精品解析：江苏省常州市第一中学2026届高三上学期12月质量检测数学试题

常州市第一中学2026届高三数学12月质量检测 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 集合的真子集的个数为（ ） A. 2 B. 6 C. 7 D. 8 【答案】C 【解析】 【分析】列举得到集合为，再根据真子集个数计算公式求解即可． 【详解】集合，集合共有3个元素， 所以真子集的个数为个； 故选：C． 2. 三星堆遗址，位于四川省广汉市，距今约三千到五千年．2021年2月4日，在三星堆遗址祭祀坑区4号坑发现了玉琮．玉琮是一种内圆外方的圆筒型玉器，是一种古人用于祭祀的礼器．假定某玉琮中间内空，形状对称，如图所示，圆筒内径长，外径长，筒高，中部为棱长是的正方体的一部分，圆筒的外侧面内切于正方体的侧面，则该玉琮的体积为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】利用组合体体积减去圆柱体体积就可得结果. 【详解】 计算正方体体积：， 计算上下两个圆柱的体积：， 再计算内空圆柱的体积：， 最后可得组合体体积： 故选：A 3. 将函数的图象向左平移个单位后，得到的函数图象关于对称，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】先求函数的对称轴，再结合已知的对称轴求的值. 【详解】函数的对称轴方程为： ，，. 由函数的图象向左平移个单位后，得到的函数图象关于对称， 所以函数的一条对称轴为. 由，. 因为，所以时，. 故选：C 4. 若是空间向量中的一个基底，那么对任意一个空间向量，存在唯一的有序实数组，使得，我们把有序实数组叫做基底下向量的斜坐标．设向量在基底下的斜坐标为，则向量在基底下的斜坐标为（　　） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】设出向量在基底下的表达式，并整理成向量在基底下的表达形式，由对应系数相等，可解得系数. 【详解】由题意可得，设， 即有， 则有，解得即， 即向量在基底下的斜坐标为． 故选：A. 5. 如图为函数的图象，则的图象是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据题意利用特殊值排除法可得答案. 【详解】当时，则， 由函数图象，时，， 所以的图象经过点，结合选项可排除A,B,C. 故选：D. 6. 某物理量的测量结果服从正态分布，下列结论中正确的是（ ） A. 越小，该物理量在一次测量中落在的概率越大 B. 越小，该物理量在一次测量中落在的概率越小 C. 越小，该物理量在一次测量中落在的概率越大 D. 越小，该物理量在一次测量中落在与落在的概率相等 【答案】A 【解析】 【分析】利用正态分布曲线的性质，结合原则，即可作出判断. 【详解】对于选项A：因为数据的标准差越小，说明数据在均值附近越集中，所以测量结果落在内的概率越大，故A正确； 对于选项BC：根据原则，可知在，的概率是定值，故BC错误； 对于选项D：根据正态分布曲线的对称轴是，在与落在的公共区域是， 而区间与对应区间的面积，显然不相等， 所以无论怎么变化，根据图形可知：在的概率大于在的概率，故D错误. 故选：A. 7. 五一假期期间，一家6人（4名大人和2名小孩）在某风景名胜区拍照留念.要求站成前后两排，每排各三人；每列站在后排的人比站在前排的人高，并且两名小孩都站在前排.已知6人的身高各不相同，任何一名大人都比任何一名小孩高，则不同的排法共有（ ） A. 48种 B. 72种 C. 90种 D. 108种 【答案】B 【解析】 【分析】设4名大人按身高由小到大依次为，可知前排大人不能为，分类讨论前排大人，结合排列运算求解. 【详解】设4名大人按身高由小到大依次为，可知前排大人不能为， 若前排大人为，则任意排列均可，则不同的排法有种； 若前排大人为，则身后不能为，则不同的排法有种； 若前排大人为，则身后只能为，则不同的排法有种； 综上所述：不同的排法共有种. 故选：B. 8. 在平面直角坐标系中，已知圆，直线经过点，若对任意的实数，定直线被圆截得的弦长为定值，则直线l的方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】利用圆的一般方程化标准方程来求出圆心的轨迹方程，然后由垂径定理和勾股定理结合题意可得定直线l与直线平行，从而可求定直线方程. 【详解】由圆，整理得：， 所以圆的圆心坐标为，半径为， 则圆心满足方程， 由定直线被圆截得的弦长为定值，根据这个圆的半径为， 再由垂径定理和勾股定理可得，该圆心到定直线的距离为定值， 从而可得定直线与直线平行， 所以直线的斜率为，再由过点，可得直线的方程为， 故选：A. 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 若是一次随机试验中的两个事件，，，，则下列结论正确的有（   ） A. A与B相互独立 B. C. D. 【答案】ABD 【解析】 【分析】由已知及概率的性质可得，根据独立事件的判定、全概率公式、条件概率公式依次判断各项的正误即可. 【详解】由题设，，，， 由，且， 所以，则，解得， 对于A选项，因为，所以A与B相互独立，A对； 对于B选项，由，则，B对； 对于C选项，由，C错； 对于D选项，由，则，D对. 故选：ABD. 10. 已知函数的定义域为，对任意的且，都满足，当时，，且，则下列判断正确的有（ ） A. B. 为奇函数 C. 在单调递增 D. 不等式的解集为 【答案】AC 【解析】 【分析】首先利用赋值法计算，判断A，再令，，则，根据单调性的定义，利用赋值法，即可判断函数的单调性，判断C，根据函数的奇偶性以及单调性，求解不等式，判断D，根据选项D，判断B. 【详解】A.令，则，得，故A正确； C.令，，则，， 设，， 所以，则 因为，所以，则，即，所以在单调递增，故C正确； D.条件等式中，令，得，即， 令，得 由C可知，当时，， 即，，所以函数是偶函数， 则不等式等价于，，且 根据函数是偶函数，且在区间单调递增，可知， 即，整理为，解得：或， 所以不等式的解集为，故D错误. B.由D可知，是偶函数，且，所以函数不是奇函数，故B错误. 故选：AC 11. 已知斜三棱柱中，平面平面为中点，为中点，，四边形为菱形，，点是侧面（含边界）的动点，在棱（含端点）上运动.下列说法正确的是（ ） A. 若平面，则点的轨迹长为 B. 存在点，使得平面 C. 三棱锥与三棱锥的体积比为1:4 D. 直线与平面所成角的正切值的最大值为 【答案】ACD 【解析】 【分析】建立空间直角坐标系，利用空间向量可判断AB的真假，利用几何体的体积变换可判断C的真假，把问题转化成求的最小值，可判断D的真假. 【详解】在斜三棱柱中，平面平面，，，四边形为菱形，. 取中点，由可得， 又平面平面，平面平面，所以平面. 平面，所以. 又四边形为菱形，，所以. 所以两两垂直. 故可以为原点，建立如图空间直角坐标系， 在中，，，所以，. 所以. 所以，，，，，， 又分别为，的中点，所以，. 对于A：因为，， 设平面的法向量为， 则，可取. 因为点在侧面上，设，， 由平面，所以. 所以点轨迹是以和为端点的线段，故点轨迹长度为.故A正确； 对于B：因为，， 设平面的法向量为， 则，可取. 又， 由平面，所以. 此时与重合.故不存在，使平面.故B错误； 对于C：因为分别为，中点， 所以， 所以，故C正确； 对于D：因为平面，所以点到平面的距离等于到平面的距离，为1. 设与平面所成的角为，则，，所以当最小时，最大. 设，, 所以，即. 所以. 当时，取得最小值，为. 此时，取得最大值，故D正确. 故选：ACD 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知直线与双曲线的左，右两支分别交于，两点，是双曲线的左焦点，且，则双曲线的离心率是________． 【答案】## 【解析】 【分析】利用双曲线的对称性和题设条件，推出正三角形，求得点的坐标，代入双曲线方程，化成关于的齐次方程，解方程即得. 【详解】 如图，因直线与双曲线的图象均关于原点对称，故， 且直线的斜率为，故倾斜角为，即，则是正三角形， 则可得点的坐标为，代入，整理得： ， 因，代入整理得：， 即，解得，因，故. 故答案为：. 13. 已知均为正实数，若，则的值为______. 【答案】1 【解析】 【分析】对等式同取对数，代换出基本关系，将全部代换为，结合对数运算和换底公式化简求解即可. 【详解】对同取对数可得， 结合换底公式可得， 即， ， 故. 故答案为：1 14. 已知关于x的方程有三个不等实根、、，且，则实数a取值范围是________. 【答案】 【解析】 【分析】利用待定系数法求出、、的值，再对进行化简，结合已知不等式求出的取值范围，最后根据方程有三个不等实数根确定的最终取值范围. 【详解】令， 展开整理得， 所以，， ，. 又， 所以 ， 所以可化简为， 因为，所以，解得. 令，则， 令，则，解得或. 当时，，在上单调递增，此时方程只有一个实数根，不符合题意； 当时，在和处取得极值， 此时，， 因为方程有三个不等实根， 所以，即， 因为恒成立，所以. 令，则. 令，则，解得或. 当时，，上在单调递增； 当时，，在上单调递减； 当时，，在上单调递增； 所以在处取极大值，在处取极小值，简图如下， 又， 所以的解为. 综上，可得. 故答案为： 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 近些年汽车市场发生了翻天覆地的变化，新能源汽车发展迅速，下表统计了2021年到2024年某地新能源汽车销量（单位：千辆） 年份 2021 2022 2023 2024 年份代号 1 2 3 4 销量 33 69 93 129 附：相关系数； 回归方程中斜率和截距的最小二乘法估计公式分别为， （1）试根据样本相关系数的值判断该地汽车销量与年份代号的线性相关性强弱（，则认为与的线性相关性较强，，则认为与的线性相关性较弱）；（精确到0.001） （2）建立关于的线性回归方程，并预测该地2025年的新能源汽车销量． 【答案】（1）与具有较强的线性相关关系 （2），（千辆） 【解析】 【分析】（1）根据题干所给数据算出，，，代入相关系数计算公式计算即可； （2）根据（1）算出的结果进一步算出，再根据线性回归方程经过计算，最后把代入回归直线方程即可求解． 【小问1详解】 已知，，则， ，则， ，，所以， 已知，故， 又，代入相关系数公式， 可得， 因为，所以与具有较强的线性相关关系． 【小问2详解】 根据， 由（1）可知，，所以， 由，已知，，，则， 所以关于的线性回归方程为，将代入线性回归方程（千辆）． 16. 在中，内角的对边分别为，且. （1）求角； （2）如图，是外一点，若，，，求平面四边形的对角线的长. 【答案】（1） （2）. 【解析】 【分析】（1）由正弦定理边化角得到，再结合即可求解； （2）由，得到，确定 由余弦定理即可求解. 【小问1详解】 由和正弦定理可得： ， 因， 代入化简得， 在中，，且， 则，即，因为，所以. 【小问2详解】 由，则，因为， 所以， 则，因为均是锐角， 所以，则， 又，于是有， 在中，由余弦定理，， 则. 17. 如图，在四棱锥中，是以为斜边的等腰直角三角形，，，，，为上一点. （1）若为的中点，证明：平面； （2）若二面角的余弦值为，求直线与底面所成角的正弦值. 【答案】（1）证明过程见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）取中点，连接、，易证四边形为平行四边形，得到，再由线面平行的判定定理即可得证. （2）设，，合理建立空间直角坐标系，利用二面角的余弦值求出，进而利用与底面法向量进行求解即可. 【小问1详解】 取中点，连接、. 、为、中点，，. 又，，，， 四边形为平行四边形，. 又平面，平面，平面. 【小问2详解】 是为斜边的等腰直角三角形，. 在中，，，，，. 又，，平面，平面. 以为原点建立如图所示的空间直角坐标系， 则，，，， ，，，，. 设平面的法向量为， 则，即，令，则，. 设，，则， 设平面的法向量为， 则，即，令，则，，. 又二面角的余弦值为，，即， 整理得，即，解得或（舍去），. . 设直线与底面所成角为，易知底面的一个法向量为， 则. 故直线与底面所成角的正弦值为. 18. 如图，椭圆的长轴长为4，离心率为. （1）求的标准方程； （2）矩形的顶点，在轴上，，在上，与的另一个交点为，与的另一个交点为，与轴交于点，与的另一个交点为.设直线，的斜率分别为，. （i）求的值； （ii）求直线的斜率的最小值. 【答案】（1） （2）（i）； 【解析】 【分析】（1）根据长轴长和离心率可求解出椭圆的标准方程； （2）（i）由对称性，设出点的坐标，求出直线，的斜率即可求证；（ii）由直线的方程与椭圆方程联立利用韦达定理可求出点坐标，直线的方程与椭圆方程联立利用韦达定理可求出点坐标，即可表示出直线FH的斜率，利用基本不等式即可求最值． 【小问1详解】 因为椭圆的长轴长为4，离心率为， 所以，，解得，，， 可得的标准方程为. 【小问2详解】 （i）如图，由对称性设，，，， 则，得， 故，，则，可得为定值； （ii）由， 联立， 由根与系数的关系可得，所以， 所以，可得， 又，联立， 由根与系数的关系可得，所以， 所以，可得， 所以 ， 由图知，所以，即， 当且仅当，即时取等. 所以直线的斜率k的最小值为． 19. 已知函数. （1）若，求实数的取值范围； （2）证明：； （3）若函数在时有最小值，求正实数的取值范围. 【答案】（1）； （2） 证明：设，其中. 则， 故在上均为增函数，故， 故在上恒成立， 而当时，，当时，， 故在为减函数，在上为增函数，故， 故，故， 所以. （3）或. 【解析】 【分析】（1）利用导数法求单调性，利用单调性得到极大值也是最大值，利用最大值小于0得到所求； （2）通过构造函数，利用单调性得到证明； （3）由在时有最小值，通过构造函数，利用单调性，通过分类讨论求出的范围. 【小问1详解】 由题可得的定义域为，， 当时，恒成立，单调递增，且，故不符题意， 当时，令，得， 当时，，当时，， 所以在上单调递增，在上单调递减， 当时，取到极大值也是最大值为， 由可得即可，解得， 故实数的取值范围为. 【小问2详解】 略 【小问3详解】 函数， 令，， 若即，在上存在零点， 故在上有最小值0. 若，则， 设，则， 当即时，即在单调性递减， 而，在上恒成立，故在在上为减函数， 故， 故在上无最小值. 若，则， 当时，，当时，， 故在上为增函数，在为减函数， 故，而， 若，则，故在上恒成立， 故在上为增函数，而，， 故此时在上无最小值. 若，则， 故在上存在零点，当时，， 当时，，故在上为增函数，在为减函数， 故. 若，则，此时，符合题意； 若，则，故在存在零点，故，符合题意. 综上，或. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 常州市第一中学2026届高三数学12月质量检测 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 集合的真子集的个数为（ ） A. 2 B. 6 C. 7 D. 8 2. 三星堆遗址，位于四川省广汉市，距今约三千到五千年．2021年2月4日，在三星堆遗址祭祀坑区4号坑发现了玉琮．玉琮是一种内圆外方的圆筒型玉器，是一种古人用于祭祀的礼器．假定某玉琮中间内空，形状对称，如图所示，圆筒内径长，外径长，筒高，中部为棱长是的正方体的一部分，圆筒的外侧面内切于正方体的侧面，则该玉琮的体积为（ ） A. B. C. D. 3. 将函数的图象向左平移个单位后，得到的函数图象关于对称，则（ ） A. B. C. D. 4. 若是空间向量中的一个基底，那么对任意一个空间向量，存在唯一的有序实数组，使得，我们把有序实数组叫做基底下向量的斜坐标．设向量在基底下的斜坐标为，则向量在基底下的斜坐标为（　　） A. B. C. D. 5. 如图为函数的图象，则的图象是（ ） A. B. C. D. 6. 某物理量的测量结果服从正态分布，下列结论中正确的是（ ） A. 越小，该物理量在一次测量中落在的概率越大 B. 越小，该物理量在一次测量中落在的概率越小 C. 越小，该物理量在一次测量中落在的概率越大 D. 越小，该物理量在一次测量中落在与落在的概率相等 7. 五一假期期间，一家6人（4名大人和2名小孩）在某风景名胜区拍照留念.要求站成前后两排，每排各三人；每列站在后排的人比站在前排的人高，并且两名小孩都站在前排.已知6人的身高各不相同，任何一名大人都比任何一名小孩高，则不同的排法共有（ ） A. 48种 B. 72种 C. 90种 D. 108种 8. 在平面直角坐标系中，已知圆，直线经过点，若对任意的实数，定直线被圆截得的弦长为定值，则直线l的方程为（ ） A. B. C. D. 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 若是一次随机试验中的两个事件，，，，则下列结论正确的有（   ） A. A与B相互独立 B. C. D. 10. 已知函数的定义域为，对任意的且，都满足，当时，，且，则下列判断正确的有（ ） A. B. 为奇函数 C. 在单调递增 D. 不等式的解集为 11. 已知斜三棱柱中，平面平面为中点，为中点，，四边形为菱形，，点是侧面（含边界）的动点，在棱（含端点）上运动.下列说法正确的是（ ） A. 若平面，则点的轨迹长为 B. 存在点，使得平面 C. 三棱锥与三棱锥的体积比为1:4 D. 直线与平面所成角的正切值的最大值为 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知直线与双曲线的左，右两支分别交于，两点，是双曲线的左焦点，且，则双曲线的离心率是________． 13. 已知均为正实数，若，则的值为______. 14. 已知关于x的方程有三个不等实根、、，且，则实数a取值范围是________. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 近些年汽车市场发生了翻天覆地的变化，新能源汽车发展迅速，下表统计了2021年到2024年某地新能源汽车销量（单位：千辆） 年份 2021 2022 2023 2024 年份代号 1 2 3 4 销量 33 69 93 129 附：相关系数； 回归方程中斜率和截距的最小二乘法估计公式分别为， （1）试根据样本相关系数的值判断该地汽车销量与年份代号的线性相关性强弱（，则认为与的线性相关性较强，，则认为与的线性相关性较弱）；（精确到0.001） （2）建立关于的线性回归方程，并预测该地2025年的新能源汽车销量． 16. 在中，内角的对边分别为，且. （1）求角； （2）如图，是外一点，若，，，求平面四边形的对角线的长. 17. 如图，在四棱锥中，是以为斜边的等腰直角三角形，，，，，为上一点. （1）若为的中点，证明：平面； （2）若二面角的余弦值为，求直线与底面所成角的正弦值. 18. 如图，椭圆的长轴长为4，离心率为. （1）求的标准方程； （2）矩形的顶点，在轴上，，在上，与的另一个交点为，与的另一个交点为，与轴交于点，与的另一个交点为.设直线，的斜率分别为，. （i）求的值； （ii）求直线的斜率的最小值. 19. 已知函数. （1）若，求实数的取值范围； （2）证明：； （3）若函数在时有最小值，求正实数的取值范围. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $