精品解析：辽宁省朝阳市建平县实验中学2025-2026学年高二上学期12月月考数学试题

辽宁省朝阳市建平县实验中学2025-2026学年高二上学期12月月考数学试题 试卷满分150分，考试时间120分钟. 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知复数，则复数的虚部为（ ） A. B. C. 4 D. 2. 抛物线的准线方程是（ ） A. B. C. D. 3. 若点在双曲线上，则到该双曲线两个焦点的距离之差的绝对值为（ ） A. B. C. D. 10 4. 已知焦点在轴上的椭圆，其焦距为，则的值等于（ ） A. 4 B. 7 C. 9 D. 12 5. 已知双曲线的焦点在轴上，离心率为，焦点到一条渐近线的距离为1，则的标准方程为（ ） A. B. C. D. 6. 已知椭圆的左、右焦点分别为，点为椭圆上一点，若，则（ ） A. B. C. D. 7. 已知双曲线的一条渐近线与直线垂直，以的右焦点为圆心的圆与它的渐近线相切，则双曲线的焦距为（ ） A. 1 B. 2 C. D. 8. 已知椭圆E:＋＝1(a>b>0)的右焦点为F(3,0)，过点F的直线交椭圆于A、B两点．若AB的中点坐标为(1，－1)，则E的方程为 A. ＋＝1 B. ＋＝1 C. ＋＝1 D. ＋＝1 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 已知曲线的方程为，则（ ） A. 当时，曲线表示一个圆 B. 当时，曲线表示椭圆 C. 当时，曲线表示焦点在轴上的双曲线 D. 当时，曲线表示焦点在轴上的双曲线 10. 已知点是抛物线：上任意一点,过焦点的直线与其交于,两点，则下列说法正确的是（ ） A. 焦点为 B. 当的斜率为1时， C. 点，则的最小值为10 D. 过点与有1个公共点的直线有3条 11. 如图1，某同学在一张矩形卡片上绘制了函数的部分图象，分别是图象的一个最高点和最低点，是图象与轴的交点，，垂足为，现将该卡片沿轴折成如图2所示的直二面角，对于图2，则下列结论正确的是（ ） A. B. 点到直线的距离为 C. 点到平面的距离为 D. 平面与平面夹角的余弦值为 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知是抛物线：的焦点，A是上的一点，若，则A的纵坐标为_________. 13. 与双曲线有共同渐近线，且过点的双曲线方程为______． 14. 已知点是椭圆的下顶点，是的右焦点，延长交于点，若，则的离心率为__________. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出必要的文字说明、证明过程及演算步骤. 15. 在中，角，，的对边分别为，，，已知. （1）求； （2）若，，为AC边的中点，求BD的长. 16. 在平面直角坐标系中，△ABC的三个顶点坐标分别为，，． （1）求BC边上的中线AD的所在直线方程； （2）求△ABC的外接圆O被直线l：截得的弦长． 17. 已知椭圆的离心率为，长轴长为4． （1）求C的方程； （2）过点的直线l交C于两点，为坐标原点.若的面积为，求． 18. 在三棱台中，平面，，D，E分别为CA，CB的中点. （1）证明：平面； （2）已知，F为线段AB上的动点（包括端点）. ①求三棱台的体积； ②求与平面所成角的正弦值的最大值. 19. 如图，已知点和点在双曲线上，双曲线的左顶点为，过点且不与轴重合的直线与双曲线交于，两点，直线，与圆分别交于，两点. （1）求双曲线的标准方程； （2）设直线，的斜率分别为，，求的值； （3）证明：直线过定点. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 辽宁省朝阳市建平县实验中学2025-2026学年高二上学期12月月考数学试题 试卷满分150分，考试时间120分钟. 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知复数，则复数的虚部为（ ） A. B. C. 4 D. 【答案】A 【解析】 【分析】利用利用复数的乘除运算求出复数即可得解. 【详解】依题意，复数，所以复数的虚部为. 故选：A 2. 抛物线的准线方程是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】结合抛物线的准线方程求解即可. 【详解】由题知抛物线,所以，故抛物线的准线方程为. 故选：A. 3. 若点在双曲线上，则到该双曲线两个焦点的距离之差的绝对值为（ ） A. B. C. D. 10 【答案】A 【解析】 【分析】由双曲线的标准方程求得，根据双曲线定义可得答案. 【详解】由双曲线，得. 由双曲线的定义可知，到该双曲线两个焦点的距离之差的绝对值为. 故选：A 4. 已知焦点在轴上的椭圆，其焦距为，则的值等于（ ） A. 4 B. 7 C. 9 D. 12 【答案】B 【解析】 【分析】根据条件，得，即可求解. 【详解】由题知，又椭圆的焦点在轴上，所以，解得， 故选：B. 5. 已知双曲线的焦点在轴上，离心率为，焦点到一条渐近线的距离为1，则的标准方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】先根据焦点到渐近线的距离为1列出等式，求出，然后结合离心率求出，进而可得到双曲线的标准方程. 【详解】因为双曲线的焦点在轴上，故可设双曲线方程为（）， 所以渐近线方程为，即. 因为焦点到一条渐近线的距离为1 ，则有， 化简解得，又离心率，所以. 所以双曲线的标准方程为. 故选：D. 6. 已知椭圆的左、右焦点分别为，点为椭圆上一点，若，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据椭圆的定义及余弦定理可求得结果. 【详解】由椭圆方程知，，，，则， 由椭圆的定义知，，又， 所以 ， 故选：A. 7. 已知双曲线的一条渐近线与直线垂直，以的右焦点为圆心的圆与它的渐近线相切，则双曲线的焦距为（ ） A. 1 B. 2 C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】 由于双曲线的一条渐近线与直线垂直，所以可得，所以双曲线的一条渐近线为，再由圆与它的渐近线相切，列方程可求出的值 【详解】解：由直线垂直的条件，可得，所， 由点到渐近线的距离， 可得，． 故选：D． 8. 已知椭圆E:＋＝1(a>b>0)的右焦点为F(3,0)，过点F的直线交椭圆于A、B两点．若AB的中点坐标为(1，－1)，则E的方程为 A. ＋＝1 B. ＋＝1 C. ＋＝1 D. ＋＝1 【答案】D 【解析】 【详解】设、，所以，运用点差法，所以直线的斜率为，设直线方程为，联立直线与椭圆的方程，所以；又因为，解得. 【考点定位】本题考查直线与圆锥曲线的关系，考查学生的化归与转化能力. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 已知曲线的方程为，则（ ） A. 当时，曲线表示一个圆 B. 当时，曲线表示椭圆 C. 当时，曲线表示焦点在轴上的双曲线 D. 当时，曲线表示焦点在轴上的双曲线 【答案】ACD 【解析】 【分析】根据双曲线、椭圆及圆的方程判断即可. 【详解】当时，曲线是，故A正确； 当时，曲线表示一个圆，故B错误； 当时，曲线表示焦点在轴上的双曲线，故C正确； 当时，曲线表示焦点在轴上的双曲线，故D正确. 故选：ACD. 10. 已知点是抛物线：上任意一点,过焦点的直线与其交于,两点，则下列说法正确的是（ ） A. 焦点为 B. 当的斜率为1时， C. 点，则的最小值为10 D. 过点与有1个公共点的直线有3条 【答案】ACD 【解析】 【分析】根据抛物线方程即可得焦点坐标，判定A，根据弦长公式，联立方程，即可求解B，根据抛物线定义，结合三点共线即可求解C，根据方程根的情况即可结合斜率求解D. 【详解】由可得所以焦点为,A正确， 当的斜率为1时，直线方程为，联立得， 设,所以， 故，故B错误， 过点作与准线垂直，垂足为,则, 所以, 故当作直线垂线，此时最小为，C正确， 当直线无斜率时，则直线经过，直线方程为，显然与有一个公共点， 当直线有斜率时，设直线方程为，则联立得， 当时，此时，此时只有一个交点为，满足题意， 当时，，解得，此时直线与曲线相切，只有一个交点， 综上可知：过点与有1个公共点的直线有3条，D正确， 故选：ACD 11. 如图1，某同学在一张矩形卡片上绘制了函数的部分图象，分别是图象的一个最高点和最低点，是图象与轴的交点，，垂足为，现将该卡片沿轴折成如图2所示的直二面角，对于图2，则下列结论正确的是（ ） A. B. 点到直线的距离为 C. 点到平面的距离为 D. 平面与平面夹角的余弦值为 【答案】AC 【解析】 【分析】根据给定条件，求出图1中点的坐标，建立空间直角坐标系，求出各点在空间坐标系中的坐标，即可对选项逐一判断得出结论. 【详解】在图1中，由函数的解析式可知； 在图2中，建立空间直角坐标系如下图所示： 则，可得， 对于A，因此可知，即A正确； 对于B，易知， 则点到直线的距离为，即B错误； 对于C，设平面的一个法向量为，又， 所以，令，则； 因此平面的一个法向量为， 所以点到平面的距离为，因此C正确； 对于D，显然平面的一个法向量为， 所以平面与平面夹角的余弦值为，D错误. 故选：AC 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知是抛物线：的焦点，A是上的一点，若，则A的纵坐标为_________. 【答案】##3.5 【解析】 【分析】根据题意结合抛物线的定义分析求解. 【详解】由题意可知：，准线为， 设A的纵坐标为， 由题意可知：，解得， 所以A的纵坐标为. 故答案为：. 13. 与双曲线有共同渐近线，且过点的双曲线方程为______． 【答案】 【解析】 【分析】设双曲线方程为，利用双曲线过点，求出，即可得出双曲线方程． 【详解】设双曲线方程为， 双曲线过点，， ， 故所求双曲线方程为：，即， 故答案为： 14. 已知点是椭圆的下顶点，是的右焦点，延长交于点，若，则的离心率为__________. 【答案】 【解析】 【分析】根据椭圆的基本性质，和椭圆离心率的定义，利用向量共线，求出点的坐标，进而求出离心率. 【详解】设椭圆的焦距为，设，所以，因为，所以，即，即， 因为点在椭圆上，所以，所以，所以的离心率为. 故答案为：. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出必要的文字说明、证明过程及演算步骤. 15. 在中，角，，的对边分别为，，，已知. （1）求； （2）若，，为AC边的中点，求BD的长. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）由正弦定理和得到，求出； （2）由向量基本定理得到，两边平方，结合，求出，得到. 【小问1详解】 ，由正弦定理得， 由于， 故， 所以， 因为，所以，故，， 因为，所以； 【小问2详解】 为AC边的中点，故， 两边平方得， 又，，，所以，故. 16. 在平面直角坐标系中，△ABC的三个顶点坐标分别为，，． （1）求BC边上的中线AD的所在直线方程； （2）求△ABC的外接圆O被直线l：截得的弦长． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）先求BC边的中点D的坐标，再得AD的斜率即可求解； （2）先求△ABC的外接圆O，再求圆心到直线.直线l的距离，再由勾股定理可求解. 【小问1详解】 ∵， ∴BC边的中点D的坐标为， ∴中线AD的斜率为， ∴中线AD的直线方程为：，即 【小问2详解】 设△ABC的外接圆O的方程为， ∵A、B、C三点在圆上， ∴ 解得： ∴外接圆O的方程为，即， 其中圆心O为，半径, 又圆心O到直线l的距离为, ∴被截得的弦长的一半为, ∴被截得的弦长为. 17. 已知椭圆的离心率为，长轴长为4． （1）求C的方程； （2）过点的直线l交C于两点，为坐标原点.若的面积为，求． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据长轴长和离心率求出基本量后可得椭圆方程； （2）设出直线方程并联立椭圆方程后结合韦达定理用参数表示面积后可求的值，从而可求弦长. 【小问1详解】 因为长轴长为4，故，而离心率为，故， 故，故椭圆方程为：. 【小问2详解】 由题设直线的斜率不为0，故设直线，， 由可得， 故即， 且， 故， 解得， 故. 18. 在三棱台中，平面，，D，E分别为CA，CB的中点. （1）证明：平面； （2）已知，F为线段AB上的动点（包括端点）. ①求三棱台的体积； ②求与平面所成角的正弦值的最大值. 【答案】（1）证明：设交于点G，连接EG，如图， 在三棱台中，，， 又D为AC的中点， 所以，，四边形是平行四边形，G为的中点. 又E为BC的中点，所以，又平面，平面， 所以平面. （2）①；②. 【解析】 【分析】（1）根据中位线可得线线平行，再由线面平行的判定定理得解； （2）①证明四边形为菱形，从而可得出棱台的高，再由棱台体积公式求解； ②建立空间直角坐标系，利用线面角的向量求法，结合二次函数最值得解. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 ①连接BD， 因为平面，且平面，所以平面平面， 因为，D为CA的中点，所以， 又平面平面，平面，所以平面， 由平面，所以， 又，，，平面，所以平面， 由平面，所以，故四边形为菱形，， 所以三棱台的体积为. ②如图所示建立平面直角坐标系，则，，，， 不妨设，则，， 设平面的一个法向量为， 则，得，令，可得， 设与平面所成角为， 则，当且仅当时，等号成立， 所以与平面所成角的正弦值的最大值为. 19. 如图，已知点和点在双曲线上，双曲线的左顶点为，过点且不与轴重合的直线与双曲线交于，两点，直线，与圆分别交于，两点. （1）求双曲线的标准方程； （2）设直线，的斜率分别为，，求的值； （3）证明：直线过定点. 【答案】（1） （2） （3） （i）当轴时，且， 所以，则， 联立，整理得， 即，解得或， 当时，，所以， 由于对称性，，此时直线过定点； （ii）当不垂直于轴时，以下证明直线仍过定点设为， 因为，所以联立， 即，所以， 解得或， 当时，， 所以, 同理，将上述过程中替换为可得， 所以，， 因为，所以， 所以， 所以三点共线，即此时直线恒过定点， 综上直线过定点. 【解析】 【分析】（1）根据双曲线上的点求标准方程； （2）利用韦达定理运算求解即可； （3）利用联立方程组，结合韦达定理求得的坐标，猜想过定点，并用三点共线与斜率的关系证明求解. 【小问1详解】 因为点和点在双曲线上， 所以，解得，所以双曲线的标准方程为. 【小问2详解】 由题可知，直线的斜率不等于零，故可设直线的方程为， 设， 联立，整理得， 若，即，直线的斜率为，与渐近线平行， 此时直线与双曲线有且仅有一个交点，不满足题意，所以， 所以 ， ， 因为,所以 ，所以. 【小问3详解】 略 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $