14.2 立方根 课件 2025--2026学年冀教版八年级数学上册

冀教（2024）版数学8年级上册 第十四章 实数 14.2 立方根 利用数的平方运算，可以求出一个数的平方根. 那么已知一个数的立方，能不能求出这个数呢? 冀教版八年级数学14.1.2平方根第2课时核心是算术平方根，重点是让学生掌握算术平方根的概念、双重非负性，能区分其与平方根的差异，并运用知识解决实际问题，以下是适配课堂的幻灯片内容： # 幻灯片分页内容：14.1.2平方根（第2课时，算术平方根） ## 第1页：复习导入——衔接旧知引出新知 1. **旧知回顾** - 提问1：求25、0.01、$\frac{4}{9}$的平方根（学生答：$\pm5$、$\pm0.1$、$\pm\frac{2}{3}$）； - 提问2：平方根具有哪些性质？（引导学生回顾：正数有两个互为相反数的平方根，0的平方根是0，负数无平方根）。 2. **情境设问** 美术课上，老师让小明裁一块面积为16平方分米的正方形画纸，正方形的边长应该取多少？为什么不考虑负数？ 3. **引出主题** 这种求正数的正平方根的需求，就对应今天要学的算术平方根，本节课将探究算术平方根的概念、性质及应用。 ## 第2页：核心概念——算术平方根的定义与表示 1. **定义精讲** 一般地，一个正数a的**正的平方根**叫做a的算术平方根。规定0的算术平方根是0。 - 示例：25的平方根是$\pm5$，其中5是25的算术平方根；16的平方根是$\pm4$，其中4是16的算术平方根。 - 关键提醒：负数没有算术平方根，因为算术平方根是正的平方根，而负数本身无平方根。 2. **符号表示** 正数a的算术平方根记作$\sqrt{a}$，读作“根号a”，a仍为被开方数且a≥0。 - 示例：100的算术平方根记作$\sqrt{100}=10$；0的算术平方根记作$\sqrt{0}=0$。 ## 第3页：重点突破——算术平方根的双重非负性 1. **性质解析** 算术平方根具有双重非负性，即$\sqrt{a}\geq0$且$a\geq0$。 - 第一层：被开方数a是非负数，负数不能进行算术平方根运算； - 第二层：算术平方根的结果是非负数，它本质是正数的正平方根或0。 2. **即时判断** 下列各式有意义吗？为什么？ - $\sqrt{-7}$（无意义，被开方数为负）； - $\sqrt{0}$（有意义，0的算术平方根是0）； - $\sqrt{(-3)^2}$（有意义，被开方数$(-3)^2=9\geq0$）。 ## 第4页：对比辨析——算术平方根与平方根的区别和联系 |对比维度|算术平方根|平方根| | ---- | ---- | ---- | |定义|正数a的正的平方根|如果$x^2=a$，x叫做a的平方根| |符号表示|$\sqrt{a}$（a≥0）|$\pm\sqrt{a}$（a≥0）| |结果特征|只有一个非负结果|正数有两个互为相反数的结果，0只有一个结果| |示例|$\sqrt{36}=6$|$\pm\sqrt{36}=\pm6$| |联系|算术平方根是平方根中的正根；0的算术平方根和平方根都是0| ## 第5页：例题精讲——求非负数的算术平方根 1. **基础例题** 例1：求下列各数的算术平方根 （1）144 解：因为$12^2 = 144$，所以144的算术平方根是12，即$\sqrt{144}=12$； （2）0.0001 解：因为$0.01^2 = 0.0001$，所以0.0001的算术平方根是0.01，即$\sqrt{0.0001}=0.01$； （3）$\frac{81}{121}$ 解：因为$(\frac{9}{11})^2=\frac{81}{121}$，所以$\frac{81}{121}$的算术平方根是$\frac{9}{11}$，即$\sqrt{\frac{81}{121}}=\frac{9}{11}$。 2. **解题步骤** 先判断被开方数是否为非负数，再找一个非负数，使其平方等于该被开方数，这个非负数就是算术平方根。 ## 第6页：进阶应用——双重非负性的综合运用 1. **典型例题** 例2：已知$\sqrt{x - 3}+\sqrt{5 - y}=0$，求x+y的值。 解：由算术平方根的双重非负性可知，$\sqrt{x - 3}\geq0$，$\sqrt{5 - y}\geq0$；又因为两个非负数的和为0，所以每个非负数都为0。即$x - 3 = 0$，$5 - y = 0$，解得$x=3$，$y=5$，因此$x+y=3 + 5=8$。 2. **实际应用** 例3：一块长方形草坪，长是宽的3倍，面积是27平方米，求草坪的长。 解：设宽为x米，则长为3x米，由题意得$3x\cdot x=27$，即$x^2=9$。因为长度为正数，所以x的算术平方根$\sqrt{9}=3$，则长为$3×3=9$米。 ## 第7页：易错点辨析与分层练习 1. **易错点梳理** |易错类型|错误示例|纠正方法| | ---- | ---- | ---- | |混淆概念|把$\sqrt{25}$写成$\pm5$|牢记$\sqrt{a}$仅表示算术平方根，结果非负| |忽略条件|认为$\sqrt{(-4)^2}=-4$|先化简被开方数，$(-4)^2=16$，再求算术平方根为4| |遗漏非负性|求解$\sqrt{x}=-2$|算术平方根结果恒非负，此类方程无解| 2. **分层练习** - 基础题：求0.36、$\frac{16}{49}$、121的算术平方根； - 提高题：已知2a - 6的算术平方根是4，求a的值（答案：a=11）。 ## 第8页：课堂小结与作业布置 1. **核心知识回顾** - 概念：算术平方根是正数的正平方根，0的算术平方根是0； - 符号：$\sqrt{a}$（a≥0），且$\sqrt{a}\geq0$； - 区别：算术平方根是单一非负值，平方根是互为相反数的两个值。 2. **思维提升** 学会利用双重非负性解决含算术平方根的求值问题，建立正向与逆向思维的联系。 3. **作业布置** - 基础作业：求教材对应习题中各数的算术平方根； - 拓展作业：若$\sqrt{m + 2}$与$\sqrt{n - 3}$互为相反数，求mn的值。 情景导入 活动一：观察与思考——感知立方根 如图所示，已知小正方体的棱长为2，那么它的体积是多少？反过来，如果大正方体的体积V=27，你能不能求出它的棱长x呢？ 问题：（1）想一想：正方体的体积公式是什么？ （2）你能解答这道题吗？ 探究新知 试着做一做——理解立方根的定义 探究新知 探究新知 填一填——探究立方根的性质 1. 一个正数有几个立方根？正数的立方根是正数还是负数？ 2. 一个负数有几个立方根？负数的立方根是正数还是负数？ 3. 0的立方根是什么数？ 探究新知 大家想一想: （1）立方根又有哪些性质？ （2）跟平方根的性质一样吗？ 探究新知 立方根的性质 （1）一个正数有一个正的立方根； （2）一个负数有一个负的立方根； （3）0的立方根是0. 归纳总结 求一个数的立方根的运算，叫做开立方. 开立方和立方互为逆运算. 探究新知 平方根与立方根的联系与区别. （1）都有相应的乘方运算与开方运算，开平方与平方互为逆运算，开立方与立方互为逆运算； 联系： （2）0的平方根与立方根都是它本身. 探究新知 区别： （1）概念不同：开平方是求一个非负数的平方根，开立方是求一个数的立方根； （2）表示方法不同：用根号表示平方根时，根指数2可以省略，而用根号表示立方根时，根指数3不能省略； （3）个数及取值不同：平方根只有非负数才有，而立方根任何数都有；正数的平方根有2个，而正数的立方根只有1个. 探究新知 巩固练习 求一个负数的立方根，可以先求这个负数的绝对值的立方根，再取它的相反数. 归纳总结 巩固练习 1. ［2025唐山月考］ 的相反数为( ) B A. B. 3 C. D. 2 2. 如果是 的三次方根，那么( ) D A. B. C. D. 是任意数 3. 一个数的立方根为 ,则比这个数大2 025的数的立方根是 ( ) D A. B. C. D. 返回 考试考法 15 4. 有下列命题：①立方根是它本身的数只有3个； 的立 方根是与； 无立方根；④互为相反数的两个数的 立方根也互为相反数.其中正确的是( ) C A. ①② B. ①③ C. ①④ D. ②④ 5.若的立方根是最大的负整数，是125的立方根，则 ____. 6.若，满足，则 的立方根是____. 返回 考试考法 16 7.计算： 考试考法 17 （1） ； 【解】 . 考试考法 （2） . . 返回 考试考法 19 8.母题教材P77习题 求下列各式中 的值： （1） ； 【解】 ， ， , ，解得 . 考试考法 20 （2） . ， ， ， ， . 返回 考试考法 21 9.已知实数的一个平方根是，的立方根是 . （1）求与 的值； 【解】的一个平方根为 ， ， . 又的立方根为 ， ， ， ， . 考试考法 22 （2）求 的立方根. . 的立方根是2， 的立方根是2. 返回 考试考法 23 课堂小结 谢谢观看！ $