专题03全等三角形（高频考点归纳+解析+单元检测） 2025-2026学年人教版八年级数学上册期末冲刺专题

2025-2026人教版八年级数学上期末冲刺专题 专题03 全等三角形（高频考点归纳+解析+单元检测） 考点01 全等三角形的性质 考点02 全等三角形的判定 考点03 添加条件使三角形全等 考点04 全等三角形的判定和性质综合 考点05 全等三角形的应用 考点06角平分线的性质和判定 考点07尺规作图 考点08 角平分线与全等三角形的综合 考点01 全等三角形的性质 一、单选题 1．（24-25八年级上·山西运城·期末）如图，点B，C，D在同一直线上，，若，，则等于（    ） A．7 B．8 C．9 D．10 2．（24-25八年级上·北京·期末）如图，和是对应角．在中，是最长边，在中，是最长边，，则线段的长度及的度数是（   ）    A． B． C． D． 3．（24-25八年级上·陕西西安·期末）如图，点、、、在一条直线上，若，，则（    ） A．2 B．4 C．6 D．8 二、填空题 4．（24-25八年级上·山西临汾·期末）如图，已知，点A的对应点为点E，点B的对应点为点D．若，，则的长为 ． 5．（24-25八年级上江苏·期末）如图，中，点D，E分别在边，上，若，则的度数为 ． 6．（24-25八年级上·浙江台州·期末）如图，，若，则长度为 ． 考点02 全等三角形的判定 一、单选题 1．（24-25八年级上·山西吕梁期末）如图，，，则下列增加的条件中不能证明的是（   ） A． B． C． D． 2．（24-25八年级上·山西晋中·期末）如图，为测量太原永祚寺内宣文塔底座的最大宽度，某地理课外实践小组在宣文塔旁的开阔地上选了一点C，测得的度数，在的另一侧测得，，得到，再测得的长，就是的长，从而得出宣文塔底座的最大宽度，那么判定的理由是（   ） A． B． C． D． 二、填空题 3．（24-25八年级上·北京海淀·期末）如图，在中，是中线，直线于F，于E，若，，则中线的长是 ． 4．（24-25八年级上·浙江·期末）如图，，E为的中点．若，，则 ． 三、解答题 5．（24-25八年级上·山西晋中·期末）如图，已知，．点B、E、C、F在同一条直线上并且． (1)试说明：； (2)判断线段与线段的数量关系和位置关系，说明理由． 6．（24-25八年级上·陕西宝鸡·期末）如图，点，在上，，，且． (1)与全等吗？请说明理由： (2)与平行吗？为什么？ 7．（24-25八年级上·江苏南京·期末）已知：如图，， ，．求证：． 8．24-25八年级上·广东广州·期末）已知：如图，，，，求证：． 考点03 添加条件使三角形全等 一、单选题 1．（24-25八年级上·陕西咸阳·期末）如图，与相交于点，且是的中点，添加下列条件，不能说明的是（    ） A． B． C． D． 2．（24-25八年级上·山西临汾·期末）如图，已知，添加下列一个条件后，仍无法判定的是（ ） A． B． C． D． 3．（24-25八年级上·浙江杭州·期末）如图，点、、、在同一条直线上，，，需要再补充一个条件，使．以下补充条件中，错误的是（　　） A． B． C． D． 二、填空题 4．（24-25八年级上·山西晋中·期末）如图所示，若，，请你添加一个条件后，就能证得，你添加的条件是 ． 5．（24-25八年级上·山西晋中·期末）如图，，要使，则需要添加的条件可以是 ．（添加一个条件即可） 6．（24-25八年级上·陕西咸阳·期末）如图，，添加一个条件 ，使．（不添加辅助线和点） 7．（24-25八年级上·江苏南京·期末）如图，E、C是线段BF上的两点，且，那么需要补充一个条件 （写出一个即可），才能使． 考点04 全等三角形的判定和性质综合 一、单选题 1．（24-25八年级上·山西长治·期末）如图，在中，．以点A为圆心，的长为半径画弧，交于点D，再分别以点A，D为圆心，，的长为半径画弧交于点E，连接，．则的度数为（   ） A． B． C． D． 2．（24-25八年级上·浙江杭州·期末）在中，是边上的中线，若，则的取值范围是（　　） A． B． C． D． 二、填空题 3．（24-25八年级上·山西晋中·期末）如图，在中，，，，AD平分交BC于点D，过点D作交AB于点E，点P是DE上的动点，点Q是BD上的动点，则的最小值为 ． 4．（24-25八年级上·陕西咸阳·期末）如图，的边与的边相交于点，，过点作，交于点，且，，若，，则的面积是 ． 5．（24-25八年级上·北京朝阳·期末）如图所示的网格为正方形网格，则 ．       三、解答题 6．（24-25八年级上·山西太原·期末）如图，已知点是线段上的两点，且，试判断与的数量关系，并说明理由． 7．（24-25八年级上·陕西宝鸡·期末）如图，点，在上，，，且． (1)与全等吗？请说明理由： (2)与平行吗？为什么？ 8．（24-25八年级上·北京海淀·期末）如图，在中，，D，E是上两点，且，过点D作，过E作交于点F．求证：． 9．（24-25八年级上·山西阳泉·期末）已知：如图，，，，垂足分别为、、，且，求证：． 考点05 全等三角形的应用 一、解答题 1．（24-25八年级上·山西晋中·期末）项目式学习 【项目主题】 测量分别位于某池塘两侧两根电线杆之间的距离，即输电线路的长度． 【项目背景】 如图，一条输电线路需跨越一个池塘，池塘两侧处各立有一根电线杆，但利用现有的皮尺、测量角度的仪器无法直接测量出之间的距离．利用现有的工具，请你设计一种方案，可以求出之间的距离． 2．（24-25八年级上·北京·期末）乐乐与爸爸、妈妈在操场上荡秋千．乐乐坐在秋千上的起始位置是A处，起始位置与地面垂直，两脚在地面上用力一蹬，妈妈在距地面 1.2 m 高的处接住她，妈妈用力一推，爸爸在处接住她．若妈妈与爸爸到秋千起始位置的水平距离分别为 和． (1)与全等吗？ 请说明理由； (2)爸爸在距离地面多高的地方接住乐乐？ 3．（24-25八年级上·陕西西安·期末）如图，小艺站在河边的点处，在河对面（小艺的正北方向）的点处有一电线塔，他想知道电线塔离他有多远，于是他向正西方向走了20步到达一棵树处，接着再向正西方向走了20步到达处；然后他左转后（即）直行，从点处开始计步，当小艺看到电线塔、树与自己现在的位置在一条直线时，他恰好走了42步，并且小艺一步大约0.6米．请根据以上数据求出小艺在点处时他与电线塔的距离． 4．（24-25八年级上·陕西西安·期末）淘淘看到学校的旗杆后提出问题：学校的旗杆是否垂直于地面？如图，淘淘找来两根绳子，一端系在旗杆上的同一位置处，另一端分别固定在地面上的两个定点，处，淘淘用测角仪测量得到，，请你帮助淘淘判断旗杆是否垂直于地面，并说明理由．（两个定点，和旗杆在同一平面内，点在上，绳结处的长度误差忽略不计） 5．（24-25八年级上·陕西汉中·期末）学习《利用三角形全等测距离》后，数学兴趣小组同学就“测量河两岸A，B两点间距离”这一问题，设计了如下方案． 课题 测量河两岸A，B两点间距离 测量工具 测量角度的仪器、皮尺等 测量方案示意图 测量步骤 ①在点B所在河岸同侧的平地上取点和点，使得点在一条直线上，且（）； ②测得 ③在的延长线上取点，使得 ④测得的长度为30米． (1)两点间距离是____________米． (2)请你说明方案正确的理由． 6．（24-25八年级上·陕西咸阳·期末）如图是设计师绘制的一组智能通道闸机的截面图，闸机识别行人身份成功后，两侧的圆弧翼闸会收回到两侧闸机箱内，行人即可通过．已知和均垂直于地面，点、、、在同一水平线上，且与、垂直，，，．若，且，求设计出的闸机一侧边缘（即或）的长度． 7．（24-25八年级上·陕西咸阳·期末）数学实践活动课上，小辰和小轩所在的兴趣小组测量了学校教学楼的高度．测量方法如下：如图，在教学楼外水平地面上选定一点，用仪器测得，是垂直于地面的一根标杆，用仪器测得，且，，且，，三点在同一水平线上，请你根据以上数据，求出教学楼的高度． 8．（24-25八年级上·陕西咸阳·期末）如图，某数学小组的同学为了测量湖宽，先在的延长线上选定点；再在的下方选一适当的点，分别连接，，延长至点，使得，延长至点，使得，连接；最后在的延长线上找一点，使得点在同一直线上，这时，只要测出线段的长度就可知湖宽，你能说明其中的道理吗？ 9．（24-25八年级上·山东济南·期中）数学兴趣小组来到大明湖畔与美丽的花灯合影．如图2，小荷和小柳在花灯围栏旁的点B处拍了一张照片．小荷设计了一个方案测量花灯的边缘点A与点B的距离．小荷先沿方向走2.5米至点C，又沿着与垂直的方向走了3米至点D，并放置了一个标记物，接着往前再走相同的距离至点E，最后从点E处向左沿着与垂直的方向走了一定距离至点F．此时，她看到标记物正好遮住了花灯边缘的点A处，经过测量，米，请你帮小荷求出的长． 考点06角平分线的性质和判定 一、解答题 1．（24-25八年级上·重庆渝中·期末）如图，点在的边上，且，平分交于， 交于点． (1)求证：; (2)若，，，求的周长． 2．（24-25八年级上·陕西西安·期末）如图，在中，平分，平分，于点，于点． (1)若，，求的度数； (2)若，，求的面积． 3．（24-25八年级上·山西运城·期末）问题呈现： （1）如图1， 是的一条角平分线，，垂足为E．你认为与相等吗？并说明理由． 方法应用： （2）①如图2，在中，，是的角平分线，过点D作，若，，则的长为__________． ②如图3，在中，为的平分线，于点E，于点F，若的面积是72，，，求的长． 4．（24-25八年级上·广东湛江·期末）如图，在四边形中，，E为的中点，平分． (1)求证：平分； (2)求证：． 5．（24-25八年级下·广西来宾·期末）已知：如图，在四边形中，，过点C作于E，于F且． (1)求证：平分； (2)若，，求的长． 6．（24-25八年级上·陕西渭南·期末）如图，的延长线于点，于点，，连接、和，．求证：是的平分线． 7．（24-25八年级上·山东济宁·期末）图1是一个平分角的仪器，其中． (1)如图2，将仪器放置在上，使点O与顶点A重合，D，E分别在边上，沿画一条射线，交于点P．是的平分线吗？请判断并说明理由． (2)如图3，在（1）的条件下，过点P作⊥于点Q，若，的面积是60，求的长． 8．（24-25八年级上·安徽亳州·期末）如图，在和中，，连接交于点F，连接． (1)求的度数； (2)求证：平分． 9．（24-25八年级上·贵州贵阳·期末）如图，在四边形中，，平分，，垂足为点E，交的延长线于点F． (1)求证：； (2)若，求四边形的面积． 考点07尺规作图 一、解答题 1．（24-25八年级上·山西临汾·期末）如图，在中，是高，，． (1)画出的角平分线，分别交，于点，．（要求：尺规作图并保留作图痕迹，不写作法，标明字母） (2)求的度数． 2．（24-25八年级上·山西晋中·期末）项目化学习 项目主题：确定三角形菜园的小门位置 项目背景：某中学积极响应劳动教育的号召，在校园内开辟了一处“青禾”劳动实践基地．七年级三班负责管理一块形状为三角形的菜园．为了便于同学们日常进出浇水、施肥、采摘，同时最大程度避免踩踏菜畦，班级劳动委员会决定在菜园靠路的一边修建一扇小门．现需要精确的施工图纸． 方案设计：第一步：绘制三角形菜园示意图； 第二步：确定菜园小门的位置． 为确保通行便利和安全，希望小门的位置（点）在靠路的一边上，且到菜园另外两边（和）的距离相等． 方案实施： (1)测量获得菜园的两个内角，及其夹边长度（按比例缩至图纸尺寸为线段），如图所示． 请你利用尺规作出（其中，，）； (2)根据方案设计中的第二步，在（1）中所作的中用尺规确定小门的位置（点）． （要求：保留作图痕迹，标注字母，不写作法） 3．（24-25八年级上·陕西咸阳·期末）如图，已知是等腰三角形，，且．请用尺规作图的方法在边上求作一点，使得．（保留作图痕迹，不写作法） 4．（24-25八年级上·陕西西安·期末）如图，在四边形中，，请用直尺和圆规在上求作一点，使． 5．（24-25八年级上·北京·期末）在△ABC中，用圆规和直尺在图中作出的平分线，且点 在边 上．（保留作图痕迹，不写作法） 6．（24-25八年级上·吉林长春·期末）如图，在中，点D在边上，连接，过点D作于E． (1)作出的角平分线；（尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）； (2)若，则、具有怎样的数量关系？并加以证明． 7．（24-25八年级上·吉林长春·期末）如图，在中，，是边上的高． (1)尺规作图：作的角平分线，交于点（不写作法，保留作图痕迹）； (2)在（1）的基础上，若，求的度数． 考点08 角平分线与全等三角形的综合 一、解答题 1．（24-25八年级上·福建福州·期末）如图，点E在的平分线上，过点E作于点F，于点G，且． (1)求证：是的平分线： (2)求证：． 2．（24-25八年级上·甘肃兰州·期末）如图，已知中，点E在上，且． (1)请用无刻度的直尺与圆规进行基本作图：作的角平分线交于点D（不写作法，保留作图痕边） (2)在（1）所作的图形中，连接，试说明：． 3．（24-25八年级上·福建莆田·期末）如图所示，在△ABC中，∠BAC＝75°，∠ACB＝35°，∠ABC的平分线BD交边AC于点D． (1)求证：△BCD为等腰三角形； (2)若∠BAC的平分线AE交边BC于点E，如下图所示，求证：BD+AD＝AB+BE； (3)若∠BAC外角的平分线AE交CB延长线于点E，请你探究（2）中的结论是否仍然成立？若不成立，写出正确的结论并证明． 4．（24-25八年级上·陕西咸阳·期末）如图，在四边形中，，为的中点，连接，，并延长交的延长线于点． (1)与全等吗？请说明理由； (2)若． ①试说明； ②若，，，求点到的距离． 5．（24-25八年级上·山东济南·期末）如图，点C是的角平分线上一点，，，垂足分别为E，F．过点C作，交于点D，在射线上取一点B，使． (1)求证：； (2)若，，求的长． 6．（24-25八年级上·山东枣庄·期末）如图1和2，在四边形中，，，平分． (1)知识回顾：如图1，若，则可得．请说明理由． (2)问题解决：如图2，请说明． 7．（24-25八年级上·山西临汾期末）如图，CA＝CB，CD＝CE，∠ACB＝∠DCE＝α，AD、BE交于点H，连CH． （1）求证：△ACD≌△BCE； （2）求证：HC平分∠AHE； （3）求∠CHE的度数（用含α的式子表示）． 一、单选题（每小题3分，共30分） 1．已知图中的两个三角形全等，则等于（    ） A． B． C． D． 2．如图所示，亮亮书上的三角形被墨迹污染了一部分，很快他就根据所学知识画出一个与书上完全一样的三角形，那么这两个三角形完全一样的依据是（   ） A． B． C． D． 3．如图，已知与，分别以O，为圆心，以同样长为半径画弧，分别交，于点，，交，于点，．以为圆心，以长为半径画弧，交弧于点H，下列结论不正确的是（ ） A． B． C． D． 4．如图，点、、三点在同一直线上，且；若，则的度数为（   ） A． B． C． D． 5．在课堂上，李老师发给每人一张印有（如图1）的卡片，然后要求同学们画一个，使得．小宏同学先画出了之后，后续画图的主要过程如图所示．这种画图方法的依据是（   ） A． B． C． D． 6．要测量A，B间的距离（无法直接测出），两位同学提供了测量方案： 方案Ⅰ：①如图1，选定点O；②连接，并延长到点C，使，连接图1，并延长到点D，使；③连接，测量的长度即可． 方案Ⅱ：①如图2，选定点O；②连接，，并分别延长到点F，E，使，；③连接，测量的长度即可． 对于方案Ⅰ、Ⅱ，下列说法正确的是（　　） A．Ⅰ可行、Ⅱ不可行 B．Ⅰ不可行、Ⅱ可行 C．Ⅰ、Ⅱ都不可行 D．Ⅰ、Ⅱ都可行 7．如图，中，，为角平分线，，P为直线上一动点，连接，则线段的最小值是（   ） A．3 B．4 C．5 D．6 8．如图，的外角，的平分线，相交于点，于，于，下列结论：①；②点P在的平分线上；③．其中正确的有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．0个 9．如图，已知，则不一定能使的条件是（    ） A． B． C． D． 10．如图，在中，，，于R，于S，则下列三个结论：①；②；③，其中正确的结论是（ ） A．①②③ B．①② C．②③ D．①③ 二、填空题（每小题3分，共15分） 11．如图，于P，，添加下列一个条件，能利用“”判定的条件是 ． 12．如图，已知，且，，则 ． 13．如图，书架两侧摆放了若干本相同的书籍，左右两摞书之间竖直放入一个等腰直角三角板，其直角顶点在书架底部上，当顶点落在右侧书籍的上方边沿时，顶点恰好落在左侧2本书籍的上方边沿，点、、、，在同一平面内．已知每本书长，厚度为，则两摞书之间的距离为 ． 14．如图，中，，为的平分线．若点A到直线的距离为5，则长为 ． 15．如图，且，且，点、、共线，并且点、、到直线的距离分别为4，2，1，则四边形的面积为 ． 三、解答题（共8小题，共75分） 16．（10分）如图，，，求证．小力和小旺分别想到了两种证明方法，请你在以下解答过程的空白处填上适当的内容（理由或数学式）． 小力的证法： （已知）， 且 （①______）， 在和中， （③______）， （④______） 小旺的证法： ，（已知）， 且，（⑤______） ， 在和中， （⑦______）， ． 17．（(9分)如图，在中，，于点，，平分交于点的延长线交于点．求证： (1)； (2)； (3)． 18．（8分）已知：如图，与交于点与交于点，． (1)求证：； (2)求证：． 19．（8分）如图，在中，是上一点，与相交于点，是的中点，． (1)求证：； (2)若，，求的长． 20．（7分）综合与实践．某数学兴趣小组在校外开展综合与实践活动，记录如下： 活动项目 测量池塘两岸相对的两点的距离 活动方案 方案一 方案二 方案示意图 - 实施过程 1．池塘外取的垂线上的两点，使； 2．再画出的垂线，使与，在一条直线上； 3．测量出的长； 1．池塘外取的垂线上的点； 2．再画出的垂线，使与在一条直线上，且； 3．测量出的长； 测量数据 备注 1．图上所有点均在同一平面内； 2．为不可直接到达之地，离池塘边有一定距离； 1．图上所有点均在同一平面内； 2．为不可直接到达之地，离池塘边有一定距离； 请你从以上两种方案中任选一种，并求出间的距离． 21．（8分） “截长补短法”证明线段的和差问题： 先阅读背景材料，猜想结论并填空，然后做问题探究． 背景材料： （1）如图1：在四边形中，，，，E，F分别是上的点，且．探究图中线段之间的数量关系．探究的方法是，延长到点G．使，连接，先证明，再证明，可得出的结论是 ． 探索问题： （2）如图2，若四边形中，，E，F分别是上的点，且，上述结论是否仍然成立？成立的话，请写出推理过程． 22．(13分)综合与实践 数学活动课上，老师带领同学们以三角形为背景，探究线段之间的关系， 【问题情境】 已知，在中，，是射线上一动点，点在的右侧，线段，且． 【实践探究】 （1）如图1，这是“团结小组”探究画出的图形，请直接写出线段 与 的数量关系 （2）如图2，这是“雄鹰小组”探究画出的图形，请判断（1）中的结论是否成立，并说明理由． 【拓展应用】 （3）“钻研小组”在探究过程中提出了一个新的问题，在点运动的过程中，请直接写出线段，，之间的数量关系． 23．（12分）【基础回顾】 （1）如图1，在中，，，直线经过点，分别从点，向直线作垂线，垂足分别为，求证：； 【变式探究】 （2）如图2，在中，，直线经过点，点，分别在直线上，如果，猜想有何数量关系，并给予证明； 【拓展应用】 （3）小明和科技兴趣小组的同学制作了一幅机器人图案，大致图形如图3所示，以的边为一边向外作和，其中，，是边上的高，延长交于点．求证：是的中点． 典型考题解析 高频考点归纳 单元过关检测 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026人教版八年级数学上期末冲刺专题 专题03 全等三角形（高频考点归纳+解析+单元检测）(解析版) 考点01 全等三角形的性质 考点02 全等三角形的判定 考点03 添加条件使三角形全等 考点04 全等三角形的判定和性质综合 考点05 全等三角形的应用 考点06角平分线的性质和判定 考点07尺规作图 考点08 角平分线与全等三角形的综合 考点01 全等三角形的性质 一、单选题 1．（24-25八年级上·山西运城·期末）如图，点B，C，D在同一直线上，，若，，则等于（    ） A．7 B．8 C．9 D．10 【答案】C 【分析】本题考查了全等三角形的性质，熟练掌握知识点的应用是解题的关键．根据全等三角形的性质得出，再由线段和差即可求解． 【详解】解：∵， ∴，， ∵， ∴， 故选：C． 2．（24-25八年级上·北京·期末）如图，和是对应角．在中，是最长边，在中，是最长边，，则线段的长度及的度数是（   ）    A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了全等三角形的性质，根据全等三角形的对应边相等，对应角相等，即可求解． 【详解】解：∵和是对应角． ∴， 故选：C． 3．（24-25八年级上·陕西西安·期末）如图，点、、、在一条直线上，若，，则（    ） A．2 B．4 C．6 D．8 【答案】D 【分析】本题考查的是全等三角形的性质，熟记全等三角形的对应边相等是解题的关键．根据全等三角形的性质得到，得到，根据题意求出，进而求出． 【详解】解：∵， ∴， ∴，即， ∵，， ∴， ∴， ∴， 故选：D． 二、填空题 4．（24-25八年级上·山西临汾·期末）如图，已知，点A的对应点为点E，点B的对应点为点D．若，，则的长为 ． 【答案】2 【分析】本题主要考查了全等三角形的性质．根据全等三角形的性质可得，从而得到，即可求解． 【详解】解：∵， ∴， ∴，即， ∵，， ∴， ∴． 故答案为：2 5．（24-25八年级上江苏·期末）如图，中，点D，E分别在边，上，若，则的度数为 ． 【答案】 【分析】本题考查了全等三角形的性质． 先由全等三角形的性质得到，进而由全等三角形的性质得到，，根据三角形内角和即可得解． 【详解】解：∵， ∴， ∵ ∴， ∵， ∴， 即， 故答案为：． 6．（24-25八年级上·浙江台州·期末）如图，，若，则长度为 ． 【答案】6 【分析】此题主要考查了全等三角形的性质．关键是掌握全等三角形的对应边相等． 根据全等三角形的性质可得，进而可得答案． 【详解】解：∵，， ∴， ∴． 故答案为：6． 考点02 全等三角形的判定 一、单选题 1．（24-25八年级上·山西吕梁期末）如图，，，则下列增加的条件中不能证明的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了全等三角形的判定定理，根据全等三角形的判定定理逐项分析即可得解，熟练掌握全等三角形的判定定理是解此题的关键． 【详解】解：A．由于，，添加条件，不能用证明，故本选项符合题意； B．由于，，添加条件，可以利用证明，故本选项不符合题意； C．由于，，添加条件，可得，即，可以利用证明，故本选项不符合题意； D．由于，，添加条件，可以利用证明，故本选项不符合题意； 故选：A． 2．（24-25八年级上·山西晋中·期末）如图，为测量太原永祚寺内宣文塔底座的最大宽度，某地理课外实践小组在宣文塔旁的开阔地上选了一点C，测得的度数，在的另一侧测得，，得到，再测得的长，就是的长，从而得出宣文塔底座的最大宽度，那么判定的理由是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了全等三角形的判定． 根据题意可得，，结合公共边，即可解答． 【详解】解：在和中， ， ∴． 故选：A． 二、填空题 3．（24-25八年级上·北京海淀·期末）如图，在中，是中线，直线于F，于E，若，，则中线的长是 ． 【答案】12 【分析】本题主要考查了三角形全等的判定和性质，垂线定义，证明是解题的关键．证明，得出，即可得出答案． 【详解】解：∵，， ∴， ∵在中，是中线， ∴， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 故答案为：12． 4．（24-25八年级上·浙江·期末）如图，，E为的中点．若，，则 ． 【答案】6 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，由平行线的性质可得，由题意可得，再证明，得出，即可得解，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解此题的关键． 【详解】解：∵， ∴， ∵E为的中点， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴， 故答案为：． 三、解答题 5．（24-25八年级上·山西晋中·期末）如图，已知，．点B、E、C、F在同一条直线上并且． (1)试说明：； (2)判断线段与线段的数量关系和位置关系，说明理由． 【答案】(1)见解析 (2)．理由见解析 【分析】本题考查平行线的性质、全等三角形的判定和性质等知识，解题的关键是正确寻找全等三角形的全等条件． （1）直接利用全等三角形的判定方法可得出答案； （2）由全等三角形的性质可得出结论． 【详解】（1）证明：∵， ∴ ∵， ∴， 在和中， ， ∴． （2）解：．理由如下： ∵， ∴， ∴． 6．（24-25八年级上·陕西宝鸡·期末）如图，点，在上，，，且． (1)与全等吗？请说明理由： (2)与平行吗？为什么？ 【答案】(1)全等，理由见解析 (2)平行，理由见解析 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，平行线的判定与性质，熟练掌握全等三角形的判定与性质，平行线的判定与性质是解题的关键． （1）先由得到，然后平行导角得到，再由，即可利用证明； （2）由，得到，即可证明平行． 【详解】（1）解：与全等，理由如下： 证明：∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵ ∴； （2）解：，理由如下： ∵， ∴， ∴． 7．（24-25八年级上·江苏南京·期末）已知：如图，， ，．求证：． 【答案】见解析 【分析】根据，求出，根据全等三角形的判定定理可推出，进而得出． 本题主要考查了全等三角形的判定和性质，做题的关键是找出证三角形全等的条件． 【详解】证明：∵， ∴， 即， 在和中， ， ∴． ∴． 8．24-25八年级上·广东广州·期末）已知：如图，，，，求证：． 【答案】见详解 【分析】先证明AC＝DF，再利用SAS证明△ABC≌△DEF，从而得出∠A＝∠D． 【详解】证明：∵AF＝DC， ∴AF＋FC＝DC＋FC， 即AC＝DF， ∵BC∥EF， ∴∠EFC＝∠BCA， 在△EFD和△BCA中， ， ∴△EFD≌△BCA（SAS）， ∴∠A＝∠D． 【点睛】本题考查了全等三角形的判定和性质，判定三角形全等的方法有“SSS”、“SAS”、“ASA”、“AAS”，全等三角形的对应边相等．也考查了平行线的性质． 考点03 添加条件使三角形全等 一、单选题 1．（24-25八年级上·陕西咸阳·期末）如图，与相交于点，且是的中点，添加下列条件，不能说明的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】已知是中点，可得，且（对顶角相等）．根据全等三角形判定定理（、、），逐一分析添加各选项条件后能否判定．本题主要考查了全等三角形的判定，熟练掌握全等三角形的判定定理（、、）是解题的关键． 【详解】解：是的中点， ， 又（对顶角相等）． 若添加 ，，， ，故项正确，不符合题意． 若添加 ，，， ，故项正确，不符合题意． 若添加 ，，， ，故项正确，不符合题意． 若添加 此时是“边边角”的情况，不能判定，故项错误，符合题意． 故选：． 2．（24-25八年级上·山西临汾·期末）如图，已知，添加下列一个条件后，仍无法判定的是（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了全等三角形的判定，熟练掌握全等三角形的判定方法是解题的关键．根据全等三角形的判定方法分别对各个选项进行判断即可． 【详解】解：A、∵，，，∴，故选项A不符合题意； B、∵，∴，故选项B不符合题意； C、∵，∴，故选项C不符合题意； D、∵，∴不能判定，故选项D符合题意； 故选：D． 3．（24-25八年级上·浙江杭州·期末）如图，点、、、在同一条直线上，，，需要再补充一个条件，使．以下补充条件中，错误的是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查全等三角形的判定，根据全等三角形判定逐个即判断可得到答案． 【详解】解：A、添加，可用“”证明； B、由得到，即，可用“”证明； C、由得到，即，可以“”证明； D、添加不能证明． 故选：D 二、填空题 4．（24-25八年级上·山西晋中·期末）如图所示，若，，请你添加一个条件后，就能证得，你添加的条件是 ． 【答案】（不唯一） 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定，掌握全等三角形的判定定理是解题的关键． 根据的条件进行解答即可． 【详解】解：∵，， ∴由可知，添加可证明； 由可知：添加可证明； 由可知：添加可证明． 故答案为： （不唯一）． 5．（24-25八年级上·山西晋中·期末）如图，，要使，则需要添加的条件可以是 ．（添加一个条件即可） 【答案】（答案不唯一） 【分析】本题主要考查全等三角形的判定，掌握全等三角形的判定方法是解题的关键．根据三角形全等的判定（，，，，）即可求解． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴， 即， 添加，根据证明； 添加，根据证明； 添加，根据证明； 添加，得出，根据补角性质得出，根据证明； 故答案为：或或或（答案不唯一）． 6．（24-25八年级上·陕西咸阳·期末）如图，，添加一个条件 ，使．（不添加辅助线和点） 【答案】或或 【分析】本题考查添加一个条件使两个三角形全等，涉及两个三角形全等的判定定理，熟记两个三角形全等的判定定理、和是解决问题的关键．由图可知与有公共边，再由，结合、和判定即可得到答案． 【详解】解：如图所示： 与有公共边， ， 当时，由两个三角形全等的判定定理即可得证； 当时，由两个三角形全等的判定定理即可得证； 当时，由两个三角形全等的判定定理即可得证； 故答案为：或或． 7．（24-25八年级上·江苏南京·期末）如图，E、C是线段BF上的两点，且，那么需要补充一个条件 （写出一个即可），才能使． 【答案】（答案不唯一） 【分析】根据全等三角形的判定定理（），推出，即可得出答案． 本题主要考查对全等三角形的判定定理的理解和掌握，能熟练地运用全等三角形的判定定理进行证明是解此题的关键． 【详解】解：条件是，答案不唯一 理由是：∵， ∴． 故答案为：． 考点04 全等三角形的判定和性质综合 一、单选题 1．（24-25八年级上·山西长治·期末）如图，在中，．以点A为圆心，的长为半径画弧，交于点D，再分别以点A，D为圆心，，的长为半径画弧交于点E，连接，．则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质，掌握三边对应相等的两个三角形全等是解题关键． 由已知可知，然后根据全等三角形的性质分析求解． 【详解】解：由作图可知，，， ∴， ∴， 故选：C． 2．（24-25八年级上·浙江杭州·期末）在中，是边上的中线，若，则的取值范围是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查全等三角形的判定与性质，三角形三边的关系，正确作出辅助线，构造全等三角形是解题的关键． 延长至点，使，利用证明，得，再利用三角形三边关系可得答案． 【详解】解：延长至点，使，则，   为边上的中线， ， 在和中， ， ， ， ∵ ∴，即， ∴． 故选：B． 二、填空题 3．（24-25八年级上·山西晋中·期末）如图，在中，，，，AD平分交BC于点D，过点D作交AB于点E，点P是DE上的动点，点Q是BD上的动点，则的最小值为 ． 【答案】10 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定和性质，轴对称，角平分线的定义，过点D作于H，并延长，先判断出，再判断出，在上取一点，使，连接，进而判断出，得出，即可判断出时，最小，即可求出答案． 【详解】解：如图，过点D作于H，并延长， ∴， ∵是的平分线， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 在上取一点，使，连接， ∵， ∴， ∴， ∴（假设点Q是定点，点共线时，取最小）， ∵点Q是动点， ∴当时，即点与点H重合，的最小值为， 故答案为：10． 4．（24-25八年级上·陕西咸阳·期末）如图，的边与的边相交于点，，过点作，交于点，且，，若，，则的面积是 ． 【答案】 【分析】本题考查全等三角形的判定与性质：通过“角边角()”判定和全等，利用全等三角形对应边相等的性质得出；再根据三角形面积公式的应用：将的面积拆分为和的面积之和，再根据三角形面积公式进行计算即可解答． 【详解】解：∵，， ∴， 在和中：， ∴， 又∵，， ∴，， ∵， ∴ ∴， ， ， ∴． 故答案为：． 5．（24-25八年级上·北京朝阳·期末）如图所示的网格为正方形网格，则 ．    【答案】90 【分析】先证，则可得，再根据三角形外角定理即可得解． 本题主要考查了全等三角形的判定和性质以及三角形外角定理．熟练掌握以上知识是解题的关键． 【详解】解： ∵和中， ， ， ， ∵是的一个外角， ， 即， ， ． 故答案为：90    三、解答题 6．（24-25八年级上·山西太原·期末）如图，已知点是线段上的两点，且，试判断与的数量关系，并说明理由． 【答案】，见解析 【分析】本题主要考查了全等三角形的性质与判定，先证明，再利用证明，则可证明． 【详解】解：,理由如下： ∵点是线段上的点，， ∴，即， 在和中， ， ∴， ∴． 7．（24-25八年级上·陕西宝鸡·期末）如图，点，在上，，，且． (1)与全等吗？请说明理由： (2)与平行吗？为什么？ 【答案】(1)全等，理由见解析 (2)平行，理由见解析 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，平行线的判定与性质，熟练掌握全等三角形的判定与性质，平行线的判定与性质是解题的关键． （1）先由得到，然后平行导角得到，再由，即可利用证明； （2）由，得到，即可证明平行． 【详解】（1）解：与全等，理由如下： 证明：∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵ ∴； （2）解：，理由如下： ∵， ∴， ∴． 8．（24-25八年级上·北京海淀·期末）如图，在中，，D，E是上两点，且，过点D作，过E作交于点F．求证：． 【答案】见详解 【分析】该题考查了全等三角形的性质和判定，平行线的性质，证明，即可解答． 【详解】证明：∵， ∴， ∵，， ∴， 在和中 ∴， ∴． 9．（24-25八年级上·山西阳泉·期末）已知：如图，，，，垂足分别为、、，且，求证：． 【答案】证明见解析 【分析】本题考查了垂直、三角形全等的判定，熟练掌握三角形全等的判定方法是解题关键．先根据垂直的定义可得，再证出，然后根据定理即可得证． 【详解】证明：∵，，， ∴， ∴， ∴， 在和中， ， ∴． 考点05 全等三角形的应用 一、解答题 1．（24-25八年级上·山西晋中·期末）项目式学习 【项目主题】 测量分别位于某池塘两侧两根电线杆之间的距离，即输电线路的长度． 【项目背景】 如图，一条输电线路需跨越一个池塘，池塘两侧处各立有一根电线杆，但利用现有的皮尺、测量角度的仪器无法直接测量出之间的距离．利用现有的工具，请你设计一种方案，可以求出之间的距离． 【答案】见解析 【分析】本题考查全等三角形的判定及性质．在池塘边上取一点，测量出的长度， 在的延长线上取点，使；在的延长线上取点，使，连接．且点在同一水平面上．可证明，得到，即可解答． 【详解】解：如图，在池塘边上取一点，测量出的长度，在的延长线上取点，使；在的延长线上取点，使，连接．且点在同一水平面上． 在和中： ， ∴， ∴， 所以利用皮尺测量出的长即可求得的长，即之间的距离．（答案不唯一） 2．（24-25八年级上·北京·期末）乐乐与爸爸、妈妈在操场上荡秋千．乐乐坐在秋千上的起始位置是A处，起始位置与地面垂直，两脚在地面上用力一蹬，妈妈在距地面 1.2 m 高的处接住她，妈妈用力一推，爸爸在处接住她．若妈妈与爸爸到秋千起始位置的水平距离分别为 和． (1)与全等吗？ 请说明理由； (2)爸爸在距离地面多高的地方接住乐乐？ 【答案】(1)，见解析 (2) 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，直角三角形的性质，证明是解答本题的关键． （1）由直角三角形的性质得出，根据可证明； （2）由全等三角形的性质得出，求出的长则可得出答案； 【详解】（1）解：．理由如下： ， ， ； ， ； （2）解：∵， ； ∵分别为和， ， ； ∵妈妈在距地面 高的处，且， ∴爸爸在距离地面高的地方接住乐乐． 3．（24-25八年级上·陕西西安·期末）如图，小艺站在河边的点处，在河对面（小艺的正北方向）的点处有一电线塔，他想知道电线塔离他有多远，于是他向正西方向走了20步到达一棵树处，接着再向正西方向走了20步到达处；然后他左转后（即）直行，从点处开始计步，当小艺看到电线塔、树与自己现在的位置在一条直线时，他恰好走了42步，并且小艺一步大约0.6米．请根据以上数据求出小艺在点处时他与电线塔的距离． 【答案】25.2米 【分析】本题考查全等三角形的应用，关键是全等三角形判定定理的应用．根据可得出，由该全等三角形的性质，故可求解． 【详解】解：根据题意，得． 在和中， ， ∴． ∴． 又∵小艺恰好走了42步，并且小艺一步大约0.6米， ∴（米）． 答：小艺在点A处时他与电线塔的距离为25.2米． 4．（24-25八年级上·陕西西安·期末）淘淘看到学校的旗杆后提出问题：学校的旗杆是否垂直于地面？如图，淘淘找来两根绳子，一端系在旗杆上的同一位置处，另一端分别固定在地面上的两个定点，处，淘淘用测角仪测量得到，，请你帮助淘淘判断旗杆是否垂直于地面，并说明理由．（两个定点，和旗杆在同一平面内，点在上，绳结处的长度误差忽略不计） 【答案】旗杆垂直于地面，理由见解析． 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，垂线的性质．利用证明，然后利用全等三角形的性质可得，从而可得，即可解答． 【详解】解：， 理由：在和中， ， ， ， ， ， ． 5．（24-25八年级上·陕西汉中·期末）学习《利用三角形全等测距离》后，数学兴趣小组同学就“测量河两岸A，B两点间距离”这一问题，设计了如下方案． 课题 测量河两岸A，B两点间距离 测量工具 测量角度的仪器、皮尺等 测量方案示意图 测量步骤 ①在点B所在河岸同侧的平地上取点和点，使得点在一条直线上，且（）； ②测得 ③在的延长线上取点，使得 ④测得的长度为30米． (1)两点间距离是____________米． (2)请你说明方案正确的理由． 【答案】(1)30 (2)见解析 【分析】本题考查了三角形内角和定理，全等三角形的判定和性质，熟练掌握全等三角形的性质是解题关键． （1）直接猜想两点间距离是米． （2）由三角形内角和定理，得出，进而证明，推出，即可求解． 【详解】（1）解：两点间距离是米； （2）解：， ． ， ． 在和中， ， ． ， ， 米， 即、两点间的距离为30米． 6．（24-25八年级上·陕西咸阳·期末）如图是设计师绘制的一组智能通道闸机的截面图，闸机识别行人身份成功后，两侧的圆弧翼闸会收回到两侧闸机箱内，行人即可通过．已知和均垂直于地面，点、、、在同一水平线上，且与、垂直，，，．若，且，求设计出的闸机一侧边缘（即或）的长度． 【答案】． 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定与性质，利用可证，根据全等三角形对应边相等可知，，从而可以求出，从而可得，根据可得：． 【详解】解：由题意得，， ． 在和中，， ， ，， ，， ， ， ，， ， 设计出的双翼边缘（即和）的长度为． 7．（24-25八年级上·陕西咸阳·期末）数学实践活动课上，小辰和小轩所在的兴趣小组测量了学校教学楼的高度．测量方法如下：如图，在教学楼外水平地面上选定一点，用仪器测得，是垂直于地面的一根标杆，用仪器测得，且，，且，，三点在同一水平线上，请你根据以上数据，求出教学楼的高度． 【答案】教学楼的高度为 【分析】本题考查全等三角形的应用．熟练掌握全等三角形的判定与性质是解题的关键． 先证明，再证明，得到，即可求解． 【详解】解：∵，， ， ．     在与中， ，，，     ，     ， 故教学楼的高度为． 8．（24-25八年级上·陕西咸阳·期末）如图，某数学小组的同学为了测量湖宽，先在的延长线上选定点；再在的下方选一适当的点，分别连接，，延长至点，使得，延长至点，使得，连接；最后在的延长线上找一点，使得点在同一直线上，这时，只要测出线段的长度就可知湖宽，你能说明其中的道理吗？ 【答案】见解析 【分析】本题考查了三角形全等的判定与性质、平行线的判定与性质等知识，熟练掌握三角形全等的判定方法是解题关键．先证出，根据全等三角形的性质可得，再根据平行线的判定与性质可得，然后证出，根据全等三角形的性质即可得． 【详解】解：在和中， ， ∴， ∴， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， 即只要测出线段的长度就可知湖宽． 9．（24-25八年级上·山东济南·期中）数学兴趣小组来到大明湖畔与美丽的花灯合影．如图2，小荷和小柳在花灯围栏旁的点B处拍了一张照片．小荷设计了一个方案测量花灯的边缘点A与点B的距离．小荷先沿方向走2.5米至点C，又沿着与垂直的方向走了3米至点D，并放置了一个标记物，接着往前再走相同的距离至点E，最后从点E处向左沿着与垂直的方向走了一定距离至点F．此时，她看到标记物正好遮住了花灯边缘的点A处，经过测量，米，请你帮小荷求出的长． 【答案】的长为米． 【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质．利用证明，即可求解． 【详解】解：由题意得米，米，米，， 点在同一直线上， 在和中，， ∴， ∴米， ∴米， 答：的长为米． 考点06角平分线的性质和判定 一、解答题 1．（24-25八年级上·重庆渝中·期末）如图，点在的边上，且，平分交于， 交于点． (1)求证：; (2)若，，，求的周长． 【答案】(1)证明见解析 (2)10 【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质，平行线的性质，角平分线的定义，根据全等三角形的判定定理证得是解题的关键． （1）根据平行线的性质得到，等量代换得到，由角平分线的定义得到，根据全等三角形的判定定理即可得到结论； （2）根据全等三角形的性质得到，，由线段的和差得到，根据三角形的周长公式即可得到结论． 【详解】（1）证明：， ， ， ， 平分， ， 在和中， ， ； （2）解：， ，， ， ， 的周长． 2．（24-25八年级上·陕西西安·期末）如图，在中，平分，平分，于点，于点． (1)若，，求的度数； (2)若，，求的面积． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了三角形的内角和定理，角平分线的性质，角平分线的意义，解题关键是掌握上述性质求解． （1）先利用角平分线的意义分别求出与，再利用三角形的内角和定理求得的度数； （2）先利用角平分线的性质求得，再利用三角形的面积公式求的面积． 【详解】（1）解：∵平分，平分，，， ∴，， ∴； （2）∵平分，于点，于点，， ∴， 又， ∴的面积为． 3．（24-25八年级上·山西运城·期末）问题呈现： （1）如图1， 是的一条角平分线，，垂足为E．你认为与相等吗？并说明理由． 方法应用： （2）①如图2，在中，，是的角平分线，过点D作，若，，则的长为__________． ②如图3，在中，为的平分线，于点E，于点F，若的面积是72，，，求的长． 【答案】（1）相等，理由见解析；（2）①3；②6 【分析】本题主要考查了角平分线的性质：角平分线上的点到角两边的距离相等．熟练掌握角平分线的性质是解题的关键． （1）根据“角平分线上的点到角两边的距离相等”可得； （2）①由角平分线的性质可得，求得，因此； ②根据角平分线的性质可得，再根据即可求出的长． 【详解】解：∵是直角三角形，， ∴， ∵平分，且，， ∴． （2）①∵是的角平分线，， ， ∴， ∵，， ∴， ∴ ． 故答案为：3． ②∵为的平分线，，， ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴． 解得． 4．（24-25八年级上·广东湛江·期末）如图，在四边形中，，E为的中点，平分． (1)求证：平分； (2)求证：． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】（1）先根据角平分线的性质说明，再结合线段中点的意义说明，然后根据角平分线判断得出结论； （2）先根据分别证明，，分别得出，，结合可得出结论． 【详解】（1）证明：如图，过点E作于点F， ∵，平分， ∴， ∵E为的中点， ∴， ∴， ∴平分； （2）证明：∵，， ∴ 又，， ∴， ∴， ∵， ∴， 又，， ∴， ∴， 又， ∴， 即． 【点睛】本题考查了线段中点的有关计算，全等的性质和综合（），角平分线的性质定理，角平分线的判定定理等知识，解题关键是掌握上述知识点并能运用求解． 5．（24-25八年级下·广西来宾·期末）已知：如图，在四边形中，，过点C作于E，于F且． (1)求证：平分； (2)若，，求的长． 【答案】(1)见解析 (2)4cm 【分析】本题考查了直角三角形全等的判定与性质，角平分线的性质定理的逆定理，熟练掌握全等三角形的判定与性质及角平分线的性质定理的逆定理是解题的关键． （1）根据直角三角形全等的判定证明，所以，再根据角平分线的性质定理的逆定理，即可证明结论； （2）根据直角三角形全等的判定证明，可得，进一步即可求得答案． 【详解】（1）证明：，， ，， 和均为直角三角形， 在和中， ， ， ， ，， 平分； （2）解：，， 和均为直角三角形， 在和中， ， ， ， ，， ， ． 6．（24-25八年级上·陕西渭南·期末）如图，的延长线于点，于点，，连接、和，．求证：是的平分线． 【答案】证明见解析 【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质，角平分线的判定，先证明，得到，再根据角平分线的判定即可求证，掌握以上知识点是解题的关键． 【详解】证明：∵的延长线于点，于点， ∴， 又∵，， ∴， ∴， ∵，，， ∴点在的平分线上， ∴是的平分线． 7．（24-25八年级上·山东济宁·期末）图1是一个平分角的仪器，其中． (1)如图2，将仪器放置在上，使点O与顶点A重合，D，E分别在边上，沿画一条射线，交于点P．是的平分线吗？请判断并说明理由． (2)如图3，在（1）的条件下，过点P作⊥于点Q，若，的面积是60，求的长． 【答案】(1)是的平分线，理由见解析 (2) 【分析】本题主要考查三角形全等的判定方法及角平分线的性质，能够熟练运用角平分线的性质得到高的长度是解题关键． （1）利用三条对应边相等证明来得到即可． （2）利用角平分线上的点到角两边的距离相等得到的高，再运用割补法及面积计算公式解题即可． 【详解】（1）解：是的平分线 理由如下： 在和中， ， ∴ ∴， ∴平分． （2）解： ∵平分，， ∴的高等于， ∵． ∴， ∵ ∴． 8．（24-25八年级上·安徽亳州·期末）如图，在和中，，连接交于点F，连接． (1)求的度数； (2)求证：平分． 【答案】(1) (2)见解析 【分析】此题重点考查全等三角形的判定与性质、根据面积等式证明线段相等、角平分线的判定等知识，证明是解题的关键． （1）设交于点I，由，推导出，而，，即可根据“”证明，得，则； （2）作于点H，于点J，由，，且，，得，则，所以点A在的平分线上，则平分． 【详解】（1）解：设交于点I， ∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴， ∴的度数是． （2）证明：作于点H，于点J， 由（1）得， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴点A在的平分线上， ∴平分． 9．（24-25八年级上·贵州贵阳·期末）如图，在四边形中，，平分，，垂足为点E，交的延长线于点F． (1)求证：； (2)若，求四边形的面积． 【答案】(1)见解析 (2)8 【分析】本题考查了角平分线的性质，全等三角形的判定和性质． （1）由平分，可知，可证，即可得到； （2）求出，证明，得到，由得到，进而可求四边形的面积． 【详解】（1）证明：平分，． ． ， ． ； （2）解：， ． ， 且， ． ． ， ． ， ∴． 考点07尺规作图 一、解答题 1．（24-25八年级上·山西临汾·期末）如图，在中，是高，，． (1)画出的角平分线，分别交，于点，．（要求：尺规作图并保留作图痕迹，不写作法，标明字母） (2)求的度数． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】此题考查作图—作角平分线及三角形内角和定理的应用，三角形外角的性质，解题关键在于根据题意作出图形． （1）利用基本作图（作已知角的角平分线）作平分即可； （2）先求，再根据角平分线求出，进而利用三角形外角的性质根据求出结论． 【详解】（1）如图所示，即为所求． （2）∵，， ∴ ∵是的平分线 ∴ ∵是边上的高 ∴ ∴． 2．（24-25八年级上·山西晋中·期末）项目化学习 项目主题：确定三角形菜园的小门位置 项目背景：某中学积极响应劳动教育的号召，在校园内开辟了一处“青禾”劳动实践基地．七年级三班负责管理一块形状为三角形的菜园．为了便于同学们日常进出浇水、施肥、采摘，同时最大程度避免踩踏菜畦，班级劳动委员会决定在菜园靠路的一边修建一扇小门．现需要精确的施工图纸． 方案设计：第一步：绘制三角形菜园示意图； 第二步：确定菜园小门的位置． 为确保通行便利和安全，希望小门的位置（点）在靠路的一边上，且到菜园另外两边（和）的距离相等． 方案实施： (1)测量获得菜园的两个内角，及其夹边长度（按比例缩至图纸尺寸为线段），如图所示． 请你利用尺规作出（其中，，）； (2)根据方案设计中的第二步，在（1）中所作的中用尺规确定小门的位置（点）． （要求：保留作图痕迹，标注字母，不写作法） 【答案】(1)见详解 (2)见详解 【分析】本题考查了尺规作图，作一个角等于已知角，作角平分线，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）先作出线段线段，然后在点处分别作出，即可作答． （2）根据小门的位置（点）在靠路的一边上，且到菜园另外两边（和）的距离相等且结合角平分线的判定：到角的两边距离相等的点在角的平分线上，所以作出的平分线，与的交点即为点D． 【详解】（1）解：如图所示，为所求三角形： （2）解：如图所示，点为所求小门位置． 3．（24-25八年级上·陕西咸阳·期末）如图，已知是等腰三角形，，且．请用尺规作图的方法在边上求作一点，使得．（保留作图痕迹，不写作法） 【答案】见解析 【分析】根据，，得到．结合，得，即作的平分线即可．本题考查了等腰三角形的性质，角的平分线的基本作图，熟练掌握性质和基本作图是解题的关键． 【详解】解：根据，，得到．结合，得，即作的平分线，作图如下： 点即为所求． 4．（24-25八年级上·陕西西安·期末）如图，在四边形中，，请用直尺和圆规在上求作一点，使． 【答案】见解析 【分析】本题考查作图﹣复杂作图，全等三角形的判定和性质，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题．作平分交于点E，连接，点E即为所求． 【详解】解：如图，点E即为所求． 根据作图可知：， ∵，， ∴， ∴． 5．（24-25八年级上·北京·期末）在△ABC中，用圆规和直尺在图中作出的平分线，且点 在边 上．（保留作图痕迹，不写作法） 【答案】见解析 【分析】本题考查了作角平分线，正确的作出角平分线是解题的关键．直接利用角平分线的作法作的平分线，且点 在边 上，即可求解． 【详解】如图所示：即为所求 6．（24-25八年级上·吉林长春·期末）如图，在中，点D在边上，连接，过点D作于E． (1)作出的角平分线；（尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）； (2)若，则、具有怎样的数量关系？并加以证明． 【答案】(1)见解析 (2)，证明见解析 【分析】本题考查了作角平分线，平行线的性质，等腰三角形的性质与判定；熟练掌握基本作图以及等腰三角形的性质与判定是解题的关键； （1）根据题意作出的角平分线交于点，即可； （2）根据角平分线的定义可得 ，根据平行线的性质得出，进而得出，即可证明，根据等腰三角形的性质，即可得出结论． 【详解】（1）解：如图所示， （2）， 证明：∵平分 ∴ ∵， ∴ ∴ ∴， ∵ ∴ 7．（24-25八年级上·吉林长春·期末）如图，在中，，是边上的高． (1)尺规作图：作的角平分线，交于点（不写作法，保留作图痕迹）； (2)在（1）的基础上，若，求的度数． 【答案】(1)图见解析 (2) 【分析】本题考查作图-基本作图、直角三角形的性质． （1）根据角平分线的作图方法作图即可； （2）由题意得，，由角平分线的定义得，则． 【详解】（1）解：如图，即为所求； （2）解：在中，，， ， 是的角平分线， ， 是边上的高， ， ． 考点08 角平分线与全等三角形的综合 一、解答题 1．（24-25八年级上·福建福州·期末）如图，点E在的平分线上，过点E作于点F，于点G，且． (1)求证：是的平分线： (2)求证：． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】此题考查了角平分线的性质定理和判定定理，全等三角形的性质和判定等知识，解题的关键是掌握以上知识点． （1）过点E作于点H，根据角平分线的性质定理和判定定理求解即可； （2）证明出，得到，同理可得，进而求解即可． 【详解】（1）过点E作于点H 点E在的平分线上， ， ， ． 又 是的平分线． （2）， 在和中 ， 同理可得， ． 2．（24-25八年级上·甘肃兰州·期末）如图，已知中，点E在上，且． (1)请用无刻度的直尺与圆规进行基本作图：作的角平分线交于点D（不写作法，保留作图痕边） (2)在（1）所作的图形中，连接，试说明：． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题考查尺规作图——作角平分线，三角形全等的判定及性质． （1）根据作角平分线的尺规作图的方法作图即可； （2）证明，得到． 【详解】（1）解：如图，为所求； （2）证明：平分， ． 在与中， ， ， ． 3．（24-25八年级上·福建莆田·期末）如图所示，在△ABC中，∠BAC＝75°，∠ACB＝35°，∠ABC的平分线BD交边AC于点D． (1)求证：△BCD为等腰三角形； (2)若∠BAC的平分线AE交边BC于点E，如下图所示，求证：BD+AD＝AB+BE； (3)若∠BAC外角的平分线AE交CB延长线于点E，请你探究（2）中的结论是否仍然成立？若不成立，写出正确的结论并证明． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3)探究（2）中的结论不成立，正确结论：BD+AD＝BE-AB，理由见解析 【分析】（1）如图所示，先根据三角形内角和的得∠ABC=70°，由角平分线及已知角可得，∠DBC=∠ACB=35°，可得结论； （2）证法一：如下图所示，在AC上截取AH＝AB，连接EH，证明△ABE≌△AHE，则BE＝EH，∠AHE＝∠ABE＝70°，所以EH＝HC，得AB+BE＝AH+HC＝AC=AD+CD=BD+AD 证法二：如图所示，在AB的延长线上取AF＝AC，连接EF，证明△AEF≌△AEC，则∠F＝∠C=35°，得BF=BE，可得结论 （3）正确画图，做辅助线，构造等腰三角形，根据角的大小证明：AF=AC=EF，则线段的和与差可得结论 【详解】（1）如下图所示，在△ABC中，∠BAC＝75°，∠ACB＝35°， ∴∠ABC＝180°﹣∠BAC﹣∠ACB＝70°， ∵BD平分∠ABC， ∴∠DBC＝∠ABD＝35°， ∴∠DBC＝∠ACB＝35°， ∴△BCD为等腰三角形； （2）证法一：如下图所示，在AC上截取AH＝AB，连接EH， 由（1）得：△BCD为等腰三角形， ∴BD＝CD， ∴BD+AD＝CD+AD＝AC， ∵AE平分∠BAC， ∴∠EAB＝∠EAH， ∴△ABE≌△AHE（SAS）， ∴BE＝EH，∠AHE＝∠ABE＝70°， ∴∠HEC＝∠AHE﹣∠ACB＝35°， ∴EH＝HC， ∴AB+BE＝AH+HC＝AC， ∴BD+AD＝AB+BE； 证法二：如下图所示，在AB的延长线上取AF＝AC，连接EF， 由（1）得：△BCD为等腰三角形，且BD＝CD， ∴BD+AD＝CD+AD＝AC， ∵AE平分∠BAC， ∴∠EAF＝∠EAC， ∴△AEF≌△AEC（SAS）， ∴∠F＝∠C， ∵∠C＝35° ∴∠F＝∠C＝35° 由（1）知∠ABC＝70° ∴∠BEF=35°                             ∴∠F=∠BEF ∴BF＝BE， ∴AB+BE＝AB+BF＝AF， ∴BD+AD＝AB+BE； （3）探究（2）中的结论不成立，正确结论：BD+AD＝BE-AB，理由是： 如上如图所示，在BE上截取BF＝AB，连接AF， ∴∠AFB＝∠BAF ∵∠ABC＝70°， ∴∠AFB＝∠BAF＝35°， ∵∠BAC＝75°， ∴∠HAB＝105°， ∵∠BAC＝75° ∴∠BAH＝105° ∵AE平分∠HAB， ∴∠EAB＝∠HAB＝52.5°， ∴∠EAF＝52.5°﹣35°＝17.5°＝∠AEF＝17.5°， ∴AF＝EF， ∵∠AFC＝∠C＝35°， ∴AF＝AC＝EF， ∴BE-AB＝BE-BF＝EF＝AC＝AD+CD＝AD+BD． 【点睛】本题考查了角平分线的性质，全等三角形的判定和性质，三角形内角和和外角的性质，正确作出辅助线是解题关键 4．（24-25八年级上·陕西咸阳·期末）如图，在四边形中，，为的中点，连接，，并延长交的延长线于点． (1)与全等吗？请说明理由； (2)若． ①试说明； ②若，，，求点到的距离． 【答案】(1)全等，见解析 (2)①见解析；②4 【分析】题目主要考查全等三角形的判定和性质，角平分线的性质，理解题意，综合运用这些知识点是解题关键． （1）根据题意及全等三角形的判定证明即可； （2）①根据全等三角形的性质得出，，结合题意及全等三角形的判定即可得出结果；②根据全等三角形的性质及角平分线的性质即可求解． 【详解】（1）解：全等；     理由：因为， 所以. 因为为的中点， 所以.     在与中， 因为，，， 所以； （2）①由（1）知， 所以， 因为， 所以， 即.     在与中， 因为，，， 所以；     所以， 所以；     ②由①知道， 所以， 所以平分， 所以点到的距离等于点到的距离. 因为，， 所以，即，且， 所以点到的距离为4． 5．（24-25八年级上·山东济南·期末）如图，点C是的角平分线上一点，，，垂足分别为E，F．过点C作，交于点D，在射线上取一点B，使． (1)求证：； (2)若，，求的长． 【答案】(1)见解析 (2)4 【分析】本题考查的是角平分线的性质，以及全等三角形的判定与性质，熟记角的平分线上的点到角的两边的距离相等是解题的关键． （1）根据角平分线的性质得到，证明，根据全等三角形的性质得到； （2）证明，得到，进而求解即可． 【详解】（1）证明：∵平分，， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴； （2）解：在和中， ， ∴， ∴， ∴， ∴． 6．（24-25八年级上·山东枣庄·期末）如图1和2，在四边形中，，，平分． (1)知识回顾：如图1，若，则可得．请说明理由． (2)问题解决：如图2，请说明． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题考查角平分线的性质，全等三角形的判定和性质，熟练掌握角平分线的性质，是解题的关键： （1）直接根据角平分线的性质，进行判断即可； （2）作交延长线于E，于F，得到，同角的补角相等，得到，证明，即可得证． 【详解】（1）解：∵， ∴，， ∴， 又因为平分． 所以（角平分线上的点到角的两边距离相等）； （2）如图2，作交延长线于E，于F， ∵平分，， ∴， ∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴； 7．（24-25八年级上·山西临汾期末）如图，CA＝CB，CD＝CE，∠ACB＝∠DCE＝α，AD、BE交于点H，连CH． （1）求证：△ACD≌△BCE； （2）求证：HC平分∠AHE； （3）求∠CHE的度数（用含α的式子表示）． 【答案】（1）见解析；（2）见解析；（3）90°-α 【分析】（1）由CA=CB，CD=CE，∠ACB=∠DCE=α，利用SAS，即可判定：△ACD≌△BCE； （2）首先作CM⊥AD于M，CN⊥BE于N，由△ACD≌△BCE，可得CM=CN，即可证得HC平分∠AHE； （3）由△ACD≌△BCE，可得∠CAD=∠CBE，继而求得∠AHB=∠ACB=α，则可求得∠CHE的度数． 【详解】解：（1）证明：∵∠ACB=∠DCE=α， ∴∠ACD=∠BCE， 在△ACD和△BCE中， ， ∴△ACD≌△BCE（SAS）； （2）证明：过点C作CM⊥AD于M，CN⊥BE于N， ∵△ACD≌△BCE， ∴CM=CN， ∴HC平分∠AHE； （3）∵△ACD≌△BCE， ∴∠CAD=∠CBE， ∴∠AHB=∠ACB=α， ∴∠AHE=180°-α， ∴∠CHE=∠AHE=90°-α． 【点睛】此题考查了全等三角形的判定与性质以及角平分线的定义．此题难度适中，注意掌握辅助线的作法，注意掌握数形结合思想的应用． 一、单选题（每小题3分，共30分） 1．已知图中的两个三角形全等，则等于（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了全等三角形的性质，解题的关键是找准对应角． 根据全等三角形的性质进行求解即可． 【详解】解：由图形可知边的夹角的度数为， 根据全等三角形的性质得． 故选：C． 2．如图所示，亮亮书上的三角形被墨迹污染了一部分，很快他就根据所学知识画出一个与书上完全一样的三角形，那么这两个三角形完全一样的依据是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了全等三角形的判定，熟练掌握全等三角形的判定定理是解题的关键． 图中三角形没被污染的部分有两角及夹边，根据全等三角形的判定方法解答即可． 【详解】解：由图可知，三角形有两角和它们的夹边是完整的， 所以可以根据“”画出， 故选：A． 3．如图，已知与，分别以O，为圆心，以同样长为半径画弧，分别交，于点，，交，于点，．以为圆心，以长为半径画弧，交弧于点H，下列结论不正确的是（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了作一个角等于已知角，角度的和差计算．根据作图可知，结合图形，根据角度的和差关系逐项分析判断即可求解． 【详解】解：根据作图可知， A、不能判断，故该选项不正确，符合题意； B、，即，故该选项正确，不符合题意； C、，故该选项正确，不符合题意； D、，故该选项正确，不符合题意； 故选：A． 4．如图，点、、三点在同一直线上，且；若，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，三角形的外角性质．利用可证明，从而得到，，再利用三角形外角性质即可求出最后结果． 【详解】解：在与中， ， ， ，， ∵， ， ， 故选：B． 5．在课堂上，李老师发给每人一张印有（如图1）的卡片，然后要求同学们画一个，使得．小宏同学先画出了之后，后续画图的主要过程如图所示．这种画图方法的依据是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查尺规作图，全等三角形的判定，关键是根据全等三角形的判定解答． 根据演示由尺规作图的方法确定作图的具体步骤，即可判断． 【详解】解：由图示知，小宏第一步为截取线段，第二步为作线段， 在与中， ， ， 故选：D． 6．要测量A，B间的距离（无法直接测出），两位同学提供了测量方案： 方案Ⅰ：①如图1，选定点O；②连接，并延长到点C，使，连接图1，并延长到点D，使；③连接，测量的长度即可． 方案Ⅱ：①如图2，选定点O；②连接，，并分别延长到点F，E，使，；③连接，测量的长度即可． 对于方案Ⅰ、Ⅱ，下列说法正确的是（　　） A．Ⅰ可行、Ⅱ不可行 B．Ⅰ不可行、Ⅱ可行 C．Ⅰ、Ⅱ都不可行 D．Ⅰ、Ⅱ都可行 【答案】D 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，方案Ⅰ中利用证明即可；方案Ⅱ中利用证明即可，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解此题的关键． 【详解】解：方案Ⅰ：在与中， ， ∴， ∴； 方案Ⅱ：在与中， ， ∴， ∴， 故选：D． 7．如图，中，，为角平分线，，P为直线上一动点，连接，则线段的最小值是（   ） A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】B 【分析】本题考查角平分线的性质，与三角形的高有关的计算，根据，结合三角形的面积公式，求出的长，根据垂线段最短结合角平分线的性质，得到线段的最小值的等于的长，即可得出结果． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∵， ∴，， ∵P为直线上一动点， ∴当时，线段的值最小， ∵为角平分线，， ∴线段的最小值的等于的长为4； 故选B． 8．如图，的外角，的平分线，相交于点，于，于，下列结论：①；②点P在的平分线上；③．其中正确的有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．0个 【答案】B 【分析】本题考查的知识点是角平分线的性质和判定、全等三角形的性质与判定，解题关键是熟练掌握角平分线的性质和判定． 作可通过角平分线的性质判断①；根据角平分线的判定判断②；利用和推得，，再根据即可判断③，综上即可得解． 【详解】解：作于点， 、分别平分、， 且、、， ，， ， 正确； 且、， 在的平分线上， 正确； 四边形中，，， ， 在和中， ， ， ， 同理可得， ， ， ， ， 错误； 综上，正确． 故答案为：2． 9．如图，已知，则不一定能使的条件是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查三角形全等的判定方法，判定两个三角形全等的一般方法有：、、、、．注意：、不能判定两个三角形全等，判定两个三角形全等时，必须有边的参与，若有两边一角对应相等时，角必须是两边的夹角．根据所给条件结合判定定理分别进行分析即可． 【详解】解：A．添加，可利用证明，本选项不符合题意； B．添加，不能证明，本选项符合题意； C．添加，可利用证明，本选项不符合题意； D．添加，可利用证明，本选项不符合题意． 故选：B． 10．如图，在中，，，于R，于S，则下列三个结论：①；②；③，其中正确的结论是（ ） A．①②③ B．①② C．②③ D．①③ 【答案】B 【分析】先证明平分，则，再证明，即可解决问题． 本题考查了全等三角形的判定与性质、等腰三角形的性质以及平行线的判定等知识，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解题的关键． 【详解】解：，，， 平分， ， 在与中， ， ， ，故①正确， ， ， ， ， ，故②正确， 在与中，只能得到，不能判断三角形全等； 综上所述，正确的结论是①②， 故选：B 二、填空题（每小题3分，共15分） 11．如图，于P，，添加下列一个条件，能利用“”判定的条件是 ． 【答案】 【分析】本题考查了全等三角形的判定，熟练掌握“”是解答本题的关键． 根据“”所需的条件分析即可． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴要利用“”判定的条件是． 故答案为：． 12．如图，已知，且，，则 ． 【答案】 【分析】本题考查了全等三角形的性质． 由全等三角形的性质可得，进一步即得，再根据题中数据可求得BF的长，进而可求得BC的长． 【详解】解：∵， ∴， 即， ∵，， ∴， ∴． 故答案为：． 13．如图，书架两侧摆放了若干本相同的书籍，左右两摞书之间竖直放入一个等腰直角三角板，其直角顶点在书架底部上，当顶点落在右侧书籍的上方边沿时，顶点恰好落在左侧2本书籍的上方边沿，点、、、，在同一平面内．已知每本书长，厚度为，则两摞书之间的距离为 ． 【答案】24 【分析】本题考查了等腰直角三角形的定义，三角形内角和定理，全等三角形的判定和性质，找出全等三角形是解题关键．根据题意证明出即可求解． 【详解】解：每本书长，厚度为， ，， 是等腰直角三角形，且点C为直角顶点， ，， ， ∵， ， ， 在和中， ， ， ，， ， 故答案为：24． 14．如图，中，，为的平分线．若点A到直线的距离为5，则长为 ． 【答案】10 【分析】本题考查了角平分线的定义，直角三角形的性质，全等三角形的判定与性质． 延长、交于点F，利用角平分线的定义和全等三角形证明，得出的长度，再通过角度关系证明，从而得到． 【详解】解：延长、交于点F， 平分，，， ，， ， ， ，则. ∵， ， 又∵ ∴， ， 又∵，， ， ． 故答案为：． 15．如图，且，且，点、、共线，并且点、、到直线的距离分别为4，2，1，则四边形的面积为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查三角形全等的性质与判定，分别过点作的垂线，分别交直线于点，证明，，结合梯形面积公式及三角形面积公式即可得到答案． 【详解】解：分别过点作的垂线，分别交直线于点， 则， ∵，，， ∴，，， ∴， 在与中， ∴， ∴，，， 同理可得：， ∴，，， ∴， ∴， ∵，， ∴． 故答案为：． 三、解答题（共8小题，共75分） 16．（10分）如图，，，求证．小力和小旺分别想到了两种证明方法，请你在以下解答过程的空白处填上适当的内容（理由或数学式）． 小力的证法： （已知）， 且 （①______）， 在和中， （③______）， （④______） 小旺的证法： ，（已知）， 且，（⑤______） ， 在和中， （⑦______）， ． 【答案】①等角的补角相等； ②； ③ASA ④全等三角形的对应边相等； ⑤三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和； ⑥； ⑦AAS 【分析】本题考查等角的补角相等，三角形全等的判定和性质，三角形外角的性质，解题的关键是熟练掌握相关的性质． 根据等角的补角相等，三角形全等的判定和性质，三角形外角的性质，补全证明过程即可． 【详解】解：小力的证法： （已知），且 （等角的补角相等）， 在和中， （）， （全等三角形的对应边相等） 小旺的证法： ，（已知），且，（三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和） ， 在和中， （）， ． 故答案为：①等角的补角相等；②；③ASA；④全等三角形的对应边相等；⑤三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和；⑥；⑦AAS 17．（(9分)如图，在中，，于点，，平分交于点的延长线交于点．求证： (1)； (2)； (3)． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3)见解析 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，角平分线的定义，平行线的判定与性质等知识点，解题的关键是熟练掌握全等三角形的判定与性质． （1）由角平分线得到，再根据即可证明全等； （2）由全等得到．再根据互余关系得到，则，则； （3）由平行得到，再由即可证明全等． 【详解】（1）证明：平分， ． 在和中， ， ． （2）证明：∵ ． ，， ，， ， ． ； （3）证明：∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴． 18．（8分）已知：如图，与交于点与交于点，． (1)求证：； (2)求证：． 【答案】(1)见详解 (2)见详解 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，三角形内角和性质，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）根据，，证明，即可作答； （2）结合三角形内角性质以及，即可得． 【详解】（1）证明：∵，， ∴， ∴； （2）证明：如图所示： ∵， 即， ∵ ∴， ∵，且 ∴． 19．（8分）如图，在中，是上一点，与相交于点，是的中点，． (1)求证：； (2)若，，求的长． 【答案】(1)见解析 (2)3 【分析】本题主要考查了平行线的性质，全等三角形的判定和性质，熟记全等三角形的判定和性质是解题的关键． （1）由平行线的性质可得，由中点定义可得，再利用即可证得结论； （2）利用全等三角形的性质可得，再由即可求得答案． 【详解】（1）证明：∵， ∴， ∵点是的中点， ∴， 在和中， ， ∴（）， （2）解：由（）得：， ∴， ∵，， ∴． 20．（7分）综合与实践．某数学兴趣小组在校外开展综合与实践活动，记录如下： 活动项目 测量池塘两岸相对的两点的距离 活动方案 方案一 方案二 方案示意图 - 实施过程 1．池塘外取的垂线上的两点，使； 2．再画出的垂线，使与，在一条直线上； 3．测量出的长； 1．池塘外取的垂线上的点； 2．再画出的垂线，使与在一条直线上，且； 3．测量出的长； 测量数据 备注 1．图上所有点均在同一平面内； 2．为不可直接到达之地，离池塘边有一定距离； 1．图上所有点均在同一平面内； 2．为不可直接到达之地，离池塘边有一定距离； 请你从以上两种方案中任选一种，并求出间的距离． 【答案】A，B间的距离是，见解析 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质的应用，解题的关键是正确理解题意，找出全等三角形的判定的元素． 方案一证明即可；方案二证明即可． 【详解】解：选择方案一： 由方案可得，， 在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴ A，B间的距离是； 选择方案二： 由方案可得，， 在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴ A，B间的距离是． 21．（8分） “截长补短法”证明线段的和差问题： 先阅读背景材料，猜想结论并填空，然后做问题探究． 背景材料： （1）如图1：在四边形中，，，，E，F分别是上的点，且．探究图中线段之间的数量关系．探究的方法是，延长到点G．使，连接，先证明，再证明，可得出的结论是 ． 探索问题： （2）如图2，若四边形中，，E，F分别是上的点，且，上述结论是否仍然成立？成立的话，请写出推理过程． 【答案】（1）；（2）成立，见解析 【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质，构造全等三角形求证是解题的关键． （1）延长到点G，使．连接，即可证明，可得，再证明，可得，即可解题； （2）延长到点G，使．连接，即可证明，可得，再证明，可得，即可解题． 【详解】解：（1）， 理由：延长到点G，使，连接， ∵，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∵，， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴； 故答案为：； （2）解：结论仍然成立； 理由：延长到点G，使，连接， ∵，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴． 22．(13分)综合与实践 数学活动课上，老师带领同学们以三角形为背景，探究线段之间的关系， 【问题情境】 已知，在中，，是射线上一动点，点在的右侧，线段，且． 【实践探究】 （1）如图1，这是“团结小组”探究画出的图形，请直接写出线段 与 的数量关系 （2）如图2，这是“雄鹰小组”探究画出的图形，请判断（1）中的结论是否成立，并说明理由． 【拓展应用】 （3）“钻研小组”在探究过程中提出了一个新的问题，在点运动的过程中，请直接写出线段，，之间的数量关系． 【答案】（1）；（2），理由见解析；（3）或 【分析】本题考查全等三角形的性质与判定，能够熟练掌握全等三角形的判定定理是解决本题的关键． （1）根据，可知，进而结合已有的等角与等边判定全等，再由全等三角形的性质求解即可； （2）根据，可知，进而结合已有的等角与等边判定全等，再由全等三角形的性质求解即可； （3）本题分两种情况讨论，即当在之间时，和当在点右边时，根据每种情况求相等的角，再结合三角形全等得判定求解即可． 【详解】解：（1） ∵， ∴， ∴， 在与中， ， ∴（）， ∴． （2）； 理由：∵，， ∴， 即， 在和中： ∴（）， ∴． （3）或； 解：本题分两种情况， 情况一：当在之间时，如图， ∵， ∴， ∴， 在与中， ， ∴（）， ， 故． 情况二，当在点右边时，如下图所示： ∵， ∴， ∴， 在与中， ， ∴（）， ∴， ∴． 23．（12分）【基础回顾】 （1）如图1，在中，，，直线经过点，分别从点，向直线作垂线，垂足分别为，求证：； 【变式探究】 （2）如图2，在中，，直线经过点，点，分别在直线上，如果，猜想有何数量关系，并给予证明； 【拓展应用】 （3）小明和科技兴趣小组的同学制作了一幅机器人图案，大致图形如图3所示，以的边为一边向外作和，其中，，是边上的高，延长交于点．求证：是的中点． 【答案】（1）证明见解析  （2）；证明见解析  （3）证明见解析 【分析】本题考查全等三角形的判定与性质，解题的关键是根据不同图形条件，准确找到全等三角形的对应角和对应边，利用等判定定理证明全等，进而推导边的关系． （1）根据垂直定义得，则，再根据得，由此得，进而可依据判定和全等； （2）根据三角形外角性质得，再根据得，进而可依据判定和全等得，，由此可得出，，的数量关系； （3）过点D作交的延长线于点M，过点E作于点N，则，进而得，再根据得，由此得，进而可依据判定和全等，则，同理可证明得，则，再进一步可得结论． 【详解】（1）证明：∵直线l，直线l， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 在和中， ， ∴； （2）解：，，的数量关系是：，证明如下： ∵是的外角， ∴， ∴， ∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∴； （3）过点D作交的延长线于点M，过点E作于点N，如图所示： ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， 同理可证明：， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴是的中点． 典型考题解析 单元过关检测 高频考点归纳 学科网（北京）股份有限公司 $