第28章 锐角三角函数基础过关测试卷-2025-2026学年人教版九年级数学下册《知识解读·题型专练》

第28章 锐角三角函数基础过关测试卷 （考试时间：90分钟 试卷满分：100分） 1、 单项选择题（本题共10小题，每小题3分，共30分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。） 1．已知是锐角，，那么等于（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了根据特殊角三角函数值求角的度数，根据60度角的余弦值为可得答案． 【详解】解：∵，且是锐角， ∴， 故选：C． 2．在中，，，则的值是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了求锐角的正弦函数值，掌握正弦函数的定义是关键；根据正弦函数的定义，在直角三角形中，等于角A的对边与斜边的比值． 【详解】解：∵在中，，， ∴． 故选：D． 3．如图，要测量小河两岸相对的两点，的距离，可以在小河边取的垂线上的一点，测得米，，则小河宽等于（   ） A．米 B．米 C．米 D．米 【答案】A 【分析】此题考查是解直角三角形，根据锐角三角函数的定义即可得出结论． 【详解】解：在中， ∴ 故选：A． 4．以下四个特殊三角函数值中，最大的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查的是特殊角的三角函数值，直接计算各选项的三角函数值并比较大小. 【详解】解：∵ ，，，， ∴ ， 故最大的是， 故选：D 5．如果把的各边长都扩大到原来的4倍，那么锐角A的余弦值（    ） A．扩大到原来的4倍 B．缩小到原来的 C．没有改变 D．无法判断是否发生改变 【答案】C 【分析】本题考查了余弦的定义，分式的性质，掌握“锐角的余弦值等于的邻边与斜边的比值”是解题关键．余弦值是邻边与斜边的比值，各边长扩大相同倍数后，比值不变． 【详解】解：设原中，的邻边为b，斜边为c，则． ∵ 各边长扩大到原来的4倍， ∴ 新邻边为，新斜边为， ∴， 故锐角A的余弦值没有改变． 故选：C． 6．我国汉代数学家赵爽在注解《周髀算经》时给出“赵爽弦图”，如图所示，它是由四个全等的直角三角形与中间的小正方形拼成的一个大正方形．如果大正方形面积为，小正方形面积为1，则（    ） A． B． C．4 D． 【答案】A 【分析】本题考查了勾股定理的证明，求正弦值，解直角三角形，解题关键是明确题意，求出三角形的各边的长． 根据题意和题目中的数据，可以求出直角三角形各边的长，然后即可计算出的值． 【详解】解：设大正方形的边长为，直角三角形的短直角边为，长直角边为， 由题意可得：，，， 解得：，，， ， 故选：A． 7．如图，在的矩形网格中，每个小正方形的边长都是1，，，均在格点（小正方形的顶点）上，则的值为（   ） A．1 B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了正切函数的定义，在中利用正切函数的定义即可求解． 【详解】解：如图，在中，，， 则． 故选：B． 8．如图，在中，，于点，则下列结论不正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据，得到，后根据三角函数的定义解答即可． 本题考查了余角的性质，三角函数的定义，熟练掌握定义是解题的关键． 【详解】解：根据，得到， A. ，正确，不符合题意；     B. ，本选项错误，符合题意；     C. ，正确，不符合题意；     D. ，正确，不符合题意； 故选：B． 9．如图所示，有一天桥高为6米，是通向天桥的斜坡，，市政部门启动“陡改缓”工程，决定将斜坡的底端C延伸到D处，使，则的长度约为（参考数据：）（    ） A．2.59米 B．3.07米 C．3.55米 D．4.39米 【答案】D 【分析】此题考查了解直角三角形的应用，熟练掌握锐角三角函数的定义是解题的关键． 在中，求得米，在中，求得米，即可得到的长度． 【详解】解：在中，，， ∴米， 在中，，， ∴， ∴（米）， ∴（米） 故选：D． 10．如图，矩形中，，E为边上一点，沿将对折，使点D正好落在边上的点F处，等于（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据折叠的性质以及矩形的性质，易得；在中，有，，由勾股定理易得的长．根据三角函数的定义，易得的值，依据，可得的值． 【详解】解：∵四边形是矩形， ∴，， ∴， 根据折叠的性质得：，， ∴， ∴， 在中，，， 由勾股定理得：， 则， ∴，故B正确． 故选：B． 【点睛】本题主要考查了矩形的折叠问题，求三角函数值，勾股定理，余角的性质，根据折叠和勾股定理求出，是解题的关键． 2、 填空题（本题共4小题，每小题3分，共12分．） 11．在中，，，，那么长为 ． 【答案】 【分析】本题考查了锐角三角函数的定义，熟练掌握正切函数的定义是解题的关键．利用正切函数的概念直接求解． 【详解】解：在中，，， ，解得， 故答案为：． 12．计算： ． 【答案】 【分析】本题考查了特殊角的三角函数值，熟记各特殊角的三角函数值是解答本题的关键，根据特殊角的三角函数值，，并计算平方根，然后进行有理数运算． 【详解】原式 ． 故答案为：． 13．雪上项目占据了2022年北京冬奥会的大部分比赛项目，由自由式滑雪、越野滑雪、跳台滑雪、无舵雪橇、有舵雪橇、高山滑雪等．如图，某滑雪运动员在坡度为的雪道上下滑91米，则该滑雪运动员沿竖直方向下滑的高度为 米． 【答案】35 【分析】本题考查了坡比的概念以及勾股定理的应用，理解坡比的概念是解题的关键．坡比是指坡面的垂直高度和水平距离的比值，已知坡比和下滑的斜边长度，设该滑雪运动员沿竖直方向下滑的高度为米，根据勾股定理建立方程求解竖直方向下滑的高度． 【详解】解：设该滑雪运动员沿竖直方向下滑的高度为米，因为雪道坡比为，所以水平方向移动的距离为米， 根据勾股定理，可列方程：， 解得或(长度不能为负舍去)， 因此，该滑雪运动员沿竖直方向下滑的高度为35米． 故答案为：35． 14．如图，在中，延长斜边到点D，连接．若，，，则的长为 ． 【答案】5 【分析】此题考查了相似三角形的判定和性质、解直角三角形、勾股定理等知识．先求出，，过点D作交延长线于点E，证明，得到，设，则，，根据列方程并解方程即可． 【详解】解：∵在中，，， ，； 过点D作交延长线于点E， ，， ， ， ， 设， 则，， ∵， 即， 解得， 即的长为， 故答案为：5． 三、解答题（本题共7小题，共58分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．） 15．（8分）（1）计算： （2）计算： 【答案】（1）（2） 【分析】本题主要考查了特殊角三角函数值的混合运算，熟记各个特殊角三角函数值是解题的关键． （1）先化简各式，再进行计算即可． （2）先化简各个特殊角三角函数值，再进行计算即可． 【详解】解：（1）原式 （2）原式 16．（8分）如图，在中，，，于点，若，求的长． 【答案】16 【分析】本题考查了解直角三角形，熟练掌握正切的定义是解题的关键． 先根据正切的定义得出的长，再利用的正切值得出的长，再计算即可． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴． 17．（8分）如图，彩旗旗杆用，两根钢丝固定在地面上，点A，B，C，D在同一平面内，，，，． (1)求旗杆部分的长． (2)求钢丝的总长度．（结果保留根号） 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查解直角三角形的应用； （1）利用的正切解题即可； （2）在中运用勾股定理求出长，在中运用角所对的直角边等于斜边的一半求出长即可得到答案． 【详解】（1）解：在中，， ∴； （2）解：， 在中，, ∴， ∴钢丝的总长度为． 18．（8分）阏伯台，古称商丘，民间称火星台、火神台，位于河南省商丘市睢阳区商丘古城西南3里处，是距今4500多年的一处观星台遗址，是中国现存年代最早的观星台，对研容中国天文发展史是不可多得的实物资料，具有极高的科研价值．阏伯台是帝酱之子制值所建造的观星台，阙伯一生不辞劳苦造福于百姓，人们非常敬仰他，把他喻为“火神”，所有此台又叫“火神台”．阏伯死后，人们就按他的遗愿，将他葬于台下，因其封号为“商”，此台又被称为“商丘”． 某校数学“综合与实践”小组的同学把“测量阏伯台的高度”作为一项课题活动，由于阏伯台的底部不能到达，他们制订了测量方案，并利用课余时间完成阏伯台实地测量，测量结果如表： 项目 内容 课题 测量阏伯台的高度 测量示意图    说明：A，B为阏伯台最高处房子的两端，C，D为阏伯台下两侧平地上可达到的两点，且点A，B，C，D在同一竖直平面内． 测量数据 的度数 的度数 的长度 的长度        15米 117米 … … (1)请帮助该小组根据表中的测量数据，求阏伯台顶端点A到水平地面的距离（结果精确到整数，参考数据：）； (2)该小组要写出一份完整的课题活动报告，除上表的项目外，你认为还需要补充哪些项目（写出一个即可）？ 【答案】(1)阏伯台顶端点A到水平地面的距离约为米 (2)还需要补充的项目可为：测量工具（计算过程，人员分工，指导教师等）．（答案不唯一） 【分析】（1）过点A作于点M，过点B作于点N，证明四边形为矩形，则米．设米．在中，，得到（米）．在中，米，则，即可得到答案； （2）根据实际需要写出还需要补充的项目即可还需要补充的项目 【详解】（1）过点A作于点M，过点B作于点N，如图所示．    则， ∵, ∴， ∴四边形为矩形， ∴米． 设米． 在中，，，米， ∴， ∴（米）． 在中，，， ∴米． ∴， 解得：． 答：阏伯台顶端点A到水平地面的距离约为米； （2）还需要补充的项目可为：测量工具（计算过程，人员分工，指导教师等）．（答案不唯一） 【点睛】此题考查了解直角三角形的应用，数形结合和熟练掌握锐角三角函数是解题的关键． 19．（8分）数学兴趣小组为了实地测量两岸互相平行的一段河的宽度，在河的南岸点处测得河的北岸点在其北偏东方向，然后向西走80米到达点，测得点在点的北偏东方向，求河宽．（结果精确到，参考数据，，，，，）    【答案】米 【分析】过作于，设米，则在中得到，在中，得到，则，解得分，即可得到答案． 【详解】解：过作于，设米，    在中， 即， ， 在中， ， 即， ， 解得分， （米）． 答：河宽大约为72.6米． 【点睛】此题考查了解直角三角形的应用，熟练掌握方向角、准确计算是解题的关键． 20．（8分）爬山能强身健体，亲近自然，陶冶情操．王老师周末到公园爬山，爬山路线示意图如图所示，王老师从山脚A出发，沿走到点B，再沿到山顶C．已知山高为，过点B分别作于点D，于点E，，．（图中所有点均在同一平面内） (1)求的长； (2)王老师从山脚A到山顶C共走了多少米？（结果取整数；参考数据：，，） 【答案】(1) (2)王老师从山脚A到山顶C共走了约 【分析】本题主要考查了解直角三角形的实际应用，含30度角的直角三角形的性质，矩形的性质与判定，熟知相关知识是解题的关键． （1）由含30度角的直角三角形的性质可得答案； （2）证明四边形是矩形，得到，则可得到的长，解直角三角形求出的长即可得到答案． 【详解】（1）解：在中，，， ∴． （2）解：∵，，， ∴四边形是矩形， ∴． ∵， ∴． 在中，， ∴， ∴， ∴王老师从山脚A到山顶C共走了约． 21．（10分）如图是小亮同学安装的化学实验装置，安装要求为试管口略向下倾斜，铁夹应固定在距试管口的三分之一处．现将左侧的实验装置图抽象成右侧示意图，已知试管，，试管倾斜角为．（，，．结果保留一位小数） (1)求试管口与铁杆的水平距离的长度； (2)实验时，导气管紧靠水槽壁，延长交的延长线于点，且于点（点，，，在一条直线上），经测得：，，求导气管的长度． 【答案】(1)试管口与铁杆的水平距离的长度为 (2)导气管的长度为 【分析】本题主要考查了解直角三角形的应用，熟练掌握三角函数是解题关键． （1）在中，根据即可求解； （2）过点作，交于点，则四边形是矩形，在中，求得，可得，在中，通过即可求解． 【详解】（1）解： ，， ， 在中，， ， 即试管口与铁杆的水平距离的长度为； （2）解：如图，过点作，交于点，则四边形是矩形， 在中，， ， ， ， 在中，， ． 即导气管的长度为． 1 学科网（北京）股份有限公司 $ 第28章 锐角三角函数基础过关测试卷 （考试时间：90分钟 试卷满分：100分） 1、 单项选择题（本题共10小题，每小题3分，共30分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。） 1．已知是锐角，，那么等于（   ） A． B． C． D． 2．在中，，，则的值是（    ） A． B． C． D． 3．如图，要测量小河两岸相对的两点，的距离，可以在小河边取的垂线上的一点，测得米，，则小河宽等于（   ） A．米 B．米 C．米 D．米 4．以下四个特殊三角函数值中，最大的是（   ） A． B． C． D． 5．如果把的各边长都扩大到原来的4倍，那么锐角A的余弦值（    ） A．扩大到原来的4倍 B．缩小到原来的 C．没有改变 D．无法判断是否发生改变 6．我国汉代数学家赵爽在注解《周髀算经》时给出“赵爽弦图”，如图所示，它是由四个全等的直角三角形与中间的小正方形拼成的一个大正方形．如果大正方形面积为，小正方形面积为1，则（    ） A． B． C．4 D． 7．如图，在的矩形网格中，每个小正方形的边长都是1，，，均在格点（小正方形的顶点）上，则的值为（   ） A．1 B． C． D． 8．如图，在中，，于点，则下列结论不正确的是（   ） A． B． C． D． 9．如图所示，有一天桥高为6米，是通向天桥的斜坡，，市政部门启动“陡改缓”工程，决定将斜坡的底端C延伸到D处，使，则的长度约为（参考数据：）（    ） A．2.59米 B．3.07米 C．3.55米 D．4.39米 10．如图，矩形中，，E为边上一点，沿将对折，使点D正好落在边上的点F处，等于（　　） A． B． C． D． 2、 填空题（本题共4小题，每小题3分，共12分．） 11．在中，，，，那么长为 ． 12．计算： ． 13．雪上项目占据了2022年北京冬奥会的大部分比赛项目，由自由式滑雪、越野滑雪、跳台滑雪、无舵雪橇、有舵雪橇、高山滑雪等．如图，某滑雪运动员在坡度为的雪道上下滑91米，则该滑雪运动员沿竖直方向下滑的高度为 米． 14．如图，在中，延长斜边到点D，连接．若，，，则的长为 ． 三、解答题（本题共7小题，共58分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．） 15．（8分）（1）计算： （2）计算： 16．（8分）如图，在中，，，于点，若，求的长． 17．（8分）如图，彩旗旗杆用，两根钢丝固定在地面上，点A，B，C，D在同一平面内，，，，． (1)求旗杆部分的长． (2)求钢丝的总长度．（结果保留根号） 18．（8分）阏伯台，古称商丘，民间称火星台、火神台，位于河南省商丘市睢阳区商丘古城西南3里处，是距今4500多年的一处观星台遗址，是中国现存年代最早的观星台，对研容中国天文发展史是不可多得的实物资料，具有极高的科研价值．阏伯台是帝酱之子制值所建造的观星台，阙伯一生不辞劳苦造福于百姓，人们非常敬仰他，把他喻为“火神”，所有此台又叫“火神台”．阏伯死后，人们就按他的遗愿，将他葬于台下，因其封号为“商”，此台又被称为“商丘”． 某校数学“综合与实践”小组的同学把“测量阏伯台的高度”作为一项课题活动，由于阏伯台的底部不能到达，他们制订了测量方案，并利用课余时间完成阏伯台实地测量，测量结果如表： 项目 内容 课题 测量阏伯台的高度 测量示意图    说明：A，B为阏伯台最高处房子的两端，C，D为阏伯台下两侧平地上可达到的两点，且点A，B，C，D在同一竖直平面内． 测量数据 的度数 的度数 的长度 的长度        15米 117米 … … (1)请帮助该小组根据表中的测量数据，求阏伯台顶端点A到水平地面的距离（结果精确到整数，参考数据：）； (2)该小组要写出一份完整的课题活动报告，除上表的项目外，你认为还需要补充哪些项目（写出一个即可）？ 19．（8分）数学兴趣小组为了实地测量两岸互相平行的一段河的宽度，在河的南岸点处测得河的北岸点在其北偏东方向，然后向西走80米到达点，测得点在点的北偏东方向，求河宽．（结果精确到，参考数据，，，，，）    20．（8分）爬山能强身健体，亲近自然，陶冶情操．王老师周末到公园爬山，爬山路线示意图如图所示，王老师从山脚A出发，沿走到点B，再沿到山顶C．已知山高为，过点B分别作于点D，于点E，，．（图中所有点均在同一平面内） (1)求的长； (2)王老师从山脚A到山顶C共走了多少米？（结果取整数；参考数据：，，） 21．（10分）如图是小亮同学安装的化学实验装置，安装要求为试管口略向下倾斜，铁夹应固定在距试管口的三分之一处．现将左侧的实验装置图抽象成右侧示意图，已知试管，，试管倾斜角为．（，，．结果保留一位小数） (1)求试管口与铁杆的水平距离的长度； (2)实验时，导气管紧靠水槽壁，延长交的延长线于点，且于点（点，，，在一条直线上），经测得：，，求导气管的长度． 1 学科网（北京）股份有限公司 $