件进价70元，售价110元． （1）若全部售出后获利3600元，求甲、乙两种商品分别有多少件？ （2）在第（1）题结论的条件下，该商场开展让利促销活动，若甲种商品每件售价60元，要使得这100件商品利润率为，乙种商品每件售价多少元？（商品销售总价商品总进价（利润率） 【★★变式1】某商品的价格标签已丢失，但售货员知道“先把进价提价，再以8折出售”，若该商品出售的价格是a元，则出售该商品获利 元（用含a的代数式表示）． 【★★变式2】（24-25七年级上·广西梧州·期末）某水果店以5元/千克价格购进一批苹果，由于销售良好，该店又以元/千克价格再次购进同一种苹果，这样该水果店两次购进苹果共600千克，花去2800元． （1）求该水果店两次分别购买了多少千克苹果？ （2）在销售中，尽管两次进货的价格不同，但水果店仍以相同的价格售出，若第一次购进的苹果有的损耗，第二次购进的水果有的损耗，并且在销售过程中的其他费用为392元，如果该水果店希望售完这些苹果共获得1400元的利润，那么该水果店每千克售价应定为多少元？ 【小结归纳】 常见等量关系：获利=售价-进价； ； 利润率=利润/进价×100% ； 售价=标价×折扣； 亏损=进价-售价. 【题型7】义演问题 【★例题7】（北师大版七上161页复习题问题解决16题改编）某文艺团体为“希望工程”募捐组织了一场义演，共售出1000张票，筹出票款7160元，且每张成人票8元，学生票5元． （1）问成人票与学生票各售出多少张？ （2）若票价不变，仍售出1000张票，所得的票款可能是7290元吗？为什么？ 【★★变式1】（2024·江苏淮安·中考真题）《张丘建算经》由北魏数学家张丘建所著，其中有这样一个问题：“今有客不知其数．两人共盘，少两盘：三人共盘，长三盘．问客及盘各几何？”意思为：“现有若干名客人．若2个人共用1个盘子，则少2个盘子；若3个人共用1个盘子，则多出来3个盘子，问客人和盘子各有多少？”请你解答这个问题． 【★变式2】（25-26七年级上·重庆·期中）植树节这天，七年级170名学生志愿者参加植树活动，假设一名男生一天能挖树坑3个，一名女生一天能种树7棵，且男生只挖树坑，女生只种树．要求每个树坑种一棵树，那么该年级参加植树的男生，女生各有多少名？ 【小结归纳】 义演问题一般都有两个等量关系，用一个等量关系设未知数，用含未知数表示另一个量，通过另一个等量关系列方程即可。 【题型8】工程问题 【★例题8】（25-26六年级上·黑龙江哈尔滨·期中）一项工程，如果甲队单独完成需要12天，乙队单独完成所需的时间比甲队多． （1）求乙队单独完成这项工程需要多少天？ （2）现在若甲队先做7天，剩余部分再由甲乙两队合作，求完成这项工程需要多少天？ （3）原计划由乙队单独完成这项工程，乙队工作几天后接到通知要缩短工期，后期工程由甲、乙两队合作完成．若甲队工作的天数是乙队工作天数的，乙队单独施工一天需工程款0.2万元，乙队每天工程款比甲队每天工程款的少0.01万元，求完成这项工程共需支付多少元工程款？（注：甲、乙两队施工过程中工作效率始终不变） 【★变式1】（25-26七年级上·全国·课后作业）甲、乙两公司一起竞标了一项工程．若甲、乙两公司分别单独完成此工程，甲公司需要的天数与乙公司需要的天数的比为2：3，且甲公司需要的天数比乙公司需要的天数少10天． （1）甲、乙两公司合作需要多少天完成？ （2）若甲、乙两公司合作10天后，甲公司有事离开，剩下的工程由乙公司单独完成，则乙公司还需要多少天可以完成此工程？ 【★★变式2】（2024七年级上·四川成都·专题练习）一项工程，甲独做要 12 小时完成，乙独做 18 小时完成．如果先由甲工作 1 小时，然 后由乙接替甲工作 1 小时，再由甲接替乙工作 1 小时……两人如此交替工作，那么： （1）完成任务时共用了多少小时？ （2）如果把条件中的“乙独做 18 小时完成”改为“乙独做 15 小时完成”，则完成任务时 共用了多少小时呢？ 【小结归纳】 这类问题中常常把总工作量看作1,并利用“工作量人均效率×人数×时间”的关系考虑问题，比如：甲工作量+乙工作量=1；已经完成工作量+未完成工作量=1等等建立等量关系。 【题型9】日历问题 【★例题9】（25-26七年级上·广东佛山·期中）如图是2025年元月的日历，用图1中的“工”型图案盖住图2中的7个数，若“工”型图案盖住的7个数的和为154，则“工”型图案最中间的数为 ． 【★变式1】（25-26七年级上·江苏无锡·期中）在某月历表中任意框出表中竖列上三个相邻的数，这三个数的和为42，则这三个数中最小的数为 ． 【★变式2】（24-25七年级上·河南省直辖县级单位·期中）如图是某月的月历． （1）带阴影的十字框中的个数的和与十字框中间的数有什么关系？ （2）这个结论对于任何一个月的月历都成立吗？若将十字框中间的数设为x，请用含有的式子表示十字框中五个数的和． （3）在该月的月历上用十字框框出个数，能使这个数的和为吗？ 【小结归纳】 设中间日期为,以“3个连续日期”说明等量关系： 1横向3个日期和:； 2.纵向3个日期和:； 3.斜向3个日期和: 或. 【题型10】年龄问题 【★例题10】（北师大版七上159页复习题第3题改编）（24-25七年级上·全国·课后作业）一儿子今年13岁，父亲今年43岁．则几年后父亲的年龄恰好是儿子的3倍？ 【★变式1】（24-25七年级上·河南郑州·开学考试）古希腊有一位伟大的数学家叫丢番图，他的墓碑留下了可贵的资料，碑文大意如下：他一生的 是幸福的童年， 是无忧无虑的青年．又过了一生的 ，丢番图结了婚．再过5年儿子出生，可这孩子在世界上的时间只有他父亲的一半．儿子去世以后，丢番图在悲痛中又活了4年，也去世了．你能算出丢番图活了多少岁吗？ 【★变式2】（23-24七年级下·北京·自主招生）四个人一道去郊游，他们年龄的和是97岁，最小的一人只有10岁，他与年龄最大的人的岁数和比另外两人岁数的和大7岁．问年龄最大的人是多少岁？ 【★变式2】（25-26八年级上·重庆·开学考试）有一户人家，父亲和儿子同一天过生日．若父子两人的年龄加起来是岁，则称为“百岁父子”．已知父亲岁时，儿子岁，现在父亲是儿子年龄的倍，请解决如下问题： （1）现在父亲多少岁？ （2）再过几年，父子两人可以称为“百岁父子”？ 【小结归纳】 等量关系：（1）大年龄一小年龄=固定值；（2）若干年前的年龄差=现在的年龄差=若干年后的年龄差. 【题型11】问题解决——生活中的阶梯计价问题 【★★例题11】（2024七年级下·江苏无锡·专题练习）为引导居民节约用水，某市出台了城镇居民用水阶梯水价制度，每年水费计算方法为：年交水费第一阶梯水价第一阶梯用水量第二阶梯水价第二阶梯用水量第三阶梯水价第三阶梯用水量．该市某同学家在实施阶梯水价制度后的第一年缴纳水费1820元，则该同学家这一年的用水量为 ． 某市居民用水阶梯水价表： 阶梯 户年用水量（） 水价（元/） 第一阶梯 第二阶梯 第三阶梯 【★★变式1】（24-25七年级上·云南楚雄·期中）水是生命之源．为鼓励居民节约用水，2020年昆明市自来水公司试行阶梯水费，每两个月结算一次，具体执行方案如下： 用水量（吨） 水费（元/吨） 不超过10吨的部分 超过10吨且不超过15吨的部分 超出15吨的部分 另：每吨用水加收1元的城市污水处理费 小明家2020年7、8两月共缴纳水费元，则7、8两月小明家共用水（   ） A．12吨 B．18吨 C．23吨 D．25吨 【★★变式2】（25-26七年级上·广东江门·期中）【问题背景】下表是东东家收到的9月水费缴费通知单，有两处的数据模糊不清．（表中用、表示），结合表中的信息回答下列问题： 上期抄表数 本期抄表数 本期用水量 587 632 45 自来水费（含污水处理费） 用水量（吨） 单价（元／吨） 金额（元） 第一级：20 2.5 50 第二级：20 第三级：5 6.3 31.5 本期实付金额（大写）：壹佰伍拾元伍角整  小写金额：150.5元 （1）【数据分析】求表中的值； （2）【理解应用】莉莉和东东住同一小区，若莉莉家某月用水量为吨，请计算莉莉家应缴的水费． （3）【计算说理】莉莉家8月用水15吨，因没及时缴费而产生滞纳费，9月用水35吨，如果她家一次性缴费（水费按月单独计费，其中8月份需缴纳滞纳金1元），那么她家的缴费会超过东东家9月的水费吗？ 【小结归纳】 基本等量关系：总费用=各阶梯费用之和；比如：分档的电费：总费=第一档单价×限额+第二档单价×（用量-限额）；超量部分单独计价. 【题型12】几何问题 【★★例题11】如图，已知，射线从出发，以每秒的速度在内部绕点逆时针旋转，若和中，有一个角是另一个角的2倍，则运动时间为 秒． 【★★变式1】（24-25七年级上·浙江湖州·期末）如图，为线段上两点，，且，则（　　） A．9 B．15 C．21 D． 【★★变式2】（24-25七年级上·福建厦门·期末）如图，一艘快艇从灯塔南偏东的方向上的某点出发，绕着灯塔逆时针方向以每个时间单位的转速旋转周，当时，快艇旋转了 个时间单位．（题中所说的角是指还没有旋转成平角所成的角） 【小结归纳】 角和线段的计算是一元一次方程在几何中的基础应用，核心思路是利用线段、角的和差、倍分、中点、角平分线等定义，建立等量关系列方程求解，具体分为线段计算和角计算两个方面。 【题型13】数轴上动点问题 【★★例题11】（24-25七年级下·河南南阳·期中）已知线段，动点P从点A出发，以的速度沿运动，同时动点Q从点B出发，以的速度沿运动，其中一点到达终点时，另一点也停止运动．当点P出发 s时，P，Q两点重合． 【★★变式1】（23-24七年级下·四川内江·期末）如图，在中，，，点P从点B出发以每秒的速度向点A运动，同时点Q从点A出发以每秒的速度向点C运动，其中一个动点到达端点时，另一个动点也随之停止运动，当时，点P、点Q运动的时间是（　　） A．秒 B．秒 C．秒 D．秒 【★★变式2】已知数轴上有A、B两个点对应的数分别是a、b，且； （1）直接写出a、b的值： ， ； （2）如图①：点M是数轴上A、B之间的一个点，若，求点M所对应的数； （3）如图②：点P、点Q为数轴上的两个动点，点P从A点以2个单位长度每秒的速度沿数轴正向运动，点Q同时从B点以1个单位长度每秒的速度沿数轴负向运动．设运动时间为t秒，在点P与点Q相遇之前，若，求时间t的值． 【小结归纳】 数轴上的动点问题是一元一次方程几何应用的典型题型，核心是利用数轴上点的坐标表示、动点的运动规律，结合两点间距离公式或位置关系，建立等量关系列方程求解，解题关键在于数形结合，将动点的运动过程转化为代数表达式。 二．同步练习​ 【★基础巩固（选择题6题，填空题6题，解答题4题）】 一、单选题 1．（25-26七年级上·黑龙江哈尔滨·期中）某足球队参加年度联赛，共进行15场比赛，赛制规定：胜一场得3分，平一场得1分，负一场得0分．该队平的场数是负场数的2倍，最终总积分为31分，则该队在本次联赛中负了（   ）场 A．2 B．3 C．4 D．5 2．（25-26七年级上·河北邯郸·期中）如图，梦之队同学们在编写数学谜题时“□”内要求填写同一个数字，若设“□”内的数字为x，则列出的方程正确的是（   ） A． B． C． D． 3．（23-24七年级上·浙江衢州·期中）小丽在纸上画了一条数轴后．折叠纸面，使数轴上表示2的点与表示的点重合；若数轴上A、B两点之间的距离为8（A在B的左侧），且A、B两点经上述折叠后重合，则A点表示的数为（    ） A． B． C． D． 4．（25-26七年级上·辽宁大连·期中）一件工作，甲独做8小时完成，乙独做12小时完成，现由甲先做2小时，余下部分由乙独做，又做了x小时完成，用方程表示为（   ） A． B． C． D． 5．（14-15七年级上·湖南·期末）一天，小明以48米/分钟的速度去上学，5分钟后小明的爸爸发现他忘了带数学书，于是爸爸立即以72米/分钟的速度去追赶小明．求多少分钟后爸爸能追上小明？如果设分钟后爸爸追上小明，依题意可得的方程是（    ） A． B． C． D． 6．（25-26七年级上·山东菏泽·期中）如图是某年11月份的月历表，按图中所示的方式任意圈出 4个数，设这四个数中最大的数为x，则这四个数中最小的数为（    ） A． B． C． D． 二、填空题 7．（25-26七年级上·江苏南京·期中）某种商品原价1000元，商家根据如图所示的优惠方案销售，则可获利．若商家想获利，则相应的优惠方案为 （写出一种即可）． 8．（2024七年级上·全国·专题练习）某学校需要购买一批电脑，有两种方案．方案1：到商家直接购买，每台需要7000元；方案2：学校买零部件组装，每台需要6000元，另外需要支付安装费等其他费用合计3000元，学校添置 台电脑时，两种方案的费用相同． 9．（23-24七年级上·福建莆田·月考）甲煤场有煤432吨，乙煤场有煤96吨，现从别的煤场调煤240吨，要使甲煤场的存煤数是乙煤场的存煤数的2倍，设调配到甲煤厂x吨，依题意，列出的方程是 10．（25-26六年级上·黑龙江哈尔滨·期中）双十一来临，一商家为应对订单高峰补充库存，现有甲、乙两个仓库储备空调，甲仓库的空调台数是乙仓库的空调台数的，后来又给乙仓库运来600台空调，这时甲仓库的空调台数比乙仓库的空调台数少，则甲仓库原来有空调 台． 11．（24-25九年级下·贵州铜仁·阶段练习）明代数学家程大位著的《算法统宗》一书中，记载了一道数学题，大意是：有根短竹，每根短竹可制成毛笔的笔管个或笔套个，已知个笔管与个笔套配套使用，若要使制成的笔管与笔套正好配套，设用于制作笔管的短竹数为根，则可列方程为 ． 12．（2024·湖北·三模）明代读本《原本直指算法统宗》中有这样一个问题：隔墙听得客分银，不知人数不知银，七两分之多四两，九两分之少半斤，其大意为：有一群人分银子，若每人分七两，则剩余四两，若每人分九两，则还差八两，则银子有 两．（明代1斤两，故有“半斤八两”这个成语） 三、解答题 13．（25-26七年级上·重庆·月考）周末小育和小才相约去登山．小育平均每分钟登高10米，并且先出发40分钟，小才平均每分钟登高15米，两人同时登上山顶．设小育登山用了x分钟． （1）小才登山所用时间为　　　分钟（用x的代数式表示）； （2）试用方程求x的值．由x的值能求出山高吗？如果能，山高多少米？ 14．（25-26七年级上·辽宁铁岭·期中）某中学有甲、乙两台印刷机，学校期末考试所需数学试卷如果用甲、乙两台印刷机单独印刷分别需要1小时和小时，为了保密，学校决定在考试前的一小时开始印刷数学试卷． （1）若甲、乙两台印刷机同时印刷，共需要多少小时才能印完？