4.2.2 等差数列的前n项和公式(3) 课件-2025-2026学年高二上学期数学人教A版选择性必修第二册

该高中数学课件围绕等差数列前n项和公式展开，通过复习Sn=An²+Bn、连续n项和构成等差数列等性质搭建学习支架，自然衔接最值问题探究，帮助学生梳理前后知识脉络。 其亮点在于结合二次函数、通项符号判断等多种解法分析Sn最值，融入报告厅座位安排等实际问题，体现数学思维与表达能力的培养。讲练结合的方式让学生掌握解题方法，教师可借此提升教学效率。

4.2.2 等差数列的 前n项和公式(3) 设 等差数列{an}的前n项和为Sn，那么 性质1：数列{an}是等差数列Sn=An2+Bn (A,B为常数) 是等差数列. 性质3：在等差数列{an}中连续的n项和构成的数列Sn， S2n－Sn, S3n－S2n，S4n－S3n，…构成等差数列． 性质2：数列 复习回顾 设 等差数列{an}的前n项和为Sn，那么 性质4：若项数为奇数2n+1项， 性质5： 性质4：若项数为偶数2n项， 复习回顾 应用举例 探究1 已知等差数列{an}中, a1=25且S17=S9,求Sn的最大值. 解法一： 等差数列前n项和Sn的最值问题 由S17=S9得 ∴ d=－2＜0 ∴当n=13时，Sn取最大值169. 应用举例 解法二： 等差数列前n项和Sn的最值问题 由S17=S9得 ∴ d=－2＜0 ∴当n=13时，Sn取最大值，最大值为 . 则Sn的图象如图所示 又S17=S9 所以图象的对称轴为 13 n 17 9 Sn 探究1 已知等差数列{an}中, a1=25且S17=S9,求Sn的最大值. 还有其它解法吗？ 方法总结 等差数列an和Sn的关系 有最小值S1 有最大值S1 有最大值 有最小值 应用举例 解法三： 等差数列前n项和Sn的最值问题 ∴ an=25+(n-1) ×(-2)=－2n+27 由 得 探究1 已知等差数列{an}中, a1=25且S17=S9,求Sn的最大值. 由S17=S9得 ∴ d=－2＜0 即 ∴当n=13时，Sn取最大值，最大值 为 . 方法总结 求等差数列前n项的最大(小)的方法 方法1：由 利用二次函数的对称轴求得取得最值时的n的值及最值 (在离对称轴最近的正整数处取得). 方法2：利用an的符号： ①当a1>0,d<0时,数列前面有若干项为正, 此时所有正项的和为Sn的最大值, 由 an≥0，an+1≤0 ，求n. ②当a1<0,d>0时,数列前面有若干项为负, 此时所有负项的和为Sn的最小值, 由 an ≤0，an+1 ≥ 0，求n. 例题分析 例9 已知等差数列{an}的前n项和为Sn，若a1 =10,公差d=-2，则Sn 是否存在最大值? 若存在，求Sn的最大值及取得最大值时n的值;若不存在，请说明理由. 解法一： 等差数列前n项和Sn的最值问题 书P23 例题分析 例9 已知等差数列{an}的前n项和为Sn，若a1 =10,公差d=-2，则Sn 是否存在最大值? 若存在，求Sn的最大值及取得最大值时n的值;若不存在，请说明理由. 解法二： 等差数列前n项和Sn的最值问题 书P23 由 得 即 练习 书P24 3. 已知等差数列－4.2，－3.7，－3.2，‧‧‧的前n项和为Sn，Sn是否存在最大(小)值? 如果存在，求出取得最值时n的值. 练习 书P24 3. 已知等差数列－4.2，－3.7，－3.2，‧‧‧的前n项和为Sn，Sn是否存在最大(小)值? 如果存在，求出取得最值时n的值. 练习 书P24 应用举例 解： 数列{|an|}前n项和Sn的最值问题 例题分析 例8 某校新建一个报告厅，要求容纳800个座位，报告厅共有20排座位，从第2排起后一排都比前一排多2个座位. 问第1排应安排多少个座位. 等差数列前n项和Sn的实际问题 书P23 练习 书P24 1. 一家商场的新年最高促销奖设立了两种领奖方式：第一种，获奖者可以选择2000元的奖金；第二种，从12月20日到第二年的1月1日，每天到该商场领取奖品，第1天领取的奖品价值为100元，第2天为110元，以后逐天增加10元. 你认为哪种领奖方式获奖者受益更多? 解决等差数列实际问题的基本步骤 (1) 将已知条件翻译成数学(数列)问题（设）； (2) 构造等差数列模型(明确首项和公差等)； (3) 利用通项公式或前n项和公式解决等差数列问题； (4) 将所求出的结果回归为实际问题（答）. 方法总结 下课! $