第3章勾股定理单元综合培优检测试题2025-2026学年苏科版数学八年级上册

第3章勾股定理单元综合培优检测试题 一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。 1.我国是最早了解勾股定理的国家之一．下面四幅图中，不能证明勾股定理的是(    ) A. B. C. D. 2.若一直角三角形的两边长分别是，，则第三边长为(    ) A. B. C. 或 D. 3.如图，每个小正方形的边长为个单位长度，图中阴影部分是正方形，则此正方形的边长为(    ) A. B. C. D. 4.已知的三条边分别为，，，下列条件不能判断是直角三角形的是  (    ) A. B. ，， C. D. 5.“赵爽弦图”巧妙利用面积关系证明了勾股定理．如图所示的“赵爽弦图”是由四个全等直角三角形和中间的小正方形拼成的一个大正方形．设直角三角形的两条直角边长分别为，若小正方形面积为，，则大正方形面积为(    ) A. B. C. D. 6.在学习了勾股定理的赵爽弦图后，小明尝试将个全等的小正方形嵌入到长方形内部，其中点，，，分别在长方形的边，，，上，若，，则小正方形的边长为(    ) A. B. C. D. 7.如图，所有阴影四边形都是正方形，所有三角形都是直角三角形，已知正方形，，的面积依次为，，，则正方形的面积为(    ) A. B. C. D. 8.有五根小木棒，其长度分别为，，，，，现将它们摆成两个直角三角形，其中正确的是(    ) A. B. C. D. 9.如图，有两棵树，一棵高米，另一棵高米，两树相距米，一只小鸟从一棵树的树梢飞到另一棵树的树梢，则它至少要飞行米． A. B. C. D. 10.如图，是“亚洲第一悬崖秋千”，建在距离河面将近七百米高的悬崖边缘上，该秋千的荡出距离可达百米，提升高度可至米如图，是秋千摆动过程示意图，其中为秋千的绳索固定点，为部分地面平台，绳索，，米，米，秋千的绳索始终保持拉直，则绳索的长度为(    ) A. 米 B. 米 C. 米 D. 米 二、填空题：本题共7小题，每小题3分，共21分。 11.中，，两直角边分别是和，斜边是，若，，则          ． 12.如图所有四边形都是正方形，所有三角形都是直角三角形，其中最大的正方形边长为，则正方形、、、的面积和为          ． 13.如图，在中，，，，在数轴上，以点为圆心，长为半径画弧，交数轴于点，则点表示的数是          ． 14.如图，一段楼梯高是，斜边长，在楼梯上铺地毯，地毯至少长           15.在等腰中，，，则边上的高是          ． 16.如图，在四边形中，，，，，且，则四边形的面积是          ． 17.木工师傅进行木工作业时，会利用较大的直角三角尺，为了方便三角尺的携带和使三角尺耐用，木工师傅常在直尺直角顶点与斜边之间加一根小木条，如图所示，若，，，则小木条的最短长度为        ． 三、解答题：本题共8小题，共69分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。 18.本小题分 九章算术中记“今有竹高一丈，末折抵地，去本四尺问：折者高几何？”译文：一根竹子，原高一丈，虫伤有病，一阵风将竹子折断，其竹梢恰好着地，着地处离原竹子根部尺远问：竹子折断处离地面有几尺？丈尺 19.本小题分 我国经典数学著作九章算术中有这样一道名题，就是“引葭赴岸”问题，如图，题目是“今有池方一丈，葭生其中央，出水一尺，引葭赴岸，适与岸齐，问水深，长各几何？”题意是：有一正方形池塘，边长为一丈，有棵芦苇长在它的正中央，高出水面部分有一尺长，把芦苇拉向岸边，恰好碰到岸沿，问水深和芦苇的长各是多少尺？丈尺 20.本小题分 请你根据图形及提示证明勾股定理图中所有直角三角形都是以为斜边，，为直角边的全等三角形 毕达哥拉斯的证法图： 补充完整以下证明过程 证明：正方形的面积______ 正方形的面积______． 又正方形与正方形的边长相等， ____________． 请你写出弦图图的另一种证法． 21.本小题分 图是某品牌婴儿车，图为其简化结构示意图，现测得，，，其中与之间由一个固定为的零件连接即，根据安全标准需满足，通过计算说明该车是否符合安全标准． 22.本小题分 校园内有一处池塘，数学实践小组的同学想利用所学知识测量池塘两端，两点之间的距离，他们的操作过程如下：沿延长线的方向，在池塘边的空地上选点，使米；在的一侧选点，恰好使米，米；测得米．请根据他们的操作过程，求出，两点间的距离． 23.本小题分 如图，一架长的梯子斜靠在竖直的墙上，这时梯子的底端到墙底的距离为． 求梯子的顶端距地面有多高； 如果梯子的顶端沿墙下滑到点处，求梯子的底端在水平方向上滑动了多少？ 24.本小题分 某市夏季经常受台风天气影响，台风是一种自然灾害，它以台风中心为圆心在周围上千米的范围内形成极端气候，有极强的破坏力如图，有一台风中心沿东西方向由点向点移动，已知点为一海港，点与直线上两点，的距离分别为和，且，以台风中心为圆心周围以内为受影响区域． 求证：． 海港会受台风影响吗？为什么？ 若台风的速度为，则台风影响该海港持续的时间有多长？ 25.本小题分 综合与实践 【背景介绍】勾股定理是几何学中的明珠，充满着魅力如图是著名的赵爽弦图，由四个全等的直角三角形拼成，用它可以证明勾股定理，思路是大正方形的面积有两种求法，一种是等于，另一种是等于四个直角三角形与一个小正方形的面积之和，即，从而得到等式，化简便得结论这里用两种求法来表示同一个量从而得到等式或方程的方法，我们称之为“双求法”． 【方法运用】千百年来，人们对勾股定理的证明趋之若鹜，其中有著名的数学家，也有业余数学爱好者向常春在年构造发现了一个新的证法：把两个全等的直角和如图放置，其三边长分别为，，，，显然． 请用，，，分别表示出四边形，梯形，的面积，再探究这三个图形面积之间的关系，证明勾股定理． 请利用“双求法”解决下面的问题：如图，小正方形边长为，连接小正方形的三个顶点，则面积为______． 如图，在中，是边上的高，，，，设，求的值． 参考答案 1.   2.   3.   4.   5.   6.   7.   8.   9.   10.   11.   12.   13.   14.   15.   16.   17.   18. 解：设竹子折断处离地面有尺， 由题意得：，尺，尺，尺， 尺， 在直角三角形中，由勾股定理得：， ， 解得：． 答：竹子折断处离地面有尺．  19. 水深为尺，芦苇的长是尺．  20. ，，，；   由图可知大正方形的面积个三角形的面积小正方形的面积， ， 即  21. 解：该车符合安全标准，证明如下： 在中，， 在中，， ， 是直角三角形，， ， 该车符合安全标准．  22. 解：米，米，米， ，， ， 是直角三角形，其中， ， 米， 在中，由勾股定理得，米， 答：，两点间的距离为米．  23. ． 答：梯子的顶端距地面． ． 答：梯子的底端在水平方向上滑动了． 24. 【小题】  解： ， ， ，  ．  是直角三角形，  ； 【小题】  解：海港受台风影响．理由如下： 如图，过点作 于．  ，  ．  ， 海港受到台风影响． 【小题】  解：如图，在线段上取点，，使 ， ，则台风中心在线段上时正好影响港口． ， ， ， 在 中，由勾股定理得：  ，  ， 台风的速度为，  ． 台风影响该海港持续的时间为．  25. 证明：，，， ， ， ， ； 解：， 故答案为：； 解：在中，由勾股定理得： ， 在中，由勾股定理得 ， ． 第1页，共1页 学科网（北京）股份有限公司 $