数学一模突破卷01（全国一卷通用）学易金卷：2026年高考第一次模拟考试

2026年高考第一次模拟考试 高三数学·参考答案 第一部分（选择题 共58分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1 2 3 4 5 6 7 8 A A C B B D D B 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9 10 11 BCD BD BCD 第二部分（非选择题 共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12．或2 13．36 14． 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15．（本小题满分13分） 【解】（1）第一步：记“一位参加活动的游客低碳出行”为事件，根据题中的表格求出 记“低碳出行”为事件，估计. …………………………………………2分 第二步：确定随机变量X服从二项分布,根据公式求出及 则 …………………………………………3分 ， …………………………………………5分 ； …………………………………………7分 （2）第一步：记“今年参加活动的游客明年继续参加活动”为事件B，并求出，，. 由（1）知，则有， 记“今年参加活动的游客明年继续参加活动”为事件， 由题意，， …………………………………………9分 第二步：根据全概率公式求出 所以.…………………………………………13分 16．（本小题满分15分） 【解】（1）因为切线方程为，设切点为， 由，有， ………………………………2分 所以， ………………………………4分 解得，， 所以a的值为. ……………………………6分 （2）第一步：转化所证不等式 由（1）知，， 所以不等式，等价于 …… …………8分 第二步：作差构造新函数，利用导数研究新函数的单调性、最值 令， ………………………………9分 则， 令，则， ………………………………11分 由此可知：当时，，在上单调递减， 当时，，在上单调递增， 所以， ………………………………13分 第三步：证得结论 因此，， 即，所以. ………………………………15分 17．（本小题满分15分） 【解】（1）过作，垂足为； 因为平面平面，且平面平面， 所以平面， ………………………………2分 又平面，所以， 因为为平行四边形，所以， 又，所以， ………………………………4分 又因为，、平面，所以平面， 又因为平面，所以. ………………………………5分 （2）第一步：作辅助线，找出平面 设，连接， ………………………………6分 第二步：证为的中点 因为，平面，平面平面，所以， 由于是中点，故为的中点， ………………………………7分 第三步：证明平面 由（1）知，根据题意，， 且、平面，所以平面， ………………………………8分 第四步：设 AB=1，得相关线段长度 设，在中，有， ……………………………9分 第五步：建立空间直角坐标系，写出相关点和向量的坐标 以为坐标原点建立如图所示空间直角坐标系， 则，，，， ，， 所以，，， ………………………………11分 第六步：求平面的法向量 设平面的法向量为， 则，即，取、、， 则平面的法向量为， ………………………………13分 第七步：求与平面所成角的正弦值 设与平面所成角为，则： ， 所以与平面所成角的正弦值为. ………………………………15分 18．(本小题满分17分） 【解】（1）第一步：利用中位线定理求 由题意可得，且为的中点， 又为的中点，所以且， ………………………1分 第二步：根据圆锥曲线的定义判断点T的轨迹 因为点关于点的对称点为，线段的中垂线与直线相交于点， 由垂直平分线的性质可得， 所以， 所以点的轨迹是以为焦点的双曲线， …………………………3分 第三步：根据双曲线中间的基本关系求，写出双曲线的方程 ，所以， 所以曲线的方程为； ………………………5分 （2）第一步：设出直线的方程，与双曲线方程联立，结合交点的位置求出的取值范围 直线方程为，设， 联立，可得， 由于直线交双曲线的右支于两点， 可得，所以，解得或， ……………………6分 第二利用根与系数的关系和中点坐标公式，求线段的中点坐标 ， 则， 即的中点坐标为， …………………………8分 第三步：由垂直平分线的性质求出线段的垂直平分线的方程，求出点的坐标 因为为轴上一点，满足，故为的垂直平分线与轴的交点， 的垂直平分线的方程为：，-+ 令，则得，即， …………………………10分 第四步：由两点间距离公式与弦长公式求与 所以， ………………………11分 又， ………………13分 第五步：结合双曲线的定义求定值 又因为在双曲线的右支上，故， 故，即， …………………………15分 故， 即为定值，定值为. …………………………17分 19．（本小题满分17分） 【解】（1）不是“X数列”， 依题意，，则，，不符合题意， 所以不是“X数列”. ………………………………………2分 （2）由，得当时，； 当时，， 而不满足，因此， ………………………………………4分 令，即，则当时，有，解得； 当时，，则，而，于是， ………………6分 因此对每一个，有且仅有一个且，使得， 即对任意，有且仅有一个，使得，所以为“X数列”， …………8分 ，， 所以的“余项数列”通项公式为，. ………………………………………10分 （3）第一步：求 由是正项数列，得单调递增，则，， 由，且为“X数列”，得， 由，得， ………………………………12分 第二步：求 的“余项数列”为等差数列，则其公差， 由，得， ………………………………………13分 第三步：证明与矛盾 若，则当时，，与矛盾， ……………14分 第四步：证明与正项数列矛盾 则，，，即， 对于，若，则，与正项数列矛盾， ………………………15分 第五步：证明 于是，， 因此，， 当时，，又， 则，，而，所以 ………………………………………17分 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $■■■■ ■■■■ 2026年高考第一次模拟考试 数学·答题卡 姓 名： 准考证号： 注意事项 1.答题前，考生先将自己的姓名，准考证号填写清 贴条形码区 楚，并认真检查监考员所粘贴的条形码。 2.选择题必须用2B铅笔填涂；非选择题必须用 n 0.5mm黑色签字笔答题，不得用铅笔或圆珠笔答 题：字体工整、笔迹清晰。 3.请按题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出 典 区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题 缺考 无效。 此栏考生禁填 4.保持卡面清洁，不要折叠、不要弄破。 标记 5.正确填涂■ 一、 选择题（每小题5分，共40分） 1[A][B][C[D] 5[A][B][C][D] 2 [A][B][C][D] 6[AJ[B][C][D] 3[A][B][C][D] 7[A][B][C][D] 双阙 4[A]B][C][D] 8[A][B][C[D] 二、选择题（全部选对的得6分， 部分选对的得部分分，有选错的得0 分，共18分) 9[A][B][C][D] 10[A]B][C][D] 11[A][B][CID] 三、填空题（每小题5分，共15分） 12 妇 13 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 数学第1页（共6页） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 四、解答题（共77分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 15.(13分) 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 数学第2页（共6页） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 16.(15分) 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 数学第3页（共6页） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 17.(15分) M B 图1 图2 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 数学第4页（共6页） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 18.(17分) 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 数学第5页（共6页） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 19.(17分) 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 数学第6页（共6页） ( ………………○……………… 外 ………………○……………… 装 ………………○……………… 订 ………………○……………… 线 ………………○……………… ) ( ………………○……………… 内 ………………○……………… 装 ………………○……………… 订 ………………○……………… 线 ………………○……………… ) ( 此卷只装订 不密封 ) ( ………………○……………… 内 ………………○……………… 装 ………………○……………… 订 ………………○……………… 线 ………………○……………… ………………○……………… 外 ………………○……………… 装 ………………○……………… 订 ………………○……………… 线 ………………○……………… … 学校： ______________ 姓名： _____________ 班级： _______________ 考号： ______________________ ) 2026年高考第一次模拟考试 高三数学 （考试时间：120分钟，分值：150分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 第一部分（选择题 共58分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．若复数满足，则（    ） A． B． C． D． 2．已知向量与的夹角为，，则（    ） A．1 B． C．2 D． 3．若函数为奇函数，则实数（　　） A． B．1 C．2 D．4 4．若双曲线的焦距是其实轴长的2倍，则的渐近线方程为（   ） A． B． C． D． 5．的展开式中的奇数次幂项的系数之和为32，则（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 6．亭是我国古典园林中最具特色的建筑形式，它是逗留赏景的场所，也是园林风景的重要点缀.重檐圆亭（图1）是常见的一类亭，其顶层部分可以看作是一个圆锥和一个圆台的组合体.已知某重檐圆亭圆台部分的直观图如图2所示，在其轴截面中，，，点到的距离为，则该圆台的侧面积为 A． B． C． D． 7．在锐角中，记角，，的对边分别为，，，若，，且，则的面积为（    ） A． B． C． D． 8．已知均为定义在上的函数，，若的图象关于直线对称，且，则的值是（　　） A．463 B．464 C．465 D．466 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．甲，乙两个体育社团小组成员的某次立定跳远成绩（单位：厘米）如下： 甲组：，，，，，，，，，，， 乙组：，，，，，，，，， 则下列说法正确的是（    ） A．甲组数据的第60百分位数是252 B．乙组数据的中位数是246 C．从甲、乙两组各随机选取一个成员，两人跳远成绩均在250厘米以上的概率为 D．甲组中存在这样的成员，将他调派到乙组后，甲、乙两组的跳远平均成绩都有提高 10．已知函数，，则（   ） A．的最小正周期为 B．在上单调递增 C．直线是曲线的一条对称轴 D．将的图象向右平移个单位得到的图象 11．已知椭圆的左顶点为，左、右焦点分别为，过点的直线与椭圆相交于两点，则（    ） A． B． C．当不共线时，的周长为 D．设点到直线的距离为，则 第二部分（非选择题 共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12．已知集合，，若，则实数 ． 13．为了响应节能减排号召，某地政府决定大规模铺设光伏太阳能板，该地区未来第x年底光伏太阳能板的保有量y（单位：万块）满足模型，其中N为饱和度，为初始值，p为年增长率．若该地区2024年底的光伏太阳能板保有量约为20万块，以此为初始值，以后每年的增长率均为，饱和度为1020万块，那么2030年底该地区光伏太阳能板的保有量约 万块． （结果四舍五入保留到整数，参考数据：，，） 14．已知函数，若在区间上恒成立，则实数的取值范围是 ． 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15．（本小题满分13分）某市举办一年一度的风筝节，吸引大批游客前来观赏.为了解交通状况，有关部门随机抽取了200位游客，对其出行方式进行了问卷调查（每位游客只填写一种出行方式），具体情况如下： 出行方式 地铁 公交车 出租车 自驾 骑行 步行 频数 54 27 38 42 18 21 用上表样本的频率估计概率，低碳出行方式包括地铁、公交车、骑行和步行： (1)若从参加活动的所有游客中随机抽取3人，这3人中低碳出行的人数记为，求和； (2)据另一项调查显示，80%的低碳出行的游客表示明年将继续参加活动，60%的非低碳出行的游客表示明年将继续参加活动，求今年参加活动的游客明年继续参加活动的概率. 16．（本小题满分15分）已知函数图像的一条切线方程是. (1)求a的值； (2)当，时，求证：. 17．（本小题满分15分）如图1，在平行四边形中，，，将它沿折起后，到的位置，连接（图2），使得平面平面.在图2中完成下列问题： (1)证明：. (2)若是中点，过的平面与平行求与平面所成角的正弦值. 18．(本小题满分17分）已知，，是圆上任意一点，点关于点的对称点为，线段的中垂线与直线相交于点，记点的轨迹为曲线. (1)求曲线的方程； (2)过点且斜率为的直线交曲线位于轴右侧的部分于不同的A，B两点，为轴上一点且满足，试探究是否为定值，若是，则求出该定值；若不是，请说明理由. 19．（本小题满分17分）已知数列的前n项和为，若对每一个，有且仅有一个，使得，则称为“X数列”．记，称数列为的“余项数列”． (1)若的前四项依次为，试判断是否为“X数列”，并说明理由； (2)若，证明为“X数列”，并求它的“余项数列”的通项公式； (3)已知的正项数列为“X数列”，且的“余项数列”为等差数列，证明． 试题 第3页（共6页） 试题 第4页（共6页） 试题 第5页（共6页） 试题 第6页（共6页） 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026年高考第一次模拟考试 高三数学 （考试时间：120分钟，分值：150分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 第一部分（选择题 共58分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．若复数满足，则（    ） A． B． C． D． 2．已知向量与的夹角为，，则（    ） A．1 B． C．2 D． 3．若函数为奇函数，则实数（　　） A． B．1 C．2 D．4 4．若双曲线的焦距是其实轴长的2倍，则的渐近线方程为（   ） A． B． C． D． 5．的展开式中的奇数次幂项的系数之和为32，则（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 6．亭是我国古典园林中最具特色的建筑形式，它是逗留赏景的场所，也是园林风景的重要点缀.重檐圆亭（图1）是常见的一类亭，其顶层部分可以看作是一个圆锥和一个圆台的组合体.已知某重檐圆亭圆台部分的直观图如图2所示，在其轴截面中，，，点到的距离为，则该圆台的侧面积为    A． B． C． D． 7．在锐角中，记角，，的对边分别为，，，若，，且，则的面积为（    ） A． B． C． D． 8．已知均为定义在上的函数，，若的图象关于直线对称，且，则的值是（　　） A．463 B．464 C．465 D．466 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．甲，乙两个体育社团小组成员的某次立定跳远成绩（单位：厘米）如下： 甲组：，，，，，，，，，，， 乙组：，，，，，，，，， 则下列说法正确的是（    ） A．甲组数据的第60百分位数是252 B．乙组数据的中位数是246 C．从甲、乙两组各随机选取一个成员，两人跳远成绩均在250厘米以上的概率为 D．甲组中存在这样的成员，将他调派到乙组后，甲、乙两组的跳远平均成绩都有提高 10．已知函数，，则（   ） A．的最小正周期为 B．在上单调递增 C．直线是曲线的一条对称轴 D．将的图象向右平移个单位得到的图象 11．已知椭圆的左顶点为，左、右焦点分别为，过点的直线与椭圆相交于两点，则（    ） A． B． C．当不共线时，的周长为 D．设点到直线的距离为，则 第二部分（非选择题 共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12．已知集合，，若，则实数 ． 13．为了响应节能减排号召，某地政府决定大规模铺设光伏太阳能板，该地区未来第x年底光伏太阳能板的保有量y（单位：万块）满足模型，其中N为饱和度，为初始值，p为年增长率．若该地区2024年底的光伏太阳能板保有量约为20万块，以此为初始值，以后每年的增长率均为，饱和度为1020万块，那么2030年底该地区光伏太阳能板的保有量约 万块． （结果四舍五入保留到整数，参考数据：，，） 14．已知函数，若在区间上恒成立，则实数的取值范围是 ． 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15．（本小题满分13分）某市举办一年一度的风筝节，吸引大批游客前来观赏.为了解交通状况，有关部门随机抽取了200位游客，对其出行方式进行了问卷调查（每位游客只填写一种出行方式），具体情况如下： 出行方式 地铁 公交车 出租车 自驾 骑行 步行 频数 54 27 38 42 18 21 用上表样本的频率估计概率，低碳出行方式包括地铁、公交车、骑行和步行： (1)若从参加活动的所有游客中随机抽取3人，这3人中低碳出行的人数记为，求和； (2)据另一项调查显示，80%的低碳出行的游客表示明年将继续参加活动，60%的非低碳出行的游客表示明年将继续参加活动，求今年参加活动的游客明年继续参加活动的概率. 16．（本小题满分15分）已知函数图像的一条切线方程是. (1)求a的值； (2)当，时，求证：. 17．（本小题满分15分）如图1，在平行四边形中，，，将它沿折起后，到的位置，连接（图2），使得平面平面.在图2中完成下列问题： (1)证明：. (2)若是中点，过的平面与平行求与平面所成角的正弦值. 18．(本小题满分17分）已知，，是圆上任意一点，点关于点的对称点为，线段的中垂线与直线相交于点，记点的轨迹为曲线. (1)求曲线的方程； (2)过点且斜率为的直线交曲线位于轴右侧的部分于不同的A，B两点，为轴上一点且满足，试探究是否为定值，若是，则求出该定值；若不是，请说明理由. 19．（本小题满分17分）已知数列的前n项和为，若对每一个，有且仅有一个，使得，则称为“X数列”．记，称数列为的“余项数列”． (1)若的前四项依次为，试判断是否为“X数列”，并说明理由； (2)若，证明为“X数列”，并求它的“余项数列”的通项公式； (3)已知的正项数列为“X数列”，且的“余项数列”为等差数列，证明． 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026年高考第一次模拟考试 高三数学 （考试时间：120分钟，分值：150分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 第一部分（选择题 共58分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．若复数满足，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】因为，所以.故选：A. 2．已知向量与的夹角为，，则（    ） A．1 B． C．2 D． 【答案】A 【解析】，故，解得， 则.故选：A 3．若函数为奇函数，则实数（　　） A． B．1 C．2 D．4 【答案】C 【解析】函数为奇函数，故必有成立， 即，解得，则此时，定义域为， 而，即函数为奇函数故，故选：C 4．若双曲线的焦距是其实轴长的2倍，则的渐近线方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】由题意可得：，所以， 则，所以的渐近线方程为.故选：B. 5．的展开式中的奇数次幂项的系数之和为32，则（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【解析】的展开式的通项公式为， 则的展开式中的奇数次幂项的系数和为， 故，则，故选：B 6．亭是我国古典园林中最具特色的建筑形式，它是逗留赏景的场所，也是园林风景的重要点缀.重檐圆亭（图1）是常见的一类亭，其顶层部分可以看作是一个圆锥和一个圆台的组合体.已知某重檐圆亭圆台部分的直观图如图2所示，在其轴截面中，，，点到的距离为，则该圆台的侧面积为    A． B． C． D． 【答案】D 【解析】过点，作，因为点到的距离为，所以的长度为， 因为，，所以，，    ，，.故选：D. 7．在锐角中，记角，，的对边分别为，，，若，，且，则的面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】因为，所以， 所以，又为锐角三角形，所以， 所以，所以，又，所以为等边三角形， 所以的面积为．故选：D． 8．已知均为定义在上的函数，，若的图象关于直线对称，且，则的值是（　　） A．463 B．464 C．465 D．466 【答案】B 【解析】由的图象关于直线对称，可得的图象关于直线对称， 即的图象关于直线对称，则， 由，可得， 又，得，所以， 即，所以的图象关于点对称，即为奇函数， 所以，函数的周期为4； 由可得， 又因为，所以， 根据函数的性质，得 所以选B. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．甲，乙两个体育社团小组成员的某次立定跳远成绩（单位：厘米）如下： 甲组：，，，，，，，，，，， 乙组：，，，，，，，，， 则下列说法正确的是（    ） A．甲组数据的第60百分位数是252 B．乙组数据的中位数是246 C．从甲、乙两组各随机选取一个成员，两人跳远成绩均在250厘米以上的概率为 D．甲组中存在这样的成员，将他调派到乙组后，甲、乙两组的跳远平均成绩都有提高 【答案】BCD 【解析】对于A，因为，所以甲组数据的第60百分位数是第8个数，即253，故A错误； 对于B，因为，所以乙组数据的中位数是第5个数与第6个数的平均数，即 故B正确； 对于选项C，甲组中跳远成绩在250厘米以上的有7人，乙组中跳远成绩在250厘米以上的有2人， 所以从甲、乙两组各随机选取一个成员，两人跳远成绩均在250厘米以上的概率为 ，故C正确； 对于D，甲组的平均成绩为厘米， 乙组的平均成绩为厘米， 所以将甲组中跳远成绩为248厘米的成员调派到乙组后，甲、乙两组的跳远平均成绩都有提高， 故D正确.故选BCD. 10．已知函数，，则（   ） A．的最小正周期为 B．在上单调递增 C．直线是曲线的一条对称轴 D．将的图象向右平移个单位得到的图象 【答案】BD 【解析】因为， 对于A选项，函数的最小正周期为，A错； 对于B选项，当时，， 所以，在上单调递增，B对； 对于C选项，因为，故直线不是曲线的一条对称轴，C错； 对于D选项，将的图象向右平移个单位，得到函数 的图象，D对. 故选：BD. 11．已知椭圆的左顶点为，左、右焦点分别为，过点的直线与椭圆相交于两点，则（    ） A． B． C．当不共线时，的周长为 D．设点到直线的距离为，则 【答案】BCD 【解析】 对于A，由题意知：，，，，A错误； 对于B，为椭圆的焦点弦，，B正确； 对于C，， 的周长为，C正确； 对于D，作垂直于直线，垂足为， 设，则， ，， ，，D正确. 故选：BCD. 第二部分（非选择题 共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12．已知集合，，若，则实数 ． 【答案】或2 【解析】因为，所以. 根据集合中元素的互异性，可知且. 若，此时，，满足. 若或（舍去）. 此时，，满足. 综上或2. 13．为了响应节能减排号召，某地政府决定大规模铺设光伏太阳能板，该地区未来第x年底光伏太阳能板的保有量y（单位：万块）满足模型，其中N为饱和度，为初始值，p为年增长率．若该地区2024年底的光伏太阳能板保有量约为20万块，以此为初始值，以后每年的增长率均为，饱和度为1020万块，那么2030年底该地区光伏太阳能板的保有量约 万块． （结果四舍五入保留到整数，参考数据：，，） 【答案】 【解析】根据题意，所给模型中， 则2030年底该地区光伏太阳能板的保有量为， 因为，所以， 所以2030年底该地区光伏太阳能板的保有量约36万块. 14．已知函数，若在区间上恒成立，则实数的取值范围是 ． 【答案】 【解析】因为为增函数，为减函数，所以为增函数， 当时，，令，则 所以当时，可转化为， 因为在区间上恒成立，所以在区间上恒成立， 所以在区间上恒成立， 又，当且仅当，即时，取得最小值， 所以. 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15．（本小题满分13分）某市举办一年一度的风筝节，吸引大批游客前来观赏.为了解交通状况，有关部门随机抽取了200位游客，对其出行方式进行了问卷调查（每位游客只填写一种出行方式），具体情况如下： 出行方式 地铁 公交车 出租车 自驾 骑行 步行 频数 54 27 38 42 18 21 用上表样本的频率估计概率，低碳出行方式包括地铁、公交车、骑行和步行： (1)若从参加活动的所有游客中随机抽取3人，这3人中低碳出行的人数记为，求和； (2)据另一项调查显示，80%的低碳出行的游客表示明年将继续参加活动，60%的非低碳出行的游客表示明年将继续参加活动，求今年参加活动的游客明年继续参加活动的概率. 【解】（1）第一步：记“一位参加活动的游客低碳出行”为事件，根据题中的表格求出 记“低碳出行”为事件，估计. …………………………………………2分 第二步：确定随机变量X服从二项分布,根据公式求出及 则 …………………………………………3分 ， …………………………………………5分 ； …………………………………………7分 （2）第一步：记“今年参加活动的游客明年继续参加活动”为事件B，并求出，，. 由（1）知，则有， 记“今年参加活动的游客明年继续参加活动”为事件， 由题意，， …………………………………………9分 第二步：根据全概率公式求出 所以.…………………………………………13分 16．（本小题满分15分）已知函数图像的一条切线方程是. (1)求a的值； (2)当，时，求证：. 【解】（1）因为切线方程为，设切点为， 由，有， ………………………………2分 所以， ………………………………4分 解得，， 所以a的值为. ……………………………6分 （2）第一步：转化所证不等式 由（1）知，， 所以不等式，等价于 …… …………8分 第二步：作差构造新函数，利用导数研究新函数的单调性、最值 令， ………………………………9分 则， 令，则， ………………………………11分 由此可知：当时，，在上单调递减， 当时，，在上单调递增， 所以， ………………………………13分 第三步：证得结论 因此，， 即，所以. ………………………………15分 17．（本小题满分15分）如图1，在平行四边形中，，，将它沿折起后，到的位置，连接（图2），使得平面平面.在图2中完成下列问题： (1)证明：. (2)若是中点，过的平面与平行求与平面所成角的正弦值. 【解】（1）过作，垂足为； 因为平面平面，且平面平面， 所以平面， ………………………………2分 又平面，所以， 因为为平行四边形，所以， 又，所以， ………………………………4分 又因为，、平面，所以平面， 又因为平面，所以. ………………………………5分 （2）第一步：作辅助线，找出平面 设，连接， ………………………………6分 第二步：证为的中点 因为，平面，平面平面，所以， 由于是中点，故为的中点， ………………………………7分 第三步：证明平面 由（1）知，根据题意，， 且、平面，所以平面， ………………………………8分 第四步：设 AB=1，得相关线段长度 设，在中，有， ……………………………9分 第五步：建立空间直角坐标系，写出相关点和向量的坐标 以为坐标原点建立如图所示空间直角坐标系， 则，，，， ，， 所以，，， ………………………………11分 第六步：求平面的法向量 设平面的法向量为， 则，即，取、、， 则平面的法向量为， ………………………………13分 第七步：求与平面所成角的正弦值 设与平面所成角为，则： ， 所以与平面所成角的正弦值为. ………………………………15分 18．(本小题满分17分）已知，，是圆上任意一点，点关于点的对称点为，线段的中垂线与直线相交于点，记点的轨迹为曲线. (1)求曲线的方程； (2)过点且斜率为的直线交曲线位于轴右侧的部分于不同的A，B两点，为轴上一点且满足，试探究是否为定值，若是，则求出该定值；若不是，请说明理由. 【解】（1）第一步：利用中位线定理求 由题意可得，且为的中点， 又为的中点，所以且， ………………………1分 第二步：根据圆锥曲线的定义判断点T的轨迹 因为点关于点的对称点为，线段的中垂线与直线相交于点， 由垂直平分线的性质可得， 所以， 所以点的轨迹是以为焦点的双曲线， …………………………3分 第三步：根据双曲线中间的基本关系求，写出双曲线的方程 ，所以， 所以曲线的方程为； ………………………5分 （2）第一步：设出直线的方程，与双曲线方程联立，结合交点的位置求出的取值范围 直线方程为，设， 联立，可得， 由于直线交双曲线的右支于两点， 可得，所以，解得或， ……………………6分 第二利用根与系数的关系和中点坐标公式，求线段的中点坐标 ， 则， 即的中点坐标为， …………………………8分 第三步：由垂直平分线的性质求出线段的垂直平分线的方程，求出点的坐标 因为为轴上一点，满足，故为的垂直平分线与轴的交点， 的垂直平分线的方程为：，-+ 令，则得，即， …………………………10分 第四步：由两点间距离公式与弦长公式求与 所以， ………………………11分 又， ………………13分 第五步：结合双曲线的定义求定值 又因为在双曲线的右支上，故， 故，即， …………………………15分 故， 即为定值，定值为. …………………………17分 19．（本小题满分17分）已知数列的前n项和为，若对每一个，有且仅有一个，使得，则称为“X数列”．记，称数列为的“余项数列”． (1)若的前四项依次为，试判断是否为“X数列”，并说明理由； (2)若，证明为“X数列”，并求它的“余项数列”的通项公式； (3)已知的正项数列为“X数列”，且的“余项数列”为等差数列，证明． 【解】（1）不是“X数列”， 依题意，，则，，不符合题意， 所以不是“X数列”. ………………………………………2分 （2）由，得当时，； 当时，， 而不满足，因此， ………………………………………4分 令，即，则当时，有，解得； 当时，，则，而，于是， ………………6分 因此对每一个，有且仅有一个且，使得， 即对任意，有且仅有一个，使得，所以为“X数列”， …………8分 ，， 所以的“余项数列”通项公式为，. ………………………………………10分 （3）第一步：求 由是正项数列，得单调递增，则，， 由，且为“X数列”，得， 由，得， ………………………………12分 第二步：求 的“余项数列”为等差数列，则其公差， 由，得， ………………………………………13分 第三步：证明与矛盾 若，则当时，，与矛盾， ……………14分 第四步：证明与正项数列矛盾 则，，，即， 对于，若，则，与正项数列矛盾， ………………………15分 第五步：证明 于是，， 因此，， 当时，，又， 则，，而，所以 ………………………………………17分 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $ 学校__________________班级__________________姓名__________________准考证号__________________ ﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍密﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍封﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍线﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍ 2026年高考第一次模拟考试 数学·答题卡 准考证号： 姓 名：_________________________________________ 贴条形码区 此栏考生禁填 缺考 标记 1．答题前，考生先将自己的姓名，准考证号填写清楚，并认真检查监考员所粘贴的条形码。 2．选择题必须用2B铅笔填涂；非选择题必须用0.5mm黑色签字笔答题，不得用铅笔或圆珠笔答题；字体工整、笔迹清晰。 3．请按题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效。 4．保持卡面清洁，不要折叠、不要弄破。 5．正确填涂 注意事项 一、选择题（每小题5分，共40分） 1 [A] [B] [C] [D] 2 [A] [B] [C] [D] 3 [A] [B] [C] [D] 4 [A] [B] [C] [D] 5 [A] [B] [C] [D] 6 [A] [B] [C] [D] 7 [A] [B] [C] [D] 8 [A] [B] [C] [D] 二、选择题（全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分，共18分） 9 [A] [B] [C] [D] 10 [A] [B] [C] [D] 11 [A] [B] [C] [D] 三、填空题（每小题5分，共15分） 12．____________________ 13．____________________ 14．____________________ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 四、解答题（共77分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 15．（13分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 16．（15分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 17．（15分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 18．（17分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 19．（17分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 数学 第4页（共6页） 数学 第5页（共6页） 数学 第6页（共6页） 数学 第1页（共6页） 数学 第2页（共6页） 数学 第3页（共6页） 学科网（北京）股份有限公司 $