3.1.2椭圆的简单几何性质【九大题型】讲义-2025-2026学年高二数学《考点•题型 •技巧》精讲与精练高分突破系列(人教A版2019选择性必修第一册）

本高中数学讲义聚焦椭圆的简单几何性质核心知识点，系统梳理焦点在x轴和y轴上的椭圆标准方程、范围、顶点等性质，通过表格对比构建知识支架，衔接椭圆定义与直线和椭圆位置关系等后续内容。 资料以题型归纳为主线，从几何性质到定点定值问题分层设计，如离心率问题结合图形对称培养数学眼光，弦长公式应用强化数学思维，课中助力教师分层教学，课后变式题帮助学生查漏补缺，提升解析几何综合能力。

3.1.2椭圆的简单几何性质 【考点梳理】 【知识梳理】 知识点一：椭圆的简单几何性质 焦点的位置 焦点在x轴上 焦点在y轴上 图形 标准方程 ＋＝1(a>b>0) ＋＝1(a>b>0) 范围 －a≤x≤a，－b≤y≤b －b≤x≤b，－a≤y≤a 顶点 A1(－a，0)，A2(a，0)， B1(0，－b)，B2(0，b) A1(0，－a)，A2(0，a)， B1(－b，0)，B2(b，0) 轴长 短轴长＝2b，长轴长＝2a 焦点 (±，0) (0，±) 焦距 |F1F2|＝2 对称性 对称轴：x轴、y轴　对称中心：原点 离心率 e＝∈(0,1) 知识点二：直线与椭圆的位置关系 直线y＝kx＋m与椭圆＋＝1(a>b>0)的位置关系的判断方法：联立消去y得到一个关于x的一元二次方程．直线与椭圆的位置关系、对应一元二次方程解的个数及Δ的取值的关系如表所示． 直线与椭圆 解的个数 Δ的取值 两个不同的公共点 两解 Δ>0 一个公共点 一解 Δ＝0 没有公共点 无解 Δ<0 知识点三：弦长的两种方法 (1)求出直线与椭圆的两交点坐标，用两点间距离公式求弦长． (2)联立直线与椭圆的方程，消元得到关于一个未知数的一元二次方程，利用弦长公式：|P1P2|＝·，其中x1，x2(y1，y2)是上述一元二次方程的两根，由根与系数的关系求出两根之和与两根之积后代入公式可求得弦长． 【题型归纳】 题型一：椭圆的几何性质 【例1】．（24-25高二上·四川成都·月考）椭圆的中心在原点，焦点在轴上，焦距为，且经过点 (1)求椭圆的标准方程； (2)求椭圆的长轴长、短轴长、离心率、顶点坐标． 【答案】(1) (2)长轴长为，短轴长为，离心率为，顶点坐标为， 【分析】（1）设椭圆方程为，即可得到、、的方程组，解得即可； （2）由（1）可得，根据椭圆的性质计算可得. 【详解】（1）依题意设椭圆的标准方程为， 则，解得， 所以椭圆的标准方程为； （2）由（1）可得，所以长轴长为，短轴长为， 离心率，顶点坐标为，. 【变式1】．（23-24高二上·全国）求下列各椭圆的长轴长、短轴长、焦距、顶点坐标、焦点坐标和离心率： (1)； (2)； (3). 【详解】（1）由椭圆方程可知其焦点在轴上，所以，则， 所以该椭圆长轴长为，短轴长为，焦距为； 上下顶点坐标为，左右顶点坐标为； 上下焦点坐标为，离心率. （2）由椭圆方程可知其焦点在轴上， 可得，则， 所以该椭圆长轴长为，短轴长为，焦距为； 上下顶点坐标为，左右顶点坐标为； 左右焦点坐标为，离心率. （3）将椭圆方程整理变形成标准方程可得，易知其焦点在轴上， 所以，则， 所以该椭圆长轴长为，短轴长为，焦距为； 上下顶点坐标为，左右顶点坐标为； 左右焦点坐标为，离心率. 【变式2】．（23-24高二上·全国·课后作业）椭圆的中心在原点，焦点在x轴上，焦距为2，且经过点A. (1)求满足条件的椭圆方程； (2)求该椭圆的顶点坐标、长轴长、短轴长、离心率． 【答案】(1) (2)顶点坐标，；长轴长4，短轴长；离心率 【分析】（1）利用椭圆定义可得答案； （2）根据椭圆的几何性质求解即可. 【详解】（1）由已知焦点在x轴上，设椭圆方程为，      ∵，∴，焦点坐标为， ， ， ∴椭圆方程为； （2）顶点坐标，；长轴长4，短轴长；离心率. 题型二：椭圆的离心率问题 【例2】．（25-26高二上·广东清远·期中）设点分别为椭圆C：的左右焦点，点、分别为椭圆右顶点和下顶点，且点关于直线的对称点为．若，则椭圆的离心率为 ． 【答案】 【分析】根据已知求出的中点坐标，判断出点与点重合，利用，建立关系，结合，即可求解. 【详解】设点，因为，所以的中点， 即点在轴上，又点在直线上，所以点与点重合， 由，得，即，得， 可得，解得，或舍去， 故答案为：. 【变式1】．（25-26高二上·广东东莞·期中）椭圆的左､右焦点分别为，，P是椭圆上一点，且，，则椭圆的离心率为 . 【答案】 【分析】由已知结合椭圆定义求出，再由勾股定理可得答案. 【详解】因为P是椭圆上一点，所以， 再由可得， 因为，所以， 即，可得，即， 则椭圆的离心率为. 故答案为：. 【变式2】．（25-26高二上·天津宁河·期中）已知椭圆，为椭圆的对称中心，为椭圆的一个焦点，为椭圆上一点，轴，与椭圆的另一个交点为点，为等腰直角三角形，则椭圆的离心率为 . 【答案】 【分析】易知椭圆焦点轴上，设椭圆方程，在将代入椭圆方程，可得与，再由等腰直角三角形可知，化简可得解. 【详解】由已知可得椭圆焦点在轴上，不妨设椭圆方程为，， 设为椭圆的右焦点，且点在轴上方，则，， 又轴，所以，代入椭圆方程可知， 化简可得，结合椭圆的对称性可知，且为中点， 即，又为等腰直角三角形，则， 即，等式左右同时除以， 可得，解得，或（舍）， 故答案为：. 题型三：椭圆的范围问题 【例3】．（25-26高二上·陕西渭南·期中）已知是椭圆的两焦点，点在椭圆上，则的最小值是 . 【答案】 【分析】设出的坐标，将向量数量积运算转化为坐标运算，根据的坐标满足椭圆方程进行化简，再根据的范围可求的最小值. 【详解】设，因为，所以， 所以， 又因为，所以， 所以， 又因为，所以， 所以，此时， 故答案为：. 【变式1】．（25-26高二上·上海·期中）已知，，点为椭圆：上的动点，则的取值范围是 ． 【答案】 【分析】根据椭圆方程分析可知，，代入结合二次函数求最值即可. 【详解】由椭圆：可知，，， 即，为椭圆的左，右焦点， 则，即， 且，即， 则， 可知当时，取到最大值4； 当或时，取到最小值3； 所以的取值范围是. 故答案为：. 【变式2】．（25-26高二上·黑龙江哈尔滨·月考）若椭圆上一动点，为圆的任意一直径，则的取值范围为 ． 【答案】 【分析】首先得到椭圆的、、，以及圆心坐标与半径，再由数量积的运算律得到，利用椭圆的性质求解的范围，从而可得答案. 【详解】椭圆的，，则， 圆的圆心为，半径，则为椭圆的右焦点， 又 ， 由椭圆的性质可得，即， 所以． 故答案为： 题型四：直线与椭圆的位置关系 【例4】．（25-26高二上·重庆·期中）已知是椭圆上的动点，则点到直线的距离的最小值为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】令与直线平行且与椭圆相切的直线为，与椭圆方程联立，应用求参数值，再由平行线的距离公式求最小距离. 【详解】令与直线平行且与椭圆相切的直线为， 联立，则， 所以，可得，即， 所以，所求直线为， 对于，与直线的距离为， 对于，与直线的距离为， 所以最小距离为. 故选：B 【变式1】．（25-26高二上·重庆·期中）若直线与椭圆交于两点，椭圆的右焦点为，则的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】设椭圆的左焦点为，根据椭圆的定义得为直角三角形，利用余弦定理求得，由同角三角函数关系式求得，即的值. 【详解】设椭圆的左焦点为，由椭圆及直线的对称性，知. 若点B在第一象限，因为，所以. 因为，所以，所以. 所以，所以. 所以. 所以，所以. 由椭圆及直线的对称性，. 故选：D.      【变式2】．（25-26高二上·河南·期中）已知椭圆及其上点，过右焦点的直线与椭圆交于不同两点（均异于点）．若直线的斜率互为相反数，则直线的方程是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】设出直线的方程，将其与椭圆方程联立方程组，然后根据韦达定理对直线的斜率之和进行化简，可求得直线的斜率，进而求得其方程. 【详解】依题意，，直线的斜率存在，设为，则直线的方程为． 由消去，整理得，显然． 设，则， 直线的斜率分别为． 由，得，所以， 整理得， 则，解得， 所以直线的方程为，即． 故选：D． 题型五：椭圆的中点弦问题 【例5】．（25-26高二上·吉林松原·期中）过点作斜率为的直线与椭圆相交于，，若是线段的中点，则（   ） A． B． C． D．2 【答案】B 【分析】通过设椭圆上两点坐标，运用点差法，结合中点坐标和直线斜率，推导出与的比值. 【详解】设，，则，. 两式相减得. 因为是中点，所以，，且直线的斜率. 将其代入上式，得，两边除以，得， 整理得，故. 故选：B 【变式1】．（25-26高二上·河北邢台·期中）已知椭圆，过点的直线交于，两点，且是线段的中点，则直线的斜率为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】设，，利用设而不求点差法求解中点弦斜率. 【详解】设，，因为，两点在曲线上， 所以有，两式相减可得， 即， 因为点是线段的中点， 根据中点坐标公式可得，即，． 代入，可得， 而就是直线的斜率，所以直线的斜率为． 因为，故点在椭圆内，所以直线与椭圆相交，满足条件， 故选：B 【变式2】．（25-26高二上·浙江·期中）已知椭圆的中心为坐标原点，一个焦点为，过的直线与椭圆交于A、B两点.若的中点为，则椭圆的方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】结合点差法化简即可求解. 【详解】设椭圆的方程为，， 则， 由直线过与的中点，则， 由，相减得， 即， ∴， 又，∴，解得， 故椭圆的方程为. 故选：B 题型六：直线与椭圆的弦长问题 【例6】．（23-24高二上·重庆璧山·月考）椭圆过点且离心率为，为椭圆的右焦点，过的直线交椭圆于，两点，定点. (1)求椭圆的方程； (2)若面积为，求直线的方程. 【答案】(1) (2) 【详解】（1）由题意可知，解得，所以椭圆的方程为. （2）当直线的斜率为时，显然不符合题意； 因为，设， 联立，可得， 则， ， 因为， 所以，解得， 所以直线的方程.    【变式1】．（25-26高三上·宁夏中卫·月考）已知椭圆的短轴长为，且过点． (1)求椭圆的标准方程； (2)若经过椭圆的右焦点作倾斜角为的直线，直线与椭圆交于两点，求弦长． 【答案】(1)； (2). 【分析】（1）由已知易求得，将代入椭圆方程可求得，可求椭圆的方程； （2）求得直线方程，与椭圆方程联立，利用根与系数的关系可求得，进而利用弦长公式求得弦长. 【详解】（1）由椭圆的简单几何性质，可知，得， 将点代入，得， 所以椭圆的标准方程为. （2）由已知可得椭圆的右焦点为，直线的方程为， 联立椭圆方程，得， 设，所以， 则. 【变式2】．（25-26高二上·天津宁河·期中）已知椭圆的焦距，且过点. (1)求椭圆的方程； (2)过定点的直线与椭圆交于，两点，若的面积为，求直线方程及弦的长. 【答案】(1) (2)直线方程为，弦长 【分析】（1）由题意可得，，可求得，进而可求得椭圆方程； （2）由题意可得直线的斜率存在，设直线的方程为，，与椭圆方程联立，可得，，进而求得弦长与点到直线的距离，结合题意可得，求解即可. 【详解】（1）因为点在椭圆上，所以， 又椭圆的焦距，所以，所以， 又因为，所以 所以，所以，解得或（舍去）； 所以椭圆的方程； （2）当直线的斜率不存在时，直线方程为，此时，，三点共线，不符合题意； 当直线的斜率存在时，设直线的方程为，， 与椭圆方程联立，消去得， 展开并整理得， 则，所以或， 所以，， 所以 ， 点到直线的距离， 所以 所以，所以，所以， 所以，即， 所以直线方程为， 所以弦长.    题型七：椭圆中的向量问题 【例7】．（25-26高二上·河南·月考）如图，点，是椭圆C：（）的左、右焦点，A，B是C上两点，，且，则C的离心率为 . 【答案】/ 【分析】延长交于另一点，连接，设，再根据椭圆定义得到其他长度，利用余弦定理得，最后再次使用余弦定理即可得到关于的齐次方程，解出即可. 【详解】如图，延长交于另一点，连接，由椭圆的对称性，得． 设，则． 在中，利用余弦定理得 ，即，解得， 所以． 在中，利用余弦定理得， 即，化简得， 所以的离心率． 故答案为：． 【变式1】．（24-25高二上·浙江杭州·月考）设椭圆的右顶点为，过轴上一定点的斜率为的直线与椭圆相交于A、B两点，若，则的取值范围是 【答案】 【分析】将直线方程与椭圆方程联立，由韦达定理可得关于的表达式，据此可得答案. 【详解】由题意，，：，设，， 联立直线与椭圆： 由题，. 由韦达定理：， ， 则， 综上：. 故答案为： 【变式2】．（2024·上海闵行·一模）已知、分别为椭圆的左、右焦点，过的直线交椭圆于、两点．若，则 ． 【答案】 【分析】首先求出、，设，根据数量积的坐标表示及，求出点坐标，从而求出的方程，再联立直线与椭圆方程，求出点坐标，最后由数量积的坐标表示计算可得. 【详解】椭圆，则、， 设，因为，即， 即，又，解得，不妨取， 则的方程为，由，解得或， 所以， 所以，， 所以. 故答案为：. 题型八：椭圆的定点、定值问题 【例8】．（25-26高三上·山东烟台·期中）在平面直角坐标系中，已知点，点为圆：上任意一点，线段的垂直平分线交半径于点，当点在圆上运动时，记点的轨迹为． (1)求的方程； (2)若点，试判断直线与的位置关系，并说明理由； (3)若直线与直线分别交于点，，求证：，两点的纵坐标之积为定值． 【答案】(1); (2)直线与椭圆相切，理由见解析; (3)证明见解析. 【分析】（1）利用中垂线性质可得，从而可得椭圆的方程； （2）利用判别式法来确定直线与椭圆的位置关系即可； （3）引入动点，利用先求交点纵坐标，再证明纵坐标之积为定值即可. 【详解】（1）    由题可得，圆心，半径，又线段的垂直平分线交半径于点， 所以，所以， 所以点的轨迹是以,为焦点的椭圆，设椭圆的方程为， 则，，故，所以的方程为； （2）由题，，，所以，所以直线过，斜率为， 则直线的方程为：，联立方程组， 化简得，则， 即直线与椭圆只有一个公共点，所以直线与椭圆相切； （3）证明：设，，，则线段中点， 直线：，即， 当时，， 当时，， 所以， 又，即， 所以， 所以,两点的纵坐标之积为定值． 【变式1】．（25-26高二上·北京·期中）已知椭圆的上顶点为，四个顶点组成的四边形面积为. (1)求椭圆的方程； (2)过点的动直线与椭圆交于两点，点关于轴的对称点为点，求证：直线恒过定点，并求出定点坐标 【答案】(1)椭圆的方程为； (2)直线恒过定点，该定点为点. 【分析】（1）由题意列出关于的方程组求出即可得解； （2）先由题意设直线的方程为，联立椭圆方程求出韦达定理，接着利用点D写出直线AD的方程为，令，求出x为定值即可得解. 【详解】（1）由题得， 所以椭圆的方程为； （2）证明：由题可得直线的斜率存在，设， 联立， 则， 设，则，， 则直线AD斜率为， 所以直线AD的方程为， 令，则 ， 所以直线恒过定点，该定点为点. 【变式2】．（25-26高二上·广东东莞·期中）已知椭圆，点P为C的上顶点． (1)求椭圆C的离心率； (2)设与两坐标轴均不垂直的直线l与椭圆C交于异于P的两点A和B，设直线PA、PB的斜率分别为、．当时，判断直线l是否经过定点？若是，请求出这一定点；若不是，请说明理由． 【答案】(1)； (2)直线过定点. 【分析】（1）根据方程确定的值，再求离心率的值. （2）设直线，与椭圆方程联立，结合韦达定理，表示出，，根据列式，化简可得的关系，再确定直线是否过定点. 【详解】（1）椭圆的长短半轴长分别为，半焦距， 所以离心率. （2）如图：    设，， 由直线l与椭圆C交于异于P的两点、，得， 由，得，则， ，即， 整理得，而，于是， 此时直线，过定点，所以直线过定点. 题型九：、椭圆的最值问题 【例9】．（25-26高二上·广西柳州·期中）已知椭圆离心率为，过点． (1)求椭圆的方程； (2)过椭圆右焦点作直线交椭圆于、两个不同的点，记的面积为S，求S的最大值及取得最大值时直线的方程． 【答案】(1) (2)S的最大值为，此时直线l的方程为. 【分析】（1）根据离心率，可得，将点坐标代入椭圆方程，可得，联立即可求得答案. （2）当直线l垂直x轴时，方程，代入椭圆C，可得，代入面积公式，可求得S，当直线l不垂直x轴时，设出直线，与椭圆联立，结合韦达定理，可得表达式，进而可求出的表达式，代入面积公式，可得S表示，根据二次函数的性质，化简整理，综合分析，即可得答案. 【详解】（1）由题意离心率，所以， 又在椭圆C上，所以， 与上式联立，解得，则椭圆的方程为. （2）由（1）得，则，所以. 如图： 当直线l垂直x轴时，方程，代入椭圆C的方程可得， 所以， 所以； 当直线l不垂直x轴时，设斜率为（时，），则方程为， 联立，可得， ， 则， 所以， 则， 令，则，所以 则， 因为，所以， 因为在上单调递减， 所以， 综上，的最大面积，此时直线l的方程为. 【变式1】．（25-26高三上·湖南长沙·月考）已知椭圆，其短轴的一个端点到右焦点的距离为2，且点在椭圆上. (1)求椭圆的方程； (2)设过点的一条直线与椭圆交于两点，求面积的最大值. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据椭圆的性质，先得到的值，再根据椭圆上的点可求，得到椭圆的标准方程. （2）方法1：设直线方程：，与椭圆方程联立，消去，利用韦达定理，表示出，进而表示出的面积，利用基本不等式求三角形面积的最大值.方法2：设直线方程：，与椭圆方程联立，消去，利用韦达定理，表示出，进而求弦的长，结合点到直线的距离，求三角形的高，可表示三角形的面积，再利用导数分析函数的单调性，求三角形面积的最大值. 【详解】（1）设椭圆的右焦点，则， 由点在椭圆上可得，解得， 所以椭圆的方程为. （2）法一：如图： 由题意，直线的斜率显然不为0，设直线的方程为，代入椭圆的方程，则，其中，解得， 设，则， ， 令，由得，， （当且仅当时，等号成立）， 所以面积的最大值为. 法二：由题意，直线的斜率一定存在，设的方程为，代入椭圆的方程， 则，其中，解得， 设，则，可得， 点到直线的距离为， ， 令，令， 在区间上递增，在上递减， 所以时，， 所以面积的最大值为. 【变式2】．（25-26高二上·新疆克拉玛依·期中）已知椭圆与椭圆有相同的焦点，并且过． (1)求椭圆的标准方程； (2)过点的直线与椭圆交于两点，求面积的最大值及此时的直线方程． 【答案】(1) (2)1；或 【分析】（1）先求出，根据椭圆的定义求得，最后根据平方关系求得； （2）设方程，直线与椭圆联立消去利用韦达定理表示弦长，结合三角形面积公式和基本不等式计算求得直线斜率最后得到直线方程. 【详解】（1）因为椭圆与椭圆有相同的焦点，所以椭圆的焦点是，即， 即， 因为，所以，解得， 所以， 所以椭圆的标准方程为； （2）由题意过点的直线与曲线交于两点， 显然直线斜率是存在的，否则三点共线，此时不是三角形， 所以设直线的方程为， 联立与，所以， 即，或， 设， 有. 所以， 又点到直线的距离， 所以的面积.    设， 则， 当且仅当，即时等号成立，且满足. 所以的面积最大值为1， 此时直线的方程为或. 【高分达标】 一、单选题 1．（25-26高二上·天津津南·月考）已知椭圆的一个焦点是圆的圆心，且短轴长为8，则椭圆的长轴长为（    ） A．12 B．10 C．8 D．6 【答案】B 【分析】根据给定条件，求出圆心坐标即得椭圆半焦距，进而求出长轴长. 【详解】将配方得，故圆心为， 即得椭圆的右焦点为， 而该椭圆的短轴长为8，则其长半轴长， 所以该椭圆的长轴长为10. 故选：B 2．（25-26高二上·河北邢台·期中）已知，椭圆：的长轴长是短轴长的倍，则（   ） A．2 B． C．4 D． 【答案】B 【分析】根据椭圆方程求得长轴长和短轴长，由题意列方程求解即可. 【详解】椭圆：的长轴长为，短轴长为， 由题意，平方化简得，又，解得． 故选：B 3．（25-26高二上·山东枣庄·期中）设是椭圆的右焦点，是椭圆上的动点，是直线上的动点，则的最小值为（   ） A． B．3 C． D． 【答案】C 【分析】根据椭圆的定义可知，则，则求的最小值，即求的最小值，再结合点到直线的距离公式即可得解. 【详解】根据题意知椭圆的右焦点坐标为，左焦点坐标为， 根据椭圆的定义可知，所以， 则， 所以最小时，即最小， 即定点到直线距离最小即可， 根据点到直线的距离公式可得， 所以. 故选：C 4．（25-26高二上·广东东莞·期中）已知是椭圆的焦点，，分别是上第二、四象限上的点．若四边形为矩形，则的离心率的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】取椭圆的上顶点，可根据求离心率的取值范围. 【详解】如图： 取椭圆的上顶点，因为存在，分别是上第二、四象限上的点，使得四边形为矩形，所以必有. 即. 所以. 所以，又椭圆的离心率， 所以. 故选：D 5．（25-26高二上·江苏扬州·期中）已知椭圆，直线与椭圆交于两点，则线段长为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】将直线方程与椭圆方程联立，求出两点的坐标，利用两点间的距离公式求线段的长度. 【详解】将代入椭圆方程， 得：或. 当时，；当时，. 所以点的坐标分别为和. 所以. 故选：A 6．（25-26高二上·四川广安·期中）已知焦点在轴上的椭圆，其右焦点与上顶点和左顶点构成面积为的三角形，则椭圆的离心率为（   ）． A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据给定条件，结合图形及三角形的面积公式列方程求出，利用离心率公式计算即可. 【详解】椭圆的长半轴长，设半焦距为c，则，， 因此的面积为，解得， 所以椭圆的离心率为. 故选：C 7．（25-26高二上·四川成都·期中）点分别为椭圆的上顶点和右焦点，若直线交椭圆于点两点，点为的重心，则椭圆的离心率为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由题设，利用为的重心，求出线段的中点，将中点坐标代入直线方程，再利用点差法可得，结合，可求出的值，进而求出离心率. 【详解】由题设，则线段的中点为， 由三角形的重心性质可知，，即，解得， 即，将该点代入直线，得，即， 又为线段的中点，则，则， 又为椭圆上的点，， 以上两式相减，得 ，即， ，化简得， 由，解得，即离心率为， 故选：. 8．（25-26高二上·陕西西安·期中）已知椭圆方程为，长轴的左右两个顶点分别为，，过椭圆上一点向轴作垂线，垂足为，若，则该椭圆的离心率为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】如图，设，则，有，即， 则，，， 则有，则. 故选：A. 二、多选题 9．（25-26高二上·广西河池·月考）已知椭圆，则（    ） A．M与N的离心率相等 B．M与N的焦距相等 C．M与N的长轴长不相等 D．M的短轴长是N的短轴长的两倍 【答案】BC 【分析】通过椭圆的标准方程得到的值，求解离心率、焦距、长轴长和短轴长，即可判断各个选项. 【详解】椭圆的长半轴长，短半轴长，半焦距， 椭圆的长半轴长，短半轴长，半焦距， 对于A，椭圆M的离心率，椭圆N的离心率，A错误； 对于B，椭圆M与N的焦距长都为，相等，B正确； 对于C，椭圆M与N的长轴长不相等，C正确； 对于D，椭圆M的短轴长不是N的短轴长的两倍，D错误. 故选：BC. 10．（25-26高二上·山东临沂·期中）若，分别是椭圆的左、右焦点，是上的动点，则（    ） A．椭圆C的长轴长为 B．最大值为 C．椭圆C的焦距为1 D．不存在点，使得 【答案】BD 【分析】根据椭圆方程求得，即可求解长轴长和焦距判断AC；利用二次函数性质求解最值判断B；利用焦点三角形性质及余弦定理求得为锐角判断D. 【详解】由椭圆可知，，，所以， 所以椭圆C的长轴长为，焦距为2，所以选项AC错误； 设，，则， 所以时，取到最大值为，故选项B正确； 当P为椭圆短轴顶点时，最大，此时 ，即为锐角， 故不存在点，使得，故选项D正确. 故选：BD． 11．（25-26高二上·江苏南通·期中）已知圆锥曲线的离心率为，，分别为曲线的左，右焦点，为曲线上一点，则下列结论正确的是（    ） A． B．的周长为12 C．面积的最大值为4 D．的取值范围是 【答案】ABD 【分析】由曲线的轨迹为椭圆，得到，求得，可判定A正确；根据椭圆的定义，求得的周长，可判定B正确；根据，结合椭圆的性质，可判定C错误；设点的坐标为，求得，结合椭圆的性质，可判定D正确. 【详解】对于A,由圆锥曲线的离心率为，则曲线的轨迹为椭圆， 可得，则， 则可得，解得，，所以A正确； 对于B，由A得椭圆的方程为，可得， 又由椭圆的定义，可得的周长为，所以B正确； 对于 C，由面积为，因为， 所以当点为短轴的端点时，面积取得最大值， 可得面积的最大值为，所以C错误； 对于D，设点的坐标为，其中，则，所以， 因为，可得， 则， 因为，可得，即取值范围为，所以D正确. 故选：ABD. 12．（25-26高二上·山东临沂·期中）已知椭圆：的焦点分别为，，设直线与椭圆交于，两点，且点为线段的中点，则下列说法正确的是（   ） A．椭圆的离心率为 B．椭圆上存在点，使得 C．直线的方程为 D．的周长为 【答案】BD 【分析】对于，根据椭圆性质求得椭圆方程，计算离心率即可；对于，利用以为直径的圆与椭圆的位置关系进行判断；对于，利用点差法求直线的斜率，继而求得方程；对于，根据焦点三角形的性质直接求周长. 【详解】因为椭圆：的焦点分别为，， 可得焦点在轴，且， 即，所以， 则椭圆的方程为， 则其离心率 故错误； 对于,由椭圆方程可知， 以为直径的圆与椭圆有四个交点， 所以椭圆上存在点，使得， 则正确； 对于，设， 因为的中点为， 则， 又在椭圆上， 则， 两式相减可得： 即 所以直线的斜率为， 又直线过点， 则直线为， 即，故错误； 对于直线过点， 则的周长为， 故正确， 故选： 13．（25-26高二上·江苏连云港·期中）已知椭圆的左､右焦点分别为，过且斜率为的直线与椭圆交于两点.若，且，则下列说法正确的是（    ） A．椭圆的离心率 B． C． D．的面积为 【答案】AC 【分析】根据题意，得到点为椭圆短轴的端点，且，在直角中，结合勾股定理，得到即，可得判定A正确；根据点为椭圆短轴的上端点或下端点，取得直线的斜率，可得判定B错误；不妨设为椭圆短轴的上端点是，得到直线的方程，联立方程组，求得，可判定C正确；结合，可判定D不正确. 【详解】对于A，因为，则点为椭圆短轴的端点， 又因为，可得，即， 在直角中，，可得， 即，可得，所以A正确； 对于B，当为椭圆短轴的上端点是，由，且， 可得，所以直线的斜率为； 当当为椭圆短轴的上端点是，由，且， 可得，所以直线的斜率为， 综上可得，直线的斜率为，所以B错误； 对于C，不妨设为椭圆短轴的上端点是，即， 此时直线的斜率为，直线的方程为， 联立方程组，可得， 设，则，所以， 因为，可得，所以， 所以，所以，所以C正确； 对于D，由的面积为， 又由，所以D不正确. 故选：AC. 三、填空题 14．（25-26高二上·广东清远·期中）与椭圆有相同焦点，且满足短半轴长为的椭圆方程是 ． 【答案】 【分析】由题知，，进而求得可得答案. 【详解】因为椭圆的焦点坐标为， 所以所求椭圆的焦点坐标为，即， 因为所求椭圆的短半轴长为， 所以， 所以， 所以所求椭圆的方程为：. 故答案为： 15．（2025高二上·全国·专题练习）椭圆的长轴的顶点为，动点在椭圆内，且，则的取值范围是 ． 【答案】 【分析】由题意可得点的轨迹方程为，根据题意可得，结合数量积的坐标运算可求的取值范围. 【详解】由椭圆，得，解得，所以，， 设，则，所以， 由，得， 两边平方得， 所以， 所以，即， 所以点的轨迹方程为， 又因为动点在椭圆内，所以，即， 故． 故答案为：． 16．（25-26高二上·广西河池·月考）已知椭圆，F为的右焦点，P为第一象限内椭圆上的一点，过点P作的切线，与x、y轴分别交于A，B两点，若，则点P的坐标为 . 【答案】 【分析】设，设切线方程为，与椭圆方程联立求得切线方程，然后求出A，B两点坐标，进而利用向量的坐标运算求解即可. 【详解】设，易知切线斜率存在，则设切线方程为， 联立，可得， 则， 所以，代入直线，可得，即， 即直线为，即，令，得， 同理令，得，因此， 又因为， 故，得， 故点P的坐标为. 故答案为： 17．（25-26高二上·安徽亳州·期中）已知椭圆的左、右焦点分别为，点在上，且，则的离心率为 ． 【答案】/ 【分析】设，根据椭圆的定义，结合题意分别用表示，由，知，根据勾股定理，分别用表示，进而求得椭圆的离心率. 【详解】设，则，. 所以， 因为，所以，所以. 所以，化简得.所以得. 在中，，所以，得， 所以． 故答案为：. 18．（25-26高二上·山东青岛·期中）已知椭圆，是椭圆上的动点，则下列命题中，正确的有 个 （1）若椭圆的焦点在轴上，则 （2）若椭圆的离心率，则或 （3）当且时，的面积为 （4）当时存在点P使得 【答案】 【分析】根据椭圆的焦点位置，结合椭圆方程及离心率公式判断（1）（2），由确定椭圆参数，再在焦点三角形中应用椭圆的有界性及余弦定理判断（3）（4）. 【详解】对于（1），由椭圆方程，若焦点在轴上，则，所以（1）错误； 对于（2），当椭圆焦点在轴上时，，解得， 当椭圆焦点在轴上时，，解得，所以（2）正确； 对于（3），根据题意椭圆，则，，，， 则， 所以，而，则， 所以，所以（3）正确； 对于（4），根据题意椭圆， 当点为椭圆的上下顶点时， ，则， 则取到最大值， 所以，所以存在点P使得，所以（4）正确. 故（2）（3）（4）正确，即有个命题正确.    故答案为：. 四、解答题 19．（25-26高二上·天津宁河·期中）设椭圆的左右两个焦点分别为，，若点在椭圆上，且. (1)求椭圆的长轴长､短轴长､焦点坐标､顶点坐标､离心率； (2)求的面积； 【详解】（1）由椭圆方程得，，，， 所以椭圆的长轴长为；短轴长为；焦点为，；顶点为，，，；离心率. （2）由椭圆的定义知：，， 因为，所以， 即，解得， 所以. 20．（25-26高二上·重庆·期中）已知椭圆 ，点 为椭圆内一点，过点 的直线 与椭圆交于 、 两点， (1)若直线 的斜率为 1，求线段 的长度. (2)若 为线段 的中点，求直线 的方程. 【答案】(1) (2) 【详解】（1）若直线的斜率为1，那么该直线方程为，即. 联立直线与椭圆方程组得，解得. 所以. 所以. （2）设，则满足，两式相减得 ，因为是线段的中点， 所以，所以， 则有，所以直线的方程为， 即，即. 21．（25-26高二上·上海·期中）已知椭圆的左､右焦点分别为，过的直线与椭圆交于两点. (1)求的周长： (2)已知点是椭圆上第一象限的点且，求点的坐标； (3)过点且与垂直的直线交椭圆于两点，若四边形的面积为，求直线的方程； 【答案】(1)8 (2) (3)或或或. 【详解】（1）因为椭圆，所以， 由椭圆几何定义得的周长. （2）由题意，设，，， 故有， 解得，所以点的坐标为， （3）当斜率不存在或斜率为0时，得，与条件矛盾舍去， 故斜率存在且不为0时， 设 ， ， 故， 同理， 所以或， 故直线方程为或或或. 22．（25-26高二上·江苏扬州·期中）将圆上各点的横坐标保持不变，纵坐标变为原来的一半，所得曲线为. (1)求曲线的方程； (2)若曲线上存在一定点和两动点（异于），且关于原点对称，试判断直线与直线斜率乘积是否为定值？ 【详解】（1）设为曲线上的任意一点， 由题意，点为圆上的点， 所以. 即曲线的方程为：. （2）如图：    设，则，且，， 所以. 所以直线与直线斜率乘积为定值. 23．（25-26高二上·浙江杭州·期中）已知椭圆的离心率为，点在椭圆上，不过点的直线与椭圆相交于两点. (1)求椭圆的标准方程； (2)若弦的中点的纵坐标为，求面积的最大值； (3)若，求证：直线过定点. 【详解】（1）由题意得：，解得，椭圆方程为： （2）因为弦的中点的纵坐标为，所以直线斜率存在. 设直线，代入，可得， 设，，则，， 因为弦的中点的纵坐标为， 所以，即， ， O到直线MN的距离， ， 由，，可得， 当即时，取得最大值. （3），， 即， ，， 代入（*）式，得， 即， 化简得， 即  ， 或， 当时，则直线，此时直线过点，不合题意舍去， 当时，则直线，此时直线过定点， 当直线斜率不存在时，直线交椭圆于，， 此时，显然成立. 直线过定点. 2 学科网（北京）股份有限公司 $ 3.1.2椭圆的简单几何性质 【考点梳理】 【知识梳理】 知识点一：椭圆的简单几何性质 焦点的位置 焦点在x轴上 焦点在y轴上 图形 标准方程 ＋＝1(a>b>0) ＋＝1(a>b>0) 范围 －a≤x≤a，－b≤y≤b －b≤x≤b，－a≤y≤a 顶点 A1(－a，0)，A2(a，0)， B1(0，－b)，B2(0，b) A1(0，－a)，A2(0，a)， B1(－b，0)，B2(b，0) 轴长 短轴长＝2b，长轴长＝2a 焦点 (±，0) (0，±) 焦距 |F1F2|＝2 对称性 对称轴：x轴、y轴　对称中心：原点 离心率 e＝∈(0,1) 知识点二：直线与椭圆的位置关系 直线y＝kx＋m与椭圆＋＝1(a>b>0)的位置关系的判断方法：联立消去y得到一个关于x的一元二次方程．直线与椭圆的位置关系、对应一元二次方程解的个数及Δ的取值的关系如表所示． 直线与椭圆 解的个数 Δ的取值 两个不同的公共点 两解 Δ>0 一个公共点 一解 Δ＝0 没有公共点 无解 Δ<0 知识点三：弦长的两种方法 (1)求出直线与椭圆的两交点坐标，用两点间距离公式求弦长． (2)联立直线与椭圆的方程，消元得到关于一个未知数的一元二次方程，利用弦长公式：|P1P2|＝·，其中x1，x2(y1，y2)是上述一元二次方程的两根，由根与系数的关系求出两根之和与两根之积后代入公式可求得弦长． 【题型归纳】 题型一：椭圆的几何性质 【例1】．（24-25高二上·四川成都·月考）椭圆的中心在原点，焦点在轴上，焦距为，且经过点 (1)求椭圆的标准方程； (2)求椭圆的长轴长、短轴长、离心率、顶点坐标． 【变式1】．（23-24高二上·全国）求下列各椭圆的长轴长、短轴长、焦距、顶点坐标、焦点坐标和离心率： (1)； (2)； (3). 【变式2】．（23-24高二上·全国·课后作业）椭圆的中心在原点，焦点在x轴上，焦距为2，且经过点A. (1)求满足条件的椭圆方程； (2)求该椭圆的顶点坐标、长轴长、短轴长、离心率． 题型二：椭圆的离心率问题 【例2】．（25-26高二上·广东清远·期中）设点分别为椭圆C：的左右焦点，点、分别为椭圆右顶点和下顶点，且点关于直线的对称点为．若，则椭圆的离心率为 ． 【变式1】．（25-26高二上·广东东莞·期中）椭圆的左､右焦点分别为，，P是椭圆上一点，且，，则椭圆的离心率为 . 【变式2】．（25-26高二上·天津宁河·期中）已知椭圆，为椭圆的对称中心，为椭圆的一个焦点，为椭圆上一点，轴，与椭圆的另一个交点为点，为等腰直角三角形，则椭圆的离心率为 . 题型三：椭圆的范围问题 【例3】．（25-26高二上·陕西渭南·期中）已知是椭圆的两焦点，点在椭圆上，则的最小值是 . 【变式1】．（25-26高二上·上海·期中）已知，，点为椭圆：上的动点，则的取值范围是 ． 【变式2】．（25-26高二上·黑龙江哈尔滨·月考）若椭圆上一动点，为圆的任意一直径，则的取值范围为 ． 题型四：直线与椭圆的位置关系 【例4】．（25-26高二上·重庆·期中）已知是椭圆上的动点，则点到直线的距离的最小值为（   ） A． B． C． D． 【变式1】．（25-26高二上·重庆·期中）若直线与椭圆交于两点，椭圆的右焦点为，则的值为（   ） A． B． C． D． 【变式2】．（25-26高二上·河南·期中）已知椭圆及其上点，过右焦点的直线与椭圆交于不同两点（均异于点）．若直线的斜率互为相反数，则直线的方程是（    ） A． B． C． D． 题型五：椭圆的中点弦问题 【例5】．（25-26高二上·吉林松原·期中）过点作斜率为的直线与椭圆相交于，，若是线段的中点，则（   ） A． B． C． D．2 【变式1】．（25-26高二上·河北邢台·期中）已知椭圆，过点的直线交于，两点，且是线段的中点，则直线的斜率为（    ） A． B． C． D． 【变式2】．（25-26高二上·浙江·期中）已知椭圆的中心为坐标原点，一个焦点为，过的直线与椭圆交于A、B两点.若的中点为，则椭圆的方程为（    ） A． B． C． D． 题型六：直线与椭圆的弦长问题 【例6】．（23-24高二上·重庆璧山·月考）椭圆过点且离心率为，为椭圆的右焦点，过的直线交椭圆于，两点，定点. (1)求椭圆的方程； (2)若面积为，求直线的方程. 【变式1】．（25-26高三上·宁夏中卫·月考）已知椭圆的短轴长为，且过点． (1)求椭圆的标准方程； (2)若经过椭圆的右焦点作倾斜角为的直线，直线与椭圆交于两点，求弦长． 【变式2】．（25-26高二上·天津宁河·期中）已知椭圆的焦距，且过点. (1)求椭圆的方程； (2)过定点的直线与椭圆交于，两点，若的面积为，求直线方程及弦的长. 题型七：椭圆中的向量问题 【例7】．（25-26高二上·河南·月考）如图，点，是椭圆C：（）的左、右焦点，A，B是C上两点，，且，则C的离心率为 . 【变式1】．（24-25高二上·浙江杭州·月考）设椭圆的右顶点为，过轴上一定点的斜率为的直线与椭圆相交于A、B两点，若，则的取值范围是 【变式2】．（2024·上海闵行·一模）已知、分别为椭圆的左、右焦点，过的直线交椭圆于、两点．若，则 ． 题型八：椭圆的定点、定值问题 【例8】．（25-26高三上·山东烟台·期中）在平面直角坐标系中，已知点，点为圆：上任意一点，线段的垂直平分线交半径于点，当点在圆上运动时，记点的轨迹为． (1)求的方程； (2)若点，试判断直线与的位置关系，并说明理由； (3)若直线与直线分别交于点，，求证：，两点的纵坐标之积为定值． 【变式1】．（25-26高二上·北京·期中）已知椭圆的上顶点为，四个顶点组成的四边形面积为. (1)求椭圆的方程； (2)过点的动直线与椭圆交于两点，点关于轴的对称点为点，求证：直线恒过定点，并求出定点坐标 【变式2】．（25-26高二上·广东东莞·期中）已知椭圆，点P为C的上顶点． (1)求椭圆C的离心率； (2)设与两坐标轴均不垂直的直线l与椭圆C交于异于P的两点A和B，设直线PA、PB的斜率分别为、．当时，判断直线l是否经过定点？若是，请求出这一定点；若不是，请说明理由． 题型九：、椭圆的最值问题 【例9】．（25-26高二上·广西柳州·期中）已知椭圆离心率为，过点． (1)求椭圆的方程； (2)过椭圆右焦点作直线交椭圆于、两个不同的点，记的面积为S，求S的最大值及取得最大值时直线的方程． 【变式1】．（25-26高三上·湖南长沙·月考）已知椭圆，其短轴的一个端点到右焦点的距离为2，且点在椭圆上. (1)求椭圆的方程； (2)设过点的一条直线与椭圆交于两点，求面积的最大值. 【变式2】．（25-26高二上·新疆克拉玛依·期中）已知椭圆与椭圆有相同的焦点，并且过． (1)求椭圆的标准方程； (2)过点的直线与椭圆交于两点，求面积的最大值及此时的直线方程． 【高分达标】 一、单选题 1．（25-26高二上·天津津南·月考）已知椭圆的一个焦点是圆的圆心，且短轴长为8，则椭圆的长轴长为（    ） A．12 B．10 C．8 D．6 2．（25-26高二上·河北邢台·期中）已知，椭圆：的长轴长是短轴长的倍，则（   ） A．2 B． C．4 D． 3．（25-26高二上·山东枣庄·期中）设是椭圆的右焦点，是椭圆上的动点，是直线上的动点，则的最小值为（   ） A． B．3 C． D． 4．（25-26高二上·广东东莞·期中）已知是椭圆的焦点，，分别是上第二、四象限上的点．若四边形为矩形，则的离心率的取值范围是（    ） A． B． C． D． 5．（25-26高二上·江苏扬州·期中）已知椭圆，直线与椭圆交于两点，则线段长为（    ） A． B． C． D． 6．（25-26高二上·四川广安·期中）已知焦点在轴上的椭圆，其右焦点与上顶点和左顶点构成面积为的三角形，则椭圆的离心率为（   ）． A． B． C． D． 7．（25-26高二上·四川成都·期中）点分别为椭圆的上顶点和右焦点，若直线交椭圆于点两点，点为的重心，则椭圆的离心率为（    ） A． B． C． D． 8．（25-26高二上·陕西西安·期中）已知椭圆方程为，长轴的左右两个顶点分别为，，过椭圆上一点向轴作垂线，垂足为，若，则该椭圆的离心率为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 二、多选题 9．（25-26高二上·广西河池·月考）已知椭圆，则（    ） A．M与N的离心率相等 B．M与N的焦距相等 C．M与N的长轴长不相等 D．M的短轴长是N的短轴长的两倍 10．（25-26高二上·山东临沂·期中）若，分别是椭圆的左、右焦点，是上的动点，则（    ） A．椭圆C的长轴长为 B．最大值为 C．椭圆C的焦距为1 D．不存在点，使得 11．（25-26高二上·江苏南通·期中）已知圆锥曲线的离心率为，，分别为曲线的左，右焦点，为曲线上一点，则下列结论正确的是（    ） A． B．的周长为12 C．面积的最大值为4 D．的取值范围是 12．（25-26高二上·山东临沂·期中）已知椭圆：的焦点分别为，，设直线与椭圆交于，两点，且点为线段的中点，则下列说法正确的是（   ） A．椭圆的离心率为 B．椭圆上存在点，使得 C．直线的方程为 D．的周长为 13．（25-26高二上·江苏连云港·期中）已知椭圆的左､右焦点分别为，过且斜率为的直线与椭圆交于两点.若，且，则下列说法正确的是（    ） A．椭圆的离心率 B． C． D．的面积为 三、填空题 14．（25-26高二上·广东清远·期中）与椭圆有相同焦点，且满足短半轴长为的椭圆方程是 ． 15．（2025高二上·全国·专题练习）椭圆的长轴的顶点为，动点在椭圆内，且，则的取值范围是 ． 16．（25-26高二上·广西河池·月考）已知椭圆，F为的右焦点，P为第一象限内椭圆上的一点，过点P作的切线，与x、y轴分别交于A，B两点，若，则点P的坐标为 . 17．（25-26高二上·安徽亳州·期中）已知椭圆的左、右焦点分别为，点在上，且，则的离心率为 ． 18．（25-26高二上·山东青岛·期中）已知椭圆，是椭圆上的动点，则下列命题中，正确的有 个 （1）若椭圆的焦点在轴上，则 （2）若椭圆的离心率，则或 （3）当且时，的面积为 （4）当时存在点P使得 四、解答题 19．（25-26高二上·天津宁河·期中）设椭圆的左右两个焦点分别为，，若点在椭圆上，且. (1)求椭圆的长轴长､短轴长､焦点坐标､顶点坐标､离心率； (2)求的面积； 20．（25-26高二上·重庆·期中）已知椭圆 ，点 为椭圆内一点，过点 的直线 与椭圆交于 、 两点， (1)若直线 的斜率为 1，求线段 的长度. (2)若 为线段 的中点，求直线 的方程. 21．（25-26高二上·上海·期中）已知椭圆的左､右焦点分别为，过的直线与椭圆交于两点. (1)求的周长： (2)已知点是椭圆上第一象限的点且，求点的坐标； (3)过点且与垂直的直线交椭圆于两点，若四边形的面积为，求直线的方程； 22．（25-26高二上·江苏扬州·期中）将圆上各点的横坐标保持不变，纵坐标变为原来的一半，所得曲线为. (1)求曲线的方程； (2)若曲线上存在一定点和两动点（异于），且关于原点对称，试判断直线与直线斜率乘积是否为定值？ 23．（25-26高二上·浙江杭州·期中）已知椭圆的离心率为，点在椭圆上，不过点的直线与椭圆相交于两点. (1)求椭圆的标准方程； (2)若弦的中点的纵坐标为，求面积的最大值； (3)若，求证：直线过定点. 2 学科网（北京）股份有限公司 $