3.1.2椭圆的简单几何性质及应用题型讲义-2025-2026学年高二上学期数学人教A版选择性必修第一册

本高中数学讲义聚焦椭圆的简单几何性质及应用，系统梳理焦点位置、标准方程、范围、对称性、轴长、离心率等核心知识点，通过表格对比焦点在不同轴的性质差异，结合直角三角形模型构建a、b、c关系的学习支架，衔接基础性质与方程求解、点与椭圆位置关系等应用题型。 资料以分层设计为亮点，基础题型覆盖焦距计算、共焦点方程等，能力提升题聚焦焦点三角形、离心率范围等综合问题，结合几何图形辅助理解，培养学生用数学眼光观察几何特征、用数学思维推理数量关系的能力，课中助力教师高效授课，课后便于学生自主回顾与查漏补缺。

3.1.2椭圆的简单几何性质及应用 知识点1:椭圆的简单几何性质 焦点在轴上 焦点在轴上 图形 标准方程 焦点 焦距 范围 , , 对称性 关于轴、原点对称 轴长 长轴长:;短轴长: 长轴长:;短轴长: 顶点 离心率 离心率越接近0,则椭圆越圆;离心率越接近1,则椭圆越扁 通径 通径的定义:过焦点且垂直于焦点轴的椭圆的弦长 通径的大小:（最短的焦点弦） 知识点2:椭圆方程a、b、c的几何意义 椭圆标准方程中,a、b、c三个量的大小与坐标系无关,是由椭圆本身的形状大小所确定的,分别表示椭圆的长半轴长、短半轴长和半焦距长,均为正数,且三个量的大小关系为:,,且.可借助下图帮助记忆: a、b、c恰构成一个直角三角形三条边,其中a是斜边,b、c为两条直角边.由图知. 和a、b、c有关的椭圆问题常与与焦点三角形有关,这样的问题考虑到用椭圆的定义及余弦定理（或勾股定理）、三角形面积公式相结合的方法进行计算与解题,将有关线段、、,有关角（）结合起来,建立、之间的关系. 知识点3:几何意义的拓展 求椭圆离心率及范围的两种方法: （1）直接法:若已知,可直接利用求解.若已知,或,可借助于求出或,再代入公式求解. （2）方程法:若,的值不可求,则可根据条件建立,,的关系式,借助于,转化为关于,的齐次方程或不等式,再将方程或不等式两边同除以的最高次幂,得到关于的方程或不等式,即可求得的值或范围. 题型1求椭圆焦点和焦距 1．（25-26高二上·贵州遵义·期中）椭圆的焦距为（   ） A．8 B．6 C．5 D．10 2．（25-26高二上·甘肃酒泉·月考）已知椭圆的离心率为，则下列说法错误的是（   ） A． B．短轴长为6 C．焦距为 D．点在椭圆C上 3．（25-26高二上·河北保定·期中）椭圆的焦距为（    ） A． B． C． D． 4．（25-26高二上·河南·期中）椭圆的焦距为（    ） A． B． C．6 D． 5．（2025高二·全国专题练习）已知点在椭圆上，点在圆上，，则的最大值为 . 6．（25-26高二上·广东惠州·月考）已知椭圆的一个焦点坐标为，则 ． 7．（25-26高二上·上海·期中）椭圆的焦距为 . 基础题型2求共焦点的椭圆方程 8．与椭圆有相同焦点，且满足短半轴长为的椭圆方程是（    ） A． B． C． D． 9．（24-25高二上·江苏徐州·月考）与椭圆有相同的焦点，且经过点的椭圆的标准方程为 . 10．（23-24高二上·北京·月考）过点且与椭圆有相同焦点的椭圆方程是 ． 11．（24-25高二上·吉林长春·月考）分别求满足下列各条件的椭圆的标准方程． (1)已知椭圆的离心率为，短轴长为； (2)椭圆与有相同的焦点，且经过点，求椭圆的标准方程. 12．（23-24高二上·广东·月考）已知椭圆. (1)求椭圆的长轴长，短轴长及离心率； (2)求与椭圆有相同的焦点，且过点的椭圆的标准方程． 基础题型3点和椭圆的位置关系 13．（23-24高二下·全国·课前预习）点与椭圆的位置关系 点P（x0，y0）与椭圆（a>b>0）的位置关系：点P在椭圆上⇔ ；点P在椭圆内部⇔ ；点P在椭圆外部⇔ 14．（2025·河北秦皇岛·三模）若点在椭圆的内部，则实数的取值范围为（   ） A． B． C． D． 15．（24-25高三上·北京海淀·期末）已知椭圆的焦点在轴上，点，则（   ） A．在外 B．的长轴长为 C．在内 D．的焦距为 16．（24-25高二上·陕西汉中·期中）若点是椭圆某条弦的中点，则实数的值可以是（   ） A． B． C． D． 17．（24-25高二上·全国·课前预习）若点在焦点在轴上的椭圆内部，则的取值范围是 ． 基础题形4椭圆的简单几何性质 18．（25-26高二上·山东青岛·期中）椭圆的左顶点的坐标为（    ） A． B． C． D． 19．（25-26高二上·北京通州·期中）已知椭圆的左右焦点分别为，，上顶点，若为等腰直角三角形，则椭圆的长轴长为（   ） A．2 B． C．3 D．4 20．（2025·福建泉州·模拟预测）已知椭圆的离心率为，则的一个顶点与两个焦点构成的三角形是（   ） A．等边三角形 B．等腰直角三角形 C．等腰非直角三角形 D．直角非等腰三角形 21．（2025·黑龙江齐齐哈尔·二模）直线经过椭圆的两个顶点，则该椭圆的离心率（   ） A． B． C． D． 22．（24-25高二上·辽宁沈阳·期末）已知椭圆的左顶点为，上顶点为，则（   ） A． B．1 C．2 D． 23．（10-11高二上·河南郑州·月考）椭圆与椭圆的（   ） A．长轴长相等 B．短轴长相等 C．离心率相等 D．焦距相等 24．（25-26高二上·陕西·期中）设是圆上的动点，点在轴上，的横坐标与的横坐标相等，且，则动点的轨迹为（    ） A．长轴长为，短轴长为4，焦点在轴上的椭圆 B．长轴长为，短轴长为4，焦点在轴上的椭圆 C．长轴长为，短轴长为，焦点在轴上的椭圆 D．长轴长为，短轴长为，焦点在轴上的椭圆 25．（25-26高二上·全国·课后作业）已知椭圆的短轴的两个端点分别为为椭圆上一动点，则的重心的轨迹方程是 ． 26．（2025·河南·二模）已知椭圆的左顶点与上顶点之间的距离为焦距的倍，则的离心率为 . 27．（24-25高二下·湖南·期中）直线经过椭圆的两个顶点，则该椭圆的离心率 . 28．（2025·河南开封·二模）已知经过椭圆的左顶点和上顶点的弦的中点坐标为，则的离心率为 ． 29．（25-26高二上·上海·期中）椭圆的长轴长为 ． 基础题型5由几何性质求标准方程 30．（25-26高二上·江苏·期中）已知椭圆经过点，离心率为，则椭圆的方程为（    ） A． B． C． D． 31．与椭圆有相同焦点，且满足短半轴长为的椭圆方程是（    ） A． B． C． D． 32．（23-24高二上·全国·课后作业）中心在原点，焦点在x轴上，若长轴长为18，且两个焦点恰好将长轴三等分，则此椭圆的方程是（    ） A． B． C． D． 33．（22-23高二上·北京昌平·期中）已知椭圆：的离心率，短轴的右端点为，为线段的中点，则椭圆的标准方程为（    ） A． B． C． D． 34．（22-23高二上·广东江门·期中）已知椭圆焦点在轴，它与椭圆有相同离心率且经过点，则椭圆标准方程为 . 35．（2024高二上·全国·专题练习）求适合下列条件的椭圆的标准方程. (1)长轴长是短轴长的5倍，且过点； (2)离心率，焦距为12. 36．求适合下列条件的椭圆的标准方程： (1)焦点在x轴上，长轴长是10，离心率是； (2)在x轴上的一个焦点，与短轴两个端点的连线互相垂直，且焦距为6． 37．求适合下列条件的椭圆的标准方程： （1）长轴长是短轴长的倍，且过点； （2）椭圆过点，离心率． 38．求适合下列条件的椭圆的标准方程： （1）经过，两点； （2）长轴长是短轴长的3倍，且经过点； （3）焦距是8，离心率等于0.8． 39．求分别满足下列条件的椭圆的标准方程. （1）焦点坐标为和，P为椭圆上的一点，且； （2）离心率是，长轴长与短轴长之差为2. 培优题型1焦点三角形中最大角模型 40．设P是椭圆上的点，为其两焦点，则满足的点P的个数是（    ） A． B． C． D． 41．（2024高三·全国·专题练习）设P是椭圆上的点，F1，F2为其两焦点，则满足的点P的个数是（    ） A．0 B．1 C．2 D．4 42．已知、是椭圆的两个焦点，若椭圆C上的点P满足∠F1PF2＝90°，则点P的个数为（    ） A．0个 B．1个 C．2个 D．4个 43．（2023版北师大版（2019）选修第一册突围者第二章第一节课时1椭圆及其标准方程）若为椭圆上的一点，，分别是椭圆的左、右焦点，则的最大值为（    ） A． B． C． D． 44．设为椭圆上的一点，、分别为椭圆的左、右焦点，且，则等于（    ） A． B． C． D． 45．（专题2解析几何与解三角形）已知椭圆，若在椭圆上，是椭圆的左、右焦点，满足，则 . 46．（天津市嘉诚中学2023-2024学年高二上学期阶段测试二数学试卷）已知椭圆的两个焦点，，点在椭圆上，且，则 ． 47．（新疆生产建设兵团第二师八一中学2022-2023学年高二上学期12月月考数学试题）已知椭圆的两焦点为，，为椭圆上一点且，则 . 48．（甘肃省白银市靖远县第二中学2022-2023学年高二下学期期末数学试题）已知分别是椭圆的左、右焦点，是椭圆在第一象限内的一点，若，则 ． 49．（江苏省南通市海安市2022-2023学年高三上学期1月期末数学试题）已知椭圆的左、右焦点分别为,,点在椭圆上,若是以为顶点的等腰三角形,且,则的离心率 . 培优题型2由离心率求参 50．（25-26高二上·天津静海·期中）椭圆的离心率为，则（    ） A．8 B．2或8 C．4或8 D．8或12 51．（25-26高二上·江苏宿迁·期中）椭圆的离心率的范围为，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 52．（25-26高二上·安徽安庆·期中）已知离心率为的椭圆的方程为，则（   ） A．2 B． C． D．3 53．（25-26高二上·全国·单元测试）已知椭圆的离心率为，则的值为（    ） A． B． C．4或 D．或 54．（22-23高二上·河北唐山·期中）已知椭圆的离心率，则m的值可能是（    ） A．2 B．8 C． D． 55．（25-26高二上·河北邢台·期中）已知椭圆的离心率为，则的值可以为（    ） A． B． C．2 D． 56．（24-25高二上·安徽马鞍山·期中）椭圆的离心率为，则 ． 57．（25-26高二上·江苏泰州·期中）椭圆的离心率为，则 . 58．（25-26高二上·河南·月考）若椭圆的焦点在x轴上，且离心率为，则实数 ． 59．（25-26高二上·陕西渭南·月考）若椭圆的离心率为，则 . 培优题型3椭圆有界性的有关应用 60．（25-26高二上·浙江温州·期中）已知点在椭圆上运动，圆的圆心为椭圆的右焦点，半径，点在圆上，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 61．（25-26高二上·河南驻马店·月考）已知分别为曲线（包含点与直线）上的点，定义曲线之间的最短距离为（其中表示点与点距离的最小值）.已知，则（    ） A． B． C． D． 62．（25-26高一上·河南驻马店·开学考试）已知、是椭圆的两焦点，点在椭圆上，则的最小值是（    ） A． B． C． D． 63．设椭圆E:1(a>b>0)的一个焦点为F(c,0)(c>0),点A(﹣c,c)为椭圆E内一点,若椭圆E上存在一点P,使得|PA|+|PF|=9c,则椭圆E的离心率取值范围为 A．[,1) B．[,] C．[,] D．[,] 64．已知点是椭圆上的任意一点，过点作圆：的切线，设其中一个切点为，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 65．（河南省南阳市2023-2024学年高二上学期12月月考数学试题）已知A为椭圆的上顶点，为椭圆上一点，则的最大值为（    ） A． B． C．3 D． 66．（湖南省益阳市桃江县2022-2023学年高二下学期期末数学试题）若椭圆上存在点，使得到椭圆两个焦点的距离之比为，则称该椭圆为“倍径椭圆”.则“倍径椭圆”的离心率的取值范围是（    ） A． B． C． D． 67．已知是椭圆的右焦点，若直线与x轴的交点为A，在椭圆上存在点P满足线段AP的垂直平分线过点F，则椭圆的离心率的取值范围是（    ） A． B． C． D． 68．（广西百所名校2023-2024学年高二下学期入学联合检测数学试题）已知，分别是椭圆M：的左、右焦点，点P在椭圆M上，且，则M的离心率可能为（    ） A． B． C． D． 69．（25-26高二上·上海·期中）已知实数满足：，则的最大值为 . 70．（25-26高二上·陕西渭南·期中）已知是椭圆的两焦点，点在椭圆上，则的最小值是 . 71．（25-26高二上·河北张家口·期中）已知点为椭圆上一点，直线过圆的圆心且与圆交于，两点，则的取值范围为 ． 72．（25-26高二上·重庆·期中）已知椭圆的左，右焦点分别为，，焦距为，是椭圆上一点（不在坐标轴上），是的平分线与轴的交点，若，则椭圆离心率的范围是 . 73．（25-26高二上·河北保定·期中）已知为椭圆上任意一点，，则的最小值为 . 74．（25-26高二上·湖北孝感·期中）已知两点坐标分别为，直线相交于点，且它们的斜率之积是，则代数式的最大值为 . 75．（25-26高二上·上海·期中）已知，，点为椭圆：上的动点，则的取值范围是 ． 76．（25-26高二上·上海·月考）点在曲线上运动，则的最大值为 77．（25-26高二上·黑龙江哈尔滨·月考）若椭圆上一动点，为圆的任意一直径，则的取值范围为 ． 78．（22-23高二上·上海浦东新·期末）以为焦点的椭圆上有一动点M，则的最大值为 . 79．已知椭圆C：（）的右焦点，点是椭圆C上的一个动点．求证：． 80．（福建省厦门双十中学2023-2024学年高二上学期期中考试数学试题）已知是椭圆的两个焦点，点在上，则的取值范围是 . 81．（陕西省渭南市三贤中学2023-2024学年高三下学期名校学术联盟高考模拟信息卷押题卷文科数学试题（二））已知为椭圆的两焦点，P为椭圆C上一点，若的最大值为3，且焦距为2，则椭圆C的方程为 82．（辽宁省六校协作体2023-2024学年高二上学期期中联考数学试题）已知是椭圆上一点，，则的最小值为 . 83．（山西省部分学校2024届高三上学期12月联考数学试题）已知是椭圆的两个焦点，若上存在一点满足，则的离心率的取值范围是 . 84．（山东省齐鲁名校联盟2023-2024学年高三下学期考前质量检测数学试题）已知椭圆的左、右焦点分别为为上一动点，则的取值范围是 ． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $ 3.1.2椭圆的简单几何性质及应用 知识点1:椭圆的简单几何性质 焦点在轴上 焦点在轴上 图形 标准方程 焦点 焦距 范围 , , 对称性 关于轴、原点对称 轴长 长轴长:;短轴长: 长轴长:;短轴长: 顶点 离心率 离心率越接近0,则椭圆越圆;离心率越接近1,则椭圆越扁 通径 通径的定义:过焦点且垂直于焦点轴的椭圆的弦长 通径的大小:（最短的焦点弦） 知识点2:椭圆方程a、b、c的几何意义 椭圆标准方程中,a、b、c三个量的大小与坐标系无关,是由椭圆本身的形状大小所确定的,分别表示椭圆的长半轴长、短半轴长和半焦距长,均为正数,且三个量的大小关系为:,,且.可借助下图帮助记忆: a、b、c恰构成一个直角三角形三条边,其中a是斜边,b、c为两条直角边.由图知. 和a、b、c有关的椭圆问题常与与焦点三角形有关,这样的问题考虑到用椭圆的定义及余弦定理（或勾股定理）、三角形面积公式相结合的方法进行计算与解题,将有关线段、、,有关角（）结合起来,建立、之间的关系. 知识点3:几何意义的拓展 求椭圆离心率及范围的两种方法: （1）直接法:若已知,可直接利用求解.若已知,或,可借助于求出或,再代入公式求解. （2）方程法:若,的值不可求,则可根据条件建立,,的关系式,借助于,转化为关于,的齐次方程或不等式,再将方程或不等式两边同除以的最高次幂,得到关于的方程或不等式,即可求得的值或范围. 题型1求椭圆焦点和焦距 1．（25-26高二上·贵州遵义·期中）椭圆的焦距为（   ） A．8 B．6 C．5 D．10 【答案】A 【分析】根据椭圆方程可得和的值，利用可求出，进而求解. 【详解】由椭圆可得：，， 所以， 则椭圆的焦距为， 故选：A 2．（25-26高二上·甘肃酒泉·月考）已知椭圆的离心率为，则下列说法错误的是（   ） A． B．短轴长为6 C．焦距为 D．点在椭圆C上 【答案】C 【分析】由题意及椭圆的几何性质求得，从而得到，，由此对选项逐一检验分析即可. 【详解】因为，所以，结合可知，因为，故， 故椭圆C的方程为，，，所以焦距为. 因为，所以，所以短轴长为，可知A，B选项正确，C选项错误； 将点代入，得，所以点在椭圆C上，故D正确. 故选：C． 3．（25-26高二上·河北保定·期中）椭圆的焦距为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据条件，直接求出，即可求解. 【详解】由题知，所以， 所以焦距为， 故选：A. 4．（25-26高二上·河南·期中）椭圆的焦距为（    ） A． B． C．6 D． 【答案】D 【分析】由椭圆方程确定，即可求解. 【详解】由椭圆方程得，则，所以， 所以该椭圆焦距为. 故选：D 5．（2025高二·全国专题练习）已知点在椭圆上，点在圆上，，则的最大值为 . 【答案】/ 【分析】根据给定条件，利用椭圆的定义将所求最大值转化为求值的最大值，再结合圆的性质求解. 【详解】显然为椭圆的左焦点，令其右焦点为， 圆的圆心，半径，由椭圆的定义得， 则， 当且仅当点在线段上时取等号，而，当且仅当在线段上时取等号， 所以当是线段延长线与椭圆的交点、是线段反向延长线与圆的交点时，取得最大值. 故答案为： 6．（25-26高二上·广东惠州·月考）已知椭圆的一个焦点坐标为，则 ． 【答案】1 【分析】利用椭圆的标准方程的形式，由即可求解. 【详解】因为椭圆的一个焦点坐标为， 则，解得， 故答案为：1 7．（25-26高二上·上海·期中）椭圆的焦距为 . 【答案】4 【分析】根据椭圆的方程判断焦点其位置，求出，代入公式计算的值即得焦距. 【详解】由可知椭圆的焦点在轴上，则长半轴长为，短半轴长为， 则半焦距为，故焦距为4. 故答案为：4. 基础题型2求共焦点的椭圆方程 8．与椭圆有相同焦点，且满足短半轴长为的椭圆方程是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由焦点和短半轴长，待定系数法求椭圆方程. 【详解】椭圆化成标准方程为，焦点在轴上， 设所求椭圆方程为， 依题意有，所以，所求椭圆方程为. 故选：B 9．（24-25高二上·江苏徐州·月考）与椭圆有相同的焦点，且经过点的椭圆的标准方程为 . 【答案】 【分析】设所求椭圆的标准方程为，由题意有，把点代入椭圆方程，求出即可. 【详解】所求椭圆与椭圆的焦点相同，则其焦点在y轴上，半焦距c有， 设它的标准方程为，于是得， 又点在所求椭圆上，即有， 联立两个方程得，解得，则， 所以所求椭圆的标准方程为. 故答案为： 10．（23-24高二上·北京·月考）过点且与椭圆有相同焦点的椭圆方程是 ． 【答案】 【分析】根据题意，求出椭圆的标准方程，分析可得其焦点坐标，即可得要求的椭圆的焦点坐标，设其左右焦点为、，由椭圆的定义可得，由椭圆的几何性质可得的值，代入椭圆的标准方程即可得答案． 【详解】根据题意，椭圆的标准方程为， 其焦点坐标为， 则所求的椭圆的焦点坐标为，设其左右焦点为、， 又由椭圆经过点， 则有， 则， 又由，则， 则要求椭圆的方程为：． 故答案为：． 【点睛】本题考查椭圆的几何性质，涉及椭圆的标准方程，注意先将已知椭圆的方程变为标准方程. 11．（24-25高二上·吉林长春·月考）分别求满足下列各条件的椭圆的标准方程． (1)已知椭圆的离心率为，短轴长为； (2)椭圆与有相同的焦点，且经过点，求椭圆的标准方程. 【答案】(1)或； (2). 【分析】（1）由题意得，解出该方程组即可由椭圆焦点在x轴上或在y轴上得解； （2）先求出椭圆焦点即可得椭圆焦点坐标为，进而可设圆方程为且，解出和即可得解. 【详解】（1）由题得， 所以椭圆的标准方程为或. （2）椭圆满足，故该椭圆焦点坐标为， 因为椭圆与有相同的焦点，且经过点， 所以可设椭圆方程为，且，解得， 故，解得（舍去）或，故. 所以椭圆的标准方程为. 12．（23-24高二上·广东·月考）已知椭圆. (1)求椭圆的长轴长，短轴长及离心率； (2)求与椭圆有相同的焦点，且过点的椭圆的标准方程． 【答案】(1)长轴长，短轴长，离心率 (2) 【分析】（1）根据已知条件求得，从而求得长轴长，短轴长及离心率； （2）先求得焦点坐标，然后设出所求椭圆的方程，通过代入点来求得正确答案. 【详解】（1）由题可知， 所以椭圆的长轴长为，短轴长为，离心率为. （2）因为椭圆的焦点为， 所以与其有相同的焦点的椭圆的方程可设为， 其中， 所以椭圆的方程为， 将代入得， 解得，或（舍）， 所以椭圆的标准方程为． 基础题型3点和椭圆的位置关系 13．（23-24高二下·全国·课前预习）点与椭圆的位置关系 点P（x0，y0）与椭圆（a>b>0）的位置关系：点P在椭圆上⇔ ；点P在椭圆内部⇔ ；点P在椭圆外部⇔ 【答案】 【分析】略 【详解】略 14．（2025·河北秦皇岛·三模）若点在椭圆的内部，则实数的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由点在椭圆内部，列出不等式求解即可. 【详解】由点在椭圆的内部， 可得：，且， 解得：或， 所以实数的取值范围为， 故选：B 15．（24-25高三上·北京海淀·期末）已知椭圆的焦点在轴上，点，则（   ） A．在外 B．的长轴长为 C．在内 D．的焦距为 【答案】A 【分析】根据椭圆方程及焦点位置求出的范围，即可判断. 【详解】因为椭圆的焦点在轴上，所以， 则的长轴长为，焦距为，故B、D错误； 因为，所以，所以，所以，所以点在外，故A正确，C错误. 故选：A 16．（24-25高二上·陕西汉中·期中）若点是椭圆某条弦的中点，则实数的值可以是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据点在椭圆内求解可得. 【详解】由题意可知，点在椭圆内， 所以，解得或. 故选：D 17．（24-25高二上·全国·课前预习）若点在焦点在轴上的椭圆内部，则的取值范围是 ． 【答案】 【分析】根据椭圆焦点在轴上可得，再根据点在椭圆内部列式求解. 【详解】因为椭圆的焦点在轴上，则， 又因为点在椭圆内部，则，解得， 所以的取值范围是． 故答案为：. 基础题形4椭圆的简单几何性质 18．（25-26高二上·山东青岛·期中）椭圆的左顶点的坐标为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据椭圆标准方程有，即可得左顶点坐标. 【详解】由椭圆标准方程为，则，故左顶点的坐标为. 故选：B 19．（25-26高二上·北京通州·期中）已知椭圆的左右焦点分别为，，上顶点，若为等腰直角三角形，则椭圆的长轴长为（   ） A．2 B． C．3 D．4 【答案】D 【分析】根据椭圆的关系、椭圆性质及图形关系计算求解即可. 【详解】因为椭圆上顶点，所以， 因为为等腰直角三角形，所以， 因为，所以椭圆的长轴长. 故选：D 20．（2025·福建泉州·模拟预测）已知椭圆的离心率为，则的一个顶点与两个焦点构成的三角形是（   ） A．等边三角形 B．等腰直角三角形 C．等腰非直角三角形 D．直角非等腰三角形 【答案】B 【分析】根据椭圆离心率及即可得出判断． 【详解】由椭圆离心率为，则，， 所以，， 所以的一个顶点与两个焦点构成的三角形是等腰直角三角形， 故选：B． 21．（2025·黑龙江齐齐哈尔·二模）直线经过椭圆的两个顶点，则该椭圆的离心率（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先根据直线求出椭圆的长轴及短轴顶点，进而得出，再应用，得出离心率即可. 【详解】因为直线， 令，则，所以， 令，则，所以， 又因为，所以， 则该椭圆的离心率. 故选：B. 22．（24-25高二上·辽宁沈阳·期末）已知椭圆的左顶点为，上顶点为，则（   ） A． B．1 C．2 D． 【答案】D 【分析】由椭圆标准方程可得顶点坐标，再由两点间距离公式可得. 【详解】由椭圆，可得， 则，，所以有． 故选：D. 23．（10-11高二上·河南郑州·月考）椭圆与椭圆的（   ） A．长轴长相等 B．短轴长相等 C．离心率相等 D．焦距相等 【答案】D 【分析】利用椭圆的性质分析选项即可. 【详解】易知的长轴长、短轴长分别为，离心率， 焦距长， 而的长轴长、短轴长分别为， 离心率，焦距长， 由，显然只有焦距相同. 故选：D 24．（25-26高二上·陕西·期中）设是圆上的动点，点在轴上，的横坐标与的横坐标相等，且，则动点的轨迹为（    ） A．长轴长为，短轴长为4，焦点在轴上的椭圆 B．长轴长为，短轴长为4，焦点在轴上的椭圆 C．长轴长为，短轴长为，焦点在轴上的椭圆 D．长轴长为，短轴长为，焦点在轴上的椭圆 【答案】D 【分析】设，，结合向量坐标运算可用，表示，，结合点在圆上，代入计算即得. 【详解】设，，则（*），， 由，， 则，即有， 将其代入（*），，化简得， 即动点的轨迹为长轴长为，短轴长为，焦点在轴上的椭圆. 故选：D. 25．（25-26高二上·全国·课后作业）已知椭圆的短轴的两个端点分别为为椭圆上一动点，则的重心的轨迹方程是 ． 【答案】 【分析】设，，找到两点坐标之间的关系，代入椭圆方程化简即得，注意点C不能在轴上. 【详解】椭圆的焦点在轴上，则短轴在轴上，所以，． 设，，由为的重心，得则 又为椭圆上一动点，所以，即，所以． 当点在轴上时，不能构成三角形，所以，则， 即点的轨迹方程为． 故答案为：． 26．（2025·河南·二模）已知椭圆的左顶点与上顶点之间的距离为焦距的倍，则的离心率为 . 【答案】/ 【分析】由题意得即，进一步即可求解. 【详解】设椭圆的半焦距为，由题意可得，整理得，因此 ，所以的离心率为. 故答案为：. 27．（24-25高二下·湖南·期中）直线经过椭圆的两个顶点，则该椭圆的离心率 . 【答案】 【分析】先求出直线与坐标轴的交点，再代入椭圆方程进而得出即可得出离心率. 【详解】由题意，直线过点，， 代入椭圆方程得，解得，， 所以椭圆方程为， 所以，，，则. 故答案为：. 28．（2025·河南开封·二模）已知经过椭圆的左顶点和上顶点的弦的中点坐标为，则的离心率为 ． 【答案】 【分析】根据题意求出，再根据椭圆的离心率公式即可得解. 【详解】椭圆的左顶点和上顶点的坐标分别为， 由题意可得，解得， 所以，则， 所以的离心率. 故答案为：. 29．（25-26高二上·上海·期中）椭圆的长轴长为 ． 【答案】 【分析】根据椭圆方程求得，进而求得长轴长. 【详解】椭圆方程为， 所以，则长轴长. 故答案为： 基础题型5由几何性质求标准方程 30．（25-26高二上·江苏·期中）已知椭圆经过点，离心率为，则椭圆的方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】代入点的坐标可得，利用离心率的公式可得，从而可得答案. 【详解】因为椭圆经过点，所以，即； 离心率，所以，所以方程为. 故选：D 31．与椭圆有相同焦点，且满足短半轴长为的椭圆方程是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由题知，，进而求得可得答案. 【详解】解：因为椭圆的焦点坐标为， 所以，所求椭圆的焦点坐标为，即， 因为，所求椭圆的短半轴长为， 所以， 所以，， 所以，所求椭圆的方程为：. 故选：A 32．（23-24高二上·全国·课后作业）中心在原点，焦点在x轴上，若长轴长为18，且两个焦点恰好将长轴三等分，则此椭圆的方程是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据椭圆几何性质可知，代入椭圆标准方程即可求得结果. 【详解】根据题意可设椭圆方程为， 易知，且，解得； 所以，故椭圆方程为. 故选：A 33．（22-23高二上·北京昌平·期中）已知椭圆：的离心率，短轴的右端点为，为线段的中点，则椭圆的标准方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由点的坐标求得，通过离心率求得，即可求解椭圆方程. 【详解】因为为线段的中点，且，所以， 又椭圆的离心率，所以，所以， 所以椭圆的标准方程为. 故选：B.      34．（22-23高二上·广东江门·期中）已知椭圆焦点在轴，它与椭圆有相同离心率且经过点，则椭圆标准方程为 . 【答案】 【分析】设所求椭圆方程为，根据椭圆的离心率得到，又在椭圆上得到，求出可得答案. 【详解】椭圆的离心率为， 设所求椭圆方程为， 则，从而，， 又，∴， ∴所求椭圆的标准方程为. 故答案为： . 35．（2024高二上·全国·专题练习）求适合下列条件的椭圆的标准方程. (1)长轴长是短轴长的5倍，且过点； (2)离心率，焦距为12. 【答案】(1)或； (2)或. 【分析】（1）根据给定条件，求出椭圆的长短半轴长，再按焦点位置求出椭圆方程. （2）根据给定条件，由离心率求出椭圆的长短半轴长，再按焦点位置求出椭圆方程. 【详解】（1）当椭圆焦点在x轴上，设其标准方程为， 由椭圆过点，得，由椭圆长轴长是短轴长的5倍，得， 则所求椭圆的标准方程为； 当焦点在y轴上，设其标准方程为， 由椭圆过点，得，由椭圆长轴长是短轴长的5倍，得， 则所求椭圆的标准方程为， 所以所求椭圆的标准方程为或. （2）令椭圆长半轴长为a，半焦距为c，由，得， 由离心率，得，即，因此椭圆短半轴长， 当焦点在x轴上时，所求椭圆的标准方程为； 当焦点在y轴上时，所求椭圆的标准方程为， 所以所求椭圆的标准方程为或. 36．求适合下列条件的椭圆的标准方程： (1)焦点在x轴上，长轴长是10，离心率是； (2)在x轴上的一个焦点，与短轴两个端点的连线互相垂直，且焦距为6． 【答案】(1)； (2)﹒ 【分析】(1)确定焦点位置，设椭圆标准方程，根据已知条件解出a、b、c即可； (2)作出图像，根据几何关系求出a、b、c即可﹒ 【详解】（1）焦点在x轴上，故设椭圆的方程为：＋＝1(a＞b＞0)， 由已知得：2a＝10，a＝5，e＝＝，故c＝4， 故b2＝a2－c2＝25－16＝9， 故椭圆的方程是：＋＝1； （2）设椭圆的标准方程为＋＝1，a＞b＞0， ∵在x轴上的一个焦点与短轴两端点的连线互相垂直，且焦距为6，如图所示， ∴△A1FA2为一等腰直角三角形，OF为斜边A1A2的中线(高)，且OF＝c，A1A2＝2b， ∴c＝b＝3．∴a2＝b2＋c2＝18．  故所求椭圆的方程为＋＝1． 37．求适合下列条件的椭圆的标准方程： （1）长轴长是短轴长的倍，且过点； （2）椭圆过点，离心率． 【答案】（1）或；（2）或． 【分析】（1）按照椭圆的焦点在x轴上、在y轴上两种情况，并结合待定系数法求解可得所求的方程；（2）分椭圆的焦点在两个坐标轴上两种情况设出椭圆的标准方程，再根据间的关系求出待定系数即可得到所求的方程． 【详解】（1）①当椭圆的焦点在轴上时，由题意设其方程为， ∵点在椭圆上， ∴，解得， ∴椭圆的方程为． ②当椭圆的焦点在轴上时，由题意设其方程为， ∵点在椭圆上， ∴，解得， ∴椭圆的方程为． 综上可得椭圆的方程为或． （2）①当椭圆的焦点在轴上时，由题意设其方程为， ∵椭圆过点， ∴. 又， ∴， ∴， ∴椭圆的方程为． ②当椭圆的焦点在轴上时，由题意设其方程为， ∵椭圆过点， ∴. 又， ∴， ∴， ∴, ∴椭圆的方程为． 综上可得椭圆的标准方程为或． 【点睛】求椭圆标准方程的基本方法是待定系数法，具体过程是先定形，再定量，即首先确定焦点所在位置，然后再根据条件建立关于a，b的方程组．如果焦点位置不确定，要考虑是否有两解，有时为了解题方便，也可把椭圆方程设为mx2＋ny2＝1 (m>0，n>0，m≠n)的形式． 38．求适合下列条件的椭圆的标准方程： （1）经过，两点； （2）长轴长是短轴长的3倍，且经过点； （3）焦距是8，离心率等于0.8． 【答案】（1）1；（2）或；（3）或 【分析】（1）根据题意，分析可得要求的椭圆的焦点在x轴上，且，b，将a、b的值代入椭圆的标准方程即可得答案； （2）根据题意，分析可得：a＝3b，分2种情况讨论椭圆的焦点位置，综合即可得答案； （3）依题意求出、，再根据，求出，最后根据焦点的位置分类讨论即可； 【详解】解：（1）根据题意，椭圆经过点，， 且， 则椭圆的焦点在x轴上，且，b， 则椭圆的方程为：1； （2）根据题意，要求椭圆长轴长是短轴长的3倍，即， 若椭圆经过点，分2种情况讨论： ①椭圆的焦点在x轴上，则a＝3，b＝1，椭圆的标准方程为：， ②椭圆的焦点在y轴上，则b＝3，a＝9，椭圆的标准方程为：， （3）根据题意，即，又，所以，因为，所以 若椭圆的焦点在x轴上，则椭圆的标准方程为：． 若椭圆的焦点在轴上，则椭圆的标准方程为：． 39．求分别满足下列条件的椭圆的标准方程. （1）焦点坐标为和，P为椭圆上的一点，且； （2）离心率是，长轴长与短轴长之差为2. 【答案】（1）；（2）或. 【分析】（1）根据焦点坐标为和，得知，再由，根据椭圆的定义，得到，然后由求解即可..   （2）根据和 求解，注意两种情况. 【详解】（1）因为焦点坐标为和，所以. 因为，所以，即 所以. 故所求椭圆的标准方程为.   （2）由题意可得解得， 解得，.         故所求椭圆的标准方程为或. 【点睛】本题主要考查了椭圆方程的求法，还考查了数形结合的思想和运算求解的能力，属于中档题. 培优题型1焦点三角形中最大角模型 40．设P是椭圆上的点，为其两焦点，则满足的点P的个数是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】根据椭圆的标准方程，得出a､b､c的值，由得出点P在以为直径的圆 除､上，根据圆与椭圆的交点个数即可求解. 【详解】解：椭圆中， ， ， 焦点； 又， 点P在以为直径的圆上除､， 又， 圆与椭圆有2个交点，满足条件的点有2个， 故选：C. 41．（2024高三·全国·专题练习）设P是椭圆上的点，F1，F2为其两焦点，则满足的点P的个数是（    ） A．0 B．1 C．2 D．4 【答案】D 【分析】依题意，P为椭圆虚轴的顶点时，∠F1PF2最大，即，进而得到答案. 【详解】 在椭圆中，，所以. 当P为椭圆虚轴的顶点时，最大，因为， 所以，所以，则这样的点P有四个． 故选：D. 42．已知、是椭圆的两个焦点，若椭圆C上的点P满足∠F1PF2＝90°，则点P的个数为（    ） A．0个 B．1个 C．2个 D．4个 【答案】D 【分析】由椭圆方程求得椭圆的长半轴长及离心率，设出的坐标，由焦半径公式得到左右焦半径，结合勾股定理求得的坐标得答案． 【详解】设，为椭圆上的一点，则 由焦半径公式得：， 若， 则，解得：． 椭圆上能够满足的点共有4个． 故选：D 43．（2023版北师大版（2019）选修第一册突围者第二章第一节课时1椭圆及其标准方程）若为椭圆上的一点，，分别是椭圆的左、右焦点，则的最大值为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】易知当点为椭圆与轴的交点时取最大值，再根据椭圆方程求出、，最后根据勾股定理逆定理计算可得. 【详解】解：易知当点为椭圆与轴的交点时，最大， 因为椭圆方程为，所以、， 此时，， 所以， 所以为等腰直角三角形，所以． 故选：D 44．设为椭圆上的一点，、分别为椭圆的左、右焦点，且，则等于（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用椭圆的定义以及余弦定理求得. 【详解】椭圆，则， ， 两边平方得①， 在中，由余弦定理得, 即②， 由①②得. 故选：B 45．（专题2解析几何与解三角形）已知椭圆，若在椭圆上，是椭圆的左、右焦点，满足，则 . 【答案】/ 【分析】由题意可得出，，再由余弦定理求解即可. 【详解】由椭圆方程知：，，； 若，，， 又，， 又，. 故答案为：. 46．（天津市嘉诚中学2023-2024学年高二上学期阶段测试二数学试卷）已知椭圆的两个焦点，，点在椭圆上，且，则 ． 【答案】40 【分析】根据余弦定理，结合椭圆定义即可求解. 【详解】由题意可得， 在中，，由余弦定理， 得， 得， 得， 所以． 故答案为：40． 47．（新疆生产建设兵团第二师八一中学2022-2023学年高二上学期12月月考数学试题）已知椭圆的两焦点为，，为椭圆上一点且，则 . 【答案】 【分析】根据椭圆的定义以及焦点三角形的性质即可求解. 【详解】解：椭圆得，，， 设，，则， ，， ，， ，即. 故答案为：    48．（甘肃省白银市靖远县第二中学2022-2023学年高二下学期期末数学试题）已知分别是椭圆的左、右焦点，是椭圆在第一象限内的一点，若，则 ． 【答案】/ 【分析】 由椭圆方程可得的值，利用勾股定理和椭圆定义可构造方程求得，根据可求得结果. 【详解】 由椭圆方程得：，，，； 设，由椭圆定义知：， ，，即， 解得：或； 为椭圆在第一象限内的点，，即，，； . 故答案为：. 49．（江苏省南通市海安市2022-2023学年高三上学期1月期末数学试题）已知椭圆的左、右焦点分别为,,点在椭圆上,若是以为顶点的等腰三角形,且,则的离心率 . 【答案】/0.4 【分析】根据是等腰三角形及椭圆定义,求出该三角形的各个边长,再根据余弦定理建立关于等式,求出离心率即可. 【详解】解:由题知是以为顶点的等腰三角形, 所以, 因为点在椭圆上, 根据椭圆的定义可知: , 故, 因为, 故在中,由余弦定理可得: , 即, 解得: , 即. 故答案为: 培优题型2由离心率求参 50．（25-26高二上·天津静海·期中）椭圆的离心率为，则（    ） A．8 B．2或8 C．4或8 D．8或12 【答案】B 【分析】分焦点在轴与轴两种情况讨论，分别确定，，再由离心率公式得到方程，解得即可. 【详解】当焦点在轴时，，则，， 所以，解得. 当焦点在轴时，，则，， 所以，解得. 所以或, 故选：B． 51．（25-26高二上·江苏宿迁·期中）椭圆的离心率的范围为，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】对分类讨论，确定焦点的位置，求椭圆的离心率，从而可求实数的取值范围. 【详解】由椭圆方程， 当时，椭圆焦点在轴上，，，， 所以，解得； 当时，椭圆焦点在轴上，，，， 所以，解得， 故实数的取值范围为. 故选：D. 52．（25-26高二上·安徽安庆·期中）已知离心率为的椭圆的方程为，则（   ） A．2 B． C． D．3 【答案】C 【分析】由椭圆的离心率求法得，进而求目标式的值. 【详解】由题设，可得， 所以. 故选：C 53．（25-26高二上·全国·单元测试）已知椭圆的离心率为，则的值为（    ） A． B． C．4或 D．或 【答案】D 【分析】根据给定条件，按焦点位置及椭圆离心率的意义分类求解. 【详解】当的焦点在轴上时，， 易知，则，解得； 当的焦点在轴上时，， 易知 ，则，解得， 所以的值为或. 故选：D 54．（22-23高二上·河北唐山·期中）已知椭圆的离心率，则m的值可能是（    ） A．2 B．8 C． D． 【答案】AB 【分析】由题意可得，结合的关系可得，进而分、两种情况讨论求解即可. 【详解】由题意，，则， 所以，则， 由椭圆，当时，，则，即； 当时，，则. 故选：AB 55．（25-26高二上·河北邢台·期中）已知椭圆的离心率为，则的值可以为（    ） A． B． C．2 D． 【答案】AC 【分析】分和讨论求值. 【详解】若，由 ； 若，由 . 综上，或. 故选：AC 56．（24-25高二上·安徽马鞍山·期中）椭圆的离心率为，则 ． 【答案】或 【分析】根据椭圆的焦点位置分类讨论，结合椭圆的离心率公式求解． 【详解】当焦点在x轴上时，且，即， 则，解得， 当焦点在y轴上时，且，即， 则，解得， 综上，或． 故答案为：或． 57．（25-26高二上·江苏泰州·期中）椭圆的离心率为，则 . 【答案】 【分析】利用椭圆的离心率公式可得出关于的等式，结合可求得的值. 【详解】因为，故椭圆的焦点在轴上，其离心率为，解得. 故答案为：. 58．（25-26高二上·河南·月考）若椭圆的焦点在x轴上，且离心率为，则实数 ． 【答案】10 【分析】根据给定椭圆焦点位置及离心率列式求出. 【详解】由椭圆的焦点在x轴上，得，即， 由离心率为，得，所以. 故答案为：10 59．（25-26高二上·陕西渭南·月考）若椭圆的离心率为，则 . 【答案】 【分析】根据离心率的定义直接求解即可. 【详解】因为，所以，所以， 所以， 故答案为：. 【点睛】 培优题型3椭圆有界性的有关应用 60．（25-26高二上·浙江温州·期中）已知点在椭圆上运动，圆的圆心为椭圆的右焦点，半径，点在圆上，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】设，则，利用椭圆的焦半径公式求出的取值范围，再结合圆的几何性质可求得的取值范围. 【详解】在椭圆中，，，则，即， 设点，则，且，可得， 所以， 所以， 当且仅当为椭圆的左端点，且为射线与圆的交点时，上述不等式中的两个等号同时成立， ， 当且仅当为椭圆的右端点，且为线段与圆的交点时，上述不等式中的两个等号同时成立， 综上所述，的取值范围是. 故选：A. 61．（25-26高二上·河南驻马店·月考）已知分别为曲线（包含点与直线）上的点，定义曲线之间的最短距离为（其中表示点与点距离的最小值）.已知，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】结合椭圆上点的横坐标范围，利用距离公式求解最小值，根据新定义即可得解. 【详解】记，设椭圆上的点为，由椭圆的性质可知， 则 ， 当时，最小，，所以. 故选：B. 62．（25-26高一上·河南驻马店·开学考试）已知、是椭圆的两焦点，点在椭圆上，则的最小值是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】设点，其中，可得出，利用平面向量数量积的坐标运算结合二次函数的基本性质可求得的最小值. 【详解】对于椭圆， 则，，， 所以、， 设点，其中，且，故， 所以，， 故， 故当时，取最小值. 故选：A. 63．设椭圆E:1(a>b>0)的一个焦点为F(c,0)(c>0),点A(﹣c,c)为椭圆E内一点,若椭圆E上存在一点P,使得|PA|+|PF|=9c,则椭圆E的离心率取值范围为 A．[,1) B．[,] C．[,] D．[,] 【答案】D 【解析】设椭圆的另一个焦点为，根据以及椭圆的定义可得，根据以及椭圆的定义可得，结合点在椭圆内可得答案. 【详解】如图： 设椭圆的另一个焦点为， 因为， 所以 由， 所以， 所以，即， 所以. 因为点在椭圆内，所以，所以， 所以，解得， 因为， 所以. 故选：D 【点睛】本题考查了椭圆的定义，考查了求椭圆的离心率的取值范围，属于基础题. 64．已知点是椭圆上的任意一点，过点作圆：的切线，设其中一个切点为，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】设，得到 ，利用椭圆的范围求解. 【详解】解：设， 则， ， ， 因为， 所以，即， 故选：B 65．（河南省南阳市2023-2024学年高二上学期12月月考数学试题）已知A为椭圆的上顶点，为椭圆上一点，则的最大值为（    ） A． B． C．3 D． 【答案】B 【分析】设，确定，根据二次函数性质得到最值. 【详解】由题意可知：，设， 由可得，， 则， 因为，可知当时，最大为. 故选：B 66．（湖南省益阳市桃江县2022-2023学年高二下学期期末数学试题）若椭圆上存在点，使得到椭圆两个焦点的距离之比为，则称该椭圆为“倍径椭圆”.则“倍径椭圆”的离心率的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据条件设出到椭圆两个焦点的距离，再利用椭圆的定义及椭圆上的点到焦点距离的最值即可求出结果. 【详解】由题可设点到椭圆两个焦点的距离之分别， 所以，得到， 又，所以，得到，故. 故选：C. 67．已知是椭圆的右焦点，若直线与x轴的交点为A，在椭圆上存在点P满足线段AP的垂直平分线过点F，则椭圆的离心率的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由题可得F点到P点与A点的距离相等，即|FA|= 又，故，求解即可. 【详解】由题意，椭圆上存在点P，使得线段AP的垂直平分线过点F，即F点到P点与A点的距离相等， 又|FA|= ， ， ，又， ∴. 故选：D. 68．（广西百所名校2023-2024学年高二下学期入学联合检测数学试题）已知，分别是椭圆M：的左、右焦点，点P在椭圆M上，且，则M的离心率可能为（    ） A． B． C． D． 【答案】AC 【分析】根据椭圆的定义及条件，可求，，根据椭圆性质，构造齐次式，求椭圆离心率的取值范围. 【详解】由题意得 则，． 由，，得，即， 得， 所以M的离心率的取值范围为． 故选：AC 69．（25-26高二上·上海·期中）已知实数满足：，则的最大值为 . 【答案】 【分析】把问题转化成圆上的点与椭圆上的点的距离的最大值求解. 【详解】设，， 因为 ，所以点在以为圆心，2为半径的圆上； 因为 ，所以点在焦点在轴的椭圆上. 表示. 如图：   . 又 . 所以当时，取得最大值，所以. 所以 . 故答案为： 70．（25-26高二上·陕西渭南·期中）已知是椭圆的两焦点，点在椭圆上，则的最小值是 . 【答案】 【分析】设出的坐标，将向量数量积运算转化为坐标运算，根据的坐标满足椭圆方程进行化简，再根据的范围可求的最小值. 【详解】设，因为，所以， 所以， 又因为，所以， 所以， 又因为，所以， 所以，此时， 故答案为：. 71．（25-26高二上·河北张家口·期中）已知点为椭圆上一点，直线过圆的圆心且与圆交于，两点，则的取值范围为 ． 【答案】 【分析】根据题意，得到圆心为椭圆的右焦点,连接，化简得到，结合椭圆的几何性质，即可求解. 【详解】由圆，可得的圆心为，半径为， 又由椭圆，可得，，则， 所以所以圆心为椭圆的右焦点, 因为直线过圆的圆心且与圆交于两点， 所以是圆的直径，且为的中点，所以，所以， 如图所示，连接， 可得： 因为点为椭圆上任意一点，所以． 由，所以． 故答案为：．    72．（25-26高二上·重庆·期中）已知椭圆的左，右焦点分别为，，焦距为，是椭圆上一点（不在坐标轴上），是的平分线与轴的交点，若，则椭圆离心率的范围是 . 【答案】 【分析】由三角形内角平分线的性质结合椭圆的定义可得，从而有，结合椭圆离心率的范围，即可得. 【详解】∵，若在O在同侧， 则，， ∵是的角平分线， ∴，则， 由，得， 由，得，且， ∴椭圆离心率的范围是； 若在O在异侧，则，，， 则，得，所以，得，且， ∴椭圆离心率的范围是； 综上，椭圆离心率的范围是. 故答案为：. 73．（25-26高二上·河北保定·期中）已知为椭圆上任意一点，，则的最小值为 . 【答案】 【分析】设，根据两点间的距离公式列出，再由点为椭圆上的点进行求解即可. 【详解】设，所以， 又因为为椭圆上任意一点， 所以， 因为，当时，取得最小值， 所以的最小值为. 故答案为：. 74．（25-26高二上·湖北孝感·期中）已知两点坐标分别为，直线相交于点，且它们的斜率之积是，则代数式的最大值为 . 【答案】 【分析】根据条件，求出点的轨迹方程，再利用三角换元，即可求解. 【详解】因为，由题有， 整理得到， 令， 则， 当且仅当，即时取等号， 故答案为：. 75．（25-26高二上·上海·期中）已知，，点为椭圆：上的动点，则的取值范围是 ． 【答案】 【分析】根据椭圆方程分析可知，，代入结合二次函数求最值即可. 【详解】由椭圆：可知，，， 即，为椭圆的左，右焦点， 则，即， 且，即， 则， 可知当时，取到最大值4； 当或时，取到最小值3； 所以的取值范围是. 故答案为：. 76．（25-26高二上·上海·月考）点在曲线上运动，则的最大值为 【答案】/ 【分析】结合已知消元得，再由得，最后利用二次函数性质求解最值. 【详解】因为，所以，所以， 又，所以，所以， 所以当时，最大值为. 故答案为： 77．（25-26高二上·黑龙江哈尔滨·月考）若椭圆上一动点，为圆的任意一直径，则的取值范围为 ． 【答案】 【分析】首先得到椭圆的、、，以及圆心坐标与半径，再由数量积的运算律得到，利用椭圆的性质求解的范围，从而可得答案. 【详解】椭圆的，，则， 圆的圆心为，半径，则为椭圆的右焦点， 又 ， 由椭圆的性质可得，即， 所以． 故答案为： 78．（22-23高二上·上海浦东新·期末）以为焦点的椭圆上有一动点M，则的最大值为 . 【答案】3 【分析】利用焦点坐标即椭圆中的关系求出椭圆的标准方程，然后分析椭圆上的动点在何处时最大. 【详解】因为为椭圆的焦点， 所以，， 所以由， 所以椭圆的标准方程为：， 如图所示： 因为为椭圆的左焦点，为椭圆上的动点， 故当处于右顶点时最大， 且最大值为， 故答案为：3. 79．已知椭圆C：（）的右焦点，点是椭圆C上的一个动点．求证：． 【答案】详见解析. 【分析】利用椭圆方程及两点间公式可得，再根据椭圆的有界性即证. 【详解】由，可得， ∴， 又， ∴， 即. 80．（福建省厦门双十中学2023-2024学年高二上学期期中考试数学试题）已知是椭圆的两个焦点，点在上，则的取值范围是 . 【答案】 【分析】设，，根据椭圆定义得到，将整理为，然后根据范围求的范围即可. 【详解】椭圆，则，，所以， 设，，则， 所以， 又， 所以当时，，当时，， 即的取值范围是. 故答案为：. 81．（陕西省渭南市三贤中学2023-2024学年高三下学期名校学术联盟高考模拟信息卷押题卷文科数学试题（二））已知为椭圆的两焦点，P为椭圆C上一点，若的最大值为3，且焦距为2，则椭圆C的方程为 【答案】 【分析】根据椭圆的性质，即可列式求解. 【详解】设椭圆C的焦距为2c，由题意知，从而 又因为的最大值为，所以，解得，则， 从而椭圆C的方程为 故答案为： 82．（辽宁省六校协作体2023-2024学年高二上学期期中联考数学试题）已知是椭圆上一点，，则的最小值为 . 【答案】 【分析】根据两点距离公式，结合二次函数的性质即可求解. 【详解】设, 所以, 由于，故当，取最小值， 故答案为： 83．（山西省部分学校2024届高三上学期12月联考数学试题）已知是椭圆的两个焦点，若上存在一点满足，则的离心率的取值范围是 . 【答案】 【分析】根据，利用椭圆的定义得到，再由求解. 【详解】解：因为， 所以， 所以， 则， 又， 所以的取值范围是. 故答案为： 84．（山东省齐鲁名校联盟2023-2024学年高三下学期考前质量检测数学试题）已知椭圆的左、右焦点分别为为上一动点，则的取值范围是 ． 【答案】 【分析】先根据椭圆、、之间的关系，求出，再根据椭圆的定义，把换成，最后根据，代入即可. 【详解】设椭圆的半焦距为，则， ， 因为，即， 所以，即. 故答案为：. 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $