专题05 与轴对称有关的五大题型专项练习 2025-2026学年人教版八年级上册数学重难点培优专题【题型分类+知识梳理+能力提升】

人教版八上 重难点题型突破 培优专题 专题05 与轴对称有关的五大题型目录 A · 重难点题型分类 题型1：网格和坐标系中的轴对称……………………………………………… 1 题型2：轴对称中的规律性问题………………………………………………… 17 题型3：轴对称中的最值问题（最短路径问题）……………………………… 21 题型4：轴对称中的实际问题…………………………………………………… 32 题型5：轴对称综合题…………………………………………………………… 37 B · 能力提升 ………………………………………………………………………… 43 知识梳理 1、两个图形成轴对称的性质：如果两个图形关于某条直线对称，那么对称轴是任何一对对应点所连线段的垂直平分线． 2、轴对称图形的性质：轴对称图形的对称轴是任何一对对应点所连线段的垂直平分线． 3、轴对称图形（或关于某条直线对称的两个图形）的对应线段（对折后重合的线段）相等，对应角（对折后重合的角）相等． 4、成轴对称的两个图形全等；轴对称图形被对称轴分成的两部分也全等，但全等的两个图形不一定是轴对称图形． 5、关于坐标轴对称的点的坐标的特点：点(x，y)关于x轴对称的点的坐标为(x，-y)； 点(x，y)关于y轴对称的点的坐标为(-x，y). 重难点题型分类 【题型1：网格和坐标系中的轴对称】 【例1】如图，是一个 3×4 的网格（由 12 个小正方形组成，虚线交点称之格点）图中有一个三角形，三个顶点都在格点上，在网格中可以画出（    ）个与此三角形关于某直线对称的格点三角形． A．6 B．7 C．8 D．9 【分析】先确定对称轴，再找到对称点进而可以找到符合题意的对称三角形即可． 【详解】解：如图，左右对称的有4个， 如图，上下对称的有1个， 如图，关于正方形的对角线对称的有2个， ∴一共有7个与原三角形关于某直线对称的格点三角形， 故选：B． 【点睛】本题考查了轴对称图形的性质，找到正确的对称轴，画出相应的对称三角形是解决本题的关键． 【变式1-1】如图4×5的方格纸中，在除阴影之外的方格中任意选择一个涂黑，与图中阴影部分构成轴对称图形的涂法有 种． 【分析】结合图形，根据轴对称图形的概念解答即可． 【详解】根据轴对称图形的概念可知，一共有四种涂法，如下图所示： 故答案为4． 【点睛】本题考查了轴对称图形的知识，识别轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合． 【变式1-2】如图，点都在格点上，请再找一个格点，使点组成一个轴对称图形，这样的格点有 个． 【分析】本题考查设计轴对称图形，根据轴对称的性质，画出符合题意的点，即可得出结果． 【详解】解：由题意，满足题意的点，如图所示： 满足题意的点，共有4个． 故答案为：4． 【例2】网格作图（保留画图痕迹）： (1)经过平移后得到，图中标出了点的对应点，画出； (2)是轴对称图形，请作出的对称轴； (3)连接，，则与的关系是______； (4)计算线段在平移到线段的过程中，扫过的区域的面积是______． 【分析】本题考查作图-轴对称变换、作图-平移变换，熟练掌握平移的性质、轴对称图形的性质是解答本题的关键． （1）根据平移的性质作图即可． （2）根据轴对称图形的性质作图即可． （3）根据平移的性质可得答案． （4）利用割补法求四边形的面积即可． 【详解】（1）解：如图，即为所求． （2）如图，直线l即为所求． （3）由平移得，与的关系是平行且相等． 故答案为：平行且相等． （4）线段在平移到线段的过程中，扫过的区域的面积是 故答案为：． 【变式2-1】如图，在一个边长为1的正方形网格上．把向右平移5个方格，再向上平移2个方格，得到（点分别对应点A，B，C）．（只能借助于网格） (1)请画出平移后的图形，并标明对应字母； (2)请画出关于直线l对称的，并标明对应字母； (3)试计算四边形的面积 ． 【分析】本题考查了作图－平移变换，作图－轴对称变换，正确地作出图形是解题的关键． （1）根据网格结构找出点、、平移后的对应点的位置，然后顺次连接即可； （2）根据轴对称的性质即可得到结论； （3）根据矩形和三角形的面积公式即可得到结论． 【详解】（1）解：如图，即为所求； （2）解：如图，即为所求； （3）解：如图， 四边形的面积． 故答案为： 14 ． 【变式2-2】 利用网格找角平分线 如图，在由边长为1个单位长度的小正方形组成的网格中，已知点A，B，C，P均为格点（网格线的交点），直线l与网格线重合． (1)将绕点P逆时针旋转，得到，画出； (2)画出关于直线对称的； (3)在正方形网格中描出一个格点M，使得平分． 【分析】本题考查作图一旋转变换、作图一轴对称变换、等腰三角形的性质，熟练掌握旋转的性质、轴对称的性质、等腰三角形的性质是解答本题的关键． （1）根据旋转的性质作图即可． （2）根据轴对称的性质作图即可． （3）结合等腰三角形的性质，在的延长线上取点，使，连接，取线段的中点，则点即为所求． 【详解】（1）解：如图，即为所求． （2）解：如图，即为所求． （3）解：如图，在的延长线上取点，使，连接，取线段的中点，则点即为所求． 【例3】在平面直角坐标系中，已知点与点关于轴对称，则的值为（   ） A． B．0 C．1 D．2024 【分析】本题主要考查了关于轴对称的点的坐标特征，熟练掌握关于轴对称的点的坐标特征是解题的关键． 根据关于轴对称的点纵坐标相等，横坐标互为相反数，求出、的值，再代入计算的值． 【详解】解：∵点与点关于轴对称， ∴，． ∴． ∴． 故选：C． 【变式3-1】在平面直角坐标系中，点和 （  ） A．关于直线对称 B．关于直线对称 C．关于x轴对称 D．关于y轴对称 【分析】本题考查关于坐标轴对称的点的坐标特征，解题的关键是掌握坐标轴对称的点的坐标特征． 根据关于轴对称的点横坐标相同，纵坐标互为相反数，进行求解即可． 【详解】解：点和的横坐标均为2，纵坐标分别为1和，互为相反数， 根据关于轴对称的点的坐标特征（横坐标相等，纵坐标互为相反数），可知两点关于轴对称． 故选：C． 【变式3-2】若点和点关于轴对称，则点在第 象限． 【分析】本题考查了关于轴对称的点的坐标，解决本题的关键是掌握关于y轴对称的点的坐标规律． 根据关于轴对称的点：纵坐标相同，横坐标互为相反数，可得C点坐标，再根据点所在象限可得答案． 【详解】解：由点和点关于轴对称，得： ，， 解得：，， ∴点在第四象限， 故答案为：四． 【例4】如图，在平面直角坐标系中，， ，平分点，关于x轴的对称点是（    ） A． B． C． D． 【分析】本题考查角平分线，全等三角形的判定和性质，关于x轴对称的点坐标的特征．作辅助线构造全等三角形是解题的关键． 过B点作轴于点，则，即，可求B点坐标，最后求出关于轴的对称点的坐标即可． 【详解】解：如图，过B点作轴于点，则， ∴， ∵平分， ∴， 又∵， ∴ ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴关于轴的对称点的坐标为， 故选：C． 【变式4-1】如图，小敏将等腰直角三角板放置于直角坐标系中，直角顶点C与x轴上表示的点重合，点B坐标为，则点A关于y轴的对称点的坐标为（   ） A． B． C． D． 【分析】本题考查全等三角形的判定及性质，图形与坐标，关于轴对称点的性质，过点，点分别作，垂直于轴，先证明，得点的坐标，在根据关于轴对称点的坐标特点为纵坐标不变，横坐标互为相反数解答即可． 【详解】解：过点，点分别作，垂直于轴， ∵点C与x轴上表示的点重合，点B坐标为， ∴，，，即：， 由题意可知，， ∴， 则， ∴， ∴， ∴，，则， ∴点的坐标为， ∴点A关于y轴的对称点的坐标为， 故选：B． 【变式4-2】剪纸是中国古代最古老的民间艺术之一，其中蕴含着图形的变换．如图是一张蕴含着轴对称变换的蝴螺剪纸，点A与点B对称，点C与点D对称，将其放置在直角坐标系中，点A，B，C的坐标分别为，，，则点D的坐标为 ． 【分析】本题考查坐标与图形变化—轴对称、坐标确定位置，熟练掌握轴对称的性质是解答本题的关键． 由题意得，该图形的对称轴为直线，则点D的横坐标为，点D的纵坐标为4，进而可得答案． 【详解】解：，， 该图形的对称轴为直线， ， 点D的横坐标为，点D的纵坐标为4， 点D的坐标为 故答案为：． 【例5】已知三角形三个顶点的坐标分别为． (1)在平面直角坐标系中画出这个三角形； (2)作出这个三角形关于轴的对称图形，并写出顶点坐标； (3)的面积是___________． 【分析】本题考查的是网格作图——轴对称变换及三角形的面积．熟知关于坐标轴对称的点的坐标特点是解答此题的关键． （1）在坐标系中找出，再顺次连接即可； （2）作出各点关于x轴的对称点，再顺次连接即可； （3）利用长方形的面积减去三个顶点上三角形的面积即可． 【详解】（1）解：首尾顺次连接O、A、B； （2）解：作出点A、B关于x轴的对称点，首尾顺次连接O、； （3）解：． 故答案为：． 【变式5-1】如图，在直角坐标系中，，，． (1)在图中作出关于轴对称的图形； (2)写出点、、的坐标； (3)求的面积． 【分析】本题考查了作轴对称图形，轴对称的性质，坐标与图形．熟练掌握作轴对称图形，轴对称的性质，坐标与图形是解题的关键． （1）利用轴对称的性质作图即可； （2）根据轴对称的性质作答即可； （3）利用割补法求解即可． 【详解】（1）解：如图，即为所求； （2）解：由题意得，，． （3）解：由题意知． ∴的面积为． 【变式5-2】如图，在平面直角坐标系中，的三个顶点的坐标分别是，，．    (1)请画出与关于y轴对称的，并写出点的坐标； (2)在（1）的条件下，画出与关于直线l对称的； (3)在（2）的条件下，若点在的内部，则点在中对应点的坐标是 ． 【分析】本题主要考查了坐标与图形变化—轴对称，熟知关于y轴对称的点横坐标互为相反数，纵坐标相同，关于直线对称的点横坐标相同，纵坐标的和为1的2倍是解题的关键． （1）根据关于y轴对称的点横坐标互为相反数，纵坐标相同找到A、B、C对应点的位置，然后顺次连接，再写出点的坐标即可； （2）根据关于直线对称的点横坐标相同，纵坐标的和为1的2倍找到对应点的位置，然后顺次连接点即可； （3）根据关于直线对称的点横坐标相同，纵坐标的和为1的2倍进行求解即可． 【详解】（1）解：如图所示即为所求， ∴点的坐标为； （2）解：如图所示，即为所求； （3）解：由题意得，与关于直线对称， ∴若点在的内部，则点在中对应点的坐标是， 故答案为：． 【变式5-3】如图，在平面直角坐标系中，的顶点，，均在小正方形网格的格点上． (1)画出关于轴的对称图形（点、、的对应点分别为、、），则（______）（______）（______）． (2)在第二象限内的格点上找点，连接，使得，并写出点的坐标． 【分析】本题主要考查轴对称图形的作法及等腰三角形的定义，理解题意，结合图形求解是解题关键． （1）根据题意，确定的位置，然后顺次连接即可； （2）根据网格及等腰直角三角形的性质作图即可． 【详解】（1）根据题意，确定的位置如图所示，然后顺次连接，即为所求； ，，， 故答案为：0，；3，；1，； （2）如图2， 取，连接， 为小正方形的对角线， ； 取，连接， 由图得，， ； 点的坐标为或． 【变式5-4】如图所示，在平面直角坐标系中，已知点，，，． (1)在图中画出四边形； (2)四边形是__________； A．平行四边形    B．菱形    C．矩形    D．正方形 (3)将（1）中四个点的纵坐标保持不变，横坐标分别乘，将所得的四个点用线段依次连接起来，那么这个图案与原图案有怎样的位置关系？ (4)已知点为轴上一点，若的面积为6，直接写出的坐标． 【分析】本题主要考查坐标系中描点，坐标变换，解题的关键是熟练掌握坐标系中点的坐标特点． （1）根据点，，，在坐标系中描点，然后再连线即可； （2）根据平行四边形的判定定理求解即可； （3）根据题意得出四个点的对应点，然后再顺次连接，进而求解即可； （4）设点的坐标为，则，根据的面积为6，列出关于m的方程，解方程即可． 【详解】（1）如图所示，四边形即为所求； （2）∵， ∴四边形是平行四边形 故答案为：A； （3）如图所示，四边形即为所求； ∴这个图案与原图案关于轴对称； （4）设点的坐标为，则， ∵的面积为6 ， 即， 解得：或， 点的坐标为或． 【题型2：轴对称中的规律性问题】 【例1】如图，在平面直角坐标系中，依次作点关于直线的对称点，关于轴的对称点，关于轴的对称点，关于直线的对称点，关于轴的对称点，关于轴的对称点…按照上述变换规律继续作下去，则点的坐标为（   ） A． B． C． D． 【分析】本题主要考查了坐标与图形变化对称、点的坐标变化规律及关于坐标轴对称的点的坐标，根据题意，依次求出点，，，，的坐标，发现规律即可解决问题．能根据题意得出从点开始，变换后的点的坐标按，，，，，循环是解题的关键． 【详解】解：如图， 因为点的坐标为， 所以点关于直线对称的点的坐标为， 依次类推，点的坐标为， 点的坐标为， 点的坐标为， 点的坐标为， 点的坐标为， 点的坐标为， ， 由此可见，从点开始，变换后的点的坐标按，，，，，循环，即6个一循环， 因为， 所以点的坐标为． 故选：D． 【变式1-1】已知为平面直角坐标系内的一动点，点关于坐标轴作循环往复的轴对称变换，根据表中数据，可知横线处的坐标为（   ） 变换次数 点的坐标 _____ A． B． C． D． 【分析】本题考查了轴对称的性质，点的坐标变换规律，读懂题目信息，观察出每四次轴对称变换为一个循环组，依次循环是解题的关键． 观察图形可知每四次轴对称变换为一个循环组，，，，依次循环，用除以，然后根据商和余数的情况确定出第次变换的坐标． 【详解】解：∵第次变换点的坐标， 第次变换点的坐标， 第次变换点的坐标， 第次变换点的坐标， 第次变换点的坐标， ， ∴每四次轴对称变换为一个循环组，，，，依次循环， ∵， ∴第次变换点的坐标与第次变换点的坐标相同， ∴第次变换点的坐标为， 故选：． 【变式1-2】如图，在平面直角坐标系中，已知等边三角形的顶点，，规定把等边三角形“先沿轴翻折，再向左平移个单位长度”为一次变换，这样经过次变换后，的顶点的坐标为 ． 【分析】本题考查了翻折变换，坐标与图形变化，平移和轴对称变换，以及等边三角形的性质的运用，根据第一次变换，第二次变换，第三次变换；；从而根据规律第次变换，横坐标为；当为奇数时，纵坐标为；当为偶数时，纵坐标为，可得第次变换的坐标，掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】解：∵是等边三角形， ∴点到轴的距离为， ∵横坐标为， ∴， ∴第一次变换，即； 第二次变换，即； 第三次变换，即； ； 则第次变换，横坐标为；当为奇数时，纵坐标为；当为偶数时，纵坐标为， ∴第次变换为，即， 故答案为：． 【变式1-3】在平面直角坐标系中，已知点，点在第一象限内，，将先关于轴对称得到，将关于轴对称得到，将关于轴对称得到，将关于轴对称得到，……，则按照这样的规律继续对称下去，第2025次对称后，点的坐标为 ． 【分析】本题主要考查关于轴、轴对称的点的坐标，先求出点的坐标，再求出，，，，，，进而得出答案，找到规律是解题的关键． 【详解】解：∵点，点在第一象限内，，， ∴点的坐标为， ∵将关于轴对称得到，将关于轴对称得到，将关于轴对称得到，， ∴，，，，，， ∵， ∴的坐标与的坐标一样， ∴的坐标为， 故答案为：． 【题型3：轴对称中的最值问题（最短路径问题）】 【例1】如图，等边中，点D，E分别是边的中点，点是AD上的一个动点，当最小时，的度数是（   ） A． B． C． D． 【分析】本题主要考查了轴对称——最短路线问题，等边三角形的性质，熟知两点之间线段最短的知识是解答此题的关键． 连接，则的长度即为与和的最小值，再利用等边三角形的性质可得，即可解决问题． 【详解】解：等边中，点，分别是、的中点，如图，连接，与交于点， ，，， ， ， 即长就是的最小值， 是等边三角形，， ， ， ， ， ， 故答案为：D． 【变式1-1】如图，中，垂直于点B，且，在直线上方有一动点M满足，则点M到C、D两点距离之和最小时， 度． 【分析】本题主要考查轴对称的性质，点M在直线的上方且与直线的距离为的直线上，得，且直线过的中点，连接交直线于点，此时最小，根据两点之间线段最短和轴对称性质可求出，连接，求出即可解决问题． 【详解】解：因为，， 所以，点M在直线的上方且与直线的距离为的直线上，如图， 所以可得，且直线过的中点， 作点D关于直线的对称点E，则：， 连接交直线于点，此时最小， 因为，， 所以，， 因为，， 所以，， 所以，， 连接，则，所以，，则有： ， 故答案为：45． 【例2】如图，在四边形中，分别是边上的动点，当的周长最小时，的度数是（    ） A．70° B．68° C．58° D．56° 【分析】作点A关于的对称点E、F，连接分别交于点H、G，连接则当点M与点H重合，点N与点G重合时，的周长最小，则易得的大小． 【详解】解：如图，作点A关于的对称点E、F，连接分别交于点H、G，连接 由对称性知： ∴ ∴当点M与点H重合，点N与点G重合时，的周长最小； ∵， ∴ ∴ ∵ ∴ ∵ ∴ 此时 故选：B． 【点睛】本题考查了轴对称的性质，三角形内角和定理，等腰三角形的性质，两点间线段最短等知识，解答本题的关键要明确：涉及最短距离的问题，一般要考虑线段的性质定理，结合本节所学轴对称变换来解决，多数情况要作点关于某直线的对称点． 【变式2-1】如图，四边形中，，在上分别找一点M、N，使周长最小时，则的度数为（　　） A． B． C． D． 【分析】本题考查的是轴对称—最短路线问题．要使周长最小，即利用点的对称，使三角形的三边在同一直线上，作点A关于BC和CD的对称点，即可得到，进而求得，即可得到答案． 【详解】解：作点A关于和的对称点，连接，交于M，交于N， ， 则即为周长最小值， ， ， ，， ， 故选：C． 【变式2-2】如图，中．三个内角，，的度数之比为，点为上一个定点．点，分别是，上的两个动点（不与点，，重合），则 °；当的周长最小时， °． 【分析】本题考查了用轴对称的性质解决最短路线问题，解决本题的关键是作点关于的对称点，点关于的对称点，找到符合条件的动点E和F． 根据三角形内角和定理即可确定，作点关于的对称点，点关于的对称点，连接交、于、，根据轴对称图形的性质得出当、、、四个点在同一直线上时，的周长最小，，结合图形得出，，即可求解． 【详解】解：∵三个内角，，的度数之比为， ∴， 故答案为：40； 作点关于的对称点，点关于的对称点，连接交、于、， 、关于对称，、关于对称， ，， 当、、、四个点在同一直线上时，的周长最小， 的周长最小， 中，，，的度数之比为， ， 、关于对称，、关于对称， ，，， ， ， ， ， 故答案为： 【例3】作图题：(不写作法)．已知：如图所示．求作： (1)作出关于y轴对称的，并写出三个顶点的坐标； (2)在x轴上确定点P，使最小． 【分析】本题考查的是作图——轴对称变换，写出点的坐标，轴对称的性质求线段和的最值问题． （1）根据关于轴对称的点的坐标特点画出即可；根据各点在坐标系中的位置写出三个顶点的坐标； （2）作关于轴的对称点，连接交轴于点，这时最小． 【详解】（1）解：如图所示，即为所求： 则； （2）解：如图所示，作关于轴的对称点，连接交轴于点，则点即为所求． 【变式3-1】如图，的三个顶点的坐标分别是，，． (1)的面积是_____； (2)点在轴上，使的值最小，则点的坐标是_____； (3)点在轴上，且的面积等于的面积，求点的坐标． 【分析】本题考查了平面直角坐标系，轴对称性质，两点之间线段最短，利用网格求三角形面积，掌握知识点的应用是解题的关键． （）直接利用三角形面积公式即可求解； （）作点关于轴对称点，连接，交轴于点，然后通过平面直角坐标系即可求解； （）设则，然后利用三角形面积公式得，解方程求出，从而得到点坐标． 【详解】（1）解：的面积是， 故答案为：； （2）解：如图，作点关于轴对称点，连接，交轴于点，则点即为所求； 理由：∵点与点关于轴对称 ∴， ∴， ∴点即为所求， 根据平面直角坐标系可知：点， 故答案为：； （3）解：设， ∴， ∵的面积等于的面积， ∴， ∴，解得：或， ∴点的坐标为或． 【变式3-2】在平面直角坐标系中的位置如图所示． (1)画出关于y轴的对称图形． (2)将沿y轴向下平移3个单位长度得到，画出． (3)在y轴上作一点P，使的周长最小． 【分析】本题主要考查了轴对称变换、平移变换、利用轴对称求最短路线等知识点，利用相关定义确定对应点位置是解题关键． （1）先根据轴对称的性质确定A、B、C的对应点，然后顺次连接即可； （2）先根据平移的性质确定A、B、C的对应点，然后顺次连接即可； （3）如图：连接与y轴的交点即为所求． 【详解】（1）解：如图：即为所求． （2）解：如图：即为所求． （3）解：如图：点P即为所求． 【变式3-3】如图，在平面直角坐标系中，的三个顶点的坐标分别为． (1)在图中作出关于x轴的对称图形； (2)请直接写出点C关于y轴的对称点的坐标： ； (3)在x轴上找一点P，使得周长最小，请在图中标出点P，并直接写出点P的坐标．（保留作图痕迹） 【分析】本题考查了作轴对称图形，坐标与图形，两点之间，线段最短，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）依题意，根据轴对称的性质分别找出点，依次连接，即可得； （2）根据关于y轴的对称的点的横坐标互为相反数，纵坐标相等，即可作答． （3）由（1）得点关于x轴对称的点，再连接，与x轴的交点即为点，连接，即可作答． 【详解】（1）解：如图所示： （2）解：∵ ∴点C关于y轴的对称点的坐标为， 故答案为：； （3）解：点P如图所示： ∴． 【题型4：轴对称中的实际问题】 【例1】如图是一个小型的台球桌，四角分别是 A，B，C，D 四个球筐，桌面可以分成 12 个正方形 小区域，如果将在点 P 位置的球沿着 PQ 的方向击球 Q，那么球 Q 最终会落在（       ）    A．A 筐 B．B 筐 C．C 筐 D．D 筐 【分析】根据轴对称的性质画出图形即可得出答案． 【详解】由题意，可画出图形如下：    由图可知，球Q最终会落在C筐， 故选：C． 【点睛】本题考查了生活中的轴对称想象，掌握轴对称的性质是解题关键． 【变式1-1】如图是一个经过改造的规则为3×5的台球桌面示意图，图中四个角上的阴影部分分别表示四个入球孔，如果一个球按图中所示的方向被击出（球可以经过台球边缘多次反弹），那么球最后将落入的球袋是（     ）    A．1号袋 B．2号袋 C．3号袋 D．4号袋 【分析】根据题意，画出图形，由轴对称的性质判定正确选项． 【详解】解：根据轴对称的性质可知，台球走过的路径为：    所以球最后将落入的球袋是1号袋， 故选A． 【点睛】本题主要考查了轴对称的性质．轴对称的性质：（1）对应点所连的线段被对称轴垂直平分；（2）对应线段相等，对应角相等．注意结合图形解题的思想；严格按轴对称画图是正确解答本题的关键． 【变式1-2】如图，桌面上有M、N两球，若要将M球射向桌面的任意一边，使一次反弹后击中N球，则4个点中，可以瞄准的是 点．     【分析】根据轴对称的性质解答． 【详解】解：根据轴对称的性质可知：可以瞄准点D击球． 故答案：D． 【点睛】本题考查了轴对称的知识，注意结合图形解答，不要凭空想象，实际操作一下，关键是找能使入射角和反射角相等的点． 【例2】如图所示，两个平面镜平行放置，光线经过平面镜反射时，，则的度数为（    ）． A． B． C． D． 【分析】本题考查了平行线的性质和平角的定义，掌握平行线的性质是本题的关键． 先根据平角的定义求出的度数，再根据平行线的性质，即要得出结果． 【详解】解：， ， ∵两个平面镜平行放置， ∴经过第二次反射后的反射光线与第一次反射的入射光线平行， ； 故选：A． 【变式2-1】光线以如图所示的角度照射到平面镜工上，然后在平面镜，之间来回反射．若，，则等于 (    ) A． B． C． D． 【分析】根据入射光线与水平线的夹角等于反射光线与水平线的夹角将已知转化到三角形中，利用三角形的内角和是求解． 【详解】解：如图： 由反射规律可知：，，， 又∵ ∴， 即 ． 故选：B． 【点睛】本题主要考查了三角形内角和定理，掌握入射光线与水平线的夹角等于反射光线与水平线的夹角是解题关键，注意隐含的的关系的使用． 【变式2-2】如图是光的反射示意图，其中是入射光线，是反射光线，法线．若，则的度数为 ． 【分析】本题主要考查反射，熟练掌握平面镜反射光线的规律是解题的关键．根据射到平面镜上的光线和被反射出的光线与平面镜所夹的角相等即可得到答案． 【详解】解：平面镜反射光线的规律是：射到平面镜上的光线和被反射出的光线与平面镜所夹的角相等， ． 故答案为：． 【例3】小明在所面对的平面镜内看到他背后墙上时钟所成的像如图所示，则此时的实际时刻应是( ) A． B． C． D． 【分析】根据镜面对称的性质，在平面镜中的像与现实中的事物恰好左右颠倒，且关于镜面对称，分析并作答． 【详解】解：根据镜面对称的性质，分析可得题中所显示的时刻与成轴对称，所以此时实际时刻为， 故选． 【点睛】本题考查镜面对称的原理与性质．解决此类题应认真观察，注意技巧． 【变式3-1】小狗皮皮看到镜子里的自己,觉得很奇怪,此时它所看到的全身像是（  ） A．（A） B．（B） C．（C） D．（D） 【详解】根据题意可知，小狗和镜面里的像是关于镜面对称的， ∴小狗与它的像的对应点的连线应该与镜面垂直，且对应点到镜面的距离相等， ∴上述四个图像中，只有A符合要求，其余三个都不符合要求. 故选A. 【变式3-2】在平面镜里看到背后墙上，电子钟示数如图所示,这时的时间应是 ．    【分析】在平面镜中的像与现实中的事物恰好顺序颠倒，且关于镜面对称，由此可解． 【详解】解：题中所给的“”与“”成轴对称，这时的时间应是． 故答案为：． 【点睛】本题考查镜面反射的原理与性质，解题的关键是掌握轴对称的性质． 【变式3-3】如图，从汽车的后视镜中看见某车牌的5位号码的车牌号为 . 【分析】根据镜面对称的性质求解，在平面镜中的像与现实中的事物恰好左右或上下顺序颠倒，且关于镜面对称． 【详解】∵是从汽车的后视镜中看见某车牌的5位号码， ∴原号码与看见的号码是轴对称图形， ∴车牌号为AN625， 故答案为：AN625 【点睛】此题主要考查了镜面对称的知识，在平面镜中的像与现实中的事物恰好左右或上下顺序颠倒，且关于镜面对称． 【题型5：轴对称综合题】 【例1】如图，在中，，，与关于直线对称，，则的度数是（    ） A． B． C． D． 【分析】本题考查三角形的内角和，轴对称的性质．根据三角形的内角和定理求出，由轴对称的性质得到，，再由角的和差即可求解． 【详解】解：∵， ∴， ∵与关于直线对称， ∴， ， ∴． 故选：B 【变式1-1】小明用两个全等的等腰三角形设计了一个“蝴蝶”的平面图案．如图，与都是等腰三角形，且它们关于直线对称，，分别是底边，的中点，，下列推断错误的是（   ） A． B． C． D． 【分析】本题考查了轴对称的性质，同角的余角相等，全等三角形的判定与性质，等腰三角形的性质，掌握知识点的应用是解题的关键． 轴对称的性质，同角的余角相等，全等三角形的判定与性质，等腰三角形的性质逐项排除即可． 【详解】解：、∵， ∴， 由对称得， ∵，分别是底边，的中点，与都是等腰三角形， ∴，， ∴， ∴，结论正确，故不符合题意； 、不一定等于结论错误，故符合题意； 、由对称得：， ∴，， ∵，分别是底边，的中点， ∴，， ∴， ∴，结论正确,故不符合题意； 、如图，过点作， ∴， ∵， ∴， 由对称得， ∴， 同理可证，， ∴，结论正确，故不符合题意， 故选：． 【变式1-2】如图，在正方形中，点，分别是，上的点，将四边形沿直线折叠后，点A落在线段上点处．若正方形的边长为，则图中阴影部分的周长为 cm． 【分析】本题考查了翻折变换，根据翻折变换的性质得出图中阴影部分的周长为，掌握相关知识是解题的关键． 【详解】解：正方形的边长为， ∴， ∵将四边形沿直线折叠，使点A落在点处， ∴，，， ∴图中阴影部分的周长为： ， 故答案为：12． 【变式1-3】已知：等腰中，． (1)如图1，若是的高，是的角平分线，与交于点．当的大小变化时，的形状也随之改变． ①设，求角度的变量与的关系式； ②当是等腰三角形时，求的度数． (2)如图2，若的面积是是的高，点分别是线段上的点，直接写出的最小值． 【分析】本题考查了三角形内角和定理的应用，三角形外角的性质，等腰三角形的性质，轴对称的性质求线段和的最值，熟练掌握以上知识是解题的关键； （1）①根据三角形内角和定理分别表示出，根据三角形的外角的性质得出，即可求解； ②先表示出的三个内角，然后根据等腰三角形的性质，分类讨论，列出方程，解方程，即可求解； （2）过点作，垂足为，交于点，连接，当重合时，的最小值为，进而根据三角形的面积公式求得的长，即可求解． 【详解】（1）解：①设 ∵ ∴ ∵是的高，是的角平分线， ∴， ∴ ∴； ②∵是的高， ∴ ∵ ∴ ∵是等腰三角形时 当时， ∴ 解得：即 当时， ∴ 解得：即 当时， ∴ s解得：（不合题意，舍去） 综上所述，或 （2）解：如图，过点作，垂足为，交于点，连接， ∵，是的高， ∴是的对称轴， ∴，当重合时取得最小值，即的最小值为 ∵的面积是， ∴ ∴的最小值是 能力提升 一、单选题 1．（24-25八年级上·河南周口·期末）小红用两个全等的等腰和等腰设计了一个“蝴蝶”的平面图案．如图，它们关于直线l对称，点E，F分别是底边，的中点，且，下列结论中错误的是（   ） A． B． C． D．当时，等腰和等腰均为等边三角形 【分析】本题考查了对称的性质，全等三角形的判定和性质，等腰三角形的性质等；根据轴对称图形的性质可得，从而得到，可判断A；根据等腰三角形的性质判断B；过点O作，则，根据题意可得，，再由，可得，从而得到，然后根据轴对称图形的性质可得，由此判断C；根据求出，由此判断D． 【详解】解：∵它们关于直线对称， ∴， ∴， ∵点E，F分别是底边的中点， ∴， ∴，故选项A正确，不符合题意； ∵等腰和等腰， ∴， ∴， ∵ ∴，故选项B正确，不符合题意； 如图，过点O作，则， ∵点E，F分别是底边的中点，， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵它们关于直线对称， ∴， ∴， ∴，故C选项正确，不符合题意； 当时，， ∴ ∴等腰和等腰均不是等边三角形，故选项D错误，符合题意； 故选：D 2．（24-25八年级上·福建厦门·期末）如图是平面镜成像的示意图．若以蜡烛的底部和平面镜中像的底部连线为x轴，镜面侧面为y轴（镜面厚度忽略不计）建立平面直角坐标系．某时刻火焰顶部S的坐标为，则此时对应的虚像的坐标是（    ） A． B． C． D． 【分析】本题考查了关于轴对称的点的坐标特征，解题关键是掌握关于轴对称，纵坐标不变，横坐标互为相反数． 由平面镜成像可知，与关于轴对称，根据关于轴对称的点的坐标特征即可得到答案． 【详解】解：由平面镜成像可知，与关于轴对称，且S的坐标为， ， 故选D． 3．（24-25八年级上·新疆乌鲁木齐·期末）平面直角坐标系内的点与点的位置关系是（   ） A．关于轴对称 B．关于轴对称 C．关于原点对称 D．无法确定 【分析】此题主要考查了关于轴对称点的坐标．根据关于轴对称点的坐标特点：纵坐标互为相反数，横坐标不变可得答案． 【详解】解：平面直角坐标系内的点与点关于轴对称． 故选：A． 4．（24-25八年级下·湖南株洲·期末）对于点与点，下列说法错误的是（   ） A．将点A向左平移6个单位长度可以得到点B B．线段的长度为6 C．点A与点B关于y轴对称 D．点A与点B关于x轴对称 【分析】本题考查了平移，轴对称，熟练掌握平移规律，轴对称的坐标特征是解题的关键．根据平移，对称的思想解答即可． 【详解】解：由点与点， 得轴，且，横坐标互为相反数， A. 将点A向左平移6个单位长度可以得到点B，说法正确，不符合题意； B. 线段的长度为6，说法正确，不符合题意； C. 点A与点B关于y轴对称，说法正确，不符合题意； D. 点A与点B关于x轴对称，说法错误，符合题意； 故选：D． 5．（24-25七年级下·四川达州·期末）如图，在锐角三角形中，，的面积为18，平分，若E，F分别是，上的动点，则的最小值为（   ） A．6 B．7 C．8 D．9 【分析】本题考查了轴对称-最短路线问题，关键是将的最小值转化为． 过点C作于点P，交于点E，过点E作于F，则即为的最小值，再根据三角形的面积公式求出的长，即为的最小值． 【详解】解：过点C作于点P，交于点E，过点E作于F，    ∵平分，，， ∴， ∴，此时取最小值． ∵的面积为18，， ∴， ∴． 即的最小值为6， 故选：A． 6．（24-25七年级下·山东枣庄·期末）如图，在的正方形网格中，有一个格点（三角形的三个顶点都在格点上），则网格中所有与成轴对称的格点三角形有（   ）个． A．3 B．4 C．5 D．6 【分析】本题主要考查了利用轴对称设计图案，不重不漏的列举出所有轴对称图形成为解题的关键． 根据轴对称的定义画出所有与成轴对称的格点三角形即可解答． 【详解】解：如图，与成轴对称的格点三角形有 共5个． 故选：C． 二、填空题 7．（24-25八年级上·广东东莞·期末）如图，在的正方形网格中，直线a外，有A，B两点．在直线a上求一点P，使最短，则点P的位置应选在点 处，（填图中的字母） 【分析】本题考查了轴对称的最短路径问题，掌握轴对称的性质并正确作图是解题的关键．根据轴对称的性质作图即可求解． 【详解】解：如图：作点B关于直线a的对称点N，连接，则交直线a于点C， 由对称性可得，， ， 当三点共线时，最短， 点P的位置应选在点C处． 故答案为：C． 8．（24-25七年级下·海南海口·期末）如图，直线与之间的距离为与关于直线成轴对称，与关于直线成轴对称，则的长为 ． 【分析】本题考查的是轴对称的性质，连接，标注交点，根据轴对称的性质可得∴共线，，，，，再进一步求解即可. 【详解】解：如图，连接，标注交点， ∵直线与之间的距离为与关于直线成轴对称，与关于直线成轴对称， ∴共线，，，，， ∴， 故答案为： 9．（24-25七年级下·重庆·期末）若点与点关于x轴对称，则的值为 ． 【分析】本题考查代数式求值，涉及平面直角坐标系中点关于轴对称的点的坐标特征：横坐标不变、纵坐标互为相反数，掌握点关于坐标轴对称点的坐标特征是解决问题的关键． 根据点与点关于x轴对称，，可知，代入直接求值即可得到答案． 【详解】解：点与点关于x轴对称， ， ， ∴． 故答案为：． 10．（24-25八年级上·河南商丘·期末）如图，在平面直角坐标系内，依次作点关于直线l（横、纵坐标相等的所有点组成的直线）的对称点，关于x轴的对称点，关于y轴的对称点，关于直线l的对称点，关于x轴的对称点，关于y轴的对称点，…，按照上述变换规律继续作下去，则点的坐标为 ． 【分析】本题考查坐标与图形的变化-对称，探究规律，利用规律解决问题即可． 【详解】解：如图， 观察图象可知，6次一个循环， ∵余2， ∴的坐标与的坐标相同，坐标为， 故答案为：． 三、解答题 11．（2025·安徽芜湖·三模）如图，在由边长为个单位长度的小正方形组成的网格中，建立如图所示的平面直角坐标系，为格点（网格线的交点）三角形． (1)将先向右平移个单位长度，再向下平移个单位长度，得，画出平移后的； (2)画出关于轴对称的； (3)用无刻度直尺在边上作一点，使（保留作图痕迹）． 【分析】本题考查作图平移变换、作图轴对称变换，熟练掌握平移的性质、轴对称的性质是解答本题的关键． （1）根据平移的性质作图即可； （2）根据轴对称的性质作图即可； （3）在的右侧作，且，连接交于点，则点即为所求． 【详解】（1）如图，即为所求 （2）如图，即为所求 （3）如图，在的右侧作，且，连接交于点， 此时为等腰直角三角形， ， 即， 则点即为所求． 12．（2025·安徽·模拟预测）如图，在由边长为1个单位长度的小正方形组成的网格中建立平面直角坐标系，格点（网格线的交点）A，B，C的坐标分别为，，． (1)画出将先向下平移6个单位长度，再向左平移1个单位长度得到的，并直接写出点的坐标： ； (2)若点D为上一点，轴，垂足为点E，当的长最小时，请通过作图，确定点D的位置． 【分析】题目主要考查平移作图，三角形三边关系等，理解题意，熟练掌握作图方法是解题关键． （1）根据平移的作图方法作图即可，然后读出点的坐标即可得出结果； （2）将点向上平移2个单位长度得点M，连接交于点D，过点D作轴于点E即可． 【详解】（1）解：如图所示，即为所求，， 故答案为： （2）将点向上平移2个单位长度得点M，连接交于点D，过点D作轴于点E． 13．（24-25八年级上·江苏淮安·期末）已知，在如图所示的网格中建立平面直角坐标系后，三个顶点的坐标分别为、、． (1)画出关于轴的对称图形；若点是线段上的一点，则点在线段上的对应点的坐标为______； (2)借助图中网格，请只用直尺（不含刻度）在轴上找一点，使得的周长最短． 【分析】本题考查坐标与图形变换——轴对称，利用轴对称求线段的最值，解题的关键是掌握轴对称的性质． （1）先根据轴对称的性质找到对应点位置，再顺次连接，根据关于轴对称的点的坐标特点可得其对称点的坐标； （2）根据轴对称找最短路径，在网格中找到A点关于y轴的对称点，再连接，与y轴交于P，此时最小，则最小，即的周长最小． 【详解】（1）解：如图，即为所求作的三角形； ∵点是线段上的一点， ∴点在线段上的对应点的坐标为． （2）解：如图，点即为所求； 14．（24-25八年级上·天津·期中）已知△ABC的三个顶点的坐标分别为、、． (1)将沿y轴翻折，画出关于y轴对称的图形，并直接写出点的坐标 　 　； (2)直接写出点关于x轴对称的点的坐标 　 　； (3)若以D、B、C为顶点的三角形与全等，请画出所有符合条件的（ 点D与点A重合除外）． 【分析】此题主要考查了轴对称变换以及全等三角形的判定与性质，正确得出对应点位置是解题关键． （1）直接利用关于y轴对称点的性质得出对应点位置； （2）直接利用关于x轴对称点的特点写出点的坐标即可； （3）直接利用全等三角形的判定方法得出对应点位置． 【详解】（1）解：画出关于y轴对称的图形，如图所示， 翻折后点A的对应点的坐标是：； （2）解：点关于x轴对称的点的坐标为； （3）解：所有符合条件的（ 点D与点A重合除外）如图所示． ，，． 15．（24-25七年级下·福建泉州·期末）已知：中（如图），是边上一点，当时，我们很容易通过作三角形的高，推理得．请你根据以上结论解决下列问题： 如图，在中，是边上一点，且，将沿直线翻折得到，点的对应点为，的延长线交于点，，． (1)若，，求的度数； (2)设的面积为，点分别在线段上． ①求的最小值（用含的代数式表示） ②已知，，当取得最小值时，求四边形的面积． 【分析】（）由三角形内角和定理得，再根据折叠的性质即可求解； （）①作点关于的对称点，则由翻折得点在上，连接，可得，即得，可知当点三点共线且时，的值最小，即为垂线段的长，再利用解答即可求解；②当取最小值时，于点，交于点，，由可得，由得，即得，即得到，可得，设，由 得，进而由列出方程求出即可求解； 本题考查了三角形内角和定理，折叠的性质，角平分线的性质，掌握以上知识点是解题的关键． 【详解】（1）解：，， ， 沿直线翻折得到，点的对应点为， ； （2）解：①如图，作点关于的对称点，则由翻折得点在上，连接， 则， ， ∴当点三点共线且时，的值最小，即为垂线段的长， 如图，于点，交于点，， ∵， ∴， 解得，此时， 的最小值为； ②如图，当取最小值时，于点，交于点，， ，，平分， ， ， ， ， ， ， ， ， 由折叠得， 设， ， ， ∵， 得， ， ． 1 / 58 学科网（北京）股份有限公司 $人教版八上 重难点题型突破 培优专题 专题05 与轴对称有关的五大题型目录 A · 重难点题型分类 题型1：网格和坐标系中的轴对称……………………………………………… 1 题型2：轴对称中的规律性问题………………………………………………… 7 题型3：轴对称中的最值问题（最短路径问题）……………………………… 8 题型4：轴对称中的实际问题…………………………………………………… 12 题型5：轴对称综合题…………………………………………………………… 14 B · 能力提升 ………………………………………………………………………… 16 知识梳理 1、两个图形成轴对称的性质：如果两个图形关于某条直线对称，那么对称轴是任何一对对应点所连线段的垂直平分线． 2、轴对称图形的性质：轴对称图形的对称轴是任何一对对应点所连线段的垂直平分线． 3、轴对称图形（或关于某条直线对称的两个图形）的对应线段（对折后重合的线段）相等，对应角（对折后重合的角）相等． 4、成轴对称的两个图形全等；轴对称图形被对称轴分成的两部分也全等，但全等的两个图形不一定是轴对称图形． 5、关于坐标轴对称的点的坐标的特点：点(x，y)关于x轴对称的点的坐标为(x，-y)； 点(x，y)关于y轴对称的点的坐标为(-x，y). 重难点题型分类 【题型1：网格和坐标系中的轴对称】 【例1】如图，是一个 3×4 的网格（由 12 个小正方形组成，虚线交点称之格点）图中有一个三角形，三个顶点都在格点上，在网格中可以画出（    ）个与此三角形关于某直线对称的格点三角形． A．6 B．7 C．8 D．9 【变式1-1】如图4×5的方格纸中，在除阴影之外的方格中任意选择一个涂黑，与图中阴影部分构成轴对称图形的涂法有 种． 【变式1-2】如图，点都在格点上，请再找一个格点，使点组成一个轴对称图形，这样的格点有 个． 【例2】网格作图（保留画图痕迹）： (1)经过平移后得到，图中标出了点的对应点，画出； (2)是轴对称图形，请作出的对称轴； (3)连接，，则与的关系是______； (4)计算线段在平移到线段的过程中，扫过的区域的面积是______． 【变式2-1】如图，在一个边长为1的正方形网格上．把向右平移5个方格，再向上平移2个方格，得到（点分别对应点A，B，C）．（只能借助于网格） (1)请画出平移后的图形，并标明对应字母； (2)请画出关于直线l对称的，并标明对应字母； (3)试计算四边形的面积 ． 【变式2-2】 利用网格找角平分线 如图，在由边长为1个单位长度的小正方形组成的网格中，已知点A，B，C，P均为格点（网格线的交点），直线l与网格线重合． (1)将绕点P逆时针旋转，得到，画出； (2)画出关于直线对称的； (3)在正方形网格中描出一个格点M，使得平分． 【例3】在平面直角坐标系中，已知点与点关于轴对称，则的值为（   ） A． B．0 C．1 D．2024 【变式3-1】在平面直角坐标系中，点和 （  ） A．关于直线对称 B．关于直线对称 C．关于x轴对称 D．关于y轴对称 【变式3-2】若点和点关于轴对称，则点在第 象限． 【例4】如图，在平面直角坐标系中，， ，平分点，关于x轴的对称点是（    ） A． B． C． D． 【变式4-1】如图，小敏将等腰直角三角板放置于直角坐标系中，直角顶点C与x轴上表示的点重合，点B坐标为，则点A关于y轴的对称点的坐标为（   ） A． B． C． D． 【变式4-2】剪纸是中国古代最古老的民间艺术之一，其中蕴含着图形的变换．如图是一张蕴含着轴对称变换的蝴螺剪纸，点A与点B对称，点C与点D对称，将其放置在直角坐标系中，点A，B，C的坐标分别为，，，则点D的坐标为 ． 【例5】已知三角形三个顶点的坐标分别为． (1)在平面直角坐标系中画出这个三角形； (2)作出这个三角形关于轴的对称图形，并写出顶点坐标； (3)的面积是___________． 【变式5-1】如图，在直角坐标系中，，，． (1)在图中作出关于轴对称的图形； (2)写出点、、的坐标； (3)求的面积． 【变式5-2】如图，在平面直角坐标系中，的三个顶点的坐标分别是，，．    (1)请画出与关于y轴对称的，并写出点的坐标； (2)在（1）的条件下，画出与关于直线l对称的； (3)在（2）的条件下，若点在的内部，则点在中对应点的坐标是 ． 【变式5-3】如图，在平面直角坐标系中，的顶点，，均在小正方形网格的格点上． (1)画出关于轴的对称图形（点、、的对应点分别为、、），则（______）（______）（______）． (2)在第二象限内的格点上找点，连接，使得，并写出点的坐标． 【变式5-4】如图所示，在平面直角坐标系中，已知点，，，． (1)在图中画出四边形； (2)四边形是__________； A．平行四边形    B．菱形    C．矩形    D．正方形 (3)将（1）中四个点的纵坐标保持不变，横坐标分别乘，将所得的四个点用线段依次连接起来，那么这个图案与原图案有怎样的位置关系？ (4)已知点为轴上一点，若的面积为6，直接写出的坐标． 【题型2：轴对称中的规律性问题】 【例1】如图，在平面直角坐标系中，依次作点关于直线的对称点，关于轴的对称点，关于轴的对称点，关于直线的对称点，关于轴的对称点，关于轴的对称点…按照上述变换规律继续作下去，则点的坐标为（   ） A． B． C． D． 【变式1-1】已知为平面直角坐标系内的一动点，点关于坐标轴作循环往复的轴对称变换，根据表中数据，可知横线处的坐标为（   ） 变换次数 点的坐标 _____ A． B． C． D． 【变式1-2】如图，在平面直角坐标系中，已知等边三角形的顶点，，规定把等边三角形“先沿轴翻折，再向左平移个单位长度”为一次变换，这样经过次变换后，的顶点的坐标为 ． 【变式1-3】在平面直角坐标系中，已知点，点在第一象限内，，将先关于轴对称得到，将关于轴对称得到，将关于轴对称得到，将关于轴对称得到，……，则按照这样的规律继续对称下去，第2025次对称后，点的坐标为 ． 【题型3：轴对称中的最值问题（最短路径问题）】 【例1】如图，等边中，点D，E分别是边的中点，点是AD上的一个动点，当最小时，的度数是（   ） A． B． C． D． 【变式1-1】如图，中，垂直于点B，且，在直线上方有一动点M满足，则点M到C、D两点距离之和最小时， 度． 【例2】如图，在四边形中，分别是边上的动点，当的周长最小时，的度数是（    ） A．70° B．68° C．58° D．56° 【变式2-1】如图，四边形中，，在上分别找一点M、N，使周长最小时，则的度数为（　　） A． B． C． D． 【变式2-2】如图，中．三个内角，，的度数之比为，点为上一个定点．点，分别是，上的两个动点（不与点，，重合），则 °；当的周长最小时， °． 【例3】作图题：(不写作法)．已知：如图所示．求作： (1)作出关于y轴对称的，并写出三个顶点的坐标； (2)在x轴上确定点P，使最小． 【变式3-1】如图，的三个顶点的坐标分别是，，． (1)的面积是_____； (2)点在轴上，使的值最小，则点的坐标是_____； (3)点在轴上，且的面积等于的面积，求点的坐标． 【变式3-2】在平面直角坐标系中的位置如图所示． (1)画出关于y轴的对称图形． (2)将沿y轴向下平移3个单位长度得到，画出． (3)在y轴上作一点P，使的周长最小． 【变式3-3】如图，在平面直角坐标系中，的三个顶点的坐标分别为． (1)在图中作出关于x轴的对称图形； (2)请直接写出点C关于y轴的对称点的坐标： ； (3)在x轴上找一点P，使得周长最小，请在图中标出点P，并直接写出点P的坐标．（保留作图痕迹） 【题型4：轴对称中的实际问题】 【例1】如图是一个小型的台球桌，四角分别是 A，B，C，D 四个球筐，桌面可以分成 12 个正方形 小区域，如果将在点 P 位置的球沿着 PQ 的方向击球 Q，那么球 Q 最终会落在（       ）    A．A 筐 B．B 筐 C．C 筐 D．D 筐 【变式1-1】如图是一个经过改造的规则为3×5的台球桌面示意图，图中四个角上的阴影部分分别表示四个入球孔，如果一个球按图中所示的方向被击出（球可以经过台球边缘多次反弹），那么球最后将落入的球袋是（     ）    A．1号袋 B．2号袋 C．3号袋 D．4号袋 【变式1-2】如图，桌面上有M、N两球，若要将M球射向桌面的任意一边，使一次反弹后击中N球，则4个点中，可以瞄准的是 点．     【例2】如图所示，两个平面镜平行放置，光线经过平面镜反射时，，则的度数为（    ）． A． B． C． D． 【变式2-1】光线以如图所示的角度照射到平面镜工上，然后在平面镜，之间来回反射．若，，则等于 (    ) A． B． C． D． 【变式2-2】如图是光的反射示意图，其中是入射光线，是反射光线，法线．若，则的度数为 ． 【例3】小明在所面对的平面镜内看到他背后墙上时钟所成的像如图所示，则此时的实际时刻应是( ) A． B． C． D． 【变式3-1】小狗皮皮看到镜子里的自己,觉得很奇怪,此时它所看到的全身像是（  ） A．（A） B．（B） C．（C） D．（D） 【变式3-2】在平面镜里看到背后墙上，电子钟示数如图所示,这时的时间应是 ．    【变式3-3】如图，从汽车的后视镜中看见某车牌的5位号码的车牌号为 . 【题型5：轴对称综合题】 【例1】如图，在中，，，与关于直线对称，，则的度数是（    ） A． B． C． D． 【变式1-1】小明用两个全等的等腰三角形设计了一个“蝴蝶”的平面图案．如图，与都是等腰三角形，且它们关于直线对称，，分别是底边，的中点，，下列推断错误的是（   ） A． B． C． D． 【变式1-2】如图，在正方形中，点，分别是，上的点，将四边形沿直线折叠后，点A落在线段上点处．若正方形的边长为，则图中阴影部分的周长为 cm． 【变式1-3】已知：等腰中，． (1)如图1，若是的高，是的角平分线，与交于点．当的大小变化时，的形状也随之改变． ①设，求角度的变量与的关系式； ②当是等腰三角形时，求的度数． (2)如图2，若的面积是是的高，点分别是线段上的点，直接写出的最小值． 能力提升 一、单选题 1．（24-25八年级上·河南周口·期末）小红用两个全等的等腰和等腰设计了一个“蝴蝶”的平面图案．如图，它们关于直线l对称，点E，F分别是底边，的中点，且，下列结论中错误的是（   ） A． B． C． D．当时，等腰和等腰均为等边三角形 2．（24-25八年级上·福建厦门·期末）如图是平面镜成像的示意图．若以蜡烛的底部和平面镜中像的底部连线为x轴，镜面侧面为y轴（镜面厚度忽略不计）建立平面直角坐标系．某时刻火焰顶部S的坐标为，则此时对应的虚像的坐标是（    ） A． B． C． D． 3．（24-25八年级上·新疆乌鲁木齐·期末）平面直角坐标系内的点与点的位置关系是（   ） A．关于轴对称 B．关于轴对称 C．关于原点对称 D．无法确定 4．（24-25八年级下·湖南株洲·期末）对于点与点，下列说法错误的是（   ） A．将点A向左平移6个单位长度可以得到点B B．线段的长度为6 C．点A与点B关于y轴对称 D．点A与点B关于x轴对称 5．（24-25七年级下·四川达州·期末）如图，在锐角三角形中，，的面积为18，平分，若E，F分别是，上的动点，则的最小值为（   ） A．6 B．7 C．8 D．9 6．（24-25七年级下·山东枣庄·期末）如图，在的正方形网格中，有一个格点（三角形的三个顶点都在格点上），则网格中所有与成轴对称的格点三角形有（   ）个． A．3 B．4 C．5 D．6 二、填空题 7．（24-25八年级上·广东东莞·期末）如图，在的正方形网格中，直线a外，有A，B两点．在直线a上求一点P，使最短，则点P的位置应选在点 处，（填图中的字母） 8．（24-25七年级下·海南海口·期末）如图，直线与之间的距离为与关于直线成轴对称，与关于直线成轴对称，则的长为 ． 9．（24-25七年级下·重庆·期末）若点与点关于x轴对称，则的值为 ． 10．（24-25八年级上·河南商丘·期末）如图，在平面直角坐标系内，依次作点关于直线l（横、纵坐标相等的所有点组成的直线）的对称点，关于x轴的对称点，关于y轴的对称点，关于直线l的对称点，关于x轴的对称点，关于y轴的对称点，…，按照上述变换规律继续作下去，则点的坐标为 ． 三、解答题 11．（2025·安徽芜湖·三模）如图，在由边长为个单位长度的小正方形组成的网格中，建立如图所示的平面直角坐标系，为格点（网格线的交点）三角形． (1)将先向右平移个单位长度，再向下平移个单位长度，得，画出平移后的； (2)画出关于轴对称的； (3)用无刻度直尺在边上作一点，使（保留作图痕迹）． 12．（2025·安徽·模拟预测）如图，在由边长为1个单位长度的小正方形组成的网格中建立平面直角坐标系，格点（网格线的交点）A，B，C的坐标分别为，，． (1)画出将先向下平移6个单位长度，再向左平移1个单位长度得到的，并直接写出点的坐标： ； (2)若点D为上一点，轴，垂足为点E，当的长最小时，请通过作图，确定点D的位置． 13．（24-25八年级上·江苏淮安·期末）已知，在如图所示的网格中建立平面直角坐标系后，三个顶点的坐标分别为、、． (1)画出关于轴的对称图形；若点是线段上的一点，则点在线段上的对应点的坐标为______； (2)借助图中网格，请只用直尺（不含刻度）在轴上找一点，使得的周长最短． 14．（24-25八年级上·天津·期中）已知△ABC的三个顶点的坐标分别为、、． (1)将沿y轴翻折，画出关于y轴对称的图形，并直接写出点的坐标 　 　； (2)直接写出点关于x轴对称的点的坐标 　 　； (3)若以D、B、C为顶点的三角形与全等，请画出所有符合条件的（ 点D与点A重合除外）． 15．（24-25七年级下·福建泉州·期末）已知：中（如图），是边上一点，当时，我们很容易通过作三角形的高，推理得．请你根据以上结论解决下列问题： 如图，在中，是边上一点，且，将沿直线翻折得到，点的对应点为，的延长线交于点，，． (1)若，，求的度数； (2)设的面积为，点分别在线段上． ①求的最小值（用含的代数式表示） ②已知，，当取得最小值时，求四边形的面积． 1 / 21 学科网（北京）股份有限公司 $