3.1.2 第1课时 椭圆的简单几何性质-【金版新学案】2025-2026学年新教材高二数学选择性必修第一册同步课堂高效讲义教师用书word（人教A版）

3.1.2　椭圆的简单几何性质 第1课时　椭圆的简单几何性质 学习目标 1.掌握椭圆的范围、对称性、顶点、离心率等简单的几何性质，培养直观想象、数学运算的核心素养. 2.能利用椭圆的简单几何性质求标准方程，提升数学运算的核心素养. 任务一　椭圆的简单几何性质 (阅读教材P109－112，完成探究问题1、2、3、4) 问题1.如图所示，椭圆方程为＋＝1(a＞b＞0)，你能根据方程确定椭圆的边界吗？ 提示：由方程＋＝1， 可知＝1－≥0，得－a≤x≤a， 同理可得－b≤y≤b，故椭圆位于x＝±a和y＝±b围成的矩形框里. 问题2.如上图所示，椭圆具有怎样的对称性？如何用方程加以说明？ 提示：既关于坐标轴为轴对称，又关于原点为中心对称.方程中若(x，y)满足，则易知(x，－y)，(－x，y)，(－x，－y)也满足. 问题3.如上图所示，椭圆中有哪些特殊点？坐标是什么？ 提示：令x＝0，则y＝±b；令y＝0，则x＝±a，故(±a，0)，(0，±b)为特殊点. 问题4.扁平程度是椭圆的重要形状特征，观察图象，我们可以发现，不同椭圆的扁平程度不同，我们常用离心率e＝来刻画椭圆的扁平程度.请说明一下这个定量对椭圆的形状有何影响？ 提示：　题干图中，保持长半轴长a不变，随着短半轴长b的增大，即离心率e＝＝减小，椭圆越圆；随着短半轴长b的减小，即离心率e＝＝增大，椭圆越扁平. 1.椭圆的简单几何性质 焦点的位置 焦点在x轴上 焦点在y轴上 图形 标准方程 ＋＝1(a＞b＞0) ＋＝1(a＞b＞0) 范围 －a≤x≤a且－b≤y≤b －b≤x≤b且－a≤y≤a 对称性 对称轴：坐标轴，对称中心：原点 顶点 A1(－a，0)，A2(a，0) B1(0，－b)，B2(0，b) A1(0，－a)，A2(0，a) B1(－b，0)，B2(b，0) 轴长 短轴｜B1B2｜的长为2b，长轴｜A1A2｜的长为2a 焦点 F1(－c，0)，F2(c，0) F1(0，－c)，F2(0，c) 焦距 ｜F1F2｜＝2c 离心率 e＝∈(0，1) 2.离心率的作用 因为a＞c＞0，所以0＜e＜1.e越接近1，c越接近a，b＝就越小，因此椭圆越扁平；反之，e越接近0，c越接近0，b越接近a，这时椭圆就越接近于圆. [微思考]　椭圆上到对称中心距离最近和最远的点各是哪些？ 提示：椭圆的短轴端点到对称中心的距离最近；椭圆的长轴端点到对称中心的距离最远. 学生用书⬇第107页 (链教材P112例4)求下列各椭圆的长轴长、短轴长、焦距、顶点坐标、焦点坐标和离心率，并画出它们的草图： (1)x2＋9y2＝36； (2)9x2＋5y2＝45. 解：(1)把原方程化为标准方程，得＋＝1， 于是a＝6，b＝2，c＝＝＝4. 所以椭圆的长轴长为12，短轴长为4，焦距为8，顶点坐标为，，，，焦点坐标为，离心率为e＝＝. 椭圆草图如图所示. (2)把原方程化为标准方程，得＋＝1， 因为9＞5，所以椭圆的焦点落在y轴上， 于是a＝3，b＝，c＝＝＝2. 所以椭圆的长轴长为6，短轴长为2，焦距为4，顶点坐标为，，，，焦点坐标为，离心率为e＝＝. 椭圆草图如图所示. 确定椭圆几何性质的基本步骤 对点练1.已知椭圆C1：＋＝1，设椭圆C2与椭圆C1的长轴长、短轴长分别相等，且椭圆C2的焦点在y轴上. (1)求椭圆C1的长半轴长、短半轴长、焦点坐标及离心率； (2)写出椭圆C2的方程，并研究其几何性质. 解：(1)由椭圆C1：＋＝1， 可得其长半轴长为10，短半轴长为8， 焦点坐标为(6，0)，(－6，0)，离心率e＝. (2)由题意，得椭圆C2的标准方程为＋＝1. 几何性质如下： ①范围：－8≤x≤8，－10≤y≤10； ②对称性：对称轴：x轴，y轴；对称中心：原点； ③顶点：长轴端点(0，10)，(0，－10)，短轴端点(－8，0)，(8，0)； ④焦点：(0，6)，(0，－6)，焦距为12； ⑤离心率：e＝. 任务二　由椭圆的几何性质求标准方程 求适合下列条件的椭圆的标准方程： (1)长轴长为6，离心率为； (2)经过点P，离心率为，焦点在x轴上； (3)x轴上的一个焦点与短轴两个端点的连线互相垂直，且焦距为6. 解：(1)(直接法)由题意得2a＝6，则a＝3， 又因为e＝＝，所以c＝2. 则由椭圆的几何性质得b2＝a2－c2＝9－4＝5， 所以b＝. 所以所求椭圆的标准方程为＋＝1， 或＋＝1. (2)(直接法)因为椭圆的焦点在x轴上，由题设得a＝3， 又因为e＝＝，所以c＝. 则由椭圆的几何性质得b2＝a2－c2＝9－6＝3， 所以b＝. 所以所求椭圆的标准方程为＋＝1. (3)(待定系数法)设椭圆标准方程为＋＝1， 如图所示. △A1FA2为等腰直角三角形，OF为斜边A1A2上的中线，且＝c，＝2b. 又因为焦距为6，所以c＝b＝3. 则由椭圆的几何性质得a2＝b2＋c2＝18， 所以所求椭圆的标准方程为＋＝1. 利用椭圆的几何性质求标准方程的思路 1.利用椭圆的几何性质求椭圆的标准方程时，通常采用直接法或待定系数法，运用待定系数法的步骤是： (1)确定焦点位置； (2)设出相应椭圆的标准方程(对于焦点位置不确定的椭圆可能有两种标准方程)； (3)根据已知条件构造关于参数的关系式，利用方程(组)求参数，列方程(组)时常用的关系式有b2＝a2－c2，e＝等，充分体现方程思想. 2.在椭圆的简单几何性质中，轴长、离心率不能确定椭圆的焦点位置，因此仅依据这些条件求所要确定的椭圆的标准方程可能有两个. 学生用书⬇第108页 对点练2.(1)已知椭圆C的焦点在x轴上，长轴长是短轴长的3倍，且经过点P(3，0)，则C的标准方程为(　　) A. ＋y2＝1 B. ＋y2＝1 C.x2＋ ＝1 D. ＋4y2＝1 (2)中心在坐标原点，焦点在x轴上且焦距是8，离心率等于的椭圆的标准方程为　　　　　　　　. 答案：(1)A　(2)＋＝1 解析：(1)由题意可知 且椭圆C的焦点在x轴上，则椭圆C的标准方程为 ＋y2＝1.故选A. (2)由焦点在x轴上且焦距是8，可得c＝4.由离心率等于＝，解得a＝5.所以b2＝a2－c2＝25－16＝9，所以所求椭圆的标准方程为＋＝1. 任务三　求椭圆离心率的值或取值范围 (一题多解)设椭圆C：＋＝1(a＞b＞0)的左、右焦点分别为F1，F2，P是C上的点，PF2⊥F1F2，∠PF1F2＝30°，则C的离心率为　　　　. 答案： 解析：法一：由题意可设｜PF2｜＝m，结合条件可知｜PF1｜＝2m，｜F1F2｜＝m，故离心率e＝＝＝＝＝. 法二：由PF2⊥F1F2可知P点的横坐标为c，将x＝c代入椭圆方程可解得y＝±，所以｜PF2｜＝.又由∠PF1F2＝30°可得｜F1F2｜＝｜PF2｜，故2c＝·，变形可得(a2－c2)＝2ac，等式两边同除以a2，得(1－e2)＝2e，解得e＝或e＝－(舍去). [变式探究] 1.(变条件)若将本例中“PF2⊥F1F2，∠PF1F2＝30°”改为“∠PF2F1＝75°，∠PF1F2＝45°”，求C的离心率. 解：在△PF1F2中， 因为∠PF1F2＝45°，∠PF2F1＝75°， 所以∠F1PF2＝60°. 设｜PF1｜＝m，｜PF2｜＝n，如图所示. 故｜F1F2｜＝2c，m＋n＝2a. 则在△PF1F2中，有＝＝， 所以＝， 所以e＝＝＝＝. 2.(变条件，变设问)若将本例中“PF2⊥F1F2，∠PF1F2＝30°”改为“C上存在点P，使∠F1PF2为钝角”，求C的离心率的取值范围. 解：由题意知，以F1F2为直径的圆与椭圆相交，故c＞b，所以c2＞b2. 又b2＝a2－c2， 所以c2＞a2－c2，即2c2＞a2，所以e2＝＞， 所以e＞.又0＜e＜1，所以＜e＜1. 所以C的离心率的取值范围为. 求椭圆离心率的值或取值范围的两种方法 1.直接法：若已知a，c可直接利用e＝求解.若已知a，b或b，c可借助于a2＝b2＋c2求出c或a，再代入公式e＝求解. 2.方程法或不等式法：若a，c的值不可求，则可根据条件建立a，b，c的关系式，借助于a2＝b2＋c2，转化为关于a，c的齐次方程或不等式，再将方程或不等式两边同除以a的最高次幂，得到关于e的方程或不等式，即可求得e的值或取值范围. 注意：在焦点三角形中，若设∠F1PF2＝θ，当p在短轴端点B时，sin(∠F1BF2)≥sin ，即可得sin ≤e＜1. 对点练3.(1)已知椭圆＋＝1的左、右焦点分别为F1，F2，点A是椭圆短轴的一个端点，且cos∠F1AF2＝，则椭圆的离心率为(　　) A. B. C. D. (2)(一题多解)已知F1，F2分别是椭圆＋＝1的左、右焦点，若椭圆上存在点P，使∠F1PF2＝90°，则椭圆的离心率e的取值范围为　　　　. 答案：(1)C　(2) 解析：(1)由题意可知＝＝＝＝a，＝2c.在△AF1F2中，由余弦定理得4c2＝a2＋a2－2a2cos∠F1AF2，化简得4c2＝a2，则e2＝，所以e＝.故选C. (2)法一：因为椭圆上存在点P，使∠F1PF2＝90°，所以以原点为圆心，以c为半径的圆与椭圆必有交点，如图所示，b≤c，所以b2≤c2，又因为b2＝a2－c2，所以a2－c2≤c2，即a2≤2c2，则e2＝≥.又因为0＜e＜1，所以≤e＜1，所以椭圆的离心率e的取值范围为. 法二：由椭圆上存在一点P使得∠F1PF2＝90°，有｜PF1｜2＋｜PF2｜2＝｜F1F2｜2＝4c2.又因为｜PF1｜＋｜PF2｜＝2a，所以e2＝＝＝1－，由＋≥2(当且仅当｜PF1｜＝｜PF2｜时取等号)，所以e2≥.又因为0＜e＜1，所以≤e＜1. 法三：(速解)由sin ≤e＜1得≤e＜1. 任务再现 1.椭圆的简单几何性质.2.由椭圆的几何性质求标准方程.3.求椭圆离心率的值或取值范围 方法提炼 分类讨论法、待定系数法、直接法、方程法或不等式法 易错警示 忽略椭圆离心率的取值范围以及长轴长与a的关系 学生用书⬇第109页 1.(2024·九省适应性测试)椭圆＋y2＝1(a＞1)的离心率为，则a＝(　　) A. B. C. D.2 答案：A 解析：由题意得e＝＝，解得a＝.故选A. 2.(多选)已知椭圆C：＋＝1，在下列结论中正确的是(　　) A.长轴长为8 B.焦距为4 C.焦点坐标为 D.离心率为 答案：ABD 解析：由已知得a2＝16，b2＝4，则a＝4，b＝2，c＝＝2，故椭圆长轴长为2a＝8，焦距为2c＝4，焦点坐标为，离心率＝，故A、B、D正确.故选ABD. 3.已知椭圆的离心率为，焦点是(－3，0)和(3，0)，则该椭圆的方程为(　　) A.＋＝1 B.＋＝1　 C. ＋＝1 D.＋＝1 答案：B 解析：由题意知c＝3，＝，则a＝6，所以b2＝a2－c2＝27，所以椭圆的方程为＋＝1.故选B. 4.若椭圆C：＋＝1的一个焦点坐标为(0，1)，则C的长轴长为　　　　. 答案：2 解析：因为椭圆的一个焦点坐标为(0，1)，所以m2－1－m＝1，即m2－m－2＝0，解得m＝2或m＝－1.由于＋＝1表示的是椭圆，则m＞1，所以m＝2.则椭圆方程为＋＝1，所以a＝，2a＝2. 课时分层评价27　椭圆的简单几何性质 (时间：60分钟　满分：110分) (本栏目内容，在学生用书中以独立形式分册装订！) (1—9，每小题5分，共45分) 1.椭圆＋＝1的长轴长是(　　) A.7 B.14 C.9 D.18 答案：D 解析：因为49＜81，所以a2＝81，则a＝9，故椭圆＋＝1的长轴长是18.故选D. 2.椭圆＋＝1与椭圆＋＝1的(　　) A.长轴相等 B.短轴相等 C.焦距相等 D.离心率相等 答案：C 解析：因为＋＝1中的c2＝a2－b2＝25－9＝16，所以c＝4，焦距为2c＝8.因为＋＝1中的＝－＝－＝16，所以c'＝4，焦距为2c'＝8.故选C. 3.若椭圆C：＋＝1(m＞9)比椭圆D：＋＝1更扁，则C的长轴长的取值范围是(　　) A.(6，6) B.(18，36) C.(6，＋∞) D.(36，＋∞) 答案：C 解析：椭圆C：＋＝1(m＞9)的离心率e1＝，椭圆D：＋＝1的离心率e2＝ ＝.因为椭圆C：＋＝1(m＞9)比椭圆D：＋＝1更扁，所以e1＞e2，即 ＞，解得m＞18，则2＞6，所以椭圆C的长轴长的取值范围是(6，＋∞).故选C. 4.(新定义)我们把离心率为的椭圆称为“最美椭圆”.已知椭圆C为“最美椭圆”，焦点在x轴上，且以椭圆C上一点P和椭圆两焦点F1和F2为顶点的三角形的面积最大值为4，则椭圆C的方程为(　　) A.＋y2＝1 B.＋＝1 C.＋＝1 D.＋＝1 答案：D 解析：由已知e＝＝，得c＝a，故b＝＝a.因为＝＝×2c≤bc，即＝bc＝4，所以a×a＝4，得a2＝8，故b2＝a2＝4，所以椭圆C的方程为＋＝1.故选D. 5.如图，某同学用两根木条钉成十字架，制成一个椭圆仪.木条中间挖一道槽，在另一活动木条PAB的P处钻一个小孔，可以容纳笔尖，A，B各在一条槽内移动，可以放松移动以保证PA与PB的长度不变，当A，B各在一条槽内移动时，P处笔尖就画出一个椭圆E.已知｜PA｜＝2｜AB｜，且P在右顶点时，B恰好在O点，则E的离心率为(　　) A. B. C. D. 答案：D 解析：已知｜PA｜＝2｜AB｜，设｜AB｜＝x，则｜PA｜＝2x.当A滑动到O位置处时，P点在上顶点或下顶点，则短半轴长b＝2x，当P在右顶点时，B恰好在O点，则长半轴长a＝3x，故离心率为＝＝.故选D. 6.(多选)若椭圆mx2＋2y2＝1的离心率为，则实数m的值可能为(　　) A. B. C.8 D.6 答案：AC 解析：椭圆mx2＋2y2＝1的标准形式为＋＝1，当焦点在x轴上时，e＝＝ ，解得m＝ ，此时椭圆方程为＋＝1符合要求；当焦点在y轴上时，e＝＝ ，解得m＝8，此时椭圆为＋＝1符合要求.故选AC. 7.中心在原点，焦点在坐标轴上，离心率为，且过点(2，0)的椭圆的方程是　　　　　　　　. 答案：＋y2＝1或＋＝1 解析：若焦点在x轴上，则a＝2.又e＝＝，所以c＝.所以b2＝a2－c2＝1，所以方程为＋y2＝1.若焦点在y轴上，则b＝2.又e＝＝，所以＝1－＝1－＝，所以a2＝4b2＝16，所以方程为＋＝1.综上，椭圆的方程为＋y2＝1或＋＝1. 8.已知椭圆的短半轴长为1，离心率0＜e≤，则长轴长的取值范围为　　　　. 答案：(2，4] 解析：因为e＝ ，b＝1，0＜e≤，所以 ，则1＜a≤2，所以2＜2a≤4，即长轴长的取值范围是(2，4]. 9.如图，F是椭圆的左焦点，P是椭圆上的一点，PF⊥x轴，OP∥AB，则椭圆的离心率为　　　　. 答案： 解析：因为P是椭圆上一点，且PF⊥x轴，则P点的坐标为， 法一：设椭圆方程为＋＝1，则F(－c，0)，A，B，可得kAB＝－.因为OP∥AB，则直线OP的斜率为－，可得其方程为y＝－x，可得＝－×，整理得b＝c.所以椭圆的离心率e＝＝＝＝＝. 法二：设椭圆方程为＋＝1，F(－c，0)，A，B，因为OP∥AB，则Rt△OPF∽Rt△ABO，可得＝，即＝，整理得b＝c.所以椭圆的离心率e＝＝＝＝＝. 10. (13分)如图，已知椭圆＋＝1(a＞b＞0)，F1，F2分别为椭圆的左、右焦点，A为椭圆的上顶点，直线AF2交椭圆于另一点B. (1)若∠F1AB＝90°，求椭圆的离心率； (2)若椭圆的焦距为2，且＝2，求椭圆的标准方程. 解：(1)若∠F1AB＝90°，则△AOF2为等腰直角三角形， 所以有｜OA｜＝｜OF2｜， 即b＝c. 所以a＝c，e＝＝. (2)由题意知A(0，b)，F2(1，0)， 设B(x，y)，所以＝(1，－b)，＝(x－1，y). 由＝2， 所以解得x＝，y＝－. 代入＋＝1，得＋＝1，即＋＝1， 解得a2＝3，又c2＝1，所以b2＝2， 所以椭圆的标准方程为＋＝1. (11—13，每小题5分，共15分) 11.如图，把椭圆＋＝1的长轴AB分成10等份，过每个分点作x轴的垂线分别交椭圆的上半部分于点P1，P2，…，P9，F是左焦点，则＋＋…＋＝(　　) A.16 B.18 C.20 D.22 答案：B 解析：因为把椭圆＋＝1的长轴AB分成10等份，过每个分点作x轴的垂线分别交椭圆的上半部分于点P1，P2，…，P9，设椭圆的右焦点为F'，且a2＝4，可得a＝2，由椭圆的定义及椭圆的对称性，可得｜P1F｜＝｜P9F'｜，｜P2F｜＝，｜P3F｜＝，…，所以＋＋…＋＝＋(｜P8F'｜＋｜P8F｜)＋…＋(｜P5F'｜＋｜P5F｜)＝9a＝18.故选B. 12.(多选)已知F1，F2分别是椭圆E：＋＝1的左、右焦点，P是椭圆E上一点，且＝，cos∠PF2F1＝，则下列结论正确的有(　　) A.椭圆E的离心率为 B.椭圆E的离心率为 C.PF1⊥PF2 D.若△PF1F2内切圆的半径为2，则椭圆E的焦距为10 答案：ACD 解析：由＋＝2a，＝，解得＝a，＝a.则在△PF1F2中，cos∠PF2F1＝＝＝，整理得5a2＋18ac－35c2＝0，即(a＋5c)(5a－7c)＝0，则a＝－5c(舍去)或a＝c，故椭圆E的离心率为.故A正确，B不正确；由a＝c，得＝2c＝a，则＋＝，故PF1⊥PF2.故C正确；由PF1⊥PF2，△PF1F2内切圆的半径为2，得2c＝2a－4.因为a＝c，所以c＝5，即椭圆E的焦距为10.故D正确.故选ACD. 13.如图，A，B，C是椭圆＋＝1上的三个点，AB经过原点O，AC经过右焦点F，若BF⊥AC且＝3，则该椭圆的离心率为　　　　. 答案： 解析：如图所示， 设椭圆的左焦点为F1，连接AF1，BF1，CF1.设＝m，由对称性知：＝＝3m，＝2a－3m，＝2a－m.因为AF1∥BF，所以AF1⊥AC.在Rt△AF1C中，＋＝，即9m2＋＝，解得m＝.在Rt△AF1F中，9m2＋＝，将m＝代入上式，得a2＝2c2.所以e＝＝. 14.(15分)设F1，F2分别是E：＋＝1(a＞b＞0)的左、右焦点，过点F1的直线交椭圆E于A，B两点，｜AF1｜＝3｜F1B｜. (1)若｜AB｜＝4，△ABF2的周长为16，求｜AF2｜； (2)若cos∠AF2B＝，求椭圆E的离心率. 解：(1)由｜AF1｜＝3｜F1B｜，｜AB｜＝4， 得｜AF1｜＝3，｜F1B｜＝1. 因为△ABF2的周长为16，所以由椭圆定义可得4a＝16，所以a＝4. 又｜AF1｜＋｜AF2｜＝2a＝8， 故｜AF2｜＝8－3＝5. (2)设｜F1B｜＝k， 则k＞0且｜AF1｜＝3k，｜AB｜＝4k， 由椭圆定义可得｜AF2｜＝2a－3k，｜BF2｜＝2a－k. 在△ABF2中，由余弦定理可得｜AB｜2＝｜AF2｜2＋｜BF2｜2－2｜AF2｜·｜BF2｜cos∠AF2B， 即(4k)2＝(2a－3k)2＋(2a－k)2－(2a－3k)·(2a－k)，化简可得a2－2ak－3k2＝0， 所以(a＋k)(a－3k)＝0，而a＋k＞0， 故a＝3k. 于是有｜AF2｜＝3k＝｜AF1｜，｜BF2｜＝5k. 因此｜BF2｜2＝｜F2A｜2＋｜AB｜2， 可得F1A⊥F2A， 故△AF1F2为等腰直角三角形， 从而c＝a，所以椭圆E的离心率e＝＝. 15.(5分)(新情境)油纸伞是中国传统工艺品，至今已有1 000多年的历史，为宣传和推广这一传统工艺，北京市文化宫开展油纸伞文化艺术节活动中，某油纸伞撑开后摆放在户外展览场地上，如图，该伞伞沿是一个半径为2的圆，圆心到伞柄底端距离为2，当阳光与地面夹角为60°时，在地面形成了一个椭圆形影子，且伞柄底端正好位于该椭圆的长轴上，若该椭圆的离心率为e，则e2＝(　　) A. B.7－2 C.3－2 D.3－5 答案：D 解析：因为伞柄底端正好位于该椭圆的长轴上，由图可知，椭圆的短半轴长b＝2，在△ABC中，∠B＝60°，∠C＝45°，＝4.由正弦定理得＝⇒＝⇒＝⇒2a＝⇒a＝＋.所以e2＝＝＝1－＝1－＝3－5.故选D. 16.(17分)如图，设点A，B在x轴上，且关于原点O对称.点P满足tan∠PAB＝2，tan∠PBA＝，且△PAB的面积为20. (1)求点P的坐标； (2)以A，B为焦点，且过点P的椭圆记为C.设M(x0，y0)是C上一点，且－1＜x0＜3，求y0的取值范围. 解：(1)如图所示，设A(－c，0)，B(c，0)，c＞0，则直线PA的方程为y＝2(x＋c)，直线PB的方程为y＝－(x－c). 由所以P(－，). 而△PAB的面积S＝｜AB｜·｜yP｜＝c2， 所以c2＝20，解得c＝5. 所以点P的坐标为(－3，4). (2)由(1)得A(－5，0)，B(5，0). 所以＝＝2， ＝＝4. 设以A，B为焦点且过点P的椭圆方程为C：＋＝1(a＞b＞0)， 则a＝(｜PA｜＋)＝(2＋4)＝3，又b2＝a2－c2＝(3)2－52＝20， 所以椭圆C的方程为＋＝1. 因为M(x0，y0)是C上一点， 所以＋＝1， 即＝20(1－). 因为－1＜x0＜3，所以0≤＜9. 所以16＜≤20. 所以y0的取值范围是[－2，－4)∪(4，2]. 学科网（北京）股份有限公司 $