专题01 期末复习之有理数（考情分析+9 大题型+易错警示+解题技巧）绝对值数轴相反数易错点重难点培优专题复习2025－2026学年七年级上册数学（人教版）

该初中数学有理数专题复习讲义通过考情分析表格系统构建知识体系，将正负数意义、有理数分类、数轴应用等6大核心考点与复习目标、考察形式对应梳理，并用错题警示模块总结有理数分类中混淆有理数与无理数等易错点，清晰呈现知识脉络与重难点分布。 讲义亮点在于分层题型设计与核心素养导向，基础题型通过水位变化、微信支付等跨学科情境题培养应用意识，提升题型以绝对值非负性（如|x-2|+|y+3|=0求x,y值）强化推理意识，培优题型的数轴动点含参数问题发展抽象能力和运算能力。每个题型配备解题攻略与变式题，基础生掌握方法，优秀生深入探究，助力教师实施精准分层教学。

专题01 有理数 期末考点 复习目标 考察形式 1.正负数的意义 1.明确正负数定义（0既非正也非负）；2.结合实际/跨学科情境解释含义；3.识别相反意义的量 基础必考题，选择/填空（1-2题），情境贴近生活/跨学科（如海拔、pH值） 2.有理数分类 1.掌握有理数定义（，、为整数且）；2.区分有理数与无理数（如）；3.准确分类不遗漏0 高频易错点，选择/填空（1题），考法：填集合、判断归属 3.数轴（基础应用） 1.掌握三要素；2.标数、算两点距离（）；3.结合数轴判断数的正负 基础必考题，选择/填空/解答（基础问），偶考图形翻转数轴 4.相反数与绝对值（基础） 1.掌握定义与性质；2.求一个数的相反数、绝对值 基础必考题，选择/填空（1-2题），常与其他知识点混合考 5.绝对值非负性 1.理解；2.运用则求值 提升题，选择/填空(1题)，偶见解答题小问 6.有理数大小比较 1.掌握数轴法、符号法；2.多个有理数排序 基础/提升题，选择/填空/解答(1题)，常结合数轴或跨学科数据 【题型1】有理数分类的易错辨析(易错题型) 1.易错点总结 混淆有理数与无理数：误将、无限不循环小数归为有理数，或把无限循环小数排除在有理数外 分类遗漏0：将0归为正数或负数，或未将0纳入整数/有理数集合 误解分数定义：认为有限小数、无限循环小数不属于分数范畴 2.避坑攻略 牢记核心定义：有理数=整数(正整数、0、负整数)+分数(有限小数、无限循环小数)，无理数特指无限不循环小数(如) 分类三步法：先判断是否为实数→再分有理数/无理数→有理数内按“整数/分数”或“正/0/负”细分，优先标注0的归属 辅助记忆：分数与有限小数、无限循环小数可互化，因此三者本质一致 【例题1】.（25-26六年级上·上海黄浦·期中）关于“0”，下列说法错误的是（    ） A．是整数，也是有理数 B．既不是正数，也不是负数 C．是整数，也是自然数 D．既不是自然数，也不是有理数 【变式题1-1】.（25-26七年级上·江西南昌·期中）将有理数分别填在相应的大括号里， 整数：{___________…}； 负数：{___________…}； 正分数：{___________…}． 【变式题1-2】.（25-26七年级上·内蒙古锡林郭勒·期中）将下列各数填入相应的大括号里． 正分数集合：{                                     }； 非正整数集合：{                                     }； 正数集合：{                                     }； 有理数集合：{                                     }． 【变式题1-3】.（25-26七年级上·全国·课后作业）有没有这样的有理数，它既不是正数，也不是负数？如果有，请写出来． 【基础题型】 【题型2】正负数的跨学科情境辨析 1.期末考点总结 核心考点：正负数表示相反意义的同类量，0的基准作用 延伸考点：跨学科情境中基准量的确定(如海拔以海平面为0、pH值以7为中性基准) 2.解题攻略 步骤1：明确情境中的基准量(题目中隐含或明确给出的“0点”) 步骤2：判断所求量与基准量的关系(超出为正、不足为负，或约定方向为正) 步骤3：排除非同类量干扰，确保正负数仅用于描述同一属性的相反趋势 【例题2】.（25-26七年级上·黑龙江绥化·期中）如果水位升高时水位变化记作，那么水位下降时水位变化记作（   ） A． B． C． D． 【变式题2-1】.（2025七年级上·吉林长春·专题练习）如图所示的是某用户微信支付情况，表示的意思是（    ） A．发出100元红包 B．收入100元 C．余额100元 D．抢到100元红包 【变式题2-2】.（25-26七年级上·全国·课后作业）如果规定木材公司购进木材为正，售出木材为负，那么，该公司购进木材可记作 ，售出木材可记作 ． 【变式题2-3】.（25-26七年级上·全国·课后作业）如果规定铅球的质量高于标准质量的部分为正，低于标准质量的部分为负，那么，甲铅球高于标准质量可记作 ，乙铅球低于标准质量可记作 ． 【题型3】相反数与绝对值的基础计算(生活情境版) 1.期末考点总结 核心考点：相反数定义(符号相反、绝对值相等，0的相反数是0)，绝对值性质(正数=本身、负数=相反数、0=0) 延伸考点：结合生活情境求“相反状态”的量(如收入的相反数是支出、上升的相反数是下降) 2.解题攻略 求相反数：直接改变数字符号(0除外)，或利用性质“的相反数是” 求绝对值：先判断数的正负，再按性质计算，结果必为非负数 情境应用：先将生活语言转化为数学数(如“亏损50元”记为)，再求相反数/绝对值 【例题3】.（2025·新疆·一模）有理数的相反数是（    ） A．2025 B． C． D． 【变式题3-1】.（25-26七年级上·全国·课后作业）请分别写出下列各数的相反数： ，13，0，，． 【变式题3-2】.（25-26七年级上·湖北荆门·期中）下列各式中正确的是(  ) A． B． C． D． 【变式题3-3】.（25-26七年级上·广东揭阳·期中）下列各数中，互为相反数的是（    ） A．和 B．和 C．和 D．和 【题型4】正负数的偏差计算(教材拓展版) 1.期末考点总结 核心考点：用正负数表示允许偏差(如零件尺寸“”表示合格范围) 延伸考点：计算实际值与标准值的偏差，判断是否合格 2.解题攻略 标准值±允许偏差=合格范围(如“”即) 偏差计算：实际值-标准值(结果为正表示超出，负表示不足) 合格判断：对比偏差值与允许偏差的绝对值，若，则合格 【例题4】.（25-26七年级上·浙江杭州·期中）在生产图纸上通常用来表示轴的加工要求，这里表示直径是和是指直径在到之间的产品都属于合格产品．现加工一批轴，尺寸要求是，请选出不合格的产品（    ） A．44.97 B．45.04 C．45.01 D．45 【变式题4-1】.（25-26七年级上·北京海淀·期中）某型号芯片的封装标准厚度为，封装的实际厚度与标准厚度的差值记为“厚度偏差”，现有五个芯片的“厚度偏差”记录如下（单位：）：①，②，③，④，⑤，其中实际封装厚度最接近标准厚度的是 （填序号）． 【变式题4-2】.（24-25七年级上·广西南宁·阶段练习）比赛用的乒乓球质量有严格的规定，但实际生产的乒乓球的质量可能有一些偏差．请你根据如表中检验记录 (“”表示超出标准质量，“”表示不足标准质量），最接近标准质量的乒乓球的编号为 号． 编号 1 2 3 4 5 偏差 /g 【变式题4-3】.（25-26七年级上·天津和平·期中）某品牌桶装饮用水的净含量标注为．根据《定量包装商品计量监督管理办法》规定，的饮用水净含量允许偏差范围为．如果一桶饮用水的实际净含量是，记为，则当一桶饮用水的实际净含量是时，则记为 ． 【提升题型】 【题型5】结合数轴的多重符号化简(含字母) 1.期末考点总结 核心考点：多重符号化简规则(“奇负偶正”)，数轴上字母的正负判断 延伸考点：利用数轴确定字母的取值范围，化简含字母的符号表达式(如、) 2.解题攻略 步骤1：根据数轴上字母的位置(原点左/右)判断字母的正负(左负右正) 步骤2：多重符号化简：从内到外，或直接看负号个数(奇数个负号结果为负，偶数个为正) 注意：字母可能为0，需补充“若，则化简结果为0”的说明 【例题5】.（25-26七年级上·四川广元·月考）有理数a、b、c在数轴上的位置如图所示． (1)化简： ； ； ； (2)在图中的数轴上标出表示的点； (3)将a，b，c，按从小到大的顺序，用“<”号连接起来． 【变式题5-1】.（25-26七年级上·全国·课后作业）化简下列各式的符号，并回答问题： （1）　　 ；　　 ；　　 ；　　 ；　　 ； （2）当前面有个负号时，化简后的结果是 　　 ；当前面有个负号时，化简后的结果是 　　 ；你能总结出什么规律？ （3）计算：． 【变式题5-2】.（25-26七年级上·海南·期中）阅读下列材料：，即当时，；当时， 请用以上结论解决下列问题： (1)有理数a、b表示的点在数轴上的位置如图所示： 化简：______；______；______；______． (2)已知a，b，c是有理数，当时，求的值． 【变式题5-3】.（25-26七年级上·湖南衡阳·阶段练习）分类讨论是一种重要的数学方法，如在化简时，可以这样分类：当时，；当时，；当时，．用这种方法解决下列问题： (1)当时，求的值． (2)已知a，b是有理数，当时，试求的值． (3)已知是有理数，当时，试求的值． 【题型6】绝对值非负性的简单应用 1.期末考点总结 核心考点：绝对值的非负性()，“几个非负数的和为0，则每个非负数均为0” 延伸考点：结合相反数、平方数的非负性(如) 2.解题攻略 关键结论：非负数包括绝对值、平方数、算术平方根，若它们的和为0，直接列方程：每个非负数的表达式=0 步骤：①识别非负项；②令各项为0，解出字母的值；③代入所求表达式计算 【例题6】.（24-25七年级上·安徽安庆·期中）已知与互为相反数，求的值． 【变式题6-1】.（25-26七年级上·河北邢台·期中）若，则的值是（    ） A．3 B．－3 C．1 D．－1 【变式题6-2】.（25-26七年级上·云南昭通·期中）式子取最小值时，等于 ． 【变式题6-3】.（25-26七年级上·江苏·阶段练习）当x满足 时；代数式值最大，最大值是 ． 【题型7】有理数分类的创新探究(循环小数化分数) 1.期末考点总结 核心考点：无限循环小数属于有理数(可化为分数)，有理数分类的本质(能表示为，、为整数且) 延伸考点：简单循环小数化分数(如） 2.解题攻略 循环小数化分数技巧：纯循环小数（如），混循环小数（如） 分类验证：将化分数后的结果代入有理数定义，判断是否为分数，进而确定归属 探究结论：所有循环小数均可化为分数，因此均为有理数 【例题7】.（25-26七年级上·河南南阳·阶段练习）我们学了有理数的概念：可以写成分数形式的数称为有理数．整数可以写成分数的形式，比如，任意整数，所以整数是有理数；那么小数呢？小明和小亮产生了争论．小明认为“小数都能化成分数”，比如，可以借助方程的思想化成分数：设①，等式两边同时扩大10倍得：②，由②－①得：，． 小亮说：“你说得不对，你说的是有限小数和无限循环小数可以按照上述方法化成分数．但是小数里还有无限不循环小数．比如，你能把化成分数吗？如果能化成分数的话，那也就是说有一些分数能化成无限不循环小数．但是，分数只能化为有限小数或者无限循环小数，比如，，这样就矛盾了．由此可知不能化成分数，所以无限不循环小数都不能化成分数，所以无限不循环小数不是有理数．”根据以上对话完成下列问题： (1)下列说法正确的有__________． ①0能写成分数形式；②正有理数都可以写成正分数的形式；③有限小数和无限循环小数是有理数；④所有的小数都是有理数． (2)类比：按照小明上面的方法，用方程的思想，把无限循环小数化为分数． 【变式题7-1】.（25-26七年级上·江苏扬州·期中）如果一个无限小数的各数位上的数字，从小数部分的某一位起，按一定顺序不断重复出现，那么这样的小数叫作无限循环小数，简称循环小数．例如：的循环节是“”，它可以写作，像这样的循环小数称为纯循环小数．又如：，的循环节分别是“”，“”，它们可以分别写作，，像这样的循环小数称为混循环小数． (1)任何一个分数都可以化成有限小数或无限循环小数．请将下列分数化成小数： ； ． (2)无限循环小数化成分数，有两种方法． ①方法一：如果小数是纯循环小数，化为分数时，分数的分子是它的一个循环节的数字所组成的数，分母则由若干个组成，的个数为一个循环节的数字的个数．例如：；．请将纯循环小数化为分数： ．如果小数是混循环小数，可以先化为纯循环小数，然后再化为分数．请将混循环小数化为分数： ．（直接写出答案） ②方法二：应用一元一次方程来解．例如：将循环小数化成分数． 解：设，则．所以，即，解得．所以． 请你仿照方法二将化成分数． 【变式题7-2】.（25-26七年级上·黑龙江哈尔滨·阶段练习）“分数均可化为有限小数或无限循环小数”反之“有限小数或无限循环小数怎样化为分数呢” 例如：或， 反之或． 那么怎么化为． 解：因为 所以不妨设，则上式变为 解得 即 根据以上材料，回答下列问题： (1)将分数化为小数：___________ (2)将小数化为分数．（写出推理过程） 【变式题7-3】.（2025·湖南岳阳·一模）仔细阅读下列材料． “分数均可化为有限小数或无限循环小数”．反之，“有限小数或无限循环小数均可化为分数” 例如：，或，， 反之，，或，那么怎么化为呢？ 解： 不妨设，则上式变为，解得即 根据以上材料，回答下列问题． (1)将“分数化为小数”：__________；__________． (2)将“小数化为分数”：__________；__________． (3)将小数化为分数，需写出推理过程． 【培优题型】 【题型8】数轴动点的距离问题(含参数) 1.期末考点总结 掌握数轴动点平移规律(左减右加，如点表示，向右移3个单位为)； 运用两点距离公式建立方程； 分类讨论动点运动方向(向左/向右)，解决含参数的简单问题。 2.解题攻略 第一步：设动点表示的数(如点从出发，速度(向右为正)，秒后表示为)； 第二步：根据题意列距离方程(如“动点到点的距离为”→)； 第三步：分类解方程(或)，验证结果是否符合运动范围。 【例题8】.（25-26七年级上·全国·课后作业）阅读：如图，已知数轴上有A，B，C三个点，它们表示的数分别是，8．A到C的距离可以用表示，计算方法：C表示的数8，A表示的数，8大于，用．用式子表示为：． 根据阅读完成下列问题： (1)填空： ， ； (2)若点A以每秒1个单位长度的速度向左运动，同时，点B和点C分别以每秒4个单位长度和9个单位长度的速度向右运动，试探索：的值是否随着时间t的变化而改变？请说明理由； (3)现有动点P，Q都从A点出发，点P以每秒1个单位长度的速度向右移动，当点P移动6秒时，点Q才从A点出发，并以每秒2个单位长度的速度向右移动．设点P移动的时间为t秒，写出P，Q两点间的距离（用含t的代数式表示）． 【变式题8-1】.（25-26七年级上·山东青岛·期中）在数轴上点分别表示（a，b，c，d为常数），其中是最大的负整数，且满足． (1)根据题意可知：__________，__________，__________； (2)在数轴上标注点； (3)若数轴上点P到点的距离相等，同时，点P到点的距离也相等，则__________；（点不重合） (4)点M是数轴上的一个动点，它表示的数是m． ①当点M运动到B，C两点之间时，求的值； ②当点M运动到某一点，满足时，求m的值． 【变式题8-2】.（25-26七年级上·重庆·期中）如图，数轴上有，，三个点，点对应的数是，点，对应的数分别为，，且，满足． (1)直接写出_____，_____； (2)若动点从点出发，以每秒2个单位长度的速度向右运动，同时动点从点出发，以每秒1个单位长度的速度向左运动；动点到达原点后立即向左运动（只改变方向，不改变速度大小），则经过多长时间动点与动点到原点的距离相等？ (3)若数轴上有两个动点，分别从，两点出发沿数轴同时出发向右匀速运动，点速度为3个单位长度/秒，点速度为1个单位长度/秒，若运动时间为秒，运动过程中，记线段的中点为．是否存在的值，使得、、三点中的一点到余下两点的距离相等？若存在，请直接写出的值，若不存在，请说明理由． 【变式题8-3】.（25-26七年级上·安徽阜阳·期中）数轴是一个非常重要的数学工具，它使数和数轴上的点建立起对应关系，揭示了数与点之间的内在联系，它是“数形结合”的基础．一般地，点在数轴上分别表示数，，那么之间的距离可表示为． (1)如图1，在数轴上，点，，分别对应有理数，1，4，则，之间的距离为_____，，之间的距离为_____； (2)如图2，为数轴上一动点，点表示的有理数为，现以为折点，将图1的数轴向右对折．已知点在点的右侧，与点，的相对位置不固定，且对折后点，的对应点分别为点． ①若对折后点与点重合，求此时的值； ②若对折后三点互不重合且其中一点到另外两点的距离相等，请求出此时的值． 【题型9】进位制探究中的有理数表示 1.期末考点总结 核心考点：有理数的记数规则，十进制与二进制、三进制的转换，理解“逢进一”的记数本质。 素养导向：探究式学习能力，逻辑推理与规则迁移能力。 2.解题攻略 进制转换核心：十进制转进制用“除取余法”，逆序取余数即为结果；进制转十进制用“位权展开法”（如二进制）。 关键原则：进制中数字最大为（如二进制仅含0、1）。 结合情境：如二维码编码、计算机记数等，按题目给定规则分步转换。 【例题9】.（25-26七年级上·福建福州·期中）【阅读材料】：进位制是人们为了记数和运算方便而约定的记数系统，约定逢十进一就是十进制，逢二进一就是二进制．可用以下方法将进制数转化为十进制数，如进制表示的数中，右起第一位上的1表示，第二位上的1表示，第三位上的1表示，第四位上的1表示．故，其中．当时，． 结合以上材料，解决下列问题： (1)直接写出下列进制数转化为十进制表示的数： ___________，___________； (2)一个四进制三位数与七进制三位数之和能被8整除（，．且，均为整数），求的值； (3)若一个八进制数与一个六进制数之差为220，则称这两个数互为“坤鹏数”，试判断与是否互为“坤鹏数”（为正整数，且），并说明理由． 【变式题9-1】.（25-26七年级上·广东佛山·期中）综合与实践：进位制的数学文化与应用进位制是古人计数的智慧创造，我国古代《九章算术》中就蕴含进制思想．进位制是约定的记数系统，“逢n进一”就是n进制．为区分进位制，常在数的右下角标注基数，如就是二进制数，十进制数一般不标注基数． [算法赏析] 材料一：十进制数，记作：． 材料二：七进制转化成十进制，只要将七进制数的每个数字，依次乘以7的正整数次幂，然后求和，就可得到与它相等的十进制数，如∶ ，即 ．将十进制数化为与其相等的七进制数，可用7去除；把每一位数字的余数从低位到高位排序即可． 如：7∣66⋯3（第1位余数） 7∣9⋯2（第2位余数） 7∣1⋯1（第3位余数） ∴ 材料三：二进制的四则运算与十进制的四则运算原理相同，不同的是十进制的数位有十个数码0，1，2，3，4，5，6，7，8，9，满十进一，而二进制的数位有两个数码0和1，满二进一．进制的四则运算口诀如下：加法： 减法：，（同一数位不够减时，向高一位借1当2）． [算法体验] （1）①把五进制转换为十进制数______； ②把十进制数转换为二进制数______； （2） =______；（结果用二进制数表示）； （3）____．（结果用二进制数表示）； [算法应用] （4）若一个三进制数转换为十进制数为m，一个四进制数转换为十进制数为n，当时，称这个三进制数与这个四进制数互为“发发数”，判断与，是否互为“发发数”，并说明理由． 【变式题9-2】.（25-26七年级上·内蒙古呼和浩特·期中）解决问题： 活动名称 进位制的认识与探究 背景材料 进位制是一种记数方式，可以用有限的数字符号代表所有的数值．可使用数字符号的数目称为基数，基数为，即可称进位制，简称进制．对于任意一个用进位制表示的数，通常使用个阿拉伯数字进行计数，特点是逢进一． 素材1 十进制数．记作1024： 八进制数．记作： 五进制数．记作： 二进制数．记作： （且为整数）进制数转化成与其相等的十进制数，只需要将进制数的每个数字，依次乘的相应次幂相加，就可得到与它相等的十进制数．如：八进制数转十进制数为：． 素材2 十进制整数转化为二进制整数通常采用除二取余法．即用2连续除十进制数，直到商为0，逆序排列余数即可得到二进制数，简称除二取余法．同样的，十进制数转化为八进制数可用除八取余法．例如：                      解决问题 任务1 将二进制数转化为十进制数，写出转化过程； 任务2 十进制数21转二进制数得_____； 任务3 现有三进制数，二进制数，试比较，的大小，并写出过程． 【变式题9-3】.（25-26七年级上·广东广州·期中）生活中我们使用的数是十进制数，有时候也会用到其它进制数（十进制数不用标角标，其他要标角标），如：十进制数234，七进制数．各进制之间可以进行转化，如：七进制转化成十进制，只要将七进制数的每个数字，依次乘以7的整数次幂，然后求和，就可得到与它相等的十进制数，如：，即．将十进制数化为与其相等的七进制数，可用7去除，把每一位数字的余数从低位到高位排序即可．如： 根据以上材料，回答下列问题： (1)十进制数25改写成二进制数是________；现有二进制数、三进制数，那么a、b的大小关系是a________b（填“＞”、“＜”或“＝”） (2)七年级（7）班的小聪同学根据自己的班级设计了一个C（C为正整数）进制数，换算成十进制数是574，求C的值． (3)已知a，b，c均是大于1的正整数，且，将，，转换成十进制数分别记为x，y，z．试探究与z的等量关系，并说明理由． 同步练习 一、单选题 1．（25-26七年级上·四川乐山·期中）下列各数绝对值最小的数是（    ） A． B． C．2 D．4 2．（25-26七年级上·江苏扬州·期中）中国人最早使用负数，可追溯到两千多年前的秦汉时期，的相反数是（   ） A． B．2025 C． D． 3．（25-26七年级上·安徽马鞍山·开学考试）数轴上的一部分涂上了阴影，这四个数1.1，，1.4，可能出现在阴影部分的有（   ）． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 4．（25-26七年级上·辽宁锦州·期中）下列各说法中，正确的是（    ） A．正数、负数统称为有理数 B．最大的负整数是 C．一个数的绝对值越大，则数轴上表示它的点越靠右 D．符号相反的两个数互为相反数 5．（25-26七年级上·安徽六安·月考）如图所示，圆的周长为个单位长度，在圆的等分点处标上字母，，，，先将圆周上的字母对应的点与数轴的数字所对应的点重合，若将圆沿着数轴向右滚动无滑动，那么数轴上的数所对应的点将与圆周上的字母（   ）重合． A．字母 B．字母 C．字母 D．字母 二、填空题 6．（25-26七年级上·山东济南·期中）如果风车逆时针旋转记作，那么风车顺时针旋转记作 ． 7．（25-26七年级上·全国·课后作业）下面数轴上的点A，B，C，D分别表示什么数? 8．（25-26七年级上·湖北荆门·期中）化简： ． 9．（25-26七年级上·安徽六安·期中）小李写作业时不慎将画画用的颜料洒在了数轴上（如图），则被颜料盖住的整数有 个． 10．（25-26七年级上·湖北省直辖县级单位·期中）边长为1个单位长度的正方形从如图所示的位置开始在数轴上顺时针滚动，当正方形某个顶点落在数字10时停止运动，此时与数字10重合的是点 三、解答题 11．（25-26七年级上·全国·课后作业）一个数的绝对值等于7，并且在数轴上表示它的点在原点的左侧．求这个数． 12．（25-26七年级上·湖北襄阳·期中）下图中的三个圈分别表示负有理数集合，整数集合和正有理数集合． (1)应填在______区域，应填入______区域，区域表示的有理数是______； (2)请将下列各数填入图中适当的区域内． ，，，，，，，，， 13．（25-26七年级上·天津南开·期中）某冷库一周内每天水果进、出库吨数如下表所示，其中规定：“”表示进库，“”表示出库． 周一 周二 周三 周四 周五 周六 周日 (1)这一周内，与前一天相比，周________水果变化量最大，最大变化量为________（吨）； (2)通过计算说明，这一周冷库里的水果增加了还是减少了，变化了多少吨？ (3)经过这一周，冷库管理员结算时发现冷库里还存有20吨水果，那么一周前冷库里存有水果多少吨？ (4)如果进、出库的装卸费都是每吨12元．那么这一周共需付多少装卸费？ 14．（25-26七年级上·福建福州·期中）我国著名数学家华罗庚说过“数缺形时少直观，形少数时难入微”，数形结合是解决数学问题的重要思想方法．例如，代数式的几何意义是数轴上所对应的点与2所对应的点之间的距离．因为，所以的几何意义就是数轴上所对应的点与所对应的点之间的距离．回答下列问题： (1)①数轴上表示和2的两点和之间的距离是____________； ②在①的情况下，如果，那么为____________； (2)探究问题：代数式的最小值是多少？ 如图，点A、B、P分别表示数， 的几何意义是线段与的长度之和， ∴当点在线段上时，； 当点在点的左侧或点的右侧时，， 的最小值是3． 请你根据上述自学材料，探究解决下列问题： ①直接写出式子的最小值是____________； ②工厂加工车间工作流水线上依次间隔2米排着5个工作台，一只配件箱应该放在工作____________处，能使工作台上的工作人员取配件所走的路程最短，最短路程是____________米； (3)若在数轴上点A、B表示的数分别是．动点从点出发，沿数轴以每秒3个单位长度的速度向终点匀速运动；同时，点从点出发，沿数轴以每秒2个单位长度的速度向终点匀速运动，设点的运动时间为秒．当点与点之间的距离为9个单位长度时，求的值． 15．（2025七年级上·江苏连云港·专题练习）如图1，已知点、、、在数轴上对应的数分别是、、、24，其中、满足 ． (1)填空：__________，__________，__________； (2)如图1，点与点之间的距离表示为，若点、分别同时以每秒4个单位长度、1个单位长度的速度匀速向右运动，假设经过秒后，、之间的距离为2，请求出的值； (3)如图2，将数轴在原点、点和点处各折一下，得到一条“折线数轴”．动点从点出发．以每秒3个单位长度的速度沿“折线数轴”的正方向匀速运动至点，同时，动点从点出发以每秒4个单位长度沿着“折线数轴”的负方向变速运动，该点在平地保持初始速度不变，上坡时速度变为初始速度的一半，下坡时速度变为初始速度的两倍，设运动时间为秒．请问、两点有没有可能在上坡或下坡时上相遇，若有可能，请直接写出相遇点所表示的数为__________． 16．（25-26七年级上·安徽合肥·期中）如图，小亮在一张纸上画了一条数轴，他将纸片折叠，使得数轴上表示的点与表示5的点恰好重合．根据这一操作，回答下列问题： (1)折叠后，表示数的点与表示数______的点重合． (2)若数轴上点A在点B的左侧，且A、B两点经折叠后重合，已知之间的距离为，则点A表示的数是______，点B表示的数是______． (3)已知数轴上还有一点P，它到（2）中A、B两点的距离之比为，请求出所有满足条件的点P所表示的数． 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题01 有理数 期末考点 复习目标 考察形式 1.正负数的意义 1.明确正负数定义（0既非正也非负）；2.结合实际/跨学科情境解释含义；3.识别相反意义的量 基础必考题，选择/填空（1-2题），情境贴近生活/跨学科（如海拔、pH值） 2.有理数分类 1.掌握有理数定义（，、为整数且）；2.区分有理数与无理数（如）；3.准确分类不遗漏0 高频易错点，选择/填空（1题），考法：填集合、判断归属 3.数轴（基础应用） 1.掌握三要素；2.标数、算两点距离（）；3.结合数轴判断数的正负 基础必考题，选择/填空/解答（基础问），偶考图形翻转数轴 4.相反数与绝对值（基础） 1.掌握定义与性质；2.求一个数的相反数、绝对值 基础必考题，选择/填空（1-2题），常与其他知识点混合考 5.绝对值非负性 1.理解；2.运用则求值 提升题，选择/填空(1题)，偶见解答题小问 6.有理数大小比较 1.掌握数轴法、符号法；2.多个有理数排序 基础/提升题，选择/填空/解答(1题)，常结合数轴或跨学科数据 【题型1】有理数分类的易错辨析(易错题型) 1.易错点总结 混淆有理数与无理数：误将、无限不循环小数归为有理数，或把无限循环小数排除在有理数外 分类遗漏0：将0归为正数或负数，或未将0纳入整数/有理数集合 误解分数定义：认为有限小数、无限循环小数不属于分数范畴 2.避坑攻略 牢记核心定义：有理数=整数(正整数、0、负整数)+分数(有限小数、无限循环小数)，无理数特指无限不循环小数(如) 分类三步法：先判断是否为实数→再分有理数/无理数→有理数内按“整数/分数”或“正/0/负”细分，优先标注0的归属 辅助记忆：分数与有限小数、无限循环小数可互化，因此三者本质一致 【例题1】.（25-26六年级上·上海黄浦·期中）关于“0”，下列说法错误的是（    ） A．是整数，也是有理数 B．既不是正数，也不是负数 C．是整数，也是自然数 D．既不是自然数，也不是有理数 【答案】D 【分析】本题考查了关于0的认识，0是整数，自然数，是有理数，但不是正数，也不是负数，据此逐项判断即可求解﹒ 【详解】解：A. 0是整数，也是有理数，故原选项正确，不合题意； B. 0既不是正数，也不是负数，故原选项正确，不合题意； C. 0是整数，也是自然数故原选项正确，不合题意； D. 0既是自然数，也是有理数，故原选项错误，符合题意﹒ 故选：D 【变式题1-1】.（25-26七年级上·江西南昌·期中）将有理数分别填在相应的大括号里， 整数：{___________…}； 负数：{___________…}； 正分数：{___________…}． 【答案】0，2025；，；， 【分析】本题考查有理数的分类，根据整数、负数和正分数的定义进行判断即可． 【详解】解：整数：{0，2025}； 负数：{，}； 正分数：{}． 【变式题1-2】.（25-26七年级上·内蒙古锡林郭勒·期中）将下列各数填入相应的大括号里． 正分数集合：{                                     }； 非正整数集合：{                                     }； 正数集合：{                                     }； 有理数集合：{                                     }． 【答案】见解析 【分析】本题考查有理数分类．根据题意利用有理数分类逐一对每个数进行分类即可得到本题答案． 【详解】解：∵ ∴正分数集合{ }， 非正整数集合{} 正数集合{} 有理数集合{} 【变式题1-3】.（25-26七年级上·全国·课后作业）有没有这样的有理数，它既不是正数，也不是负数？如果有，请写出来． 【答案】0 【分析】本题考查有理数的分类，有理数分为正数、负数和0，熟练掌握有理数的分类是解题的关键．根据0既不是正数，也不是负数，并且0是有理数，即可解题． 【详解】0既不是正数，也不是负数，并且0是有理数， 答案为：0． 【基础题型】 【题型2】正负数的跨学科情境辨析 1.期末考点总结 核心考点：正负数表示相反意义的同类量，0的基准作用 延伸考点：跨学科情境中基准量的确定(如海拔以海平面为0、pH值以7为中性基准) 2.解题攻略 步骤1：明确情境中的基准量(题目中隐含或明确给出的“0点”) 步骤2：判断所求量与基准量的关系(超出为正、不足为负，或约定方向为正) 步骤3：排除非同类量干扰，确保正负数仅用于描述同一属性的相反趋势 【例题2】.（25-26七年级上·黑龙江绥化·期中）如果水位升高时水位变化记作，那么水位下降时水位变化记作（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查正数和负数表示相反意义的量．水位升高记为正，则水位下降记为负． 【详解】解：∵水位升高时水位变化记作， ∴水位下降时水位变化记作． 故选：D． 【变式题2-1】.（2025七年级上·吉林长春·专题练习）如图所示的是某用户微信支付情况，表示的意思是（    ） A．发出100元红包 B．收入100元 C．余额100元 D．抢到100元红包 【答案】A 【分析】本题考查用负数表示相反意义的量，理解正负数的意义是解决问题的关键． 根据相反意义的量可以用正负数来表示，正数表示收到，则负数表示发出，据此解答即可． 【详解】解：由题意可知，表示的意思是发出元红包. 故选：A． 【变式题2-2】.（25-26七年级上·全国·课后作业）如果规定木材公司购进木材为正，售出木材为负，那么，该公司购进木材可记作 ，售出木材可记作 ． 【答案】 【分析】本题考查的是正负数的实际意义（相反意义的量），解题关键是根据规定的正负对应关系，确定实际操作对应的正负符号． 根据正负数的规定，购进木材记为正，售出木材记为负． 【详解】因为规定购进木材为正，所以购进木材记作； 规定售出木材为负，所以售出木材记作． 故答案为． 【变式题2-3】.（25-26七年级上·全国·课后作业）如果规定铅球的质量高于标准质量的部分为正，低于标准质量的部分为负，那么，甲铅球高于标准质量可记作 ，乙铅球低于标准质量可记作 ． 【答案】 【分析】根据正负数的规定，高于标准质量记为正数，低于标准质量记为负数，解答即可． 本题考查了正负数的应用，熟练掌握应用是解题的关键． 【详解】解：甲铅球高于标准质量，因此记作； 乙铅球低于标准质量，因此记作， 故答案为：，． 【题型3】相反数与绝对值的基础计算(生活情境版) 1.期末考点总结 核心考点：相反数定义(符号相反、绝对值相等，0的相反数是0)，绝对值性质(正数=本身、负数=相反数、0=0) 延伸考点：结合生活情境求“相反状态”的量(如收入的相反数是支出、上升的相反数是下降) 2.解题攻略 求相反数：直接改变数字符号(0除外)，或利用性质“的相反数是” 求绝对值：先判断数的正负，再按性质计算，结果必为非负数 情境应用：先将生活语言转化为数学数(如“亏损50元”记为)，再求相反数/绝对值 【例题3】.（2025·新疆·一模）有理数的相反数是（    ） A．2025 B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了求一个数的相反数，解题的关键是掌握相反数的定义． 根据相反数的定义，一个数的相反数是只有和它符号相反的数． 【详解】解：∵ 数的相反数是， ∴ 的相反数是， 故选：A． 【变式题3-1】.（25-26七年级上·全国·课后作业）请分别写出下列各数的相反数： ，13，0，，． 【答案】5；；0；； 【分析】本题考查了相反数的定义，解答本题的关键是熟练掌握相反数的定义，只有符号不同的两个数互为相反数，其中一个数是另一个数的相反数，正数的相反数是负数，0的相反数是0，负数的相反数是正数．根据相反数的定义进行求解即可． 【详解】的相反数是； 13的相反数是； 0的相反数是0； 的相反数是； ， 的相反数是． 【变式题3-2】.（25-26七年级上·湖北荆门·期中）下列各式中正确的是(  ) A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了绝对值的定义．根据绝对值的定义，计算各选项两边的数值，判断等式是否成立． 【详解】解：选项A：，，，故A错误． 选项B：，，故B错误． 选项C：，，，故C正确． 选项D：，．又，故D错误． 故选：C． 【变式题3-3】.（25-26七年级上·广东揭阳·期中）下列各数中，互为相反数的是（    ） A．和 B．和 C．和 D．和 【答案】D 【分析】本题考查相反数的概念，解题的关键是先化简各选项中的数，再根据“只有符号不同的两个数互为相反数”判断． 先利用符号法则化简每个选项中的两个数，再逐一判断它们是否互为相反数． 【详解】解：相反数的定义是：只有符号不同的两个数互为相反数．我们先化简各选项的数： A、，则3和3是同一个数，不是相反数； B、，则和是同一个数，不是相反数； C、，则和是同一个数，不是相反数； D、和只有符号不同，互为相反数． 故选：D． 【题型4】正负数的偏差计算(教材拓展版) 1.期末考点总结 核心考点：用正负数表示允许偏差(如零件尺寸“”表示合格范围) 延伸考点：计算实际值与标准值的偏差，判断是否合格 2.解题攻略 标准值±允许偏差=合格范围(如“”即) 偏差计算：实际值-标准值(结果为正表示超出，负表示不足) 合格判断：对比偏差值与允许偏差的绝对值，若，则合格 【例题4】.（25-26七年级上·浙江杭州·期中）在生产图纸上通常用来表示轴的加工要求，这里表示直径是和是指直径在到之间的产品都属于合格产品．现加工一批轴，尺寸要求是，请选出不合格的产品（    ） A．44.97 B．45.04 C．45.01 D．45 【答案】B 【分析】本题主要考查正负数的应用，解题的关键是理解题意；根据尺寸要求，计算合格直径范围，并判断各选项是否在该范围内即可． 【详解】解：由题意得：合格直径范围为到， ∴选项中只有B选项是不合格产品； 故选B． 【变式题4-1】.（25-26七年级上·北京海淀·期中）某型号芯片的封装标准厚度为，封装的实际厚度与标准厚度的差值记为“厚度偏差”，现有五个芯片的“厚度偏差”记录如下（单位：）：①，②，③，④，⑤，其中实际封装厚度最接近标准厚度的是 （填序号）． 【答案】② 【分析】本题考查了绝对值的应用． 实际厚度最接近标准厚度即厚度偏差的绝对值最小，比较各偏差的绝对值即可． 【详解】解：计算各厚度偏差的绝对值： ①， ②， ③， ④， ⑤， 其中绝对值最小的是②， 故答案为：②． 【变式题4-2】.（24-25七年级上·广西南宁·阶段练习）比赛用的乒乓球质量有严格的规定，但实际生产的乒乓球的质量可能有一些偏差．请你根据如表中检验记录 (“”表示超出标准质量，“”表示不足标准质量），最接近标准质量的乒乓球的编号为 号． 编号 1 2 3 4 5 偏差 /g 【答案】3 【分析】本题考查正负号的应用、绝对值，根据绝对值的定义求解，偏差数绝对值最小的最接近标准质量． 【详解】解：，，，，， 因此最接近标准质量的乒乓球的编号为3号， 故答案为：3． 【变式题4-3】.（25-26七年级上·天津和平·期中）某品牌桶装饮用水的净含量标注为．根据《定量包装商品计量监督管理办法》规定，的饮用水净含量允许偏差范围为．如果一桶饮用水的实际净含量是，记为，则当一桶饮用水的实际净含量是时，则记为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了相反意义的量．根据一桶饮用水的实际净含量是，记为，解答即可． 【详解】解：一桶饮用水的实际净含量是，记为， ∴当一桶饮用水的实际净含量是时，记为． 故答案为： 【提升题型】 【题型5】结合数轴的多重符号化简(含字母) 1.期末考点总结 核心考点：多重符号化简规则(“奇负偶正”)，数轴上字母的正负判断 延伸考点：利用数轴确定字母的取值范围，化简含字母的符号表达式(如、) 2.解题攻略 步骤1：根据数轴上字母的位置(原点左/右)判断字母的正负(左负右正) 步骤2：多重符号化简：从内到外，或直接看负号个数(奇数个负号结果为负，偶数个为正) 注意：字母可能为0，需补充“若，则化简结果为0”的说明 【例题5】.（25-26七年级上·四川广元·月考）有理数a、b、c在数轴上的位置如图所示． (1)化简： ； ； ； (2)在图中的数轴上标出表示的点； (3)将a，b，c，按从小到大的顺序，用“<”号连接起来． 【答案】(1)，b， (2)见解析 (3) 【分析】本题考查数轴、绝对值、互为相反数等知识，解题的关键是熟练掌握基本概念，灵活运用所学知识解决问题． （1）首先确定a、b、c的范围，再根据绝对值的性质化简即可； （2）根据互为相反数的性质，画出表示的点即可． （3）利用数轴判定大小即可． 【详解】（1）解：由数轴得，，，， ∴，，， 故答案为，b，； （2）解：表示的点，如图所示， （3）解：观察数轴可知：. 【变式题5-1】.（25-26七年级上·全国·课后作业）化简下列各式的符号，并回答问题： （1）　　 ；　　 ；　　 ；　　 ；　　 ； （2）当前面有个负号时，化简后的结果是 　　 ；当前面有个负号时，化简后的结果是 　　 ；你能总结出什么规律？ （3）计算：． 【答案】（）；；；；；（），；总结规律：一个数的前面有奇数个符号，化简后的结果等于它的相反数，有偶数个符号，化简后的结果等于它本身；（）． 【分析】本题主要考查了化简多重符号，相反数的定义，有理数的加法，熟练掌握相反数的意义是解题的关键． （）根据相反数的定义分别化简即可； （）根据前面的结果猜想即可求解； （）根据（）的规律得出算是，然后通过有理数加法法则即可求解． 【详解】解：（） ；；；；； 故答案为：，，，，； （）根据（）可得，当前面有个负号时，化简后的结果是，当前面有个负号时，化简后的结果是， 总结规律：一个数的前面有奇数个符号，化简后的结果等于它的相反数，有偶数个符号，化简后的结果等于它本身， 故答案为：，； （）根据（）的规律可得， ． 【变式题5-2】.（25-26七年级上·海南·期中）阅读下列材料：，即当时，；当时， 请用以上结论解决下列问题： (1)有理数a、b表示的点在数轴上的位置如图所示： 化简：______；______；______；______． (2)已知a，b，c是有理数，当时，求的值． 【答案】(1)；；； (2)1或 【分析】本题考查了数轴、绝对值、有理数的乘法等知识，熟练掌握绝对值的性质是解题关键． （1）先根据数轴的性质可得，则，，再根据绝对值的性质化简即可得； （2）根据有理数的乘法法则分两种情况：①有理数中有一个负数，两个正数；②有理数三个都是负数，再化简绝对值，计算有理数的加减法即可得． 【详解】（1）解：由数轴可知，， ∴，，，， ∴，， 故答案为：；；；． （2）解：∵， ∴有以下两种情况： ①有理数中有一个负数，两个正数，不妨设， 则； ②有理数三个都是负数，即， 则； 综上，的值为1或． 【变式题5-3】.（25-26七年级上·湖南衡阳·阶段练习）分类讨论是一种重要的数学方法，如在化简时，可以这样分类：当时，；当时，；当时，．用这种方法解决下列问题： (1)当时，求的值． (2)已知a，b是有理数，当时，试求的值． (3)已知是有理数，当时，试求的值． 【答案】(1)1 (2) (3)或0 【分析】本题考查了绝对值的性质、有理数的加减乘除运算，熟练掌握绝对值的性质是解题关键． （1）将代入，先化简绝对值，再计算有理数的除法即可得； （2）先得出，再化简绝对值，然后计算除法与减法即可得； （3）分两种情况：①当都是负数时，②当中有两个正数，一个负数时，不妨设，再化简绝对值，然后计算除法与减法即可得． 【详解】（1）解：当时，则． （2）解：∵是有理数，且， ∴， ∴． （3）解：∵是有理数，且， ∴有以下两种情况： ①当都是负数时， 则； ②当中有两个正数，一个负数时，不妨设， 则； 综上，的值为或0． 【题型6】绝对值非负性的简单应用 1.期末考点总结 核心考点：绝对值的非负性()，“几个非负数的和为0，则每个非负数均为0” 延伸考点：结合相反数、平方数的非负性(如) 2.解题攻略 关键结论：非负数包括绝对值、平方数、算术平方根，若它们的和为0，直接列方程：每个非负数的表达式=0 步骤：①识别非负项；②令各项为0，解出字母的值；③代入所求表达式计算 【例题6】.（24-25七年级上·安徽安庆·期中）已知与互为相反数，求的值． 【答案】 【分析】本题考查了相反数的定义以及绝对值非负性，由题意得：，推出，即可求解； 【详解】解：由题意得：， ∴， 解得：； ∴ 【变式题6-1】.（25-26七年级上·河北邢台·期中）若，则的值是（    ） A．3 B．－3 C．1 D．－1 【答案】A 【分析】本题考查了非负数的性质和绝对值的非负性．熟练掌握非负数的性质和绝对值的非负性是解题的关键． 根据非负数的性质，平方项和绝对值项均为非负数，它们的和为零，则每个项必须为零． 【详解】解：∵ ，且 ，， ∴ 且 ， ∴ ，即 ，∴ ，即 ， ∴ ． 故选A． 【变式题6-2】.（25-26七年级上·云南昭通·期中）式子取最小值时，等于 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了绝对值的非负性，根据绝对值的非负性，，因此当时，取最小值，解方程，即可求出x的值． 【详解】解：因为， 所以当时，取最小值． 解方程，得． 故答案为：． 【变式题6-3】.（25-26七年级上·江苏·阶段练习）当x满足 时；代数式值最大，最大值是 ． 【答案】 5 【分析】此题主要考查了绝对值的性质，正确应用绝对值的性质是解题关键． 直接利用绝对值的性质进而分析得出答案． 【详解】解：∵代数式取最大值，则取最小值， ∴当时，最小， 解得：， ∴当时，代数式的最大值是5． 故答案为：，5． 【题型7】有理数分类的创新探究(循环小数化分数) 1.期末考点总结 核心考点：无限循环小数属于有理数(可化为分数)，有理数分类的本质(能表示为，、为整数且) 延伸考点：简单循环小数化分数(如） 2.解题攻略 循环小数化分数技巧：纯循环小数（如），混循环小数（如） 分类验证：将化分数后的结果代入有理数定义，判断是否为分数，进而确定归属 探究结论：所有循环小数均可化为分数，因此均为有理数 【例题7】.（25-26七年级上·河南南阳·阶段练习）我们学了有理数的概念：可以写成分数形式的数称为有理数．整数可以写成分数的形式，比如，任意整数，所以整数是有理数；那么小数呢？小明和小亮产生了争论．小明认为“小数都能化成分数”，比如，可以借助方程的思想化成分数：设①，等式两边同时扩大10倍得：②，由②－①得：，． 小亮说：“你说得不对，你说的是有限小数和无限循环小数可以按照上述方法化成分数．但是小数里还有无限不循环小数．比如，你能把化成分数吗？如果能化成分数的话，那也就是说有一些分数能化成无限不循环小数．但是，分数只能化为有限小数或者无限循环小数，比如，，这样就矛盾了．由此可知不能化成分数，所以无限不循环小数都不能化成分数，所以无限不循环小数不是有理数．”根据以上对话完成下列问题： (1)下列说法正确的有__________． ①0能写成分数形式；②正有理数都可以写成正分数的形式；③有限小数和无限循环小数是有理数；④所有的小数都是有理数． (2)类比：按照小明上面的方法，用方程的思想，把无限循环小数化为分数． 【答案】(1)①②③ (2) 【分析】本题考查了解一元一次方程，等式的性质，理解有理数的分类，等式的性质，熟练掌握解一元一次方程是解决问题的关键． （1）根据有理数的分类对题目中该处的4个说法逐一进行判断即可得出答案； （2）可设，则，根据题目中提供的方法解出，进而在代入计算即可得出答案． 【详解】（1）解：∵0能写成分数形式，例如：0＝， ∴①正确，符合题意； ∵正有理数包括正整数和正分数，而正整数可以写成正分数的形式， ∴②正确，符合题意； ∵有限小数和无限循环小数是有理数， ∴③正确，符合题意； ∵无限不循环小数不是有理数， ∴④不正确，不符合题意， ∴说法正确的有①②③， 故答案为：①②③； （2）解：∵， 设，则， 则， ∴， 解得：． 【变式题7-1】.（25-26七年级上·江苏扬州·期中）如果一个无限小数的各数位上的数字，从小数部分的某一位起，按一定顺序不断重复出现，那么这样的小数叫作无限循环小数，简称循环小数．例如：的循环节是“”，它可以写作，像这样的循环小数称为纯循环小数．又如：，的循环节分别是“”，“”，它们可以分别写作，，像这样的循环小数称为混循环小数． (1)任何一个分数都可以化成有限小数或无限循环小数．请将下列分数化成小数： ； ． (2)无限循环小数化成分数，有两种方法． ①方法一：如果小数是纯循环小数，化为分数时，分数的分子是它的一个循环节的数字所组成的数，分母则由若干个组成，的个数为一个循环节的数字的个数．例如：；．请将纯循环小数化为分数： ．如果小数是混循环小数，可以先化为纯循环小数，然后再化为分数．请将混循环小数化为分数： ．（直接写出答案） ②方法二：应用一元一次方程来解．例如：将循环小数化成分数． 解：设，则．所以，即，解得．所以． 请你仿照方法二将化成分数． 【答案】(1)； (2)①；；② 【分析】本题为阅读理解题，考查了循环小数和分数的互化，一元一次方程的应用等知识，认真读题，理解题意是解题关键． （1）利用除法将分数化为小数即可； （2）①对于纯循环小数，利用题干中的方法求解；对于混循环小数，将其扩大10倍变成整数与纯循环小数的和求解即可； ②利用题干中的方法，设，则，，得到，求解方程即可得出答案． 【详解】（1）解：； ； 故答案为：；； （2）解：①； ； 故答案为：；； ②设，则，， 所以，即， 解得， 所以． 【变式题7-2】.（25-26七年级上·黑龙江哈尔滨·阶段练习）“分数均可化为有限小数或无限循环小数”反之“有限小数或无限循环小数怎样化为分数呢” 例如：或， 反之或． 那么怎么化为． 解：因为 所以不妨设，则上式变为 解得 即 根据以上材料，回答下列问题： (1)将分数化为小数：___________ (2)将小数化为分数．（写出推理过程） 【答案】(1) (2)． 【分析】本题考查了分数小数互化，一元一次方程，能够正确转化是解题的关键． （1）将分数化为小数即可； （2）根据分析材料，将小数化为分数即可 【详解】（1）解：， 故答案为：； （2）解：因为， 所以不妨设，则上式变为， 解得， 即． 【变式题7-3】.（2025·湖南岳阳·一模）仔细阅读下列材料． “分数均可化为有限小数或无限循环小数”．反之，“有限小数或无限循环小数均可化为分数” 例如：，或，， 反之，，或，那么怎么化为呢？ 解： 不妨设，则上式变为，解得即 根据以上材料，回答下列问题． (1)将“分数化为小数”：__________；__________． (2)将“小数化为分数”：__________；__________． (3)将小数化为分数，需写出推理过程． 【答案】(1)； (2)； (3)，过程见解析 【分析】本题主要考查了解一元一次方程，解决此类阅读型题目的关键是认真阅读，理清题目中的解题思路是关键． （1）仿照题意求解即可； （2）设，则，则可求出，据此可得答案；设，则，，则可求出，据此可得答案； （3）设，则，则可求出，据此可得答案． 【详解】（1）解：，； （2）解：设， ∴， ∴ ∴， ∴， ∴； 设，则，， ∴， ∴， ∴， ∴； （3）解：设，则， ∴， ∴， ∴， ∴． 【培优题型】 【题型8】数轴动点的距离问题(含参数) 1.期末考点总结 掌握数轴动点平移规律(左减右加，如点表示，向右移3个单位为)； 运用两点距离公式建立方程； 分类讨论动点运动方向(向左/向右)，解决含参数的简单问题。 2.解题攻略 第一步：设动点表示的数(如点从出发，速度(向右为正)，秒后表示为)； 第二步：根据题意列距离方程(如“动点到点的距离为”→)； 第三步：分类解方程(或)，验证结果是否符合运动范围。 【例题8】.（25-26七年级上·全国·课后作业）阅读：如图，已知数轴上有A，B，C三个点，它们表示的数分别是，8．A到C的距离可以用表示，计算方法：C表示的数8，A表示的数，8大于，用．用式子表示为：． 根据阅读完成下列问题： (1)填空： ， ； (2)若点A以每秒1个单位长度的速度向左运动，同时，点B和点C分别以每秒4个单位长度和9个单位长度的速度向右运动，试探索：的值是否随着时间t的变化而改变？请说明理由； (3)现有动点P，Q都从A点出发，点P以每秒1个单位长度的速度向右移动，当点P移动6秒时，点Q才从A点出发，并以每秒2个单位长度的速度向右移动．设点P移动的时间为t秒，写出P，Q两点间的距离（用含t的代数式表示）． 【答案】(1)， (2)不变，理由见解析 (3)当时，；当时，；当时， 【分析】本题考查了列代数式，数轴上两点间距离，整式的加减的应用，掌握数轴上两点间距离公式并运用分类讨论思想解答是解题的关键． （）根据数轴上两点间距离公式计算即可； （）根据题意求出点，，移动后表示的数，然后根据数轴上两点间距离公式表示，的值，最后再进行计算即可； （）分三种情况讨论，点在点处，点在点的右边，点在点的右边，根据数轴上两点间距离公式分别列出代数式即可； 【详解】（1）解：，， 故答案为：，； （2）解：不变，理由如下： ∵经过秒后，，，三点所对应的数分别是，，， 点C在点B的右边，点A在点B的左边， ∴，， ∴， 的值不会随着时间的变化而改变； （3）解：经过秒后，，两点所对应的数分别是，， 当点追上点时，， 解得， 当时，点在点处， ； 当时，点在点的右边， ； 当时，点在点的右边， ； 综上所述，当时，；当时，；当时，． 【变式题8-1】.（25-26七年级上·山东青岛·期中）在数轴上点分别表示（a，b，c，d为常数），其中是最大的负整数，且满足． (1)根据题意可知：__________，__________，__________； (2)在数轴上标注点； (3)若数轴上点P到点的距离相等，同时，点P到点的距离也相等，则__________；（点不重合） (4)点M是数轴上的一个动点，它表示的数是m． ①当点M运动到B，C两点之间时，求的值； ②当点M运动到某一点，满足时，求m的值． 【答案】(1)，，5； (2)见详解 (3)4 (4)①6；②m的值是或7． 【分析】（1）根据绝对值和平方的非负性质即可求出a，c的值，根据有理数的定义即可得出b的值． （2）把点表示在数轴上即可． （3）根据数轴上两点之间的距离公式求解即可． （4）①根据题意得出，然后化简绝对值即可． ②分两种情况化简绝对值求解即可． 【详解】（1）解：∵， ∴，， ∴，， ∵是最大的负整数， ∴， 故答案为：，，5； （2）解：在数轴上表示如下： （3）解：，，， ∴点P表示的数为1.5， ，， ∴点D表示的数为， 故答案为∶4 （4）解：①∵，，点M运动到B，C两点之间， ∴， ②∵， 点M在的左侧时，则， 解得：， 当点M在5的右侧时，， 解得：． 综上：m的值是或7． 【点睛】本题主要考查了绝对值非负性质，在数轴上表示有理数数，数轴上两点之间的距离，化简绝对值，一元一次方程的应用等知识． 【变式题8-2】.（25-26七年级上·重庆·期中）如图，数轴上有，，三个点，点对应的数是，点，对应的数分别为，，且，满足． (1)直接写出_____，_____； (2)若动点从点出发，以每秒2个单位长度的速度向右运动，同时动点从点出发，以每秒1个单位长度的速度向左运动；动点到达原点后立即向左运动（只改变方向，不改变速度大小），则经过多长时间动点与动点到原点的距离相等？ (3)若数轴上有两个动点，分别从，两点出发沿数轴同时出发向右匀速运动，点速度为3个单位长度/秒，点速度为1个单位长度/秒，若运动时间为秒，运动过程中，记线段的中点为．是否存在的值，使得、、三点中的一点到余下两点的距离相等？若存在，请直接写出的值，若不存在，请说明理由． 【答案】(1)，； (2)经过秒或秒动点与动点到原点的距离相等； (3)或． 【分析】本题考查了数轴上的动点问题，绝对值的非负性，一元一次方程的应用，解题的关键是掌握以上知识点． （1）根据绝对值的非负性和平方的非负性作答即可； （2）先推导出动点到达原点时，动点未到达原点，设经过秒动点与动点到原点的距离相等，分两种情况列方程求解即可； （3）求出，分三种情况讨论即可． 【详解】（1）解：∵， ∴，， ∴，， 故答案为：，； （2）解：∵，， ∴动点到达原点时，动点未到达原点． 设经过秒动点与动点到原点的距离相等， 动点到达原点前：，解得：； 动点到达原点后：，解得：； 即经过秒或秒动点与动点到原点的距离相等； （3）解：， 当为、中点时， ， 解得：； 当为、中点时， 解得：； 当为、中点时， ， 则， 此种情况不成立； 综上所述，或． 【变式题8-3】.（25-26七年级上·安徽阜阳·期中）数轴是一个非常重要的数学工具，它使数和数轴上的点建立起对应关系，揭示了数与点之间的内在联系，它是“数形结合”的基础．一般地，点在数轴上分别表示数，，那么之间的距离可表示为． (1)如图1，在数轴上，点，，分别对应有理数，1，4，则，之间的距离为_____，，之间的距离为_____； (2)如图2，为数轴上一动点，点表示的有理数为，现以为折点，将图1的数轴向右对折．已知点在点的右侧，与点，的相对位置不固定，且对折后点，的对应点分别为点． ①若对折后点与点重合，求此时的值； ②若对折后三点互不重合且其中一点到另外两点的距离相等，请求出此时的值． 【答案】(1)2，3 (2)①1.5；②0.75或2或3.5． 【分析】本题考查了数轴上两点之间的距离，数轴折叠后，折点到对应点的距离相等．关键是分类讨论要全面． （1）根据两点之间的距离公式解答即可． （2）①对折后点A与点C重合，即点到，的距离相等，据此求解即可． ②分三种情况进行分析计算． 【详解】（1）解：∵点，，分别对应有理数，1，4， ∴，之间的距离为，，之间的距离为 故答案为：2，3． （2）①因为对折后点与点重合，，所以． 因为，所以此时的值为1.5． ②由题意知，对折后存在以下三种情况： （i）对折后点不动，此时折点在点之间，点在点之间，且到点的距离相等． 因为，所以， 则点表示的数为，可得， 则，所以点表示的数为， 即此时的值为0.75； （ii）对折后点动，点不动，此时折点在点之间， 点在点之间，且到点的距离相等． 因为，所以，所以， 即点表示的数为，可得，则， 所以点表示的数为，即此时的值为2； （iii）对折后点动，点不动，此时折点在点之间， 点在点之间，且到点的距离相等． 因为，所以，所以， 即点表示的数为，可得，则， 所以点表示的数为，即此时的值为3.5． 综上，的值为0.75或2或3.5． 【题型9】进位制探究中的有理数表示 1.期末考点总结 核心考点：有理数的记数规则，十进制与二进制、三进制的转换，理解“逢进一”的记数本质。 素养导向：探究式学习能力，逻辑推理与规则迁移能力。 2.解题攻略 进制转换核心：十进制转进制用“除取余法”，逆序取余数即为结果；进制转十进制用“位权展开法”（如二进制）。 关键原则：进制中数字最大为（如二进制仅含0、1）。 结合情境：如二维码编码、计算机记数等，按题目给定规则分步转换。 【例题9】.（25-26七年级上·福建福州·期中）【阅读材料】：进位制是人们为了记数和运算方便而约定的记数系统，约定逢十进一就是十进制，逢二进一就是二进制．可用以下方法将进制数转化为十进制数，如进制表示的数中，右起第一位上的1表示，第二位上的1表示，第三位上的1表示，第四位上的1表示．故，其中．当时，． 结合以上材料，解决下列问题： (1)直接写出下列进制数转化为十进制表示的数： ___________，___________； (2)一个四进制三位数与七进制三位数之和能被8整除（，．且，均为整数），求的值； (3)若一个八进制数与一个六进制数之差为220，则称这两个数互为“坤鹏数”，试判断与是否互为“坤鹏数”（为正整数，且），并说明理由． 【答案】(1)5，13 (2) (3)不是，理由见解析 【分析】本题考查进制数与十进制数的转化及整式的加减运算，解题的关键是掌握进制数转化为十进制数的规则． （1）根据进制数转十进制的规则，展开计算； （2）先将两个进制数转化为十进制数，求和后根据“能被8整除”的条件确定的值； （3）分别将八进制数和六进制数转化为十进制数，计算差值后判断是否等于220． 【详解】（1）解： ， ， 故答案为：5，13； （2）解： ∵四进制三位数与七进制三位数之和能被8整除， ∴就是8的整数倍， ∵．且均为整数， ∴； （3）解：与不互为“坤鹏数” 理由：∵， ， ∴， 当时，， ∵为正整数，且， ∴与不是互为坤鹏数． 【变式题9-1】.（25-26七年级上·广东佛山·期中）综合与实践：进位制的数学文化与应用进位制是古人计数的智慧创造，我国古代《九章算术》中就蕴含进制思想．进位制是约定的记数系统，“逢n进一”就是n进制．为区分进位制，常在数的右下角标注基数，如就是二进制数，十进制数一般不标注基数． [算法赏析] 材料一：十进制数，记作：． 材料二：七进制转化成十进制，只要将七进制数的每个数字，依次乘以7的正整数次幂，然后求和，就可得到与它相等的十进制数，如∶ ，即 ．将十进制数化为与其相等的七进制数，可用7去除；把每一位数字的余数从低位到高位排序即可． 如：7∣66⋯3（第1位余数） 7∣9⋯2（第2位余数） 7∣1⋯1（第3位余数） ∴ 材料三：二进制的四则运算与十进制的四则运算原理相同，不同的是十进制的数位有十个数码0，1，2，3，4，5，6，7，8，9，满十进一，而二进制的数位有两个数码0和1，满二进一．进制的四则运算口诀如下：加法： 减法：，（同一数位不够减时，向高一位借1当2）． [算法体验] （1）①把五进制转换为十进制数______； ②把十进制数转换为二进制数______； （2） =______；（结果用二进制数表示）； （3）____．（结果用二进制数表示）； [算法应用] （4）若一个三进制数转换为十进制数为m，一个四进制数转换为十进制数为n，当时，称这个三进制数与这个四进制数互为“发发数”，判断与，是否互为“发发数”，并说明理由． 【答案】(1)①38，②10010；(2)10000；(3)1001；(4)是，见解析 【分析】本题考查了有理数混合运算的实际应用，正确理解题意是解题关键； (1)①，即可求解；②根据即可求解； (2)根据二进制的加法运算口诀即可求解； (3) 根据二进制的减法运算口诀即可求解； (4) ，，即可求解； 【详解】解：(1)①； ②， ∴把十进制数转换为二进制数为； (2) ； (3) ； (4) ，， ∴， ∴与互为“发发数”； 【变式题9-2】.（25-26七年级上·内蒙古呼和浩特·期中）解决问题： 活动名称 进位制的认识与探究 背景材料 进位制是一种记数方式，可以用有限的数字符号代表所有的数值．可使用数字符号的数目称为基数，基数为，即可称进位制，简称进制．对于任意一个用进位制表示的数，通常使用个阿拉伯数字进行计数，特点是逢进一． 素材1 十进制数．记作1024： 八进制数．记作： 五进制数．记作： 二进制数．记作： （且为整数）进制数转化成与其相等的十进制数，只需要将进制数的每个数字，依次乘的相应次幂相加，就可得到与它相等的十进制数．如：八进制数转十进制数为：． 素材2 十进制整数转化为二进制整数通常采用除二取余法．即用2连续除十进制数，直到商为0，逆序排列余数即可得到二进制数，简称除二取余法．同样的，十进制数转化为八进制数可用除八取余法．例如：                      解决问题 任务1 将二进制数转化为十进制数，写出转化过程； 任务2 十进制数21转二进制数得_____； 任务3 现有三进制数，二进制数，试比较，的大小，并写出过程． 【答案】（1）13，见解析；（2）；（3），见解析 【分析】本题考查了进制的转化问题，有理数的混合运算，有理数的大小比较，理解不同进位制的数之间的转换是解题关键． （1）参照素材1进行转换即可； （2）参照素材2进行转换即可； （3）将三进制数和二进制数都转化为十进制数，即可比较a，b的大小． 【详解】解：（1）； （2）； （3），理由如下： ， ， 因为， 所以． 【变式题9-3】.（25-26七年级上·广东广州·期中）生活中我们使用的数是十进制数，有时候也会用到其它进制数（十进制数不用标角标，其他要标角标），如：十进制数234，七进制数．各进制之间可以进行转化，如：七进制转化成十进制，只要将七进制数的每个数字，依次乘以7的整数次幂，然后求和，就可得到与它相等的十进制数，如：，即．将十进制数化为与其相等的七进制数，可用7去除，把每一位数字的余数从低位到高位排序即可．如： 根据以上材料，回答下列问题： (1)十进制数25改写成二进制数是________；现有二进制数、三进制数，那么a、b的大小关系是a________b（填“＞”、“＜”或“＝”） (2)七年级（7）班的小聪同学根据自己的班级设计了一个C（C为正整数）进制数，换算成十进制数是574，求C的值． (3)已知a，b，c均是大于1的正整数，且，将，，转换成十进制数分别记为x，y，z．试探究与z的等量关系，并说明理由． 【答案】(1)， (2)C的值为9 (3)与z的关系为 【分析】本题考查新定义运算、阅读理解能力等，掌握二进制、七进制、十进制等是解题的关键． （1）根据题干计算方法，用2去除25，把每一位数字的余数从低位到高位排序即可；将、 b转换为十进制，再进行比较即可； （2）将根据公式转换为十进制，解方程即可，注意C的取值范围； （3）将x、y、z转换为十进制，利用a、b、c表示，由，找出与z的关系． 【详解】（1）解：用25除以2，余数依次为11001，故转换成二进制为， ， ， ∵， ∴， 故答案为：，． （2）解：， 解得或（舍去）， 故C的值为9． （3）解：， ， ， ∴， ∵，， ∴， 故与z的关系为． 同步练习 一、单选题 1．（25-26七年级上·四川乐山·期中）下列各数绝对值最小的数是（    ） A． B． C．2 D．4 【答案】B 【分析】本题主要考查了绝对值的概念及数的大小比较，熟练掌握绝对值的计算方法是解题的关键． 先计算各数的绝对值，再比较绝对值的大小，找出最小的那个． 【详解】解：∵ ，，，， ∴ ， ∴绝对值最小的数是， 故答案为：B． 2．（25-26七年级上·江苏扬州·期中）中国人最早使用负数，可追溯到两千多年前的秦汉时期，的相反数是（   ） A． B．2025 C． D． 【答案】B 【分析】本题考查相反数的定义，根据相反数的定义：只有符号不同的两个数互为相反数，分析求解，即可解题． 【详解】解：的相反数是， 故选：B． 3．（25-26七年级上·安徽马鞍山·开学考试）数轴上的一部分涂上了阴影，这四个数1.1，，1.4，可能出现在阴影部分的有（   ）． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】B 【分析】本题考查了分数的意义和数轴的认识． 先确定数轴上每大格和每小格代表的数值，进而确定阴影部分的取值范围，再据此判断给定的数是否符合条件． 【详解】解：依题意得 每大格是1，每小格是． 阴影部分在和之间． ， 可能出现在阴影部分的有2个． 故选：B． 4．（25-26七年级上·辽宁锦州·期中）下列各说法中，正确的是（    ） A．正数、负数统称为有理数 B．最大的负整数是 C．一个数的绝对值越大，则数轴上表示它的点越靠右 D．符号相反的两个数互为相反数 【答案】B 【分析】本题考查有理数、负整数、绝对值和相反数的基本概念，需准确理解定义． 根据有理数、负整数、绝对值、相反数的定义逐一判断各选项的正确性． 【详解】解：A．正有理数、负有理数和零统称为有理数，因此A选项错误，不合题意； B．两个负数比较大小时，绝对值大的数反而小，故最大的负整数是，因此B选项正确，符合题意； C．一个数的绝对值越大，则数轴上表示它的点可能越靠右，也可能越靠左，因此C选项错误，不合题意； D．符号相反的两个数不一定互为相反数，如和3符号相反，但不是互为相反数，因此D选项错误，不合题意； 故选：B． 5．（25-26七年级上·安徽六安·月考）如图所示，圆的周长为个单位长度，在圆的等分点处标上字母，，，，先将圆周上的字母对应的点与数轴的数字所对应的点重合，若将圆沿着数轴向右滚动无滑动，那么数轴上的数所对应的点将与圆周上的字母（   ）重合． A．字母 B．字母 C．字母 D．字母 【答案】B 【分析】本题考查了数轴，依次求出与数，，，，…对应的点重合的字母，发现规律即可解决问题，能根据题中圆的运动方式，发现字母，，，分别与数轴上表示数字，，，，…，的点重合，是解此题的关键． 【详解】解：圆的周长为4个单位长度， 将圆沿着数轴向右滚动（无滑动）时， 字母与数字所对应的点重合， 字母与数字所对应的点重合， 字母与数字所对应的点重合， 字母与数字所对应的点重合， 字母与数字所对应的点重合， …， 依次类推，字母，，，分别与数轴上表示数字，，，，…，的点重合， ， 数轴上的数2025所对应的点将与圆周上的字母B重合， 故选：B． 二、填空题 6．（25-26七年级上·山东济南·期中）如果风车逆时针旋转记作，那么风车顺时针旋转记作 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了相反意义的量，根据题意，逆时针旋转记为正，顺时针旋转记为负，进行求解即可． 【详解】解：由题意，风车逆时针旋转记作，那么风车顺时针旋转记作． 故答案为：． 7．（25-26七年级上·全国·课后作业）下面数轴上的点A，B，C，D分别表示什么数? 【答案】A点表示：；B点表示：；C点表示：；D点表示：5 【分析】此题主要考查了数轴，解答此题的关键是要明确：实数与数轴上的各点一一对应． 根据A，B，C，D各点在数轴上的位置判断即可． 【详解】解：A点表示：；B点表示：；C点表示：；D点表示：5 8．（25-26七年级上·湖北荆门·期中）化简： ． 【答案】 【分析】本题考查了化简多重符号．根据相反数的定义，一个数的相反数的相反数等于它本身． 【详解】解：因为表示的相反数，而的相反数是， 所以． 故答案为：． 9．（25-26七年级上·安徽六安·期中）小李写作业时不慎将画画用的颜料洒在了数轴上（如图），则被颜料盖住的整数有 个． 【答案】6 【分析】本题考查数轴和有理数，根据数轴，写出被盖住的整数即可． 【详解】解：由图可知，盖住的整数有，共6个； 故答案为：6． 10．（25-26七年级上·湖北省直辖县级单位·期中）边长为1个单位长度的正方形从如图所示的位置开始在数轴上顺时针滚动，当正方形某个顶点落在数字10时停止运动，此时与数字10重合的是点 【答案】 【分析】本题考查了数轴上的规律探究问题，由图可知正方形滚动一圈为个单位一个循环，据此解答即可求解，找出变化规律是解题的关键． 【详解】解：由图可知正方形滚动一圈为个单位一个循环， ∵， ∴与数字重合的点， 故答案为： ． 三、解答题 11．（25-26七年级上·全国·课后作业）一个数的绝对值等于7，并且在数轴上表示它的点在原点的左侧．求这个数． 【答案】 【分析】本题主要考查绝对值的定义，根据绝对值等于7，则这个数为或，再结合在原点的左侧得这个数为． 【详解】解：一个数的绝对值等于7， 这个数为或， 又在数轴上表示它的点在原点的左侧， 这个数为． 12．（25-26七年级上·湖北襄阳·期中）下图中的三个圈分别表示负有理数集合，整数集合和正有理数集合． (1)应填在______区域，应填入______区域，区域表示的有理数是______； (2)请将下列各数填入图中适当的区域内． ，，，，，，，，， 【答案】(1)，，正整数 (2)见解析 【分析】本题考查了有理数的分类，掌握相关概念是解题的关键． （1）根据整数分为正整数和负整数和零，正有理数分为正整数和正分数，负有理数分为负整数和负分数，进行作答即可； （2）根据有理数的分类逐个判断进行填写即可． 【详解】（1）解：是整数，应填在区域； 是正有理数，应填在区域； 区域表示的有理数是正整数； 故答案为：，，正整数； （2）解：将各数填入适当的区域如图所示： 13．（25-26七年级上·天津南开·期中）某冷库一周内每天水果进、出库吨数如下表所示，其中规定：“”表示进库，“”表示出库． 周一 周二 周三 周四 周五 周六 周日 (1)这一周内，与前一天相比，周________水果变化量最大，最大变化量为________（吨）； (2)通过计算说明，这一周冷库里的水果增加了还是减少了，变化了多少吨？ (3)经过这一周，冷库管理员结算时发现冷库里还存有20吨水果，那么一周前冷库里存有水果多少吨？ (4)如果进、出库的装卸费都是每吨12元．那么这一周共需付多少装卸费？ 【答案】(1)周三； (2)减少了，减少了吨 (3)吨 (4)元 【分析】本题考查了正负数的实际应用，熟悉相反意义的量是解题的关键． （1）根据表格作答即可； （2）把出入数据相加即可； （3）根据每周的变化推导即可； （4）运算出总出入的数量，再乘价钱即可求解． 【详解】（1）解：由表可得：周三水果变化量最大，最大变化量为（吨）； 故答案为：周三；； （2）解：， 答：这一周冷库里的水果减少了，变化了吨； （3）解：每周减少吨，则上周有（吨）， 答：一周前冷库里存有水果吨； （4）解：（元）， 答：这一周共需付元装卸费． 14．（25-26七年级上·福建福州·期中）我国著名数学家华罗庚说过“数缺形时少直观，形少数时难入微”，数形结合是解决数学问题的重要思想方法．例如，代数式的几何意义是数轴上所对应的点与2所对应的点之间的距离．因为，所以的几何意义就是数轴上所对应的点与所对应的点之间的距离．回答下列问题： (1)①数轴上表示和2的两点和之间的距离是____________； ②在①的情况下，如果，那么为____________； (2)探究问题：代数式的最小值是多少？ 如图，点A、B、P分别表示数， 的几何意义是线段与的长度之和， ∴当点在线段上时，； 当点在点的左侧或点的右侧时，， 的最小值是3． 请你根据上述自学材料，探究解决下列问题： ①直接写出式子的最小值是____________； ②工厂加工车间工作流水线上依次间隔2米排着5个工作台，一只配件箱应该放在工作____________处，能使工作台上的工作人员取配件所走的路程最短，最短路程是____________米； (3)若在数轴上点A、B表示的数分别是．动点从点出发，沿数轴以每秒3个单位长度的速度向终点匀速运动；同时，点从点出发，沿数轴以每秒2个单位长度的速度向终点匀速运动，设点的运动时间为秒．当点与点之间的距离为9个单位长度时，求的值． 【答案】(1)①；②5或； (2)①2；②C，12； (3)1或4.6． 【分析】本题主要考查了数轴，数轴上两点之间的距离： （1）①根据两点间距离公式可得结论； ②数轴上表示和2的两点间相差3个单位长度，即或，即可求解； （2）①根据两点间的距离公式，仿照材料上的分析即可求得最小值； ②以C点为原点，2米为一个单位长度，A、B、C、D、E依次在数轴上排列，点P表示配件箱的位置，表示数x，根据绝对值的意义，几何数轴上点的特点可知当时，有最小值12； （3）表示出P、Q两点表示的数，根据两点间的距离公式表示，代入计算可得答案． 【详解】（1）解：①， 故答案为：； ②由于，则， 即或， 解得：或， 故答案为：5或； （2）解：①如图，设N、M点表示数1、2，点P表示数x，O表示原点， 则， 当点P与点N重合时，，则， 当点P在线段上且不与N重合时，， 则； 当点P在线段上且不与N重合时，， 则； 当点P在点M的右边或在点O的左边时，或， 则， ∴的最小值为2； 故答案为：2； ②如图，以C点为原点，2米为一个单位长度，A、B、C、D、E依次在数轴上排列，点P表示配件箱的位置，表示数x， 根据绝对值的意义，， 根据数轴上点的特点可知当点P与点C重合，即时，，，，此时取得最小值； 当点P在线段上（不与点C重合）时，， 则， 即； 同理，当点P在或（不与点C重合）或上或在点E的右边或在点A的左边时，均有； 综上，当点P与点C重合，即时，有最小值12； 故答案为：C；12； （3）解：由题意知，点P表示的数为，点Q表示的数为， ∵， ∴， 即或， 解得：或， 故t的值为1或4.6． 15．（2025七年级上·江苏连云港·专题练习）如图1，已知点、、、在数轴上对应的数分别是、、、24，其中、满足 ． (1)填空：__________，__________，__________； (2)如图1，点与点之间的距离表示为，若点、分别同时以每秒4个单位长度、1个单位长度的速度匀速向右运动，假设经过秒后，、之间的距离为2，请求出的值； (3)如图2，将数轴在原点、点和点处各折一下，得到一条“折线数轴”．动点从点出发．以每秒3个单位长度的速度沿“折线数轴”的正方向匀速运动至点，同时，动点从点出发以每秒4个单位长度沿着“折线数轴”的负方向变速运动，该点在平地保持初始速度不变，上坡时速度变为初始速度的一半，下坡时速度变为初始速度的两倍，设运动时间为秒．请问、两点有没有可能在上坡或下坡时上相遇，若有可能，请直接写出相遇点所表示的数为__________． 【答案】(1)；8；16 (2)或 (3) 【分析】（1）利用非负数的性质先求解，的值，再利用，从而可得的值； （2）由点向右平移对应的点的数是，点向右平移对应的点的数是，结合，建立方程，再解方程即可； （3）先由题意分别计算点运动到点、、三点时的值，再分类讨论在、、上相遇的值是否符合题意即可． 【详解】（1）解：， ，， 解得：，， ，， ， ． 故答案为：；8；16． （2）解：由（1）可知，，，， 点向右平移对应的点的数是，点向右平移对应的点的数是， 当时， 或 ∴或 即当为或时，、之间的距离为． （3）解：点表示的数为，以每秒个单位长度的速度沿正方向运动至点， 移动后的数表示为：，当点移动至点时，， ， 根据题意可知、、， 当点运动到点时，；运动到点时，；运动到点时，， ①点、点在上相遇， 则，． ， 不符合题意； ②点、点在上相遇， 则， ， ， 不符合题意； ③点、点在上相遇， 则，， ，符合题意， 相遇点表示的数为：． 故答案为：． 【点睛】本题考查了一元一次方程的应用，数轴上的动点问题，如何表示线段的长度，绝对值的非负性，解题的关键是读懂题意，找到等量关系并列出方程，分类讨论，还需注意运动过程中速度的变化． 16．（25-26七年级上·安徽合肥·期中）如图，小亮在一张纸上画了一条数轴，他将纸片折叠，使得数轴上表示的点与表示5的点恰好重合．根据这一操作，回答下列问题： (1)折叠后，表示数的点与表示数______的点重合． (2)若数轴上点A在点B的左侧，且A、B两点经折叠后重合，已知之间的距离为，则点A表示的数是______，点B表示的数是______． (3)已知数轴上还有一点P，它到（2）中A、B两点的距离之比为，请求出所有满足条件的点P所表示的数． 【答案】(1) (2)， (3)P点表示的数为或 【分析】这道题考查了数轴的折叠变换及数轴上点的距离计算，解题关键是先确定折叠的对称中心，再结合数轴上点的位置关系和距离公式分析计算． (1) 先确定折叠对称中心：由和5重合，得对称中心为2，进而求关于2对称的点即可． (2)由 之间的距离为，得两点到对称中心距离为8，结合位置即可． (3) 分在左、间、右三种情况，按距离比列方程求解． 【详解】（1） 由折叠知，表示数的点与表示数的点关于数的点对称， 由数轴可知表示数的点与表示数的点关于数的点对称， 故答案为． （2）折叠后点与点重合， 点与点关于表示数的点对称， 两点之间距离为， 点和点到表示数的点的距离都为， 点表示的数为，点表示的数为， 故答案为，． （3）点P到与的距离比为， 设P表示的数为x，则： ， 即：， 情况1：当时，，解得， 情况2：当时，，解得， 情况3：，，解得（不在范围，舍去）， 综上所述，P点表示的数为或． 学科网（北京）股份有限公司 $