14.2立方根（基础篇）讲义 2025-2026学年冀教版数学八年级上册

14.2立方根 （30分提至70分使用） 义 览 概 讲 课 索 探 新 一、立方根的定义 如果一个数的立方等于(a)，那么这个数叫做(a)的立方根或三次方根。这就是说，如果，那么(x)叫做(a)的立方根，记作，其中(a)是被开方数，(3)是根指数。 二、立方根的表示方法 一个数(a)的立方根用符号表示，读作“三次根号(a)”。根指数(3)不能省略。 三、立方根的性质 1. 正数的立方根是正数：如果(a > 0)，那么。例如，。 2. 负数的立方根是负数：如果(a < 0)，那么。例如，。 3. 0的立方根是0：。 4. 立方根的唯一性：任意一个数都有且只有一个立方根。 5. 立方与开立方互为逆运算：，。 四、开立方运算 求一个数的立方根的运算，叫做开立方。开立方与立方互为逆运算，可以通过立方运算来检验开立方的结果是否正确。 五、立方根与平方根的区别 1. 根指数：平方根的根指数是(2)，通常省略不写；立方根的根指数是(3)，不能省略。 2. 被开方数的取值范围：平方根中，被开方数必须是非负数；立方根中，被开方数可以是任意实数。 3. 结果的个数：正数有两个平方根（互为相反数），(0)的平方根是(0)，负数没有平方根；任意一个数都有且只有一个立方根。 型 习 练 题 求一个数的立方根 1．下列各式中，正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查算术平方根和立方根的定义及性质，根据算术平方根的定义、立方根的定义进行判断即可． 【详解】解：A、，本选项错误，不合题意； B、，本选项错误，不合题意； C、，本选项正确，符合题意， D、，本选项错误，不合题意； 故选：C． 2．已知的算术平方根是，的立方根是，则的值为（    ） A．3 B．5 C．3或7 D．5或7 【答案】B 【分析】本题考查了算术平方根和立方根的意义． 先计算的值，再求其算术平方根得到；计算的值，再求其立方根得到；最后求． 【详解】解：∵， ∴， ∵的算术平方根是， ∴． ∵的立方根是，， ∴． ∴． 故选B． 3．下列运算正确的是（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查算术平方根、平方根、立方根，熟练掌握相关的知识点是解题的关键．根据算术平方根、平方根、立方根的性质进行解题即可． 【详解】解：、，故该项不正确，不符合题意； 、，故该项不正确，不符合题意； 、，故该项正确，符合题意； 、，故该项不正确，不符合题意； 故选：． 4．若实数a，b满足，则的立方根为（    ） A．2 B． C． D．8 【答案】A 【分析】本题考查非负数的性质和立方根的计算，注意正数的立方根是正数． 根据非负数的性质，平方根和平方项均非负，和为零则每个部分为零，从而求出 a 和 b 的值，再计算 并求其立方根． 【详解】解：∵， ，且， ∴，， ∴，， ∴， ∴， ∵8的立方根为2， ∴的立方根为2． 故选：A． 5．命题“若，则”的逆命题是假命题，则可举反例是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查命题与定理，先写出逆命题，结合选项分析条件成立，但是结论不成立的例子，即可求解． 【详解】解：“若，则”的逆命题是“若，则”， ∴当时，，满足但，为反例； 故选：A． 已知一个数的立方根，求这个数 6．立方根是的数是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了立方根，根据立方根是的数，则，即可作答． 【详解】解：依题意，， ∴立方根是的数是， 故选：B． 7．已知，则的值为（    ） A．1 B．2 C．3 D．1或2或3 【答案】D 【分析】本题主要考查了根据立方根求原数．根据题意可得的立方根是它本身，则或，据此求出x的值即可． 【详解】解：∵， ∴的立方根是它本身， ∴或， ∴或或， 故选：D． 8．已知，则x的值为（   ） A．8 B． C．6 D． 【答案】B 【分析】本题主要考查立方根的定义，掌握“若，则”是解题的关键． 根据立方根的定义，解答即可． 【详解】解：∵， ∴． 故选：B． 9．已知的立方根是4，则的平方根是（   ） A．5 B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了立方根和平方根，根据立方根的定义得到x的值是解题的关键．