14.3实数 讲义 2025-2026学年冀教版数学八年级上册

14.3实数 （30分提至70分使用） 义 览 概 讲 课 索 探 新 无理数的定义： 无限不循环小数叫做无理数。常见的无理数形式：开方开不尽的数（如，等）；含的数（如，等）；有规律但不循环的无限小数（如等）。 实数的定义： 有理数和无理数统称为实数。 实数的分类： · 按定义分类： 有理数：整数（正整数、0、负整数） 分数（正分数、负分数） 无理数：（无限不循环小数） · 按大小分类： 正实数（正有理数、正无理数） 负实数（负有理数、负无理数） 实数与数轴的关系：每一个实数都可以用数轴上的一个点来表示；反过来，数轴上的每一个点都表示一个实数。即实数和数轴上的点是一一对应的。 型 习 练 题 无理数的大小估算 1．观察下表，可知的值在（    ） 32 33 34 35 36 37 38 1024 1089 1156 1225 1296 1369 1444 A．—之间 B．—之间 C．35—36之间 D．—之间 【答案】B 【分析】本题考查了无理数的估算． 通过将转化为，并利用表中平方数比较，确定其范围． 【详解】解：==， ∵从表可知，，，且， ∴， ∴， 因此，值在—之间． 故选：B． 2．我国古代数学著作《九章算术》中记载了“方田术”：“今有正方形田，面积十三平方步，问边长几何？”为了估算边长，需要知道的近似值，它介于哪两个连续整数之间（　　） A．2和3 B．3和4 C．4和5 D．5和6 【答案】B 【分析】本题考查了无理数的估算． 通过比较相邻整数的平方与13的大小关系，即可确定的范围． 【详解】解：∵， ∴， 故介于3和4之间． 故选：B． 3．用边长为5的两个小正方形拼成一个大正方形如图，则大正方形的边长最接近的整数是（　　） A．7 B．8 C．9 D．10 【答案】A 【分析】本题考查算术平方根的几何意义，无理数大小估计，正确掌握算术平方根的定义是解题关键．根据算术平方根的概念结合正方形的性质得出其边长，进而得出答案． 【详解】解：用边长为5的两个小正方形拼成一个大正方形， 大正方形的面积为：， 则大正方形的边长为：， ， ， 大正方形的边长最接近的整数是7． 故选：A． 4．已知是两个连续的整数，（   ） A．9 B．10 C．11 D．12 【答案】C 【分析】本题考查的是无理数的估算，掌握“无理数的估算方法”是解本题的关键． 估算出，可得，即可求解． 【详解】解：∵， ∴， ∵是两个连续的整数， ∴， ∴． 故选：C． 5．估计的值是（    ） A．在1和2之间 B．在2和3之间 C．在3和4之间 D．在4和5之间 【答案】B 【分析】本题考查了无理数的估算，解题的关键是确定被开方数所在的平方数范围． 先找出13介于两个相邻平方数之间，确定的取值范围，再减去1得到的范围． 【详解】解：∵， ∴， 即， 两边减1得：． 故选：B． 无理数整数部分的有关计算 6．是的小数部分，则的值为（   ） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】B 【分析】本题考查了无理数的估算，先确定的整数部分，再根据小数部分的定义求解． 【详解】解：∵，，， ∴的整数部分为3， ∴， ∴． 故选：B． 7．已知的整数部分是，的小数部分是，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查无理数的整数部分的有关计算，求代数式的值． 通过估算和的范围，确定的整数部分和的小数部分，再计算即可． 【详解】解：∵ ， ∴ ， ∴ ， ∴ ， ∵ ， ∴ ， ∴ ， ∴ ， ∴ 的整数部分为 12， ∴ ， ∴ ． 故选：A． 8．已知，其中m是整数，则m的值为（    ） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】B 【分析】本题考查了无理数的估算及整数部分的确定．通过比较平方数，确定的整数部分m． 【详解】解：∵，，且， ∴， 因此，． 故选：B． 9．已知m，n是连续的两个整数，且，则的值为（   ） A．6 B．12 C．20 D．30 【答案】B 【分析】本题考查的是估算无理数的大小．先估算出的取值范围，得出m、n的值，进而可得出结论． 【详解】解：∵， ∴， ∵，m，n是连续的两个整数， ∴， ∴． 故选：B． 10．实数的整数部分是（    ） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】B 【分析】本题考查无理数的估计．根据可得，即可求得的整数部分． 【详解】解：∵， ∴， ∴的整数部分是3． 故选：B． 实数的分类 11．在下列实数中：，，，，0，，（相邻两个1之间0的个数逐次加），无理数的个数是（ ） A．4 B．3 C．2 D．1 【答案】B 【分析】本题考查的是无理数的概念，解题关键是依据无理数 “无限不循环小数” 的定义，区分有理数与无理数． 先明确无理数是 “无限不循环小数”，再逐一判断每个数的类型，统计无理数的个数． 【详解】解：逐一分析各数： ：分数，是有理数； 是无限不循环小数，故是无理数； ：是无限不循环小数，故是无理数； ：分数，是有理数； 0：整数，是有理数； ：有限小数，是有理数； （相邻两个 1 之间 0 的个数逐次加 1）：是无限不循环小数，是无理数． 综上所述共有3个无理数． 故选：B． 12．下列说法错误的是（   ） A．实数包括有理数和无理数 B．有理数是有限小数 C．无限不循环小数是无理数 D．数轴上的点与实数一一对应 【答案】B 【分析】根据实数的基本概念，数轴与实数的关系，解答即可． 本题考查实数的基本概念和分类，熟练掌握定义是解题的关键． 【详解】解：A. 实数包括有理数和无理数，正确，不符合题意；     B. 整数和分数统称有理数，错误，符合题意； C. 无限不循环小数是无理数，正确，不符合题意；     D. 数轴上的点与实数一一对应，正确，不符合题意； 故选：B． 13．下列各数中，是有理数的是（   ） A． B． C．2 D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了实数的分类，有理数是能表示为两个整数之比的数，选项A为分数形式，因此是有理数，选项B、C、D均无法表示为整数之比，故为无理数． 【详解】解：对于A：∵是整数23与整数7的比， ∴是有理数； 对于B：∵4不是完全立方数，∴是无理数； 对于C：∵π是无理数，∴也是无理数； 对于D：∵是无理数，∴选项D是无理数． 故选：A． 14．下列说法：①是9的平方根；②实数可以分为正实数和负实数两类；③的立方根是；④负数没有平方根，其中正确的说法有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】B 【分析】本题考查平方根和立方根定义，实数的分类等，熟练掌握平方根和立方根定义，是解题的关键．根据相关定义逐一判断每个说法的正确性即可． 【详解】解： ①是9的平方根，故①正确； ②实数包括正实数、负实数和零，故②错误； ③的立方根是，故③错误； ④在实数范围内，负数没有平方根，故④正确； 综上，正确说法有2个． 故选：B． 15．在数，，，0，，，（每两个3之间依次增加一个2）中，有理数的个数为（　　） A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】D 【分析】本题考查了实数的分类，有理数是整数和分数的统称，包括有限小数和无限循环小数．判断每个数是否是有理数即可． 【详解】解：是负整数，是有理数； 是负分数，是有理数； 是百分数，是有理数 0是整数，是有理数； 是有限小数，是有理数； 是有限小数，是有理数； （每两个3之间依次增加一个2）是无限不循环小数，不是有理数； 则有理数有6个， 故选：D 实数与数轴 16．如图，数轴上的点P表示下列四个无理数中的一个，这个无理数是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了无理数，理解其定义是解题的关键． 根据无理数的定义解题即可． 【详解】解：由图可知，这个无理数在和之间， A：，故该选项不合题意； B：，故该选项符合题意； C：，故该选项不合题意； D：，故该选项不合题意． 故选：B ． 17．在数轴上表示下列各数的点中，距离原点最远的点表示的数是（    ） A． B．0 C．1 D． 【答案】A 【分析】本题考查实数与数轴，比较实数的大小关系，求出各点到原点的距离，再比较大小即可． 【详解】解：到原点的距离为3，0到原点的距离为0，1到原点的距离为1，到原点的距离为， ∵， ∴， ∴， ∴距离原点最远的点表示的数是． 故选A． 18．如图，在数轴上画一个边长为1的正方形，那么这个正方形的对角线长是，再以对角线长为半径，表示数1的点为圆心画一个半圆（图中虚线所示）与数轴交于、两点，则、两点表示的数是（    ） A．和 B．和 C．和 D．和 【答案】D 【分析】本题考查数轴上点表示的数，熟练掌握数轴上的点表示的数，右边的比左边的大是解题的关键． 数轴上的点表示的数，右边的比左边的大，故B表示的数比1大，同理A表示的比1小，即可得到答案． 【详解】解：由已知可得，A表示的数比1小，B表示的数比1大， ∴A表示的数是，B表示的数是， 故选：D． 19．如图所示，数轴上点P所表示的数可能是（   ） A． B．10 C． D．3.1 【答案】C 【分析】本题考查实数与数轴，无理数的估算，夹逼法求出无理数的范围进行判断即可． 【详解】解：由数轴可知：点表示的数大于3.5，小于4， A、∵， ∴，不符合题意； B、，不符合题意； C、∵， ∴，符合题意； D、，不符合题意； 故选C． 20．实数在数轴上的对应点的位置如图所示，若实数满足，则的值可以是（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了数轴，实数大小比较等知识，数形结合是解题关键．先根据数轴的定义得出a的取值范围，从而可得出b的取值范围，由此即可得解． 【详解】解：， ， 从数轴上可知、、都在点的右侧，在点的左侧， 结合选项． 故选：D ． 实数的大小比较 21．比较大小（用“>”、“<”“=”连接）： ． 【答案】 【分析】本题考查了无理数比较大小，将无理数的大小比较转化为有理数大小比较是解题的关键． 先通过平方将无理数比较转化为有理数比较，再根据平方后的结果判断原数大小即可． 【详解】解：∵ ，，且， ∴． 故答案为：． 22．比较大小： （填“”、“”或“”）． 【答案】 【分析】本题考查了实数的大小比较，通过比较分子的大小来判断分数的大小，由于分母相同，只需比较分子即可． 【详解】解：， ． 故答案为：． 23．比较大小： ．（填“”或者“”） 【答案】 【分析】本题主要考查了实数大小的比较，根据两个负数比较大小的法则，绝对值大的反而小，进行求解即可． 【详解】解：，， ∵ ∴， ∴． 故答案为：． 24． ，比较大小： ． 【答案】 / 【分析】本题考查实数大小的比较、立方根和绝对值，掌握相关的定义是解决本题的关键． 根据立方根以及实数的大小比较的方法即可求解． 【详解】解：∵， ∴， ∴； ∵，， ∴， 故答案为：；． 25．比较大小： ．（填“”“”或“”） 【答案】 【分析】本题主要考查了实数比较大小，可证明，再利用作差法求出，据此可得答案． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 学科网（北京）股份有限公司 $ 14.3实数 （30分提至70分使用） 义 览 概 讲 课 索 探 新 无理数的定义： 无限不循环小数叫做无理数。常见的无理数形式：开方开不尽的数（如，等）；含的数（如，等）；有规律但不循环的无限小数（如等）。 实数的定义： 有理数和无理数统称为实数。 实数的分类： · 按定义分类： 有理数：整数（正整数、0、负整数） 分数（正分数、负分数） 无理数：（无限不循环小数） · 按大小分类： 正实数（正有理数、正无理数） 负实数（负有理数、负无理数） 实数与数轴的关系：每一个实数都可以用数轴上的一个点来表示；反过来，数轴上的每一个点都表示一个实数。即实数和数轴上的点是一一对应的。 型 习 练 题 无理数的大小估算 1．观察下表，可知的值在（    ） 32 33 34 35 36 37 38 1024 1089 1156 1225 1296 1369 1444 A．—之间 B．—之间 C．35—36之间 D．—之间 2．我国古代数学著作《九章算术》中记载了“方田术”：“今有正方形田，面积十三平方步，问边长几何？”为了估算边长，需要知道的近似值，它介于哪两个连续整数之间（　　） A．2和3 B．3和4 C．4和5 D．5和6 3．用边长为5的两个小正方形拼成一个大正方形如图，则大正方形的边长最接近的整数是（　　） A．7 B．8 C．9 D．10 4．已知是两个连续的整数，（   ） A．9 B．10 C．11 D．12 5．估计的值是（    ） A．在1和2之间 B．在2和3之间 C．在3和4之间 D．在4和5之间 无理数整数部分的有关计算 6．是的小数部分，则的值为（   ） A．2 B．3 C．4 D．5 7．已知的整数部分是，的小数部分是，则的值为（    ） A． B． C． D． 8．已知，其中m是整数，则m的值为（    ） A．2 B．3 C．4 D．5 9．已知m，n是连续的两个整数，且，则的值为（   ） A．6 B．12 C．20 D．30 10．实数的整数部分是（    ） A．2 B．3 C．4 D．5 实数的分类 11．在下列实数中：，，，，0，，（相邻两个1之间0的个数逐次加），无理数的个数是（ ） A．4 B．3 C．2 D．1 12．下列说法错误的是（   ） A．实数包括有理数和无理数 B．有理数是有限小数 C．无限不循环小数是无理数 D．数轴上的点与实数一一对应 13．下列各数中，是有理数的是（   ） A． B． C．2 D． 14．下列说法：①是9的平方根；②实数可以分为正实数和负实数两类；③的立方根是；④负数没有平方根，其中正确的说法有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 15．在数，，，0，，，（每两个3之间依次增加一个2）中，有理数的个数为（　　） A．3 B．4 C．5 D．6 实数与数轴 16．如图，数轴上的点P表示下列四个无理数中的一个，这个无理数是（   ） A． B． C． D． 17．在数轴上表示下列各数的点中，距离原点最远的点表示的数是（    ） A． B．0 C．1 D． 18．如图，在数轴上画一个边长为1的正方形，那么这个正方形的对角线长是，再以对角线长为半径，表示数1的点为圆心画一个半圆（图中虚线所示）与数轴交于、两点，则、两点表示的数是（    ） A．和 B．和 C．和 D．和 19．如图所示，数轴上点P所表示的数可能是（   ） A． B．10 C． D．3.1 20．实数在数轴上的对应点的位置如图所示，若实数满足，则的值可以是（ ） A． B． C． D． 实数的大小比较 21．比较大小（用“>”、“<”“=”连接）： ． 22．比较大小： （填“”、“”或“”）． 23．比较大小： ．（填“”或者“”） 24． ，比较大小： ． 25．比较大小： ．（填“”“”或“”） 学科网（北京）股份有限公司 $