寒假作业(三) 函数的概念及其表示-【步步维赢·优练必刷】2025-2026学年高一数学寒假作业

高一数学寒假作业（三） 知-识一现一固 1.函数的基本概念 (1)函数的定义：设A,B是非空的 ,如果按照某种确定的对应关系f, 使对于集合A中的任意一个数x,在集 合B中都有 的数f(x)和它 对应，那么称f:A→B为从集合A到集 合B的一个函数，记作y=f(x),x∈A. 其中，x叫作自变量，x的取值范围A 叫作函数的 (2)函数的值域：如果自变量取值a,则 由对应关系f确定的值y称为函数在a 处的函数值，记作y=f(a),所有函数 值构成的集合{f(x)x∈A}叫作这个 函数的值域。 (3)函数的三要素 函数的三要素是 和 ,其中 被函数的 和 完全确定，所以确 定一个函数只需这两个要素即可. 2.映射 设A,B是两个 的集合，如果 按照某一确定的对应关系f,使对于集 合A中的任意一个元素x,在集合B中 都有 的元素y与之对应，那 么就称对应f:AB为从集合A到集 合B的一个映射. 函数的概念及其表示 3.函数的表示方法 表示函数的常用方法有： 4.分段函数 若函数在其定义域的不同子集上，因 不同而分别用几个不同的 式子来表示，这种函数称为分段函数， 分段函数的定义域等于各段函数的定 义域的 ,其值域等于各段函数 的值域的 .分段函数虽由几个 部分组成，但它表示的是一个函数. 一精=典=例-析 1)函数f(x)=+1nx的定义 域是 (2)函数y=√7十6x一x的定义域是 【解析】(1)要使函数有意义，需满 x十1≠0， 足 x>0, 即x>0且x≠一1.所以函数的定义域为 (0,十∞). (2)要使函数有意义，需7十6x-x2≥0， 即x2-6x-7≤0，即(x+1)(x-7)≤0 解得-1≤x≤7. 故所求函数的定义域为[一1,7]. 【答案】(1)(0，+∞)(2)[-1,7] 精典题一练 1.函数fx)=n(3x-5的定义域是 A.(号，2U(2,+∞) B.(0,十o∞)》 C.(2,十o∞) D.(停+∞) 2.已知f(x)为偶函数，且当x∈[0,2)时， f(x)=2sinx,当x∈[2，+oo)时，f(x)= 1og:x,则f(-罗)十f4)等于() A.-√3+2 B.1 C.3 D.3+2 3.下列各组函数中，表示同一函数的是 A.y=(Jx)2与y= B.y=lne与y=e C-与=1 D=lgx+1)-1与y=g是 2x-22m+1,x≤3， 4.已知函数f(x)= 其 1og2(x-3),x>3, 中m∈R,则f(3+4m)= A.2m B.6 C.m D.2m或6 5.已知函数f(x)的定义域为[0,2]，则函 数g(x)=f(2x)+√8-2的定义域为 A.[0,1] B.[0,2] C.[1,2] D.[1,3] 1 6.函数f(x)= 的定义域为 √/1og2x-1 A.(0,2) B.(0,2] C.(2,+∞) D.[2,+o∞) 7.存在函数f(x)满足：对于任意x∈R都 有 ( A.f(sin 2x)=sin x B.f(sin 2x)=x2+x C.f(x2+1)=|x+1 D.f(x2+2.x)=|x+1 8.某旅游城市为向游客介绍本地的气温 情况，绘制了一年中各月平均最高气温 和平均最低气温的雷达图.图中A点表 示十月的平均最高气温约为15℃，B点 表示四月的平均最低气温约为5℃.下 列叙述不正确的是 一月 十二月 二月 15℃ 三月 0 十月 四月 九月 五月 八月 六月 七月 …平均最低气温 一平均最高气都 A.各月的平均最低气温都在0℃以上 B.七月的平均温差比一月的平均温差大 C.三月和十一月的平均最高气温基本 相同 D.平均最高气温高于20℃的月份有5个 9.已知函数f(x)的定义域为R.当x<0 时，f(x)=x-1;当一1≤x≤1时， f(-)=-f():当x>是时， f(x+)=f(x-)则f6)=( A.-2 B.-1 C.0 D.2 10.若函数f(x)是定义在R上的周期为2 的奇函数，当0<x<1时，f(x)=4,则 f-8)+f2)= 11.函数y=√3-2x-x的定义域是 x2+2x十2，x≤0， 12.设函数f(x)= 若 -x2,x>0. f(f(a))=2,则a= 13.若函数a)z千6a≠0).f2)=1,又 方程f(x)=x有唯一解，求f(x)的解 析式 。9 14.高考录取结束后，某市邮政快递公司 邮递员甲先给乙同学再去丙同学家送 高考录取通知书，甲从公司到乙家的 距离与乙同学家到丙同学家的距离都 是2km,甲10时从公司出发前往乙家 和丙家，如图所示，表示甲从公司出发 到达丙家为止经过的路程y(km)与时 间x(min)的关系， y 030406090 试写出y=f(x)的函数解析式因为不等式的解集为 所以a十b<0,且36-2a=一3 atb 解得a=3b<0, 则不等式(a-2b)x+2(a-b-1).x十a-2>0, 等价于bx+(4b-2)x+3b-2>0, 即+(4-号)以+3-号<0， 即(x+1)(+3-号)<0. 因为-3+号<-1， 所以所求不等式的解集为x -3+号<K-1小 高一数学寒假作业（三）函数的概念及其表示 知识巩固 1.(1)数集唯一确定定义域(3)定义域 值域对应关系值域定义域对应关系 2.非空唯一确定3.解析法列表法图象 法4.对应关系并集并集 精典题练 1.A由函数有意义可知ln(3x一5)≠0， .3x-5≠1， x≠2.注意到真数大于零，故3x一5>0即 >号，故函数的定义城为（停，2）U2,十∞故 选A. 2.D因为f(-5）=f(s)=2sin背=3， f4)=log4=2,所以f(-5）+f(4)=3+2. 故选D. 3.A对于A,y=(√)2的定义域为[0，十∞)， y=√的定义域为R,则A不正确；对于B, y=lne'=x,y=e“,则B不正确；对于C,y 的定义城为（一∞，1DU(-1,十》 y=x一1的定义域为R,则C不正确；对于D, y=lg(x十1)一1的定义域为(-1，十o∞)，y= e忠-k+1)-1的定义城为(-1，+eo. 则D正确.故选D. 4.A因为3+4m>3,所以f(3+4")=10g24m= 2m.故选A. f0≤2x≤2， 5.A由题意，得 解得0≤x≤1，故 18-2≥0， 选A. x>0, 6.C要使函数有意义，则 log2x-1>0, 解得x>2.故选C. 7.D取x=0,受，可得f(0)=0,1,这与函数的 定义矛盾，所以选项A错误； 取x=0,π，可得f(0)=0,π十π，这与函数的 定义矛盾，所以选项B错误； 取x=1,一1，可得f(2)=2,0,这与函数的定 义矛盾，所以选项C错误； 取f(x)=√x十1，则对任意x∈R都有f(.x2十 2x)=/x2十2x十1=x十1，故选项D正确. 综上可知，本题选D. 8.D由图可知，0℃在虚线框内，所以各月的平 均最低气温都在0℃以上，A正确；七月的平 均温差比一月的平均温差大，B正确；三月和 十一月的平均最高气温都约为10℃，基本相 同，C正确；平均最高气温高于20℃的月份不 是5个，D不正确.故选D. 9.D当x>0时x十>， 所以f(e+2+2)=f(+3-): 即f(x+1)=f(x), 所以f(6)=f(5)=f(4)=…=f(1)=-f(-1) =2.故选D. 10.解析：因为函数f(x)是定义在R上的周期为 2的奇函数，所以f(0)=0,f(x+2)=f(x), 所以f(-)+f2)=f(-号+2)+f0)= f(-2)+0=-f(2)=-4=-2. 答案：一2 11.解析：要使函数y=√3一2x一x2有意义，则 3一2x一x2≥0，解得-3≤x≤1，则函数y √/3-2x-x的定义域是[-3,1]. 答案：[-3,1] 12.解析：若a>0,则f(a)=-a<0,f(f(a) =a4-2a2+2=2,得a=√2 若a≤0，则f(a)=a2+2a+2=(a+1)2 +1>0, f(f(a))=-(a2+2a+2)2=2,此方程无解. 答案√2 18.解：由f2)=1得2261.即2a+6=2: 由f)=x得十6 变形得(a十61)=0， 解此方程得x=0或x=1一b a 又因方程有唯一解，故一b=0, 解得6=1，代入2a+6=2得a=2 所以f(x)=2x x+2 14.解：当x∈[0,30]时，设y=k1x十b1, b1=0, 由已知得 30k1+b1=2, 1 解得 k1二 b1=0, 1 “y=5 当x∈(30,40)时，y=2; 当x∈[40,60]时，设y=k2x+b2, 40k2+b2=2 由已知得 60k2+b2=4 、1 k210， 解得 b2=-2 022. 1 152, x∈[0,30]， 综上，f(x)=2, x∈(30,40)， 10x-2, x∈[40,60]. 高一数学寒假作业（四）函数的性质 知识巩固 ①f(x1)<f(x2)②f(x1)>f(x2)③区间D ④f(.x)≤M⑤f(.xo)=M⑥f(.x)≥M ⑦f(x)=M⑧原点对称⑨相同O相反 精典题练 1.A令g(x)=1-2x= 2得x= 4 15.故选A. 2.C设函数g(.x)=√一x+4x,则g(x)= √J一(x-2)十4，所以g(x)的值域为[0,2]，当 g(x)=0时，y=2-√一x十4z取得最大值2； 当g(x)=2时，y=2-√一x十4x取得最小值 0.所以函数y=2一√/一x2十4x的值域为 [0,2].故选C 3.D当0时，2=号=-1：当0<<1时， 2a② 1log=-1ogr=号，x ：当x>1时，l0gt 1 之，x=②.故所求解集为 选D. 4.D函数y=f(x)的定义域为（一∞，一2）U (2,十o∞)，因为函数y=f(x)是由y=log号t与 t=g(.x)=x2-4复合而成，又y=log号t在 (0,十∞)上单调递减，g(x)在(-∞，一2)上 单调递减，所以函数y=f(x)在（一∞，一2）上 单调递增.故选D. e+1 5.C要使西数y1og,32m有意义，应满足 【21解得号且x≠1，即x<1或 1K<号放画数y=g82m的定义故 e2+1 是(x<1或1<<.故选C 6.D因为函数y=f(x十2)的定义域是[-2,5)， 所以一2x<5,所以0≤x十2<7，所以函数 f(x)的定义域为[0,7).对于函数y=f(3.x一1)， 0-1<7,解得3<<号故y=3-1） 的定义城是[子·)故选D 7.D函数的三要素相同的函数为相同函数，对 于选项A,∫(x)=x一1|与g(x)对应关系不 同，故排除选项A;选项B、C中两函数的定义 域不同，排除选项B、C.故选D.