精品解析：河北省张家口未来学校2025-2026学年八年级上学期12月月考数学试题

张家口未来学校2025-2026学年第一学期12月月考 八年级数学试卷 考试时间120分钟，满分120分 注意事项： 1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息 2．请将答案正确填写在答题卡上 一、单选题（本大题共12小题，每小题各3分，共36分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 下列表述能确定物体具体位置的是（ ） A. 中海万锦北园 B. 蓝海路北边 C. 南偏东 D. 东经，北纬 2. 点关于y轴的对称点的坐标是（ ） A. B. C. D. 3. 点在二、四象限的角平分线上，则（ ） A. B. 2 C. D. 4. 勾股定理的证明方法多样，体现了数学的精妙．下面四幅图中，不能证明勾股定理的是（ ） A. B. C. D. 5. 关于直线，下列说法正确的是（ ） A. 点在直线l上 B. y随x的增大而增大 C. 把直线l向下平移1个单位长度得到直线，则 D 直线l经过第一、二、三象限 6. 下列命题是假命题的是（ ） A. 三角形具有稳定性 B. 判断某一件事情的句子叫做命题 C. 全等三角形的对应角相等 D. 如果两个三角形有两边及其一边的对角分别相等，那么这两个三角形全等 7. 如图，直线与的图象交于，则关于x，y的方程组的解为（ ） A. B. C. D. 8. 某校拟从甲、乙两位同学中选一人参加市级信息技术大赛，两位同学的六次模拟成绩如图所示，甲、乙两位同学成绩的方差分别记为，则的大小关系是（ ） A. B. C. D. 无法确定 9. 一次函数和在同一平面直角坐标系中的图象可能是（ ） A. B. C. D. 10. 甲、乙两人在笔直的湖边公路上同起点、同终点、同方向匀速跑步3000米，先到终点的人原地休息．已知甲先出发4分钟，在整个步行过程中，甲、乙两人的距离（米）与甲出发的时间（分）之间的关系如图所示，下列说法错误的是（ ） A. 乙用6分钟追上甲 B. 乙追上甲后，再走2400米才到达终点 C. 甲到终点时，乙已经在终点处休息了12分钟 D. 甲乙两人之间的最远距离是960米 11. 某校篮球队名队员的身高分别为：，，，，，（单位：cm），现增加了一名身高为的队员，与之前相比，篮球队队员的身高（ ） A. 平均数变大，中位数变大 B. 平均数变大，中位数不变 C. 平均数不变，中位数变大 D. 平均数变小，中位数变小 12. 如图，在平面直角坐标系中，长方形的四个顶点坐标分别为，，，点从点出发，沿长方形的边顺时针运动，速度为每秒2个单位长度，点从点出发，沿长方形的边逆时针运动，速度为每秒3个单位长度，记点在长方形边上第1次相遇时的点为，第二次相遇时的点为，第三次相遇时的点为，则点的坐标为（ ） A. B. C. D. 二、填空题（本大题共4小题，每小题3分，共12分） 13. 在函数中，自变量x的取值范围是________． 14. 如图，，直线平移后得到直线，，则_____． 15. 已知函数是关于x的一次函数，则_________． 16. 已知关于x的一次函数．当时，函数有最大值7，则a的值为_______． 三、解答题（本大题共8个小题，共72分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 17. 计算和解方程 （1） （2）解方程组： 18. 已知点，解答下列各题． （1）点在轴上，求出点的坐标； （2）点的坐标为，直线轴，求出点的坐标； （3）若点在第二象限，且它到轴、轴的距离相等，求的值． 19. 如图，在平面直角坐标系中，过点的直线与直线 相交于点． （1）求直线的函数表达式和点A的坐标； （2）设点P为x轴上一点，若，求点P的坐标． 20. 甲、乙两辆汽车同时从相距千米，两地沿同一条公路相向而行（甲由到，乙由到），（千米）表示汽车离地的距离，（分钟）表示汽车行驶的时间，如图，，分别表示两辆汽车的与之间的关系． （1）求、分别表示的两辆汽车的与之间的关系式； （2）小时后，两车相距多少千米？ （3）点的实际意义是什么？此时甲车行驶的路程是多少千米？ 21. 为了丰富学生课余生活，某中学开展了丰富多彩的社团活动，该校为了解参加活动的学生的年龄情况，随机调查了40名参加活动的学生的年龄（单位：岁）．根据统计的结果，绘制出如图所示的统计图． 选手 测试成绩／分 总评成绩／分 朗诵 写作 个人文艺才能 蓓蓓 92 90 96 ▲ （1）这组学生年龄数据的平均数为________岁，众数为________岁，中位数为________岁． （2）该校参加社团活动的学生共有360名，请估计不高于13岁的人数． （3）七年级有20名学生报名参加学校广播站社团选拔．报名的学生需参加朗诵、写作、个人文艺才能三项测试，再将该三项的测试成绩按的比例计入每人的总评成绩．蓓蓓的三项测试成绩和总评成绩如下表，请你计算蓓蓓的总评成绩． 22. 某市公交公司计划购买A型和B型两种环保节能公交车，若购买A型公交车1辆，B型公交车2辆，共需550万元；若购买A型公交车2辆，B型公交车1辆，共需500万元． （1）购买每辆A型和B型公交车各需多少万元？ （2）预计在该线路上每辆A型和B型公交车的年均载客量分别为10万人次和15万人次．若该公司同时购买A型和B型公交车，且全部投入使用，要使得全部投入使用的公交车在该线路上的年均载客量总和为120万人次，则该公司有哪几种购车方案？ （3）在（2）的条件下，请问哪种购车方案总费用最少？最少费用是多少？ 23. 在数学小组探究学习中，小华与他小组成员遇到这样一道题： 已知，求的值．他们是这样解答的： ， ， ， 即， ， ， 请你根据小华小组的解题方法和过程，解决以下问题： （1）_____，_____； （2）化简：； （3）若，求的值． 24. 在平面直角坐标系中，点O为坐标原点，，，且满足． （1）求点的坐标． （2）为轴上一动点，连接，过点在线段上方作，且 ①如图1，若点在轴正半轴上，点在第一象限，连接，过点作平行线交轴于点，求点的坐标（用含的式子表示） ②如图2，连接，探究当取最小值时，直线与轴的夹角（锐角）是多少度？ 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 张家口未来学校2025-2026学年第一学期12月月考 八年级数学试卷 考试时间120分钟，满分120分 注意事项： 1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息 2．请将答案正确填写在答题卡上 一、单选题（本大题共12小题，每小题各3分，共36分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 下列表述能确定物体具体位置的是（ ） A 中海万锦北园 B. 蓝海路北边 C. 南偏东 D. 东经，北纬 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了用有序数对确定位置，一对有顺序的数叫做有序数对，理解有序数对是两个有顺序的数是解题的关键． 选项A、B、C均无法唯一确定一个点，只有选项D的经纬度坐标能精确定位． 【详解】解：A．中海万锦北园是一个小区名称，表示一个区域，无法确定具体位置； B．蓝海路北边描述一条路的北侧，是一个区域，无法确定具体位置； C．南偏东仅给出方向，缺乏起点和距离，无法确定具体位置； D．东经，北纬是经纬度坐标，能唯一确定地球上的一个位置． 故选D． 2. 点关于y轴的对称点的坐标是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了坐标系中的对称，掌握关于y轴对称的点，横坐标互为相反数，纵坐标相等是解题的关键． 根据坐标系中点的对称规律即可求解． 详解】解：点关于y轴对称， 对称点的横坐标为，纵坐标为， 对称点的坐标为． 故选：B． 3. 点在二、四象限的角平分线上，则（ ） A. B. 2 C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据题意可得，即可求解． 【详解】解：∵点在二、四象限的角平分线上， ∴， 解得：． 故选：A 【点睛】本题主要考查了坐标与图形，熟练掌握二、四象限的角平分线上的点横纵坐标互为相反数是解题的关键． 4. 勾股定理的证明方法多样，体现了数学的精妙．下面四幅图中，不能证明勾股定理的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查勾股定理的证明，解题的关键是掌握勾股定理的证明方法．根据各个图形，利用面积的不同表示方法，列式证明结论，找出不能证明的那个选项即可． 【详解】解：A、由等面积法得， 整理得，即能证明勾股定理，故本选项不符合题意； B、由等面积法得， 整理得，即能证明勾股定理，故本选项不符合题意； C、由等面积法得，不能证明勾股定理，故本选项符合题意； D、由等面积法得， 整理得，即能证明勾股定理，故本选项不符合题意； 故选：C． 5. 关于直线，下列说法正确的是（ ） A. 点在直线l上 B. y随x的增大而增大 C. 把直线l向下平移1个单位长度得到直线，则 D. 直线l经过第一、二、三象限 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了一次函数的性质，掌握一次函数的性质是解决本题的关键． 根据一次函数的图象和性质进行判断即可． 【详解】解：A：∵当时，， ∴点不在直线l上，该选项错误，不符合题意； B：∵， ∴y随x的增大而增大，该选项正确，符合题意； C：∵向下平移1个单位，新直线方程为， ∴应为，不是，该选项错误，不符合题意； D：由可得，直线经过第一、三、四象限，不经过第二象限， ∴该选项错误，不符合题意． 故选B． 6. 下列命题是假命题的是（ ） A 三角形具有稳定性 B. 判断某一件事情的句子叫做命题 C. 全等三角形的对应角相等 D. 如果两个三角形有两边及其一边的对角分别相等，那么这两个三角形全等 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查三角形的稳定性、命题的定义、全等三角形的性质及判定；根据初中数学知识，逐一判断各选项的真假． 【详解】解： A：三角形具有稳定性，是真命题； B：判断某一件事情的句子叫作命题，是命题的定义，是真命题； C：全等三角形的对应角相等，是全等三角形的性质，是真命题； D：如果两个三角形有两边及其一边的对角分别相等（即SSA条件），但SSA不能保证三角形全等（如存在反例），是假命题． 所以假命题是D． 故选：D． 7. 如图，直线与的图象交于，则关于x，y的方程组的解为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了一次函数与二元一次方程（组），利用方程组的解就是两个相应的一次函数图象的交点坐标进行判断，方程组的解就是使方程组中两个方程同时成立的一对未知数的值，而这一对未知数的值也同时满足两个相应的一次函数式，因此方程组的解就是两个相应的一次函数图象的交点坐标． 【详解】解：∵一次函数与的图象交于， ∴一次函数与的图象向下平移1个单位长度得到函数的解析式为，， 则一次函数与的图象的交点也相应的向下平移一个单位长度为， ∴关于x，y的方程组的解为， 故选：C． 8. 某校拟从甲、乙两位同学中选一人参加市级信息技术大赛，两位同学的六次模拟成绩如图所示，甲、乙两位同学成绩的方差分别记为，则的大小关系是（ ） A. B. C. D. 无法确定 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查方差，折线统计图，掌握方差越大，数据的波动程度越大；方差越小，数据的波动程度越小是解决问题的关键．解题思路是通过观察折线统计图中甲乙成绩的波动幅度，判断方差的大小关系． 【详解】解：从折线统计图中可以看出，甲的成绩折线波动幅度较小，乙的成绩折线波动幅度较大， 根据方差的意义，数据波动幅度越小，方差越小；波动幅度越大，方差越大， ∴甲的方差小于乙的方差，即． 故选：B． 9. 一次函数和在同一平面直角坐标系中的图象可能是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据一次函数的性质可依次作判断. 【详解】解：A、假设经过一，二，四象限，所以 经过一，三，四象限，所以符合题意； B、假设经过一，三，四象限，所以 经过一，三，四象限，所以两图像a，b不一致,不符合题意； C、假设经过一，二，三象限，所以 经过一，二，四象限，所以两图像不一致，不符合题意； D、假设经过一，三，四象限，所以 经过二，三，四象限，所以两图像a不一致，不符合题意； 故选：A． 【点睛】本题主要考查了一次函数图像性质，解决问题的关键是掌握一次函数的性质，根据的符号判断图像所经过的象限. 10. 甲、乙两人在笔直的湖边公路上同起点、同终点、同方向匀速跑步3000米，先到终点的人原地休息．已知甲先出发4分钟，在整个步行过程中，甲、乙两人的距离（米）与甲出发的时间（分）之间的关系如图所示，下列说法错误的是（ ） A. 乙用6分钟追上甲 B. 乙追上甲后，再走2400米才到达终点 C. 甲到终点时，乙已经在终点处休息了12分钟 D. 甲乙两人之间的最远距离是960米 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查一次函数的应用，掌握速度、时间和路程的关系是解题的关键，根据图象信息，结合速度、时间和路程的关系对各项逐一分析即可． 【详解】解：由图知，(分)， 乙用6分钟追上甲， 正确，不符合题意； 甲的速度为(米/分)， 乙追上甲时，二人离终点的距离为(米)， 乙追上甲后，再走米才到达， 正确，不符合题意； 乙的速度为(米/分)， 乙到达终点所用的时间为（分）， 当乙到达终点时甲走的路程为(米)， 当乙到达终点时，甲、乙二人的距离最远，为(米)， 正确，不符合题意； 当乙到达终点时甲走的路程为2040米， 甲还需要(分)到达终点， 甲到终点时，乙已经在终点处休息了分钟， 错误，符合题意 故选：． 11. 某校篮球队名队员的身高分别为：，，，，，（单位：cm），现增加了一名身高为的队员，与之前相比，篮球队队员的身高（ ） A. 平均数变大，中位数变大 B. 平均数变大，中位数不变 C. 平均数不变，中位数变大 D. 平均数变小，中位数变小 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查平均数和中位数的计算，掌握相关知识是解决问题的关键．分别求出变化前后的平均数和中位数，进行求解即可． 【详解】解：∵ 原始数据：，，，，，， 总和为：， 平均数为： ， 排序后：， 中位数为：； 增加一名队员后，新数据：， 新总和为：， 新平均数为：， 排序后：， 新中位数为：， ∴ 平均数从变为，变大；中位数从变为，变大． 故选：A． 12. 如图，在平面直角坐标系中，长方形的四个顶点坐标分别为，，，点从点出发，沿长方形的边顺时针运动，速度为每秒2个单位长度，点从点出发，沿长方形的边逆时针运动，速度为每秒3个单位长度，记点在长方形边上第1次相遇时的点为，第二次相遇时的点为，第三次相遇时的点为，则点的坐标为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了平面直角坐标系中点的坐标变换，正确找出规律是解题的关键．根据点坐标计算长方形的周长为10，设经过t秒P，Q第一次相遇，则P点走的路程为，Q点走的路程为，根据题意列方程，即可求出经过2秒第一次相遇，进一步求出第一次、第二次、第三次……相遇点的坐标，直到找出五次相遇一循环，再用的结果即可求出第2025次相遇点的坐标． 【详解】解：，，，， ， 长方形的周长为， 设经过t秒P，Q第一次相遇，则P点走的路程为，Q点走的路程为， 根据题意得， 解得， ∴当时，P，Q第一次相遇，则路程为，此时相遇点坐标为， 当时，P，Q第二次相遇，则路程为，此时相遇点坐标为， 当时，P，Q第三次相遇，则路程为，此时相遇点坐标为， 当时，P，Q第四次相遇，则路程为，此时相遇点坐标为， 当时，P，Q第五次相遇，则路程为，此时相遇点坐标为， 当时，P，Q第六次相遇，则路程为，此时相遇点坐标为， 五次相遇循环一次， ， 点的坐标为． 故选：C． 二、填空题（本大题共4小题，每小题3分，共12分） 13. 在函数中，自变量x的取值范围是________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了求自变量的取值范围，分式有意义的条件，二次根式有意义的条件． 根据分式有意义的条件，二次根式有意义的条件计算即可． 【详解】解：根据题意得：且 解得：且 即 故答案为：． 14. 如图，，直线平移后得到直线，，则_____． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查的是平行线的性质，如图，过作，证明，再进一步利用平行线的性质求解即可. 【详解】解：如图，过作， ∴， ∵直线平移后得到直线， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴. 故答案为： 15. 已知函数是关于x的一次函数，则_________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查的是一次函数的定义，由定义可得，且，从而可得答案． 【详解】解：函数是关于x的一次函数， 则，且， 解得， 故答案为：． 16. 已知关于x的一次函数．当时，函数有最大值7，则a的值为_______． 【答案】1或 【解析】 【分析】本题主要考查了一次函数的图象和性质，根据一次函数的单调性，分类讨论a的正负情况：当时，函数为增函数，最大值在区间右端点处取得；当时，函数为减函数，最大值在区间左端点处取得．分别代入求解a的值． 【详解】解：当时，函数为增函数，最大值在处， 代入得， 即， 解得； 当时，函数为减函数，最大值在处， 代入得， 即， 解得． 故答案为：1或． 三、解答题（本大题共8个小题，共72分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 17. 计算和解方程 （1） （2）解方程组： 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题主要考查了实数的混合计算及二元一次方程组的解法，熟练掌握实数的运算及二元一次方程组的解法是解题的关键； （1）根据算术平方根及实数的运算可进行求解． （2）利用加减消元法，通过对其中一个方程变形，使两个方程中某个未知数的系数相等或相反，进而消除该未知数，求解另一个未知数，再代入原方程求出被消去的未知数． 【小问1详解】 解：原式 ． 【小问2详解】 解： ，得， 解得， 把代入①得：， 解得， 原方程组的解为． 18. 已知点，解答下列各题． （1）点在轴上，求出点的坐标； （2）点的坐标为，直线轴，求出点的坐标； （3）若点在第二象限，且它到轴、轴的距离相等，求的值． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】本题考查了平面直角坐标系坐标系中点的坐标的特点等知识． （1）根据点在轴上得到，解得，即可求出点P的坐标； （2）根据点的坐标为，直线轴，得到，解得，即可求出点P的坐标； （3）根据点在第二象限，且它到轴、轴的距离相等，得到，解得，即可求出的值． 【小问1详解】 解：点在轴上， ， 解得， ， 点的坐标； 【小问2详解】 解：点的坐标为，直线轴， ， 解得， ， 点的坐标为； 【小问3详解】 解：点到轴、轴的距离相等， ∴， ∵点在第二象限， ， 解得， ． 19. 如图，在平面直角坐标系中，过点的直线与直线 相交于点． （1）求直线的函数表达式和点A的坐标； （2）设点P为x轴上的一点，若，求点P的坐标． 【答案】（1），点A的坐标为 （2）点P坐标为或 【解析】 【分析】本题考查了一次函数与正比例函数的图象与性质． （1）根据已知条件先求出点B的坐标，再将点B和点M的坐标代入一次函数解析式中求出，求得后将当时得出x的值，此时即为点A的坐标； （2）设点P的坐标为，将和用面积公式表示出来，再由得出，进而得到，求解n的值并最终求出点P的坐标． 【小问1详解】 解：∵点在直线上， ∴，解得， ∴点B的坐标为，将点，代入 ，得 ，解得 ， ∴直线的函数表达式为， 当时，得，解得， ∴点A的坐标为． 【小问2详解】 解：设点P的坐标为， ∴，， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴或，解得或， ∴点P坐标为或． 20. 甲、乙两辆汽车同时从相距千米的，两地沿同一条公路相向而行（甲由到，乙由到），（千米）表示汽车离地的距离，（分钟）表示汽车行驶的时间，如图，，分别表示两辆汽车的与之间的关系． （1）求、分别表示的两辆汽车的与之间的关系式； （2）小时后，两车相距多少千米？ （3）点的实际意义是什么？此时甲车行驶的路程是多少千米？ 【答案】（1）的解析式为，的解析式为 （2）小时后，两车相距千米 （3）点的实际意义是甲、乙两辆汽车相遇，此时甲车行驶的路程是千米 【解析】 【分析】本题主要考查了一次函数的实际应用，正确利用待定系数法求出对应的函数解析式是解题的关键． （1）利用待定系数法求解即可； （2）根据（1）所求代入分别求出直线、的函数值即可得到答案； （3）点的实际意义是甲、乙两辆汽车相遇，两者相遇时，距离地距离相同，即两直线函数值相同，则联立两直线解析式求出交点坐标，即可得到答案． 【小问1详解】 解：设的解析式为，把点代入得， ， 的解析式为； 设的解析式为，把点、代入得 ， 解得， 的解析式为； 【小问2详解】 分钟， 在中，当时，， 在中，当时，， （千米）， 答：小时后，两车相距千米； 【小问3详解】 点的实际意义是甲、乙两辆汽车相遇， 当甲、乙两辆汽车相遇时，汽车离地的距离相同， 联立， 解得， （千米）， 答：点的实际意义是甲、乙两辆汽车相遇，此时甲车行驶的路程是千米． 21. 为了丰富学生课余生活，某中学开展了丰富多彩的社团活动，该校为了解参加活动的学生的年龄情况，随机调查了40名参加活动的学生的年龄（单位：岁）．根据统计的结果，绘制出如图所示的统计图． 选手 测试成绩／分 总评成绩／分 朗诵 写作 个人文艺才能 蓓蓓 92 90 96 ▲ （1）这组学生年龄数据的平均数为________岁，众数为________岁，中位数为________岁． （2）该校参加社团活动的学生共有360名，请估计不高于13岁的人数． （3）七年级有20名学生报名参加学校广播站社团选拔．报名的学生需参加朗诵、写作、个人文艺才能三项测试，再将该三项的测试成绩按的比例计入每人的总评成绩．蓓蓓的三项测试成绩和总评成绩如下表，请你计算蓓蓓的总评成绩． 【答案】（1）14；15；14 （2）99名 （3）分 【解析】 【分析】本题主要考查了求加权平均数，求平均数，求中位数，求众数和用样本估计总体，正确理解题意是解题的关键． （1）根据平均数，中位数和众数的定义求解即可； （2）用360乘以样本中年龄不高于13岁的人数占比即可得到答案； （3）用对应项目的得分乘以其权重求出对应项目的得分，再求和即可得到答案． 【小问1详解】 解：岁， ∴这组学生年龄数据的平均数为14岁； ∵年龄为15岁的人数最多， ∴众数为15岁； 把这40名学生的年龄按照从小到大的顺序排列，中位数为第20名和第21名的平均数，即中位数为岁； 【小问2详解】 解：名， 答：估计不高于13岁的人数为99名； 【小问3详解】 解：分， 答：蓓蓓的总评成绩为分． 22. 某市公交公司计划购买A型和B型两种环保节能公交车，若购买A型公交车1辆，B型公交车2辆，共需550万元；若购买A型公交车2辆，B型公交车1辆，共需500万元． （1）购买每辆A型和B型公交车各需多少万元？ （2）预计在该线路上每辆A型和B型公交车的年均载客量分别为10万人次和15万人次．若该公司同时购买A型和B型公交车，且全部投入使用，要使得全部投入使用的公交车在该线路上的年均载客量总和为120万人次，则该公司有哪几种购车方案？ （3）在（2）的条件下，请问哪种购车方案总费用最少？最少费用是多少？ 【答案】（1）购买每辆型公交车需150万元，购买每辆型公交车需200万元 （2）共有3种购车方案；方案1：购买9辆型公交车，2辆型公交车； 方案2，购买6辆型公交车，4辆型公交车； 方案3：购买3辆型公交车，6辆型公交车． （3）在（2）的条件下，购车方案3总费用最少，最少费用是1650万元 【解析】 【分析】（1）设购买每辆A型公交车需x万元，每辆B型公交车需y万元，根据“若购买A型公交车1辆，B型公交车2辆，共需550万元；若购买A型公交车2辆，B型公交车1辆，共需500万元”，即可得出关于x,y的二元一次方程组，解之即可得出结论； （2）设购买m辆A型公交车，n辆B型公交车，根据要使得全部投入使用的公交车在该线路上的年均载客量总和为120万人次，即可得出关于m,n的二元一次方程，结合m,n均为正整数，即可得出各购车方案； （3）利用总费用＝单价数量，即可求出选项各方案所需总费用，比较后即可得出结论． 【小问1详解】 解：设购买每辆型公交车需万元，购买每辆型公交车需万元． 依题意，得 解得 故购买每辆型公交车需150万元，购买每辆型公交车需200万元． 【小问2详解】 解：设购买辆型公交车，辆型公交车． 依题意，得 ． 均为正整数， 或或 该公司共有3种购车方案； 方案1：购买9辆型公交车，2辆型公交车； 方案2，购买6辆型公交车，4辆型公交车； 方案3：购买3辆型公交车，6辆型公交车． 【小问3详解】 解：选择方案1所需总费用为（万元）； 选择方案2所需总费用为（万元）； 选择方案3所需总费用为（万元）． ， 在（2）的条件下，购车方案3总费用最少，最少费用是1650万元． 【点睛】本题考查了二元一次方程组的应用、二元一次方程的应用以及有理数的混合运算，解决本题的关键是找准等量关系，正确列出二元一次方程组（或二元一次方程）． 23. 在数学小组探究学习中，小华与他的小组成员遇到这样一道题： 已知，求的值．他们是这样解答的： ， ， ， 即， ， ， 请你根据小华小组的解题方法和过程，解决以下问题： （1）_____，_____； （2）化简：； （3）若，求的值． 【答案】（1）， （2） （3）4 【解析】 【分析】本题考查了二次根式的混合运算． （1）分母有理化即可求解； （2）先分母有理化，然后合并二次根式即可； （3）先分母有理化得到，移项后再平方得到，再整体代入求解即可． 【小问1详解】 解：； ， 故答案为：；； 【小问2详解】 解： ； 【小问3详解】 解：∵， ∴， ∴， ∴，则， ∴． 24. 在平面直角坐标系中，点O为坐标原点，，，且满足． （1）求点的坐标． （2）为轴上一动点，连接，过点在线段上方作，且 ①如图1，若点在轴正半轴上，点在第一象限，连接，过点作的平行线交轴于点，求点的坐标（用含的式子表示） ②如图2，连接，探究当取最小值时，直线与轴的夹角（锐角）是多少度？ 【答案】（1）点的坐标为 （2）①点的坐标为 ②直线与轴的夹角（锐角）为 【解析】 【分析】本题考查了绝对值的性质、平面直角坐标系中点的坐标求解、全等三角形的判定与性质、平行线的性质及垂线段最短的应用，解题的关键是通过构造全等三角形转化线段与角度关系，结合坐标特征分析点的轨迹与线段最值． （1）利用绝对值的非负性求的值，得点坐标； （2）①作辅助线构造全等三角形，结合平行线的内错角性质推导点坐标； ②确定点的运动轨迹，利用垂线段最短分析最小值时直线与轴的夹角． 小问1详解】 解：∵， ∴，即， ∴点的坐标为． 【小问2详解】 ①解：过点作轴于点， ∵， ∴， ∴ 又∵， ∴ ∵，， ∴（）， ∴，， ∴， ∵，轴为截线， ∴（两直线平行，内错角相等）． 在和中： ∴（）， ∴． 又∵在轴负半轴， ∴点的坐标为． ②解：由①知，即点的纵坐标比横坐标大4， ∴点在直线上． 根据垂线段最短，的最小值为原点到直线的垂线段长度． 直线与轴交于，与轴交于， ∴该直线与轴、轴围成的三角形为等腰直角三角形，其与轴的夹角为． ∵垂直于直线， ∴直线与轴的夹角（锐角）为． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $