13.4三角形的尺规作图 讲义 2025-2026学年冀教版数学八年级上册

13.4三角形的尺规作图 （30分提至70分使用） 义 览 概 讲 课 索 探 新 尺规作图的基本工具 · 直尺（无刻度，用于画直线、射线、线段） · 圆规（用于画圆和圆弧，截取等长线段） 已知三边作三角形 1. 已知：线段 ( a, b, c )（其中任意两边之和大于第三边） 2. 求作：，使 ( AB = c )，( AC = b )，( BC = a ) 3. 作法： · 作线段 ( BC = a ) · 以点 ( B ) 为圆心，以 ( c ) 长为半径画弧 · 以点 ( C ) 为圆心，以 ( b ) 长为半径画弧，两弧交于点 ( A ) · 连接 ( AB )、( AC ) · 即为所求 已知两边及其夹角作三角形 1. 已知：线段 ( a, b )，角 2. 求作：，使 ( BC = a )，( AC = b )， 3. 作法： · 作 · 在射线 ( CD ) 上截取 ( CA = b ) · 在射线 ( CE ) 上截取 ( CB = a ) · 连接 ( AB ) · 即为所求 已知两角及其夹边作三角形 1. 已知：角，线段 ( c ) 2. 求作：，使，，( AB = c ) 3. 作法： · 作线段 ( AB = c ) · 在 ( AB ) 的同旁，以点 ( A ) 为顶点作 · 以点 ( B ) 为顶点作，射线 ( AD ) 与 ( BE ) 交于点 ( C ) · 即为所求 型 习 练 题 一、单选题 1．综合实践课上，嘉嘉画出了，利用尺规作图画出了；使．图1~图3是其作图过程． （1）以点A为圆心，以适当长为半径画弧，交于点M，交于点N．    （2）以点N为圆心，以长为半径画弧，与（1）中的弧交于点P，作射线．    （3）以点A为圆心，分别以，长为半径画弧，与边交于点D，与射线交于点E，连接．    在嘉嘉的作法中，可直接判定的依据是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了全等三角形的判定定理，由作图可得，，，，再结合全等三角形的判定定理判断即可得解，熟练掌握全等三角形的判定定理是解此题的关键． 【详解】解：由作图可得，，，， ∴， ∴在嘉嘉的作法中，可直接判定的依据是， 故选：B． 2．如图1，已知，，线段，求作． 作法：如图2，①作线段；②在的同旁作，，与的另一边交于点．则就是所作三角形，这样作图的依据是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查作图—复杂作图，全等三角形的判定，解题的关键是理解作图过程中产生的相等元素，据此得出全等的判定方法． 根据题中的图形，可以得到 ，，，再根据全等三角形的判定方法，求解即可． 【详解】解：由作图可知， ，，， 则这个作图的依据是：两角及夹边对应相等的两个三角形全等，即． 故选C． 3．我们曾这样“做一做”：如图1，已知、和线段，试作，使，，．我们用尺规作图得到如图2所示的，又发现我们所作的三角形和其他同学所作的三角形能够完全重合，于是得到判定三角形全等的方法是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查作三角形，全等三角形的判定，解题的关键是理解作图过程中产生的相等元素，据此得出全等的判定方法． 【详解】解：由作图可知，这个作图的依据是：两角夹边对应相等的两个三角形全等，即ASA． 故选C． 二、填空题 4．给出下列条件：①已知两边；②已知两角；③已知一边和一角；④已知两角和一边．其中能用尺规作出唯一三角形的是 （填序号） 【答案】④ 【分析】本题考查了全等三角形的判定．根据全等三角形的判定定理，只有已知两角和一边（对应判定方法是或）能唯一确定三角形，其他条件均不能用尺规作出唯一三角形，据此进行逐个分析，即可作答． 【详解】解：依题意，已知两边不能用尺规作出唯一三角形， 故①不符合题意； 已知两角不能用尺规作出唯一三角形， 故②不符合题意； 已知一边和一角不能用尺规作出唯一三角形， 故③不符合题意； 已知两角和一边（对应判定方法是或）能唯一确定三角形，即用尺规作出唯一三角形， 故④符合题意； 故答案为：④ 5．如图，给定一个，用直尺和圆规作 ，有人的作法是： ①作上方作；②以点为圆心，以 长为半径作弧，交 于点； ③以点为圆心，以 长为半径作弧，交 于点；④连接． 就是求作三角形．在此作法中，判定 的依据是 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定，尺规作图-作三角形，根据作图方法可得，据此根据全等三角形的判定定理即可得到答案． 【详解】解：由作图方法可得， ， 故答案为：． 6．如图，已知线段a，c和，求作：，使，，，填空： （1）如图②，作 ； （2）如图③，在射线上截取 ，在射线上截取 ； （3）如图④，连接，即所求作的三角形． 【答案】 a c 【分析】本题考查的是尺规作图--按要求作一个三角形，根据作一个角等于已知角和作一条线段等于已知线段的要求完成填空即可． 【详解】解：（1）如图②，作； （2）如图③，在射线上截取，在射线上截取； （3）如图④，连接，即所求作的三角形． 故答案为：；a；c． 三、解答题 7．尺规作图． 已知：（如图）． 求作：，使与全等． 要求： (1)不写作法，保留作图痕迹； (2)写出作图时选取的相等的边或角． 【答案】(1)图见解析 (2) 【分析】本题考查尺规作图—作三角形，熟练掌握全等三角形的判定方法是解题的关键： （1）利用，作射线，截取，分别以为圆心，的长为半径画弧，两弧交于点，连接，即可； （2）根据进行作答即可． 【详解】（1）解：如图，即为所求； （2）由作图，． 8．如图，已知线段a，b和，用直尺和圆规作一个，使得，．（保留作图痕迹，不写作法） 【答案】见解析 【分析】本题主要考查了尺规作图—作三角形，先作射线，再以点A为圆心，线段的长为半径画弧交射线于D，接着以点D为圆心，线段b的长为半径画弧交射线于B，再接着作，最后以点A为圆心，线段b的长为半径画弧交射线于C，连接，则即为所求． 【详解】解：如图所示，即为所求． 9．已知三条线段，，，用尺规作出，使，，．（不写作法，保留作图痕迹） 【答案】见解析 【分析】本题主要考查了尺规作图—作三角形，作射线，以B为圆心，线段a的长为半径画弧交射线于C，再分别以B为圆心，线段c的长为半径画弧与以C为圆心，线段b的长为半径的圆交于A，则即为所求． 【详解】解：如图所示，即为所求． 10．如图，已知． (1)过的顶点A画出它的高； (2)利用直尺和圆规作，，．（点D与点C在的不同侧） 【答案】(1)图见详解 (2)图见详解 【分析】本题主要考查三角形的高线及全等三角形的性质与判定，熟练掌握三角形的高线及全等三角形的性质与判定是解题的关键； （1）根据三角形的高线定义可进行作图； （2）先以点A为圆心，长为半径画弧，再以点B为圆心，长为半径画弧，两弧交于一点D，则根据“”可得，则问题可求解． 【详解】（1）解：所作高如图所示： （2）解：所作如图所示： 11．已知（如图），请你用尺规作图的方法作，使得．（请保留适当的作图痕迹） 【答案】见解析 【分析】本题考查作一个与已知三角形全等的三角形，先作线段，再分别以、为圆心，、为半径画弧交于点，此时，，则． 【详解】解：使得的如图所示： 学科网（北京）股份有限公司 $ 13.4三角形的尺规作图 （30分提至70分使用） 义 览 概 讲 课 索 探 新 尺规作图的基本工具 · 直尺（无刻度，用于画直线、射线、线段） · 圆规（用于画圆和圆弧，截取等长线段） 已知三边作三角形 1. 已知：线段 ( a, b, c )（其中任意两边之和大于第三边） 2. 求作：，使 ( AB = c )，( AC = b )，( BC = a ) 3. 作法： · 作线段 ( BC = a ) · 以点 ( B ) 为圆心，以 ( c ) 长为半径画弧 · 以点 ( C ) 为圆心，以 ( b ) 长为半径画弧，两弧交于点 ( A ) · 连接 ( AB )、( AC ) · 即为所求 已知两边及其夹角作三角形 1. 已知：线段 ( a, b )，角 2. 求作：，使 ( BC = a )，( AC = b )， 3. 作法： · 作 · 在射线 ( CD ) 上截取 ( CA = b ) · 在射线 ( CE ) 上截取 ( CB = a ) · 连接 ( AB ) · 即为所求 已知两角及其夹边作三角形 1. 已知：角，线段 ( c ) 2. 求作：，使，，( AB = c ) 3. 作法： · 作线段 ( AB = c ) · 在 ( AB ) 的同旁，以点 ( A ) 为顶点作 · 以点 ( B ) 为顶点作，射线 ( AD ) 与 ( BE ) 交于点 ( C ) · 即为所求 型 习 练 题 一、单选题 1．综合实践课上，嘉嘉画出了，利用尺规作图画出了；使．图1~图3是其作图过程． （1）以点A为圆心，以适当长为半径画弧，交于点M，交于点N．    （2）以点N为圆心，以长为半径画弧，与（1）中的弧交于点P，作射线．    （3）以点A为圆心，分别以，长为半径画弧，与边交于点D，与射线交于点E，连接．    在嘉嘉的作法中，可直接判定的依据是（   ） A． B． C． D． 2．如图1，已知，，线段，求作． 作法：如图2，①作线段；②在的同旁作，，与的另一边交于点．则就是所作三角形，这样作图的依据是（    ） A． B． C． D． 3．我们曾这样“做一做”：如图1，已知、和线段，试作，使，，．我们用尺规作图得到如图2所示的，又发现我们所作的三角形和其他同学所作的三角形能够完全重合，于是得到判定三角形全等的方法是（    ） A． B． C． D． 二、填空题 4．给出下列条件：①已知两边；②已知两角；③已知一边和一角；④已知两角和一边．其中能用尺规作出唯一三角形的是 （填序号） 5．如图，给定一个，用直尺和圆规作 ，有人的作法是： ①作上方作；②以点为圆心，以 长为半径作弧，交 于点； ③以点为圆心，以 长为半径作弧，交 于点；④连接． 就是求作三角形．在此作法中，判定 的依据是 ． 6．如图，已知线段a，c和，求作：，使，，，填空： （1）如图②，作 ； （2）如图③，在射线上截取 ，在射线上截取 ； （3）如图④，连接，即所求作的三角形． 三、解答题 7．尺规作图． 已知：（如图）． 求作：，使与全等． 要求： (1)不写作法，保留作图痕迹； (2)写出作图时选取的相等的边或角． 8．如图，已知线段a，b和，用直尺和圆规作一个，使得，．（保留作图痕迹，不写作法） 9．已知三条线段，，，用尺规作出，使，，．（不写作法，保留作图痕迹） 10．如图，已知． (1)过的顶点A画出它的高； (2)利用直尺和圆规作，，．（点D与点C在的不同侧） 11．已知（如图），请你用尺规作图的方法作，使得．（请保留适当的作图痕迹） 学科网（北京）股份有限公司 $