根据的立方根是4，从而得到，代入，再根据平方根的定义即可得到答案． 【详解】解：∵的立方根是4， ∴， ∴， ∴， ∴的平方根为． 故选：B． 10．是下列哪个数的立方根（   ） A．4 B．8 C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了求一个数的立方根，根据立方根的定义求解即可． 【详解】解：， 是的立方根， 故选：D． 立方根的实际应用 11．如图是由大小相同的小正方体搭成的几何体．如果这个几何体的体积为，那么每个小正方体的棱长为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了立方根的实际应用，解题关键是掌握上述知识点并能运用求解． 先求出大正方体的棱长，即可求出每个小正方体的棱长． 【详解】解：根据题意得几何体的边长为， 每个小正方体的棱长为， 故选：B． 12．某种植物细胞可以近似看作是棱长为1的正方体，当它的体积增大到原来的2倍时，这个正方体的棱长是（   ） A．2 B．8 C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查的是立方根的性质，熟练掌握立方根的性质是解题的关键．先求得增大后的正方体的体积，然后依据立方根的性质求解即可． 【详解】解：小正方体的体积． 大正方体的体积． 所以大正方体的棱长． 故选：D． 13．如果一个正方体的体积扩大到原来的64倍，那么它的棱长扩大到原来的（　　） A．4倍 B．8倍 C．32倍 D．64倍 【答案】A 【分析】本题考查立方根的实际应用，理解体积与棱长的关系是关键． 设原棱长为a，新棱长为b，体积扩大到原来的64倍，得到，求出，由此得到答案． 【详解】设原棱长为a，新棱长为b，体积扩大到原来的64倍， ∵原正方体的体积为，新正方体的体积为，   ∴，   ∴，    ∴棱长扩大到原来的4倍． 故选：A． 14．已知一个正方体的体积是，现要在它的8个角上分别截去1个大小相同的小正方体，截去小正方体后余下部分的体积恰好是，则截去的每个小正方体的棱长是（   ） A．6 B． C． D．1 【答案】C 【分析】本题考查了立方根的应用．设截去的每个小正方体的棱长是，由题意得出，整理得，再利用立方根的定义解方程即可得出答案． 【详解】解：设截去的每个小正方体的棱长是， 由题意得：， 整理得：， 解得：， 截去的每个小正方体的棱长是， 故选：C． 15．如果一个正方体的体积扩大到原来的9倍，那么它的棱长扩大到原来的（    ） A．倍 B．3倍 C．27倍 D．81倍 【答案】A 【分析】本题主要考查立方根的实际应用，正方体的体积；设原正方体的棱长为，变化后的棱长为，得到原正方体的体积为，变化后的正方体的体积为，根据题意得到，即可得出结论． 【详解】解：设原正方体的棱长为，变化后的棱长为， ∴原正方体的体积为，变化后的正方体的体积为， ∵正方体的体积扩大到原来的9倍， ∴，即， ∴它的棱长扩大到原来的倍， 故选：A． 算术平方根和立方根的综合应用 16．已知的算术平方根是3，b的立方根为． (1)求a与b的值； (2)求的立方根． 【答案】(1)， (2)2 【分析】本题考查算术平方根和立方根，熟练掌握相关知识点，是解题的关键： （1）根据算术平方根和立方根的定义，进行求解即可； （2）根据立方根的定义，进行求解即可． 【详解】（1）解：由题意，， 解得，； （2）由（1）可知，； ∴的立方根为2． 17．已知的算术平方根是5，的立方根是． (1)求，的值； (2)求的平方根． 【答案】(1)， (2) 【分析】本题考查了平方根、算术平方根、立方根，熟练掌握平方根、算术平方根和立方根的定义是解题的关键． （1）根据算术平方根和立方根的定义，得出，，计算得出答案即可； （2）将，的值代入求值，再求出平方根即可． 【详解】（1）解：由题意可得，，， 即，， 解得，， 故，的值为，． （2）将，的值代入，得 ， ， 的平方根为． 18．已知正数x的两个平方根分别是和，负数y的立方根与它本身相同． (1)求a，x，的值； (2)求的算术平方根． 【答案】(1) (2)6 【分析】本题考查平方根和算术平方根、立方根．熟练掌握一个正数的两个平方根互为相反数，是解题的关键． （1）根据平方根和立方根的定义进行求解即可； （2）先求出代数式的值，然后根据算术平方根的定义进行求解即可． 【详解】（1）解：依题意，得：， 解得：， ，， ， 即a，x的值分别为，25， 负数y的立方根与它本身相同， ． （2）解：当，时，， 的算术平方根为． 19．已知的一个平方根是，的立方根是，求的算术平方根． 【答案】 【分析】本题考查了立方根、平方根、算术平方根，解题的关键是明确立方根、平方根、算术平方根的定义，根据的一个平方根是，可以得到的值，根据的立方根是，可以得到的值，从而可以求得的算术平方根． 【详解】解：∵的一个平方根是， ∴， 解得：， ∵的立方根是， ∴， ∵， ∴， 解得：， ∴， ∴的算术平方根为， 即的算术平方根为． 20．已知的算术平方根是，的立方根是，求的立方根． 【答案】 【分析】本题主要考查了已知一个数的算术平方根和立方根求这个数，准确利用算术平方根和立方根的性质计算是解题的关键．根据的算术平方根是可得，即可求出，根据的立方根是可得，即可求出，进而代入计算即可得解． 【详解】解：的算术平方根是2， ， ， 的立方根是， ， ， ， 的立方根是． 学科网（北京）股份有限公司 $ 14.2立方根 （30分提至70分使用） 义 览 概 讲 课 索 探 新 一、立方根的定义 如果一个数的立方等于(a)，那么这个数叫做(a)的立方根或三次方根。这就是说，如果，那么(x)叫做(a)的立方根，记作，其中(a)是被开方数，(3)是根指数。 二、立方根的表示方法 一个数(a)的立方根用符号表示，读作“三次根号(a)”。根指数(3)不能省略。 三、立方根的性质 1. 正数的立方根是正数：如果(a > 0)，那么。例如，。 2. 负数的立方根是负数：如果(a < 0)，那么。例如，。 3. 0的立方根是0：。 4. 立方根的唯一性：任意一个数都有且只有一个立方根。 5. 立方与开立方互为逆运算：，。 四、开立方运算 求一个数的立方根的运算，叫做开立方。开立方与立方互为逆运算，可以通过立方运算来检验开立方的结果是否正确。 五、立方根与平方根的区别 1. 根指数：平方根的根指数是(2)，通常省略不写；立方根的根指数是(3)，不能省略。 2. 被开方数的取值范围：平方根中，被开方数必须是非负数；立方根中，被开方数可以是任意实数。 3. 结果的个数：正数有两个平方根（互为相反数），(0)的平方根是(0)，负数没有平方根；任意一个数都有且只有一个立方根。 型 习 练 题 求一个数的立方根 1．下列各式中，正确的是（   ） A． B． C． D． 2．已知的算术平方根是，的立方根是，则的值为（    ） A．3 B．5 C．3或7 D．5或7 3．下列运算正确的是（ ） A． B． C． D． 4．若实数a，b满足，则的立方根为（    ） A．2 B． C． D．8 5．命题“若，则”的逆命题是假命题，则可举反例是（    ） A． B． C． D． 已知一个数的立方根，求这个数 6．立方根是的数是（   ） A． B． C． D． 7．已知，则的值为（    ） A．1 B．2 C．3 D．1或2或3 8．已知，则x的值为（   ） A．8 B． C．6 D． 9．已知的立方根是4，则的平方根是（   ） A．5 B． C． D． 10．是下列哪个数的立方根（   ） A．4 B．8 C． D． 立方根的实际应用 11．如图是由大小相同的小正方体搭成的几何体．如果这个几何体的体积为，那么每个小正方体的棱长为（    ） A． B． C． D． 12．某种植物细胞可以近似看作是棱长为1的正方体，当它的体积增大到原来的2倍时，这个正方体的棱长是（   ） A．2 B．8 C． D． 13．如果一个正方体的体积扩大到原来的64倍，那么它的棱长扩大到原来的（　　） A．4倍 B．8倍 C．32倍 D．64倍 14．已知一个正方体的体积是，现要在它的8个角上分别截去1个大小相同的小正方体，截去小正方体后余下部分的体积恰好是，则截去的每个小正方体的棱长是（   ） A．6 B． C． D．1 15．如果一个正方体的体积扩大到原来的9倍，那么它的棱长扩大到原来的（    ） A．倍 B．3倍 C．27倍 D．81倍 算术平方根和立方根的综合应用 16．已知的算术平方根是3，b的立方根为． (1)求a与b的值； (2)求的立方根． 17．已知的算术平方根是5，的立方根是． (1)求，的值； (2)求的平方根． 18．已知正数x的两个平方根分别是和，负数y的立方根与它本身相同． (1)求a，x，的值； (2)求的算术平方根． 19．已知的一个平方根是，的立方根是，求的算术平方根． 20．已知的算术平方根是，的立方根是，求的立方根． 学科网（北京）股份有限公司 $