（要求列方程解答） （2）在两台印刷机同时印刷半小时后，甲印刷机出现故障停止印刷，此时离发卷还有分钟．请你计算一下，如果乙印刷机单独完成剩下的印刷任务，会不会影响按时发卷？ 15．（2025七年级下·全国·专题练习）丢番图的墓志铭． 古希腊数学家丢番图被认为是代数学的鼻祖，但历史上没有一本正式的著作里留下他完整的生平介绍，甚至连他的国籍都没有明确的记载，然而有趣的是，他竟然有一个墓志铭，上面镌刻着他的一些情况：“他生命的六分之一是幸福的童年，再活十二分之一，颊上长出了细细须．又过了生命的七分之一才结婚．再过5年，他感到很幸福，得了一个儿子．可是这孩子光辉灿烂的生命只有他父亲的一半，儿子死后，他在悲痛中活了4年，结束了尘世的生涯．”你知道丢番图结婚时和去世时的年龄分别是多少吗？ 16．（25-26七年级上·吉林长春·期中）【课本再现】下面是新人教版数学教材七年级上册135页探究1的部分内容． 探究1销售中的盈亏 一商店以每件60元的价格卖出两件衣服，其中一件盈利，另一件亏损，卖这两件衣服总的是盈利还是亏损，或是不盈不亏？ 解：设盈利的那件衣服的进价是x元， 根据题意，得，解得， 设亏损的那件衣服的进价是y元， ， 由此可知卖这两件衣服共________（填“盈利”或“亏损”）了________元． 【解决问题】某商店有两种书包．每个小书包比大书包的进价少10元，而它们的售后利润额相同，其中，每个小书包的利润率为，每个大书包的利润率为．试求两种书包的进价． 【★★能力提升（选择题6题，填空题6题，解答题4题）】 一、单选题 1．（25-26七年级上·广西南宁·开学考试）“甲桶油是乙桶的倍，甲桶倒去2千克后，两桶油的质量相等，乙桶油有多少千克？”为解决这个问题，可以“设乙桶油有x千克”，那么根据题意可列方程（　　） A． B． C． D． 2．（25-26七年级上·江苏南通·期中）某校组织学生前往素质教育基地开展研学活动，共有名学生租用了若干辆车，若每辆车坐40人，则还有7人不能上车；若每辆车坐45人，则最后一辆车空了23个座位．则表示租用车辆的代数式正确的是（   ） A． B． C． D． 3．（24-25七年级上·广东肇庆·期中）如图是某月的月历，用形如“十”字型框任意框出5个数，这5个数的和不可能是（   ） A．125 B．110 C．75 D．60 4．（25-26七年级上·广东深圳·期中）《九章算术》中，注有“今两算得失相反，要令正负以名之”，意思是：今有两数若其意义相反，则分别叫做正数和负数．小圳完成一套共10题的小测卷，满分100分，答对一题记作：分，答错一题或不答记作：分．若小圳最后得40分，请问小圳最后答对（   ）题． A．4 B．6 C．5 D．7 5．（21-22七年级上·甘肃平凉·期末）一项工程，甲单独做需天完成，乙单独做需天完成，现由甲先做天，乙再加入合做，完成这项工程需多少天？若设完成这项工程需天，依题意可列方程为（    ） A． B． C． D． 6．（25-26七年级上·福建漳州·期中）如图所示，已知数轴上点A表示的数为8，点B表示的数为．动点P从点A出发，以每秒3个单位长度的速度沿数轴向左匀速运动；动点Q从点B出发，以每秒1个单位长度的速度沿数轴向右匀速运动，设运动时间为t秒．若点P、Q同时出发，当P、Q两点相距2个单位长度时，t的值为（   ） A．3 B．4 C．3或4 D．3或5 二、填空题 7．（25-26七年级上·重庆·月考）某车间有名工人，每人每天可生产个甲种零件或者个乙种零件，1个甲种零件需配套2个乙种零件，为使每天生产的两种零件刚好配套，应安排 人生产甲种零件． 8．（2025七年级上·四川成都·专题练习）《九章算术》中有“盈不足术”的问题，原文如下：“今有共买羊，人出五，不足四十五；人出七，不足三、问人数、羊价各几何？”题意是：若干人共同出资买羊，每人出5枚钱，则差枚钱；每人出7枚钱，则差3枚钱．求羊价是 枚钱． 9．（24-25七年级上·广东深圳·期末）用一根米长的绳子围出一个长方形，使它的长是宽的倍，长方形的长和宽各应是多少米？在这个问题中，如果设长方形的宽为米，根据题意，可列出方程 ． 10．（25-26七年级上·河南郑州·月考）如图，一条数轴上有，，三点，其中点，表示的数分别是，，现在以为折点，将数轴向右对折，若点落在数轴上，且落点距离点为个单位长度，则点表示的数为 ． 11．（25-26七年级上·全国·课后作业）某校七年级三个班级联合开展户外研学活动，此次活动由一班班长负责购买车票，票价每张20元．有如图两种优惠方案：班长思考一会儿说，无论选择哪种方案所要付的车费是一样的，则七年级三个班级共有 12．（20-21七年级上·辽宁·期末）一项工程，甲队单独做天可以完成，乙队单独做天可以完成，由两队合做天可以完成，可列方程为 ；若甲队做天后，乙来支援，乙做天后，共完成任务的，可列方程为 ． 三、解答题 13．（2025七年级上·全国·专题练习）我校开展校园艺术节系列活动，派小明到文体超市购买若干个文具袋作为奖品．这种文具袋标价每个元，请认真阅读结账时老板与小明的对话． 老板 如果你再多买一个，就可以打八五折，花费比现在还省元 小明 那就多买一个吧，谢谢！ （1）结合两人的对话内容，求小明原计划购买文具袋多少个？ （2）学校决定，再次购买钢笔和签字笔共支作为补充奖品，其中钢笔标价每支8元，签字笔标价每支6元，经过沟通，这次老板给予8折优惠，合计元，那么小明购买钢笔多少支？ 14．（25-26七年级上·河南周口·期中）如图，在数轴上有A、B两点，点A表示的数为，点B表示的数为14，动点P从点A出发，以每秒2个单位长度的速度沿数轴向右匀速运动，设运动时间为t秒（）． （1）当时， ，此时点P表示的数为 ； （2）当时，求t的值； （3）若动点Q从点B出发，以每秒1个单位长度的速度沿数轴向左匀速运动，动点P、Q同时出发，经过多少秒后，P、Q两点之间的距离为6个单位长度？ 15．（25-26七年级上·吉林·期中）【阅读理解】整体思想是从问题的整体性质出发，根据题目的结构特征，把某一组数或某一个代数式看作一个整体，找出整体与局部的联系，从而找到解决问题的新途径．例如，求的值，我们将作为一个整体代入，则原式． （1）如果代数式的值为，那么代数式的值为_______． （2）如图，若，求长方形与的面积差． （3）两地相距千米，某日，甲从地出发前往地，同时，乙从地出发前往地．已知甲每小时行千米，乙每小时行千米，经过小时，甲、乙二人相遇．直接写出甲、乙两人相距千米的时间． 16．（25-26七年级上·河南开封·期中）（请必须用方程做答） 某工厂生产某种罐头食品的外包装铁质罐头盒． （1）1个罐头盒由1个盒身和2个盒底构成，用1张铁皮可做35个盒身或60个盒底．现有260张铁皮，用多少张做盒身，多少张做盒底才能使盒身与盒底恰好配套？ （2）该工厂接到生产一批罐头盒的任务，由甲车间单独完成需要15天，由乙车间单独完成需要30天，现在甲乙两个车间合作4天后，剩下的任务由甲车间单独完成，那么甲车间还需要多少天才能完成？ 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $