专题05 轴对称（高频考点归纳+解析+单元检测）2025-2026学年人教版八年级数学上册期末冲刺专题

2025-2026人教版八年级数学上期末冲刺专题 专题05 轴对称（高频考点归纳+解析+单元检测） 考点01 轴对称图形的识别 考点02 线段的垂直平分线 考点03 画轴对称图形 考点04 坐标的对称变换 考点05等腰三角形的性质和判定 考点06等边三角形的性质和判定 考点07 30°的直角三角形性质 考点08 最短路径问题 考点01 轴对称图形的识别 一、单选题 1．（24-25八年级上·山西晋中·期末）中国纹样万千世界，春节申遗成功后的首届春晚——2025年农历乙巳蛇年春晚，一个新纹样诞生，巳（sì）这里是甲骨文的（sì），进行重复旋转成以下几种纹样，寓意“巳巳如意，生生不息”．下面纹样中，不是轴对称的是（   ） A． B． C． D． 2．（24-25八年级上·山西临汾·期末）下列交通标志图案中，是轴对称图形的是（    ） A． B． C． D． 3．（24-25八年级上·山西运城·期末）下面四个图形分别是节能、节水、低碳生活和绿色食品标志．在这四个标志中，是轴对称图形的是（    ） A．节能 B．节水 C．低碳生活 D．绿色食品 4．（24-25八年级上·山西晋中·期末）回形纹是一种古老的装饰纹样，因其形状像汉字的“回”字而得名，这种纹样在新石器时代的陶器、商周时期的青铜器、汉代的漆器以及明清时期的家具上都有广泛的应用．下面四幅含有回形纹元素的图案是轴对称图形的是（   ） A． B． C． D． 5．（24-25八年级上·山西晋中·期末）山西的许多地方有剪纸贴窗花的传统民间习俗，剪纸的图案内容都取材于生活，来源于生活，丰富多彩，不拘一格．下列剪纸作品中，不是轴对称图形的是（   ） A． B． C． D． 6．（24-25八年级上·山西晋中·期末）下列大学的校徽图案是轴对称图形的是（   ） A． B． C． D． 7．（24-25八年级上·山西太原·期末）消防安全标志是由安全色、边框、图像为主要特征的图形符号或文字构成的标志，用以提醒人们预防危险，或者指示人们采取正确、有效、得力的措施，对危害加以遏制，下列消防安全标志中，文字上方的图案是轴对称图形的是（   ） A． B． C． D． 8．（24-25八年级上·山西晋城·期末）当前，人工智能新技术不断突破、新业态持续涌现、新应用加快拓展，已经成为新一轮科技革命和产业变革的重要驱动理念．下列软件图标除文字和背景外是轴对称图形的是（   ） A． B． C． D． 考点02 线段的垂直平分线 一、单选题 1．（24-25八年级上·江苏徐州·期末）如图，在中，，垂直平分，平分，，则的长为（　　） A．5 B．6 C．10 D．12 二、填空题 2．（24-25八年级上·山西运城·期末）如图，在中，，按以下步骤作图：分别以点和点为圆心，大于一半的长为半径作圆弧，两弧相交于点和点．作直线交于点，连接．若，，则的周长为 ． 3．（24-25八年级上·陕西咸阳·期末）如图，在中，点在上，连接，过点作交于点，．的周长为5，则的周长是 ． 三、解答题 4．（24-25八年级上·山西运城·期末）已知：如图，．    (1)请用直尺和圆规，按以下要求作图（保留作图痕迹）． 作法：①作的角平分线交于点D； ②作线段的垂直平分线分别交于点E，交于点F，交于点O； (2)判断的数量关系，并说明理由． 5．（24-25八年级上·山西太原·期末）阅读与思考： 下面是智慧小组一次研究性学习报告的部分内容，请认真阅读并完成相应的任务． 关于“筝形”的研究报告研究对象：筝形 研究思路：类比三角形，从定义及已有基本事实、结论出发，从组成要素及相关要素之间关系的角度研究筝形的性质． 研究方法：观察（测量、操作）——猜想——推理 研究内容： 一般概念：如果一个四边形中，两组邻边分别相等，我们称这样的四边形为“筝形”．如图1，四边形中，，则四边形为“筝形”． 特例研究：根据筝形的定义，对“直角筝形”研究如下： 定义：如图2，筝形中，，若，则称四边形为直角筝形． 性质：根据定义，探索图2中直角筝形的性质，得到如下 结论： 关于内角：直角筝形中，与互补． 理由如下：连接对角线． ∵中，， ∴， …… 关于对角线：…… 任务： (1)补全材料中关于直角筝形内角性质的说理过程； (2)小颖在图2的基础上连接对角线，交于点，得到图3，发现如下结论：①平分与；②垂直平分．请你用三角形的有关知识帮她说明结论①②成立的理由； (3)在图3中，以为对角线构造直角筝形，使它的顶点在射线上．若，则的度数为_________． 6．（25-26八年级上·江苏徐州·期末）如图，的平分线与的垂直平分线交于点D，，，垂足分别是E，F． (1)求证：； (2)若在中，，，求BE的长． 考点03 画轴对称图形 一、解答题 1．（24-25八年级上·河北唐山·期末）如图，将平移得到，使点坐标为． (1)在图中画出， (2)直接写出点，点的坐标， (3)作出关于y轴对称的（点A、B、C的对应点分别为点、、）． 2．（24-25八年级上·山西晋中期末）图形设计：请将网格中的两个小方格涂黑，使它与已涂黑的小方格组成轴对称图形，并且有两条对称轴．（要求用两种不同的方法） 3．（24-25八年级上·江苏扬州期末）如图，平面直角坐标系中，每个小正方形边长都是1． (1)画出关于y轴对称的图形； (2)将点A先向上平移3个单位，再向右平移8个单位得到点的坐标为______； (3)若Q为x轴上一点，连接，则求出当周长的最小时Q点坐标． 4．（24-25八年级上·吉林·期末）在的正方形网格图中，有和，三角形的顶点都在格点上，且和关于某直线成轴对称，请在下面给出的图中画出3个这样的． 5．（24-25八年级上·广东深圳·期末）如图，在正方形网格中，，，，为网格中的格点．仅用无刻度的直尺在给定网格中利用格点连线画图，画图结果用实线表示，按步骤完成下列问题： (1)请画出关于直线的对称图形； (2)请作出的中线； (3)在直线上找出一点，使得． 考点04 坐标的对称变换 一、单选题 1．（24-25八年级上·山西吕梁·期末）如图，小敏将等腰直角三角板放置于直角坐标系中，直角顶点C与x轴上表示的点重合，点B坐标为，则点A关于y轴的对称点的坐标为（   ） A． B． C． D． 2．（24-25八年级上·江苏徐州·期末）已知点和点关于x轴对称，则的值为（） A．0 B． C．1 D． 3．（24-25八年级上·浙江台州·期末）点与点关于（   ）对称 A．x轴 B．y轴 C．原点 D．直线x=5 二、填空题 4．（24-25八年级上·浙江杭州·期末）如图，四盏灯笼，，，的坐标分别是，，，，要使四盏灯笼组成的图形关于轴对称，只需把灯笼向右平移 个单位． 三、解答题 5．（24-25八年级上·陕西咸阳·期末）如图，在平面直角坐标系中，的三个顶点坐标为，，．在图中作出△ABC关于轴对称的图形，点，，的对应点分别为点，，，并写出点的坐标． 考点05等腰三角形的性质和判定 一、单选题 1．（24-25八年级上·山西临汾·期末）若等腰三角形的一个外角为，则其底角度数为（    ） A． B． C．或 D． 二、填空题 2．（24-25八年级上·江苏苏州·期末）如图，在，，，以点为圆心，的长为半径画弧，交于点，连接．那么的度数是 ． 3．（24-25八年级上·浙江台州·期末）如图，中，，，E为垂足，点D在上，且，若，，则的长为 ． 三、解答题 4．（24-25八年级上·山西临汾·期末）如图，在中，，，是的平分线． (1)尺规作图：过点D作的垂线，垂足为E．（保留作图痕迹，不写作法） (2)判断与的数量关系，并说明理由． 5．（24-25八年级上·山西晋中·期末）如图，在四边形中， (1)尺规作图：作的角平分线，交于点，并作线段的垂直平分线分别交、于点、，连接和．（不写作法，保留作图痕迹） (2)若所作图中，求的度数． 6．（24-25八年级上·北京朝阳·期末）如图，在中，，点关于直线的对称点为，分别连接、，点关于直线的对称点为，连接交于点，连接，连接并延长，交于点． (1)根据题意补全图形； (2)求证：． 7．（24-25八年级上·江苏南通·期末）如图，锐角中，点E是边上一点，，于点D，与交于点G． (1)求证为等腰三角形； (2)若，G为中点，求的长． 8．（24-25八年级上·陕西咸阳·期末）如图，在等腰三角形中，是的高线，边的垂直平分线分别交于点，连接． (1)若，求的长度； (2)求的度数． 考点06等边三角形的性质和判定 一、单选题 1．（24-25八年级上·江苏·期末）如图，在中，，，于点，是的中点，若，则的长为（    ） A．2.5 B．5 C．7.5 D．10 2．（24-25八年级上·江苏南通·期末）如图，过边长为6的等边的边上一点P，作于E，Q为延长线上一点，当时，连交边于D，则的长为（　　） A．2 B．3 C．4 D．6 二、填空题 3．（24-25八年级上·浙江温州·期末）如图，在中，，为上的一点，，在的右侧作，使得，，连接、，交于点，若，则的度数为 ． 三、解答题 4．（24-25八年级上·山西晋中·期末）综合与实践 已知是等边三角形，过点A 作． (1)如图1说明：是的平分线． (2)如图2，当点D在线段上（不与点A，B重合）时，连接，以为边在上方作等边，连接，求证：． (3)如图3，当点D在的延长线上时，连接，以为边在右边作等边，连接，作关于直线对称的图形，连接，已知，求的长． 5．（24-25八年级上·浙江·期末）如图，是等边三角形，延长至点D，延长至点E，使，连结的延长线交于点F． (1)求证：； (2)求的度数 6．（24-25八年级上·山东济宁·期末）如图，是边长为的等边三角形，点分别从顶点同时出发，点沿射线运动，点沿折线运动，且它们的速度都为，当点到达点时，点随之停止运动，连接，设点的运动时间为． (1)当点在线段上运动时，的长为______（cm），的长为______（cm）（用含的式子表示）． (2)当与的一条边垂直时，求的值． (3)当点从点运动到点的过程中，连接，直接写出中点经过的路径长． 7．（24-25八年级上·河南信阳·期末）如图，点O是内一点，D是外的一点，，，，，连接． (1)求证：是等边三角形； (2)当时，试判断的形状，并说明理由； (3)探究：当为多少度时，是等腰三角形． 8．（24-25八年级上·广东佛山·期末）如图，等边中，，垂足为点． (1)尺规作图：在右侧作，且使． (2)连接、，试说明和的位置关系，并证明． 考点07 30°的直角三角形性质 一、填空题 1．（24-25八年级上·北京朝阳·期末）如图，中，，，于，若，则 . 二、解答题 2．（23-24八年级上·黑龙江哈尔滨·期末）综合与探究：如图，已知，中，，点D为边上一点，连接，将沿直线折叠，得到，作平分交于F． 【尝试发现】 （1）①若，则 ； ②若，则 ； ③若，则 （用含的式子表示）； 【简单应用】 （2）如图1，若，，求证：； 【拓展延伸】 （3）如图2，若，过点F作的垂线交延长线于点G，在延长线上取点H，使，，试探究，，三条线段之间的数量关系并证明． 3．（24-25八年级上·山东威海·期末）如图，在中，，是边上任意一点，过点分别向，引垂线，垂足分别为，． (1)当点在的什么位置时，？并说明理由； (2)在（1）的条件下，若，，求的长． 4．（24-25八年级上·江西宜春·期末）如图，是等边三角形，，是的角平分线，与相交于点，点在线段上，点在边上，且，连接，． (1)______，______； (2)判断和的数量关系，并说明理由； (3)求证：； (4)如图，若点是射线上任意一点，点在射线上，其它条件不变，当为等腰三角形时，直接写出的度数． 5．（24-25八年级上·河南信阳·期末）如图，，平分，，，． (1)求证：； (2)求的长． 考点08 最短路径问题 一、单选题 1．（24-25八年级上·陕西咸阳·期末）如图，是等腰三角形，是的高线，且．点，分别是上任意一点，连接，则的最小值为（    ） A．12 B．10 C． D． 二、填空题 2．（24-25八年级上·山西晋中·期末）如图，等腰三角形的底边长为6．面积是24，腰的垂直平分线分别交、于点E、F．若点D为底边的中点，点M为线段上一动点．则的周长的最小值为 ． 3．（24-25八年级上·陕西咸阳·期末）如图，在等腰中，，垂直平分，为的中点，E为上一动点．若，等腰的面积为8，则的最小值为 ． 4．（24-25八年级上·江苏扬州·期末）如图，，点、分别在射线、上，，的面积为24，是直线上的动点，点关于对称的点为，点关于对称点为，当点在直线上运动时，的面积最小值为 ． 5．（22-23八年级上·吉林长春·期末）如图，在△ABC中，BA＝BC，BD平分∠ABC，交AC于点D，点M，N分别为BD，BC上的动点，若BC＝4，△ABC的面积为6，则CM+MN的最小值为 ． 6．（24-25八年级上·江苏镇江·期末）如图，在中，，，，，是的平分线，若，分别是和上的动点，则的最小值为 ． 一、单选题（每小题3分，共30分） 1．下列各学校的校徽图案是轴对称图形的是（    ） A． B． C． D． 2．等腰三角形的一个内角是，则它的顶角的度数为（    ） A．或 B． C． D．或 3．如图，在中，，，分别以顶点A，B为圆心，大于的长为半径作弧，两弧交于点M，N，作直线，交于点D，连接．若，，则的长为（   ） A．8 B．10 C．12 D．14 4．如图，在中，，于，点关于直线的对称点是点，若，则的度数为（   ） A． B． C． D． 5．如图，已知，按照以下步骤作图： ①以点为圆心，以适当的长为半径作弧，分别交的两边于、两点，连接； ②分别以点、为圆心，以大于线段的长为半径作弧，两弧在内交于点，连接、； ③连接交于点． 下列结论中错误的是（    ） A． B． C． D．垂直平分线段 6．如图，已知，点D是的平分线上的一个定点，点分别在射线和射线上，且，下列结论：①是等边三角形；②当时，的周长最小；③当时，，其中正确的个数是（    ） A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 7．如图，在中，，，平分，点是上的一点，连接，若，则的度数为（    ） A． B． C． D． 8．如图，等边三角形的边长为4，是边上的中线，是边上的动点，是边上一点．若，当取得最小值时，则的度数为（ ） A． B． C． D． 9．如图，在等边中，，D为延长线上一点，于点C，且，连接，则的面积为（    ）． A．7 B．8 C．9 D．10 10．如图，在四边形中，，，，点E在上，连接，相交于点F，．若，则的长为（   ） A．4.5 B．5.5 C．6 D．4.3 二、填空题（每小题3分，共15分） 11．点关于y轴对称的点的坐标是 ． 12．如图，中，，是边上的中线，点为边上一点，连接，，若，则的大小为 度． 13．如图，已知是内一点，，连接，，，且，求的度数为 度． 14．如图，是等边三角形，在中，，，连接交于点，则的度数为 ． 15．如图，在和中，，，，，则的度数为 ． 三、解答题（共8小题，共75分） 16．（8分）如图，在平面直角坐标系中，的顶点均在正方形网格的格点上，且点、、的坐标分别为，，． (1)在图中画出关于轴对称的，点，，的对应点分别是，，； (2)在（1）的条件下，分别写出点，，的坐标． 17．（8分）如图，在中，，点F在上，点D在的延长线上，，，且平分． (1)求证：是等边三角形． (2)若，，求的周长． 18．（8分）已知的三边长分别为a，b，c． (1)若a，b，c满足，试判断的形状； (2)若是等腰三角形，，，且c为奇数，求c的值． 19．（9分）如图，在中，分别垂直平分和，交于两点，与相交于点． (1)若的周长为，求的长； (2)若，求的度数． 20．（8分）如图，已知，，，为上一点，且到两点的距离相等． (1)用直尺和圆规作出点D的位置（不写作法，保留作图痕迹）； (2)连接，若，求的度数． 21．(9分)阅读与思考：请阅读下面材料完成相应任务． 关于三角形边角之间关系的探究 问题情境：我们知道，在三角形中，如果有两个角相等，那么它们所对的边也相等，即“等角对等边”那么，在三角形中，有两个角不相等，这两个角所对的边有什么数量关系呢？同学们借助等腰三角形判定定理的探究与证明过程，进行了如下探索． 回顾梳理：已知：在中，． 求证：． 证明：如图1，过点作于点．． 在和中， ， ． （依据1） 解后反思：上述过程中，辅助线的作用是将分成两个三角形，通过证明这两个三角形全等，得到，体现了转化的思想方法． 深入探究：如图2，在中，如果，那么与的大小关系如何？ 直观猜想：． 操作验证：折叠，使点与点重合． 因为，所以折叠后一条边落在的内部，与边交于点，从而发现了证明的思路． 推理论证：， 在内部作一个，的边与边交于点． （依据2）． 在中，， …… 拓广探究：如图3，在中，如果．那么与的大小关系如何？…… 任务： (1)①上述推理过程中依据1是指________；依据2是指________； ②请补全“深入探究”中推理论证的过程； (2)请写出“拓广探究”中问题的结论，并证明你的结论． 22．（13分）综合与实践 数学课上，老师让同学们准备等腰三角形纸片进行操作活动，探究有关线段之间的关系．已知：在中，． (1)如图1，若，点在直线上，，则与的数量关系为_______，与的数量关系为_______． (2)如图2，若，点在直线上，，则线段，和的数量关系为_______． (3)如图3，若，，，是中点，点在线段上以的速度由点到点运动，同时点在线段上由点到点运动，它们运动的时间为，当点的运动速度为多少时，能使与以、、三点为顶点所构成的三角形全等． 23．(12分))综合与探究 问题背景：在中，，点D为边上一点，连接． 问题初探：（1）如图1，当时，过点C作的垂线，并在垂线上截取，连接． 请直接写出：①与的数量关系为________． ②与的数量关系和位置关系是________． 拓展探究：（2）如图2，当，且时，截取，连接．那么（1）中与的数量关系是否仍然成立？若成立，请证明；若不成立，请说明理由． 问题解决：（3）在（2）的条件下，若，，，求的长． 典型考题解析 高频考点归纳 单元过关检测 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026人教版八年级数学上期末冲刺专题 专题05 轴对称（高频考点归纳+解析+单元检测）（解析版） 考点01 轴对称图形的识别 考点02 线段的垂直平分线 考点03 画轴对称图形 考点04 坐标的对称变换 考点05等腰三角形的性质和判定 考点06等边三角形的性质和判定 考点07 30°的直角三角形性质 考点08 最短路径问题 考点01 轴对称图形的识别 一、单选题 1．（24-25八年级上·山西晋中·期末）中国纹样万千世界，春节申遗成功后的首届春晚——2025年农历乙巳蛇年春晚，一个新纹样诞生，巳（sì）这里是甲骨文的（sì），进行重复旋转成以下几种纹样，寓意“巳巳如意，生生不息”．下面纹样中，不是轴对称的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了轴对称图形的识别．根据如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴进行分析即可． 【详解】解：A、图形能找到这样的一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以是轴对称图形，不符合题意； B、图形不能找到这样的一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以不是轴对称图形，符合题意； C、图形能找到这样的一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以是轴对称图形，不符合题意； D、图形能找到这样的一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以是轴对称图形，不符合题意； 故选：B． 2．（24-25八年级上·山西临汾·期末）下列交通标志图案中，是轴对称图形的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了轴对称图形，熟练掌握轴对称图形定义是解题的关键． 根据轴对称图形有对称轴，沿对称轴折叠后图形两部分可重合，即可选出正确选项． 【详解】、此图形没有对称轴，不是轴对称图形，故此选项错误． 、此图形没有对称轴，不是轴对称图形，故此选项错误． 、此图有对称轴，是轴对称图形，故此选项正确． 、此图形没有对称轴，不是轴对称图形，故此选项错误． 故选：C． 3．（24-25八年级上·山西运城·期末）下面四个图形分别是节能、节水、低碳生活和绿色食品标志．在这四个标志中，是轴对称图形的是（    ） A．节能 B．节水 C．低碳生活 D．绿色食品 【答案】D 【分析】本题考查了轴对称图形的概念，根据如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴进行分析即可． 【详解】解：A、选项中的图形不是轴对称图形，故不符合题意； B、选项中的图形不是轴对称图形，故不符合题意； C、选项中的图形不是轴对称图形，故不符合题意； D、选项中的图形是轴对称图形，故符合题意． 故选：D． 4．（24-25八年级上·山西晋中·期末）回形纹是一种古老的装饰纹样，因其形状像汉字的“回”字而得名，这种纹样在新石器时代的陶器、商周时期的青铜器、汉代的漆器以及明清时期的家具上都有广泛的应用．下面四幅含有回形纹元素的图案是轴对称图形的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】此题考查了轴对称图形，如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴，这时我们也可以说这个图形关于这条直线(成轴）对称，熟练掌握知识点是解题的关键． 【详解】、不是轴对称图形，该选项不合题意； 、不是轴对称图形，该选项不合题意； 、是轴对称图形，该选项符合题意； 、不是轴对称图形，该选项不合题意； 故选：． 5．（24-25八年级上·山西晋中·期末）山西的许多地方有剪纸贴窗花的传统民间习俗，剪纸的图案内容都取材于生活，来源于生活，丰富多彩，不拘一格．下列剪纸作品中，不是轴对称图形的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了轴对称图形的知识，如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形就叫做轴对称图形，熟练掌握轴对称图形的概念，是解题的关键． 【详解】解：A、沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，是轴对称图形，故不符合题意； B、沿一条直线折叠，直线两旁的部分不能够互相重合，不是轴对称图形，故符合题意； C、沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，是轴对称图形，故不符合题意； D、沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，是轴对称图形，故不符合题意； 故选：B． 6．（24-25八年级上·山西晋中·期末）下列大学的校徽图案是轴对称图形的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了轴对称图形的概念，轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合． 如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴，根据轴对称图形的概念对各选项分析判断即可得解． 【详解】解：A、不是轴对称图形，故本选项错误； B、是轴对称图形，故本选项正确； C、不是轴对称图形，故本选项错误； D、不是轴对称图形，故本选项错误． 故选：B． 7．（24-25八年级上·山西太原·期末）消防安全标志是由安全色、边框、图像为主要特征的图形符号或文字构成的标志，用以提醒人们预防危险，或者指示人们采取正确、有效、得力的措施，对危害加以遏制，下列消防安全标志中，文字上方的图案是轴对称图形的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了轴对称图形的识别，掌握轴对称图形的特征是解题的关键．根据图形沿着某条直线折叠，能够完全重合，即为轴对称图形，对选项逐一判断即可． 【详解】解：A. 文字上方的图案不是轴对称图形，故选项不符合题意； B. 文字上方的图案是轴对称图形，故选项符合题意； C. 文字上方的图案不是轴对称图形，故选项不符合题意； D.文字上方的图案不是轴对称图形，故选项不符合题意； 故选：B． 8．（24-25八年级上·山西晋城·期末）当前，人工智能新技术不断突破、新业态持续涌现、新应用加快拓展，已经成为新一轮科技革命和产业变革的重要驱动理念．下列软件图标除文字和背景外是轴对称图形的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了轴对称图形的识别，轴对称图形是关于某条直线折叠后，两边重合的图形．根据轴对称图形的概念求解即可得到答案．熟记轴对称图形的定义是解决问题的关键． 【详解】解：A、选项中的图形不是轴对称图形，不符合题意； B、如图所示： 选项中的图形是轴对称图形，符合题意； C、选项中的图形不是轴对称图形，不符合题意； D、选项中的图形不是轴对称图形，不符合题意； 故选：B． 考点02 线段的垂直平分线 一、单选题 1．（24-25八年级上·江苏徐州·期末）如图，在中，，垂直平分，平分，，则的长为（　　） A．5 B．6 C．10 D．12 【答案】C 【分析】本题考查角平分线的性质，中垂线的性质，根据角平分线的性质，中垂线的性质，得到，再根据线段的和差关系进行计算即可． 【详解】解：∵，垂直平分，平分， ∴， ∴， ∴； 故选C． 二、填空题 2．（24-25八年级上·山西运城·期末）如图，在中，，按以下步骤作图：分别以点和点为圆心，大于一半的长为半径作圆弧，两弧相交于点和点．作直线交于点，连接．若，，则的周长为 ． 【答案】 【分析】本题考查线段的垂直平分线的性质，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题． 根据题意可得直线是线段的垂直平分线，从而得出，，结合题意可得的周长． 【详解】解：∵分别以点和点为圆心，以大于一半的长为半径画弧，两弧相交于点和，作直线．直线交于点，连接， ∴直线是线段的垂直平分线， ∴， ∴， ∵，， ∴的周长． 故答案为：． 3．（24-25八年级上·陕西咸阳·期末）如图，在中，点在上，连接，过点作交于点，．的周长为5，则的周长是 ． 【答案】7 【分析】本题考查中垂线的性质．熟练掌握线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等，是解题的关键． 由题意可知，是线段的线段垂直平分线，进而得到，由的周长得出，结合图形求解即可． 【详解】解：∵，， ∴是线段的垂直平分线， ∴， ∵的周长为5， ∴， ∴的周长， 故答案为：7． 三、解答题 4．（24-25八年级上·山西运城·期末）已知：如图，．    (1)请用直尺和圆规，按以下要求作图（保留作图痕迹）． 作法：①作的角平分线交于点D； ②作线段的垂直平分线分别交于点E，交于点F，交于点O； (2)判断的数量关系，并说明理由． 【答案】(1)见解析 (2)，理由见解析 【分析】本题考查了作图——复杂作图．熟练掌握角平分线的性质，线段垂直平分线的性质，是解题的关键． （1）直接利用角平分线的作法以及结合线段垂直平分线的画法得出答案； （2）利用角平分线性质，线段垂直平分线的性质，结合全等三角形的判定与性质得出答案． 【详解】（1）解：如图射线，直线即为所求．    （2）解：， 理由如下：∵平分， ∴． ∵垂直平分， ∴于点O． ． 在和中， ， ∴． ∴． 5．（24-25八年级上·山西太原·期末）阅读与思考： 下面是智慧小组一次研究性学习报告的部分内容，请认真阅读并完成相应的任务． 关于“筝形”的研究报告研究对象：筝形 研究思路：类比三角形，从定义及已有基本事实、结论出发，从组成要素及相关要素之间关系的角度研究筝形的性质． 研究方法：观察（测量、操作）——猜想——推理 研究内容： 一般概念：如果一个四边形中，两组邻边分别相等，我们称这样的四边形为“筝形”．如图1，四边形中，，则四边形为“筝形”． 特例研究：根据筝形的定义，对“直角筝形”研究如下： 定义：如图2，筝形中，，若，则称四边形为直角筝形． 性质：根据定义，探索图2中直角筝形的性质，得到如下 结论： 关于内角：直角筝形中，与互补． 理由如下：连接对角线． ∵中，， ∴， …… 关于对角线：…… 任务： (1)补全材料中关于直角筝形内角性质的说理过程； (2)小颖在图2的基础上连接对角线，交于点，得到图3，发现如下结论：①平分与；②垂直平分．请你用三角形的有关知识帮她说明结论①②成立的理由； (3)在图3中，以为对角线构造直角筝形，使它的顶点在射线上．若，则的度数为_________． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3)或 【分析】本题主要考查了三角形内角和定理，全等三角形的性质与判定，角平分线的定义，正确理解题意是解题的关键． （1）同理可得，则可得到，即，据此可证明结论； （2）证明，得到，则平分与；再证明，可得，，则垂直平分； （3）当点E在延长线上时，连接交于T，由题意得，同理可证明，，则可求出，据此可得答案；当当点E在上时，则． 【详解】（1）解：理由如下：连接对角线． 中，， ， ∵在中，， ∴， ∴， ∴，即与互补； （2）解：在和中， ， ∴， ∴， ∴平分与； 在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴垂直平分； （3）解：如图所示，当点E在延长线上时，连接交于T， ∵四边形是直角筝形， ∴， 同理可证明，， ∴， ∴． 如图所示，当点E在上时，则； 综上所述，或。 6．（25-26八年级上·江苏徐州·期末）如图，的平分线与的垂直平分线交于点D，，，垂足分别是E，F． (1)求证：； (2)若在中，，，求BE的长． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】本题考查了全等三角形的性质与判定，熟练掌握全等三角形的性质与判定是解题的关键． （1）连接，,根据的平分线与的垂直平分线交于点D，得到和，进而得到和是全等三角形，根据全等三角形的性质，证得即可； （2）由题意证得和是全等三角形，根据全等三角形的性质，证得，进而证得，计算求解的值即可． 【详解】（1）证明：如图，连接，, 点D在的垂直平分线上 ，，平分 ， 在和中， ； （2）解：在和中， ． 答：BE的长为． 考点03 画轴对称图形 一、解答题 1．（24-25八年级上·河北唐山·期末）如图，将平移得到，使点坐标为． (1)在图中画出， (2)直接写出点，点的坐标， (3)作出关于y轴对称的（点A、B、C的对应点分别为点、、）． 【答案】(1)见解析 (2)；； (3)见解析 【分析】本题主要考查了坐标与图形变化平移，轴对称变换，坐标与图形， （1）根据平移的要求分别确定点的位置，即可得到三角形； （2）根据（1）的图形即可得到点的坐标； （3）根据网格结构找出点A、B、C关于y轴对应点、、的位置，然后顺次连接即可． 【详解】（1）解：如图，即为所求作的三角形； （2）解：由图可知点的坐标为，点的坐标为； （3）解：如图所示，即为所求． 2．（24-25八年级上·山西晋中期末）图形设计：请将网格中的两个小方格涂黑，使它与已涂黑的小方格组成轴对称图形，并且有两条对称轴．（要求用两种不同的方法） 【答案】见解析 【分析】本题考查轴对称图形，掌握轴对称图形的定义和性质是解决问题的关键．利用轴对称图形的定义和性质解答即可． 【详解】解：如图所示： （答案不唯一） 3．（24-25八年级上·江苏扬州期末）如图，平面直角坐标系中，每个小正方形边长都是1． (1)画出关于y轴对称的图形； (2)将点A先向上平移3个单位，再向右平移8个单位得到点的坐标为______； (3)若Q为x轴上一点，连接，则求出当周长的最小时Q点坐标． 【答案】(1)见解析 (2) (3) 【分析】本题主要考查了利用轴对称变换以及平移变换作图以及勾股定理的运用，凡是涉及最短距离的问题，一般要考虑线段的性质定理，结合轴对称变换来解决，多数情况要作点关于某直线的对称点． （1）根据轴对称的性质，即可得到关于轴对称的图形； （2）依据平移的方向和距离，即可得到点的坐标； （3）作点关于轴的对称点，连接交轴于，则此时的值最小， 由于的值是定值，所以此时周长的最小，再求出直线的函数关系式，最后求出其与x轴交点坐标即可． 【详解】（1）如图，即为所求； （2）将点先向上平移3个单位，再向右平移8个单位得到点的坐标为； 故答案为：； （3）如图，作点关于轴的对称点，连接交轴于，此时的值最小， 由于的值是定值，所以此时周长的最小， 设直线的函数关系式为：，将代入得： ，解得：， 所以直线的函数关系式为：， 令,得，解得， 所以Q点坐标为． 4．（24-25八年级上·吉林·期末）在的正方形网格图中，有和，三角形的顶点都在格点上，且和关于某直线成轴对称，请在下面给出的图中画出3个这样的． 【答案】见解析 【分析】本题主要考查了画轴对称图形．根据轴对称图形的性质解答即可． 【详解】解：如图，即为所求． 5．（24-25八年级上·广东深圳·期末）如图，在正方形网格中，，，，为网格中的格点．仅用无刻度的直尺在给定网格中利用格点连线画图，画图结果用实线表示，按步骤完成下列问题： (1)请画出关于直线的对称图形； (2)请作出的中线； (3)在直线上找出一点，使得． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3)见解析 【分析】本题考查作图轴对称变换，解题的关键是熟知轴对称变换的性质． （1）利用轴对称变换的性质分别作出，，的对应点，，，然后顺次连接即可； （2）根据三角形中线的定义画出图形； （3）根据对顶角和轴对称的性质，连接交直线于点，连接即可． 【详解】（1）解：如图，即为所求； （2）解：如图，线段即为所求； （3）解：如图，点即为所求． 考点04 坐标的对称变换 一、单选题 1．（24-25八年级上·山西吕梁·期末）如图，小敏将等腰直角三角板放置于直角坐标系中，直角顶点C与x轴上表示的点重合，点B坐标为，则点A关于y轴的对称点的坐标为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查全等三角形的判定及性质，图形与坐标，关于轴对称点的性质，过点，点分别作，垂直于轴，先证明，得点的坐标，在根据关于轴对称点的坐标特点为纵坐标不变，横坐标互为相反数解答即可． 【详解】解：过点，点分别作，垂直于轴， ∵点C与x轴上表示的点重合，点B坐标为， ∴，，，即：， 由题意可知，， ∴， 则， ∴， ∴， ∴，，则， ∴点的坐标为， ∴点A关于y轴的对称点的坐标为， 故选：B． 2．（24-25八年级上·江苏徐州·期末）已知点和点关于x轴对称，则的值为（） A．0 B． C．1 D． 【答案】B 【分析】本题考查轴对称的定义，熟练掌握轴对称的定义是解题的关键． 利用关于轴对称的点坐标特征：横坐标相等，纵坐标互为相反数，列出方程求解和，再计算的值即可． 【详解】解：点和点关于x轴对称 则横坐标相等，即， 解得， 纵坐标互为相反数，即， 解得， 因此， 故选：B． 3．（24-25八年级上·浙江台州·期末）点与点关于（   ）对称 A．x轴 B．y轴 C．原点 D．直线x=5 【答案】B 【分析】本题考查了坐标与图形变化－轴对称，根据两点纵坐标相等，横坐标相等，即可得出两点关于y轴对称． 【详解】解：点与点关于y轴对称， 故选B 二、填空题 4．（24-25八年级上·浙江杭州·期末）如图，四盏灯笼，，，的坐标分别是，，，，要使四盏灯笼组成的图形关于轴对称，只需把灯笼向右平移 个单位． 【答案】7 【分析】本题主要考查关于y轴对称的点的坐标、坐标与图形变化平移，熟练掌握以上知识点是解题的关键． 根据题意得到灯A和灯C关于y轴对称，求出点A关于y轴对称的点的坐标为，进而求解即可． 【详解】解：根据题意可得灯和灯关于y轴对称， ∴灯A和灯C关于y轴对称， ∵， ∴点A关于y轴对称的点的坐标为 ∴ ∴要使四盏灯笼组成的图形关于轴对称，只需把灯笼向右平移7个单位长度． 故答案为：7． 三、解答题 5．（24-25八年级上·陕西咸阳·期末）如图，在平面直角坐标系中，的三个顶点坐标为，，．在图中作出△ABC关于轴对称的图形，点，，的对应点分别为点，，，并写出点的坐标． 【答案】图见解析，点的坐标为 【分析】本题考查了作图﹣轴对称变换，解答本题的关键是熟练掌握轴对称的性质．分别作出点，，关于轴对称的点，，，然后顺次连接，并写出的坐标． 【详解】解：如图，即为所求， 由作图可知，点的坐标为． 考点05等腰三角形的性质和判定 一、单选题 1．（24-25八年级上·山西临汾·期末）若等腰三角形的一个外角为，则其底角度数为（    ） A． B． C．或 D． 【答案】C 【分析】本题考查了外角，等腰三角形的知识，熟练掌握以上知识是解题的关键． 等腰三角形的一个外角为，需分情况讨论该外角对应的是顶角还是底角的外角，进而求出底角的度数． 【详解】解：当顶角的外角为时， ∴顶角为， ∴等腰三角形两底角之和为：， ∵等腰三角形两底角相等， ∴等腰三角形的底角度数为； 当底角的外角为， ∴等腰三角形的底角为：； 综上，底角可能为或， 故选：C． 二、填空题 2．（24-25八年级上·江苏苏州·期末）如图，在，，，以点为圆心，的长为半径画弧，交于点，连接．那么的度数是 ． 【答案】 【分析】本题考查了等边对等角，求出，由题意得：，推出即可求解． 【详解】解：∵，， ∴； 由题意得：， ∴， ∴， 故答案为：． 3．（24-25八年级上·浙江台州·期末）如图，中，，，E为垂足，点D在上，且，若，，则的长为 ． 【答案】5 【分析】本题主要考查了等腰三角形的性质，全等三角形的性质，过A作于H， 由等腰三角形三线合一的性质先证明，由全等三角形的性质得出，结合已知条件以及线段的和差关系得出，进一步即可得出答案． 【详解】解：过A作于H， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴ 故答案为：5． 三、解答题 4．（24-25八年级上·山西临汾·期末）如图，在中，，，是的平分线． (1)尺规作图：过点D作的垂线，垂足为E．（保留作图痕迹，不写作法） (2)判断与的数量关系，并说明理由． 【答案】(1)见解析 (2)，理由见解析 【分析】本题考查了尺规作图，等腰三角形的判定和性质，三角形内角和定理． （1）利用尺规作图过点D作出的垂线，垂足为E即可； （2）利用角平分线的定义结合三角形内角和定理求得，推出，再利用等腰三角形的性质即可得到． 【详解】（1）解：所作图形如图所示： ； （2）解：，理由如下： ∵，， ∴， ∵是的平分线， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴． 5．（24-25八年级上·山西晋中·期末）如图，在四边形中， (1)尺规作图：作的角平分线，交于点，并作线段的垂直平分线分别交、于点、，连接和．（不写作法，保留作图痕迹） (2)若所作图中，求的度数． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查了角平分线和线段垂直平分线的尺规作图、等腰三角形的性质、线段垂直平分线的性质、平行线的判定和性质等知识，熟练掌握常见的基本作图和相关图形的性质定理是解题的关键； （1）根据角平分线和线段垂直平分线的尺规作图方法解答即可； （2）根据角平分线的定义、线段垂直平分线的性质结合等腰三角形的性质可得，进而可得，再进一步计算即可． 【详解】（1）解：如图所示： （2）解：∵平分， ∴， ∵垂直平分， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴． 6．（24-25八年级上·北京朝阳·期末）如图，在中，，点关于直线的对称点为，分别连接、，点关于直线的对称点为，连接交于点，连接，连接并延长，交于点． (1)根据题意补全图形； (2)求证：． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题考查了轴对称的性质、全等三角形的判定与性质、等腰三角形的判定与性质，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． （1）根据题意补全图形即可； （2）由轴对称的性质可得，，，，，从而得出，证明，得出，再证明，即可得证． 【详解】（1）解：补全图形如图所示： （2）证明：∵点关于直线的对称点为，点关于直线的对称点为， ∴，，，，， ∴， ∵， ∴， 在与中， ， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． 7．（24-25八年级上·江苏南通·期末）如图，锐角中，点E是边上一点，，于点D，与交于点G． (1)求证为等腰三角形； (2)若，G为中点，求的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查了等腰三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，熟练掌握等腰三角形三线合一的性质是关键． （1）利用等角的余角相等和对顶角相等可得，继而证明为等腰三角形即可； （2）作，垂足为点H，证明，结合等腰三角形三线合一的性质可得，继而得到长． 【详解】（1）证明：∵于点D， ∴和都是直角三角形， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴为等腰三角形； （2）解：如图，作，垂足为点H， ∵G为中点， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∵， ∴． 8．（24-25八年级上·陕西咸阳·期末）如图，在等腰三角形中，是的高线，边的垂直平分线分别交于点，连接． (1)若，求的长度； (2)求的度数． 【答案】(1)3 (2) 【分析】本题考查了等腰三角形的性质，线段的垂直平分线的性质，熟练掌握等腰三角形的性质，线段的垂直平分线的性质是解题的关键． （1）根据三线合一得到垂直平分，则，再由是边的垂直平分线得到，即可得到； （2）根据三线合一得到，而，再由等边对等角即可求解． 【详解】（1）解：∵，是的高线， ∴， ∴垂直平分， ∴ ∵是边的垂直平分线 ∴， ∴； （2）解：∵是的高线， ∴ ∵， ∴． 考点06等边三角形的性质和判定 一、单选题 1．（24-25八年级上·江苏·期末）如图，在中，，，于点，是的中点，若，则的长为（    ） A．2.5 B．5 C．7.5 D．10 【答案】D 【分析】本题考查了三角形内角和定理、直角三角形斜边的中线的性质、等边三角形的判定与性质、含有角的直角三角形的性质，熟练掌握以上知识点是解题的关键． 先根据三角形内角和定理可得，由直角三角形斜边的中线性质定理可得，利用等边三角形的性质及含有角的直角三角形的性质进行计算，可得答案． 【详解】解：∵， ∴， ∵E是的中点， ∴， ∴为等边三角形， ∵， ∴， ∴， 故选：D． 2．（24-25八年级上·江苏南通·期末）如图，过边长为6的等边的边上一点P，作于E，Q为延长线上一点，当时，连交边于D，则的长为（　　） A．2 B．3 C．4 D．6 【答案】B 【分析】本题考查了平行线的性质、等边三角形的性质、全等三角形的判定和性质；能够正确的构建出等边三角形是解答此题的关键．过P作的平行线，交于M；则也是等边三角形，在等边中，是上的高，根据等边三角形三线合一的性质知；易证得，则；此时发现的长正好是的一半，由此得解． 【详解】解：过P作，交于M； 是等边三角形， ∴， ∵， ∴， ∴， 是等边三角形， ∴， 又， ， ； 又， ∴， 在和中， ； ； 故选：B． 二、填空题 3．（24-25八年级上·浙江温州·期末）如图，在中，，为上的一点，，在的右侧作，使得，，连接、，交于点，若，则的度数为 ． 【答案】/95度 【分析】此题主要考查了全等三角形的判定和性质，等边三角形的判定和性质． 先证明，进而可依据“”判定和全等，则，再根据得，则，进而得，由此可判定是等边三角形，则，从而得是等边三角形，则，再求出即可得出的度数． 【详解】解：， ， ， 在和中， ， ， ， ， ， ， ， ， 是等边三角形， ， ， 是等边三角形， ， ， ， ． 故答案为：． 三、解答题 4．（24-25八年级上·山西晋中·期末）综合与实践 已知是等边三角形，过点A 作． (1)如图1说明：是的平分线． (2)如图2，当点D在线段上（不与点A，B重合）时，连接，以为边在上方作等边，连接，求证：． (3)如图3，当点D在的延长线上时，连接，以为边在右边作等边，连接，作关于直线对称的图形，连接，已知，求的长． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3) 【分析】（1）根据等边三角形的性质得出，根据平行线的性质得出，证明即可得出结论； （2）证出，根据全等三角形的性质可得，由此即可得证； （3）先证出，根据全等三角形的性质可得，，再证出，根据全等三角形的性质可得，然后根据求解即可得． 【详解】（1）证明：是等边三角形， ， ∵， ， 是的平分线； （2）证明：∵和是等边三角形， ∴，， ∴，即， 在和中， ， ∴， ∴， ， ． （3）解：由（2）同理可证：， ，． 与关于直线对称，是等边三角形， ，是等边三角形， ∴， ∴，即， 在和中， ， ∴， ． ， ∴设，则， ∴， 又∵， ∴， 解得， ∴， 所以的长为． 【点睛】本题考查了等边三角形的性质、平行线的性质、三角形全等的判定与性质、轴对称的性质，熟练掌握等边三角形的性质是解题关键． 5．（24-25八年级上·浙江·期末）如图，是等边三角形，延长至点D，延长至点E，使，连结的延长线交于点F． (1)求证：； (2)求的度数 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】本题考查等边三角形的性质，全等三角形的判定与性质． （1）先证明，可得，再进一步证明即可； （2）由等边三角形的性质可得，结合，可得，再进一步解答即可． 【详解】（1）证明：∵ 是等边三角形， ∴， ∴， ∵， ∴ （2）解：∵ 是等边三角形， ∴， ∵， ∴， ∴． 6．（24-25八年级上·山东济宁·期末）如图，是边长为的等边三角形，点分别从顶点同时出发，点沿射线运动，点沿折线运动，且它们的速度都为，当点到达点时，点随之停止运动，连接，设点的运动时间为． (1)当点在线段上运动时，的长为______（cm），的长为______（cm）（用含的式子表示）． (2)当与的一条边垂直时，求的值． (3)当点从点运动到点的过程中，连接，直接写出中点经过的路径长． 【答案】(1)；； (2)或或； (3)6cm． 【分析】（1）结合题意“点沿射线运动，点沿折线运动，且它们的速度都为1”，即可获得答案； （2）分三种情形讨论：当时，当时和当时，分别求解即可； （3）设与交于点，过点作，交于点，证明，由全等三角形的性质可得，即与中点重合，易知中点的运动轨迹在边上，且点经过的路径长为边的一半，即可获得答案． 【详解】（1）解：根据题意，当点在线段上运动时， ，． 故答案为：；； （2）解：∵是边长为的等边三角形， ，， 如图1中，当时，                   图1 ∵，， ∴， ∴， ∴， 解得； 如图2中，当时， ∵，， ∴， ∴， ∴， 解得； 如图3中，当时， ∵，， ∴， ∴， ∴， 解得． 综上所述，或或； （3）解：根据题意，当点从点运动到点的过程中， ， 如下图，设与交于点，过点作，交于点， 则，，， ∴为等边三角形， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，即与中点重合， ∴中点的运动轨迹在边上， 当与点重合时，与点重合，此时中点位于中点， 当与点重合时，此时， ∴， ∴，即此时中点与点重合， ∴中点经过的路径长． 【点睛】本题主要考查了等边三角形的判定与性质、列代数式、一元一次方程的应用、含30度角的直角三角形的性质、全等三角形的判定与性质等知识，理解题意，运用分类讨论的思想思考问题是解题关键． 7．（24-25八年级上·河南信阳·期末）如图，点O是内一点，D是外的一点，，，，，连接． (1)求证：是等边三角形； (2)当时，试判断的形状，并说明理由； (3)探究：当为多少度时，是等腰三角形． 【答案】(1)见解析 (2)是直角三角形，理由见解析 (3)当等于或或时，是等腰三角形 【分析】本题考查了全等三角形的性质、等边三角形的判定、等腰三角形的判定，熟练掌握以上知识点是解题的关键． （1）根据全等三角形的性质和等边三角形的判定即可证明； （2）根据全等三角形的性质推出，计算，进而解题； （3）分三种情况讨论，利用等腰三角形的判定方法解题即可． 【详解】（1）证明：∵≌， ∴， ∵， ∴是等边三角形； （2）解：是直角三角形，理由如下： ∵是等边三角形，∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴是直角三角形； （3）解：由题意得：，， ∴； ①若，则，即， ∴； ②若，则，即， ∴； ③若，则，即， ∴； 综上，当等于或或时，是等腰三角形． 8．（24-25八年级上·广东佛山·期末）如图，等边中，，垂足为点． (1)尺规作图：在右侧作，且使． (2)连接、，试说明和的位置关系，并证明． 【答案】(1)见解析 (2)，见解析 【分析】（1）先在的右侧作，再以点为圆心，的长为半径画弧，交射线于点，则即为所求． （2）由等边三角形的性质可得，则，进而可得为等边三角形，垂直平分，，则，，可得，，即，则可得． 本题考查作图复杂作图、等边三角形的性质，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题． 【详解】（1）解：如图，先在的右侧作，再以点为圆心，的长为半径画弧，交射线于点， 则即为所求． （2）解：． 证明：设与相交于点， 为等边三角形， ， ， ， ， ， ， 即． ， 为等边三角形， 垂直平分，， ，， ， ， ， ． 考点07 30°的直角三角形性质 一、填空题 1．（24-25八年级上·北京朝阳·期末）如图，中，，，于，若，则 . 【答案】 【分析】本题考查了直角三角形的性质，垂直定义，根据直角三角形的性质可得和的度数，再根据在直角三角形中，角所对的直角边等于斜边的一半可得和的长，进而可得答案，掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】解：∵， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 故答案为：． 二、解答题 2．（23-24八年级上·黑龙江哈尔滨·期末）综合与探究：如图，已知，中，，点D为边上一点，连接，将沿直线折叠，得到，作平分交于F． 【尝试发现】 （1）①若，则 ； ②若，则 ； ③若，则 （用含的式子表示）； 【简单应用】 （2）如图1，若，，求证：； 【拓展延伸】 （3）如图2，若，过点F作的垂线交延长线于点G，在延长线上取点H，使，，试探究，，三条线段之间的数量关系并证明． 【答案】（1）①；②；③；（2）证明过程见详解；（3），理由见解析 【分析】（1）根据折叠的性质得出与全等，进而理由全等三角形的性质解答即可 （2）证明是等腰直角三角形，利用含角的直角三角形的选择解答即可； （3）证明是等边三角形，证明与全等，进而利用全等三角形的性质和含角的直角三角形的性质解答即可， 【详解】解：①将沿直线折叠，得到， ， ，，，， 平分， ， ， ， ， ，， ， ， ， ； ②， ， 解得：； ③， ； 故答案为：①；②；③； （2）∵， ∴， ∴， ∴是等腰直角三角形， 则， ∵， ∴ ∴， ∴ 在中，， ∴； （3）． 理由如下： ∵， ∴，， ∴是等边三角形， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， 作于点， ∴， 设，，则，，， ∴， ∴， ∴， 设，，则，，， 在中，， ∴， ∴， ∴，即． 【点睛】此题是几何变换综合题，考查全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形的性质和判定，含角的直角三角形的性质，关键是利用参数构建方程解决问题． 3．（24-25八年级上·山东威海·期末）如图，在中，，是边上任意一点，过点分别向，引垂线，垂足分别为，． (1)当点在的什么位置时，？并说明理由； (2)在（1）的条件下，若，，求的长． 【答案】(1)当点在的中点上时，，理由见解析 (2)24 【分析】本题主要考查了等腰三角形的性质，角平分线的性质，直角三角形的性质． 根据等腰三角形三线合一与角平分线上的点到角两边的距离相等说明即可； 两次利用直角三角形中角所对的直角边等于斜边的一半即可求得． 【详解】（1）解：当点在的中点上时，． 理由：连接． ∵为中点，， 为的平分线， ，， ． （2）解:，，为中点， ，， ， ， ， ， ， ， ， ． 4．（24-25八年级上·江西宜春·期末）如图，是等边三角形，，是的角平分线，与相交于点，点在线段上，点在边上，且，连接，． (1)______，______； (2)判断和的数量关系，并说明理由； (3)求证：； (4)如图，若点是射线上任意一点，点在射线上，其它条件不变，当为等腰三角形时，直接写出的度数． 【答案】(1)， (2)，理由见解析 (3)见解析 (4)的度数为或 【分析】（1）由等边三角形的性质可得，，，由四边形的内角和定理即可求解； （2）根据题意可证，得到，由含角的直角三角形的性质即可求解； （3）根据题意可证，由此即可求解； （4）根据题意，分类讨论：如图所示，当点在线段上时，，是等腰三角形；如图所示，当点在射线上时，，是等腰三角形；结合上述证明，运用角度的和差计算即可求解． 【详解】（1）解：∵是等边三角形，是角平分线， ∴，，，， ∴， 在四边形中，， 故答案为：，； （2）解：∵是等边三角形，是角平分线， ∴， ∴， ∴， 在中，， ∴， ∴； （3）解：由（2）可得，，， 又∵， ∴，即， 在和中， ， ∴， ∴； （4）解：如图所示，当点在线段上时，，是等腰三角形， ∴， 由（3）的证明可得，， ∵， ∴， ∴， ∴； 如图所示，当点在射线上时，，是等腰三角形， ∴， ∵， ∴， ∴， 由（2）的证明可得， ∴， ∴； 综上所述，的度数为或． 【点睛】本题主要考查等边三角形的性质，全等三角形的判定和性质，含角的直角三角形的性质，三角形内角和定理的运用，三角形外角的性质，等腰三角形的定义和性质等知识的综合，掌握等边三角形的性质，全等三角形的判定和性质是解题的关键． 5．（24-25八年级上·河南信阳·期末）如图，，平分，，，． (1)求证：； (2)求的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题重点考查了平行线的性质、角平分线的定义及含的直角三角形的性质等知识，解题的关键是： （1）根据，可得；根据平分，可得，于是得到，由同一三角形中等角对等边可得 （2）证出是直角三角形，利用直角三角形的性质即可求出的长． 【详解】（1）证明：， 平分， ； （2）解：，， ， 即， ， 又， 是直角三角形， 又， 考点08 最短路径问题 一、单选题 1．（24-25八年级上·陕西咸阳·期末）如图，是等腰三角形，是的高线，且．点，分别是上任意一点，连接，则的最小值为（    ） A．12 B．10 C． D． 【答案】C 【分析】利用等腰三角形的对称性，将转化为，则，根据垂线段最短，当时，取得最小值，即的长度，再通过三角形面积公式求出．本题主要考查了等腰三角形的性质以及垂线段最短，熟练掌握等腰三角形三线合一和利用面积法求线段长度是解题的关键． 【详解】解：连接、， ∵ ，， ∴ 是的垂直平分线， ∴ ， ∴ ． 根据垂线段最短，当、、三点共线，且时，取得最小值，即的长度． ∵ ， ，，， ∴ ， 解得． ∴ 的最小值为． 故选：C． 二、填空题 2．（24-25八年级上·山西晋中·期末）如图，等腰三角形的底边长为6．面积是24，腰的垂直平分线分别交、于点E、F．若点D为底边的中点，点M为线段上一动点．则的周长的最小值为 ． 【答案】 【分析】本题考查的是轴对称-最短路线问题，熟知等腰三角形三线合一的性质是解答此题的关键．如图，连接，由垂直平分线得到，推出的长为的最小值即可解答． 【详解】解：如图，连接，， ∵是等腰三角形，点D为底边的中点， ∴， ∴， ∴， ∵是线段的垂直平分线， ∴， ∴， ∴的长为的最小值， ∴的周长的最小值为． 故答案为：11． 3．（24-25八年级上·陕西咸阳·期末）如图，在等腰中，，垂直平分，为的中点，E为上一动点．若，等腰的面积为8，则的最小值为 ． 【答案】4 【分析】连接，交于点，连接，利用垂直平分线的性质得到，再利用两点之间线段最短得到的和的最小值为的长，根据的面积计算出高，从而得出的最小值． 【详解】解：如图，连接，交于点，连接， ∵直线垂直平分， ∴ ， ∵两点之间线段最短， ∴的最小值为线段， ∵等腰中,点为的中点，，， ∴，， ∴， 即：，解得， ∴， 故答案为：4． 【点睛】本题主要考查了线段垂直平分线的性质、等腰三角形的性质、两点之间线段最短，熟练掌握线段垂直平分线的性质、等腰三角形的性质、两点之间线段最短是解题的关键． 4．（24-25八年级上·江苏扬州·期末）如图，，点、分别在射线、上，，的面积为24，是直线上的动点，点关于对称的点为，点关于对称点为，当点在直线上运动时，的面积最小值为 ． 【答案】18 【分析】本题主要考查了根据轴对称求线段和最小，等腰三角三角形的性质和判定， 连接，作，根据三角形的面积求出，再根据对称性可得，从而得出，然后根据三角形的面积公式得，可知当点P与点H重合时，取最小值，的面积最小，由此可得答案． 【详解】解：连接，过点O作，交的延长线于点H， ∵， ∴， ∵点P关于的对称点是，点P关于的对称点是， ∴． ∵， ∴， ∴. 根据垂线段最短可知，当点P与点H重合时，取最小值，即， ∴的面积最小值为． 故答案为：18． 5．（22-23八年级上·吉林长春·期末）如图，在△ABC中，BA＝BC，BD平分∠ABC，交AC于点D，点M，N分别为BD，BC上的动点，若BC＝4，△ABC的面积为6，则CM+MN的最小值为 ． 【答案】 【分析】本题重点考查了等腰三角形的性质定理，等腰三角形顶角平分线、底边上的中线、底边上的高互相重合，简称“三线合一”，角平分线的性质定理，线段的垂直平分线的性质定理，线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等，正确画辅助线，同时熟练掌握等腰三角形、垂直平分线的性质定理是解题的关键． 先作辅助线，连接，过点作于点，利用等腰三角形的性质得到垂直平分，根据线段的垂直平分线的性质定理得到，再利用垂线段最短原理得到最小值即为的值，通过三角形的面积公式计算得到的值，完成求解． 【详解】解：连接，过点作于点，如图， ∵，平分， ∴且平分， ∴是线段的垂直平分线，则， ∴， 根据“垂线段最短”得， 即当点在线段上时，为最小，最小值为线段的长， ∵的面积为，， ∴， ∴，即的最小值为． 故答案为：． 6．（24-25八年级上·江苏镇江·期末）如图，在中，，，，，是的平分线，若，分别是和上的动点，则的最小值为 ． 【答案】 【分析】本题考查利用轴对称求最短距离，能够利用轴对称将线段和的最小值转化为线段长求解是关键．在上截取，连接，，可证，根据全等三角形的性质可知点和点关于对称，再根据轴对称的性质及最短路径结合面积法即可得出答案． 【详解】解：如图，在上截取，连接，， 是的平分线， 在与中 点和点关于对称，连接，与交于点，连接，此时， 是动点， 也是动点，当与垂直时，最小，即最小． 此时，由面积法得． 故答案为：． 一、单选题（每小题3分，共30分） 1．下列各学校的校徽图案是轴对称图形的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了轴对称图形的识别，找出对称轴是关键． 轴对称图形，是指在平面内沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够完全重合的图形，这条直线就叫做对称轴，结合图形，找出对称轴即可． 【详解】解：A、没有对称轴不是轴对称图形，不符合题意； B、有对称轴是轴对称图形，符合题意； C、没有对称轴不是轴对称图形，不符合题意； D、没有对称轴不是轴对称图形，不符合题意； 故选：B ． 2．等腰三角形的一个内角是，则它的顶角的度数为（    ） A．或 B． C． D．或 【答案】A 【分析】本题考查了等腰三角形的性质，三角形内角和定理，解题的关键是熟练掌握等腰三角形两底角相等． 由于等腰三角形的一个内角为，但未明确是顶角还是底角，因此需要分两种情况讨论：若是顶角，则顶角为；若是底角，再由三角形内角和定理求解顶角度数即可． 【详解】解：∵等腰三角形的一个内角为， ∴ 分两种情况： ① 若为顶角，则顶角度数为； ② 若为底角，则另一个底角也为， ∴ 顶角度数为：， ∴ 顶角为或， 故选：A． 3．如图，在中，，，分别以顶点A，B为圆心，大于的长为半径作弧，两弧交于点M，N，作直线，交于点D，连接．若，，则的长为（   ） A．8 B．10 C．12 D．14 【答案】B 【分析】本题主要考查了作图-基本作图，线段垂直平分线的判定与性质以及角所对的直角边等于斜边一半，直接利用线段垂直平分线的判定与性质得出的长，再利用角所对直角边等于斜边一半得出答案． 【详解】解：由题意可得：直线垂直平分线段， 则， ∵，， ∴． 故选：B． 4．如图，在中，，于，点关于直线的对称点是点，若，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了直角三角形的性质，轴对称的性质，由直角三角形两锐角互余可得，进而由轴对称的性质可得，最后根据角的和差关系即可求解，掌握轴对称的性质是解题的关键． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴， ∵点关于直线的对称点是点， ∴， ∴， ∴， 故选：． 5．如图，已知，按照以下步骤作图： ①以点为圆心，以适当的长为半径作弧，分别交的两边于、两点，连接； ②分别以点、为圆心，以大于线段的长为半径作弧，两弧在内交于点，连接、； ③连接交于点． 下列结论中错误的是（    ） A． B． C． D．垂直平分线段 【答案】C 【分析】本题考查了基本作图-作已知角的角平分线，线段垂直平分线的判定，熟练掌握基本作图的步骤是解题的关键．利用基本作图可知，为的平分线，从而得出；由，得出垂直平分，从而得出；根据已知条件不能判断． 【详解】解：由作图步骤可得：是的角平分线，则， 根据作图可知：，， ∴点O、E在的垂直平分线上， ∴垂直平分， ∴， 没有条件能得出，故C错误，符合题意． 故选：C． 6．如图，已知，点D是的平分线上的一个定点，点分别在射线和射线上，且，下列结论：①是等边三角形；②当时，的周长最小；③当时，，其中正确的个数是（    ） A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 【答案】D 【分析】本题考查了角平分线的定义，角平分线的性质定理，等边三角形的判定和性质，掌握以上知识，数形结合分析是关键． 过点作于点，作于点，根据角平分线的定义，角平分线的性质定理得到，可判定①；根据点到直线垂线段最短可判定②；根据等边三角形的性质，平行线的性质可判定③；由此即可求解． 【详解】解：如图所示，过点作于点，作于点， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵点D是的平分线上的一个定点，， ∴， ∴， ∴，且， ∴是等边三角形，故①正确； 根据点到直线垂线段最短可知当时，的值最小， ∵是等边三角形， ∴的周长为，此时周长最小，故②正确； 当时， ∵， ∴， ∵是等边三角形， ∴，，即点重合， ∴，故③正确； 综上所述，正确的有①②③，共3个， 故选：D ． 7．如图，在中，，，平分，点是上的一点，连接，若，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了三角形内角和定理，角平分线的定义，等边对等角，三角形外角的性质． 根据三角形内角和得到，根据平分得到，根据等边对等角得到，根据三角形外角的性质即可求出的度数． 【详解】解：∵，， ∴， ∵平分， ∴， ∵， ∴， ∴． 故选：D． 8．如图，等边三角形的边长为4，是边上的中线，是边上的动点，是边上一点．若，当取得最小值时，则的度数为（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了等边三角形的性质、轴对称的性质及线段最短问题，熟练掌握等边三角形的对称性与线段最短模型的应用是解题的关键． 利用等边三角形的对称性，将转化为与相关的线段，结合“两点之间线段最短”确定取最小值的位置，再通过等边三角形的性质推导的度数． 【详解】解：由题意可知，当点、、共线，且时，取得最小值， 过点B作交于点F，连接， ∵等边三角形的边长为4， ∴， ∴， ∴， ∵是边上的中线， ∴， ∵， ∴， 故选：C． 9．如图，在等边中，，D为延长线上一点，于点C，且，连接，则的面积为（    ）． A．7 B．8 C．9 D．10 【答案】C 【分析】本题考查了等边三角形的性质，30度角的直角三角形的性质；过作于，由30度角的直角三角形的性质，再根据三角形面积公式求解即可． 【详解】解：如图，过作于， ∵等边中，， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴． 故选：C． 10．如图，在四边形中，，，，点E在上，连接，相交于点F，．若，则的长为（   ） A．4.5 B．5.5 C．6 D．4.3 【答案】C 【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质，等边三角形的判定和性质，平行线的性质，熟练掌握这些判定和性质是解题的关键．连接，先证明，根据全等三角形的性质可得，根据平行线的性质可得，进一步可得，可得，根据，，可知是等边三角形，从而可知是等边三角形，可知，根据求解即可． 【详解】解：连接， ∵，，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴是等边三角形， ∴， ∵， ∴， ∴是等边三角形， ∴， ∴， 故选：C． 二、填空题（每小题3分，共15分） 11．点关于y轴对称的点的坐标是 ． 【答案】 【分析】本题考查了关于x、y轴对称的点的坐标特征，解题的关键是掌握关于y轴对称的点，纵坐标不变，横坐标互为相反数．根据关于y轴对称的点的坐标特征解答即可． 【详解】解：点关于 y 轴对称点的坐标是． 故答案为： 12．如图，中，，是边上的中线，点为边上一点，连接，，若，则的大小为 度． 【答案】 【分析】本题考查了等腰三角形的性质，直角三角形的性质，解题的关键是熟练掌握等腰三角形的性质． 先根据等腰三角形的性质得到，，再由直角三角形锐角互余求出，再根据等边对等角即可求解． 【详解】解：∵，是边上的中线， ∴， ∴， ∵， ∴， 故答案为：． 13．如图，已知是内一点，，连接，，，且，求的度数为 度． 【答案】80 【分析】本题主要考查了等边对等角，三角形内角和定理，根据等边对等角得到，则可求出，再由三角形内角和定理可推出． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ， ∴， 故答案为：． 14．如图，是等边三角形，在中，，，连接交于点，则的度数为 ． 【答案】 【分析】此题主要考查了等边三角形的性质，等腰三角形的性质，熟练掌握等边三角形的性质，等腰三角形的性质，三角形内角和定理是解决问题的关键．根据等边三角形的性质得，，再根据得，由此得，再求出，由三角形内角和定理得，然后在△中，再由三角形内角和定理即可得出的度数． 【详解】解：是等边三角形， ，， ， ， ， ， ， 在中，， ， ， 在中， 即的度数为． 故答案为：． 15．如图，在和中，，，，，则的度数为 ． 【答案】/9度 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定与性质，等腰三角形的性质，三角形的内角和定理等知识，利用全等三角形的对应角相等是解题的关键．如图，延长交于点，先由等腰三角形的性质和三角形的内角和定理得：，证明△△，则，由8字形可得，最后由三角形外角的性质可得答案． 【详解】解：如图，延长交于点， ，， ， ， 同理得：， ， ， 即， ，， △△， ， ， ， △中，， ． 故答案为：． 三、解答题（共8小题，共75分） 16．（8分）如图，在平面直角坐标系中，的顶点均在正方形网格的格点上，且点、、的坐标分别为，，． (1)在图中画出关于轴对称的，点，，的对应点分别是，，； (2)在（1）的条件下，分别写出点，，的坐标． 【答案】(1)图见解析 (2)，， 【分析】本题考查平面直角坐标系中点的轴对称变换，掌握“关于轴对称的点，纵坐标不变，横坐标互为相反数”是解题关键． （1）分别作出点，，关于 y 轴的对称点，，，顺次连接，，，得到的即为所求； （2）根据（1）中的图，写出坐标即可． 【详解】（1）解：如图，即为所求； （2）由图可知，，，． 17．（8分）如图，在中，，点F在上，点D在的延长线上，，，且平分． (1)求证：是等边三角形． (2)若，，求的周长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查了等边三角形的判定与性质，平行线的性质，角平分线的定义，解题的关键是熟练掌握等边三角形的判定与性质． （1）根据角平分线定义结合平行线的性质得到，再由等边三角形的判定即可证明； （2）先求出，即可求出的周长． 【详解】（1）证明：∵，平分， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴是等边三角形； （2）解：∵，， ∴， ∵是等边三角形， ∴的周长为． 18．（8分）已知的三边长分别为a，b，c． (1)若a，b，c满足，试判断的形状； (2)若是等腰三角形，，，且c为奇数，求c的值． 【答案】(1)是等边三角形 (2) 【分析】本题考查的是等边三角形的判定与性质，三角形的三边关系，非负数的性质，熟知以上知识是解题的关键． （1）直接根据，得出，整理得，进行判断即可； （2）根据三角形的三边关系得出的取值范围，再由为奇数得出的值，进而可得出结论． 【详解】（1）解：， ，， ， 是等边三角形； （2）解：的三边长分别为a，b，c，，， ，即． 为奇数， ． 19．（9分）如图，在中，分别垂直平分和，交于两点，与相交于点． (1)若的周长为，求的长； (2)若，求的度数． 【答案】(1) (2) 【分析】此题考查了线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等的性质，等边对等角的性质，三角形的内角和定理，解题的关键是熟练掌握以上知识的应用及整体思想的应用． （1）根据线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等可得，，然后求出的周长，据此可得答案； （2）根据三角形的内角和定理列式求出，根据等边对等角可得，，再计算即可得解． 【详解】（1）解：∵、分别垂直平分和， ∴，， ∴的周长， ∵的周长为， ∴； （2）解：∵， ∴， ∵，， ∴，， ∴， ∴． 20．（8分）如图，已知，，，为上一点，且到两点的距离相等． (1)用直尺和圆规作出点D的位置（不写作法，保留作图痕迹）； (2)连接，若，求的度数． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）作线段的垂直平分线交于点，则点即为所求； （2）先根据线段垂直平分数线性质和等腰三角形的性质得出的度数，再由直角三角形的性质求出的度数，进而可得出结论． 【详解】（1）解：如图，点即为所求 （2）解：如图，连接， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴． 【点睛】本题考查了作线段的垂直平分线，线段垂直平分线的性质，等边对等角，直角三角形的两锐角互余，掌握基本作图是解题的关键． 21．(9分)阅读与思考：请阅读下面材料完成相应任务． 关于三角形边角之间关系的探究 问题情境：我们知道，在三角形中，如果有两个角相等，那么它们所对的边也相等，即“等角对等边”那么，在三角形中，有两个角不相等，这两个角所对的边有什么数量关系呢？同学们借助等腰三角形判定定理的探究与证明过程，进行了如下探索． 回顾梳理：已知：在中，． 求证：． 证明：如图1，过点作于点．． 在和中， ， ． （依据1） 解后反思：上述过程中，辅助线的作用是将分成两个三角形，通过证明这两个三角形全等，得到，体现了转化的思想方法． 深入探究：如图2，在中，如果，那么与的大小关系如何？ 直观猜想：． 操作验证：折叠，使点与点重合． 因为，所以折叠后一条边落在的内部，与边交于点，从而发现了证明的思路． 推理论证：， 在内部作一个，的边与边交于点． （依据2）． 在中，， …… 拓广探究：如图3，在中，如果．那么与的大小关系如何？…… 任务： (1)①上述推理过程中依据1是指________；依据2是指________； ②请补全“深入探究”中推理论证的过程； (2)请写出“拓广探究”中问题的结论，并证明你的结论． 【答案】(1)①全等三角形的对应边相等；等角对等边．②推理过程见解析 (2)，证明见解析 【分析】本题主要考查了全等三角形的性质、等边对等角、三角形外角的性质等知识点，熟练掌握三角形外角的性质是解题的关键． （1）①根据全等三角形的性质以及等角对等边即可解答；②根据等量代换以及线段和差即可解答； （2）如图：在边上截取，则点在边上，在内部，连接，根据等边对等角可得，再由外角大于不相邻内角可得，由，从而证明结论． 【详解】（1）解：①∵． （全等三角形的对应边相等）； ∵在内部作一个，的边与边交于点． （等角对等边）． 故答案为：全等三角形的对应边相等，等角对等边． ②在中，， ，即． （2）解：，理由如下： ， 如图：在边上截取，则点在边上，在内部 是的一个外角， ， 又在内， ． 22．（13分）综合与实践 数学课上，老师让同学们准备等腰三角形纸片进行操作活动，探究有关线段之间的关系．已知：在中，． (1)如图1，若，点在直线上，，则与的数量关系为_______，与的数量关系为_______． (2)如图2，若，点在直线上，，则线段，和的数量关系为_______． (3)如图3，若，，，是中点，点在线段上以的速度由点到点运动，同时点在线段上由点到点运动，它们运动的时间为，当点的运动速度为多少时，能使与以、、三点为顶点所构成的三角形全等． 【答案】(1) (2)，理由见详解 (3)或 【分析】本题主要考查了全等三角形的性质与判定，三角形内角和定理，熟知全等三角形的性质与判定定理是解题的关键． （1）利用平角的定义和三角形内角和定理得，再利用证明，得； （2）同（1）可证明，得，可得答案； （3）过点作于，可证明，得到；再分和两种情况，利用全等三角形的性质讨论求解即可． 【详解】（1）解：∵， ， 又 ∵， ， ． （2）解：，理由如下： 同（1）可证， ， ． （3）解：如图所示，过点作于， ， 又 ∵， ， ∵是中点， ， 当时，则， ， ； 当时，则， ， ， ； 综上所述，点的运动速度为或． 23．(12分))综合与探究 问题背景：在中，，点D为边上一点，连接． 问题初探：（1）如图1，当时，过点C作的垂线，并在垂线上截取，连接． 请直接写出：①与的数量关系为________． ②与的数量关系和位置关系是________． 拓展探究：（2）如图2，当，且时，截取，连接．那么（1）中与的数量关系是否仍然成立？若成立，请证明；若不成立，请说明理由． 问题解决：（3）在（2）的条件下，若，，，求的长． 【答案】（1）①（或互补）②，（或互相垂直且相等）（2）成立．证明见解析；（3）8 【分析】本题主要考查全等三角形的性质与判定及等边三角形的性质与判定，熟练掌握全等三角形的性质与判定及等边三角形的性质与判定是解题的关键； （1）由题意易得，然后根据全等三角形的性质可进行求解①②； （2）由题意易得，则有，然后可得，进而问题可求解； （3）由题意易得，则有是等边三角形，由（2）得，，然后问题可求解． 【详解】解：（1）∵，， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴，即， ∴； 故答案为①（或互补）；②，（或互相垂直且相等）； （2）成立．证明如下： ， ． ， ． ． 在和中， ， ． ． 又， ． （3），， ． 是等边三角形． ． 由（2）得，， ． ． 典型考题解析 单元过关检测 高频考点归纳 学科网（北京）股份有限公司 $