精品解析：四川省成都市新世纪光华学校2026届高三一诊模拟素质测试数学试题

成都一诊素质测试数学模拟试题 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 设集合.集合.则的子集个数为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】解一元二次不等式可得或，应用集合的交运算求，即可知其中元素个数n，根据集合子集个数为即可求的子集个数. 【详解】由题意，得或，又， ∴，集合中有2个元素， ∴的子集个数为个. 故选：B 2. 已知复数为虚数单位，若为纯虚数，则（ ） A. 10 B. 20 C. 9 D. 18 【答案】B 【解析】 【分析】化简得到，根据纯虚数得到方程和不等式，求出，，求出模长. 【详解】由题意得， 且为纯虚数，，， ，. 故选：B. 3. 如图，在四边形中，，，，为线段的中点，，则（ ） A. 3 B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】在中，由余弦定理可得，在中易得，，即可利用数量积的定义求解. 【详解】在中，由余弦定理可得， 则， 由，可得， 又为线段中点，则， 又，则，，且， 所以. 故选：D. 4. 一组样本数据.其中，，，求得其经验回归方程为：，残差为.对样本数据进行处理：，得到新的数据，求得其经验回归方程为：，其残差为. ，分布如图所示，且，则下列说法错误的是（ ） A. 样本负相关 B. C. D. 处理后的决定系数变大 【答案】C 【解析】 【分析】利用回归方程系数判断A；利用样本中心点计算判断B；利用图像的波动性判断CD. 【详解】对于A，经验回归方程中斜率，则样本负相关，A正确； 对于B，原样本均值：， 由，得，B正确： 对于C，由图1的数据波动较大可得比更集中，则，C错误； 对于D，由图1的残差平方和较图2的残差平方和大知，处理后拟合效果更好，决定系数变大，D正确. 故选：C. 5. 祈年殿（图1）是北京市的标志性建筑之一､距今已有600多年历史.殿内部有垂直于地面的28根木柱，分三圈环形均匀排列.内圈有4根约为19米的龙井柱，寓意一年四季；中圈有12根约为13米的金柱，代表十二个月；外圈有12根约为6米的檐柱，象征十二个时辰.已知由一根龙井柱和两根金柱形成的几何体（图2）中，米，，则平面与平面所成角的正切值约为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】若平面平面，是的中点，连接，从而得到是平面与平面所成角的平面角，即为所求角，结合已知求其正切值. 【详解】若平面平面，则平面与平面所成角，即为平面与平面所成角， 由题意有，即是等腰三角形，腰长约为8米，，易知， 若是的中点，连接，则，且平面， 由平面，则，都在平面内， 所以平面，则是平面与平面所成角的平面角， 其中，，则. 故选：B 6. 若，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】利用两角差的正弦公式和切化弦可求得，，进而利用两角和的正弦公式可求得值. 【详解】因为， 所以， 又， 所以， 所以，， 所以， 故选：C 7. 已知函数是R上的偶函数，对任意且都有，若则的大小关系是（ ） A. b<a<c B. a<b<c C. c<b<a D. b<c<a 【答案】A 【解析】 【分析】根据函数为偶函数，推出函数的图象关于直线对称，再由条件推出函数在上单调递增，于是可得，利用幂和对数的运算性质和换底公式，以及对数函数的单调性化简比较得，再由的单调性即可判断. 【详解】因函数是R上的偶函数，则的图象关于直线对称， 因对任意且都有，即函数在单调递增. 因，， 由，可得， 又由对称性可得：， 故再由单调性，可得，即. 故选：A. 8. 已知正项数列的前项积为，，记表示实数的小数部分，例如，则使得不等式成立的正整数的最大值为（ ） A. 8 B. 7 C. 6 D. 5 【答案】D 【解析】 【分析】根据数列递推式，先求出，再结合时，，化简推得是以为首项，公差为2的等差数列，求出，进而求出，根据的定义，求得，解不等式即得答案. 【详解】由题意，当时，，因，则由解得：， 当时，因，可得，即，两边取平方整理得， 即是以为首项，公差为2的等差数列，故， 于是，则， 由可得：，解得，所以正整数的最大值为5. 故选：D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 已知定义在上的函数满足，且为偶函数，则下列结论正确的是（ ） A. 函数的周期为2 B. 函数的图象关于对称 C. 函数的图象关于对称 D. 函数为奇函数 【答案】BC 【解析】 【分析】根据题意，综合利用周期性、对称性、奇偶性，逐一对选项进行分析判断. 【详解】选项A，，即函数的周期为4，所以选项A错误； 选项B，因为是偶函数，则有，即函数的图象关于对称，所以选项B正确； 选项C，因为，则，所以函数的图象关于对称，所以选项C正确； 选项D，因为，则，所以函数为偶函数，所以选项D错误. 故选：BC. 10. 已知函数的最小正周期为，下列结论中正确的是（ ） A. 函数的图象关于对称 B. 函数的对称中心是 C. 函数在区间上单调递增 D. 函数的图象可以由的图象向右平移个单位长度得到 【答案】BD 【解析】 【分析】化简得到，由最小正周期为可得，从而，进而由三角函数的对称轴、对称中心、单调性及图象平移依次判断各选项即可. 【详解】函数 ， 函数的最小正周期为，解得，所以， 不是最大值和最小值，故A不正确； 令，，即，， 所以函数的对称中心是，故B正确； 时，， 显然在上不单调，故C错误； 的图象向右平移个单位得到，故D正确. 故选：BD. 11. 记的内角的对边分别为．已知是的最小内角，且为整数，，则下列说法正确的是（ ） A. B. C. 当，且也是整数时， D. 面积的取值范围是 【答案】ABD 【解析】 【分析】对于A，根据条件易得，即可判断；对于B，利用正弦定理计算即得；对于C，根据也是整数，且，可分和两种情况，利用差角的正切公式计算判断；对于D，由正弦定理推得，结合，利用正切函数的单调性即可求得面积的范围判断. 【详解】对于A，因是的最小内角，则，又因为整数，故，可得，故A正确； 对于B，由，，可得， 由正弦定理，，可得，解得，故B正确； 对于C，由，可得，因，且也是整数， 若，因，则，则， 此时，符合题意； 若，则，同理，此时，，不合题意， 随着取更大的整数，的值逐渐减小，不合题意， 故当，且也是整数时，，故C错误； 对于D，由正弦定理，和，可得， 因是的最小内角，则，，则. 当时，，的面积为， 当时，， 因，则，，故， 综上，面积的取值范围是，故D正确. 故选：ABD. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 的展开式中 的系数为 ____________________ 【答案】 【解析】 【分析】由通项公式即可求解. 【详解】的通项公式为， 令可得含的项， 此时系数为， 故答案为： 13. 恒成立，则实数a的最大值为______. 【答案】 【解析】 【分析】根据恒成立转化为在上恒成立，最后再应用基本不等式计算求解. 【详解】恒成立， 即 在上恒成立， 所以 在上恒成立， 又 当且仅当 即 时取等号，所以 则实数a的最大值为 故答案为：. 14. 对于任意，不等式恒成立，则正数的取值范围是_____. 【答案】 【解析】 【分析】对原不等式合理变形，结合同构思想得到，再构造函数并利用导数判断其单调性，得到，最后利用分离参数法求解参数范围即可. 【详解】因为不等式恒成立，， 所以恒成立，则恒成立， 即恒成立，令，可得恒成立， 而，令，，令，， 得到在上单调递增，在上单调递减， 而，，则， 当时，满足，符合题意， 当时，可得恒成立， 则恒成立，令，而， 当时，，则在上单调递增， 可得，得到，故. 综上，正数的取值范围是, 故答案为： 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 记为正项数列的前项和，已知. （1）求数列的通项公式； （2）若数列满足，，求证：. 【答案】（1） （2）证明见解析 【解析】 【分析】（1）由与关系结合题意可得答案； （2）由（1）结合累乘法可得，从而可得通项公式，然后由裂项求和法可得答案. 【小问1详解】 当时，可得， 当时，，. 作差可得， 因为是正项数列，所以，即数列为等差数列， 所以. 【小问2详解】 由题可得， 所以，又， 所以， 又也满足上式， 所以， 16. 已知双曲线的中心为原点，左､右焦点分别为，离心率为，且过点，又点是直线上任意一点，点在双曲线上，且满足. （1）求双曲线的方程； （2）证明：直线与直线的斜率之积是定值. 【答案】（1）； （2）证明见解析. 【解析】 【分析】（1）根据给定条件，列出关于的方程组求解即得. （2）设出点的坐标，利用向量垂直的坐标表示及斜率的坐标表示列式计算得证. 【小问1详解】 双曲线的离心率为，得，则， 由点在双曲线，得，解得，， 所以双曲线的方程为. 【小问2详解】 由（1）知，由点是直线上任意一点，设， 设双曲线上点，则，即， ，则，即， 则， 所以直线与直线的斜率之积是定值. 17. 如图所示，已知四棱锥中，底面是平行四边形，侧面为直角三角形，是的中点，是直线上的动点，过直线的平面与侧棱，分别交于，且，其中，. （1）求证：； （2）求异面直线与所成的角； （3）求直线与平面所成角的正弦值的最大值. 【答案】（1）证明见解析 （2） （3） 【解析】 【分析】（1）利用线面平行性质定理证明可得； （2）由异面直线定义可知直线与所成的角为（或其补角），可求得其为； （3）方法1：根据线面角的空间向量求法求出平面的法向量，再由函数性质可得其最大值； 方法2：由是直线上的动点，结合线面角与二面角之间的关系，求出平面与平面所成锐二面角的大小，可得结果. 【小问1详解】 由题意可知四边形是平行四边形，所以， 即有平面， 又由平面，平面平面，所以， 即得. 【小问2详解】 由（1）知，则直线与所成的角为（或其补角）， 又由为直角三角形，且，所以， 即得异面直线与所成的角为 【小问3详解】 设直线与平面所成角为， 取的中点为，连接，， 由，所以，又由是直角三角形，且，所以，又因为，分别是，的中点，所以可得， 又由，平面，且，所以平面， 又因为平面，所以可得， 又由，所以， 所以平面. 此时分别以，，可为，，轴建立如图所示空间直角坐标系，如下图所示： 则可得，，，，，. 方法1：， 由，可得，即得， 设平面的一个法向量， 又由可得； 令，则，所以， 所以可得， 当且仅当与点重合时取得等号， 所以直线与平面平面所成角的正弦值的最大值为. 方法2：设平面与平面所成锐二面角记为，则有. 由方法1知，平面的一个法向量， 由可得，易知； 设平面的一个法向量， 所以，解得，令，可得； 即， 所以，所以可得， 即得 所以直线与平面平面所成角的正弦值的最大值为. 18. 某工厂一台自动加工机器有两种状态：正常和故障．每小时初检查机器状态，若正常，则继续工作；若故障，则进行检修．机器在正常状态下，1小时内都不会发生故障，1小时后故障的概率为0.2，故障时有两种检修方案：方案一是加急检修，1小时修复的概率为0.9，费用为9元/小时；方案二是常规检修，1小时修复的概率为0.6，费用为6元/小时．若1小时内无法修复，则下1小时继续采用同样的检修方案．机器正常工作1小时可收益10元．各小时机器状态是否正常相互独立． （1）假设机器初始状态为正常，若机器出现故障则随机选择检修方案，求2小时后机器正常工作的概率； （2）假设机器初始状态为故障，并一直选择加急检修，求3小时内机器的总收益的分布列和数学期望； （3）假设机器初始状态为正常，并长期选择常规检修，记小时后（）机器正常的概率为，求并计算个小时的累计期望收益． 【答案】（1） （2）分布列见解析；期望为元 （3）， 【解析】 【分析】（1）设出相应的事件，条件概率公式和独立事件的概率乘法公式计算即可； （2）由题意，列出的所有可能的值，并依次求出对应的概率，列出分布列，计算出均值即可； （3）经分析推得n个小时后正常的概率递推式由此式构造等比数列，求出其通项公式，再根据修复与收益标准依次计算各小时的期望收益，最后利用等比数列的求和公式计算累计期望收益即可. 【小问1详解】 设“小时后机器正常”为事件，设“加急检修，1小时修复”为事件，设“常规检修，1小时修复”为事件． 由题意，， 从而2小时后机器正常的概率为 【小问2详解】 依题意， 的所有可能的值为 的情况为第1个小时没有修复，第2个小时没有修复，第3个小时继续修，修了3个小时花费27元， 从而 的情况为第1个小时检修好，花费9元，第2个小时正常工作，收益10元，第3个小时也正常工作，收益10元，共收益11元， 从而 的情况为有1个小时收益10元，另外2个小时检修花费18元， 则 于是X的分布列为 X 11 P 0.01 0.27 0.72 数学期望为元． 【小问3详解】 初始状态正常，即；1个小时后正常的概率为；2个小时后正常的概率为； 同理，n个小时后正常的概率为 即，故 从而数列是首项，公比为的等比数列，于是， 因此． 初始状态正常，第1个小时期望收益为元；第2个小时期望收益为； 同理，第k个小时期望收益为． 因此n个小时累计期望收益为 19. 已知函数． （1）求在点处的切线的方程，并证明除切点外，函数的图象在切线的下方； （2）若， （i）证明：函数恰有两个零点； （ii）设为的较大零点，，证明：． 【答案】（1），证明见解析； （2）（i）证明见解析；（ii）证明见解析 【解析】 【分析】（1）利用导数的几何意义求切线方程，先求出导函数，然后求出切线的斜率，根据直线的点斜式方程即可求出切线方程；构造新的函数利用单调证明函数图象在切线的下方. （2）（i）利用导数判断函数的单调性，进而证明恰有两个零点； （ii）根据条件计算化简可得，结合，得到取对数得证结果． 【小问1详解】 ，所以，即在点处的切线的斜率为l， 又，所以在点处的切线l的方程为． 令 当时，单调递增， 当时，单调递减， ，所以除切点外，函数的图象在切线l的下方． 【小问2详解】 （i）由题可知， 则，设， 则， 因为，所以，所以在上是减函数． 由，又结合，得，所以， 所以存在，使得， 所以当时，，即，此时单调递增， 当时，，即，此时单调递减，所以是唯一的极值点， 显然， 因为在上递增，所以在上必存在一个零点， 由（1）可知，所以，又因为，即 所以，则， 所以在区间上必存在一个零点， 综上所述：在区间上恰有两个零点． （ii）证明：由（i）可知，，得， ，得，所以， 即，因为， 所以， 所以，即所以成立． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 成都一诊素质测试数学模拟试题 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 设集合.集合.则的子集个数为（ ） A. B. C. D. 2. 已知复数为虚数单位，若为纯虚数，则（ ） A. 10 B. 20 C. 9 D. 18 3. 如图，在四边形中，，，，为线段的中点，，则（ ） A. 3 B. C. D. 4. 一组样本数据.其中，，，求得其经验回归方程为：，残差为.对样本数据进行处理：，得到新的数据，求得其经验回归方程为：，其残差为. ，分布如图所示，且，则下列说法错误的是（ ） A. 样本负相关 B. C. D. 处理后的决定系数变大 5. 祈年殿（图1）是北京市的标志性建筑之一､距今已有600多年历史.殿内部有垂直于地面的28根木柱，分三圈环形均匀排列.内圈有4根约为19米的龙井柱，寓意一年四季；中圈有12根约为13米的金柱，代表十二个月；外圈有12根约为6米的檐柱，象征十二个时辰.已知由一根龙井柱和两根金柱形成的几何体（图2）中，米，，则平面与平面所成角的正切值约为（ ） A. B. C. D. 6. 若，，则（ ） A. B. C. D. 7. 已知函数是R上的偶函数，对任意且都有，若则的大小关系是（ ） A. b<a<c B. a<b<c C. c<b<a D. b<c<a 8. 已知正项数列的前项积为，，记表示实数的小数部分，例如，则使得不等式成立的正整数的最大值为（ ） A. 8 B. 7 C. 6 D. 5 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 已知定义在上的函数满足，且为偶函数，则下列结论正确的是（ ） A. 函数的周期为2 B. 函数的图象关于对称 C. 函数的图象关于对称 D. 函数为奇函数 10. 已知函数的最小正周期为，下列结论中正确的是（ ） A. 函数的图象关于对称 B. 函数的对称中心是 C. 函数在区间上单调递增 D. 函数的图象可以由的图象向右平移个单位长度得到 11. 记的内角的对边分别为．已知是的最小内角，且为整数，，则下列说法正确的是（ ） A. B. C. 当，且也是整数时， D. 面积的取值范围是 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 的展开式中 的系数为 ____________________ 13. 恒成立，则实数a的最大值为______. 14. 对于任意，不等式恒成立，则正数的取值范围是_____. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 记为正项数列的前项和，已知. （1）求数列的通项公式； （2）若数列满足，，求证：. 16. 已知双曲线的中心为原点，左､右焦点分别为，离心率为，且过点，又点是直线上任意一点，点在双曲线上，且满足. （1）求双曲线的方程； （2）证明：直线与直线的斜率之积是定值. 17. 如图所示，已知四棱锥中，底面是平行四边形，侧面为直角三角形，是的中点，是直线上的动点，过直线的平面与侧棱，分别交于，且，其中，. （1）求证：； （2）求异面直线与所成的角； （3）求直线与平面所成角的正弦值的最大值. 18. 某工厂一台自动加工机器有两种状态：正常和故障．每小时初检查机器状态，若正常，则继续工作；若故障，则进行检修．机器在正常状态下，1小时内都不会发生故障，1小时后故障的概率为0.2，故障时有两种检修方案：方案一是加急检修，1小时修复的概率为0.9，费用为9元/小时；方案二是常规检修，1小时修复的概率为0.6，费用为6元/小时．若1小时内无法修复，则下1小时继续采用同样的检修方案．机器正常工作1小时可收益10元．各小时机器状态是否正常相互独立． （1）假设机器初始状态为正常，若机器出现故障则随机选择检修方案，求2小时后机器正常工作的概率； （2）假设机器初始状态为故障，并一直选择加急检修，求3小时内机器的总收益的分布列和数学期望； （3）假设机器初始状态为正常，并长期选择常规检修，记小时后（）机器正常的概率为，求并计算个小时的累计期望收益． 19. 已知函数． （1）求在点处的切线的方程，并证明除切点外，函数的图象在切线的下方； （2）若， （i）证明：函数恰有两个零点； （ii）设为的较大零点，，证明：． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $