精品解析：天津市第五中学2025-2026学年高三上学期12月月考数学试题

数学学科试卷 一.选择题(每小题5分，共计45分) 1. 设集合，则 A. B. C. D. 2. 设，则“”是“”的（ ） A. 充分而不必要条件 B. 必要而不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 3. 有5支彩笔（除颜色外无差别），颜色分别为红、黄、蓝、绿、紫.从这5支彩笔中任取2支不同颜色的彩笔，则取出的2支彩笔中含有红色彩笔的概率为 A. B. C. D. 4. 已知， 设函数的图像在点处的切线为 ， 则 在y轴上的截距为（ ） A. B. C. D. 5. 直线与圆相交于，两点，则（ ） A. B. C. D. 6. 已知奇函数在上是增函数，若，，，则的大小关系为 A. B. C. D. 7. 已知双曲线的右焦点为，点在双曲线的渐近线上， 是边长为2的等边三角形(为原点)，则双曲线的方程为（ ） A. B. C. D. 8. 设函数，，其中，.若，，且的最小正周期大于，则 A. ， B. ， C. ， D. ， 9. 已知函数．设，若关于的不等式在上恒成立，则的取值范围是 A. B. C. D. 二.填空题(每小题5分，共计30分) 10. 已知，为虚数单位，若为实数，则的值为__________． 11. 的展开式中的系数为_______． 12. 已知一个正方体的所有顶点在一个球面上，若这个正方体的表面积为18，则这个球的体积为____. 13. 从甲地到乙地要经过3个十字路口，设各路口信号灯工作相互独立，且在各路口遇到红灯的概率分别为，，.设X 表示一辆车从甲地到乙地遇到红灯的个数，则随机变量X 的数学期望为 ______________. 14. 若，，则的最小值为___________. 15. 在中，，，. 若，，且，则的值为______________. 三.解答题 (共计75分) 16. 在中，内角所对的边分别为.已知，. （I）求的值； （II）求的值. 17. 如图，在三棱锥中，底面，．点，，分别为棱，，的中点，是线段的中点，，． （1）求证：平面； （2）求二面角的正弦值； （3）已知点在棱上，且直线与直线所成角的余弦值为，求线段的长． 18. 已知为等差数列，前n项和为，是首项为2的等比数列，且公比大于0， . （Ⅰ）求和的通项公式； （Ⅱ）求数列的前n项和. 19. 设椭圆的左焦点为，右顶点为，离心率为.已知是抛物线的焦点，到抛物线的准线的距离为. （I）求椭圆的方程和抛物线的方程； （II）设上两点，关于轴对称，直线与椭圆相交于点（异于点），直线与轴相交于点.若的面积为，求直线的方程. 20. 设，.已知函数，. （Ⅰ）求的单调区间； （Ⅱ）已知函数和的图象在公共点（x0，y0）处有相同的切线， （i）求证：在处的导数等于0； （ii）若关于x的不等式在区间上恒成立，求b的取值范围. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 数学学科试卷 一.选择题(每小题5分，共计45分) 1. 设集合，则 A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【详解】由题意可得：. 本题选择B选项. 【考点】 集合的运算 【名师点睛】集合的交、并、补运算问题，应先把集合化简再计算，常常借助数轴或韦恩图进行处理. 2. 设，则“”是“”的（ ） A. 充分而不必要条件 B. 必要而不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】B 【解析】 【分析】解不等式，结合包含关系理解充分必要条件. 【详解】因为，则， 又因为，则，即， 因为是的真子集， 据此可知：“”是“”的必要而不充分条件. 故选：B. 3. 有5支彩笔（除颜色外无差别），颜色分别为红、黄、蓝、绿、紫.从这5支彩笔中任取2支不同颜色的彩笔，则取出的2支彩笔中含有红色彩笔的概率为 A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【详解】选取两支彩笔的方法有种，含有红色彩笔的选法为种， 由古典概型公式，满足题意的概率值为. 本题选择C选项. 考点：古典概型 名师点睛：对于古典概型问题主要把握基本事件的种数和符合要求的事件种数，基本事件的种数要注意区别是排列问题还是组合问题，看抽取时是有、无顺序，本题从这5支彩笔中任取2支不同颜色的彩笔，是组合问题，当然简单问题建议采取列举法更直观一些. 4. 已知， 设函数的图像在点处的切线为 ， 则 在y轴上的截距为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】求导，得出切线的斜率，根据点斜式方程求出直线，得到在y轴上的截距. 【详解】因为，所以， 所以，又， 所以函数的图像在点处的切线为， 整理得：， 故在y轴上的截距为. 故选：D 5. 直线与圆相交于，两点，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据点到直线的距离求出圆心到直线的距离，由垂径定理可得，，解之即可. 【详解】圆心到直线的距离 半径为 故 故选：D 【点睛】圆的弦长的常用求法： （1）几何法：求圆的半径为r，弦心距为d，弦长为l，则； （2）代数方法：运用根与系数的关系及弦长公式： 6. 已知奇函数在上是增函数，若，，，则的大小关系为 A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【详解】由题意：， 且：， 据此：， 结合函数的单调性有：， 即. 本题选择C选项. 【考点】 指数、对数、函数的单调性 【名师点睛】比较大小是高考常见题，指数式、对数式的比较大小要结合指数函数、对数函数，借助指数函数和对数函数的图象，利用函数的单调性进行比较大小，特别是灵活利用函数的奇偶性和单调性数形结合不仅能比较大小，还可以解不等式. 7. 已知双曲线的右焦点为，点在双曲线的渐近线上， 是边长为2的等边三角形(为原点)，则双曲线的方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】不妨设点在第一象限，可求得，以及，求出、的值，由此可求得双曲线的标准方程. 【详解】不妨设点在第一象限，由题意可知， 由于是等边三角形，则，所以， 由题意可得，解得， 因此该双曲线的标准方程为. 故选：C 8. 设函数，，其中，.若，，且的最小正周期大于，则 A. ， B. ， C. ， D. ， 【答案】A 【解析】 【详解】由题意，其中，所以，又，所以，所以，，由得，故选A． 【考点】求三角函数的解析式 【名师点睛】有关问题，一种为提供函数图象求解析式或某参数的范围，一般先根据图象的最高点或最低点确定，再根据周期或周期或周期求出，最后再利用最高点或最低点坐标满足解析式，求出满足条件的值，另一种时根据题目用文字形容的函数图象特点，如对称轴或曲线经过的点的坐标，根据题意自己画出图象，再寻求待定的参变量，题型很活，求或的值或最值或范围等. 9. 已知函数．设，若关于的不等式在上恒成立，则的取值范围是 A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【详解】满足题意时的图象恒不在函数下方， 当时，函数图象如图所示，排除C,D选项； 当时，函数图象如图所示，排除B选项， 本题选择A选项. 二.填空题(每小题5分，共计30分) 10. 已知，为虚数单位，若为实数，则的值为__________． 【答案】-2 【解析】 【详解】为实数， 则. 【考点】 复数的分类 【名师点睛】复数的分类及对应点的位置问题都可以转化为复数的实部与虚部应该满足的条件问题，只需把复数化为代数形式，列出实部和虚部满足的方程(不等式)组即可． 复数， 当时，为虚数， 当时，为实数， 当时，为纯虚数. 11. 的展开式中的系数为_______． 【答案】 【解析】 【分析】根据二项定理展开通项，求得的值，进而求得系数． 【详解】根据二项定理展开式的通项式得 所以 ，解得 所以系数 故答案为： 【点睛】本题考查了二项式定理的简单应用，属于基础题． 12. 已知一个正方体的所有顶点在一个球面上，若这个正方体的表面积为18，则这个球的体积为____. 【答案】 【解析】 【详解】设正方体边长为 ，则 ， 外接球直径为. 【考点】 球 【名师点睛】求多面体的外接球的面积和体积问题常用方法有（1）三条棱两两互相垂直时，可恢复为长方体，利用长方体的体对角线为外接球的直径，求出球的半径；（2）直棱柱的外接球可利用棱柱的上下底面平行，借助球的对称性，球心为上下底面外接圆的圆心连线的中点，再根据勾股定理求球的半径；（3）如果设计几何体有两个面相交，可过两个面的外心分别作两个面的垂线，垂线的交点为几何体的球心，本题就是第三种方法. 13. 从甲地到乙地要经过3个十字路口，设各路口信号灯工作相互独立，且在各路口遇到红灯的概率分别为，，.设X 表示一辆车从甲地到乙地遇到红灯的个数，则随机变量X 的数学期望为 ______________. 【答案】 【解析】 【分析】先确定随机变量的取值，再计算概率，从而就可以列出分布列，最后运用数学期望的公式求期望. 【详解】随机变量X的所有可能取值为0,1,2,3，则： ， ， ， . 所以随机变量X的分布列为 X 0 1 2 3 P 随机变量X的数学期望. 故答案为：. 14. 若，，则的最小值为___________. 【答案】8 【解析】 【分析】，然后利用基本不等式求解即可. 【详解】因为， 所以， 当且仅当，即时等号成立， 故答案为：8 15. 在中，，，. 若，，且，则的值为______________. 【答案】 【解析】 【详解】 ,则 . 【考点】向量的数量积 【名师点睛】根据平面向量的基本定理，利用表示平面向量的一组基地可以表示平面内的任一向量，利用向量的定比分点公式表示向量，计算数量积，选取基地很重要，本题的已知模和夹角，选作基地易于计算数量积. 三.解答题 (共计75分) 16. 在中，内角所对的边分别为.已知，. （I）求的值； （II）求的值. 【答案】（Ⅰ）（Ⅱ） 【解析】 【详解】试题分析：利用正弦定理“角转边”得出边的关系，再根据余弦定理求出， 进而得到，由转化为，求出，进而求出，从而求出的三角函数值，利用两角差的正弦公式求出结果. 试题解析：（Ⅰ）解：由，及，得. 由，及余弦定理，得. （Ⅱ）解：由（Ⅰ），可得，代入，得. 由（Ⅰ）知，A为钝角，所以.于是， ，故 . 考点：正弦定理、余弦定理、解三角形 【名师点睛】利用正弦定理进行“边转角”寻求角的关系，利用“角转边”寻求边的关系，利用余弦定理借助三边关系求角，利用两角和差公式及二倍角公式求三角函数值. 利用正、余弦定理解三角形问题是高考高频考点，经常利用三角形内角和定理，三角形面积公式，结合正、余弦定理解题. 17. 如图，在三棱锥中，底面，．点，，分别为棱，，的中点，是线段的中点，，． （1）求证：平面； （2）求二面角的正弦值； （3）已知点在棱上，且直线与直线所成角的余弦值为，求线段的长． 【答案】（1）证明见解析；（2）；（3）或． 【解析】 【详解】试题分析：本小题主要考查直线与平面平行、二面角、异面直线所成的角等基础知识.考查用空间向量解决立体几何问题的方法.考查空间想象能力、运算求解能力和推理论证能力.首先要建立空间直角坐标系，写出相关点的坐标，证明线面平行只需求出平面的法向量，计算直线对应的向量与法向量的数量积为0，求二面角只需求出两个半平面对应的法向量，借助法向量的夹角求二面角，利用向量的夹角公式，求出异面直线所成角的余弦值，利用已知条件，求出的值. 试题解析：如图，以A为原点，分别以，，方向为x轴、y轴、z轴正方向建立空间直角坐标系.依题意可得A（0，0，0），B（2，0，0），C（0，4，0），P（0，0，4），D（0，0，2），E（0，2，2），M（0，0，1），N（1，2，0）. （1）证明：=（0，2，0），=（2，0，）.设，为平面BDE的法向量， 则，即.不妨设，可得.又=（1，2，），可得. 因为平面BDE，所以MN//平面BDE. （2）解：易知为平面CEM的一个法向量.设为平面EMN的法向量，则，因为，，所以.不妨设，可得. 因此有，于是. 所以，二面角C—EM—N的正弦值为. （3）解：依题意，设AH=h（），则H（0，0，h），进而可得，.由已知，得，整理得，解得，或. 所以，线段AH的长为或. 【考点】直线与平面平行、二面角、异面直线所成的角 【名师点睛】空间向量是解决空间几何问题的锐利武器，不论是求空间角、空间距离还是证明线面关系利用空间向量都很方便，利用向量夹角公式求异面直线所成的角又快又准，特别是借助平面的法向量求线面角，二面角或点到平面的距离都很容易. 18. 已知为等差数列，前n项和为，是首项为2的等比数列，且公比大于0， . （Ⅰ）求和的通项公式； （Ⅱ）求数列的前n项和. 【答案】（Ⅰ）. .（Ⅱ）. 【解析】 【详解】试题分析：根据等差数列和等比数列通项公式及前项和公式列方程求出等差数列首项和公差及等比数列的公比，写出等差数列和等比数列的通项公式，利用错位相减法求出数列的和，要求计算要准确. 试题解析：（Ⅰ）设等差数列的公差为，等比数列的公比为.由已知，得，而，所以.又因为，解得.所以，. 由，可得.由，可得，联立①②，解得，由此可得. 所以，的通项公式为，的通项公式为. （Ⅱ）解：设数列的前项和为，由，有 ， ， 上述两式相减，得 . 得. 所以，数列的前项和为. 【考点】等差数列、等比数列、数列求和 【名师点睛】利用等差数列和等比数列通项公式及前项和公式列方程组求数列的首项和公差或公比，进而写出通项公式及前项和公式，这是等差数列、等比数列的基本要求，数列求和方法有倒序相加法，错位相减法，裂项相消法和分组求和法等，本题考查错位相减法求和. 19. 设椭圆的左焦点为，右顶点为，离心率为.已知是抛物线的焦点，到抛物线的准线的距离为. （I）求椭圆的方程和抛物线的方程； （II）设上两点，关于轴对称，直线与椭圆相交于点（异于点），直线与轴相交于点.若的面积为，求直线的方程. 【答案】（Ⅰ）， .（Ⅱ），或. 【解析】 【详解】试题分析：由于为抛物线焦点，到抛物线的准线的距离为，则，又椭圆的离心率为，求出，得出椭圆的标准方程和抛物线方程；则，设直线方程为设，解出两点的坐标，把直线方程和椭圆方程联立解出点坐标，写出 所在直线方程，求出点的坐标，最后根据的面积为解方程求出，得出直线的方程. 试题解析：（Ⅰ）解：设的坐标为.依题意，，，，解得，，，于是. 所以，椭圆的方程为，抛物线的方程为. （Ⅱ）解：设直线的方程为，与直线的方程联立，可得点，故.将与联立，消去，整理得，解得，或.由点异于点，可得点.由，可得直线的方程为，令，解得，故.所以.又因为的面积为，故，整理得，解得，所以. 所以，直线的方程为，或. 【考点】直线与椭圆综合问题 【名师点睛】圆锥曲线问题在历年高考都是较有难度的压轴题，不论第一步利用椭圆的离心率及椭圆与抛物线的位置关系的特点，列方程组，求出椭圆和抛物线方程，还是第二步联立方程组求出点的坐标，写直线方程，利用面积求直线方程，都是一种思想，就是利用大熟地方法解决几何问题，坐标化，方程化，代数化是解题的关键. 20. 设，.已知函数，. （Ⅰ）求的单调区间； （Ⅱ）已知函数和的图象在公共点（x0，y0）处有相同的切线， （i）求证：在处的导数等于0； （ii）若关于x的不等式在区间上恒成立，求b的取值范围. 【答案】（I）单调递增区间为，，单调递减区间为.（II）（i）见解析.（ii）. 【解析】 【详解】试题分析：求导数后因式分解根据，得出，根据导数的符号判断函数的单调性，给出单调区间，对求导，根据函数和的图象在公共点（x0，y0）处有相同的切线，解得，根据的单调性可知在上恒成立，关于x的不等式在区间上恒成立，得出，得，， 求出的范围，得出的范围. 试题解析：（I）由，可得 ， 令，解得，或.由，得. 当变化时，，的变化情况如下表： 所以，的单调递增区间为，，单调递减区间为. （II）（i）因为，由题意知， 所以，解得. 所以，在处的导数等于0. （ii）因为，，由，可得. 又因为，，故为的极大值点，由（I）知. 另一方面，由于，故， 由（I）知在内单调递增，在内单调递减， 故当时，在上恒成立，从而在上恒成立. 由，得，. 令，，所以， 令，解得（舍去），或. 因为，，，故的值域为. 所以，的取值范围是. 【考点】导数的应用 【名师点睛】利用导数工具研究函数是历年高考题中的难点问题，利用导数判断函数的单调性，求函数的极值或最值，利用导数的几何意义研究曲线的切线方程以及利用导数研究函数的零点和值域也是常见考法，本题把恒成立问题转化为函数值域问题很巧妙，问题转化为借助导数研究函数在某区间上的取值范围去解决，方法灵活思维巧妙，匠心独运. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $